Yıldız haberleri
Trigonometrik eşitsizlikleri ayrıntılı çözümlerle çözme. Kurs: Trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler
Çoğu öğrenci trigonometrik eşitsizliklerden hoşlanmaz. Ama boşuna. Bir karakterin söylediği gibi,
“Onları nasıl pişireceğini bilmiyorsun”
Peki nasıl "pişirilir" ve sinüs ile eşitsizliğin neyle sunulacağını bu makalede çözeceğiz. Karar vereceğiz basit bir şekilde– Birim çember kullanarak.
Yani öncelikle aşağıdaki algoritmaya ihtiyacımız var.
Eşitsizlikleri sinüsle çözmek için algoritma:
- sinüs eksenine $a$ sayısını çizeriz ve daireyle kesişene kadar kosinüs eksenine paralel düz bir çizgi çizeriz;
- bu çizginin daire ile kesişme noktaları, eşitsizlik katı değilse gölgeli olacaktır, eşitsizlik katı ise gölgeli olmayacaktır;
- eşitsizliğin çözüm alanı, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin üstünde ve daireye kadar, eşitsizlik “$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve daireye kadar yerleştirilecektir.<$”;
- Kesişme noktalarını bulmak için trigonometrik denklemi $\sin(x)=a$ çözeriz, şunu elde ederiz: $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- $n=0$ ayarını yaparak ilk kesişim noktasını buluruz (birinci veya dördüncü çeyrekte bulunur);
- ikinci noktayı bulmak için ikinci kesişme noktasına kadar alandan hangi yöne gittiğimize bakarız: pozitif yönde ise $n=1$ almalıyız ve negatif yönde ise $n=- almalıyız 1$;
- yanıt olarak aralık, daha küçük olan $+ 2\pi n$ kesişim noktasından daha büyük olan $+ 2\pi n$'ye doğru yazılır.
Algoritma sınırlaması
Önemli: d verilen algoritma çalışmıyor$\sin(x) > 1 formundaki eşitsizlikler için; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Eşitsizlikleri sinüsle çözerken özel durumlar
Yukarıdaki algoritmayı kullanmadan mantıksal olarak çözülmesi çok daha uygun olan aşağıdaki durumları da not etmek önemlidir.
Özel durum 1. Eşitsizliği çözün:
$\sin(x)\leq 1.$
Değer aralığının çok geniş olması nedeniyle trigonometrik fonksiyon$y=\sin(x)$ modulo $1$'dan büyük değil, bu durumda eşitsizliğin sol tarafı herhangi$x$ tanım alanından (ve sinüs tanımı alanının tamamı gerçek sayılar) en fazla 1$$. Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R$.
Sonuçlar:
$\sin(x)\geq -1.$
Özel durum 2. Eşitsizliği çözün:
$\sin(x)< 1.$
Özel durum 1'e benzer argümanlar uygulayarak, $\sin(x) = 1$ denkleminin çözümü olan noktalar hariç, tüm $x \in R$ için eşitsizliğin sol tarafının $1$'dan küçük olduğunu bulduk. Bu denklemi çözersek:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Sonuçlar: eşitsizlik benzer şekilde çözülür
$\sin(x) > -1.$
Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.
Örnek 1: Eşitsizliği çözün:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- $\frac(1)(2)$ koordinatını sinüs ekseninde işaretleyelim.
- Kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen bir doğru çizelim.
- Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olmadığı için gölgelendirilecekler.
- Eşitsizlik işareti $\geq$'dır, bu da çizginin üzerindeki alanı boyadığımız anlamına gelir; daha küçük yarım daire.
- İlk kesişme noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için eşitsizliği eşitliğe çevirip çözüyoruz: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ayrıca $n=0$ ayarladık ve ilk kesişim noktasını bulduk: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- İkinci noktayı buluyoruz. Alanımız ilk noktadan itibaren pozitif yönde gidiyor, yani $n$'ı $1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
Böylece çözüm şu şekli alacaktır:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
Örnek 2: Eşitsizliği çözün:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
Sinüs ekseninde $-\frac(1)(2)$ koordinatını işaretleyip kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çizelim. Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olduğundan gölgelenmeyecekler. Eşitsizlik işareti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
Ayrıca $n=0$ varsayarsak, ilk kesişim noktasını buluruz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Alanımız ilk noktadan itibaren negatif yönde gidiyor, yani $n$'ı $-1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Dolayısıyla bu eşitsizliğin çözümü aralık olacaktır:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$
Örnek 3: Eşitsizliği çözün:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
Bu örnek bir algoritma kullanılarak hemen çözülemez. İlk önce onu dönüştürmeniz gerekiyor. Bir denklemle yapacağımız şeyin aynısını yaparız, ancak işareti unutmayız. Negatif bir sayıya bölmek veya çarpmak onu tersine çevirir!
O halde trigonometrik fonksiyon içermeyen her şeyi sağ tarafa taşıyalım. Şunu elde ederiz:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
Sol ve sağ tarafları $-2$'a bölelim (işaretini unutmayın!). Sahip olacaklar:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
Yine algoritma kullanarak çözemeyeceğimiz bir eşitsizlikle karşı karşıyayız. Ancak burada değişkeni değiştirmek yeterlidir:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Algoritma kullanılarak çözülebilecek bir trigonometrik eşitsizlik elde ediyoruz:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Bu eşitsizlik Örnek 1'de çözülmüştür, dolayısıyla cevabı buradan ödünç alalım:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$
Ancak karar henüz bitmedi. Orijinal değişkene geri dönmemiz gerekiyor.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$
Aralığı bir sistem olarak düşünelim:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$
Sistemin sol tarafında aralığa ait ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifadesi bulunmaktadır. Aralığın sol sınırı ilk eşitsizlikten, sağ sınırı ise ikinci eşitsizlikten sorumludur. Dahası, parantezler önemli bir rol oynar: eğer parantez kare ise, o zaman eşitsizlik gevşetilecektir ve eğer yuvarlaksa, o zaman katı olacaktır. görevimiz soldaki $x$'i elde etmek her iki eşitsizlikte.
$\frac(\pi)(6)$'ı sol taraftan sağ tarafa taşıyalım, şunu elde ederiz:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$
Basitleştirerek şunları elde edeceğiz:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$
Sol ve sağ tarafları $4$ ile çarparsak şunu elde ederiz:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n.\end(array) \right. $
Sistemi aralığa monte ederek cevabı elde ederiz:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
1.5 Trigonometrik eşitsizlikler ve bunları çözme yöntemleri
1.5.1 Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme
Modern matematik ders kitaplarının çoğu yazarı, bu konuyu en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözerek düşünmeye başlamayı önerir. En basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme ilkesi, trigonometrik bir daire üzerinde yalnızca ana trigonometrik açıların değil aynı zamanda diğer değerlerin de değerlerini belirleme bilgi ve becerisine dayanır.
Bu arada, , , formundaki eşitsizliklerin çözümü şu şekilde gerçekleştirilebilir: önce bu eşitsizliğin karşılandığı bir aralık () buluruz ve ardından bulunan aralığın uçlarına a ekleyerek son cevabı yazarız. sinüs veya kosinüs periyodunun katı olan sayı: ( 
). Bu durumda değeri bulmak kolaydır çünkü veya . Anlam arayışı öğrencilerin sezgilerine, sinüs veya kosinüs grafiğinin ayrı ayrı parçalarının simetrisinden yararlanarak yayların veya bölümlerin eşitliğini fark etme yeteneklerine dayanır. Ve bu bazen oldukça fazla sayıda öğrencinin yeteneklerinin ötesindedir. Belirtilen zorlukların üstesinden gelmek için son yıllarda ders kitapları basit trigonometrik eşitsizliklerin çözümünde farklı yaklaşımlar kullanmış ancak bu, öğrenme çıktılarında herhangi bir iyileşme ile sonuçlanmamıştır.
Birkaç yıldır trigonometrik eşitsizliklere çözüm bulmak için karşılık gelen denklemlerin köklerine ilişkin formülleri oldukça başarılı bir şekilde kullanıyoruz.
Bu konuyu şu şekilde inceliyoruz:
1. Grafikleri oluşturuyoruz ve y = a olduğunu varsayıyoruz.
Daha sonra denklemi ve çözümünü yazıyoruz. n 0 verilmesi; 1; Şekil 2'de derlenmiş denklemin üç kökünü buluyoruz: . Değerler grafiklerin ardışık üç kesişim noktasının apsisidir ve y = a. Eşitsizliğin her zaman () aralığında, eşitsizliğin de her zaman () aralığında geçerli olduğu açıktır.
Bu aralıkların uçlarına sinüs periyodunun katı olan bir sayı ekleyerek ilk durumda eşitsizliğin çözümünü şu şekilde elde ederiz: ; ve ikinci durumda eşitsizliğin çözümü şu şekildedir:
Sadece denklemin çözümü olan formüldeki sinüsün aksine, n = 0 için iki kök ve n = 1 için üçüncü kökü formda elde ederiz. 
. Ve yine grafiklerin kesişim noktalarının ardışık üç apsisidirler ve . () aralığında eşitsizlik, () aralığında eşitsizlik geçerlidir
Eşitsizliklerin çözümlerini yazmak artık zor değil. İlk durumda şunu elde ederiz: ;
ve ikincisinde: .
Özetleyin. Eşitsizliği çözmek için karşılık gelen denklemi oluşturup çözmeniz gerekir. Ortaya çıkan formülden ve'nin köklerini bulun ve eşitsizliğin cevabını şu biçimde yazın: .
Eşitsizlikleri çözerken, karşılık gelen denklemin köklerinin formülünden kökleri buluruz ve eşitsizliğin cevabını şu biçimde yazarız: .
Bu teknik, tüm öğrencilere trigonometrik eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini öğretmenizi sağlar, çünkü Bu teknik tamamen öğrencilerin hakim olduğu becerilere dayanmaktadır. Bunlar basit problemleri çözme ve bir formül kullanarak bir değişkenin değerini bulma becerileridir. Ayrıca eşitsizliğin işaretine, a sayısının modülünün değerine ve işaretine bağlı olarak her türlü akıl yürütme tekniğini göstermek için bir öğretmen rehberliğinde çok sayıda alıştırmayı dikkatlice çözmek tamamen gereksiz hale gelir. . Ve eşitsizliği çözme süreci de kısalacak ve daha da önemlisi tekdüze hale gelecektir.
Bu yöntemin bir diğer avantajı da sağ tarafta sinüs veya kosinüs tablo değeri olmadığında bile eşitsizlikleri kolaylıkla çözmenize olanak sağlamasıdır.
Bunu spesifik bir örnekle gösterelim. Bir eşitsizliği çözmemiz gerektiğini varsayalım. İlgili denklemi oluşturup çözelim:
ve değerlerini bulalım.
n = 1 olduğunda 
n = 2 olduğunda 
Bu eşitsizliğin son cevabını yazıyoruz:
En basit trigonometrik eşitsizliklerin çözümüne ilişkin dikkate alınan örnekte, yalnızca bir dezavantaj olabilir - belirli bir miktarda formalizmin varlığı. Ancak her şey yalnızca bu konumlardan değerlendirilirse, ikinci dereceden denklemin köklerinin formüllerini, trigonometrik denklemleri çözmek için tüm formülleri ve çok daha fazlasını formalizmle suçlamak mümkün olacaktır.
Önerilen yöntem, trigonometrik eşitsizlikleri çözme becerilerinin oluşumunda değerli bir yere sahip olmasına rağmen, trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye yönelik diğer yöntemlerin önemi ve özellikleri göz ardı edilemez. Bunlar aralık yöntemini içerir.
Özünü düşünelim.
A.G. tarafından düzenlenen set Mordkovich, ancak ders kitaplarının geri kalanını da göz ardı etmemelisiniz. § 3. Cebir dersinde “Trigonometrik fonksiyonlar” konusunu öğretme metodolojisi ve analizin başlangıcı Okulda trigonometrik fonksiyonların incelenmesinde iki ana aşama ayırt edilebilir: ü Trigonometrik fonksiyonlarla ilk tanışma...
Araştırmayı gerçekleştirirken aşağıdaki görevler çözüldü: 1) İrrasyonel denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için bu kitaplarda sunulan yöntemleri belirlemek için mevcut cebir ders kitapları ve matematiksel analizin başlangıcı analiz edildi. Analiz, aşağıdaki sonuçlara varmamızı sağlar: ·Ortaokulda, çeşitli irrasyonel denklemleri çözme yöntemlerine yeterince dikkat edilmiyor, özellikle...
1. Argüman karmaşıksa (öngörüden farklıysa) X), ardından şununla değiştirin: T.
2. Tek bir koordinat düzleminde inşa ediyoruz oyuncak fonksiyon grafikleri y=maliyet Ve y=a.
3. Böyle buluyoruz grafiklerin iki bitişik kesişme noktası arasında yer alan düz çizginin üstünde y=a. Bu noktaların apsislerini buluyoruz.
4. Argüman için çifte eşitsizliği yazın T kosinüs periyodu dikkate alınarak ( T Bulunan apsisler arasında olacaktır).
5. Ters bir değişiklik yapın (orijinal argümana dönün) ve değeri ifade edin XÇifte eşitsizlikten cevabı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz.
Örnek 1.
Daha sonra algoritmaya göre argümanın değerlerini belirliyoruz. T sinüzoidin bulunduğu yer daha yüksek dümdüz. Bu değerleri kosinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak çift eşitsizlik olarak yazalım ve ardından orijinal argümana dönelim. X.
Örnek 2.
Bir değer aralığı seçme T sinüzoidin düz çizginin üzerinde olduğu yer.
Değerleri çift eşitsizlik şeklinde yazıyoruz T, koşulu karşılıyor. Fonksiyonun en küçük periyodunu unutmayın y=maliyet eşittir 2π. Değişkene geri dönelim X, çifte eşitsizliğin tüm kısımlarını kademeli olarak basitleştiriyoruz.
Eşitsizlik katı olmadığından cevabı kapalı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz.
Örnek 3.
Değer aralığıyla ilgileneceğiz T sinüzoidin noktalarının düz çizginin üzerinde olacağı yer.
Değerler T bunu ikili eşitsizlik şeklinde yazın, aynı değerleri yeniden yazın 2 kere ve ifade et X. Cevabı sayısal aralık şeklinde yazalım.
Ve yeniden formül maliyet>a.
Eğer maliyet>a, (-1≤A≤1), o zaman - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için formüller uygulayın ve sınav testlerinde zaman kazanın.
Ve şimdi formül
Karar verirken UNT veya Birleşik Devlet Sınavında kullanmanız gereken trigonometrik eşitsizlik tür maliyet
Eğer maliyet , (-1≤A≤1), o zaman arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Bu makalede tartışılan eşitsizlikleri çözmek için bu formülü uygulayın; cevaba çok daha hızlı ve herhangi bir grafik olmadan ulaşacaksınız!
Sinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak argümanın değerleri için çift eşitsizlik yazıyoruz T, son eşitsizliğin sağlanması. Orijinal değişkene dönelim. Ortaya çıkan ikili eşitsizliği dönüştürüp değişkeni ifade edelim. X. Cevabı aralık şeklinde yazalım.
İkinci eşitsizliği çözelim:
İkinci eşitsizliği çözerken, şu şekilde bir eşitsizlik elde etmek için çift argümanlı sinüs formülünü kullanarak bu eşitsizliğin sol tarafını dönüştürmemiz gerekiyordu: sint≥a. Daha sonra algoritmayı takip ettik.
Üçüncü eşitsizliği çözüyoruz:
Sevgili mezunlarımız ve adaylarımız! Yukarıda verilen grafiksel yöntem gibi trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin ve muhtemelen sizin tarafınızdan bilinen, birim trigonometrik daire (trigonometrik daire) kullanarak çözme yönteminin yalnızca trigonometri bölümünü incelemenin ilk aşamalarında uygulanabilir olduğunu unutmayın. “Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme.” Sanırım ilk önce en basit trigonometrik denklemleri grafikler veya daire kullanarak çözdüğünüzü hatırlayacaksınız. Ancak artık trigonometrik denklemleri bu şekilde çözmeyi düşünmezsiniz. Bunları nasıl çözersiniz? Formüllere göre bu doğru. Bu nedenle trigonometrik eşitsizlikler özellikle test sırasında formüller kullanılarak çözülmelidir. her dakika değerlidir. Bu dersteki üç eşitsizliği uygun formülü kullanarak çözün.
Eğer sint>a, burada -1≤ A≤1 ise yaysin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Formülleri öğrenin!
Ve son olarak: Matematiğin tanımlar, kurallar ve FORMÜLLER olduğunu biliyor muydunuz?
Tabii ki! Ve bu makaleyi inceledikten ve videoyu izledikten sonra en meraklı olanı şöyle haykırdı: “Ne kadar uzun ve zor! Bu tür eşitsizlikleri herhangi bir grafik veya daire olmadan çözmenizi sağlayacak bir formül var mı?” Evet, elbette var!
FORM EŞİTSİZLİKLERİNİ ÇÖZMEK İÇİN: günah (-1≤A≤1) formül geçerlidir:
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Bunu tartışılan örneklere uygulayın, cevabı çok daha hızlı alacaksınız!
Çözüm: FORMÜLLERİ ÖĞRENİN ARKADAŞLAR!
Sayfa 1/1 1
TRİGONOMETRİK EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZME YÖNTEMLERİ
Alaka düzeyi. Tarihsel olarak trigonometrik denklemlere ve eşitsizliklere okul müfredatında özel bir yer verilmiştir. Trigonometrinin okul dersinin ve genel olarak tüm matematik biliminin en önemli bölümlerinden biri olduğunu söyleyebiliriz.
Trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler, hem eğitim materyalinin içeriği hem de çalışmaları sırasında oluşturulabilecek ve oluşturulması gereken ve çok sayıda çözümün çözümünde uygulanması gereken eğitimsel ve bilişsel aktivite yöntemleri açısından ortaokul matematik dersinde merkezi yerlerden birini işgal eder. teorik ve uygulamalı nitelikteki problemlerden oluşur.
Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek, öğrencilerin trigonometrideki tüm eğitim materyalleriyle ilgili bilgilerini (örneğin, trigonometrik fonksiyonların özellikleri, trigonometrik ifadeleri dönüştürme yöntemleri vb.) sistematik hale getirmek için ön koşulları oluşturur ve çalışılan materyalle etkili bağlantılar kurmayı mümkün kılar. cebirde (denklemler, denklemlerin denkliği, eşitsizlikler, cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri vb.).
Başka bir deyişle, trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmeye yönelik tekniklerin değerlendirilmesi, bu becerilerin bir nevi yeni içeriğe aktarılmasını içerir.
Teorinin önemi ve sayısız uygulaması seçilen konunun uygunluğunun kanıtıdır. Bu da ders çalışmasının amaçlarını, hedeflerini ve araştırma konusunu belirlemenize olanak tanır.
Bu çalışmanın amacı: Mevcut trigonometrik eşitsizlik türlerini, bunları çözmek için temel ve özel yöntemleri genelleştirmek, okul çocukları tarafından trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi problem seçmek.
Araştırma hedefleri:
1. Araştırma konusuyla ilgili mevcut literatürün analizine dayanarak materyali sistemleştirin.
2. “Trigonometrik eşitsizlikler” konusunu pekiştirmek için gerekli bir dizi görevi sağlayın.
Çalışmanın amacı okul matematik dersinde trigonometrik eşitsizliklerdir.
Çalışma konusu: Trigonometrik eşitsizlik türleri ve bunları çözme yöntemleri.
Teorik önemi materyali sistematize etmektir.
Pratik önemi: teorik bilginin problem çözümünde uygulanması; trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için ana ortak yöntemlerin analizi.
Araştırma Yöntemleri : bilimsel literatürün analizi, edinilen bilgilerin sentezi ve genelleştirilmesi, problem çözme analizi, eşitsizlikleri çözmek için en uygun yöntemlerin araştırılması.
§1. Trigonometrik eşitsizlik türleri ve bunları çözmenin temel yöntemleri
1.1. En basit trigonometrik eşitsizlikler
Veya > işaretiyle birbirine bağlanan iki trigonometrik ifadeye trigonometrik eşitsizlikler denir.
Trigonometrik bir eşitsizliği çözmek, eşitsizliğin karşılandığı eşitsizliğin içerdiği bilinmeyenlerin değer kümesini bulmak anlamına gelir.
Trigonometrik eşitsizliklerin ana kısmı, bunları en basit çözüme indirgeyerek çözülür:
Bu bir çarpanlara ayırma yöntemi, değişken değişikliği olabilir ( 
, 
vb.), burada olağan eşitsizlik ilk önce çözülür ve ardından formun eşitsizliği 
vb. veya diğer yöntemler.
En basit eşitsizlikler iki şekilde çözülebilir: birim çember kullanılarak veya grafiksel olarak.
İzin vermekf(x
– temel trigonometrik fonksiyonlardan biri. Eşitsizliği çözmek için 
çözümünü bir dönemde bulmak yeterlidir, yani. uzunluğu fonksiyonun periyoduna eşit olan herhangi bir parça üzerindeF
X
. O zaman orijinal eşitsizliğin çözümü bulunacakX
fonksiyonun herhangi bir tamsayı periyodu tarafından bulunan değerlerden farklı olan değerlerin yanı sıra. Bu durumda grafik yönteminin kullanılması uygundur.
Eşitsizlikleri çözmek için bir algoritma örneği verelim 
(
) Ve 
.
Eşitsizliği çözmek için algoritma (
).
1. Bir sayının sinüsünün tanımını formüle edinX birim çember üzerinde.
3. Ordinat ekseninde koordinatın bulunduğu noktayı işaretleyinA .
4. Bu noktadan OX eksenine paralel bir çizgi çizin ve daire ile kesişme noktalarını işaretleyin.
5. Tüm noktalarının koordinatı şundan küçük olan bir daire yayı seçin:A .
6. Turun yönünü (saat yönünün tersine) belirtiniz ve aralığın sonuna fonksiyonun periyodunu ekleyerek cevabı yazınız.2πn
,
.
Eşitsizliği çözmek için algoritma .
1. Bir sayının tanjantının tanımını formüle edinX birim çember üzerinde.
2. Bir birim çember çizin.
3. Bir teğet çizgisi çizin ve üzerinde koordinat bulunan bir noktayı işaretleyinA .
4. Bu noktayı orijine bağlayın ve ortaya çıkan parçanın birim çemberle kesişme noktasını işaretleyin.
5. Tüm noktalarının teğet doğru üzerinde koordinatları şu değerlerden küçük olan bir daire yayı seçin:A .
6. Çapraz geçişin yönünü belirtin ve fonksiyonun tanım alanını dikkate alarak bir nokta ekleyerek cevabı yazınπn
,
(girişin solundaki sayı her zaman sağındaki sayıdan küçüktür).
En basit denklemlerin çözümlerinin grafiksel yorumu ve eşitsizlikleri genel biçimde çözmek için kullanılan formüller ekte (Ek 1 ve 2) belirtilmiştir.
Örnek 1.
Eşitsizliği çöz 
.
Birim çembere düz bir çizgi çizin 
çemberi A ve B noktalarında kesen noktadır.
Tüm anlamlarsen
NM aralığında daha büyüktür
AMB yayının tüm noktaları bu eşitsizliği karşılar. Tüm dönüş açılarında büyük 
, ama daha küçük 
,
daha büyük değerlere bürünecek
(ancak birden fazla değil).
Şekil 1
Böylece eşitsizliğin çözümü aralıktaki tüm değerler olacaktır. 
yani 
. Bu eşitsizliğin tüm çözümlerini elde etmek için bu aralığın uçlarına ekleme yapmak yeterlidir. 
, Nerede 
yani 
,
.
Değerlere dikkat edin 
Ve 
denklemin kökleri 
,
onlar. 
;
.
Cevap: 
, .
1.2. Grafik yöntemi
Uygulamada trigonometrik eşitsizliklerin çözümü için grafiksel yöntemin sıklıkla yararlı olduğu ortaya çıkar. Eşitsizlik örneğini kullanarak yöntemin özünü ele alalım 
:
1. Argüman karmaşıksa (öngörüden farklıysa)X ), ardından şununla değiştirin:T .
2. Tek bir koordinat düzleminde inşa ediyoruzoyuncak
fonksiyon grafikleri 
Ve 
.
3. Böyle buluyoruzgrafiklerin iki bitişik kesişme noktası, hangisinin arasındasinüs dalgasıbulunandaha yüksek
dümdüz . Bu noktaların apsislerini buluyoruz.
4. Argüman için çifte eşitsizliği yazınT kosinüs periyodu dikkate alınarak (T Bulunan apsisler arasında olacaktır).
5. Ters bir değişiklik yapın (orijinal argümana dönün) ve değeri ifade edinX Çifte eşitsizlikten cevabı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz.
Örnek 2. Eşitsizliği çözün: .
Eşitsizlikleri grafiksel yöntemle çözerken, fonksiyonların grafiklerini mümkün olduğunca doğru bir şekilde oluşturmak gerekir. Eşitsizliği forma dönüştürelim:
Tek koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım 
Ve 
(İncir. 2).
İncir. 2
Fonksiyonların grafikleri bir noktada kesişir.A
koordinatlarla 
; 
. Arasında 
grafik noktaları 
grafik noktalarının altında 
. Ve ne zaman fonksiyon değerleri aynıdır. Bu yüzden en 
.
Cevap: 
.
1.3. Cebirsel yöntem
Çoğu zaman, orijinal trigonometrik eşitsizlik, iyi seçilmiş bir ikame yoluyla cebirsel (rasyonel veya irrasyonel) eşitsizliğe indirgenebilir. Bu yöntem bir eşitsizliğin dönüştürülmesini, bir ikame getirilmesini veya bir değişkenin değiştirilmesini içerir.
Bu yöntemin uygulanmasına ilişkin belirli örneklere bakalım.
Örnek 3.
En basit forma indirgeme 
.
(Şek. 3)
Şek. 3
, 
.
Cevap: 
,
Örnek 4. Eşitsizliği çözün:
ODZ: 
, 
.
Formülleri kullanma: 
, 
Eşitsizliği şu şekilde yazalım: 
.
Ya da inanmak 
basit dönüşümlerden sonra elde ederiz
,
,
.
Son eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözerek şunu elde ederiz:
Şekil 4
, sırasıyla 
. Daha sonra Şek. 4 takip 
, Nerede 
.
Şekil 5
Cevap: 
, 
.
1.4. Aralık yöntemi
Aralık yöntemini kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel şema:
Trigonometrik formülleri kullanarak çarpanlara ayırma.
Fonksiyonun süreksizlik noktalarını ve sıfırlarını bulun ve bunları çemberin üzerine yerleştirin.
Herhangi bir noktayı alİLE (ancak daha önce bulunamadı) ve ürünün işaretini bulun. Çarpım pozitifse, açıya karşılık gelen ışının üzerine birim çemberin dışına bir nokta yerleştirin. Aksi takdirde noktayı dairenin içine yerleştirin.
Bir nokta çift sayıda ortaya çıkıyorsa ona çift katlı nokta diyoruz; tek sayıda ortaya çıkıyorsa ona tek katlı nokta diyoruz. Yayları şu şekilde çizin: bir noktadan başlayınİLE , eğer bir sonraki nokta tek katlıysa yay bu noktada daireyi keser, ancak nokta çift katlıysa kesişmez.
Çemberin arkasındaki yaylar pozitif aralıklardır; dairenin içinde negatif boşluklar var.
Örnek 5. Eşitsizliği çözün
, 
.
İlk serinin noktaları: 
.
İkinci serinin noktaları: 
.
Her nokta tek sayıda ortaya çıkar, yani tüm noktalar tek sayıdadır.
Ürünün işaretini şuradan öğrenelim. 
: . Birim çember üzerindeki tüm noktaları işaretleyelim (Şekil 6):
Pirinç. 6
Cevap: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Örnek 6 . Eşitsizliği çöz.
Çözüm:
İfadenin sıfırlarını bulalım .
AlmakaeM :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Birim çember serisi değerleri hakkındaX
1
noktalarla temsil edilir 
. SeriX
2
puan verir 
. Bir diziX
3
iki puan aldık 
. Son olarak diziX
4
noktaları temsil edecek 
. Tüm bu noktaları birim çember üzerinde işaretleyelim ve bunların çokluğunu her birinin yanında parantez içinde belirtelim.
Şimdi sayıyı bırakalım 
eşit olacaktır. İşarete göre bir tahmin yapalım:
Yani tam noktaA
açıyı oluşturan ışın üzerinde seçilmelidir 
kirişliAh,
birim çemberin dışında. (Yardımcı ışınınHAKKINDA
A
Bir resimde tasvir etmek hiç de gerekli değildir. NoktaA
yaklaşık olarak seçilmiştir.)
Şimdi noktadanA
işaretli tüm noktalara sırayla dalgalı, sürekli bir çizgi çizin. Ve bazı noktalarda doğrumuz bir alandan diğerine gider: eğer birim çemberin dışındaysa, o zaman onun içine girer. Noktaya yaklaşıyoruz 
Bu noktanın çokluğu çift olduğundan doğru iç bölgeye döner. Aynı noktada 
(hatta çoklukla) hattın dış bölgeye çevrilmesi gerekiyor. Böylece, Şekil 2'de gösterilen belirli bir resmi çizdik. 7. Birim çember üzerinde istenilen alanların vurgulanmasına yardımcı olur. “+” işaretiyle işaretlenmiştir.
Şekil 7
Son cevap:
Not. Dalgalı bir çizgi, birim çember üzerinde işaretlenen tüm noktaların etrafından dolaştıktan sonra noktaya geri döndürülemiyorsaA , Çemberin “yasadışı” bir yerden geçilmemesi, çözümde bir hata yapıldığı, yani tek sayıda kökün kaçırıldığı anlamına gelir.
Cevap: .
§2. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi problem
Okul çocuklarının trigonometrik eşitsizlikleri çözme becerilerini geliştirme sürecinde 3 aşama da ayırt edilebilir.
1. hazırlık,
2. Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme becerisinin geliştirilmesi;
3. Diğer türdeki trigonometrik eşitsizliklerin tanıtılması.
Hazırlık aşamasının amacı, okul çocuklarında eşitsizlikleri çözmek için trigonometrik daire veya grafik kullanma becerisinin geliştirilmesinin gerekli olmasıdır:
Formdaki basit eşitsizlikleri çözme becerisi ,
, ,
,
sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının özelliklerinin kullanılması;
Sayı çemberinin yayları veya fonksiyon grafiklerinin yayları için çift eşitsizlikler oluşturma becerisi;
Trigonometrik ifadelerin çeşitli dönüşümlerini gerçekleştirebilme.
Bu aşamanın, okul çocuklarının trigonometrik fonksiyonların özellikleri hakkındaki bilgilerini sistematikleştirme sürecinde uygulanması tavsiye edilir. Ana araçlar, öğrencilere sunulan ve bir öğretmenin rehberliğinde veya bağımsız olarak gerçekleştirilen görevlerin yanı sıra trigonometrik denklemleri çözmede geliştirilen beceriler olabilir.
İşte bu tür görevlere örnekler:
1
. Birim çember üzerinde bir nokta işaretleyin 
, Eğer
.
2.
Nokta koordinat düzleminin hangi çeyreğinde yer alır? , Eğer 
eşittir: 
3.
Trigonometrik çemberdeki noktaları işaretleyin , Eğer:
4. İfadeyi trigonometrik fonksiyonlara dönüştürünBENçeyrekler.
A) 
,
B) 
,
V) 
5. Ark MR verilir.M - ortaBEN-inci çeyrek,R - ortaIIçeyrek. Bir değişkenin değerini sınırlamaT için: (çift eşitsizlik yapın) a) yay MR; b) RM yayları.
6. Grafiğin seçilen bölümleri için çift eşitsizliği yazın:
Pirinç. 1
7.
Eşitsizlikleri çözme 
, 
, 
, 
.
8. İfadeyi Dönüştür .
Trigonometrik eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmenin ikinci aşamasında, öğrenci etkinliklerini düzenleme metodolojisine ilişkin aşağıdaki önerileri sunabiliriz. Bu durumda öğrencilerin en basit trigonometrik denklemleri çözerken oluşan trigonometrik daire veya grafikle çalışma konusundaki mevcut becerilerine odaklanmak gerekir.
İlk olarak, en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel bir yöntem elde etmenin uygunluğunu, örneğin formun bir eşitsizliğine dönerek motive edebiliriz. 
.
Hazırlık aşamasında edinilen bilgi ve becerileri kullanarak öğrenciler önerilen eşitsizliği forma getireceklerdir. 
ancak ortaya çıkan eşitsizliğe bir dizi çözüm bulmak zor olabilir çünkü Bunu yalnızca sinüs fonksiyonunun özelliklerini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu zorluk, uygun resme dönülerek (denklemin grafiksel olarak çözülmesi veya birim daire kullanılarak) önlenebilir.
İkinci olarak, öğretmen öğrencilerin dikkatini görevi tamamlamanın farklı yollarına çekmeli, eşitsizliği hem grafiksel olarak hem de trigonometrik çember kullanarak çözmenin uygun bir örneğini vermelidir.
Eşitsizliğin aşağıdaki çözümlerini ele alalım .
1. Birim çemberi kullanarak eşitsizliği çözme.
Trigonometrik eşitsizliklerin çözümüne ilişkin ilk derste öğrencilere, eşitsizliği çözmek için gerekli tüm temel becerileri adım adım bir sunumla yansıtan ayrıntılı bir çözüm algoritması sunacağız.
Aşama 1.Birim çember çizelim ve ordinat ekseninde bir nokta işaretleyelim 
ve içinden x eksenine paralel düz bir çizgi çizin. Bu doğru birim çemberi iki noktada kesecektir. Bu noktaların her biri sinüsü eşit olan sayıları temsil eder. .
Adım 2.Bu düz çizgi daireyi iki yaya bölüyordu. Sinüs değeri bundan büyük olan sayıları göstereni seçelim. . Doğal olarak bu yay çizilen düz çizginin üzerinde bulunur.
Pirinç. 2
Aşama 3.İşaretli yayın uçlarından birini seçin. Birim çemberin bu noktasının temsil ettiği sayılardan birini yazalım. 
.
Adım 4.Seçilen yayın ikinci ucuna karşılık gelen sayıyı seçmek için bu yay boyunca adı geçen uçtan diğerine "yürüyeceğiz". Aynı zamanda saat yönünün tersine hareket ettiğimizde geçeceğimiz sayıların arttığını (ters yönde hareket ettiğimizde ise sayıların azaldığını) unutmayın. Birim çember üzerinde gösterilen sayıyı işaretli yayın ikinci ucuna yazalım. 
.
Böylece eşitsizliği görüyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu sayıları karşılayın 
. Sinüs fonksiyonunun aynı periyodunda bulunan sayılar için eşitsizliği çözdük. Bu nedenle eşitsizliğin tüm çözümleri şu şekilde yazılabilir: 
Öğrencilerden çizimi dikkatlice incelemeleri ve eşitsizliğin tüm çözümlerinin nedenini bulmaları istenmelidir. şeklinde yazılabilir 
, 
.
Pirinç. 3
Kosinüs fonksiyonu için eşitsizlikleri çözerken ordinat eksenine paralel düz bir çizgi çizdiğimize öğrencilerin dikkatini çekmek gerekir.
Eşitsizliklerin çözümü için grafiksel yöntem.
Grafikler oluşturuyoruz 
Ve 
, verilen 
.
Pirinç. 4
Daha sonra denklemi yazıyoruz 
ve onun kararı 
, 
, 
, formüller kullanılarak bulundu 
, 
, 
.
(VermekN
0, 1, 2 değerlerinde derlenmiş denklemin üç kökünü buluruz). Değerler 
grafiklerin kesişme noktalarının ardışık üç apsisidir Ve . Açıkçası, her zaman aralıkta 
eşitsizlik geçerli 
ve aralıkta 
– eşitsizlik 
. İlk durumla ilgileniyoruz ve sonra bu aralığın uçlarına sinüs periyodunun katı olan bir sayı ekleyerek eşitsizliğin çözümünü elde ediyoruz gibi: 
, .
Pirinç. 5
Özetleyin. Eşitsizliği çözmek için , karşılık gelen denklemi oluşturup çözmeniz gerekir. Ortaya çıkan formülden kökleri bulun 
Ve 
ve eşitsizliğin cevabını forma yazın: , .
Üçüncüsü, karşılık gelen trigonometrik eşitsizliğin kök kümesiyle ilgili gerçek, grafiksel olarak çözülürken çok açık bir şekilde doğrulanır.
Pirinç. 6
Eşitsizliğin çözümü olan dönüşün trigonometrik fonksiyonun periyoduna eşit olan aynı aralıkta tekrarlandığını öğrencilere göstermek gerekir. Benzer bir çizimi sinüs fonksiyonunun grafiği için de düşünebilirsiniz.
Dördüncü olarak, öğrencilerin trigonometrik fonksiyonların toplamını (farkını) çarpıma dönüştürme tekniklerinin güncellenmesine yönelik çalışmaların yapılması ve öğrencilerin dikkatini bu tekniklerin trigonometrik eşitsizliklerin çözümündeki rolüne çekmesi önerilir.
Bu tür çalışmalar, öğrencilerin öğretmen tarafından önerilen görevleri bağımsız olarak tamamlamaları yoluyla organize edilebilir; bunların arasında aşağıdakileri vurguluyoruz:
Beşinci olarak, öğrencilerden her basit trigonometrik eşitsizliğin çözümünü bir grafik veya trigonometrik daire kullanarak göstermeleri istenmelidir. Trigonometrik eşitsizlikleri çözerken, ilgili çizim belirli bir eşitsizliğin çözüm kümesini kaydetmenin çok uygun bir yolu olduğundan, özellikle dairenin kullanımına kesinlikle dikkat etmelisiniz.
Öğrencilere, aşağıdaki şemaya göre en basit olmayan trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin tanıtılması tavsiye edilir: belirli bir trigonometrik eşitsizliğe dönüş, karşılık gelen trigonometrik denkleme dönüş, bağımsız bir çözüm için ortak arama (öğretmen - öğrenciler) Aynı türdeki diğer eşitsizlikler için bulunan yöntem.
Öğrencilerin trigonometri konusundaki bilgilerini sistematize etmek için, çözümü çeşitli dönüşümler gerektiren bu tür eşitsizliklerin özel olarak seçilmesini ve öğrencilerin dikkatinin özelliklerine odaklanmasını öneriyoruz.
Bu tür üretken eşitsizlikler olarak örneğin aşağıdakileri önerebiliriz:
Sonuç olarak trigonometrik eşitsizliklerin çözümüne yönelik bir dizi problemin örneğini veriyoruz.
1. Eşitsizlikleri çözün:
2. Eşitsizlikleri çözün: 3. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun: 4. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun:A) 
, koşulu karşılayan 
;
B) 
, koşulu karşılayan 
.
5. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun:
A) ;
B) ;
V) 
;
G) 
;
D) 
.
6. Eşitsizlikleri çözün:
A) ;
B) ;
V) ;
G) 
;
D) ;
e) ;
Ve) 
.
7. Eşitsizlikleri çözün:
A) 
;
B) ;
V) ;
G) .
8. Eşitsizlikleri çözün:
A) ;
B) ;
V) ;
G) 
;
D) 
;
e) ;
Ve) 
;
H) .
İleri düzeyde matematik eğitimi alan öğrencilere Görev 6 ve 7'nin, ileri matematik eğitimi verilen sınıflardaki öğrencilere Görev 8'in sunulması tavsiye edilir.
§3. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için özel yöntemler
Trigonometrik denklemleri çözmek için özel yöntemler - yani yalnızca trigonometrik denklemleri çözmek için kullanılabilecek yöntemler. Bu yöntemler trigonometrik fonksiyonların özelliklerinin kullanılmasının yanı sıra çeşitli trigonometrik formüllerin ve özdeşliklerin kullanımına dayanmaktadır.
3.1. Sektör yöntemi
Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için sektör yöntemini ele alalım. Formdaki eşitsizlikleri çözme 
, NeredeP
(
X
)
VeQ
(
X
)
– rasyonel eşitsizliklerin çözümüne benzer şekilde rasyonel trigonometrik fonksiyonlar (sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlar rasyonel olarak bunlara dahil edilir). Rasyonel eşitsizlikleri sayı doğrusunda aralıklar yöntemini kullanarak çözmek uygundur. Rasyonel trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için kullanılan analog, trigonometrik çemberdeki sektörlerin yöntemidir.sinx
Vecosx
(
) veya trigonometrik yarım dairetgx
Vectgx
(
).
Aralık yönteminde formun pay ve paydasının her doğrusal faktörü 
sayı ekseninde bir noktaya karşılık gelir 
ve bu noktadan geçerken işareti değiştirir. Sektör yönteminde formun her faktörü 
, Nerede 
- işlevlerden birisinx
veyacosx
Ve 
Trigonometrik bir dairede iki açıya karşılık gelir 
Ve 
Çemberi iki sektöre bölen. İçinden geçerken Ve işlev işareti değiştirir.
Aşağıdakiler hatırlanmalıdır:
a) Formun faktörleri 
Ve 
, Nerede 
, tüm değerler için işareti koruyun 
. Pay ve paydanın bu faktörleri değiştirilerek atılır (eğer 
) bu tür her reddetmede eşitsizlik işareti tersine çevrilir.
b) Formun faktörleri 
Ve 
da atılır. Ayrıca, eğer bunlar paydanın faktörleri ise, formdaki eşitsizlikler eşdeğer eşitsizlikler sistemine eklenir. 
Ve 
. Bunlar payın faktörleri ise, o zaman eşdeğer kısıtlama sisteminde eşitsizliklere karşılık gelirler. Ve katı bir başlangıç eşitsizliği ve eşitlik durumunda 
Ve 
katı olmayan bir başlangıç eşitsizliği durumunda. Çarpanı atarken 
veya 
eşitsizlik işareti ters çevrilir.
Örnek 1.
Eşitsizlikleri çözün: a) 
, B) 
.
b) fonksiyonumuz var. Elimizdeki eşitsizliği çözelim,
3.2. Eşmerkezli daire yöntemi
Bu yöntem, rasyonel eşitsizlik sistemlerini çözmek için paralel sayı eksenleri yönteminin bir analogudur.
Eşitsizlik sisteminin bir örneğini ele alalım.
Örnek 5.
Basit trigonometrik eşitsizlikler sistemini çözme 
Öncelikle her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüyoruz (Şekil 5). Şeklin sağ üst köşesinde trigonometrik çemberin hangi argüman için dikkate alındığını göstereceğiz.
Şekil 5
Daha sonra, argüman için eşmerkezli dairelerden oluşan bir sistem oluşturuyoruzX . Bir daire çizip onu birinci eşitsizliğin çözümüne göre gölgelendiriyoruz, sonra daha büyük yarıçaplı bir daire çizip onu ikincinin çözümüne göre gölgelendiriyoruz, ardından üçüncü eşitsizlik için bir daire ve bir taban daire oluşturuyoruz. Sistemin merkezinden gelen ışınları yayların uçlarından tüm çevrelerle kesişecek şekilde çekiyoruz. Taban çemberi üzerinde bir çözüm oluşturuyoruz (Şekil 6).
Şekil 6
Cevap:
, 
.
Çözüm
Kurs araştırmasının tüm hedefleri tamamlandı. Teorik materyal sistematik hale getirilmiştir: trigonometrik eşitsizliklerin ana türleri ve bunları çözmenin ana yöntemleri verilmiştir (grafik, cebir, aralık yöntemi, sektörler ve eşmerkezli daireler yöntemi). Her yöntem için bir eşitsizliğin çözümüne ilişkin bir örnek verilmiştir. Teorik kısmın ardından pratik kısıma geçildi. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi görev içerir.
Bu kurs, öğrenciler tarafından bağımsız çalışmalar için kullanılabilir. Okul çocukları bu konudaki ustalık düzeylerini kontrol edebilir ve değişen karmaşıklıktaki görevleri tamamlama konusunda pratik yapabilirler.
Bu konuyla ilgili ilgili literatürü inceledikten sonra, okul cebir ve temel analiz dersinde trigonometrik eşitsizlikleri çözme beceri ve becerilerinin çok önemli olduğu ve geliştirilmesinin matematik öğretmeni açısından önemli çaba gerektirdiği sonucuna varabiliriz.
Bu nedenle, bu çalışma matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır çünkü öğrencilerin “Trigonometrik eşitsizlikler” konusundaki eğitimlerini etkili bir şekilde organize etmeyi mümkün kılmaktadır.
Araştırma, nihai bir niteleyici çalışmaya kadar genişletilerek devam ettirilebilir..
Kullanılmış literatür listesi
Bogomolov, N.V. Matematikte problemlerin toplanması [Metin] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 s.
Vygodsky, M.Ya. İlköğretim matematik el kitabı [Metin] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 s.
Zhurbenko, L.N. Örneklerde ve problemlerde matematik [Metin] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 s.
Ivanov, O.A. Okul çocukları, öğrenciler ve öğretmenler için ilköğretim matematik [Metin] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 s.
Karp, A.P. 11. sınıfta son tekrar ve sertifikasyonun düzenlenmesi için cebir ve analizin başlangıcı üzerine ödevler [Metin] / A.P. Sazan. – M.: Eğitim, 2005. – 79 s.
Kulanin, E.D. Matematikte 3000 rekabet problemi [Metin] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 s.
Leibson, K.L. Matematikte pratik görevlerin toplanması [Metin] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 s.
Dirsek, V.V. Parametrelerle ilgili problemler ve çözümleri. Trigonometri: denklemler, eşitsizlikler, sistemler. 10. sınıf [Metin] / V.V. Dirsek. – M.: ARKTI, 2008. – 64 s.
Manova, A.N. Matematik. Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için hızlı öğretmen: öğrenci. manuel [Metin] / A.N. Manova. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 2012. – 541 s.
Mordkovich, A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10-11 sınıflar. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı [Metin] / A.G. Mordkoviç. – M.: Iris-press, 2009. – 201 s.
Novikov, A.I. Trigonometrik fonksiyonlar, denklemler ve eşitsizlikler [Metin] / A.I. Novikov. – M.: FİZMATLİT, 2010. – 260 s.
Oganesyan, V.A. Ortaokulda matematik öğretme yöntemleri: Genel metodoloji. Ders Kitabı fizik öğrencileri için el kitabı - paspas. sahte. ped. Öğr. [Metin] / V.A. Oganesyan. – M.: Eğitim, 2006. – 368 s.
Olehnik, S.N. Denklemler ve eşitsizlikler. Standart dışı çözüm yöntemleri [Metin] / S.N. Olehnik. – M.: Faktöriyel Yayınevi, 1997. – 219 s.
Sevryukov, P.F. Trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemler ve eşitsizlikler [Metin] / P.F. Sevryukov. – M.: Halk Eğitimi, 2008. – 352 s.
Sergeyev, I.N. Birleşik Devlet Sınavı: Matematikte cevapları ve çözümleri olan 1000 problem. C grubunun tüm görevleri [Metin] / I.N. Sergeyev. – M.: Sınav, 2012. – 301 s.
Sobolev, A.B. İlköğretim matematik [Metin] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Kurumu USTU-UPI, 2005. – 81 s.
Fenko, L.M. Eşitsizliklerin çözümünde ve fonksiyonların incelenmesinde aralık yöntemi [Metin] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 s.
Friedman, L.M. Matematik öğretme yöntemlerinin teorik temelleri [Metin] / L.M. Friedman. – M.: Kitapevi “LIBROKOM”, 2009. – 248 s.
Ek 1
Basit eşitsizliklerin çözümlerinin grafiksel yorumu
Pirinç. 1
Pirinç. 2
Şek. 3
Şekil 4
Şekil 5
Şekil 6
Şekil 7
Şekil 8
Ek 2
Basit eşitsizliklerin çözümleri
Pratik ders sırasında, "Trigonometri" konusundaki ana görev türlerini tekrarlayacağız, ayrıca artan karmaşıklıktaki problemleri analiz edeceğiz ve çeşitli trigonometrik eşitsizlikleri ve sistemlerini çözme örneklerini ele alacağız.
Bu ders B5, B7, C1 ve C3 görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.
"Trigonometri" konusunda ele aldığımız ana görev türlerini gözden geçirerek başlayalım ve birkaç standart dışı problemi çözelim.
Görev No.1. Açıları radyan ve dereceye dönüştürün: a) ; B) .
a) Dereceyi radyana çevirmek için formülü kullanalım
Belirtilen değeri yerine koyalım.
b) Radyanları dereceye dönüştürmek için formülü uygulayın
Değiştirme işlemini gerçekleştirelim 
.
Cevap. A) ; B) .
Görev No.2. Hesaplayın: a) ; B) .
a) Açı tablonun çok ötesine geçtiği için sinüs periyodunu çıkararak onu azaltacağız. Çünkü Açı radyan cinsinden gösterilir, bu durumda periyodu dikkate alacağız.
b) Bu durumda da durum benzerdir. Açı derece cinsinden ifade edildiği için teğetin periyodunu dikkate alacağız.
Ortaya çıkan açı, periyottan daha küçük olmasına rağmen daha büyüktür; bu, artık ana noktaya değil, tablonun uzatılmış kısmına atıfta bulunduğu anlamına gelir. Genişletilmiş trigofonksiyon değerleri tablosunu ezberleyerek hafızanızı bir kez daha eğitmemek için, teğet periyodunu tekrar çıkaralım:
Teğet fonksiyonunun tuhaflığından yararlandık.
Cevap. a) 1; B) .
Görev No.3. Hesaplamak 
, Eğer .
Kesrin pay ve paydasını 'a bölerek ifadenin tamamını teğetlere indirgeyelim. Aynı zamanda bundan korkamayız çünkü bu durumda teğet değeri mevcut olmayacaktır.
Görev No.4. Ifadeyi basitleştir.
Belirtilen ifadeler indirgeme formülleri kullanılarak dönüştürülür. Sadece alışılmadık bir şekilde derece kullanılarak yazılırlar. İlk ifade genellikle bir sayıyı temsil eder. Tüm trigofonksiyonları tek tek basitleştirelim:
Çünkü , daha sonra fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür, yani. kotanjanta bağlıdır ve açı, orijinal teğetin negatif işarete sahip olduğu ikinci çeyreğe düşer.
Önceki ifadedekiyle aynı nedenlerden dolayı fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür; kotanjanta bağlıdır ve açı, orijinal teğetin pozitif işarete sahip olduğu ilk çeyreğe düşer.
Her şeyi basitleştirilmiş bir ifadeyle değiştirelim:
Sorun #5. Ifadeyi basitleştir.
Uygun formülü kullanarak çift açının tanjantını yazalım ve ifadeyi basitleştirelim:
Son özdeşlik, kosinüs için evrensel değiştirme formüllerinden biridir.
Sorun #6. Hesaplamak.
Önemli olan, ifadenin eşittir olduğu cevabını vermemek gibi standart bir hata yapmamaktır. Arktanjantın temel özelliğini, yanında iki şeklinde bir çarpan olduğu sürece kullanamazsınız. Bundan kurtulmak için, sıradan bir argüman gibi davranırken, çift açının tanjant formülüne göre ifadeyi yazacağız.
Artık arktanjantın temel özelliğini uygulayabiliriz; sayısal sonuçlarında herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın.
Sorun No. 7. Denklemi çözün.
Sıfıra eşit kesirli bir denklemi çözerken, her zaman payın sıfıra eşit olduğu ancak paydanın eşit olmadığı belirtilir, çünkü Sıfıra bölemezsiniz.
İlk denklem, trigonometrik daire kullanılarak çözülebilen en basit denklemin özel bir durumudur. Bu çözümü kendiniz hatırlayın. İkinci eşitsizlik, teğetin kökleri için genel formül kullanılarak, ancak yalnızca işaret eşit olmadığında, en basit denklem olarak çözülür.
Gördüğümüz gibi, bir kök ailesi, denklemi sağlamayan, tamamen aynı türden köklere sahip başka bir aileyi hariç tutar. Onlar. kök yok.
Cevap. Kök yok.
Sorun No. 8. Denklemi çözün.
Hemen ortak çarpanı çıkarabileceğimizi not edelim ve yapalım:
Denklem, çeşitli faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğu standart formlardan birine indirgenmiştir. Bu durumda ya birinin sıfıra, diğerinin ya da üçüncüsüne eşit olduğunu zaten biliyoruz. Bunu bir denklem seti şeklinde yazalım:
İlk iki denklem en basitlerinin özel durumlarıdır, benzer denklemlerle zaten birçok kez karşılaştık, bu yüzden çözümlerini hemen belirteceğiz. Çift açılı sinüs formülünü kullanarak üçüncü denklemi tek bir fonksiyona indirgedik.
Son denklemi ayrı ayrı çözelim:
Bu denklemin kökleri yoktur çünkü sinüs değeri bunun ötesine geçemez 
.
Dolayısıyla çözüm yalnızca ilk iki kök ailesidir; bunlar tek bir ailede birleştirilebilir, bunu trigonometrik çemberde göstermek kolaydır:
 |
Bu, yarıdan oluşan bir ailedir, yani.
Trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye geçelim. İlk olarak, genel çözümler için formüller kullanmadan, trigonometrik çemberi kullanarak örneği çözme yaklaşımını analiz edeceğiz.
Sorun No. 9. Eşitsizliği çözün.
Trigonometrik daire üzerinde sinüs değerine karşılık gelen bir yardımcı çizgi çizelim ve eşitsizliği sağlayan açıların aralığını gösterelim.
 |
Ortaya çıkan açı aralığının tam olarak nasıl gösterileceğini anlamak çok önemlidir; başlangıcı nedir ve sonu nedir? Aralığın başlangıcı, saat yönünün tersine hareket edersek aralığın en başında gireceğimiz noktaya karşılık gelen açı olacaktır. Bizim durumumuzda soldaki nokta burası çünkü saat yönünün tersine hareket edip doğru noktayı geçerken tam tersine gerekli açı aralığını bırakıyoruz. Bu nedenle doğru nokta boşluğun sonuna karşılık gelecektir.
Şimdi eşitsizliğin çözüm aralığının başlangıç ve bitiş açılarını anlamamız gerekiyor. Tipik bir hata, hemen sağ noktanın açıya, sol noktanın ise karşılık geldiğini belirtmek ve cevabı vermektir. Bu doğru değil! Lütfen dikkat edin, her ne kadar alt kısmıyla ilgilensek de, dairenin üst kısmına karşılık gelen aralığı belirttik, yani ihtiyacımız olan çözüm aralığının başlangıcını ve sonunu karıştırdık.
Aralığın sağ noktanın köşesinden başlayıp sol noktanın köşesiyle bitmesi için ilk belirtilen açının ikinciden küçük olması gerekir. Bunu yapmak için, doğru noktanın açısını referansın negatif yönünde ölçmemiz gerekecek, yani. saat yönünde ve eşit olacaktır. Daha sonra buradan saat yönünde pozitif yönde hareket etmeye başlayarak sol noktadan sonra sağ noktaya ulaşacağız ve bunun açı değerini alacağız. Artık açı aralığının başlangıcı bitiş noktasından küçüktür ve çözüm aralığını periyodu hesaba katmadan yazabiliriz:
Bu tür aralıkların herhangi bir tamsayı sayıda dönüşten sonra sonsuz sayıda tekrarlanacağını göz önünde bulundurarak sinüs periyodunu hesaba katan genel bir çözüm elde ederiz:
Eşitsizlik katı olduğu için parantez koyarız ve daire üzerinde aralığın uçlarına karşılık gelen noktaları seçeriz.
Aldığınız cevabı derste verdiğimiz genel çözüm formülüyle karşılaştırın.
Cevap. 
.
Bu yöntem, en basit trigon eşitsizliklerinin genel çözüm formüllerinin nereden geldiğini anlamak için iyidir. Ayrıca tüm bu hantal formülleri öğrenemeyecek kadar tembel olanlar için de faydalıdır. Ancak yöntemin kendisi de kolay değildir; çözüme yönelik hangi yaklaşımın sizin için en uygun olduğunu seçin.
Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için, birim çember kullanılarak gösterilen yönteme benzer şekilde, üzerinde bir yardımcı çizginin oluşturulduğu fonksiyon grafiklerini de kullanabilirsiniz. Eğer ilgileniyorsanız, çözüme yönelik bu yaklaşımı kendiniz bulmaya çalışın. Aşağıda basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel formülleri kullanacağız.
Sorun No. 10. Eşitsizliği çözün.
Eşitsizliğin kesin olmadığı gerçeğini dikkate alarak genel çözüm formülünü kullanalım:
Bizim durumumuzda şunu elde ederiz:
Cevap. 
Sorun No. 11. Eşitsizliği çözün.
Karşılık gelen kesin eşitsizlik için genel çözüm formülünü kullanalım:
Cevap. 
.
Sorun No. 12. Eşitsizlikleri çözün: a) ; B) .
Bu eşitsizliklerde genel çözümlere veya trigonometrik çembere yönelik formülleri kullanmak için acele etmeye gerek yoktur; sinüs ve kosinüs değer aralıklarını hatırlamanız yeterlidir.
a) O zamandan beri 
o zaman eşitsizliğin bir anlamı yoktur. Bu nedenle çözüm yok.
b) Çünkü benzer şekilde, herhangi bir argümanın sinüsü her zaman koşulda belirtilen eşitsizliği karşılar. Bu nedenle argümanın tüm gerçek değerleri eşitsizliği karşılar.
Cevap. a) hiçbir çözüm yok; B) .
Sorun 13. Eşitsizliği çözün 
.
