Első szint

Aritmetikai progresszió. Részletes elmélet példákkal (2019)

Számsorozat

Szóval, üljünk le, és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhatsz, és annyi lehet, amennyit akarsz (esetünkben ilyenek vannak). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Számsorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy számra vonatkozik a sorozatban. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a th szám) mindig ugyanaz.
A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy számsorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Ezt a számsorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző vezette be még a 6. században, és tágabb értelemben végtelen számsorozatként értelmezték. Az „aritmetika” elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amelyet az ókori görögök tanulmányoztak.

Ez egy számsorozat, amelynek minden tagja egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva. Ezt a számot aritmetikai progresszió különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk meg megtalálni a th tag értékét. Létezik kettő megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatjuk a progressziószámot az előző értékhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát venne igénybe, és nem tény, hogy nem hibáznánk a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitalálták azt a módot, hogy nem szükséges egy számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg közelebbről a megrajzolt képet... Bizonyára Ön is észrevett már egy bizonyos mintát, mégpedig:

Például nézzük meg, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak az értéke:


Más szavakkal:

Próbáld meg magad is így megtalálni egy adott számtani sorozat tagjának értékét.

Kiszámoltad? Hasonlítsa össze a jegyzeteit a válasszal:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor az aritmetikai progresszió tagjait szekvenciálisan hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg "személyteleníteni" ezt a képletet- Vigyük el hozzá általános formaés kapjuk:

Aritmetikai progresszió egyenlete.

Az aritmetikai progressziók növekedhetnek vagy csökkenhetnek.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor használják.
Vizsgáljuk meg ezt a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll: Nézzük meg, mi lesz ennek az aritmetikai sorozatnak a száma, ha a képletünket használjuk a kiszámításához:

Azóta:

Így meg vagyunk győződve arról, hogy a képlet csökkenő és növekvő aritmetikai progresszióban is működik.
Próbálja meg saját maga megtalálni ennek az aritmetikai sorozatnak a th és th tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk a problémát – levezetjük az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Na akkor hadd:

Teljesen igaza van. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek, előfordulhat, hogy tévednek a számításokban.
Most gondoljon arra, hogy meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és ezt igyekszünk most kihozni.

Jelöljük az aritmetikai progresszió szükséges tagját úgy, hogy a megtalálásának képlete ismert – ez ugyanaz a képlet, amelyet az elején levezettünk:
, Akkor:

• a progresszió előző tagja:
• a progresszió következő tagja:

Foglaljuk össze a progresszió előző és későbbi feltételeit:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege a közöttük elhelyezkedő progressziótag dupla értéke. Más szavakkal, egy ismert korábbi és egymást követő értékekkel rendelkező progressziós tag értékének meghatározásához össze kell adni őket, és el kell osztani velük.

Így van, ugyanaz a számunk. Biztosítsuk az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, ez egyáltalán nem nehéz.

Szép munka! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a „matematikusok királya” - Karl Gauss - könnyen levezetett...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, egy tanár, aki azzal volt elfoglalva, hogy ellenőrizte a diákok munkáját más osztályokban, a következő feladatot adta az órán: „Számítsa ki az összes természetes szám összegét től-ig (más források szerint) inkluzívan.” Képzeljük el a tanár meglepetését, amikor az egyik tanítványa (ez Karl Gauss volt) egy perccel később helyes választ adta a feladatra, miközben a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy bizonyos mintát, amelyet Ön is könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy aritmetikai sorozatunk, amely -edik tagokból áll: Meg kell találnunk a számtani folyamat ezen tagjainak összegét. Természetesen manuálisan is összegezhetjük az összes értéket, de mi van akkor, ha a feladathoz meg kell találni a tagok összegét, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg alaposan a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.


Kibróbáltad? mit vettél észre? Jobb! Összegük egyenlő

Most mondd meg, hány ilyen pár van összesen a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy aritmetikai sorozat két tagjának összege egyenlő, és a hasonló párok egyenlőek, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progresszió különbségét. Próbálja meg behelyettesíteni a th tag képletét az összegképletbe.
Mit kaptál?

Szép munka! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak feltett feladathoz: számolja ki magának, hogy a th-től kezdődő számok összege hányados, és mennyivel egyenlő a th-től kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss megállapította, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege egyenlő. Így döntöttél?

Valójában az ókori görög tudós, Diophantus bizonyította be az aritmetikai haladás összegének képletét a 3. században, és ez idő alatt a szellemes emberek teljes mértékben kihasználták a számtani progresszió tulajdonságait.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb építkezést - egy piramis építését... A képen az egyik oldala látható.

Hol van itt a fejlődés, azt mondod? Nézze meg alaposan, és keresse meg a mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.


Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számítsa ki, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha tömbtéglákat helyeznek az alapra. Remélem, nem fog számolni, miközben az ujját a monitoron mozgatja, emlékszik az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a progresszió így néz ki: .
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be adatainkat az utolsó képletekbe (2 módon számítsuk ki a blokkok számát).

1. módszer.

2. módszer.

És most már számolhat a monitoron: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megvan? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni az alján lévő tömbökből, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Kiképzés

Feladatok:

1. Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni egy héten, ha az első edzésen guggolt?
2. Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
3. A naplók tárolása során a fakitermelők úgy rakják egymásra azokat, hogy mindegyik felső réteg eggyel kevesebb naplót tartalmaz, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk?

Válaszok:

1. Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
   (hetek = napok).

   Válasz: Két hét múlva Masha naponta egyszer guggolást kell végeznie.

2. Első páratlan szám, utolsó szám.
   Aritmetikai progresszió különbség.
   A páratlan számok száma fele, de nézzük meg ezt a tényt a számtani sorozat tizedik tagjának meghatározására szolgáló képlettel:

   A számok páratlan számokat tartalmaznak.
   Helyettesítsük be a rendelkezésre álló adatokat a képletbe:

   Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.

3. Emlékezzünk a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, akkor összesen egy csomó réteg van, azaz.
   Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

   Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Foglaljuk össze

1. - olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Lehet növekvő vagy csökkenő.
2. Képlet keresése Egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
3. Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - hol a folyamatban lévő számok száma.
4. Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:
   
   , ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. ÁTLAGOS SZINT

Számsorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Számsorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és egy egyedihez. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, a különbség pedig egyenlő). Vagy (, különbség).

Formula n-edik tag

Ismétlődő képletnek nevezünk, amelyben a th tag megismeréséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy ezzel a képlettel megtaláljuk például a progresszió edik tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hagyd. Akkor:

Nos, most már világos, hogy mi a képlet?

Minden sorban hozzáadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Melyik? Nagyon egyszerű: ez a jelenlegi tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. Mi a különbség? Íme:

(Ezért nevezik különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Ekkor a századik tag egyenlő:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint nagy matematikus Karl Gauss 9 éves kisfiúként néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. szám összege a végétől azonos, és így tovább. Hány ilyen pár van összesen? Ez így van, pontosan fele az összes szám számának, vagyis. Így,

Az általános képlet bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegére a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden további számot az előző számhoz hozzáadva kapunk. Így az általunk érdekelt számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak az első taggal és a különbséggel.

Ennek a progressziónak a képlete:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek két számjegyűnek kell lennie?

Nagyon könnyű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

1. A sportoló minden nap több métert fut, mint előző nap. Összesen hány kilométert fut le egy hét alatt, ha az első napon km m-t futott?
2. Egy kerékpáros minden nap több kilométert tesz meg, mint előző nap. Az első napon km-t utazott. Hány napot kell utaznia egy kilométer megtételéhez? Hány kilométert fog megtenni utazása utolsó napján?
3. A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent évente egy hűtőszekrény ára, ha rubelért kínálták fel, hat évvel később pedig rubelért adták el.

Válaszok:

1. Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
   .
   Válasz:
2. Itt van megadva: , meg kell találni.
   Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
   .
   Cserélje be az értékeket:

   A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
   Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett utat a th tag képletével:
   (km).
   Válasz:

3. Adott: . Megtalálja: .
   Nem is lehetne egyszerűbb:
   (dörzsölés).
   Válasz:

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Ez egy olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió lehet növekvő () és csökkenő ().

Például:

Képlet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának megtalálására

a képlet írja le, ahol a folyamatban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Lehetővé teszi, hogy könnyen megtalálja egy progresszió tagját, ha ismertek a szomszédos tagok - hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

Hol van az értékek száma.

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért letette az egységes államvizsgát, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET A TÉMÁBAN A PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor - egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, nézzük meg, mi is az a számsorozat, mivel az aritmetikai sorozat a számsorozat speciális esete.

A számsorozat egy számhalmaz, amelynek minden eleme megvan a maga sajátossága sorozatszám . Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelem sorozatszámát index jelzi:

A sorozat első eleme;

A sorozat ötödik eleme;

- a sorozat „n-edik” eleme, azaz. "sorban álló" elem az n számon.

Egy sorelem értéke és sorszáma között kapcsolat van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szóval ezt mondhatjuk a sorozat a természetes argumentum függvénye:

A sorrend háromféleképpen állítható be:

1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.

Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodásba kezd, és először megszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Az időt a táblázatban rögzítve hét elemből álló sorozatot kap:

A táblázat első sora a hét napjának számát, a második az időt percekben jelzi. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.

2 . A sorozatot az n-edik tagképlet segítségével adhatjuk meg.

Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.

Például ha , akkor

Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.

Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Az argumentum értékét behelyettesítjük a függvényegyenletbe:

Ha pl. , Azt

Hadd jegyezzem meg még egyszer, hogy egy sorozatban, egy tetszőleges numerikus függvénytől eltérően, az argumentum csak természetes szám lehet.

3 . A sorozat egy képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sortag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak a sorozattag számát ismerjük, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.

Vegyük például a sorrendet ,

Megtaláljuk a sorozattagok értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:

Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A sorozat megadásának ezt a módszerét ún visszatérő, a latin szóból recurro- Gyere vissza.

Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy számsorozat egyszerű speciális esete.

Aritmetikai progresszió egy numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva.

A számot hívják aritmetikai progresszió különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy egyenlő nullával.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.

Például 2; 5; 8; tizenegy;...

Ha , akkor egy aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, és a progresszió igen csökkenő.

Például 2; -1; -4; -7;...

Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.

Például 2;2;2;2;...

Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:

Nézzük a rajzot.

Ezt látjuk

, és ugyanakkor

Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:

.

Oszd el az egyenlőség mindkét oldalát 2-vel:

Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a két szomszédos szám számtani átlagával:

Ráadásul mivel

, és ugyanakkor

, Azt

, és ezért

Egy aritmetikai sorozat minden tagja title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

A th tag képlete.

Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió feltételei kielégítik a következő összefüggéseket:

és végül

Kaptunk az n-edik tag képlete.

FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető a és segítségével. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.

Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.

Egy tetszőleges aritmetikai sorozatban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:

Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a progressziónak n tagjának összege egyenlő.

Rendezzük a haladás feltételeit először növekvő, majd csökkenő sorrendbe:

Tegyük hozzá párban:

A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.

Kapunk:

Így, egy aritmetikai progresszió n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:

Mérlegeljük számtani progressziós feladatok megoldása.

1 . A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.

Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség nem függ azok számától, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...

a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!

b) Határozza meg, hogy a 41-es szám szerepel-e ebben a haladásban!

A) Azt látjuk ;

Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.

Általában

A mi esetünkben , Ezért

Egy aritmetikai sorozat összege.

Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Értelemben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az alaptól egészen a szilárdig.

Először is értsük meg az összeg jelentését és képletét. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése egyszerű, mint a mú. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok van, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ilyenkor a képlet segít.

Az összeg képlete egyszerű:

Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ez sok mindent tisztáz majd.

S n - egy számtani sorozat összege. Összeadás eredménye mindenki tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Pontosan összeadódnak Minden a tagokat sorban, kihagyás vagy kihagyás nélkül. És egészen pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödik és a huszadik tagok összege, a képlet közvetlen alkalmazása csalódást okoz.)

egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.

a n- utolsó a progresszió tagja. A sorozat utolsó száma. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.

n - az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.

Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Trükkös kérdés: melyik lesz a tag az utolsó ha adott végtelen aritmetikai progresszió?)

A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és... figyelmesen olvasd el a feladatot!)

Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kell. Ellenkező esetben végleges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldás szempontjából nem mindegy, hogy a progresszió adott: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogy hogyan adjuk meg: egy számsor, vagy egy képlet az n-edik taghoz.

A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. Egy feladatban ez az összes értékes információ gyakran titkosítva van, igen... De sebaj, az alábbi példákban ezeket a titkokat fedjük fel.)

Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegén.

Először is, hasznos információk:

Az aritmetikai progresszió összegét tartalmazó feladatoknál a fő nehézség a képlet elemeinek helyes meghatározásában rejlik.

A feladatírók ugyanazokat az elemeket titkosítják határtalan képzelőerő.) Itt a lényeg, hogy ne félj. Az elemek lényegének megértéséhez elég egyszerűen megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy valódi GIA-n alapuló feladattal.

1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tagjának összegét.

Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a mennyiség meghatározásához a képlet segítségével? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.

Hol kaphatom meg az utolsó tag számát? n? Igen, ott, feltétellel! Azt mondja: találd meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen számmal lesz? utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n behelyettesítjük a képletbe egy 10, és helyette n- tíz. Ismétlem, az utolsó tag száma egybeesik a tagok számával.

Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell ezt csinálni? Vegyen részt az előző leckében, e nélkül nincs mód.

egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

egy 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Kiderítettük a számtani sorozat összegének képletének összes elemének jelentését. Nincs más hátra, mint helyettesíteni őket, és megszámolni:

Ez az. Válasz: 75.

Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:

2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 = 2,3. Keresse meg az első 15 tagjának összegét.

Azonnal írjuk az összegképletet:

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Marad az összes elemet behelyettesíteni a képletbe egy aritmetikai progresszió összegére, és kiszámítani a választ:

Válasz: 423.

Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n Egyszerűen behelyettesítjük a képletet az n-edik tagra, és megkapjuk:

Mutassunk be hasonlókat, és kapjunk egy új képletet egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:

Amint látja, ez itt nem kötelező n-edik tag a n. Bizonyos problémákban ez a képlet nagy segítség, igen... Emlékezhet erre a képletre. Vagy egyszerűen visszavonhatja a megfelelő időben, például itt. Végül is mindig emlékeznie kell az összeg képletére és az n-edik tag képletére.)

Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):

3. Határozzuk meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!

Azta! Sem az első tagod, sem az utolsó, sem a továbbjutásod... Hogyan élj!?

A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből az aritmetikai progresszió összegének összes elemét. Tudjuk, mik a kétjegyű számok. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, feltehetően.) A utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...

Három többszörösei... Hm... Ezek hárommal osztható számok, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már le is írhat egy sorozatot a probléma feltételei szerint:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan háromban különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adsz egy kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. az új szám már nem osztható 3-mal. Azonnal meghatározhatja a számtani sorozat különbségét: d = 3. Jól fog jönni!)

Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:

Mi lesz a szám? n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... A számok mindig sorban mennek, de tagjaink három fölé ugranak. Nem egyeznek.

Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Felírhatod a haladást, a teljes számsort, és az ujjaddal megszámolhatod a tagok számát.) A második út a megfontoltak számára. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet alkalmazzuk a problémánkra, azt találjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.

Nézzük meg az aritmetikai progresszió összegének képletét:

Nézzük és örülünk.) A problémafelvetésből kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:

egy 1= 12.

egy 30= 99.

S n = S 30.

Már csak az elemi aritmetika van hátra. Behelyettesítjük a számokat a képletbe, és kiszámítjuk:

Válasz: 1665

Egy másik népszerű rejtvénytípus:

4. Adott egy aritmetikai progresszió:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Határozza meg a tagok összegét huszadiktól harmincnégyig!

Megnézzük az összeg képletét és... kiborulunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámolja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.

Természetesen kiírhatja a teljes folyamatot egy sorozatba, és hozzáadhatja a 20-tól 34-ig terjedő kifejezéseket. De... ez valahogy hülyeség és sokáig tart, nem?)

Van ennél elegánsabb megoldás is. Osszuk két részre sorozatunkat. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsztól harmincnégyig. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész feltételeinek összegével S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ebből láthatjuk, hogy találja meg az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük el?

Kivonjuk a progresszió paramétereit a problémanyilatkozatból:

d = 1,5.

egy 1= -21,5.

Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Kiszámítjuk őket az n-edik tag képletével, mint a 2. feladatban:

egy 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

egy 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nem maradt semmi. A 34 tag összegéből vonjuk le a 19 tag összegét:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Válasz: 262,5

Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos trükk a probléma megoldására. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk valami, amire úgy tűnik, nincs szükség - S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Ez a fajta „fülcsalás” gyakran kíméli meg gonosz problémáktól.)

Ebben a leckében olyan feladatokat vizsgáltunk, amelyekhez elég megérteni egy számtani sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)

Gyakorlati tanácsok:

Bármilyen aritmetikai progresszió összegével kapcsolatos probléma megoldásakor azt javaslom, hogy azonnal írjuk ki ebből a témából a két fő képletet.

Az n-edik tag képlete:

Ezek a képletek azonnal megmondják, mit kell keresni, és milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.

És most az önálló megoldás feladatai.

5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!

Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.

6. A számtani progressziót a következő feltétel adja: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tagjának összegét.

Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a linket, ilyen problémák gyakran előfordulnak az Állami Tudományos Akadémián.

7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a kedvencemnek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön el 500 rubelt az első napon, és minden további napon 50 rubel többet költ, mint az előző! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?

Nehéz?) Segít? kiegészítő képlet a 2. feladatból.

Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt sugallják, hogy még nem tudjátok, mi az a számtani progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.

Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal különbözik az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, mindegyik következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a fejlődést veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négy utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió stacionárius sorozattá redukálódik azonos számok: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.

Progressziós tagok és ismétlődési képlet

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Figyelem: fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha a hetedik tagja -40, a tizenhetedik tagja pedig -50.

Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]

Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! A probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha kivesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egyszerű, de nagyon hasznos ingatlan, amit feltétlenül tudnod kell - segítségével számtalan progressziós probléma megoldását jelentősen felgyorsíthatod. Íme egy világos példa erre:

3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.

Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot úgy, hogy egymás után végigjárjuk az elemeket. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.

4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban –38,5; −35,8; ...?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni: meddig (vagyis meddig természetes szám$n$) a kifejezések negativitása megmarad:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .

5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlettel:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.

Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amely sok időt és egyenlőtlen cellákat takarít meg a jövőben :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:

A számegyenes számtani sorozatának feltételei

Kifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk fel az összes megjelölt kifejezésre:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, akkor mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép

A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézd meg:

6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Klasszikusnak bizonyult másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: −3; 2.

7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük a $x=-3$-t:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön kijelentem: ott is minden rendben van.

Általában az utolsó problémák megoldása közben találkoztunk egy másikkal Érdekes tény, amit szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.

Elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

A számegyenesen 6 elem található

Próbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezekből az elemekből kezdünk lépni ellentétes oldalak(egymás felé vagy fordítva, hogy távolodjunk), akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:

Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak

Megértés ezt a tényt lehetővé teszi számunkra, hogy a problémákat alapvetően jobban megoldjuk magas szint nehézségeket, mint amiket fentebb gondoltunk. Például ezek:

8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es általános szorzót. Így a szükséges szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy felfelé ágazó parabola lesz, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez pozitív szám, tehát valójában egy felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

menetrend másodfokú függvény- parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő az átlaggal számtani számok–66 és –6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mit ad nekünk a felfedezett szám? Ezzel elviszi a kívánt terméket legkisebb érték(egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ez nem kötelező tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ :)

Válasz: −36

9. feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1)(6)$. És ha a $x$ és $z$ számokból benne vagyunk Ebben a pillanatban nem kaphatunk $y$-t, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. Ezért

Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.

Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szóproblémák progressziókkal

Végezetül szeretnék néhány viszonylagos egyszerű feladatokat. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a matematika egységes államvizsgájában ilyen típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt készített, és mindegyikben következő hónap 14-el több alkatrészt gyártott, mint az előző. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt ​​részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrész készül.

12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előzőben. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák már az ókorban is léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Tehát az egyik papiruszban Az ókori Egyiptom", melynek matematikai tartalma - a Rhind papirusz (Kr. e. 19. század) - a következő feladatot tartalmazza: osszon el tíz mérték kenyeret tíz ember között, feltéve, hogy a különbség a mérték egy nyolcad része."

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Így az alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és Euklidész elemeihez a tizennegyedik könyvet adta) így fogalmazta meg a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint a tagok számának 1/2 négyzetének 1. elemének összege."

A sorozatot an jelöli. A sorozat számait tagjainak nevezzük, és általában betűkkel jelölik, amelyek a tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” stb ).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Ez alatt azt értjük, amelyet az előző (n) azonos d számú tag összeadásával kapunk, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai sorozatot végesnek nevezünk, ha csak az első néhány tagját vesszük figyelembe. Nagyon Nagy mennyiségű tagjai már végtelen fejlődésnek számítanak.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet határoz meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Az ellenkező állítás teljesen igaz: ha egy sorozatot hasonló képlettel adunk meg, akkor az pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Fordítva: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző és a következő tag számtani átlaga, i.e. ha a feltétel teljesül, akkor ez a sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség egyben a progresszió jele is, ezért általában a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezik.
   Ugyanígy igaz az a tétel, amely ezt a tulajdonságot tükrözi: egy sorozat csak akkor aritmetikai progresszió, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k progressziós számok).

Egy aritmetikai sorozatban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlettel:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagján keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Az aritmetikai sorozat tagjainak összegét (ami egy véges haladás első n tagját jelenti) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok körülményeitől és a kezdeti adatoktól függ.

Bármilyen szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,...- legegyszerűbb példa aritmetikai progresszió.

A számtani haladás mellett létezik egy geometriai haladás is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.