Paralelkenarın açılarını bulma. Paralelkenarın dar açısı nasıl bulunur

DÖRDÜNCÜLER.

§43. PARALELKENAR.

1. Paralelkenarın tanımı.

Bir çift paralel doğruyu başka bir paralel doğru çiftiyle kesersek, bir dörtgen elde ederiz. zıt taraflar ikili paralel.

ABC ve EFNM dörtgenlerinde (Şekil 224) ВD || AC ve AB || CD;
EF || MN ve EM || FN.

Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

2. Paralelkenarın özellikleri.

Teorem. Paralelkenarın köşegeni onu iki eşit üçgene böler.

Bir ABC paralelkenarı olsun (Şekil 225), burada AB || CD ve Klima || ВD.

Köşegenin onu iki eşit üçgene böldüğünü kanıtlamanız gerekir.

ABC paralelkenarında CB köşegenini çizelim. Hadi bunu kanıtlayalım /\ CAB= /\ СДВ.

NE kenarı bu üçgenlerde ortaktır; / ABC = / BCD, paralel AB ve CD ve sekant CB ile iç çapraz açılar olarak; / DIA = / СВD, paralel AC ve ВD ve sekant CB'ye sahip iç çapraz açıları da sever (§ 38).

Buradan /\ KAB = /\ СДВ.

Aynı şekilde, AD köşegeninin paralelkenarı iki eşit ACD ve ABD üçgenine böleceği kanıtlanabilir.

Sonuçlar. 1 . Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşittir.

/ bir = / D, bu CAB ve CDB üçgenlerinin eşitliğinden kaynaklanır.
Aynı şekilde / C = / İÇİNDE.

2. Zıt paralelkenar kenarları birbirine eşittir.

AB = CD ve AC = BD, bunlar eşit üçgenlerin kenarları olduğundan ve karşılıklı olduklarından eşit açılar.

Teorem 2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasında ikiye bölünür.

BC ve AD, ABC paralelkenarının köşegenleri olsun (Şekil 226). AO = OD ve CO = OB olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, örneğin bazı zıt üçgen çiftlerini karşılaştırın. /\ AOB ve /\ MORİNA.

Bu üçgenlerde AB = CD, paralelkenarın karşılıklı kenarları gibi;
/ 1 = / Şekil 2, paralel AB ve CD ve sekant AD ile çapraz uzanan iç açılar olarak;
/ 3 = / 4 aynı sebepten dolayı, AB || CD ve CB onların sekantlarıdır (§ 38).

Şunu takip ediyor /\ AOB = /\ MORİNA. Ve eşit üçgenlerde, eşit kenarlar eşit açıların karşısında yer alır. Bu nedenle AO = OD ve CO = OB.

Teorem 3. Paralelkenarın bir kenarına bitişik açıların toplamı eşittir 2 D .

Bunu kendin kanıtla.

3. Paralelkenarın işaretleri.

Teorem. Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenardır.

ABC dörtgenini alalım (Çizim 227) AB = CD ve AC = BD. Bu koşul altında AB || olduğunu kanıtlayalım. CD ve Klima || ВD, yani dörtgen АВDC bir paralelkenardır.
Bu dörtgenin karşılıklı iki köşesini, örneğin C ve B'yi bir doğru parçasıyla birleştirelim. ABCD dörtgeni iki eşit üçgene bölünmüştür: /\ CAB ve /\ СДВ. Aslında duruma göre aynı CB kenarlarına sahiptirler, AB = CD ve AC = BD. Böylece, bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğerinin üç kenarına eşittir, bu nedenle /\ KAB = /\ СДВ.

Eşit üçgenlerde eşit açılar eşit kenarların karşısında bulunur, bu nedenle
/ 1 = / 2 ve / 3 = / 4.

Açılar 1 ve 2, CB düz çizgisinin AB ve CD düz çizgilerinin kesişiminde çapraz olarak uzanan iç açılardır. Bu nedenle AB || CD.

Aynı şekilde, 3 ve 4 numaralı açılar, CB çizgisinin CA ve BD çizgilerinin kesişiminde çapraz uzanan iç açılardır, dolayısıyla CA || ВD (§ 35).

Dolayısıyla ABCD dörtgeninin karşıt kenarları çiftler halinde paraleldir, dolayısıyla bu bir paralelkenardır ve bunun kanıtlanması gerekir.

Teorem 2. Bir dörtgenin karşılıklı iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenardır.

ABCD dörtgeninde AB = CD olsun ve AB || CD. Bu koşullar altında ABC dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayalım (Şekil 228).

C ve B köşelerini bir CB parçasıyla birleştirelim AB ve CD düz çizgilerinin paralelliğinden dolayı, çapraz uzanan iç açılar olarak 1 ve 2 açıları eşittir (§ 38).
Bu durumda CAB üçgeni CDB üçgenine eşittir, çünkü CB kenarları ortaktır,
Teoremin koşullarına göre AB = CD ve / 1 = / Kanıtlanmış göre 2. Bu üçgenlerin eşitliği, eşit üçgenlerde eşit kenarların karşısında yer aldıkları için 3 ve 4 numaralı açıların eşitliği anlamına gelir.

Ancak 3 ve 4 numaralı açılar, CB düz çizgisinin AC ve BD düz çizgilerinin kesişmesiyle oluşan iç çapraz açılardır, dolayısıyla AC || ВD (§ 35), yani dörtgen
ABC bir paralelkenardır.

Egzersizler.

1. Bir dörtgenin karşılıklı kesişme noktasındaki köşegenleri ikiye bölünürse, bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

2. Toplamı eşit olan bir dörtgenin olduğunu kanıtlayın. iç köşeler iki bitişik kenarın her birine bitişik olan 2'ye eşittir D, bir paralelkenar var.

3. İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir paralelkenar oluşturun:

a) bir paralelkenarın karşıt kenarlarının paralelliğini kullanmak;
b) bir paralelkenarın karşıt kenarlarının eşitliğini kullanarak.

4. İki bitişik kenarı ve bir köşegeni kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

5. İki köşegenini ve aralarındaki açıyı kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

6. Kenarını ve iki köşegenini kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. Paralelkenarın geri kalan özellikleri ondan çıktığı ve teoremler biçiminde kanıtlandığı için bu tanım zaten yeterlidir.

Paralelkenarın temel özellikleri şunlardır:

• bir paralelkenar dışbükey bir dörtgendir;
• Bir paralelkenarın çiftler halinde eşit olan karşıt kenarları vardır;
• Paralelkenarda zıt açılar çiftler halinde eşittir;
• Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Paralelkenar - dışbükey dörtgen

Önce şu teoremi kanıtlayalım: paralelkenar dışbükey bir dörtgendir. Bir çokgenin hangi tarafı düz bir çizgiye kadar uzatılırsa uzatılsın dışbükeydir, çokgenin diğer tüm kenarları bu düz çizginin aynı tarafında olacaktır.

AB'nin CD'nin karşı kenarı ve BC'nin AD'nin karşı kenarı olduğu bir ABCD paralelkenarı verilsin. O zaman paralelkenarın tanımından AB || CD, BC || MS.

Paralel doğruların ortak noktaları yoktur ve kesişmezler. Bu, CD'nin AB'nin bir tarafında olduğu anlamına gelir. BC doğru parçası AB parçasının B noktasını CD parçasının C noktasıyla birleştirdiğinden ve AD parçası diğer AB ve CD noktalarını birleştirdiğinden, BC ve AD parçaları da AB çizgisinin CD'nin bulunduğu aynı tarafında yer alır. Böylece her üç kenar (CD, BC, AD) AB'nin aynı tarafında yer alır.

Benzer şekilde paralelkenarın diğer kenarlarına göre diğer üç kenarının da aynı tarafta olduğu kanıtlanmıştır.

Karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir

Paralelkenarın özelliklerinden biri de Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve zıt açılar çiftler halinde eşittir. Örneğin, ABCD paralelkenarı verilirse AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D olur. Bu teorem aşağıdaki şekilde kanıtlanmıştır.

Paralelkenar bir dörtgendir. Bu, iki köşegeni olduğu anlamına gelir. Paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, herhangi biri onu iki üçgene böler. ABCD paralelkenarında düşünün ABC üçgenleri ve AC köşegeninin çizilmesiyle elde edilen ADC.

Bu üçgenlerin ortak bir tarafı vardır - AC. BCA açısı, BC ve AD paralel olduğunda dikey olduğu gibi, CAD açısına eşittir. AB ve CD paralel olduğunda BAC ve ACD açıları da dikey açılara eşittir. Bu nedenle iki açıda ve aralarındaki kenarda ∆ABC = ∆ADC olur.

Bu üçgenlerde AB kenarı CD kenarına, BC kenarı da AD kenarına karşılık gelir. Bu nedenle AB = CD ve BC = AD.

B açısı D açısına karşılık gelir, yani ∠B = ∠D. Paralelkenarın A açısı iki açının toplamıdır - ∠BAC ve ∠CAD. C açısı ∠BCA ve ∠ACD'ye eşittir. Açı çiftleri birbirine eşit olduğundan ∠A = ∠C olur.

Böylece paralelkenarda karşılıklı kenarların ve açıların eşit olduğu kanıtlanmıştır.

Köşegenler ikiye bölünür

Paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, iki köşegeni vardır ve bunlar kesişir. ABCD paralelkenarı verilsin, AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişiyor. Bunların oluşturduğu ABE ve CDE üçgenlerini düşünün.

Bu üçgenlerin AB ve CD kenarları paralelkenarın karşıt kenarlarına eşittir. ABE açısı, AB ve CD paralel çizgileri ile çapraz uzanan CDE açısına eşittir. Aynı sebepten dolayı ∠BAE = ∠DCE. Bu, iki açıda ve aralarındaki kenarda ∆ABE = ∆CDE anlamına gelir.

Ayrıca AEB ve CED açılarının dikey olduğunu ve dolayısıyla birbirine eşit olduğunu da fark edebilirsiniz.

ABE ve CDE üçgenleri birbirine eşit olduğundan, bunlara karşılık gelen tüm elemanlar eşittir. İlk üçgenin AE tarafı ikincinin CE kenarına karşılık gelir, bu da AE = CE anlamına gelir. Benzer şekilde BE = DE. Her eşit parça çifti bir paralelkenarın köşegenini oluşturur. Böylece kanıtlanmıştır ki Paralelkenarın köşegenleri kesişim noktalarına göre ikiye bölünür.

Paralelkenar, karşılıklı kenarların çiftler halinde paralel olduğu bir dörtgendir.

Paralelkenar dörtgenlerin tüm özelliklerine sahiptir, ancak buna ek olarak kendine ait özellikleri de vardır. ayırt edici özellikleri. Bunları bildiğimiz için paralelkenarın hem kenarlarını hem de açılarını kolaylıkla bulabiliriz.

Paralelkenarın özellikleri

1. Herhangi bir dörtgende olduğu gibi herhangi bir paralelkenarın açılarının toplamı 360°'dir.
2. Paralelkenarın orta çizgileri ve köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür. Bu noktaya genellikle paralelkenarın simetri merkezi denir.
3. Paralelkenarın karşılıklı kenarları her zaman eşittir.
4. Ayrıca bu şeklin her zaman eşit zıt açıları vardır.
5. Paralelkenarın herhangi bir kenarına komşu olan açıların toplamı her zaman 180°'dir.
6. Paralelkenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı, komşu iki kenarın karelerinin toplamının iki katına eşittir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), burada d 1 ve d 2 köşegenlerdir, a ve b bitişik kenarlardır.
7. Geniş açının kosinüsü her zaman sıfırdan küçüktür.

Bu özellikleri pratikte kullanarak belirli bir paralelkenarın açıları nasıl bulunur? Peki başka hangi formüller bu konuda bize yardımcı olabilir? Aşağıdakileri gerektiren belirli görevlere bakalım: bir paralelkenarın açılarını bulma.

Paralelkenarın açılarını bulma

Durum 1. Geniş açının ölçüsü biliniyor, dar açıyı bulmamız gerekiyor.

Örnek: ABCD paralelkenarında A açısı 120°'dir. Kalan açıların ölçüsünü bulun.

Çözüm: 5 numaralı özelliği kullanarak görevde verilen açıya komşu olan B açısının ölçüsünü bulabiliriz. Şuna eşit olacaktır:

• 180°-120°= 60°

Ve şimdi, 4 numaralı özelliği kullanarak, kalan iki C ve D açısının, daha önce bulduğumuz açılara zıt olduğunu belirliyoruz. C açısı A açısının karşısında, D açısı B açısının karşısındadır. Bu nedenle çiftler halinde eşittirler.

• Cevap: B = 60°, C = 120°, D=60°

Durum 2. Kenarların ve köşegenlerin uzunlukları biliniyor

Bu durumda kosinüs teoremini kullanmamız gerekir.

Önce ihtiyacımız olan açının kosinüsünü bir formül kullanarak hesaplayabilir, ardından özel bir tablo kullanarak açının neye eşit olduğunu bulabiliriz.

Dar bir açı için formül şöyledir:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), burada
• aradığınız kişi a keskin köşe,
• A ve B paralelkenarın kenarlarıdır,
• d - daha küçük diyagonal

Geniş bir açı için formül biraz değişir:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), burada
• ß geniş bir açıdır,
• A ve B kenarlardır
• D - büyük diyagonal

Örnek: Kenarları 6 cm ve 3 cm olan ve daha küçük köşegeni 5,2 cm olan bir paralelkenarın dar açısını bulmanız gerekir.

Dar açıyı bulmak için değerleri formülde değiştirin:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• kosa = 1/2. Tablodan istenilen açının 60° olduğunu görüyoruz.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. Ayrıca bir paralelkenar şu özelliklere sahiptir: karşılıklı kenarlar eşittir, zıt açılar eşittir ve tüm açıların toplamı 360 derecedir.

İhtiyacın olacak

• Geometri bilgisi.

Talimatlar

1. Paralelkenarın açılarından birinin verildiğini ve A'ya eşit olduğunu düşünelim. Geriye kalan 3'ün değerlerini bulalım. Paralelkenarın özelliğine göre karşılıklı açılar eşittir. Bu, verilen açının karşısındaki açının verilen açıya eşit olduğu ve değerinin A'ya eşit olduğu anlamına gelir.

2. Kalan iki köşeyi bulalım. Paralelkenarda tüm açıların toplamı 360 dereceye eşit olduğundan ve karşıt açılar birbirine eşit olduğundan verilen kenarla aynı tarafa ait açının (360 - 2A)/2'ye eşit olduğu ortaya çıkar. Peki ya reformdan sonra 180 - A elde ederiz. Yani bir paralelkenarda iki açı A'ya, diğer iki açı da 180 - A'ya eşittir.

Not!
Bir açının değeri 180 dereceyi aşamaz. Elde edilen açı değerleri kolaylıkla doğrulanabilir. Bunu yapmak için bunları toplayın ve toplam 360 ise her şey doğru hesaplanır.

Yararlı tavsiye
Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen bir paralelkenarın özel durumlarıdır; bu nedenle, açıların hesaplanmasına yönelik tüm özellikler ve yöntemler bunlar için geçerlidir.

Paralelkenar, karşıt kenarları paralel olan bir dörtgendir, yani. paralel çizgiler üzerinde uzanmak

Paralelkenarın özellikleri:
Teorem 22. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
Kanıt. ABCD paralelkenarında bir AC köşegeni çiziyoruz. ACD ve ACB üçgenleri, ortak bir AC kenarına ve iki eşit açı çiftine sahip olduklarından uyumludur. ona bitişik: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (AD ve BC paralel çizgileriyle çapraz açılar olarak). Bu, eşit üçgenlerin karşılık gelen kenarları olarak AB = CD ve BC = AD anlamına gelir. Bu üçgenlerin eşitliğinden üçgenlerin karşılık gelen açılarının da eşit olduğu sonucu çıkar:
Teorem 23. Paralelkenarın zıt açıları eşittir: ∠ A=∠ C ve ∠ B=∠ D.
İlk çiftin eşitliği ABD ve CBD üçgenlerinin, ikincisi ise ABC ve ACD üçgenlerinin eşitliğinden gelir.
Teorem 24. Bir paralelkenarın bitişik açıları, yani. bir tarafa bitişik açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.
Bunun nedeni iç açıların tek taraflı olmasıdır.
Teorem 25. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarında birbirini ortalar.
Kanıt. BOC ve AOD üçgenlerini düşünün. Birinci özelliğe göre AD=BC ∠ OAD=∠ OCB ve ∠ ODA=∠ OBC paralel AD ve BC doğruları için çapraz uzanır. Bu nedenle BOC ve AOD üçgenlerinin yan ve komşu açıları eşittir. Bu, eşit üçgenlerin karşılık gelen kenarları gibi BO=OD ve AO=OS anlamına gelir.

Paralelkenarın işaretleri
Teorem 26. Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse bu bir paralelkenardır.
Kanıt. ABCD dörtgeninin sırasıyla AD ve BC, AB ve CD kenarları eşit olsun (Şekil 2). AC köşegenini çizelim. ABC ve ACD üçgenlerinin üç tarafı eşittir. Bu durumda BAC ve DCA açıları eşittir ve bu nedenle AB, CD'ye paraleldir. BC ve AD kenarlarının paralelliği CAD ve ACB açılarının eşitliğinden kaynaklanır.
Teorem 27. Bir dörtgenin zıt açıları çiftler halinde eşitse bu bir paralelkenardır.
∠ A=∠ C ve ∠ B=∠ D olsun. Çünkü ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o ise ∠ A+∠ B=180 o ve AD ile BC kenarları paraleldir (düz çizgilerin paralelliğine göre). Ayrıca AB ve CD kenarlarının paralelliğini kanıtlayacağız ve ABCD'nin tanımı gereği bir paralelkenar olduğu sonucuna varacağız.
Teorem 28. Bir dörtgenin bitişik köşeleri varsa, yani. Bir tarafa bitişik açıların toplamı 180 dereceye ulaşır, bu bir paralelkenardır.
Eğer iç tek taraflı açıların toplamı 180 derece ise düz çizgiler paraleldir. Yani AB, CD'ye paraleldir ve BC, AD'ye paraleldir. Bir dörtgenin tanımı gereği bir paralelkenar olduğu ortaya çıkıyor.
Teorem 29. Bir dörtgenin köşegenleri kesişme noktasında birbirini ortalıyorsa bu dörtgen bir paralelkenardır.
Kanıt. Eğer AO = OC, BO = OD ise, AOD ve BOC üçgenleri eşittir, çünkü O köşesinde eşit (dikey) açılar vardır ve eşit kenar çiftleri arasında yer alır. Üçgenlerin eşitliğinden AD ve BC'nin eşit olduğu sonucunu çıkarıyoruz. AB ve CD kenarları da eşittir ve dörtgen, kriter 1'e göre bir paralelkenar olarak ortaya çıkar.
Teorem 30. Bir dörtgenin bir çift eşit, paralel kenarı varsa, bu bir paralelkenardır.
ABCD dörtgeninin AB ve CD kenarları paralel ve eşit olsun. AC ve BD köşegenlerini çizelim. Bu çizgilerin paralelliğinden ABO = CDO ve BAO = OCD çapraz açılarının eşit olduğu sonucu çıkar. ABO ve CDO üçgenlerinin yan ve komşu açıları eşittir. Bu nedenle AO=OS, VO=ОD, yani. Köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür ve dörtgen, kriter 4'e göre bir paralelkenar olarak ortaya çıkar.

Geometride paralelkenarın özel durumları dikkate alınır.