Mechanikai egyensúly. Statika. Egy mechanikai rendszer egyensúlya (abszolút merev test). III. A testek stabilitásával kapcsolatos ismeretek alkalmazása

A mechanikai rendszer egyensúlya olyan állapot, amelyben a vizsgált rendszer minden pontja nyugalomban van a választott referenciarendszerhez képest.

Az erő bármely tengely körüli nyomatéka ennek az F erőnek a d kar általi szorzata.

Az egyensúlyi feltételeket legegyszerűbben a legegyszerűbb mechanikai rendszer - egy anyagi pont - példáján találhatjuk meg. A dinamika első törvénye szerint (lásd Mechanika) egy anyagi pont nyugalmának (vagy egyenletes lineáris mozgásának) feltétele egy tehetetlenségi koordináta-rendszerben, hogy a rá ható összes erő vektorösszege egyenlő legyen nullával.

Bonyolultabb mechanikai rendszerekre való átálláskor ez a feltétel önmagában nem elegendő az egyensúlyhoz. A kompenzálatlan külső erők által előidézett transzlációs mozgáson kívül egy összetett mechanikai rendszer is áteshet forgó mozgáson vagy deformáción. Nézzük meg az egyensúlyi feltételeket egy abszolút merev testhez - egy olyan mechanikai rendszerhez, amely részecskék halmazából áll, amelyek közötti távolságok nem változnak.

Egy mechanikai rendszer (gyorsulással) transzlációs mozgásának lehetősége ugyanúgy kiküszöbölhető, mint egy anyagi pont esetében, ha megkövetelik, hogy a rendszer minden pontjára ható erők összege nullával egyenlő legyen. Ez az első feltétele a mechanikai rendszer egyensúlyának.

Esetünkben a szilárd test nem deformálódhat, mivel megegyeztünk abban, hogy pontjai közötti távolságok nem változnak. De az anyagi ponttal ellentétben egy abszolút merev testre egy pár egyenlő és ellentétes irányú erő hat különböző pontokon. Ezenkívül, mivel e két erő összege nulla, a vizsgált mechanikai rendszer nem hajt végre transzlációs mozgást. Nyilvánvaló azonban, hogy egy ilyen erőpár hatására a test egy bizonyos tengelyhez képest folyamatosan növekvő szögsebességgel forogni kezd.

A forgómozgás előfordulása a vizsgált rendszerben a kiegyenlítetlen erőnyomatékok jelenléte miatt következik be. A tetszőleges tengely körüli erő nyomatéka ennek a $d,$ karral fellépő $F$ erőnek a szorzata, azaz a tengely által áthaladó $O$ pontból leeresztett merőleges hosszával (lásd az ábrát). , az erő irányával . Vegye figyelembe, hogy az erőnyomaték ezzel a definícióval egy algebrai mennyiség: pozitívnak tekintjük, ha az erő az óramutató járásával ellentétes forgásba vezet, és negatívnak egyébként. Így a merev test egyensúlyának második feltétele az a követelmény, hogy az összes forgástengelyhez viszonyított erő nyomatékainak összege nullával egyenlő.

Abban az esetben, ha mindkét talált egyensúlyi feltétel teljesül, a szilárd test nyugalomban lesz, ha abban a pillanatban, amikor az erők hatni kezdtek, minden pontjának sebessége nulla volt. Ellenkező esetben egyenletes mozgást fog végrehajtani a tehetetlenség hatására.

A mechanikai rendszer egyensúlyának mérlegelt definíciója nem mond semmit arról, hogy mi lesz, ha a rendszer kissé kimozdul egyensúlyi helyzetéből. Ebben az esetben három lehetőség van: a rendszer visszatér korábbi egyensúlyi állapotába; a rendszer az eltérés ellenére sem változtat egyensúlyi állapotán; a rendszer kimegy az egyensúlyból. Az első esetet stabil egyensúlyi állapotnak, a másodikat közömbösnek, a harmadikat instabilnak nevezzük. Az egyensúlyi helyzet természetét a rendszer potenciális energiájának a koordinátáktól való függése határozza meg. Az ábra mindhárom egyensúlytípust szemlélteti egy mélyedésben (stabil egyensúly), egy sima vízszintes asztalon (közömbös), egy gumó tetején (instabil) elhelyezkedő nehéz labda példáján.

A mechanikai rendszerek egyensúlyi problémájának fenti megközelítését a tudósok már az ókori világban is figyelembe vették. Így a kar (azaz egy merev test, amelynek forgástengelye rögzített) egyensúlyi törvényét Arkhimédész találta meg a 3. században. időszámításunk előtt e.

1717-ben Johann Bernoulli egy teljesen más megközelítést dolgozott ki a mechanikai rendszer egyensúlyi feltételeinek megtalálására - a virtuális elmozdulások módszerét. Az energiamegmaradás törvényéből adódó kötésreakcióerők tulajdonságán alapul: a rendszernek az egyensúlyi helyzettől való kis eltérésével a kötésreakcióerők összmunkája nulla.

A fent leírt egyensúlyi feltételek alapján a statikai feladatok (lásd Mechanika) megoldása során a rendszerben meglévő kapcsolatokat (támaszok, menetek, rudak) a bennük fellépő reakcióerők jellemzik. A több testből álló rendszerek egyensúlyi feltételeinek meghatározásakor ezeket az erőket figyelembe kell venni, nehézkes számításokhoz vezet. Tekintettel azonban arra, hogy a kötési reakcióerők munkája nullával egyenlő az egyensúlyi helyzettől való kis eltérések esetén, elkerülhető ezeknek az erőknek a figyelembe vétele.

A reakcióerők mellett külső erők is hatnak egy mechanikai rendszer pontjaira. Mi a munkájuk az egyensúlyi helyzettől való kis eltérés esetén? Mivel a rendszer kezdetben nyugalomban van, minden mozgáshoz pozitív munkát kell végezni. Ezt a munkát elvileg külső erők és kötésreakciós erők is elvégezhetik. De, mint már tudjuk, a reakcióerők által végzett teljes munka nulla. Ezért ahhoz, hogy a rendszer elhagyja az egyensúlyi állapotot, a külső erők összmunkájának minden lehetséges elmozdulás esetén pozitívnak kell lennie. Ebből következően a mozgás ellehetetlenülésének feltétele, vagyis az egyensúlyi feltétel úgy fogalmazható meg, hogy a külső erők összmunkája minden lehetséges mozgás esetén ne legyen pozitív: $ΔA≤0.$

Tegyük fel, hogy a $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ rendszer pontjainak mozgatásakor a külső erők munkájának összege egyenlőnek bizonyult $ΔA1.$ És mi történik ha a rendszer $−Δ\overrightarrow(γ ​​)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ mozgásokat végez ezek a mozgások ugyanúgy lehetségesek, mint az elsők; a külső erők munkája azonban most előjelet vált: $ΔA2 =−ΔA1.$ Az előző esethez hasonlóan okoskodva arra a következtetésre jutunk, hogy most a rendszer egyensúlyi feltétele a következő alakú: $ΔA1≥0,$ azaz a külső erők munkájának nem negatívnak kell lennie. E két szinte egymásnak ellentmondó feltétel „összeegyeztetésének” egyetlen módja az, hogy a rendszer bármely lehetséges (virtuális) mozgására az egyensúlyi helyzetből megköveteljük a külső erők összmunkájának nullával való pontos egyenlőségét: $ΔA=0.$ (virtuális) mozgáson itt a rendszer végtelenül kicsiny mentális mozgását értjük, amely nem mond ellent a ráerőltetett összefüggéseknek.

Tehát egy mechanikai rendszer egyensúlyi feltétele a virtuális elmozdulások elve formájában a következőképpen fogalmazódik meg:

„Bármely ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszerre ható erők elemi munkáinak összege bármely lehetséges elmozdulás esetén nullával egyenlő legyen.”

A virtuális elmozdulások elvét alkalmazva nemcsak a statikai, hanem a hidrosztatikai és elektrosztatikai problémákat is megoldják.

Egy mechanikai rendszer egyensúlya- ez egy olyan állapot, amelyben a mechanikai rendszer minden pontja nyugalomban van a vizsgált referenciarendszerhez képest. Ha a referenciakeret inerciális, akkor egyensúlyt hívunk abszolút, ha nem inerciális - relatív.

Egy abszolút merev test egyensúlyi feltételeinek megtalálásához mentálisan fel kell bontani azt nagyszámú, meglehetősen kis elemre, amelyek mindegyike egy-egy anyagi ponttal ábrázolható. Mindezek az elemek kölcsönhatásba lépnek egymással – ezeket a kölcsönhatási erőket nevezzük belső. Ezenkívül a külső erők a test számos pontjára hatnak.

Newton második törvénye szerint ahhoz, hogy egy pont gyorsulása nulla legyen (és a nyugalmi pont gyorsulása nulla), a pontra ható erők geometriai összegének nullának kell lennie. Ha egy test nyugalomban van, akkor minden pontja (eleme) is nyugalomban van. Ezért a test bármely pontjára írhatjuk:

ahol a rá ható külső és belső erők geometriai összege én a test eleme.

Az egyenlet azt jelenti, hogy ahhoz, hogy egy test egyensúlyban legyen, szükséges és elegendő, hogy a test bármely elemére ható erők geometriai összege nullával egyenlő.

Ebből könnyen megszerezhető egy test (testrendszer) egyensúlyának első feltétele. Ehhez elegendő összegezni az egyenletet a test összes elemére:

.

A második összeg Newton harmadik törvénye szerint nullával egyenlő: a rendszer összes belső erőjének vektorösszege nullával egyenlő, mivel bármely belső erő egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erőnek felel meg.

Ennélfogva,

.

A merev test egyensúlyának első feltétele(testrendszerek) a testre ható összes külső erő geometriai összegének nullával egyenlő egyenlősége.

Ez a feltétel szükséges, de nem elégséges. Ezt könnyű ellenőrizni, ha emlékezünk egy olyan erőpár forgási működésére, amelynek geometriai összege is nulla.

A merev test egyensúlyának második feltétele a testre bármely tengelyhez képest ható összes külső erő nyomatékösszegének nullával egyenlő egyenlősége.

Így egy merev test egyensúlyi feltételei tetszőleges számú külső erő esetén így néznek ki:

.

Egyensúlyi állapotban a test nyugalomban van (a sebességvektor nulla) a kiválasztott vonatkoztatási rendszerben, vagy egyenletesen mozog egyenes vonalban, vagy tangenciális gyorsulás nélkül forog.

Definíció a rendszerenergián keresztül[ | ]

Mivel az energiát és az erőket alapvető kapcsolatok kapcsolják össze, ez a meghatározás megegyezik az elsővel. Az energia definíciója azonban kibővíthető, hogy információt adjon az egyensúlyi helyzet stabilitásáról.

Az egyensúly típusai [ | ]

A testek egyensúlyának három típusa van: stabil, instabil és közömbös. Az egyensúlyt akkor nevezzük stabilnak, ha kisebb külső hatások hatására a szervezet visszatér eredeti egyensúlyi állapotába. Az egyensúlyt instabilnak nevezzük, ha a testnek az egyensúlyi helyzetből való enyhe elmozdulása esetén a rá ható erők eredője nullától eltérő, és az egyensúlyi helyzetből irányul. Az egyensúlyt közömbösnek nevezzük, ha a testnek az egyensúlyi helyzetből való enyhe elmozdulásával a rá ható erők eredője nulla.

Mondjunk egy példát egy szabadságfokú rendszerre. Ebben az esetben az egyensúlyi helyzet elégséges feltétele a potenciális energia lokális szélsőségének jelenléte a vizsgált pontban. Mint ismeretes, egy differenciálható függvény lokális szélsőértékének feltétele, hogy az első deriváltja egyenlő legyen nullával. Annak meghatározásához, hogy ez a pont mikor a minimum vagy maximum, elemezni kell a második deriváltját. Az egyensúlyi helyzet stabilitását a következő lehetőségek jellemzik:

• instabil egyensúly;
• stabil egyensúly;
• közömbös egyensúly.

Instabil egyensúly[ | ]

Abban az esetben, ha a második derivált negatív, a rendszer potenciális energiája a lokális maximum állapotában van. Ez azt jelenti, hogy az egyensúlyi helyzet instabil. Ha a rendszert kis távolságra elmozdítjuk, a rendszerre ható erők hatására tovább halad. Vagyis amikor a test kibillen az egyensúlyából, nem tér vissza eredeti helyzetébe.

Stabil egyensúly[ | ]

Második derivált > 0: potenciális energia lokális minimumon, egyensúlyi helyzetben fenntartható(lásd Lagrange tételét az egyensúlyi stabilitásról). Ha a rendszert kis távolságra elmozdítjuk, akkor visszaáll egyensúlyi állapotába. Az egyensúly akkor stabil, ha a test súlypontja az összes lehetséges szomszédos helyzethez képest a legalacsonyabb pozíciót foglalja el. Ilyen egyensúly mellett az egyensúlyából kibillent test visszatér eredeti helyére.

Közömbös egyensúly[ | ]

Második derivált = 0: ebben a tartományban az energia nem változik, az egyensúlyi helyzet pedig igen közömbös. Ha a rendszert kis távolságra elmozdítják, az új pozícióban marad. Ha eltéríti vagy mozgatja a testet, egyensúlyban marad.

Stabilitás nagy számú szabadságfokkal rendelkező rendszerekben[ | ]

Ha egy rendszernek több szabadságfoka van, akkor kiderülhet, hogy egy adott irányú eltérésekkel az egyensúly stabil, de ha az egyensúly legalább egy irányban instabil, akkor összességében instabil. A legegyszerűbb példa egy ilyen helyzetre egy „nyereg” vagy „pass” típusú egyensúlyi pont.

Egy több szabadságfokkal rendelkező rendszer egyensúlya csak akkor lesz stabil, ha minden irányban stabil.

A mechanikának azt az ágát, amelyben a testek egyensúlyi feltételeit vizsgálják, statikának nevezzük. A legegyszerűbb, ha figyelembe vesszük egy abszolút merev test egyensúlyi feltételeit, vagyis egy olyan testet, amelynek méretei és alakja változatlannak tekinthető. Az abszolút merev test fogalma absztrakció, mivel minden valódi test a rájuk ható erők hatására ilyen vagy olyan mértékben deformálódik, vagyis megváltoztatja alakját és méretét. Az alakváltozások nagysága mind a testre ható erőktől, mind magának a testnek a tulajdonságaitól – alakjától és az anyag tulajdonságaitól, amelyből készült – függ. Sok gyakorlatilag fontos esetben az alakváltozások kicsik, és az abszolút merev test fogalmának használata indokolt.

Egy abszolút merev karosszéria modellje. Az alakváltozások kicsinysége azonban nem mindig elégséges feltétele annak, hogy egy testet abszolút szilárdnak tekintsünk. Ennek illusztrálására nézzük meg a következő példát. Egy két támaszon fekvő deszka (140a. ábra) abszolút merev testnek tekinthető, annak ellenére, hogy a gravitáció hatására enyhén meghajlik. Valójában ebben az esetben a mechanikai egyensúly feltételei lehetővé teszik a támasztékok reakcióerőinek meghatározását anélkül, hogy figyelembe vennék a tábla deformációját.

De ha ugyanaz a tábla ugyanazokon a támaszokon nyugszik (1406. ábra), akkor az abszolút merev test ötlete nem alkalmazható. Valójában a külső támasztékok ugyanazon a vízszintes vonalon legyenek, a középső pedig kissé alacsonyabban. Ha a tábla abszolút szilárd, vagyis egyáltalán nem hajlik, akkor a középső támaszra egyáltalán nem gyakorol nyomást Ha a tábla meghajlik, akkor a középső támaszra nyomást gyakorol, és minél nagyobb az alakváltozás, annál erősebb. Körülmények

Egy abszolút merev test egyensúlya ebben az esetben nem teszi lehetővé a támasztékok reakcióerejének meghatározását, mivel ezek három ismeretlen mennyiségre két egyenlethez vezetnek.

Rizs. 140. Két (a) és három (b) támaszon fekvő deszkára ható reakcióerők

Az ilyen rendszereket statikusan határozatlannak nevezzük. Kiszámításukhoz figyelembe kell venni a testek rugalmas tulajdonságait.

A fenti példa azt mutatja, hogy az abszolút merev test modelljének statikában való alkalmazhatóságát nem annyira magának a testnek a tulajdonságai határozzák meg, hanem azok a körülmények, amelyek között elhelyezkedik. Tehát a vizsgált példában még egy vékony szalma is abszolút szilárd testnek tekinthető, ha két támasztékon fekszik. De még egy nagyon merev gerenda sem tekinthető abszolút merev testnek, ha három támaszra támaszkodik.

Egyensúlyi feltételek. Az abszolút merev test egyensúlyi feltételei a dinamikus egyenletek speciális esetei, amikor nincs gyorsulás, bár történetileg a statika az építéstechnikai igényekből csaknem két évezreddel a dinamika előtt keletkezett. Inerciális vonatkoztatási rendszerben egy merev test akkor van egyensúlyban, ha a testre ható összes külső erő vektorösszege és ezen erők nyomatékainak vektorösszege nullával egyenlő. Ha az első feltétel teljesül, a test tömegközéppontjának gyorsulása nulla. Ha a második feltétel teljesül, a forgásnak nincs szöggyorsulása. Ezért, ha a test a kezdeti pillanatban nyugalomban volt, akkor továbbra is nyugalomban marad.

A jövőben olyan viszonylag egyszerű rendszerek tanulmányozására szorítkozunk, amelyekben az összes ható erő ugyanabban a síkban fekszik. Ebben az esetben a vektorfeltétel

két skalárra csökkenti:

ha az erők hatássíkjának tengelyeit pozícionáljuk. Az egyensúlyi feltételekben (1) szereplő, a testre ható külső erők egy része megadható, azaz moduljaik és irányaik ismertek. Ami a kötések vagy támasztékok reakcióerejét illeti, amelyek korlátozzák a test lehetséges mozgását, ezek általában nincsenek előre meghatározottak, és maguk is meghatározottak. Súrlódás hiányában a reakcióerők merőlegesek a testek érintkezési felületére.

Rizs. 141. A reakcióerők irányának meghatározása

Reakcióerők. Néha kétségek merülnek fel a kötési reakcióerő irányának meghatározásakor, mint például az 1. ábrán. 141. ábra, amely a csésze sima homorú felületén az A pontban, a csésze éles szélén a B pontban pedig egy rudat mutat.

Ebben az esetben a reakcióerők irányának meghatározásához mentálisan kissé mozgathatja a rudat anélkül, hogy megzavarná a csészével való érintkezését. A reakcióerőt merőlegesen kell irányítani arra a felületre, amely mentén az érintkezési pont csúszik. Tehát az A pontban a rúdra ható reakcióerő merőleges a csésze felületére, a B pontban pedig a rúdra.

A hatalom pillanata. Egy ponthoz viszonyított M erőnyomaték

O annak a sugárvektornak a vektorszorzata, amelyet O-ból az erővektor által az erő alkalmazási pontjáig húzunk

Az erőnyomaték M vektora merőleges arra a síkra, amelyben a vektorok fekszenek

Pillanatok egyenlete. Ha egy testre több erő hat, akkor az erőnyomatékokhoz tartozó második egyensúlyi feltételt az alakba írjuk

Ebben az esetben az O pontot, ahonnan a sugárvektorokat húzzuk, úgy kell megválasztani, hogy az minden ható erőre közös legyen.

Egy sík erőrendszer esetében az összes erő nyomatékvektora merőleges arra a síkra, amelyben az erők fekszenek, ha a nyomatékokat egy ugyanabban a síkban fekvő ponthoz viszonyítva tekintjük. Ezért a momentumok vektorfeltétele (4) egy skaláregyesre csökken: egyensúlyi helyzetben az összes külső ható erő momentumainak algebrai összege nulla. Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték modulusa egyenlő a modulus szorzatával

erők az O ponttól az erőhatás vonaláig terjedő távolságra. Ebben az esetben a test óramutató járásával megegyező irányba forgatására hajlamos nyomatékokat azonos előjellel, az óramutató járásával ellentétes - ellenkező előjellel vesszük. A pont kiválasztása, amelyhez viszonyítva az erőnyomatékokat figyelembe veszi, kizárólag kényelmi okokból történik: a nyomatékegyenlet egyszerűbb lesz, minél több erő nyomatéka egyenlő nullával.

Egy példa az egyensúlyra. Egy abszolút merev test egyensúlyi feltételeinek alkalmazásának szemléltetésére nézzük meg a következő példát. A könnyű létra két egyforma részből áll, felül csuklósan, alul kötéllel megkötve (142. ábra). Határozzuk meg, mekkora a kötél feszítőereje, milyen erőkkel lépnek kölcsönhatásba a létrafelek a csuklópántban, és milyen erőkkel nyomják a padlót, ha R súlyú személy áll az egyik közepén.

A vizsgált rendszer két szilárd testből áll - a létra feléből, és az egyensúlyi feltételek mind a rendszer egészére, mind annak részeire alkalmazhatók. Az egyensúlyi feltételeket a teljes rendszer egészére alkalmazva megtalálhatjuk a padlóreakciós erőket és (142. ábra). Súrlódás hiányában ezek az erők függőlegesen felfelé irányulnak, és az a feltétel, hogy a külső erők vektorösszege nullával (1) legyen egyenlő

A külső erők A ponthoz viszonyított momentumainak egyensúlyi feltétele a következőképpen írható fel:

hol a lépcső hossza, a lépcső által a padlóval bezárt szög. Az (5) és (6) egyenletrendszert megoldva azt találjuk

Rizs. 142. A külső erők vektorösszege és a külső erők nyomatékainak összege egyensúlyban nullával egyenlő

Természetesen az A pontra vonatkozó (6) pillanategyenlet helyett felírhatnánk a B pontra (vagy bármely más pontra) vonatkozó pillanategyenletet. Ez a használt (5) és (6) rendszerrel egyenértékű egyenletrendszert eredményezne.

A kötél feszítőereje és a csuklópántban fellépő kölcsönhatási erők a vizsgált fizikai rendszerben belsőek, ezért nem határozhatók meg a rendszer egészének egyensúlyi feltételeiből. Ezen erők meghatározásához figyelembe kell venni a rendszer egyes részeinek egyensúlyi feltételeit. Ahol

Ha sikeresen kiválasztjuk azt a pontot, amelyre az erőnyomaték-egyenletet összeállítjuk, akkor az algebrai egyenletrendszer egyszerűsítése érhető el. Tehát például ebben a rendszerben figyelembe vehetjük a lépcső bal felén ható erők nyomatékainak egyensúlyi feltételét a C ponthoz képest, ahol a csukló található.

Ezzel a C pont kiválasztásával a zsanérban ható erők nem számítanak bele ebbe az állapotba, és azonnal megtaláljuk a T kötél feszítő erejét:

hol, tekintettel arra, hogy kapunk

A (7) feltétel azt jelenti, hogy a T erők eredője áthalad a C ponton, azaz a lépcsők mentén irányul. Ezért a létra ezen felének egyensúlya csak akkor lehetséges, ha a csuklópántnál rá ható erő is a létra mentén irányul (143. ábra), és modulusa megegyezik a T és az eredő erők modulusával.

Rizs. 143. A lépcső bal felén ható mindhárom erő hatásvonala egy ponton halad át

A létra másik felén lévő zsanérban ható erő abszolút értéke Newton harmadik törvénye alapján egyenlő, iránya ellentétes a vektor irányával. Az erő iránya közvetlenül meghatározható a 1. 143. ábra, figyelembe véve, hogy amikor egy test három erő hatására egyensúlyban van, akkor azok az egyenesek, amelyek mentén ezek az erők hatnak, egy pontban metszik egymást. Valóban, vegyük e három erő közül kettő hatásvonalának metszéspontját, és alkossunk meg egy nyomatékegyenletet erről a pontról. Az első két erő momentuma ebben a pontban egyenlő nullával; Ez azt jelenti, hogy a harmadik erő nyomatékának is nullával kell egyenlőnek lennie, ami a (3) szerint csak akkor lehetséges, ha a hatásvonala is ezen a ponton halad át.

A mechanika aranyszabálya. Néha a statika problémája megoldható az egyensúlyi feltételek figyelmen kívül hagyása nélkül, hanem az energiamegmaradás törvényét alkalmazva a súrlódás nélküli mechanizmusokra vonatkozóan: egyetlen mechanizmus sem ad munkanövekedést. Ezt a törvényt

a mechanika aranyszabályának nevezik. Ennek a megközelítésnek a szemléltetésére nézzük meg a következő példát: egy nehéz P súlyú teher egy három lengőkarral rendelkező súlytalan csuklópántra van felfüggesztve (144. ábra). Mekkora feszítőerőt kell elviselnie az A és B menetösszekötő pontoknak?

Rizs. 144. P súlyú terhelést hordozó háromlengős csuklópánt menet feszítőerejének meghatározása

Próbáljuk meg ezzel a mechanizmussal felemelni a P terhelést. Miután a menetet az A pontban kioldotta, húzza felfelé úgy, hogy a B pont lassan felemelkedjen egy távolságra. Ezt a távolságot korlátozza, hogy a T menet feszítőerejének változatlannak kell maradnia a mozgás során. Ebben az esetben, amint a válaszból kiderül, a T erő egyáltalán nem függ attól, hogy a csukló mennyire van összenyomva vagy megfeszítve. Az elvégzett munka. Ennek eredményeként a P terhelés olyan magasságra emelkedik, amely a geometriai megfontolások alapján egyenlő: Mivel súrlódás hiányában nem lép fel energiaveszteség, azt lehet mondani, hogy a terhelés potenciális energiájának változása meghatározható. az emelés során végzett munkával. Ezért

Nyilvánvalóan egy tetszőleges számú azonos láncszemet tartalmazó csuklópánt esetén

Nem nehéz megtalálni a menet feszítő erejét, és abban az esetben, ha magának a csuklónak a súlyát kell figyelembe venni, az emelés során végzett munkát a potenciális energiák változásának összegével kell egyenlővé tenni. a teher és a zsanér. Azonos láncszemekből álló csuklópánt esetében a tömegközéppont ezért emelkedik

A megfogalmazott elv („a mechanika aranyszabálya”) akkor is alkalmazható, ha a mozgás során a potenciális energia nem változik, és a mechanizmus az erő átalakítására szolgál. Sebességváltók, sebességváltók, kapuk, kar- és blokkrendszerek - minden ilyen rendszerben az átalakított erő meghatározható az átalakított és az alkalmazott erők munkájának egyenlítésével. Más szóval, súrlódás hiányában ezen erők arányát csak az eszköz geometriája határozza meg.

Tekintsük ebből a szempontból a fentebb tárgyalt létra példát. Természetesen a létra emelőszerkezetként való alkalmazása, vagyis az ember felemelése a létrafelek egymáshoz közelítésével aligha tanácsos. Ez azonban nem akadályozhatja meg, hogy a leírt módszert alkalmazzuk a kötél feszítőerejének meghatározására. A létra részei összeérésekor végzett munka egyenlővé tétele a létrán tartózkodó személy potenciális energiájának változásával, és geometriai megfontolásból a létra alsó végének mozgásának összekapcsolása a teher magasságának változásával (145. ábra), a várakozásnak megfelelően a korábban megadott eredményt kapjuk:

Mint már említettük, a mozgást úgy kell megválasztani, hogy a folyamat során a ható erő állandónak tekinthető. Könnyen belátható, hogy a csuklós példában ez a feltétel nem korlátozza a mozgást, mivel a menet feszítőereje nem függ a szögtől (144. ábra). Ellenkezőleg, a létraproblémában az elmozdulást kicsire kell választani, mert a kötél feszítőereje az a szögtől függ.

Az egyensúly stabilitása. Az egyensúly lehet stabil, instabil és közömbös. Az egyensúly akkor stabil (146a. ábra), ha a test kis mozgásával az egyensúlyi helyzetből a ható erők hajlamosak visszaterelni, és instabil (1466. ábra), ha az erők távolabb viszik az egyensúlyi helyzetből.

Rizs. 145. A létra alsó végeinek mozgása és a rakomány mozgása a létra feleinek összeérésekor

Rizs. 146. Stabil (a), instabil (b) és közömbös (c) egyensúlyok

Ha kis elmozdulásoknál a testre ható erők és azok nyomatékai még kiegyensúlyozottak, akkor az egyensúly közömbös (146c. ábra). Közömbös egyensúlyban a test szomszédos helyzetei is egyensúlyban vannak.

Nézzünk példákat az egyensúlyi stabilitás vizsgálatára.

1. A stabil egyensúly a test minimális potenciális energiájának felel meg a test szomszédos helyzeteiben lévő értékekhez viszonyítva. Ezt a tulajdonságot gyakran kényelmes használni az egyensúlyi helyzet megtalálásakor és az egyensúly természetének tanulmányozásakor.

Rizs. 147. A test egyensúlyának stabilitása és a tömegközéppont helyzete

Egy függőleges, szabadon álló oszlop stabil egyensúlyban van, mivel kis dőlés esetén tömegközéppontja megemelkedik. Ez mindaddig megtörténik, amíg a tömegközéppont függőleges vetülete túllép a támasztóterületen, azaz a függőlegestől való eltérés szöge nem halad meg egy bizonyos maximális értéket. Más szóval, a stabilitási tartomány a minimális potenciális energiától (függőleges helyzetben) a hozzá legközelebbi maximumig terjed (147. ábra). Ha a tömegközéppont pontosan a támasztóterület határa felett van, akkor az oszlop is egyensúlyban van, de instabil. A vízszintesen fekvő oszlop sokkal szélesebb stabilitási tartománynak felel meg.

2. Két kerek ceruza van, amelyek sugarai és Az egyik vízszintesen helyezkedik el, a másik vízszintes helyzetben van egyensúlyozva rajta úgy, hogy a ceruzák tengelyei egymásra merőlegesek legyenek (148a. ábra). Milyen arányban áll fenn az egyensúly a sugarak között? Mekkora maximális szögben dönthető a felső ceruza a vízszinteshez képest? A ceruzák egymáshoz viszonyított súrlódási együtthatója egyenlő

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a felső ceruza egyensúlya általában instabil, mivel a felső ceruza tömegközéppontja azon tengely felett van, amely körül foroghat. Azonban itt a forgástengely helyzete nem marad változatlan, ezért ez az eset speciális vizsgálatot igényel. Mivel a felső ceruza vízszintes helyzetben van kiegyensúlyozva, a ceruzák tömegközéppontjai ezen a függőlegesen helyezkednek el (ábra).

Döntsük meg a felső ceruzát egy bizonyos szögben a vízszinteshez képest. Statikus súrlódás hiányában azonnal lecsúszna. Annak érdekében, hogy egyelőre ne gondoljunk az esetleges csúszásra, feltételezzük, hogy a súrlódás meglehetősen nagy. Ebben az esetben a felső ceruza csúszás nélkül „gurul” az alsóra. A támaszpont az A pozícióból egy új C pozícióba kerül, és az a pont, ahol a felső ceruza az alsón pihent az eltérés előtt

B pozícióba megy. Mivel nincs csúszás, az ív hossza megegyezik a szakasz hosszával

Rizs. 148. A felső ceruzát vízszintesen egyensúlyozzuk az alsó ceruzán (a); az egyensúlyi stabilitás vizsgálatához (b)

A felső ceruza tömegközéppontja a pozícióba kerül. Ha az áthúzott függőleges vonal az új C támaszponttól balra halad, akkor a gravitáció visszaállítja a felső ceruzát egyensúlyi helyzetébe.

Fejezzük ki ezt a feltételt matematikailag. A B ponton keresztül függőleges vonalat húzva látjuk, hogy a feltételnek teljesülnie kell

Mivel a (8) feltételből megkapjuk

Mivel a gravitációs erő hajlamos a felső ceruzát az egyensúlyi helyzetbe visszaállítani, ezért a felső ceruza stabil egyensúlya az alsón csak akkor lehetséges, ha annak sugara kisebb, mint az alsó ceruza sugara.

A súrlódás szerepe. A második kérdés megválaszolásához meg kell találnia, hogy milyen okok korlátozzák a megengedett eltérési szöget. Először is, nagy elhajlási szögek esetén a felső ceruza tömegközéppontján áthúzott függőleges áthaladhat a C támaszponttól jobbra. A (9) feltételből világos, hogy a ceruzák sugarának adott aránya esetén a maximális elhajlási szög

A merev test egyensúlyi feltételei mindig elegendőek a reakcióerők meghatározásához?

Hogyan határozható meg gyakorlatilag a reakcióerők iránya súrlódás nélkül?

Hogyan használható a mechanika aranyszabálya az egyensúlyi feltételek elemzésekor?

Ha az ábrán látható zsanérban. 144, ne A és B pontot kösd össze menettel, hanem A és C pontot, akkor mekkora lesz a feszítőereje?

Hogyan függ össze egy rendszer egyensúlyának stabilitása a potenciális energiájával?

Milyen feltételek határozzák meg a három pontban síkon nyugvó test maximális elhajlási szögét úgy, hogy stabilitása ne vesszen el?

Egy abszolút merev test statikájában háromféle egyensúlyt különböztetünk meg.

1. Tekintsünk egy golyót, amely homorú felületen van. ábrán látható helyzetben. 88, a labda egyensúlyban van: a támasz reakcióereje kiegyenlíti a gravitációs erőt .

Ha a labda kitér az egyensúlyi helyzetből, akkor a gravitációs erők és a támasz reakciójának vektorösszege már nem egyenlő nullával: erő keletkezik , amely hajlamos visszahelyezni a labdát eredeti egyensúlyi helyzetébe (a pontba RÓL RŐL).

Ez egy példa a stabil egyensúlyra.

S u t i a t i o n Ezt a fajta egyensúlyt nevezzük, amikor a kilépéskor olyan erők vagy erőnyomatékok keletkeznek, amelyek hajlamosak a testet egyensúlyi helyzetbe visszaállítani.

A golyó potenciális energiája a homorú felület bármely pontján nagyobb, mint az egyensúlyi helyzetben (a pontban RÓL RŐL). Például azon a ponton A(88. ábra) a potenciális energia nagyobb, mint egy pontban a potenciális energia RÓL RŐL az összeggel E P ( A) - E n(0) = mgh.

Stabil egyensúlyi helyzetben a test potenciális energiája minimális értékű a szomszédos helyzetekhez képest.

2. Egy domború felületen lévő golyó egyensúlyi helyzetben van a felső pontban (89. ábra), ahol a gravitációs erőt kiegyenlíti a támasztó reakcióerő. Ha eltéríti a labdát a pontról RÓL RŐL, akkor az egyensúlyi helyzetből kifelé irányuló erő jelenik meg.

Erő hatására a labda eltávolodik a ponttól RÓL RŐL. Ez egy példa az instabil egyensúlyra.

Instabil Ezt a fajta egyensúlyt nevezzük, amikor a kilépéskor olyan erők vagy erőnyomatékok keletkeznek, amelyek hajlamosak még távolabbra vinni a testet az egyensúlyi helyzetből.

A domború felületen lévő golyó potenciális energiája a legnagyobb értékű (maximum) a pontban RÓL RŐL. Minden más ponton a labda potenciális energiája kisebb. Például azon a ponton A(89. ábra) a potenciális energia kisebb, mint egy pontban RÓL RŐL, az összeggel E P ( 0 ) - E p ( A) = mgh.

Instabil egyensúlyi helyzetben a test potenciális energiája maximális értékkel rendelkezik a szomszédos helyzetekhez képest.

3. Vízszintes felületen a labdára ható erők bármely ponton kiegyenlítődnek: (90. ábra). Ha például elmozdítja a labdát a pontról RÓL RŐL pontosan A, akkor az eredő erő
a gravitáció és a talajreakció még mindig nulla, i.e. az A pontban a labda is egyensúlyi helyzetben van.

Ez egy példa a közömbös egyensúlyra.

Közömbös Ezt a fajta egyensúlyt nevezzük, amelyből kilépve a test új egyensúlyi helyzetben marad.

A golyó potenciális energiája a vízszintes felület minden pontján (90. ábra) azonos.

Közömbös egyensúlyi helyzetekben a potenciális energia azonos.

A gyakorlatban néha meg kell határozni a különböző alakú testek egyensúlyi típusát egy gravitációs mezőben. Ehhez emlékeznie kell a következő szabályokra:

1. A test akkor lehet stabil egyensúlyi helyzetben, ha a talajreakció erő alkalmazási pontja a test súlypontja felett van. Ráadásul ezek a pontok ugyanazon a függőlegesen helyezkednek el (91. ábra).

ábrán. 91, b A támasztó reakcióerő szerepét a menet feszítőereje játssza.

2. Ha a talajreakció erő alkalmazási pontja a súlypont alatt van, két eset lehetséges:

Ha a támasz pontszerű (a támasz felülete kicsi), akkor az egyensúly instabil (92. ábra). Az egyensúlyi helyzettől való enyhe eltérés esetén az erőnyomaték hajlamos megnövelni a kiindulási helyzettől való eltérést;

Ha a támasz nem pontszerű (a támasz felülete nagy), akkor az egyensúlyi helyzet stabil abban az esetben, ha a gravitációs hatásvonal AA" metszi a testtámasz felületét
(93. ábra). Ebben az esetben a testnek az egyensúlyi helyzettől való enyhe eltérésével olyan erőnyomaték lép fel, amely visszaállítja a testet eredeti helyzetébe.

??? VÁLASZOLJ A KÉRDÉSEKRE:

1. Hogyan változik a test súlypontjának helyzete, ha a testet eltávolítjuk: a) stabil egyensúlyi helyzetből? b) instabil egyensúly?

2. Hogyan változik egy test potenciális energiája, ha a test helyzete közömbös egyensúlyban megváltozik?