Yıldız haberleri
Kosinüs 2 x formülü. Temel trigonometrik kimlikler
En basit çözüm trigonometrik denklemler.
Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir. Ve bu konuda trigonometrik daire yine en iyi yardımcı olarak ortaya çıkıyor.
Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayalım.
Bir açının kosinüsü, birim çember üzerindeki bir noktanın apsisine (yani eksen boyunca koordinatına) karşılık gelen bir dönüşe karşılık gelir. verilen açı.
Bir açının sinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinattır).
Trigonometrik daire üzerindeki hareketin pozitif yönü saat yönünün tersidir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, koordinatları (1;0) olan bir noktaya karşılık gelir
Bu tanımları basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.
1. Denklemi çözün
Bu denklem, koordinatı eşit olan daire üzerindeki noktalara karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri tarafından karşılanır.
Ordinat ekseninde ordinatı olan bir noktayı işaretleyelim:
Daireyle kesişene kadar x eksenine paralel yatay bir çizgi çizin. Çember üzerinde uzanan ve ordinatı olan iki nokta elde ediyoruz. Bu noktalar, cinsinden dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir:
Radyan başına dönme açısına karşılık gelen noktadan ayrılırsak, tam bir daire etrafında dönersek, o zaman radyan başına dönme açısına karşılık gelen ve aynı koordinata sahip bir noktaya varırız. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi karşılayacaktır. “Boşta” devirlerin sayısı (veya) harfiyle belirtilecektir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya) her türlü tamsayı değerini alabiliriz.
Yani, orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:
, , - tam sayılar kümesi (1)
Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:
, Nerede , . (2)
Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çözüm serisi dairenin üzerindeki dönme açısına karşılık gelen noktaya dayanmaktadır.
Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:
Bu girişi (yani eşit) alırsak, ilk çözüm serisini elde ederiz.
Bu girişi (yani tek) alırsak, ikinci çözüm serisini elde ederiz.
2. Şimdi denklemi çözelim
Bu, birim çember üzerindeki bir noktanın bir açıyla döndürülerek elde edilen apsisi olduğundan, eksen üzerinde apsis bulunan noktayı işaretleriz:
Daireyle kesişene kadar eksene paralel dikey bir çizgi çizin. Çemberin üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:
İki dizi çözümü yazalım:
,
,
(Ana tam daireden yani yani daireden giderek istenilen noktaya ulaşıyoruz.
Bu iki seriyi tek bir girdide birleştirelim:
3. Denklemi çözün
Teğet doğru birim çemberin OY eksenine paralel (1,0) koordinatlı noktadan geçer
Üzerinde ordinatı 1'e eşit olan bir nokta işaretleyelim (açıları 1'e eşit olan teğetini arıyoruz):
Bu noktayı bir doğru ile koordinatların orijinine bağlayalım ve doğrunun birim çember ile kesişme noktalarını işaretleyelim. Düz çizgi ile dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönme açılarına karşılık gelir:
Denklemimizi sağlayan dönme açılarına karşılık gelen noktalar birbirinden radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:
4. Denklemi çözün
Kotanjant çizgisi birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.
Kotanjantlar doğrusu üzerinde apsis -1 olan bir noktayı işaretleyelim:
Bu noktayı doğrunun başlangıç noktasına bağlayalım ve çemberle kesişene kadar devam edelim. Bu düz çizgi, daireyi dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelen noktalarda kesecektir:
Bu noktalar birbirinden eşit mesafe ile ayrıldığından bu denklemin genel çözümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz:
En basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren verilen örneklerde tablo değerleri kullanılmıştır. trigonometrik fonksiyonlar.
Bununla birlikte, denklemin sağ tarafı tablo dışı bir değer içeriyorsa, bu değeri denklemin genel çözümüne koyarız:
ÖZEL ÇÖZÜMLER:
Ordinatı 0 olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
Ordinatı 1 olan çember üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:
Çember üzerinde koordinatı -1 olan tek bir noktayı işaretleyelim:
Sıfıra en yakın değerleri belirtmek alışılmış olduğundan çözümü şu şekilde yazıyoruz:
Apsisi 0’a eşit olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
5.
Apsisi 1’e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Apsisi -1 olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Ve biraz daha karmaşık örnekler:
1.
Argüman eşitse sinüs bire eşittir
Sinüsümüzün argümanı eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:
Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölelim:
Cevap:
2.
Kosinüs argümanı ise kosinüs sıfırdır
Kosinüsümüzün argümanı eşittir ve şunu elde ederiz:
İfade edelim, bunun için önce ters işaretle sağa doğru hareket edelim:
Sağ tarafı sadeleştirelim:
Her iki tarafı da -2'ye bölün:
K herhangi bir tamsayı değeri alabildiğinden, terimin önündeki işaretin değişmediğine dikkat edin.
Cevap:
Ve son olarak “Trigonometrik daire kullanarak trigonometrik bir denklemde köklerin seçilmesi” video dersini izleyin.
Böylece basit trigonometrik denklemlerin çözümü hakkındaki konuşmamız sona eriyor. Bir dahaki sefere nasıl karar vereceğimizi konuşacağız.
Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.
Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.
Sayfada gezinme.
Temel trigonometrik kimlikler
Temel trigonometrik özdeşlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.
Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.
Azaltma formülleri
Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.
Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.
Toplama formülleri
Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.
İkili, üçlü vb. formüller. açı
İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.
Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı
Yarım açı formülleri
Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.
Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.
Derece azaltma formülleri
Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller geçişi kolaylaştırmayı amaçlamaktadır. doğal dereceler trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüslere birinci dereceye kadar, ancak çoklu açılara. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller
Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.
Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller
Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.
Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir
Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.sitenin hiçbir kısmı dahil iç malzemeler Ve dış tasarım telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz ve kullanılamaz.
Sinüs (), kosinüs (), tanjant (), kotanjant () kavramları, açı kavramıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bunları ilk bakışta iyi anlayabilmek için karmaşık kavramlar(birçok okul çocuğunda korku durumuna neden olan) ve “şeytanın resmedildiği kadar korkutucu olmadığından” emin olmak için en baştan başlayalım ve açı kavramını anlayalım.
Açı kavramı: radyan, derece
Şimdi resme bakalım. Vektör noktaya göre belirli bir miktarda “dönmüştür”. Yani bu dönmenin başlangıç konumuna göre ölçüsü şu şekilde olacaktır: köşe.
Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka ne var? Tabii ki açı birimleri!
Açı, hem geometride hem de trigonometride derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.
(Bir derece) açıya denir merkez açı bir daire içinde, dairenin bir kısmına eşit bir dairesel yay temel alınarak. Böylece, dairenin tamamı dairesel yayların "parçalarından" oluşur veya dairenin tarif ettiği açı eşittir.
Yani yukarıdaki şekil şuna eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, çevre büyüklüğünde bir dairesel yayın üzerinde durmaktadır.
Radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir daire yayının çevrelediği bir dairedeki merkez açıdır. Peki anladın mı? Değilse, çizimden çözelim.
Yani, şekil bir radyana eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan (uzunluk uzunluğa eşittir veya yarıçap eşittir) dairesel bir yay üzerinde durmaktadır. yayın uzunluğu). Böylece yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
Radyan cinsinden merkez açı nerede?
Peki bunu bildiğinize göre, dairenin tarif ettiği açının kaç radyan içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet bunun için çevre formülünü hatırlamanız gerekiyor. İşte burada:
Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve dairenin tarif ettiği açının eşit olduğunu bulalım. Yani değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek bunu elde ederiz. Sırasıyla, . Gördüğünüz gibi, "derece"den farklı olarak "radyan" kelimesi atlanmıştır, çünkü ölçü birimi genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır.
Kaç radyan var? Bu doğru!
Anladım? Sonra devam edin ve düzeltin:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? Sonra bak Yanıtlar:
Sağ üçgen: sinüs, kosinüs, tanjant, açının kotanjantı
Böylece açı kavramını anladık. Peki bir açının sinüsü, kosinüsü, teğeti ve kotanjantı nedir? Hadi çözelim. Bunu yapmak için dik üçgen bize yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs karşıdaki kenardır dik açı(örneğimizde bu taraftır); bacaklar kalan iki taraftır ve (dik açıya bitişik olanlar) ve bacakları açıya göre düşünürsek, o zaman bacak bitişik bacaktır ve bacak bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?
Açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının tanjantı- bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.
Bizim üçgenimizde.
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;
Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:
Örneğin bir açının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği bir üçgenden: , ancak bir açının kosinüsünü bir üçgenden hesaplayabiliriz: . Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgen için şunu buluyoruz.
Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: aynısını açı için hesaplayın.
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.
Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Dairenin yarıçapı bire eşittir, dairenin merkezi koordinatların başlangıç noktasında yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç konumu eksenin pozitif yönü boyunca sabittir (örneğimizde bu yarıçaptır).
Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: eksen koordinatı ve eksen koordinatı. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğundan dikdörtgendir.
Üçgen neye eşittir? Bu doğru. Ayrıca bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu da biliyoruz, yani . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:
Üçgen neye eşittir? Tabii ki! Yarıçap değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki bir çembere ait bir noktanın hangi koordinatlara sahip olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya bunun farkına varırsanız ve sadece rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık geliyor? Tabii ki koordinatlar! Peki hangi koordinata karşılık geliyor? Doğru, koordinatlar! Böylece dönem.
O halde ve eşittir nedir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.
Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün: açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri nelerdir? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:
Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar ve saat yönünde döndürüldüğünde - olumsuz.
Yani yarıçap vektörünün bir daire etrafındaki tam devriminin veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü şuna veya şuna döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! Dolayısıyla ilk durumda yarıçap vektörü bir tam tur yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Böylece, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) farklı olan açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye vs. karşılık gelir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu açılar genel formülle veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) yazılabilir.
Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: açısı koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini buluyoruz. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve açılarının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalıdır:
Korkmayın, şimdi size bir örnek göstereceğiz karşılık gelen değerleri hatırlamak oldukça basit:
Bu yöntemi kullanmak için, açının tanjantının yanı sıra, üç açı ölçüsünün () tümü için sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek tüm tabloyu geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. " " payı eşleşecek ve " " paydası eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodaki tüm değerleri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir noktayı (koordinatlarını) bulmak mümkün mü? Çemberin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım Genel formül bir noktanın koordinatlarını bulmak için.
Örneğin önümüzde bir daire var:
Bize bu noktanın çemberin merkezi olduğu söylendi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktanın derece derece döndürülmesiyle elde edilen bir noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
Sonra nokta koordinatı için elimizde bu var.
Aynı mantığı kullanarak noktanın y koordinat değerini buluyoruz. Böylece,
Yani, içinde Genel görünüm Noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Çemberin merkezinin koordinatları,
Daire yarıçapı,
Vektör yarıçapının dönme açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki çember üzerindeki noktaları bulma alıştırması yaparak bu formülleri deneyelim mi?
1. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
2. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
3. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.
4. Nokta dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
5. Nokta çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (ya da çözmede ustalaşın) ve onları bulmayı öğreneceksiniz!
1.
Bunu fark edebilirsiniz. Ancak başlangıç noktasının tam bir devrimine neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta, dönüşteki ile aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:
2. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Bunu fark edebilirsiniz. Başlangıç noktasının iki tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta, dönüşteki ile aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:
Sinüs ve kosinüs tablo değerleridir. Anlamlarını hatırlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
3. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:
Bunu fark edebilirsiniz. Söz konusu örneği şekilde tasvir edelim:
Yarıçap eksene eşit ve eksenle açı yapar. Kosinüs ve sinüsün tablo değerlerinin eşit olduğunu bilerek ve buradaki kosinüsün alınacağını belirledikten sonra olumsuz anlam ve sinüs pozitiftir, elimizde:
Bu tür örnekler, konuyla ilgili trigonometrik fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller incelenirken daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
4.
Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre)
Karşılık gelen sinüs ve kosinüs işaretlerini belirlemek için bir birim daire ve açı oluştururuz:
Gördüğünüz gibi değer pozitif, yani değer negatiftir. İlgili trigonometrik fonksiyonların tablo değerlerini bilerek şunu elde ederiz:
Elde edilen değerleri formülümüzde yerine koyalım ve koordinatları bulalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
5. Bu sorunu çözmek için genel formdaki formülleri kullanırız;
Çemberin merkezinin koordinatları (örneğimizde,
Daire yarıçapı (koşula göre)
Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre).
Tüm değerleri formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:
ve - tablo değerleri. Bunları hatırlayalım ve formülde yerine koyalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.
ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) tarafın karşı (uzak) tarafa oranıdır.
Basit kavramları anlayalım: sinüs ve kosinüs ve hesaplama kosinüs kare ve sinüs kare.
Sinüs ve kosinüs trigonometride (dik açılı üçgenlerin incelenmesi) incelenir.
Bu nedenle öncelikle dik üçgenin temel kavramlarını hatırlayalım:
Hipotenüs- her zaman dik açının (90 derecelik açı) karşısında bulunan taraf. Hipotenüs dik açılı bir üçgenin en uzun kenarıdır.
Geriye kalan iki taraf dik üçgen arandı bacaklar.
Ayrıca bir üçgendeki üç açının toplamının her zaman 180° olduğunu da unutmamalısınız.
Şimdi devam edelim alfa açısının kosinüsü ve sinüsü (∠α)(buna bir üçgendeki herhangi bir dolaylı açı denilebilir veya bir atama olarak kullanılabilir x - "x", bu özü değiştirmez).
Alfa açısının sinüsü (sin ∠α)- bu bir tutum zıt bacak (karşılık gelen açının karşısındaki taraf) hipotenüse. Şekle bakarsanız, günah ∠ABC = AC / BC
Alfa açısının kosinüsü (cos ∠α)- davranış bitişik bacağın hipotenüse olan açısına. Yukarıdaki şekle tekrar baktığımızda, çünkü ∠ABC = AB / BC
Ve bir hatırlatma olarak: kosinüs ve sinüs asla birden büyük olmayacaktır, çünkü herhangi bir yuvarlanma hipotenüsten daha kısadır (ve hipotenüs herhangi bir üçgenin en uzun kenarıdır, çünkü en uzun kenar üçgendeki en büyük açının karşısında yer alır) .
Kosinüs kare, sinüs kare
Şimdi ana olanlara geçelim trigonometrik formüller: Kosinüs kare ve sinüs kareyi hesaplayın.
Bunları hesaplamak için temel trigonometrik özdeşliği hatırlamanız gerekir:
günah 2 α + çünkü 2 α = 1(bir açının sinüs karesi artı kosinüs karesi her zaman bire eşittir).
Trigonometrik özdeşlikten sinüsle ilgili sonuçlar çıkarıyoruz:
günah 2 α = 1 - çünkü 2 α
sinüs kare alfa eşittir bir eksi çift açılı alfanın kosinüsü ve tüm bunları ikiye bölün.
günah 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Trigonometrik özdeşlikten kosinüs hakkında şu sonuçlara varıyoruz:
çünkü 2 α = 1 - günah 2 α
veya formülün daha karmaşık bir versiyonu: kosinüs kare alfa bir artı çift açılı alfanın kosinüsüne eşittir ve ayrıca her şeyi ikiye böler.
çünkü 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Bu ikisi daha fazla karmaşık formüller sinüs kare ve kosinüs kareye "trigonometrik fonksiyonların karelerinin derecesinin azaltılması" da denir. Onlar. ikinci derece vardı, birinciye indirdiler ve hesaplamalar daha kolay hale geldi.
