y f x fonksiyonunun ters türevi çağrılır. Fonksiyonun terstürevi. Antiderivatifin temel özelliği

27.09.2019

Türevin çok sayıda kullanımının olduğunu gördük: Türev, hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); türev eğim bir fonksiyonun grafiğine teğet; türevi kullanarak fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; türev optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ama içinde gerçek hayat Ters problemlerin de çözülmesi gerekiyor: örneğin, bilinen bir hareket yasasından hızı bulma probleminin yanı sıra, hareket yasasını bilinen bir hızdan geri getirme sorunuyla da karşılaşıyoruz. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder; t zamanındaki hızı u = tg formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.

Çözüm.İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = u"(t) olduğu bilinmektedir. Bu, sorunu çözmek için seçmeniz gereken anlamına gelir işlev s = s(t), türevi tg'ye eşittir. Bunu tahmin etmek zor değil

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu bulduk: herhangi bir fonksiyon keyfi bir sabit hareket kanunu görevi görebilir, çünkü

Görevi daha spesifik hale getirmek için başlangıçtaki durumu düzeltmemiz gerekiyordu: hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t=0'da. Diyelim ki s(0) = s 0 ise eşitlikten s(0) = 0 + C, yani S 0 = C elde ederiz. Şimdi hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır:
Matematikte karşılıklı ters işlemlere farklı isimler verilir ve özel gösterimler icat edilir: örneğin kare alma (x 2) ve çıkarma karekök sinüs(sinх) ve arksinüs(arcsin x), vb. Belirli bir fonksiyona göre türevi bulma sürecine farklılaşma ve ters işlem denir. Belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci - entegrasyon.
"Türev" terimi "gündelik yaşamda" haklı gösterilebilir: y - f(x) fonksiyonu yeni bir y"= f"(x) fonksiyonunu "doğurur". y = f(x) fonksiyonu şu şekilde davranır: bir "ebeveyn", ancak matematikçiler doğal olarak ona "ebeveyn" veya "üretici" demiyorlar; bunun y"=f"(x) fonksiyonuyla ilişkili olarak birincil görüntü olduğunu söylüyorlar veya kısacası terstürev.

Tanım 1. Eğer X'ten gelen tüm x'ler için F"(x)=f(x) eşitliği geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna belirli bir X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

İşte bazı örnekler:

1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur.
2) y - x 3 fonksiyonu, y-3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur.
3) y-sinх fonksiyonu, y = cosx fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (sinx)" = cosx eşitliği doğrudur.
4) Fonksiyon aralıktaki bir fonksiyonun ters türevidir çünkü tüm x > 0 için eşitlik doğrudur
Genel olarak türev bulma formüllerini bilerek, antitürev bulma formülleri tablosu derlemek zor değildir.

Bu tablonun nasıl derlendiğini anladığınızı umuyoruz: ikinci sütunda yazılan fonksiyonun türevi, ilk sütunun karşılık gelen satırında yazılan fonksiyona eşittir (kontrol edin, tembel olmayın, çok faydalıdır). Örneğin, y = x 5 fonksiyonunun antitürevi, sizin de belirleyeceğiniz gibi, fonksiyondur (tablonun dördüncü satırına bakınız).

Notlar: 1. Aşağıda, eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğu ve hepsinin y = biçiminde olduğu teoremini kanıtlayacağız. F(x) + C. Bu nedenle, C'nin keyfi bir gerçek sayı olduğu tablonun ikinci sütunundaki her yere C terimini eklemek daha doğru olacaktır.
2. Kısaltmak adına, bazen "y = F(x) fonksiyonu y = f(x) fonksiyonunun ters türevidir" ifadesi yerine F(x)'in f(x)'in ters türevi olduğu söylenir. .”

2. Terstürev bulma kuralları

Antitürevleri bulurken ve türevleri bulurken sadece formüller değil (bunlar 196. sayfadaki tabloda listelenmiştir) aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Bu formülasyonun biraz “hafifliğine” dikkatinizi çekiyoruz. Aslında teoremi formüle etmek gerekir: y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının X aralığında ters türevleri varsa, sırasıyla y-F(x) ve y-G(x), o zaman y fonksiyonlarının toplamı = f(x)+g(x)'in X aralığında bir ters türevi vardır ve bu ters türev y = F(x)+G(x) fonksiyonudur. Ancak genellikle kuralları (teoremleri değil) formüle ederken yalnızca anahtar kelimeler kalır - bu, kuralların pratikte uygulanması için daha uygundur

Örnek 2. y = 2x + cos x fonksiyonunun terstürevini bulun.

Çözüm. 2x'in ters türevi x'tir; cox'un ters türevi sin x'tir. Bu, y = 2x + cos x fonksiyonunun ters türevinin y = x 2 + sin x (ve genel olarak formdaki herhangi bir fonksiyon) olacağı anlamına gelir. Y = x 1 + sinx + C) .
Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Sabit faktör antiderivatifin işaretinden çıkarılabilir.

Örnek 3.

Çözüm. a) sin x'in ters türevi -soz x'tir; Bu, y = 5 sin x fonksiyonu için ters türev fonksiyonunun y = -5 cos x fonksiyonu olacağı anlamına gelir.

b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir
c) x 3'ün ters türevi x'in ters türevidir, y = 1 fonksiyonunun ters türevi ise y = x fonksiyonudur. Ters türevleri bulmanın birinci ve ikinci kurallarını kullanarak, y = 12x 3 + 8x-1 fonksiyonunun ters türevinin fonksiyon olduğunu buluruz.
Yorum. Bilindiği gibi bir çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir (bir çarpımın türevini alma kuralı daha karmaşıktır) ve bir bölümün türevi, türevlerin bölümüne eşit değildir. Bu nedenle çarpımın ters türevini veya iki fonksiyonun bölümünün ters türevini bulmanın hiçbir kuralı yoktur. Dikkat olmak!
Ters türevleri bulmak için başka bir kural elde edelim. y = f(kx+m) fonksiyonunun türevinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz:

Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.
Kural 3. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman y=f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi, fonksiyondur.

Aslında,

Bu, y = f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi olduğu anlamına gelir.
Üçüncü kuralın anlamı şu şekildedir. y = f(x) fonksiyonunun terstürevinin y = F(x) fonksiyonu olduğunu biliyorsanız ve y = f(kx+m) fonksiyonunun terstürevini bulmanız gerekiyorsa, o zaman şu şekilde ilerleyin: aynı F fonksiyonudur, ancak x argümanı yerine kx+m ifadesini kullanın; Ayrıca fonksiyon işaretinin önüne “düzeltme faktörü” yazmayı da unutmayın.
Örnek 4. Verilen fonksiyonlar için antiderivatifleri bulun:

Çözüm, a) sin x'in ters türevi -soz x'tir; Bu, y = sin2x fonksiyonu için ters türevin fonksiyon olacağı anlamına gelir
b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir

c) x 7'nin ters türevi, y = (4-5x) 7 fonksiyonu için ters türevin şu fonksiyon olacağı anlamına gelir:

3. Belirsiz integral

Belirli bir y = f(x) fonksiyonu için ters türev bulma probleminin birden fazla çözümü olduğunu yukarıda belirtmiştik. Bu konuyu daha detaylı tartışalım.

Kanıt. 1. y = F(x), X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi olsun. Bu, X'ten gelen tüm x'ler için x"(x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir. y = F(x)+C formundaki herhangi bir fonksiyonun türevini bulun:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Yani (F(x)+C) = f(x). Bu, y = F(x) + C'nin y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev olduğu anlamına gelir.
Böylece, eğer y = f(x) fonksiyonunun bir y=F(x) ters türevi varsa, o zaman (f = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğunu, örneğin y = formundaki herhangi bir fonksiyonun olduğunu kanıtlamış olduk. F(x) +C bir ters türevdir.
2. Şimdi belirtilen türdeki fonksiyonların tüm antiderivatif setini tükettiğini kanıtlayalım.

y=F 1 (x) ve y=F(x), X aralığında Y = f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun. Bu, X aralığındaki tüm x'ler için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğu anlamına gelir: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) fonksiyonunu ele alalım ve türevini bulalım: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Bir fonksiyonun X aralığındaki türevi aynı şekilde sıfıra eşitse, o zaman fonksiyonun X aralığında sabit olduğu bilinmektedir (bkz. § 35'teki Teorem 3). Bu, F 1 (x) - F (x) = C olduğu anlamına gelir, yani. Fx) = F(x)+C.

Teorem kanıtlandı.

Örnek 5. Hızın zamanla değişimi yasası verilmiştir: v = -5sin2t. Eğer t=0 anında noktanın koordinatının 1,5 sayısına eşit olduğu biliniyorsa (yani s(t) = 1,5) s = s(t) hareket yasasını bulun.

Çözüm. Hız, zamanın bir fonksiyonu olarak koordinatın bir türevi olduğundan, önce hızın ters türevini bulmamız gerekir; v = -5sin2t fonksiyonu için antiderivatif. Bu tür antiderivatiflerden biri fonksiyondur ve tüm antiderivatiflerin kümesi şu şekildedir:

C sabitinin spesifik değerini bulmak için s(0) = 1,5'e göre başlangıç koşullarını kullanırız. T=0, S = 1,5 değerlerini formül (1)'e koyarsak şunu elde ederiz:

C'nin bulunan değerini formül (1)'e koyarak bizi ilgilendiren hareket yasasını elde ederiz:

Tanım 2. Bir y = f(x) fonksiyonunun X aralığında bir ters türevi y = F(x) varsa, o zaman tüm ters türevler kümesi, yani; y = F(x) + C formundaki fonksiyonlar kümesine y = f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve şu şekilde gösterilir:

(okuyun: “x de x'ten belirsiz integral ef”).
Bir sonraki paragrafta bu tanımlamanın gizli anlamının ne olduğunu öğreneceğiz.
Bu bölümde bulunan antiderivatifler tablosuna dayanarak, ana belirsiz integrallerin bir tablosunu derleyeceğiz:

Ters türevleri bulmak için yukarıdaki üç kurala dayanarak, ilgili entegrasyon kurallarını formüle edebiliriz.

Kural 1. Fonksiyonların toplamının integrali toplamına eşit bu fonksiyonların integralleri:

Kural 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:

Kural 3. Eğer

Örnek 6. Belirsiz integralleri bulun:

Çözüm, a) Birinci ve ikinci integral alma kurallarını kullanarak şunu elde ederiz:

Şimdi 3. ve 4. integral formüllerini kullanalım:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

b) İntegralin üçüncü kuralını ve formül 8'i kullanarak şunu elde ederiz:

c) Belirli bir integrali doğrudan bulmak için elimizde ne karşılık gelen formül ne de karşılık gelen kural vardır. Bu gibi durumlarda, integral işareti altında yer alan ifadenin daha önce gerçekleştirilen özdeş dönüşümleri bazen yardımcı olabilir.

Haydi yararlanalım trigonometrik formül Derece azaltma:

Sonra sırayla buluyoruz:

A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik

Hedef:

Antiderivatif kavramının oluşumu.
İntegralin algılanmasına hazırlık.
Hesaplama becerilerinin oluşumu.
Güzellik duygusunu geliştirmek (alışılmadık olandaki güzelliği görme yeteneği).

Matematiksel analiz, diferansiyel ve integral hesap yöntemlerini kullanarak fonksiyonların ve genellemelerinin incelenmesine adanmış bir dizi matematik dalıdır.

Şu ana kadar diferansiyel hesap adı verilen matematiksel analizin bir dalını inceledik ve bunun özü "küçük" bir fonksiyonun incelenmesiydi.

Onlar. Her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarındaki bir fonksiyonun incelenmesi. Operasyonlardan biri farklılaşma - bulma türev (diferansiyel) ve fonksiyonların incelenmesine uygulanması.

Ters problem daha az önemli değildir. Bir fonksiyonun, tanımındaki her bir noktanın yakınındaki davranışı biliniyorsa, o zaman fonksiyon bir bütün olarak nasıl yeniden yapılandırılabilir? tanımının tüm kapsamı boyunca. Bu problem integral hesabı olarak adlandırılan çalışmanın konusudur.

Entegrasyon, farklılaşmanın ters etkisidir. Veya f(x) fonksiyonunu belirli bir f`(x) türevinden geri yüklemek. Latince “integro” kelimesi restorasyon anlamına gelir.

Örnek No.1.

(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulalım.

Çözüm:

Türev alma kuralına göre f(x) = x 3 olduğunu tahmin etmek zor değil çünkü (x 3)` = 3x 2
Ancak f(x)'in benzersiz bir şekilde bulunmadığını kolaylıkla fark edebilirsiniz.
f(x) olarak alabiliriz
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, vb.

Çünkü her birinin türevi 3x2'ye eşittir. (Bir sabitin türevi 0'dır). Tüm bu işlevler birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir. Bu nedenle problemin genel çözümü f(x) = x 3 + C şeklinde yazılabilir; burada C herhangi bir sabit reel sayıdır.

Bulunan f(x) fonksiyonlarından herhangi biri çağrılır PRİMODYUM F`(x)= 3x 2 fonksiyonu için

Tanım. Bir F(x) fonksiyonuna, belirli bir J aralığındaki bir f(x) fonksiyonu için ters türev denir, eğer bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x)= f(x) ise. Yani F(x)=x 3 fonksiyonu f(x)=3x 2'nin (- ∞ ; ∞) üzerinde ters türevidir.
Tüm x ~R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Daha önce fark ettiğimiz gibi, bu fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır (bkz. örnek No. 1).

Örnek No. 2. F(x)=x fonksiyonu (0; +) aralığındaki tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x'ler için eşitlik geçerlidir.
F'(x)= (x 1/2)'=1/2x -1/2 =1/2x

Örnek No. 3. F(x)=tg3x fonksiyonu f(x)=3/cos3x'in (-n/ aralığında) ters türevidir. 2; P/ 2),
Çünkü F'(x)=(tg3x)'= 3/cos 2 3x

Örnek No. 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 fonksiyonu f(x)=12cos4x-1/x 2'nin (0;∞) aralığında ters türevidir.
Çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Ders 2.

Konu: Terstürev. Bir antiderivatif fonksiyonun temel özelliği.

Antiderivatifi incelerken aşağıdaki ifadeye güveneceğiz. Bir fonksiyonun sabitliğinin işareti: Eğer J aralığında fonksiyonun türevi Ψ(x) 0'a eşitse, bu aralıkta Ψ(x) fonksiyonu sabittir.

Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.

Ψ`(x)=tgα, γde α'nın, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 noktasındaki teğetin eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tanα=0 δ olur. Bu, fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktasındaki teğetinin apsis eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta, Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C düz çizgi parçasıyla çakışır.

Yani, eğer bu aralıkta f`(x)=0 ise, f(x)=c fonksiyonu J aralığında sabittir.

Aslında, J aralığından keyfi bir x 1 ve x 2 için, bir fonksiyonun ortalama değerine ilişkin teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0 ise f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Antitürev fonksiyonunun ana özelliği)

Eğer F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, bu fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi şu biçimde olur: F(x) + C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt:

x Є J için F`(x) = f (x), sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) olsun.
J aralığında f(x)'in başka bir terstürevi olan Φ(x)'in var olduğunu varsayalım; Φ`(x) = f(x),
bu durumda (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla Φ(x) - F(x) = C.
Buradan itibaren Φ(x)= F(x)+C.
Bu, eğer F(x), J aralığında bir f(x) fonksiyonu için bir terstürev ise, bu fonksiyonun tüm terstürevleri kümesinin şu biçimde olduğu anlamına gelir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Sonuç olarak, belirli bir fonksiyonun herhangi iki antitürevi birbirinden sabit bir terimle farklılık gösterir.

Örnek: f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun. İlk üçünün grafiğini çizin.

Çözüm: Sin x, f(x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biridir
F(x) = Sin x+C – tüm antitürevlerin kümesi.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrik çizim: Herhangi bir ters türev F(x)+C'nin grafiği, paralel transfer r(0;c) kullanılarak ters türev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.

Örnek: f (x) = 2x fonksiyonu için grafiği t.M (1;4)'ten geçen bir ters türev bulun.

Çözüm: F(x)=x 2 +C – problemin koşullarına göre tüm antitürevlerin kümesi, F(1)=4.
Bu nedenle, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivatif fonksiyonları bulmanın üç temel kuralı vardır. Karşılık gelen farklılaşma kurallarına çok benzerler.

Kural 1

Eğer F, bir f fonksiyonu için bir ters türev ise ve G, bir g fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman F + G, f + g için bir ters türev olacaktır.

Bir terstürevin tanımı gereği, F' = f. G' = g. Ve bu koşullar karşılandığı için, fonksiyonların toplamının türevini hesaplama kuralına göre sahip olacağız:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Kural 2

Eğer F, bir f fonksiyonu için ters türev ise ve k bir sabittir. O halde k*F, k*f fonksiyonunun ters türevidir. Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır.

Elimizde: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Kural 3

Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi ise ve k ve b bazı sabitlerse ve k sıfıra eşit değilse, o zaman (1/k)*F*(k*x+b) şu şekilde olacaktır: f(k*x+b) fonksiyonunun antiderivatifi.

Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Bu kuralların nasıl uygulandığına dair birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. Bulmak genel görünüm f(x) = x^3 +1/x^2 fonksiyonunun ters türevleri. x^3 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri (x^4)/4 fonksiyonu olacaktır ve 1/x^2 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri -1/x fonksiyonu olacaktır. İlk kuralı kullanarak şunu elde ederiz:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Örnek 2. f(x) = 5*cos(x) fonksiyonunun ters türevlerinin genel formunu bulalım. cos(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri sin(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi ikinci kuralı kullanırsak:

F(x) = 5*sin(x).

Örnek 3. y = sin(3*x-2) fonksiyonunun ters türevlerinden birini bulun. sin(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanırsak ters türev için bir ifade elde ederiz:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Örnek 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 fonksiyonunun terstürevini bulun

1/x^5 fonksiyonunun terstürevi (-1/(4*x^4)) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanarak şunu elde ederiz.

Önceden, belirli bir işleve göre, yönlendirilen çeşitli formüller ve kurallar, türevini buldu. Türevin çok sayıda kullanımı vardır: hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); fonksiyonun grafiğine teğetin açısal katsayısı; türevi kullanarak fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ancak bilinen bir hareket kanununa göre hızı bulma probleminin yanı sıra, ters bir problem de vardır; hareket kanununu bilinen bir hıza göre geri getirme problemi. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder, t zamanındaki hareketinin hızı v=gt formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.
Çözüm. İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = v(t) olduğu bilinmektedir. Bu, problemi çözmek için türevi gt'ye eşit olan bir s = s(t) fonksiyonunu seçmeniz gerektiği anlamına gelir. Tahmin etmek zor değil. bu $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Cevap: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. $s(t) = \frac(gt^2)(2) $ elde ettik. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü vardır: C'nin keyfi bir sabit olduğu $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ biçimindeki herhangi bir fonksiyon, bir denklem yasası olarak hizmet edebilir. hareket, çünkü \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Sorunu daha spesifik hale getirmek için başlangıç durumunu düzeltmemiz gerekiyordu: hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t = 0'da. Diyelim ki s(0) = s 0 ise, o zaman eşitlik s(t) = (gt 2)/2 + C şunu elde ederiz: s(0) = 0 + C, yani C = s 0. Artık hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikte, karşılıklı ters işlemlere farklı isimler verilir, özel gösterimler icat edilir, örneğin: kare alma (x 2) ve karekök ($\sqrt(x)$), sinüs (sin x) ve arksinüs (arcsin x) vb. Belirli bir fonksiyonun türevini bulma sürecine denir farklılaşma ve ters işlem, yani belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci, entegrasyon.

"Türev" teriminin kendisi "gündelik terimlerle" haklı gösterilebilir: y = f(x) fonksiyonu yeni bir y" = f"(x) fonksiyonunu "doğurur". y = f(x) fonksiyonu bir “ana” görevi görür, ancak matematikçiler doğal olarak onu “ana” veya “üretici” olarak adlandırmazlar; y" = f"( fonksiyonuyla ilişkili olarak öyle olduğunu söylerler. x) , birincil görüntü veya ilkel.

Tanım. Eğer F"(x) = f(x) eşitliği $x \in X$ için geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

Örnekler verelim.
1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur
2) y = x 3 fonksiyonu y = 3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur
3) y = sin(x) fonksiyonu, y = cos(x) fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (sin(x))" = cos(x) eşitliği doğrudur

Türevlerin yanı sıra antiderivatifleri bulurken sadece formüller değil aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Eğer F(x), f(x)'in ters türevi ise, kF(x), kf(x)'in ters türevidir.

Teorem 1. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(kx + m) fonksiyonunun ters türevi $y=\frac(1)(k)F fonksiyonudur) (kx+m) $

Teorem 2. Eğer y = F(x), X aralığında y = f(x) fonksiyonunun bir ters türevi ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve bunların hepsi y = F(x) biçimindedir. + C.

Entegrasyon yöntemleri

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame yoluyla entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani ikame) getirilmesini içerir. Bu durumda verilen integral tablo halindeki veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yaygın yöntemler oyuncu değişikliği seçimi yoktur. Oyuncu değişikliğini doğru şekilde belirleme yeteneği uygulama yoluyla kazanılır.
İntegrali $\textstyle \int F(x)dx $ hesaplamak gerekli olsun. $x= \varphi(t) $ ikamesini yapalım; burada $\varphi(t) $ sürekli türevi olan bir fonksiyondur.
O halde $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ ve belirsiz integral için integral formülünün değişmezlik özelliğine dayanarak, yerine koyma yoluyla integral formülünü elde ederiz:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

$\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ biçimindeki ifadelerin entegrasyonu

Eğer m tek ise, m > 0 ise, sin x = t yerine koyma işlemi yapmak daha uygundur.
Eğer n tek ise, n > 0, o zaman yerine cos x = t koymak daha uygundur.
Eğer n ve m çift ise, o zaman tg x = t değişimini yapmak daha uygundur.

Parçalara göre entegrasyon

Parçalara göre entegrasyon - entegrasyon için aşağıdaki formülün uygulanması:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
veya:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (antitürevleri) tablosu

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Antiderivatif fonksiyon f(x) arada (bir;b) bu fonksiyon denir F(x) eşitliğin her şey için geçerli olduğu X belirli bir aralıktan.

Bir sabitin türevinin olduğu gerçeğini dikkate alırsak İLE sıfıra eşitse eşitlik doğrudur. Yani fonksiyon f(x) birçok ilkel var F(x)+C, keyfi bir sabit için İLE ve bu antitürevler birbirlerinden keyfi bir sabit değerle farklılık gösterir.

Belirsiz integralin tanımı.

Antiderivatif fonksiyonların tamamı f(x) bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve gösterilir .

İfade denir integrand, A f(x) – integral fonksiyonu. İntegral fonksiyonun diferansiyelini temsil eder f(x).

Diferansiyeli verilen bilinmeyen bir fonksiyonu bulma eylemine ne ad verilir? belirsiz entegrasyon, çünkü entegrasyonun sonucu birden fazla fonksiyondur F(x) ve onun ilkelleri kümesi F(x)+C.

Belirsiz integralin geometrik anlamı. Antiderivatif D(x)'in grafiğine integral eğrisi denir. X0y koordinat sisteminde, belirli bir fonksiyonun tüm anti türevlerinin grafikleri, C sabitinin değerine bağlı olan ve 0y ekseni boyunca paralel bir kayma ile birbirlerinden elde edilen bir eğri ailesini temsil eder. Yukarıda tartışılan örnek için elimizde:

J 2 x^x = x2 + C.

Antiderivatif ailesi (x + C), bir dizi parabol ile geometrik olarak yorumlanır.

Bir antiderivatif ailesinden bir tane bulmanız gerekiyorsa, C sabitini belirlemenize izin veren ek koşullar ayarlanır. Genellikle bu amaç için başlangıç \u200b\u200bkoşulları ayarlanır: x = x0 argümanı olduğunda, fonksiyon D değerine sahiptir. (x0) = y0.

Örnek. x0 = 1 noktasında 3 değerini alan y = 2 x fonksiyonunun ters türevlerinden birinin bulunması gerekmektedir.

Gerekli antiderivatif: D(x) = x2 + 2.

Çözüm. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; Ç = 2.

2. Belirsiz integralin temel özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi, integral fonksiyonuna eşittir:

2. Belirsiz integralin diferansiyeli, integral ifadesine eşittir:

3. Belirli bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun kendisinin ve keyfi bir sabitin toplamına eşittir:

4. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:

5. Toplamın (farkın) integrali, integrallerin toplamına (farkına) eşittir:

6. Özellik, 4 ve 5 numaralı özelliklerin birleşimidir:

7. Belirsiz integralin değişmezlik özelliği:

Eğer , O

8. Mülkiyet:

Eğer , O

Aslında bu özellik, bir sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak tartışılacak olan, değişken değiştirme yöntemini kullanan integrasyonun özel bir durumudur.

Bir örneğe bakalım:

3. Entegrasyon yöntemi Belirli bir integralin, integralin (veya ifadenin) özdeş dönüşümleri ve belirsiz integralin özelliklerinin uygulanması yoluyla bir veya daha fazla tablo integraline indirgenmesine denir. doğrudan entegrasyon. Bu integrali tablo şeklinde bir integrale indirirken, genellikle aşağıdaki diferansiyel dönüşümler kullanılır (işlem " diferansiyel işaretine abone olmak»):

Kesinlikle, f’(u)du = d(f(u)). Bu (formül integrallerin hesaplanmasında çok sık kullanılır.

İntegrali bulun

Çözüm.İntegralin özelliklerini kullanalım ve bu integrali birkaç tablo halinde indirgeyelim.

4. İkame yöntemiyle entegrasyon.

Yöntemin özü, yeni bir değişken tanıtmamız, integrali bu değişken aracılığıyla ifade etmemiz ve sonuç olarak integralin tablo (veya daha basit) biçimine ulaşmamızdır.

Çoğu zaman, trigonometrik fonksiyonları ve fonksiyonları radikallerle entegre ederken ikame yöntemi kurtarmaya gelir.

Örnek.

Belirsiz integrali bulun .