Dikdörtgen bölüm. Direnç momentinin belirlenmesi Elastik direnç momenti

Hesaplama, çekme deneylerinden elde edilen bir bağımlılık olan gerilim-gerinim eğrisine (Şekil 28) dayanmaktadır. Yapısal çelikler için bu bağımlılık, sıkıştırma sırasında da aynı forma sahiptir.

Hesaplamalar için, Şekil 2'de gösterilen şematik deformasyon diyagramı genellikle kullanılır. 29. Birinci düz çizgi elastik deformasyonlara karşılık gelir; ikinci düz çizgi ise bunlara karşılık gelen noktalardan geçer.

Pirinç. 28. Deformasyon diyagramı

akma mukavemeti ve çekme mukavemeti. Eğim açısı a açısından önemli ölçüde küçüktür ve hesaplama amacıyla ikinci düz çizgi bazen Şekil 2'de gösterildiği gibi yatay bir çizgiyle temsil edilir. 30 (sertleşme olmadan gerinim eğrisi).

Son olarak, eğer önemli plastik deformasyonlar dikkate alınırsa, o zaman eğrilerin elastik deformasyona karşılık gelen bölümleri pratik hesaplamalarda ihmal edilebilir. Daha sonra şematize edilmiş gerinim eğrileri, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 31

Elastoplastik deformasyonlar sırasında bükülme gerilmelerinin dağılımı. Sorunu basitleştirmek için dikdörtgen kesitli bir çubuk düşünün ve deformasyon eğrisinde sertleşme olmadığını varsayalım (bkz. Şekil 30).

Pirinç. 29. Şematik gerinim eğrisi

Pirinç. 30. Sertleşme olmadan gerilim-gerinim eğrisi

Bükülme momenti, bükülme geriliminin en yüksek olduğu durumdaysa (Şekil 32), bu durumda çubuk, elastik deformasyon bölgesinde çalışır.

Eğilme momentinin daha da artmasıyla çubuğun en dıştaki liflerinde plastik deformasyonlar meydana gelir. izin ver verilen değer plastik deformasyonlar itibaren alanı kaplar. Bu bölgede . Gerilimler doğrusal olarak değiştiğinde

Denge koşulundan iç kuvvetlerin momenti

Pirinç. 31. Büyük plastik deformasyonlar için gerilim-gerinim eğrisi

Pirinç. 32. (taramaya bakın) Elastoplastik aşamada dikdörtgen kesitli bir çubuğun bükülmesi

Malzeme herhangi bir gerilme altında elastik kalıyorsa, o zaman en büyük gerilme

malzemenin akma dayanımını aşacaktır.

Malzemenin ideal elastikiyetindeki gerilmeler Şekil 2'de gösterilmektedir. 32. Plastik deformasyon dikkate alındığında, ideal için akma dayanımını aşan gerilmeler elastik gövde, azalıyor. Gerçek bir malzeme ve ideal elastik bir malzeme için gerilim dağılım diyagramları birbirinden farklıysa (aynı yükler altında), bu durumda dış yükün kaldırılmasından sonra gövdede artık gerilimler ortaya çıkar; bunun diyagramı diyagramlar arasındaki farktır. bahsedilen stresler. En büyük gerilimin olduğu yerlerde, artık gerilimler çalışma koşullarındaki gerilimlerin tersi yönündedir.

Nihai plastik an. Formül (51)'den şu sonuç çıkar:

yani çubuğun tüm kesiti plastik deformasyon bölgesindedir.

Kesitin tüm noktalarında plastik deformasyonların meydana geldiği eğilme momentine plastik sınırlama momenti denir. Bu durumda kesit üzerindeki eğilme gerilmelerinin dağılımı Şekil 2'de gösterilmektedir. 33.

Sıkıştırma alanında gerginlik alanında. Denge koşulundan itibaren nötr çizgi, kesiti iki eşit (alansal) parçaya böler.

Dikdörtgen kesit için sınırlayıcı plastik moment

Pirinç. 33. Plastik momentin sınırlandırılması etkisi altında gerilme dağılımı

Plastik deformasyonun yalnızca en dıştaki liflerde meydana geldiği bükülme momenti,

Dikdörtgen bir kesit için plastik direnç momentinin olağan (elastik) direnç momentine oranı

En büyük sertlik düzleminde büküldüğünde bir I kesiti için bu oran, ince duvarlı boru şeklinde olan için -1,3'tür; katı yuvarlak kesit için 1.7.

Genel durumda kesitin simetri düzlemindeki bükülme değeri şu şekilde belirlenebilir (Şekil 34); bölümü bir çizgiyle iki eşit boyutlu (alanda) parçaya bölün. Bu parçaların ağırlık merkezleri arasındaki mesafe o zaman belirtilirse

kesit alanı nerede; - bölümün herhangi bir yarısının ağırlık merkezinden tüm bölümün ağırlık merkezine olan mesafe (O noktası, noktalardan eşit uzaklıkta bulunur)

Eksantrik gerilim (sıkıştırma), kirişin eksenine paralel ancak onunla çakışmayan bir kuvvetten kaynaklanır. Eksantrik gerilim (sıkıştırma), kuvvet aktarılırsa eksenel gerilime (sıkıştırma) ve eğik bükülmeye indirgenebilir P bölümün ağırlık merkezine. Bir kirişin rastgele bir kesitindeki iç kuvvet faktörleri şuna eşittir:

Nerede y p, zp- kuvvetin uygulama noktasının koordinatları. Eksantrik gerilim (sıkıştırma) sırasında kesit noktalarındaki gerilim kuvvetlerinin etkisinin bağımsızlığı ilkesine dayanarak, bunlar aşağıdaki formülle belirlenir: veya

Bölümün atalet yarıçapları nerede. Denklemde parantez içindeki ifade, eksantrik çekme (basınç) sırasındaki gerilmelerin merkezi çekme gerilmelerinden kaç kat daha büyük olduğunu gösterir.

Çarpma anında gerilim ve gerinimlerin belirlenmesi

Bir yapının darbeye göre hesaplanmasının amacı, darbeden kaynaklanan en büyük deformasyonları ve gerilmeleri belirlemektir.

Malzemelerin mukavemeti dersinde, darbe sırasında sistemde ortaya çıkan gerilmelerin, malzemenin elastiklik ve orantı sınırlarını aşmadığı varsayılır ve bu nedenle darbe incelenirken Hooke yasasından yararlanılabilir. F x = F kontrol = –kx. Bu ilişki deneysel olarak ifade edilir yerleşik yasa Hooke. K katsayısına cismin sertliği denir. SI sisteminde sertlik metre başına Newton (N/m) cinsinden ölçülür. Sertlik katsayısı, gövdenin şekline ve boyutuna ve ayrıca malzemeye bağlıdır. davranış σ = F / S = –Fkontrol / S S'nin deforme olmuş gövdenin kesit alanı olduğu stres denir. O zaman Hooke yasası şu şekilde formüle edilebilir: bağıl deformasyon ε gerilimle orantılıdır

Malzemelerin mukavemeti dersinde tartışılan yaklaşık darbe teorisi, sistemin darbe üzerine P yükünden (herhangi bir zamanda) yer değiştirme diyagramının aynı durumdan kaynaklanan yer değiştirme diyagramına benzer olduğu hipotezine dayanmaktadır. yük, ancak statik olarak hareket ediyor.

Ah, aynı sıcaklıkta fakat farklı gerilimlerde yapılan deneylerde çizilen tipik sünme eğrileri; ikincisi – aynı voltajlarda, ancak farklı sıcaklıklarda.

Plastik direnç anı

- plastik direnç momenti, toplamına eşit Bölümün üst ve alt kısımlarının statik momentleri ve farklı bölümler için Farklı anlamlar. olağan direnç anından biraz daha fazla; yani dikdörtgen kesit için = 1,5 haddelenmiş I-kirişler ve kanallar için

Pratik sünme hesaplamaları

Sünme için bir yapı hesaplamanın özü, parçaların deformasyonunun, yapısal fonksiyonun bozulacağı izin verilen seviyeyi aşmamasıdır; düğümlerin yapının tüm ömrü boyunca etkileşimi. Bu durumda koşulun sağlanması gerekir

Hangisini çözdükten sonra çalışma voltajı seviyesini elde ederiz.

Çubuk kesitlerinin seçimi

Çubuklarda bölüm seçme problemlerini çözerken çoğu durumda aşağıdaki plan kullanılır: 1) Çubuklardaki boyuna kuvvetler aracılığıyla tasarım yükünü belirleriz. 2) Daha sonra güç durumunu kullanarak GOST'a uygun bölümleri seçiyoruz. 3) Daha sonra mutlak ve bağıl deformasyonları belirliyoruz.

Sıkıştırılmış çubuklarda düşük kuvvetlerde kesit seçimi, belirtilen maksimum esneklik λ ex'e göre yapılır. İlk olarak gerekli dönme yarıçapı belirlenir: ve karşılık gelen köşeler eylemsizlik yarıçapına göre seçilir. Gerekli kesit boyutlarını belirlemeyi kolaylaştırmak, ana hatları çizmenize olanak sağlamak gerekli boyutlar köşeler, köşelerden eleman bölümlerinin ataletinin “Yaklaşık yarıçap değerleri” tablosunda, köşelerden elemanların çeşitli bölümleri için yaklaşık atalet yarıçapı değerleri verilmiştir.

Malzemelerin sürünmesi

Malzemelerin sürünmesi, sabit bir yükün veya mekanik stresin etkisi altında bir katının yavaş ve sürekli plastik deformasyonudur. Herkes bir dereceye kadar sürünmeye karşı hassastır. katılar hem kristal hem de amorf. Sürünme, çekme, basma, burulma ve diğer yükleme türleri altında gözlenir. Sürünme, gerinimin zamana bağımlılığını temsil eden sözde sürünme eğrisi ile tanımlanır. Sabit sıcaklık ve uygulanan yük. Her bir zaman birimindeki toplam deformasyon deformasyonların toplamıdır

ε = ε e + ε p + ε c,

burada ε e elastik bileşendir; ε р - yük 0'dan P'ye yükseldiğinde ortaya çıkan plastik bileşen; ε с - σ = const'ta zamanla meydana gelen sürünme deformasyonu.

Elastik aşamada bükülme gerilimi kesitte doğrusal bir yasaya göre dağıtılır. Simetrik bir bölüm için en dıştaki liflerdeki gerilimler aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede M - bükülme momenti;

W- kesitsel direnç momenti.

Artan yük (veya bükülme momenti) ile M) Gerilmeler artacak ve akma dayanımı değeri Ryn'e ulaşacaktır.

Enine kesitin yalnızca en dıştaki liflerinin akma noktasına ulaşması ve bunlara bağlı daha az gerilimli liflerin hala çalışabilmesi nedeniyle, elemanın yük taşıma kapasitesi tükenmez. Eğilme momentinin daha da artmasıyla enine kesitli lifler uzar ancak gerilimler R yn'den daha büyük olamaz. . Limit diyagramı, kesitin tarafsız eksene olan üst kısmının R yn gerilimi tarafından eşit şekilde sıkıştırıldığı bir diyagram olacaktır. . Yük taşıma kapasitesi eleman tükenmiştir ve yükü arttırmadan nötr bir eksen etrafında dönebilir; oluşturulmuş plastisite menteşesi.

Plastik mafsal bölgesinde deformasyonda büyük bir artış meydana gelir; kiriş bir kırılma açısı alır ancak çökmez. Tipik olarak kiriş ya genel stabilitesini ya da bireysel parçalarının yerel stabilitesini kaybeder. Plastisite menteşesine karşılık gelen sınırlama momenti

burada Wpl = 2S – plastik direnç momenti

S - ağırlık merkezinden geçen eksene göre kesitin yarısının statik momenti.

Direncin plastik momenti ve dolayısıyla plastiklik mafsalına karşılık gelen sınırlayıcı moment, elastik olandan daha büyüktür. Standartlar, stabilite kaybına karşı emniyete alınan ve statik yük taşıyan bölünmüş haddelenmiş kirişler için plastik deformasyonların gelişiminin dikkate alınmasına izin verir. Plastik direnç momentlerinin değerleri şu şekilde alınır: haddelenmiş I-kirişler ve kanallar için:

W pl =1,12W – duvar düzleminde büküldüğünde

Wpl = 1,2W – raflara paralel büküldüğünde.

Dikdörtgen kesitli kirişler için Wpl = 1,5 W.

Tasarım standartlarına göre, sıkıştırılmış kirişin çıkıntısının genişliğinin kayışın kalınlığına ve duvarın yüksekliğinin genişliğine oranında sabit kesitli kaynaklı kirişler için plastik deformasyonların gelişimi dikkate alınabilir. kalınlık.

Eğilme momentlerinin en yüksek olduğu yerlerde, en yüksek teğetsel gerilimler kabul edilemez; şu koşulu karşılamaları gerekir:

Eğer bölge saf bükme Var büyük uzunluk aşırı deformasyonları önlemek için karşılık gelen direnç momenti 0,5(W yn +W pl)'ye eşit alınır.

Sürekli kirişlerde plastik mafsalların oluşması sınır durum olarak alınır ancak sistemin değişmezliğini koruması şartıyla. Standartlar, sürekli kirişleri (haddelenmiş ve kaynaklı) hesaplarken, destek ve açıklık momentlerinin hizalanmasına dayalı olarak tasarım bükülme momentlerinin belirlenmesine izin verir (bitişik açıklıkların %20'den fazla farklılık göstermemesi şartıyla).

Tasarım momentlerinin plastik deformasyonların gelişimi (momentlerin eşitlenmesi) varsayımıyla alındığı tüm durumlarda, aşağıdaki formüle göre elastik direnç momenti kullanılarak mukavemet kontrol edilmelidir:

Kirişleri hesaplarken alüminyum alaşımları plastik deformasyonların gelişimi dikkate alınmaz. Plastik deformasyonlar kirişin yalnızca en büyük bükülme momentinin olduğu en gerilimli kısmına nüfuz etmekle kalmaz, aynı zamanda kirişin uzunluğu boyunca da yayılır. Genellikle bükme elemanlarında normal stres bükülme momentinden dolayı ayrıca enine kuvvetten kaynaklanan teğetsel bir gerilim de vardır. Bu nedenle, bu durumda metalin plastik duruma geçişinin başlama koşulu, azaltılmış gerilim şeması ile belirlenmelidir:

.

Daha önce belirtildiği gibi, bölümün en dıştaki fiberlerinde (liflerinde) akmanın başlaması, bükme elemanının yük taşıma kapasitesini henüz tüketmez. S ve t'nin birleşik etkisi ile nihai yük taşıma kapasitesi, elastik çalışmaya göre yaklaşık %15 daha yüksektir ve plastik mafsalın oluşma koşulu şu şekilde yazılır:

,

Bu durumda olması gerekir.

I b = W c ·y = 2·100·4,8 3/3 = 7372,8 cm4 veya b(2y) 3/12 = 100(2·4,8) 3/12 = 7372,8 cm4 - azaltılmış konvansiyonelin eylemsizlik momenti bölüm , Sonra

f b = 5 9 400 4 /384 275000 7372,8 = 1,45 cm.

Donatı gerginliğinden dolayı olası sehimi kontrol edelim.

Donatı elastisite modülü E a = 2000000 kgf/cm2, (2·10 5 MPa),

Takviyenin koşullu atalet momenti I a = 10,05 2 3,2 2 = 205,8 cm4, o zaman

f a = 5 9 400 4 / 384 2000000 160,8 = 7,9 cm

Açıkçası, sapma farklı olamaz; bu, sıkıştırılmış bölgedeki deformasyon ve gerilimlerin eşitlenmesi sonucunda sıkıştırılmış bölgenin yüksekliğinin azalacağı anlamına gelir. Sıkıştırılmış bölgenin yüksekliğinin belirlenmesine ilişkin ayrıntılar burada verilmemiştir (yer yetersizliği nedeniyle); y ≈ 3,5 cm'de sapma yaklaşık 3,2 cm olacaktır, ancak gerçek sapma farklı olacaktır, çünkü öncelikle bunu dikkate almadık. Betonun çekme deformasyonu dikkate alındığında (bu nedenle bu yöntem yaklaşıktır), ikinci olarak, betondaki sıkıştırılmış bölgenin yüksekliği azaldıkça plastik deformasyonlar artacak ve genel sehim artacaktır. Ek olarak, yüklerin uzun süreli uygulanmasıyla plastik deformasyonların gelişmesi de başlangıçtaki elastik modülde bir azalmaya yol açar. Bu miktarların belirlenmesi ayrı bir konudur.

Yani uzun süredir B20 sınıfı beton için etkili yük Elastik modül 3,8 kat azalabilir (%40-75 nemde). Buna göre, beton sıkıştırmasından kaynaklanan sapma zaten 1,45·3,8 = 5,51 cm olacaktır ve burada, gerilme bölgesindeki donatı kesitinin iki katına çıkarılması bile pek yardımcı olmayacaktır - kirişin yüksekliğini arttırmak gerekir.

Ancak yükün süresini hesaba katmasanız bile 3,2 cm hala oldukça büyük bir sapmadır. SNiP 2.01.07-85 “Yükler ve darbeler” uyarınca, zemin döşemeleri için yapısal nedenlerden dolayı (şapın çatlamaması vb. için) izin verilen maksimum sapma l/150 = 400/150 = 2,67 cm olacaktır. Koruyucu beton tabakasının kalınlığı hala kabul edilemez olduğundan, yapısal nedenlerden dolayı levhanın yüksekliği en az 11 cm'ye çıkarılmalıdır, ancak bunun direnç momentinin belirlenmesiyle hiçbir ilgisi yoktur.

Limit durumlarına göre mukavemet testi.

– tasarım yüklerinden kaynaklanan maksimum bükülme momenti.

Р р =Р n ×n

n – aşırı yük faktörü.

– çalışma koşulu katsayısı.

Malzeme çekme ve sıkıştırmada farklı çalışıyorsa, mukavemet aşağıdaki formüller kullanılarak kontrol edilir:

burada R p ve R sıkıştırması hesaplanan çekme ve basınç dayanımıdır

Taşıma kapasitesine dayalı ve plastik deformasyonu dikkate alan hesaplama.

Önceki hesaplama yöntemlerinde mukavemet, kirişin üst ve alt liflerindeki maksimum gerilmelerle kontrol ediliyordu. Bu durumda ortadaki lifler yetersiz yüklenmiştir.

Yükün daha da arttırılması durumunda, en dıştaki liflerde gerilimin akma noktası σ t'ye (plastik malzemelerde) ve çekme mukavemeti σ n h'ye (kırılgan malzemelerde) ulaşacağı ortaya çıktı. Yükün daha da artmasıyla kırılgan malzemeler çöker ve sünek malzemelerde dış liflerdeki gerilimler daha fazla artmaz, ancak iç liflerde büyür. (resmi görmek)

Kirişin yük taşıma kapasitesi, tüm kesit boyunca gerilme σt değerine ulaştığında tükenir.

Dikdörtgen kesit için:

Not: haddelenmiş profiller için (kanal ve I-kiriş) plastik moment Wnл=(1.1÷1.17)×W

Dikdörtgen kirişin bükülmesi sırasındaki kayma gerilmeleri. Zhuravsky'nin formülü.

Bölüm 2'deki moment, Bölüm 1'deki momentten büyük olduğundan, gerilme σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1 olur.

Bu durumda abcd elemanı sola doğru hareket etmelidir. Bu hareket cd alanı üzerindeki teğetsel gerilmeler tarafından engellenir.

- dönüşümden sonra τ'yi belirlemek için formülün elde edildiği denge denklemi: - Zhuravsky'nin formülü

Dikdörtgen, yuvarlak ve I kesitli kirişlerde kesme gerilmelerinin dağılımı.

1. Dikdörtgen bölüm:

2.Yuvarlak bölüm.

3. I bölümü.

Bükme sırasındaki ana gerilmeler. Kirişlerin mukavemetinin kontrol edilmesi.

[σ co ]

Not: sınır durumları kullanılarak hesaplanırken, [σ sıkıştırma ] ve [σ р ] yerine, R c sıvı ve R p formüllere konur - malzemenin sıkıştırma ve gerilim altında hesaplanan direnci.

Eğer ışın kısaysa B noktasını kontrol edin:

burada R kesme, malzemenin hesaplanan kesme direncidir.

D noktasında eleman normal ve kayma gerilmelerine maruz kalır, dolayısıyla bazı durumlarda bunların birleşik etkisi dayanım açısından tehlikeye neden olur. Bu durumda D elemanı asal gerilmeler kullanılarak mukavemet açısından test edilir.

Bizim durumumuzda: bu nedenle:

Kullanma σ1 Ve σ2 Mukavemet teorisine göre D elemanı kontrol edilir.

Maksimum teğetsel gerilimler teorisine göre elimizde: σ 1 - σ 2 ≤R

Not: D noktası, büyük M ve Q'nun aynı anda hareket ettiği kirişin uzunluğu boyunca alınmalıdır.

Kirişin yüksekliğine göre σ ve τ değerlerinin aynı anda çalışacağı bir yer seçiyoruz.

Diyagramlardan açıkça görülüyor:

1. Dikdörtgen şeklinde ve yuvarlak bölüm büyük σ ve τ'nın aynı anda hareket ettiği hiçbir nokta yoktur. Dolayısıyla bu tür kirişlerde D noktası kontrol edilmez.

2. I kesitli kirişlerde, flanş ile duvarın kesişme sınırında (A noktası), büyük σ ve τ aynı anda hareket eder. Bu nedenle bu noktada dayanıklılık açısından test edilirler.

Not:

a) Haddelenmiş I kiriş ve kanallarda, flanşların duvarla kesiştiği bölgede, yumuşak geçişler(yuvarlamalar). Duvar ve raf, A noktası uygun çalışma koşullarında olacak ve dayanıklılık testi gerekmeyecek şekilde seçilir.

b) Kompozit (kaynaklı) I-kirişlerde A noktasının muayenesi gereklidir.