Keresse meg a függvény növekvő csökkenésének és szélsőségeinek intervallumait. A funkció növekedésének és csökkenésének elegendő jele

Derivált. Ha egy függvény deriváltja az intervallum bármely pontjára pozitív, akkor a függvény növekszik, ha negatív, akkor csökken.

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához meg kell találni a definíciós tartományát, deriváltját, megoldani az F’(x) > 0 és F’(x) alakú egyenlőtlenségeket.

Megoldás.

3. Oldja meg az y’ > 0 és y’ 0 egyenlőtlenségeket;
(4 - x)/x³

Megoldás.
1. Keressük meg a függvény definíciós tartományát. Nyilvánvaló, hogy a nevezőben lévő kifejezésnek mindig különböznie kell a nullától. Ezért a 0 ki van zárva a definíciós tartományból: a függvény x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) esetén van definiálva.

2. Számítsa ki a függvény deriváltját:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Oldja meg az y’ > 0 és y’ 0 egyenlőtlenségeket;
(4 - x)/x³

4. Az egyenlőtlenség bal oldalán egy valós x = 4 van, és az x = 0-ra fordul. Ezért az x = 4 az intervallumban és a csökkenő intervallumban is szerepel, a 0 pont pedig nem.
Tehát a szükséges függvény növekszik az x ∈ (-∞; 0) ∪ intervallumon.

4. Az egyenlőtlenség bal oldalán egy valós x = 4 van, és az x = 0-ra fordul. Ezért az x = 4 az intervallumban és a csökkenő intervallumban is szerepel, a 0 pont pedig nem.
Tehát a szükséges függvény növekszik az x ∈ (-∞; 0) ∪ intervallumon.

Források:

• hogyan keressünk csökkenő intervallumokat egy függvényen

A függvény egy szám szigorú függését jelenti egy másiktól, vagy egy függvény (y) értékét egy argumentumtól (x). Minden folyamat (nem csak a matematikában) leírható a saját funkciójával, amelynek lesz jellemzők: csökkenő és növekvő intervallumok, minimumok és maximumok pontjai stb.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll.

Utasítás

2. példa
Keresse meg az f(x)=sinx +x csökkenő intervallumait.
Ennek a függvénynek a deriváltja a következő lesz: f’(x)=cosx+1.
A cosx+1 egyenlőtlenség megoldása

Intervallum egyhangúság függvényt nevezhetünk olyan intervallumnak, amelyben a függvény vagy csak növekszik, vagy csak csökken. Számos konkrét művelet segít megtalálni a függvény ilyen tartományait, ami gyakran szükséges az ilyen típusú algebrai problémákhoz.

Utasítás

Az első lépés annak a feladatnak a megoldásában, hogy meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyekben egy függvény monoton nő vagy csökken, ennek a függvénynek a kiszámítása. Ehhez keresse meg az összes argumentumértéket (az x tengely mentén lévő értékeket), amelyekhez megtalálhatja a függvény értékét. Jelölje meg azokat a pontokat, ahol megszakadások figyelhetők meg. Keresse meg a függvény deriváltját! Miután meghatározta a származékot reprezentáló kifejezést, állítsa azt nullára. Ezt követően meg kell találnia a kapott eredet gyökereit. Nem a megengedett területről.

Azok a pontok, ahol a függvény, vagy ahol a deriváltja egyenlő nullával, az intervallumok határait jelentik egyhangúság. Ezeket a tartományokat, valamint az őket elválasztó pontokat egymás után kell beírni a táblázatba. Keresse meg a függvény deriváltjának előjelét a kapott intervallumokban! Ehhez helyettesítse be az intervallum bármely argumentumát a deriváltnak megfelelő kifejezésbe. Ha az eredmény pozitív, a függvény ebben a tartományban nő, ellenkező esetben csökken. Az eredmények bekerülnek a táblázatba.

Az f’(x) függvény deriváltját jelölő sorban az argumentumok megfelelő értékeit írjuk: „+” - ha a derivált pozitív, „-” - negatív vagy „0” - egyenlő nullával. A következő sorban vegye figyelembe magának az eredeti kifejezésnek a monotóniáját. A felfelé mutató nyíl növekedésnek, a lefelé mutató nyíl pedig a csökkenésnek felel meg. Ellenőrizze a funkciókat. Ezek azok a pontok, ahol a derivált nulla. A szélsőség lehet maximumpont vagy minimumpont. Ha a függvény előző szakasza nőtt, a jelenlegi pedig csökkent, akkor ez a maximális pont. Abban az esetben, ha a függvény egy adott pont előtt csökkent, most pedig növekszik, ez a minimumpont. Írja be a függvény értékeit a táblázatba a szélső pontokon.

Források:

• mi a monotónia meghatározása

Egy argumentumtól komplexen függő függvény viselkedését a derivált segítségével vizsgáljuk. A derivált változásának természeténél fogva megtalálhatja a függvény kritikus pontjait, növekedési vagy csökkenési területeit.

Adjunk meg egy téglalap alakú koordináta-rendszert egy bizonyos síkon. Valamely , függvény grafikonja (X-definíciós tartomány) ennek a síknak a koordinátákkal ellátott pontjainak halmaza, ahol .

Grafikon készítéséhez síkon kell ábrázolni egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátáit (x;y) a reláció összefügg.

Leggyakrabban egy függvény grafikonja valamilyen görbe.

A grafikonok ábrázolásának legegyszerűbb módja a pontok szerinti ábrázolás.

A rendszer összeállít egy táblázatot, amelyben az argumentum értéke az egyik cellában, az ebből az argumentumból származó függvény értéke pedig a másik cellában van. Ezután a kapott pontokat megjelöljük a síkon, és görbét rajzolunk rajtuk.

Példa függvénygráf pontok felhasználásával történő felépítésére:

Építsünk asztalt.

Most készítsünk egy grafikont.

De ilyen módon nem mindig lehet kellően pontos grafikont készíteni - a pontosság érdekében sok pontot kell venni. Ezért használnak különféle módszerek funkció tanulmányok.

A funkció teljes kutatási sémáját a felsőoktatásban ismerik. oktatási intézmények. A függvény tanulmányozásának egyik pontja a függvény növekedési (csökkenési) intervallumainak megtalálása.

Egy függvényt növekvőnek (csökkenőnek) nevezünk egy bizonyos intervallumon, ha ebből az intervallumból bármely x 2 és x 1 esetén x 2 >x 1.

Például egy függvény, amelynek grafikonja a következő ábrán látható, intervallumokon növekszik és csökken az intervallumban (-5;3). Vagyis az intervallumokban A menetrend felfelé halad. A (-5;3) intervallumban pedig „lefelé”.

A függvény tanulmányozásának másik pontja a függvény periodicitás vizsgálata.

Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha van olyan T szám, amelyre .

A T számot a függvény periódusának nevezzük. Például a függvény periodikus, itt a periódus 2P, tehát

Példák periodikus függvények grafikonjaira:

Az első függvény periódusa 3, a másodiké 4.

Egy függvényt akkor is hívunk, ha Példa páros függvényre y=x 2 .

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha Példa páratlan függvény y=x 3.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a műveleti erősítő tengelyére (tengelyszimmetria).

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (centrális szimmetria).

Példák páros (bal) és páratlan (jobb) függvény grafikonjaira.

1. Keresse meg a függvény tartományát

2. Keresse meg a függvény deriváltját!

3. Egyenlítse a derivált nullával, és keresse meg a függvény kritikus pontjait

4. Jelölje meg a kritikus pontokat a definíciós területen

5. Számítsa ki a derivált előjelét a kapott intervallumok mindegyikében!

6. Ismerje meg a függvény viselkedését az egyes intervallumokban!

Példa: Keresse meg a növekvő és a csökkenő függvény intervallumaitf(x) = és ennek a függvénynek a nulláinak száma az intervallumon.

Megoldás:

1.D( f) = R

2. f"(x) =

D( f") = D( f) = R

3. Keresse meg a függvény kritikus pontjait az egyenlet megoldásával! f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

egy függvény kritikus pontjai x= 0 és x = 10.

4. Határozza meg a derivált előjelét!

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

a (-∞; 0) és (10; +∞) intervallumokban a függvény deriváltja pozitív és a pontokban x= 0 és x = 10 függvény f(x) folytonos, ezért ez a függvény a következő intervallumokon növekszik: (-∞; 0]; .

Határozzuk meg a függvényértékek előjelét a szegmens végén.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Mivel a függvény a szegmensen csökken, és a függvényértékek előjele megváltozik, ezért ezen a szegmensen a függvénynek egy nulla van.

Válasz: az f(x) függvény növekszik a következő intervallumokon: (-∞; 0]; ;

az intervallumon a függvénynek egy nulla függvénye van.

2. A függvény szélsőpontjai: maximumpontok és minimumpontok. Egy függvény szélsőértékének létezéséhez szükséges és elégséges feltételek. Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz .

1. definíció:Azokat a pontokat, ahol a derivált nullával egyenlő, kritikusnak vagy stacionáriusnak nevezzük.

2. definíció. Egy pontot egy függvény minimum (maximum) pontjának nevezünk, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb (nagyobb, mint a függvény legközelebbi értéke).

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a maximum és minimum in ebben az esetben helyiek.

ábrán. 1. A helyi maximumok és minimumok láthatók.

Egy függvény maximumát és minimumát egy közös név egyesíti: a függvény szélsőértéke.

1. tétel. (szükséges jel a függvény szélsőértékének megléte). Ha egy pontban differenciálható függvénynek ezen a ponton van maximuma vagy minimuma, akkor a deriváltja a pontban eltűnik, .

2. tétel.(elegendő jele a függvény szélsőértékének létezésének). Ha egy folytonos függvénynek valamely kritikus pontot tartalmazó intervallum minden pontjában van deriváltja (lehet, hogy magát a pontot kivéve), és Ha a derivált, amikor az argumentum balról jobbra halad át a kritikus ponton, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, akkor a függvénynek ezen a ponton van maximuma, és amikor az előjel mínuszról pluszra változik, akkor minimuma van.

Monoton

Nagyon fontos tulajdon funkció a monotonitása. A különféle speciális funkciók ezen tulajdonságának ismeretében meg lehet határozni különféle fizikai, gazdasági, társadalmi és sok más folyamat viselkedését.

A funkciók monotóniájának következő típusait különböztetjük meg:

1) funkció növeli, ha egy bizonyos intervallumon, ha bármely két pontra és ez az intervallum úgy, hogy . Azok. magasabb értéket az argumentum nagyobb függvényértéknek felel meg;

2) funkció csökken, ha egy bizonyos intervallumon, ha bármely két pontra és ez az intervallum úgy, hogy . Azok. nagyobb argumentumérték kisebb függvényértéknek felel meg;

3) funkció nem csökkenő, ha egy bizonyos intervallumon, ha bármely két pontra és ez az intervallum úgy, hogy ;

4) funkció nem növekszik, ha egy bizonyos intervallumon, ha bármely két pontra és ez az intervallum úgy, hogy .

2. Az első két esetben a „szigorú monotonitás” kifejezés is használatos.

3. Az utolsó két eset specifikus, és általában több funkció összetételeként határozzák meg.

4. Külön megjegyezzük, hogy egy függvény grafikonjának növekedését és csökkenését balról jobbra kell tekinteni, semmi mást.

2. Páros Páratlan.

A függvény neve páratlan, ha az argumentum előjele megváltozásakor az értékét az ellenkezőjére változtatja. Ennek képlete így néz ki . Ez azt jelenti, hogy miután „mínusz x” értékeket helyettesítünk a függvényben az összes x helyett, a függvény megváltoztatja az előjelét. Egy ilyen függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Példák a páratlan függvényekre stb.

Például a gráfnak valójában szimmetriája van az origóra vonatkozóan:

A függvényt párosnak nevezzük, ha az argumentum előjele megváltozásakor az értéke nem változik. Ennek képlete így néz ki. Ez azt jelenti, hogy miután „mínusz x” értékeket helyettesítünk a függvényben az összes x helyett, a függvény ennek következtében nem fog megváltozni. Egy ilyen függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre.

Példák a páros függvényekre stb.

Például mutassuk meg a grafikon szimmetriáját a tengely körül:

Ha egy függvény nem tartozik a megadott típusok egyikébe sem, akkor sem párosnak, sem páratlannak, sem nem nevezik funkció Általános nézet . Az ilyen függvényeknek nincs szimmetriája.

Ilyen függvény például az a lineáris függvény, amelyet nemrég egy grafikonnal vizsgáltunk:

3. Különleges ingatlan funkciók az periodicitás.

A tény az, hogy a szabványban figyelembe vett periodikus függvények iskolai tananyag, csak trigonometrikus függvények. Az érintett téma tanulmányozása során már részletesen beszéltünk róluk.

Periodikus funkció egy olyan függvény, amely nem változtatja meg az értékeit, ha egy bizonyos állandó, nem nulla számot adunk az argumentumhoz.

Ezt a minimális számot hívják a funkció időszakaés a betű jelöli őket.

Ennek képlete így néz ki: .

Nézzük meg ezt a tulajdonságot egy szinuszgráf példáján:

Emlékezzünk arra, hogy az és függvények periódusa is , valamint az és periódusa is .

Mint már tudjuk, azért trigonometrikus függvényekösszetett érv esetén előfordulhat egy nem szabványos időszak. Ez körülbelül az űrlap funkcióiról:

Időtartamuk egyenlő. És a funkciókról:

Időtartamuk egyenlő.

Mint látható, egy új periódus kiszámításához a standard periódust egyszerűen el kell osztani az argumentumban szereplő tényezővel. Nem függ a funkció egyéb módosításaitól.

Korlátozás.

Funkció y=f(x) alulról korlátosnak nevezzük az X⊂D(f) halmazt, ha van olyan a szám, amelyre bármely xϵX esetén teljesül az f(x) egyenlőtlenség< a.

Funkció y=f(x) felülről korlátosnak nevezzük az X⊂D(f) halmazon, ha van olyan a szám, amelyre bármely хϵХ esetén teljesül az f(x) egyenlőtlenség< a.

Ha az X intervallum nincs megadva, akkor a függvény a teljes definíciós tartományban korlátozottnak tekinthető. A fent és lent is korlátos függvényt korlátosnak nevezzük.

A függvény korlátozása könnyen leolvasható a grafikonról. Rajzolhat egy vonalat y=a, és ha a függvény magasabb ennél a vonalnál, akkor alulról korlátos.

Ha lent, akkor ennek megfelelően fent. Az alábbiakban egy alul határolt függvény grafikonja látható. Srácok, próbáljatok meg rajzolni egy grafikont egy korlátozott függvényről.

Téma: Függvények tulajdonságai: növekedési és csökkentési intervallumok; legnagyobb és legkisebb érték; szélsőpontok (lokális maximum és minimum), a függvény konvexitása.

Növekedési és csökkenési intervallumok.

Egy függvény növekedéséhez és csökkenéséhez elegendő feltétel (jel) alapján a függvény növekedésének és csökkenésének intervallumait találjuk.

Íme az intervallumon belüli növekvő és csökkenő függvények jeleinek megfogalmazása:

· ha a függvény deriváltja y=f(x) pozitív bárki számára x az intervallumból x, akkor a függvény értékkel növekszik x;

· ha a függvény deriváltja y=f(x) negatív bárki számára x az intervallumból x, akkor a függvény értékkel csökken x.

Tehát egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározásához szükséges:

· megtalálni a függvény definíciós tartományát;

· keresse meg a függvény deriváltját;

· egyenlőtlenségek megoldása a definíció területén;

A funkció extrémje

2. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximumpontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy a környéken található összes $x$ egyenlőtlenségre a $f(x)\le f(x_0) egyenlőtlenség vonatkozik. $ tart.

3. definíció

Egy $x_0$ pontot egy $f(x)$ függvény maximális pontjának nevezzük, ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebben a szomszédságban minden $x$ esetén a $f(x)\ge f(x_0) egyenlőtlenség $ tart.

A függvény szélsőértékének fogalma szorosan összefügg a függvény kritikus pontjának fogalmával. Mutassuk be a definícióját.

4. definíció

$x_0$ a $f(x)$ függvény kritikus pontjának nevezzük, ha:

1) $x_0$ - a definíciós tartomány belső pontja;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ vagy nem létezik.

Az extrémum fogalmához tételeket fogalmazhatunk meg elégséges és szükséges feltételeket a létezését.

2. tétel

Elegendő állapot extrémum

Legyen a $x_0$ pont kritikus az $y=f(x)$ függvény számára, és legyen a $(a,b)$ intervallumban. Legyen mindegyik $\left(a,x_0\right)\ és\ (x_0,b)$ intervallumon a $f"(x)$ derivált, és állandó előjelet tart fenn. Ezután:

1) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a derivált $f"\left(x\right)>0$, és az $(x_0,b)$ intervallumon a derivált: $f"\left( x\jobbra)

2) Ha az $(a,x_0)$ intervallumon a $f"\left(x\right)0$ derivált, akkor a $x_0$ pont a minimális pont ennek a függvénynek.

3) Ha az $(a,x_0)$ és az $(x_0,b)$ intervallumon is a $f"\left(x\right) >0$ vagy a $f"\left(x) derivált \jobb)

Ezt a tételt az 1. ábra szemlélteti.

1. ábra. Elegendő feltétel az extrémák fennállásához

Példák szélsőségekre (2. ábra).

2. ábra Példák szélsőséges pontokra

Szabály egy függvény tanulmányozására extrémumhoz

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

7) A 2. Tétel segítségével vonjon le következtetéseket a maximumok és minimumok meglétére minden intervallumon.

Funkciók növelése és csökkentése

Először mutassuk be a növekvő és a csökkenő függvények definícióit.

5. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt növekvőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in $x_1 X$-ban lévő pontra

6. definíció

A $X$ intervallumon definiált $y=f(x)$ függvényt csökkenőnek mondjuk, ha bármely $x_1,x_2\in X$ pontra $x_1f(x_2)$ esetén.

Növekedési és csökkentési függvény tanulmányozása

Növekvő és csökkenő függvényeket tanulmányozhat a derivált segítségével.

Egy függvény növekedési és csökkenési intervallumainak vizsgálatához a következőket kell tennie:

1) Keresse meg a $f(x)$ függvény definíciós tartományát;

2) Keresse meg a $f"(x)$ deriváltot;

3) Keresse meg azokat a pontokat, ahol a $f"\left(x\right)=0$ egyenlőség;

4) Keresse meg azokat a pontokat, ahol $f"(x)$ nem létezik;

5) Jelölje meg a koordináta egyenesen az összes talált pontot és a függvény definíciós tartományát;

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden kapott intervallumon;

7) Vonja le a következtetést: azokon az intervallumokon, ahol $f"\left(x\right)0$ a függvény növekszik.

Példák a növekedési, csökkentési és szélsőséges pontok jelenlétének függvényeinek tanulmányozására

1. példa

Vizsgálja meg a növekedés és a csökkentés függvényét, valamint a maximális és minimális pontok jelenlétét: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Mivel az első 6 pont ugyanaz, először nézzük meg őket.

1) Definíciós tartomány - minden valós szám;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ a definíciós tartomány minden pontján létezik;

5) Koordinátavonal:

3. ábra.

6) Határozza meg a $f"(x)$ derivált előjelét minden intervallumon:

\ \}