Az f x függvény antideriváltjának megtalálását hívjuk. Három szabály az antiderivatívek megtalálásához

Néhány intervallum X. Ha Mert tetszőleges xХ F"(x) = f(x), akkor funkció F hívottantiderivatívMertfunkciókat f az X intervallumon. AntiderivatívMertfunkciókat megpróbálhatod megkeresni...

Funkció F(x ) hívott antiderivatív funkcióhoz f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség

F"(x ) = f(x ) .

Például a függvény F(x) = x 2 f(x ) = 2x , mert

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Az antiderivatív fő tulajdonsága

Ha F(x) - egy függvény antideriváltja f(x) adott intervallumon, akkor a függvény f(x) végtelenül sok antiderivatíva van, és mindezek az antideriválták a formába írhatók F(x) + C, Ahol VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Az antiderivatívák kiszámításának szabályai

1. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , A G(x) - antiderivatív a g(x) , Azt F(x) + G(x) - antiderivatív a f(x) + g(x) . Más szavakkal, az összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével .
2. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , És k - akkor állandó k · F(x) - antiderivatív a k · f(x) . Más szavakkal, a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből .
3. Ha F(x) - antiderivatív a f(x) , És k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt 1 / k F( k x+ b ) - antiderivatív a f(k x+ b) .

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál funkcióból f(x) kifejezésnek nevezzük F(x) + C, vagyis egy adott függvény összes antideriváltjának halmaza f(x) . A határozatlan integrált a következőképpen jelöljük:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- hívnak integrand függvény ;

f(x) dx- hívnak integrand ;

x - hívnak integrációs változó ;

F(x) - az egyik primitív függvény f(x) ;

VAL VEL egy tetszőleges állandó.

Például, ∫ 2 x dx =x 2 + VAL VEL , ∫ kötözősalátax dx = bűn x + VAL VEL stb. ◄

Az "integrál" szó a latin szóból származik egész szám , ami azt jelenti, hogy "helyreállítva". Figyelembe véve a határozatlan integrálját 2 x, úgy tűnik, helyreállítjuk a funkciót x 2 , amelynek deriváltja egyenlő 2 x. Egy függvény deriváltjából való visszaállítását, vagy ami ugyanaz, egy adott integrandus felett határozatlan integrált találni ún. integráció ezt a funkciót. Az integráció a differenciálás inverz művelete, annak ellenőrzéséhez, hogy az integráció helyesen történt-e, elegendő az eredményt differenciálni és megkapni az integrandust.

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Az integrandus állandó tényezője kivehető az integráljelből:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. A függvények összegének (különbségének) integrálja egyenlő az összeggel ezen függvények integráljainak (különbségei):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ha k,b- állandó, és k ≠ 0 , Azt

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Az antiderivált és határozatlan integrálok táblázata

Határozott integrál

Engedj be a közé [a; b] folytonos függvény adott y = f(x) , Akkor határozott integrál a-tól b-ig funkciókat f(x) az antiderivált növekményének nevezzük F(x) ez a funkció, vagyis

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Számok aÉs b ennek megfelelően hívják Alsó És tetejére az integráció határai.

A határozott integrál kiszámításának alapszabályai

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ahol k - állandó;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ahol f(x) — egyenletes funkció;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ahol f(x) egy páratlan függvény.

Megjegyzés . Minden esetben feltételezzük, hogy az integrandusok numerikus intervallumokon integrálhatók, amelyek határai az integráció határai.

A határozott integrál geometriai és fizikai jelentése

Geometriai jelentés határozott integrál	Fizikai jelentés határozott integrál
Négyzet S görbe trapéz (az intervallumon egy folytonos pozitív grafikonja által határolt ábra [a; b] funkciókat f(x) , tengely Ökör és egyenes x=a , x=b ) képlettel számítjuk ki $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pálya s, amelyet az anyagi pont legyőzött, egyenesen haladva, a törvény szerint változó sebességgel v(t) , egy ideig a ; b] , akkor az ábra azon területe, amelyet ezen függvények és egyenesek grafikonjai korlátoznak x = a , x = b képlettel számolva $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Például. Számítsuk ki az ábra területét, vonalak korlátozzák y = x 2 És y = 2- x . Ábrázoljuk sematikusan ezeknek a függvényeknek a grafikonjait, és más színnel emeljük ki azt az ábrát, amelynek területét meg kell keresni. Az integráció határainak megtalálásához megoldjuk a következő egyenletet: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \jobb )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

A forradalom testének térfogata

	Ha egy testet egy tengely körüli forgás eredményeként kapunk Ökör görbe vonalú trapéz, amelyet az intervallumon egy folytonos és nem negatív gráf határol [a; b] funkciókat y = f(x) és egyenes x = aÉs x = b , akkor úgy hívják forgástest . A forgástest térfogatát a képlet számítja ki $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ha a függvény grafikonjaival felül és alul határolt ábra elforgatása eredményeként egy forgástestet kapunk y = f(x) És y = g(x) , ennek megfelelően akkor $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Például. Számítsuk ki egy sugarú kúp térfogatát r és magasság h . Helyezzük el a kúpot téglalap alakú koordinátarendszerben úgy, hogy a tengelye egybeessen a tengellyel Ökör , és az alap közepe az origónál helyezkedett el. Generátor forgása AB kúpot határoz meg. Az egyenlet óta AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
és a nálunk lévő kúp térfogatára $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Minden matematikai művelethez van egy fordított művelet. A differenciálás műveletére (függvények deriváltjainak keresése) is létezik fordított művelet– integráció. Az integrálással egy függvényt megtalálunk (rekonstruálunk) az adott deriváltjából vagy differenciáljából. A talált függvényt hívjuk antiderivatív.

Meghatározás. Differenciálható funkció F(x) függvény antideriváltjának nevezzük f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból a következő egyenlőség érvényesül: F′(x)=f(x).

Példák. Keresse meg a függvények antideriváltjait: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Mivel (x²)′=2x, akkor definíció szerint az F (x)=x² függvény az f (x)=2x függvény antideriváltja.

2) (sin3x)′=3cos3x. Ha jelöljük f (x)=3cos3x és F (x)=sin3x, akkor az antiderivált definíció szerint a következőt kapjuk: F′(x)=f (x), és ezért F (x)=sin3x egy antiderivált, ha f (x)=3cos3x.

Vegye figyelembe, hogy (sin3x +5 )′= 3cos3x, és (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V Általános nézet felírható: (sin3x +C)′= 3cos3x, Ahol VAL VEL- valamilyen állandó érték. Ezek a példák az integráció műveletének kétértelműségét jelzik, ellentétben a differenciálással, amikor bármely differenciálható függvénynek egyetlen deriváltja van.

Meghatározás. Ha a funkció F(x) a függvény antideriváltja f(x) egy bizonyos intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza a következő alakú:

F(x)+C, ahol C bármely valós szám.

Az f (x) függvény F (x) + C antideriváltjainak halmazát a vizsgált intervallumon határozatlan integrálnak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük. ∫ (integrált jel). Írd le: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Kifejezés ∫f(x)dx olvassa el: „ef integrál x-ből de x-be”.

f(x)dx- integráns kifejezés,

f(x)– integráns funkció,

x az integrációs változó.

F(x)- egy függvény antideriváltja f(x),

VAL VEL- valamilyen állandó érték.

Most a figyelembe vett példák a következőképpen írhatók fel:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Mit jelent a d jel?

d- differenciáljel - kettős célja van: először is ez a jel választja el az integrandust az integrációs változótól; másodszor, minden, ami ez után a jel után következik, alapértelmezés szerint megkülönböztetve van, és megszorozzuk az integrandummal.

Példák. Keresse meg az integrálokat: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) A differenciálmű ikon után d költségeket xx, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Hasonlítsa össze a példával 1).

Csináljunk egy ellenőrzést. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) A differenciálmű ikon után d költségeket R. Ez azt jelenti, hogy az integrációs változó R, és a szorzó xállandó értéknek kell tekinteni.

∫ 2хрдр=р²х+С. Hasonlítsa össze példákkal 1) És 3).

Csináljunk egy ellenőrzést. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Integrálok megoldása - könnyű feladat, de csak néhány kiválasztott számára. Ez a cikk azoknak szól, akik szeretnének megtanulni megérteni az integrálokat, de semmit vagy szinte semmit nem tudnak róluk. Integrál... Miért van szükség rá? Hogyan kell kiszámolni? Mik azok a határozott és határozatlan integrálok? Ha az integrál egyetlen felhasználási módja, hogy egy integrál ikon alakú horgolótűt használjon, hogy valami hasznosat kapjon nehezen elérhető helyekre, akkor üdvözöljük! Tudja meg, hogyan kell megoldani az integrálokat, és miért nem megy nélküle.

Tanulmányozzuk az "integrál" fogalmát

Az integráció már régen ismert volt Az ókori Egyiptom. Természetesen nem benne modern forma, de még mindig. Azóta a matematikusok sok könyvet írtak erről a témáról. Különösen kitüntették magukat Newton És Leibniz , de a dolgok lényege nem változott. Hogyan lehet a semmiből megérteni az integrálokat? Semmiképpen! A téma megértéséhez továbbra is szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapismeretére. Ez az alapvető információ, amelyet megtalálhat blogunkon.

Határozatlan integrál

Legyen valami funkciónk f(x) .

Határozatlan integrálfüggvény f(x) ezt a függvényt hívják F(x) , melynek deriváltja egyenlő a függvénnyel f(x) .

Más szavakkal, az integrál egy fordított származék vagy egy antiderivált. A hogyanról egyébként cikkünkben olvashat.

Minden folytonos funkcióhoz létezik antiderivált. Emellett gyakran konstans előjelet adnak az antideriválthoz, mivel a konstansban eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

Egyszerű példa:

Hogy ne kelljen állandóan antiderivatívákat számolni elemi függvények, célszerű táblázatban összefoglalni és kész értékeket használni:

Határozott integrál

Amikor az integrál fogalmával foglalkozunk, végtelenül kicsi mennyiségekkel van dolgunk. Az integrál segít kiszámítani egy ábra területét, egy nem egyenletes test tömegét, az egyenetlen mozgás során megtett távolságot és még sok mást. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál végtelen összeg nagy mennyiség végtelenül kicsi kifejezések.

Példaként képzeljük el valamilyen függvény grafikonját. Hogyan találjuk meg egy ábra területét, amelyet egy függvény grafikonja határol?

Integrál használatával! Osszuk fel a függvény koordinátatengelyeivel és grafikonjával határolt görbe vonalú trapézt infinitezimális szegmensekre. Így az ábra vékony oszlopokra lesz osztva. Az oszlopok területének összege a trapéz területe lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Azonban minél kisebbek és keskenyebbek a szegmensek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hosszúság nullára hajlik, akkor a szegmensek területének összege az ábra területéhez fog fordulni. Ez egy határozott integrál, amely így van írva:

Az a és b pontokat integrációs határoknak nevezzük.

Bari Alibasov és az "Integral" csoport

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A próbabábu integrálszámításának szabályai

A határozatlan integrál tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, ami a példák megoldásánál lesz hasznos.

• Az integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

• A konstans kivehető az integráljel alól:

• Az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével. Ez a különbségre is igaz:

Határozott integrál tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrál előjele megváltozik, ha az integráció határait felcseréljük:

• Nál nél Bármi pontokat a, bÉs Val vel:

Azt már megtudtuk, hogy a határozott integrál egy összeg határa. De hogyan lehet konkrét értéket kapni egy példa megoldása során? Erre van a Newton-Leibniz képlet:

Példák integrálok megoldására

Az alábbiakban néhány példát fogunk megvizsgálni a határozatlan integrálok megtalálására. Meghívjuk Önt, hogy saját maga találja ki a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegye fel kérdéseit a megjegyzésekben.

Az anyag megerősítéséhez nézzen meg egy videót az integrálok gyakorlati megoldásáról. Ne essen kétségbe, ha az integrált nem adják meg azonnal. Kérdezd meg, és mindent elmondanak, amit az integrálszámításról tudnak. Segítségünkkel zárt felületen bármilyen hármas vagy ívelt integrál az Ön rendelkezésére áll.

Az antiderivatív definíciója.

Az f(x) függvény antideriváltja az (a; b) intervallumon egy olyan F(x) függvény, amelyre az egyenlőség az adott intervallum bármely x-ére érvényes.

Ha figyelembe vesszük, hogy a C állandó deriváltja nulla, akkor az egyenlőség igaz . Így az f(x) függvénynek van egy F(x)+C antiderivált egy halmaza egy tetszőleges C állandóhoz, és ezek az antideriválták tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Az f(x) függvény antideriváltjainak teljes halmazát e függvény határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, és f(x) – integrand függvény. Az integrandus az f(x) függvény differenciálját reprezentálja.

Azt a műveletet, amely során egy ismeretlen függvényt találunk a differenciálértéke alapján, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye nem egy F(x) függvény, hanem annak F(x)+C antideriváltjainak halmaza.

A derivált tulajdonságai alapján lehet megfogalmazni és bizonyítani a határozatlan integrál tulajdonságai(egy antiderivatív tulajdonságai).

Az egyértelműség kedvéért megadjuk a határozatlan integrál első és második tulajdonságának köztes egyenlőségeit.

A harmadik és negyedik tulajdonság bizonyításához elég megkeresni az egyenlőségek jobb oldalának deriváltjait:

Ezek a származékok egyenlők az integrandusokkal, ami az első tulajdonság miatti bizonyíték. Az utolsó átmeneteknél is használatos.

Így az integráció problémája a differenciálási probléma fordítottja, és ezek között a problémák között nagyon szoros kapcsolat van:

• az első tulajdonság lehetővé teszi az integráció ellenőrzését. Az elvégzett integráció helyességének ellenőrzéséhez elegendő kiszámítani a kapott eredmény deriváltját. Ha a differenciálás eredményeként kapott függvény egyenlőnek bizonyul az integrandusszal, ez azt jelenti, hogy az integrációt helyesen hajtották végre;
• a határozatlan integrál második tulajdonsága lehetővé teszi, hogy egy függvény ismert differenciáljából megtaláljuk az antideriváltját. A határozatlan integrálok közvetlen számítása ezen a tulajdonságon alapul.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Keresse meg annak a függvénynek az antideriváltját, amelynek értéke egyenlő eggyel x = 1-nél.

Megoldás.

honnan tudjuk differenciálszámítás, Mit (csak nézd meg az alapvető elemi függvények deriváltjainak táblázatát). És így, . A második ingatlannál . Azaz sok antideriváltunk van. x = 1 esetén megkapjuk az értéket. A feltétel szerint ennek az értéknek egynek kell lennie, ezért C = 1. A kívánt származékellenes szer a következő formában jelenik meg: .

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált és differenciálással ellenőrizzük az eredményt.

Megoldás.

A trigonometriából származó kettős szögszinusz-képlet használata , Ezért