Konu rasyonel sayılardır. Tamsayılar ve rasyonel sayılar. Gerçek sayılar

16.10.2019

Rasyonel sayılar formun sayılarıdır, burada
bir tamsayıdır ve – doğal. Rasyonel sayılar kümesi harfle gösterilir . Bu durumda ilişki gerçekleşmiş olur
, herhangi bir tamsayı olduğundan
şeklinde temsil edilebilir . Böylece şunu söyleyebiliriz ki rasyonel sayılar– bunların hepsi tam sayılardır, ayrıca pozitif ve negatif sıradan kesirler.

Ondalık Sayılar - bunlar paydanın sıfırlı bir, yani 10 olduğu sıradan kesirler; 100; 1000 vb. Ondalık kesirler payda olmadan yazılır. Öncelikle sayının tamamı yazılır, sağına virgül konulur; Ondalık noktadan sonraki ilk rakam ondalıkların sayısını, ikinci - yüzde birlik, üçüncü - binde birlik vb. anlamına gelir. Virgülden sonraki sayılara ondalık basamaklar denir.

Sonsuz isminde ondalık virgülden sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir sayıdır.

Her rasyonel sayı sonlu veya sonsuz bir ondalık sayı olarak temsil edilebilir. Bu, payın paydaya bölünmesiyle elde edilir.

Sonsuz ondalık kesir denir periyodik Belirli bir yerden başlayarak bir rakam veya rakam grubu birbirini takip ederek tekrarlanıyorsa. Tekrar eden bir rakam veya rakam grubuna nokta denir ve parantez içinde yazılır. Örneğin, .

Bunun tersi de doğrudur: Herhangi bir sonsuz periyodik ondalık kesir şu şekilde temsil edilebilir: ortak kesir.

Periyodik kesirler hakkında bazı bilgileri listeleyelim.

1. Bir kesrin periyodu virgülden hemen sonra başlıyorsa kesir denir tamamen periyodik , virgülden hemen sonra değilse – karışık periyodik .

Örneğin, 1,(58) tamamen periyodik bir kesirdir ve 2,4(67) ise karışık bir periyodik kesirdir.

2. İndirgenemez bir kesir ise paydasının asal faktörlere ayrıştırılması yalnızca 2 ve 5 sayılarını içerecek şekildedir, ardından sayının kaydı ondalık sayı olarak son ondalık kesri temsil eder; belirtilen genişlemede başka asal faktörler varsa, sonsuz bir ondalık periyodik kesir elde edilecektir.

3. İndirgenemez bir kesir ise paydasının asal faktörlere ayrıştırılması 2 ve 5 sayılarını içermeyecek şekildedir, bu durumda sayının kaydedilmesi ondalık kesir biçiminde, tamamen periyodik bir ondalık kesirdir; belirtilen genişlemede diğer asal faktörlerle birlikte 2 veya 5 varsa, sonuç karışık periyodik ondalık kesirdir.

4. Periyodik bir kesir herhangi bir uzunlukta bir periyoda sahip olabilir, yani herhangi bir sayıda rakam içerebilir.

1.3. İrrasyonel sayılar

İrrasyonel sayı sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir denir .

İrrasyonel sayılara örnek olarak, doğal sayıların kareleri olmayan doğal sayıların kökleri verilebilir. Örneğin,
,
. Sayılar irrasyoneldir
;
. İrrasyonel sayılar kümesi harfle gösterilir .

Örnek 1.10. Kanıtla
irrasyonel bir sayıdır.

Çözüm.Öyleymiş gibi yapalım
- rasyonel sayı. Açıkçası, bütün değil ve bu nedenle
, Nerede
Ve – indirgenemez kesir; sayılar anlamına gelir
Ve karşılıklı olarak basit. Çünkü
, O
, yani
.

Bu dersimizde birçok rasyonel sayıyı öğreneceğiz. Rasyonel sayıların temel özelliklerini inceleyelim, ondalık kesirleri sıradan kesirlere ve tam tersini nasıl dönüştüreceğimizi öğrenelim.

Doğal ve tam sayı kümelerinden daha önce bahsetmiştik. Doğal sayılar kümesi tam sayıların bir alt kümesidir.

Artık kesirlerin ne olduğunu öğrendik ve onlarla nasıl çalışacağımızı öğrendik. Örneğin kesir bir tam sayı değildir. Bu, tüm kesirleri içerecek yeni bir sayı kümesini tanımlamamız gerektiği anlamına gelir ve bu kümenin bir isme, açık bir tanıma ve adlandırmaya ihtiyacı vardır.

Adıyla başlayalım. Latince oran kelimesi Rusçaya oran, kesir olarak çevrilmiştir. Yeni kümenin adı “rasyonel sayılar” bu kelimeden gelmektedir. Yani “rasyonel sayılar”, “kesirli sayılar” olarak çevrilebilir.

Bu setin hangi sayılardan oluştuğunu bulalım. Tüm kesirlerden oluştuğunu varsayabiliriz. Örneğin, böyle - . Ancak böyle bir tanım tamamen doğru olmayacaktır. Kesir bir sayının kendisi değil, sayının yazılış şeklidir. Aşağıdaki örnekte iki farklı kesirler aynı sayıyı temsil eder:

O halde rasyonel sayıların kesir olarak gösterilebilecek sayılar olduğunu söylemek daha doğru olacaktır. Ve bu aslında matematikte kullanılan tanımın hemen hemen aynısıdır.

Bu set harfle belirtilir. Doğal ve tam sayı kümelerinin yeni rasyonel sayılar kümesiyle ilişkisi nedir? Bir doğal sayı kesir olarak sonsuz sayıda yazılabilir. Ve kesir olarak temsil edilebildiği için aynı zamanda rasyoneldir.

Negatif tam sayılarda da durum benzerdir. Herhangi bir negatif tam sayı kesir olarak gösterilebilir . Sıfır sayısını kesir olarak göstermek mümkün müdür? Tabii ki, sonsuz sayıda yolla da yapabilirsiniz .

Dolayısıyla tüm doğal sayılar ve tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayılardır. Doğal sayılar ve tam sayılar kümeleri rasyonel sayılar kümesinin () alt kümeleridir.

Aritmetik işlemlere göre kümelerin kapalılığı

Yeni sayıları (tamsayılar, sonra rasyonel) tanıtma ihtiyacı yalnızca aşağıdaki problemlerle açıklanamaz: gerçek hayat. Aritmetik işlemlerin kendisi bize bunu söylüyor. İki doğal sayıyı toplayalım: . Yine doğal bir sayı elde ediyoruz.

Toplama işlemine göre doğal sayılar kümesinin kapalı olduğunu (toplama işlemine göre kapalı) söylüyorlar. Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine kapalı olup olmadığını kendiniz düşünün.

Bir sayıdan eşit veya daha büyük bir şeyi çıkarmaya çalıştığımız anda doğal sayılardan mahrum kalırız. Sıfır ve negatif tam sayıların tanıtılması durumu düzeltir:

Tamsayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Sonucu yazacak bir sayının olmamasından korkmadan (toplama ve çıkarmaya kapalı) herhangi bir tamsayıyı toplayabilir ve çıkartabiliriz.

Tamsayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı mıdır? Evet, herhangi iki tam sayının çarpımı bir tam sayıyla sonuçlanır (toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır).

Bir eylem daha kaldı; bölünme. Tamsayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı mıdır? Cevap açık: hayır. göre bölelim. Tam sayılar arasında cevabı yazacak bir sayı yok: .

Ancak kesir kullanarak neredeyse her zaman bir tam sayıyı diğerine bölmenin sonucunu yazabiliriz. Neden neredeyse? Tanım gereği sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım.

Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi (kesirler tanıtıldığında ortaya çıkar), dört aritmetik işlemin tümü altında kapalı bir küme olduğunu iddia eder.

Hadi kontrol edelim.

Yani rasyonel sayılar kümesi, sıfıra bölme hariç, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalıdır. Bu anlamda rasyonel sayılar kümesinin önceki doğal ve tam sayı kümelerine göre “daha iyi” yapıda olduğunu söyleyebiliriz. Bu, üzerinde çalıştığımız son sayı kümesinin rasyonel sayılar olduğu anlamına mı geliyor? HAYIR. Daha sonra kesir olarak yazılamayan başka sayılara, örneğin irrasyonel sayılara sahip olacağız.

Bir araç olarak sayılar

Sayılar insanın ihtiyaç duydukça yarattığı bir araçtır.

Pirinç. 1. Doğal sayıları kullanmak

Ayrıca, liderlik etmek gerektiğinde nakit ödemeler Sayının önüne orijinal değerin artırılması mı yoksa azaltılması mı gerektiğini belirten artı veya eksi işaretleri yerleştirilmeye başlandı. Negatif ve pozitif sayılar bu şekilde ortaya çıktı. Yeni kümeye tam sayılar kümesi () adı verildi.

Pirinç. 2. Kesirleri Kullanmak

Bu nedenle görünüyor yeni araç, yeni sayılar kesirlerdir. Bunları farklı eşdeğer şekillerde yazıyoruz: sıradan ve ondalık kesirler ( ).

Tüm sayılar - "eski" (tam sayı) ve "yeni" (kesirli) - tek bir kümede birleştirildi ve buna rasyonel sayılar kümesi ( - rasyonel sayılar) adı verildi.

Yani rasyonel sayı, ortak kesir olarak gösterilebilen bir sayıdır. Ancak matematikteki bu tanım daha da netleştirilmiştir. Herhangi bir rasyonel sayı, pozitif paydaya sahip bir kesir, yani bir tam sayının doğal sayıya oranı olarak temsil edilebilir: .

Sonra şu tanımı elde ederiz: Bir sayı, paydası tamsayı olan bir kesir olarak temsil edilebiliyorsa rasyonel sayıdır ve doğal payda ().

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık sayıları da kullanırız. Bunların rasyonel sayılar kümesiyle nasıl ilişkili olduğunu görelim.

Üç tür ondalık sayı vardır: sonlu, periyodik ve periyodik olmayan.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler: Bu tür kesirler aynı zamanda sonsuz sayıda ondalık basamağa sahiptir, ancak dönem yoktur. Bir örnek, PI'nin ondalık gösterimidir:

Tanım gereği herhangi bir sonlu ondalık kesir, paydası vb. olan sıradan bir kesirdir.

Ondalık kesri yüksek sesle okuyalım ve normal biçimde yazalım: , .

Kesir olarak yazmaktan ondalık sayıya geri döndüğünüzde, sonlu ondalık kesirler veya sonsuz periyodik kesirler elde edebilirsiniz.

Kesirden ondalık sayıya dönüştürme

En basit durum, bir kesrin paydasının on katı olması durumudur: vb. Daha sonra ondalık kesrin tanımını kullanırız:

Paydası kolaylıkla bu forma indirgenebilen kesirler vardır: . Paydanın açılımı sadece ikili ve beşlileri içeriyorsa böyle bir gösterime gitmek mümkündür.

Payda üç iki ve bir beşten oluşur. Her biri onluk bir sayı oluşturur. Bu iki tane eksik olduğumuz anlamına geliyor. Hem pay hem de paydayla çarpın:

Farklı yapılabilirdi. Bir sütuna bölün (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 2. Sütun bölümü

With durumunda, paydanın genişletilmesi bir üçlü içerdiğinden payda başka bir rakama dönüştürülemez. Geriye tek bir yol kaldı - bir sütuna bölmek (bkz. Şekil 2).

Her adımda böyle bir bölme, bir kalan ve bir bölüm verecektir. Bu süreç sonsuzdur. Yani, periyodu olan sonsuz bir periyodik kesirimiz var

Hadi pratik yapalım. Sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürelim.

Tüm bu örneklerde, payda genişletmesi yalnızca ikileri ve beşleri içerdiğinden son ondalık kesirle karşılaştık.

(bir tabloya bölerek kendimizi kontrol edelim - bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3. Uzun bölme

Pirinç. 4. Sütun bölümü

(bkz. Şekil 4)

Paydanın genişletilmesi bir üçlü içerir; bu, paydanın forma getirilmesi anlamına gelir, vb. çalışmayacak. Bir sütuna bölün. Durum kendini tekrar edecek. Sonuç kaydında sonsuz sayıda üçlü olacaktır. Böylece, .

(bkz. Şekil 5)

Pirinç. 5. Sütun bölümü

Yani herhangi bir rasyonel sayı sıradan bir kesir olarak gösterilebilir. Bu onun tanımı.

Ve herhangi bir sıradan kesir, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Kesir kaydetme türleri:

ondalık kesirin sıradan bir kesir biçiminde kaydedilmesi: ; ;

ortak bir kesirin ondalık sayı olarak yazılması: (son kesir); (sonsuz periyodik).

Yani herhangi bir rasyonel sayı sonlu veya periyodik ondalık kesir olarak yazılabilir. Bu durumda, son kesirin sıfır periyoduyla periyodik olduğu da düşünülebilir.

Bazen bir rasyonel sayıya tam olarak bu tanım verilir: rasyonel sayı, periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.

Periyodik Kesir Dönüşümü

Öncelikle periyodu tek rakamdan oluşan ve ön periyodu olmayan bir kesri ele alalım. Bu sayıyı harfle gösterelim. Yöntem aynı döneme sahip başka bir sayı elde etmektir:

Bu, orijinal sayıyı ile çarparak yapılabilir. Yani sayı aynı periyoda sahiptir. Sayının kendisinden çıkarın:

Her şeyi doğru yaptığımızdan emin olmak için şimdi şuraya geçiş yapalım: ters taraf, bizim tarafımızdan zaten bilinen bir şekilde - bir sütuna bölünerek (bkz. Şekil 1).

Aslında bir sayıyı orijinal haliyle noktayla birlikte elde ederiz.

Ön dönemi ve daha uzun dönemi olan bir sayıyı ele alalım: . Yöntem tamamen aynı kalıyor önceki örnek. Aynı periyoda ve aynı uzunlukta bir ön periyoda sahip yeni bir sayı almamız gerekiyor. Bunu yapmak için virgülün nokta uzunluğu kadar sağa doğru hareket etmesi gerekir, yani. iki karakterle. Orijinal sayıyı şu şekilde çarpın:

Ortaya çıkan ifadeden orijinal ifadeyi çıkaralım:

Peki çeviri algoritması nedir? Periyodik kesir, ondalık kesrin periyodundaki basamak sayısı kadar sıfır içeren bir form vb. Sayıyla çarpılmalıdır. Yeni bir periyodik olanı alıyoruz. Örneğin:

Bir periyodik kesirden bir başkasını çıkararak son ondalık kesri elde ederiz:

Orijinal periyodik kesri sıradan bir kesir biçiminde ifade etmeye devam ediyor.

Pratik yapmak için birkaç periyodik kesiri kendiniz yazın. Bu algoritmayı kullanarak bunları sıradan bir kesir biçimine indirin. Hesap makinesini kontrol etmek için payı paydaya bölün. Her şey doğruysa orijinal periyodik kesri elde edersiniz

Yani herhangi bir sonlu veya sonsuz periyodik kesri sıradan bir kesir olarak, bir doğal sayının bir tamsayıya oranı olarak yazabiliriz. Onlar. bu tür kesirlerin tümü rasyonel sayılardır.

Periyodik olmayan kesirler ne olacak? Periyodik olmayan kesirlerin sıradan kesirler olarak temsil edilemeyeceği ortaya çıktı (bu gerçeği kanıt olmadan kabul edeceğiz). Bu onların rasyonel sayılar olmadığı anlamına gelir. Bunlara irrasyonel denir.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler

Daha önce de söylediğimiz gibi, ondalık gösterimdeki rasyonel sayı ya sonlu ya da periyodik bir kesirdir. Bu, eğer sonsuz, periyodik olmayan bir kesir oluşturabilirsek, o zaman rasyonel olmayan, yani irrasyonel bir sayı elde edeceğimiz anlamına gelir.

Bunu oluşturmanın bir yolu şudur: Bu sayının kesirli kısmı yalnızca sıfırlardan ve birlerden oluşur. Birler arasındaki sıfırların sayısı artar. Tekrarlanan kısmı burada vurgulamak mümkün değil. Yani kesir periyodik değildir.

Periyodik olmayan ondalık kesirleri, yani irrasyonel sayıları kendi başınıza oluşturma alıştırması yapın

İrrasyonel sayının bilinen bir örneği pi'dir ( ). Bu girdide nokta yoktur. Ancak pi'nin yanı sıra sonsuz sayıda irrasyonel sayı daha vardır. İrrasyonel sayılar hakkında daha sonra daha fazla konuşacağız.

Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31. baskı, silindi. - M: Mnemosyne, 2013.
Matematik 5. sınıf. Erina T.M.. Çalışma kitabı Vilenkin N.Ya., M.: Sınav, 2013'ün ders kitabına.
Matematik 5. sınıf. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M .: Ventana - Graf, 2013.

Math-prosto.ru ().
Cleverstudents.ru ().
Matematik-repetition.com ().

Ev ödevi

) pozitif veya negatif işaretli (tamsayılar ve kesirler) ve sıfır olan sayılardır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- ortak kesir olarak temsil edilen bir sayı a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N — tamsayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

Gerçek hayatta rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

1. Düzenlilik A Ve B aralarındaki 3 ilişkiden 1'ini ve yalnızca birini açıkça tanımlamanıza izin veren bir kural var: "<», «>" veya "=". Bu kural - sıralama kuralı ve bunu şu şekilde formüle edin:

2 pozitif sayılar a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiye sahiptirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayı ile aynı oranda ilişkilidirler |b| Ve |bir|;
Ne zaman A olumlu ve B- negatif o zaman a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Ekleme işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada toplama kuralı onlara belirli bir rasyonel sayı atar C. Üstelik sayının kendisi C- Bu toplam sayılar A Ve B ve şu şekilde gösterilir (a+b) toplama.

Toplama Kuralıöyle görünüyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Çarpma işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada çarpma kuralı onları belirli bir rasyonel sayıyla ilişkilendirir C. c sayısına denir iş sayılar A Ve B ve belirtmek (a⋅b) ve bu numarayı bulma işlemine denir çarpma işlemi.

Çarpma kuralıöyle görünüyor: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Kullanılabilirlik zıt sayılar . Her rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Soru⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Soru⋅ 1=a

12. Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Soru⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Sol ve sağ kısımlara rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyin.

∀ ABC∈ Soru ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

Bu makale "Rasyonel sayılar" konusunun incelenmesine ayrılmıştır. Aşağıda rasyonel sayıların tanımları, örnekleri verilmiş ve bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceği anlatılmıştır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel sayılar. Tanımlar

Rasyonel sayıların tanımını vermeden önce başka sayı kümelerinin neler olduğunu ve bunların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu hatırlayalım.

Doğal sayılar, karşıtları ve sıfır sayısıyla birlikte tam sayılar kümesini oluşturur. Buna karşılık, tamsayı kesirli sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesini oluşturur.

Tanım 1. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, pozitif ortak kesir a b, negatif ortak kesir a b veya sıfır sayısı olarak temsil edilebilen sayılardır.

Böylece rasyonel sayıların bazı özelliklerini koruyabiliriz:

Her doğal sayı rasyonel bir sayıdır. Açıkçası, her doğal sayı n, 1 n kesri olarak temsil edilebilir.
0 sayısı da dahil olmak üzere her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı ve herhangi bir negatif tam sayı, sırasıyla pozitif veya negatif bir sıradan kesir olarak kolayca temsil edilebilir. Örneğin 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Herhangi bir pozitif veya negatif ortak kesir a b bir rasyonel sayıdır. Bu doğrudan yukarıda verilen tanımdan kaynaklanmaktadır.
Herhangi bir karışık sayı rasyoneldir. Aslında karışık bir sayı, sıradan bir uygunsuz kesir olarak temsil edilebilir.
Herhangi bir sonlu veya periyodik ondalık kesir, kesir olarak temsil edilebilir. Bu nedenle her periyodik veya sonlu ondalık kesir bir rasyonel sayıdır.
Sonsuz ve periyodik olmayan ondalıklar rasyonel sayılar değildir. Sıradan kesirler şeklinde temsil edilemezler.

Rasyonel sayılara örnekler verelim. 5, 105, 358, 1100055 sayıları doğal, pozitif ve tam sayıdır. Açıkçası bunlar rasyonel sayılardır. -2, -358, -936 sayıları negatif tam sayılardır ve tanımına göre de rasyoneldirler. 3 5, 8 7, - 35 8 ortak kesirleri de rasyonel sayılara örnektir.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısaca formüle edilebilir. Bir kez daha rasyonel sayı nedir sorusunun cevabını vereceğiz.

Tanım 2. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, z'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu, ± z n kesri olarak temsil edilebilen sayılardır.

Bu gösterilebilir bu tanım rasyonel sayıların önceki tanımına eşdeğerdir. Bunu yapmak için kesir çizgisinin bölme işaretine eşdeğer olduğunu unutmayın. Tam sayıları bölmenin kurallarını ve özelliklerini dikkate alarak aşağıdaki adil eşitsizlikleri yazabiliriz:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Böylece şunu yazabiliriz:

z n = z n , p r ve z > 0 0 , p r ve z = 0 - z n , p r ve z< 0

Aslında bu kayıt delildir. İkinci tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ve - 1 3 5 sayılarını düşünün. Tüm bu sayılar rasyoneldir, çünkü bir tamsayı pay ve doğal paydayla kesir olarak yazılabilirler: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Rasyonel sayıların tanımı için başka bir eşdeğer form verelim.

Tanım 3. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.

Bu tanım doğrudan bu paragrafın ilk tanımından kaynaklanmaktadır.

Bu noktayı özetleyip formüle edelim:

Pozitif ve negatif kesirler ve tamsayılar rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
Her rasyonel sayı, payı bir tam sayı ve paydası bir doğal sayı olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
Her rasyonel sayı aynı zamanda ondalık kesir olarak da temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik.

Hangi sayı rasyoneldir?

Daha önce de öğrendiğimiz gibi, herhangi bir doğal sayı, tam sayı, uygun ve yanlış sıradan kesir, periyodik ve sonlu ondalık kesir rasyonel sayılardır. Bu bilgiyle donanmış olarak belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını kolaylıkla belirleyebilirsiniz.

Ancak pratikte çoğu zaman sayılarla değil, kökleri, kuvvetleri ve logaritmaları içeren sayısal ifadelerle uğraşmak gerekir. Bazı durumlarda "sayı rasyonel midir?" sorusunun cevabı açık olmaktan çok uzaktır. Bu soruyu cevaplamanın yöntemlerine bakalım.

Bir sayı yalnızca rasyonel sayıları içeren bir ifade olarak verilirse ve Aritmetik işlemler aralarında ise ifadenin sonucu bir rasyonel sayıdır.

Örneğin 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ifadesinin değeri bir rasyonel sayıdır ve 18'e eşittir.

Böylece kompleksin basitleştirilmesi sayısal ifade Belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemenizi sağlar.

Şimdi kökün işaretine bakalım.

M sayısının n kuvvetinin kökü olarak verilen m n sayısının, yalnızca m'nin bir doğal sayının n'inci kuvveti olması durumunda rasyonel olduğu ortaya çıktı.

Bir örneğe bakalım. 2 sayısı rasyonel değildir. Oysa 9, 81 rasyonel sayılardır. 9 ve 81 sırasıyla 3 ve 9 sayılarının tam kareleridir. 199, 28, 15 1 sayıları rasyonel sayılar değildir, çünkü kök işaretinin altındaki sayılar herhangi bir doğal sayının tam kareleri değildir.

Şimdi daha karmaşık bir durumu ele alalım. 243 5 rasyonel bir sayı mıdır? 3'ün beşinci kuvvetini yükseltirseniz 243 elde edersiniz, dolayısıyla orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 243 5 = 3 5 5 = 3. Bu nedenle bu sayı rasyoneldir. Şimdi 121 5 sayısını ele alalım. Bu sayı irrasyoneldir çünkü beşinci kuvvetine yükseltildiğinde 121 veren bir doğal sayı yoktur.

Bir a sayısının b tabanına göre logaritmasının rasyonel sayı olup olmadığını öğrenmek için çelişki yöntemini uygulamanız gerekir. Örneğin rasyonel olup olmadığını öğreniyoruz. günlük numarası 2 5. Bu sayının rasyonel olduğunu varsayalım. Eğer öyleyse, o zaman sıradan bir kesir log 2 5 = m n şeklinde yazılabilir. Logaritmanın ve derecenin özelliklerine göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Açıkçası, sol ve sağ taraflar sırasıyla tek ve çift sayılar içerdiğinden son eşitlik imkansızdır. Dolayısıyla yapılan varsayım yanlıştır ve log 2 5 rasyonel bir sayı değildir.

Sayıların rasyonelliğini ve irrasyonelliğini belirlerken ani kararlar vermemeniz gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğin irrasyonel sayıların çarpımının sonucu her zaman irrasyonel sayı değildir. İyi bir örnek: 2 · 2 = 2 .

Ayrıca irrasyonel bir güce yükseltilmesi rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılar da vardır. 2 log 2 3 formundaki bir kuvvette taban ve üs irrasyonel sayılardır. Ancak sayının kendisi rasyoneldir: 2 log 2 3 = 3.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.