Hogyan találjuk meg egy függvény legnagyobb értékét. Hogyan találjuk meg egy függvény legkisebb értékét

Kicsi és csinos egyszerű feladat azok kategóriájából, amelyek egy lebegő diák számára mentőként szolgálnak. Július közepe van a természetben, így ideje letelepedni a laptoppal a tengerparton. Kora reggel elkezdett játszani az elmélet napsugara, hogy hamarosan a gyakorlatra koncentrálhassunk, amely a deklarált könnyedség ellenére üvegszilánkokat tartalmaz a homokban. Ezzel kapcsolatban azt javaslom, hogy lelkiismeretesen fontolja meg az oldal néhány példáját. Megoldásokért gyakorlati feladatokat képesnek kell lennie arra, hogy származékokat találniés megérti a cikk anyagát A függvény monotonitási intervallumai és szélsőségei.

Először is röviden a legfontosabbról. A leckében kb a funkció folytonossága Megadtam a kontinuitás definícióját egy pontban és a folytonosság intervallumban. Hasonló módon van megfogalmazva egy függvény példaszerű viselkedése egy szegmensen. Egy függvény folytonos egy intervallumon, ha:

1) az intervallumon folyamatos;
2) folytonos egy pontban jobb oldalonés azon a ponton bal.

A második bekezdésben beszéltünk az ún egyoldalú folytonosság egy ponton működik. Többféle megközelítés is létezik ennek meghatározására, de maradok a korábban elkezdett vonalnál:

A függvény a ponton folytonos jobb oldalon, ha egy adott pontban van definiálva, és a jobb oldali határa egybeesik a függvény adott pontbeli értékével: . A ponton folyamatos bal, ha egy adott pontban van meghatározva, és a bal oldali határértéke megegyezik az ezen a ponton lévő értékkel:

Képzelje el, hogy a zöld pöttyök körmök, amelyekhez varázslatos rugalmas szalag csatlakozik:

Szellemileg vedd a kezedbe a piros vonalat. Nyilvánvalóan hiába nyújtjuk a grafikont fel-le (a tengely mentén), a függvény továbbra is megmarad korlátozott– felül kerítés, alul kerítés, termékünk pedig a karámban legel. És így, intervallumon folytonos függvény korlátos. A matematikai elemzés során ezt az egyszerűnek tűnő tényt megállapítják és szigorúan igazolják. Weierstrass első tétele....Sokakat idegesít, hogy az elemi állításokat fárasztóan alátámasztják a matematikában, de ennek van egy fontos jelentése. Tegyük fel, hogy a frottír középkor egy lakója a látótávolság határain túl felhúzott egy grafikont az égre, ez került be. A teleszkóp feltalálása előtt az űrbeli korlátozott funkció egyáltalán nem volt nyilvánvaló! Tényleg, honnan tudod, mi vár ránk a láthatáron? Hiszen a Föld egykor laposnak számított, így ma még a hétköznapi teleportálás is bizonyítást igényel =)

Alapján Weierstrass második tétele, folyamatos egy szakaszona függvény eléri azt pontos felső határés a tiéd pontos alsó széle .

A számot is hívják a függvény maximális értéke a szegmensenés a , a szám pedig az a függvény minimális értéke a szegmensen jelölt .

A mi esetünkben:

jegyzet : elméletileg általánosak a felvételek .

Durván mondva, legmagasabb érték ahol a grafikon legmagasabb pontja van, a legalacsonyabb pedig a legalacsonyabb pont.

Fontos! Amint azt a cikkben már hangsúlyoztuk a funkció szélsősége, legnagyobb funkcióértékÉs legkisebb függvényérték – NEM UGYANAZ, Mit maximális funkcióÉs minimális funkció. Tehát a vizsgált példában a szám a függvény minimuma, de nem a minimális értéke.

Egyébként mi történik a szegmensen kívül? Igen, még egy árvíz is, a vizsgált probléma kapcsán ez egyáltalán nem érdekel bennünket. A feladat csak két szám megtalálásából áll és ez az!

Ráadásul a megoldás pusztán analitikai jellegű nem kell rajzot készíteni!

Az algoritmus a felszínen fekszik, és a fenti ábra alapján javasolja magát:

1) Keresse meg a függvény értékeit! kritikus pontok, amelyek ebbe a szegmensbe tartoznak.

Fogjon még egy bónuszt: itt nem kell ellenőrizni az extrémum elégséges feltételét, mivel amint az imént látható, a minimum vagy maximum megléte még nem garantálja, mi a minimális vagy maximális érték. A demonstrációs függvény eléri a maximumot, és a sors akaratából ugyanennyi a függvény legnagyobb értéke a szakaszon. De természetesen nem mindig fordul elő ilyen véletlen.

Így első lépésben gyorsabban és egyszerűbben lehet kiszámítani a függvény értékeit a szegmenshez tartozó kritikus pontokon, anélkül, hogy foglalkoznánk azzal, hogy vannak-e ezekben szélsőségek vagy sem.

2) Kiszámoljuk a függvény értékeit a szegmens végén.

3) Az 1. és 2. bekezdésben található függvényértékek közül válassza ki a legkisebb és legnagyobb számot, és írja le a választ.

Leülünk a kék tenger partjára, és sarkunkkal nekiütközünk a sekély víznek:

1. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen

Megoldás:
1) Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmenshez tartozó kritikus pontokon:

Számítsuk ki a függvény értékét a második kritikus pontban:

2) Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén:

3) Kitevőkkel és logaritmusokkal „félkövér” eredményeket kaptunk, ami jelentősen megnehezíti az összehasonlítást. Emiatt fegyverezzük fel magunkat egy számológéppel vagy Excellel, és számítsuk ki a hozzávetőleges értékeket, ne felejtsük el, hogy:

Most már minden világos.

Válasz:

Tört racionális példány erre önálló döntés:

6. példa

Keresse meg egy függvény maximális és minimális értékét egy szakaszon

Megoldásához pedig minimális ismeretre lesz szüksége a témában. Vége az újabb tanévnek, mindenki nyaralni szeretne, és hogy közelebb hozzam ezt a pillanatot, rögtön a lényegre térek:

Kezdjük a területtel. A feltételben említett terület az korlátozott zárva pontok halmaza egy síkon. Például egy háromszög által határolt pontok halmaza, beleértve az EGÉSZ háromszöget is (ha honnan határok legalább egy pontot „szúrjunk ki”, akkor a régió többé nem lesz bezárva). A gyakorlatban vannak téglalap alakú, kerek és kissé bonyolultabb formájú területek is. Meg kell jegyezni, hogy a matematikai elemzés elméletében szigorú definíciók vannak megadva korlátok, elszigeteltség, határok stb., de szerintem intuitív szinten mindenki tisztában van ezekkel a fogalmakkal, és most már semmi sem kell.

A lapos régiót általában betűvel jelölik, és általában analitikusan határozzák meg - több egyenlettel (nem feltétlenül lineáris); ritkábban egyenlőtlenségek. Tipikus igekötő: „zárt terület, vonalak határolják ».

A vizsgált feladat szerves része a rajzon egy terület kialakítása. Hogyan kell csinálni? Az összes felsorolt ​​vonalat meg kell rajzolnia (in ebben az esetben 3 egyenes), és elemezze a történteket. A keresett terület általában enyhén árnyékolt, határát pedig vastag vonal jelzi:


Ugyanez a terület is beállítható lineáris egyenlőtlenségek: , amelyeket valamilyen oknál fogva gyakran inkább felsorolt ​​listaként írnak, mintsem rendszer.
Mivel a határ a régióhoz tartozik, akkor természetesen minden egyenlőtlenség, laza.

És most a feladat lényege. Képzeld el, hogy a tengely egyenesen feléd jön ki az origóból. Vegyünk egy olyan funkciót, amely folyamatos az összesben területi pont. Ennek a függvénynek a grafikonja néhányat ábrázol felület, és az a kis boldogság, hogy a mai probléma megoldásához nem kell tudnunk, hogy néz ki ez a felület. Elhelyezhető magasabban, alacsonyabban, metszi a síkot - mindez nem számít. És a következő fontos: szerint Weierstrass tételei, folyamatos V korlátozottan zárt területen a függvény eléri a legnagyobb értékét (a legmagasabb")és a legkevesebb (a legalacsonyabb")értékek, amelyeket meg kell találni. Ilyen értékek érhetők el vagy V álló pontok, régióhoz tartozóD , vagy pontokon, amelyek e terület határán fekszenek. Ez egy egyszerű és átlátható megoldási algoritmushoz vezet:

1. példa

Korlátozottan zárt terület

Megoldás: Először is le kell ábrázolnia a területet a rajzon. Sajnos technikailag nehezemre esik interaktív modellt készíteni a problémáról, ezért azonnal bemutatom a végső illusztrációt, amely bemutatja a kutatás során talált összes „gyanús” pontot. Általában egymás után szerepelnek, ahogy felfedezik őket:

A preambulum alapján a döntés kényelmesen két pontra osztható:

I) Keressük meg álló pontok. Ez egy szokásos művelet, amelyet ismételten végrehajtottunk az órán. több változó szélsőségeiről:

Álló pont található tartozik területek: (jelölje meg a rajzon), ami azt jelenti, hogy ki kell számítanunk a függvény értékét egy adott pontban:

- mint a cikkben Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen, a fontos eredményeket félkövérrel emelem ki. Kényelmes nyomon követni őket egy jegyzetfüzetben ceruzával.

Figyeljünk a második boldogságunkra – nincs értelme ellenőrizni elégséges feltétel az extrémumhoz. Miért? Még akkor is, ha egy ponton a függvény eléri pl. helyi minimum, akkor ez NEM JELENTI, hogy a kapott érték lesz minimális az egész régióban (lásd a lecke elejét a feltétlen szélsőségekről) .

Mi a teendő, ha az állópont NEM tartozik a régióhoz? Majdnem semmi! Ezt meg kell jegyezni, és tovább kell lépni a következő pontra.

II) Feltárjuk a régió határát.

Mivel a szegély egy háromszög oldalaiból áll, célszerű a tanulmányt 3 alszakaszra osztani. De jobb, ha nem teszed meg. Az én szempontomból először is előnyösebb a koordinátatengelyekkel párhuzamos szakaszokat, és mindenekelőtt magukon a tengelyeken fekvő szakaszokat figyelembe venni. A műveletek teljes sorrendjének és logikájának megértéséhez próbálja meg tanulmányozni a befejezést „egy lélegzettel”:

1) Foglalkozzunk a háromszög alsó oldalával. Ehhez írja be közvetlenül a függvénybe:

Alternatív megoldásként megteheti a következőképpen:

Geometriailag ez azt jelenti Koordináta sík (amit az egyenlet is megad)"farag" belőle felületek"térbeli" parabola, amelynek teteje azonnal gyanúba kerül. Találjuk ki hol található:

– a kapott érték „beesett” a területre, és könnyen kiderülhet, hogy pont (a rajzon jelölve) a függvény eléri a legnagyobb vagy legkisebb értéket az egész régióban. Így vagy úgy, végezzük el a számításokat:

A többi „jelölt” természetesen a szegmens végei. Számítsuk ki a függvény értékeit a pontokban (a rajzon jelölve):

Itt egyébként szóbeli mini-ellenőrzést végezhet „lecsupaszított” verzióval:

2) A háromszög jobb oldalának tanulmányozásához cserélje be a függvénybe, és „rakjon rendet”:

Itt azonnal elvégzünk egy durva ellenőrzést, „becsengetve” a szegmens már feldolgozott végét:
, Nagy.

A geometriai helyzet az előző ponthoz kapcsolódik:

– az így kapott érték is „érdekkörünkbe került”, ami azt jelenti, hogy ki kell számolnunk, hogy a megjelenő pontban mennyivel egyenlő a függvény:

Vizsgáljuk meg a szegmens második végét:

A funkció használata , hajtsunk végre egy ellenőrzési ellenőrzést:

3) Valószínűleg mindenki kitalálja, hogyan fedezze fel a fennmaradó oldalt. Behelyettesítjük a funkcióba, és egyszerűsítéseket hajtunk végre:

A szegmens végei már kutatott, de a tervezetben még mindig ellenőrizzük, hogy helyesen találtuk-e meg a függvényt :
– egybeesett az 1. albekezdés eredményével;
– egybeesett a 2. albekezdés eredményével.

Még ki kell deríteni, van-e valami érdekes a szegmensben:

- Van! Az egyenest behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk ennek az „érdekességnek” az ordinátáját:

Jelölünk egy pontot a rajzon, és megtaláljuk a függvény megfelelő értékét:

Ellenőrizzük a számításokat a „költségvetési” verzió segítségével :
, rendelés.

És az utolsó lépés: Óvatosan végignézzük az összes "félkövér" számot, kezdőknek ajánlom, hogy akár egyetlen listát is készítsenek:

amelyek közül kiválasztjuk a legnagyobb és a legkisebb értékeket. VálaszÍrjuk le a megtalálás problémájának stílusában egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen:

Minden esetre még egyszer hozzászólok geometriai jelentése eredmény:
– itt van a felszín legmagasabb pontja a régióban;
– itt van a felszín legalacsonyabb pontja a területen.

Az elemzett feladatban 7 „gyanús” pontot azonosítottunk, de ezek száma feladatonként változik. Egy háromszög alakú régió esetében a minimális „kutatási halmaz” három pontból áll. Ez akkor fordul elő, ha a függvény például megadja repülőgép– teljesen világos, hogy nincsenek stacionárius pontok, és a függvény csak a háromszög csúcsainál érheti el a maximális/legkisebb értékeit. De csak egy-két hasonló példa van – általában némelyikkel kell megküzdenie 2. rendű felület.

Ha megpróbálod egy kicsit megoldani az ilyen feladatokat, akkor a háromszögek felpörgetik a fejedet, és ezért készültem rád szokatlan példák hogy szögletes legyen :))

2. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét vonalakkal határolt zárt területen

3. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy korlátozott zárt tartományban.

Speciális figyelemÜgyeljen a régió határának tanulmányozásának racionális rendjére és technikájára, valamint a közbenső ellenőrzések láncolatára, amely szinte teljesen elkerüli a számítási hibákat. Általánosságban elmondható, hogy tetszés szerint megoldhatja, de bizonyos problémákban, például a 2. példában, minden esély megvan arra, hogy sokkal nehezebbé tegye az életét. Hozzávetőleges minta az utolsó feladatokból az óra végén.

Rendszerezzük a megoldási algoritmust, egyébként az én pók szorgalmammal valahogy elveszett az 1. példa hosszú kommentszálában:

– Első lépésben egy területet építünk, célszerű árnyékolni, és a szegélyt vastag vonallal kiemelni. A megoldás során olyan pontok jelennek meg, amelyeket meg kell jelölni a rajzon.

– Álló pontok keresése és a függvény értékeinek kiszámítása csak azokban amelyek a régióhoz tartoznak. A kapott értékeket kiemeljük a szövegben (például karikázzuk be őket ceruzával). Ha egy stacioner pont NEM tartozik a régióhoz, akkor ezt a tényt ikonnal vagy szóban jelöljük. Ha egyáltalán nincsenek stacioner pontok, akkor írásos következtetést vonunk le, hogy hiányoznak. Mindenesetre ezt a pontot nem lehet kihagyni!

– Feltárjuk a régió határát. Először is célszerű megérteni azokat az egyeneseket, amelyek párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (ha vannak egyáltalán). Kiemeljük a „gyanús” pontokon számított függvényértékeket is. A megoldási technikáról fentebb már sok szó esett, alább pedig még másról lesz szó - olvass, olvass újra, mélyedj el benne!

– A kiválasztott számok közül válassza ki a legnagyobb és legkisebb értéket, és adja meg a választ. Néha előfordul, hogy egy függvény egyszerre több ponton ér el ilyen értékeket - ebben az esetben ezeknek a pontoknak tükröződniük kell a válaszban. Legyen pl. és kiderült, hogy ez a legkisebb érték. Aztán felírjuk

Az utolsó példákat másoknak ajánljuk hasznos ötleteket ami a gyakorlatban hasznos lesz:

4. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy zárt tartományban .

Megtartottam a szerző megfogalmazását, amelyben a terület kettős egyenlőtlenség formájában van megadva. Ez a feltétel írható egy ekvivalens rendszerrel vagy hagyományosabb formában a problémára:

Emlékeztetlek arra, hogy nemlineáris egyenlőtlenségekkel találkoztunk, és ha nem érti a jelölés geometriai jelentését, akkor kérem, ne késlekedjen, és most azonnal tisztázza a helyzetet;-)

Megoldás, mint mindig, egy olyan terület felépítésével kezdődik, amely egyfajta „talpot” jelent:

Hmm, néha nem csak a tudomány gránitját kell rágni...

I) Álló pontok keresése:

A rendszer egy idióta álma :)

Egy stacionárius pont a régióhoz tartozik, vagyis annak határán fekszik.

És rendben van... a lecke jól sikerült – ezt jelenti a megfelelő teát inni =)

II) Feltárjuk a régió határát. Minden további nélkül kezdjük az x tengellyel:

1) Ha , akkor

Nézzük meg, hol van a parabola csúcsa:
– értékeld az ilyen pillanatokat – pontosan „eltalálsz” arra a pontra, ahonnan már minden világos. De továbbra sem feledkezzünk meg az ellenőrzésről:

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén:

2) Foglalkozzunk a „talp” alsó részével „egy ülésben” - minden komplexus nélkül behelyettesítjük a függvénybe, és csak a szegmens érdekelni fog minket:

Ellenőrzés:

Ez már némi izgalmat hoz a monoton vezetésbe a recés pályán. Keressük a kritikus pontokat:

Döntsük el másodfokú egyenlet, emlékszel még valamire erről? ...Azonban persze ne feledd, különben nem olvasnád ezeket a sorokat =) Ha kettesben korábbi példák a számítások kényelmesek voltak tizedesjegyek(ami egyébként ritka), akkor itt a megszokottak várnak ránk közönséges törtek. Megkeressük az „X” gyököket, és az egyenlet segítségével meghatározzuk a „jelölt” pontok megfelelő „játék” koordinátáit:


Számítsuk ki a függvény értékeit a talált pontokban:

Ellenőrizze saját maga a funkciót.

Most alaposan áttanulmányozzuk a megnyert trófeákat, és leírjuk válasz:

Ezek „jelöltek”, ezek „jelöltek”!

A megoldás saját kezűleg:

5. példa

Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét zárt területen

A göndör zárójelekkel ellátott bejegyzés így hangzik: „pontok halmaza olyan, hogy.”

Néha ilyen példákban használják Lagrange-szorzó módszer, de nem valószínű, hogy valóban szükség lesz a használatára. Így például ha egy azonos területű „de” függvényt adunk meg, akkor behelyettesítés után – a nehézségek nélküli deriválttal; Ezenkívül minden „egy sorban” (jelekkel) van felállítva, anélkül, hogy külön kellene figyelembe venni a felső és az alsó félkört. De persze vannak bonyolultabb esetek is, ahol a Lagrange függvény nélkül (ahol például ugyanaz a kör egyenlete) Nehéz boldogulni – ahogyan jó pihenés nélkül is!

Jó szórakozást mindenkinek, és hamarosan találkozunk a következő szezonban!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Ezzel a szolgáltatással megteheti keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy f(x) változó a Wordben formázott megoldással. Ha az f(x,y) függvény adott, akkor két változó függvényének szélsőértékét kell megtalálni. Megtalálhatja a növekvő és csökkenő függvények intervallumait is.

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

y =

a szegmensen [ ;]

Tartalmazza az elméletet

A függvények bevitelének szabályai:

Egy változó függvényének szélsőértékének szükséges feltétele

Az f" 0 (x *) = 0 egyenlet szükséges feltétele egy változó függvényének szélsőértékének, azaz az x * pontban a függvény első deriváltjának el kell tűnnie. Azonosítja azokat az x c stacionárius pontokat, ahol a függvény nem növelni vagy csökkenteni.

Elegendő feltétel egy változó függvényének szélsőértékéhez

Legyen f 0 (x) kétszer differenciálható a D halmazhoz tartozó x-hez képest. Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Ekkor az x * pont a függvény lokális (globális) minimumpontja.

Ha az x * pontban a feltétel teljesül:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ekkor az x * pont egy lokális (globális) maximum.

1. számú példa. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: a szegmensen.
Megoldás.

A kritikus pont egy x 1 = 2 (f’(x)=0). Ez a pont a szegmenshez tartozik. (Az x=0 pont nem kritikus, mivel 0∉).
Kiszámoljuk a függvény értékeit a szegmens végén és a kritikus ponton.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Válasz: fmin = 5/2 x=2-nél; f max = 9 x = 1

2. példa. Magasabb rendű deriváltokkal keressük meg az y=x-2sin(x) függvény szélsőértékét.
Megoldás.
Keresse meg a függvény deriváltját: y’=1-2cos(x) . Keressük meg a kritikus pontokat: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Megtaláljuk, hogy y’’=2sin(x), számítsuk ki, ami azt jelenti, hogy x= π / 3 +2πk, k∈Z a függvény minimumpontjai; , ami azt jelenti, hogy x=- π / 3 +2πk, k∈Z a függvény maximumpontjai.

3. példa. Vizsgáljuk meg az extrémumfüggvényt az x=0 pont környezetében!
Megoldás. Itt meg kell találni a függvény szélsőértékét. Ha az extrémum x=0, akkor derítse ki a típusát (minimum vagy maximum). Ha a talált pontok között nincs x = 0, akkor számítsuk ki az f(x=0) függvény értékét!
Megjegyzendő, hogy amikor egy adott pont mindkét oldalán a derivált nem változtatja az előjelét, akkor a lehetséges helyzetek még differenciálható függvényeknél sem merülnek ki: előfordulhat, hogy a pont egyik oldalán lévő tetszőlegesen kis környékre x 0 ill. mindkét oldalon a derivált változik jele. Ezeken a pontokon más módszereket kell alkalmazni a szélsőséges függvények tanulmányozására.

Mi a függvény szélsője, és mi a szélsőséghez szükséges feltétele?

Egy függvény extrémuma a függvény maximuma és minimuma.

Előfeltétel Egy függvény maximuma és minimuma (szélsősége) a következő: ha az f(x) függvénynek az x = a pontban van szélsője, akkor ezen a ponton a derivált vagy nulla, vagy végtelen, vagy nem létezik.

Ez a feltétel szükséges, de nem elégséges. Az x = a pontban lévő derivált mehet nullára, végtelenre, vagy nem létezhet anélkül, hogy a függvénynek ebben a pontban lenne szélsősége.

Mi elégséges feltétele egy függvény szélsőértékének (maximum vagy minimum)?

Első feltétel:

Ha kellő közelségben az x = a ponthoz az f?(x) derivált a-tól balra pozitív, a-tól jobbra negatív, akkor az x = a pontban az f(x) függvénynek van maximális

Ha kellő közelségben az x = a ponthoz az f?(x) derivált negatív a-tól balra, pozitív pedig a-tól jobbra, akkor az x = a pontban az f(x) függvénynek van minimális feltéve, hogy itt az f(x) függvény folytonos.

Ehelyett használhatja a másodikat elégséges állapot a függvény szélső értéke:

Tűnjön el az x = a pontban az f?(x) első derivált; ha az f??(a) második derivált negatív, akkor az f(x) függvénynek maximuma van az x = a pontban, ha pozitív, akkor minimuma.

Mi a függvény kritikus pontja, és hogyan lehet megtalálni?

Ez annak a függvényargumentumnak az értéke, amelynél a függvénynek szélsőértéke van (azaz maximum vagy minimum). Ahhoz, hogy megtalálja, szüksége van rá keresse meg a származékot f?(x) függvény, és nullával egyenlővé téve, oldja meg az egyenletet f?(x) = 0. Ennek az egyenletnek a gyökerei, valamint azok a pontok, amelyekben ennek a függvénynek a deriváltja nem létezik, kritikus pontok, azaz az argumentum azon értékei, amelyeknél szélsőség lehet. Könnyen azonosíthatók ránézésre derivált gráf: az argumentum azon értékei érdekelnek minket, amelyeknél a függvény grafikonja metszi az abszcissza tengelyt (Ox tengely), és azok, amelyeknél a grafikon megszakadásokat szenved.

Például keressük meg parabola extrémuma.

y(x) függvény = 3x2 + 2x - 50.

A függvény deriváltja: y?(x) = 6x + 2

Oldja meg az egyenletet: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Ebben az esetben a kritikus pont x0=-1/3. Ezzel az argumentumértékkel rendelkezik a függvény extrémum. Neki megtalálja, cserélje ki a talált számot a kifejezésben a függvény helyére az „x” helyett:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hogyan határozzuk meg egy függvény maximumát és minimumát, pl. legnagyobb és legkisebb értékei?

Ha a derivált előjele az x0 kritikus ponton áthaladva „pluszról” mínuszra változik, akkor x0 maximális pont; ha a derivált előjele mínuszról pluszra változik, akkor x0 az minimum pont; ha az előjel nem változik, akkor az x0 pontban nincs se maximum, se minimum.

A figyelembe vett példához:

A kritikus ponttól balra lévő argumentum tetszőleges értékét vesszük fel: x = -1

Ha x = -1, a derivált értéke y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (azaz az előjel „mínusz”).

Most felvesszük a kritikus ponttól jobbra lévő argumentum tetszőleges értékét: x = 1

x = 1 esetén a derivált értéke y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (azaz az előjel „plusz”).

Amint láthatja, a derivált jele mínuszról pluszra változott, amikor áthaladt a kritikus ponton. Ez azt jelenti, hogy az x0 kritikus értéknél van egy minimumpontunk.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumon(egy szegmensen) ugyanazzal az eljárással találjuk meg, csak azt a tényt figyelembe véve, hogy talán nem minden kritikus pont lesz a megadott intervallumon belül. Az intervallumon kívül eső kritikus pontokat ki kell zárni a figyelembevételből. Ha csak egy kritikus pont van az intervallumon belül, akkor annak vagy maximuma vagy minimuma van. Ebben az esetben a függvény legnagyobb és legkisebb értékének meghatározásához figyelembe vesszük a függvény értékeit is az intervallum végén.

Például keressük meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

Időközönként:

Tehát a függvény deriváltja az

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Megoldjuk a 3cos(x) - 0,5 = 0 egyenletet

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritikus pontokat találunk a [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nem szerepel az intervallumban)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nem szerepel az intervallumban)

A függvényértékeket az argumentum kritikus értékeinél találjuk:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Látható, hogy a [-9; 9] a függvénynek a legnagyobb értéke x = -4,88 esetén:

x = -4,88, y = 5,398,

és a legkisebb - x = 4,88-nál:

x = 4,88, y = -5,398.

Az intervallumon [-6; -3] egyetlen kritikus pontunk van: x = -4,88. A függvény értéke x = -4,88-nál egyenlő y = 5,398-cal.

Keresse meg a függvény értékét az intervallum végén:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Az intervallumon [-6; -3] a függvény legnagyobb értékével rendelkezünk

y = 5,398, x = -4,88

legkisebb érték -

y = 1,077 x = -3 esetén

Hogyan találjuk meg a függvénygráf inflexiós pontjait és határozzuk meg a konvex és konkáv oldalakat?

Az y = f(x) egyenes összes inflexiós pontjának megtalálásához meg kell találnia a második deriváltot, egyenlővé kell tennie nullával (meg kell oldania az egyenletet), és meg kell vizsgálnia az x összes olyan értékét, amelyre a második derivált nulla, végtelen vagy nem létezik. Ha ezen értékek valamelyikén áthaladva a második derivált előjelet vált, akkor a függvény grafikonja ezen a ponton inflexióval rendelkezik. Ha nem változik, akkor nincs kanyar.

Az f egyenlet gyökerei? (x) = 0, valamint a függvény és a második derivált lehetséges szakadási pontjai a függvény definíciós tartományát több intervallumra osztják. Mindegyik intervallumon a konvexitást a második derivált előjele határozza meg. Ha a vizsgált intervallum egy pontjában a második derivált pozitív, akkor az y = f(x) egyenes felfelé konkáv, és ha negatív, akkor lefelé.

Hogyan találjuk meg két változó függvényének szélsőértékét?

A specifikáció tartományában differenciálható f(x,y) függvény szélsőértékének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

1) keresse meg a kritikus pontokat, és ehhez oldja meg az egyenletrendszert

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) minden P0(a;b) kritikus pontnál vizsgálja meg, hogy a különbség előjele változatlan marad-e

minden (x;y) pontra kellően közel P0-hoz. Ha a különbség megmarad pozitív előjel, akkor a P0 pontban van minimumunk, ha negatív, akkor maximumunk van. Ha a különbség nem tartja meg az előjelét, akkor a P0 pontban nincs szélsőérték.

A függvény extrémjeit hasonlóképpen határozzuk meg többérvek.

Mely szénsavas üdítőitalok tisztítják a felületeket?
Van egy vélemény, hogy a szénsavas üdítőital Coca-Cola képes feloldani a húst. De sajnos erre nincs közvetlen bizonyíték. Éppen ellenkezőleg, vannak megerősítő tények, amelyek megerősítik, hogy a Coca-Cola italban két napig hagyott hús megváltoztatja a fogyasztói tulajdonságokat, és nem tűnik el sehol.

Elrendezések standard apartmanok, a házak leírása és fényképei megtekinthetők a következő weboldalakon: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. net/art

Hogyan kezeljük a neurózist
Neurosis (Novolat. neurosis, az ógörög νε?ρον - ideg szóból származik; szinonimák - pszichoneurózis, neurotikus rendellenesség) - a klinikán: a funkcionális pszichogén reverzibilis rendellenességek csoportjának gyűjtőneve, amelyek hajlamosak fennmaradni.

Mi az aphelion
Az apocenter a pálya azon pontja, ahol egy másik test körül elliptikus pályán keringő test eléri a legnagyobb távolságot az utóbbitól. Ugyanebben a pontban Kepler második törvénye szerint a keringési sebesség minimális lesz. Az apocentrum a periapsisszal átlósan ellentétes ponton található. Különleges esetekben szokás speciális kifejezéseket használni:

Mi az a mamon
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - a görögből származó szó. mammonák és gazdagságot, földi kincseket, áldásokat jelentenek. Néhány ősi pogány népnél a gazdagság és a haszon istene volt. ben megemlítve Szentírás Máté és Lukács evangélistáitól: „Senki sem szolgálhat két úrnak: vagy az egyiket gyűlöli, a másikat

Mikor van az ortodox húsvét 2049-ben?
2015-ben az ortodox húsvét április 12-én, a katolikus húsvét április 5-én lesz. BAN BEN egyházi naptárak az ortodox húsvét dátumait aszerint adjuk meg Julianus naptár (régi stílus), míg a katolikus húsvét modernnek számít Gergely naptár (egy új stílus), így a dátumok összehasonlítása némi szellemi erőfeszítést igényel

Mi az a rubel
A rubel Oroszország, Fehéroroszország (fehérorosz rubel), Dnyeszteren túli (Dnyeszteren túli rubel) modern valutáinak neve. Az orosz rubel is forgalomban van Dél-Oszétiaés Abházia. A múltban - az orosz köztársaságok és fejedelemségek monetáris egysége, a Moszkvai Nagyhercegség, az Orosz Királyság, a Litván Nagyhercegség, Orosz Birodalomés különféle

Mennyi ideig volt kómában Ariel Sharon?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - izraeli katonai, politikai és államférfi, Izrael miniszterelnöke 2001 és 2006 között. Születési idő: 1928. február 26. Születési hely: Kfar Malal település Kfar Sava közelében, Izrael Halálozás ideje: 2014. január 11. Halálozási hely: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kik voltak a neandervölgyiek
neandervölgyi, neandervölgyi ember (lat. Homo neanderthalensis vagy Homo sapiens neandertalensis) - fosszilis fajok akik 300-24 ezer évvel ezelőtt éltek. A név eredete Úgy tartják, hogy a neandervölgyi koponyát először 1856-ban találták meg

Hány éves Geoffrey Rush?
Geoffrey Rush ausztrál film- és színpadi színész. Oscar-díjas (1997), BAFTA-díjas (1996, 1999), Golden Globe-díjas (1997, 2005). Az ő részvételével készült leghíresebb filmek a „Shine”.

Hogyan határozzuk meg egy függvénygráf konvexitási és konkávsági intervallumát
Mi a függvény szélsője, és mi a szélsőséghez szükséges feltétele? Egy függvény extrémuma a függvény maximuma és minimuma. Egy függvény maximumának és minimumának (szélsőértékének) a szükséges feltétele a következő: ha az f(x) függvénynek az x = a pontban van extrémuma, akkor ezen a ponton a derivált vagy nulla, vagy végtelen, vagy nem létezik. Ez a feltétel szükséges, de nem elégséges. Származék a t