Fokok átváltása radiánba és fordítva. A szög mértéke. Radián szögmérték. Fok átváltása radiánra és vissza A szög fokmértéke

A trigonometrikus függvények értéktáblázata 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 és 360 szögekre összeállítva fokonés a megfelelő szögértékeket radiánok. Tól től trigonometrikus függvények táblázat mutatja szinusz, koszinusz, érintő, kotangens, szekánsÉs koszekáns. Az iskolai jelentéspéldák megoldásának kényelme érdekében trigonometrikus függvények táblázatban tört alakban írják, miközben megőrzik a számok négyzetgyökének kinyerésének jeleit, ami nagyon gyakran segít csökkenteni az összetett matematikai kifejezéseket. Mert tangensÉs kotangens Egyes szögek nem határozhatók meg. Az értékekért tangensÉs kotangens Az ilyen szögek trigonometrikus függvényeinek értéktáblázatában kötőjel található. Általánosan elfogadott, hogy tangensÉs kotangens ilyen szögek egyenlő a végtelennel. Külön oldalon találhatók a trigonometrikus függvények csökkentésére szolgáló képletek.

A trigonometrikus szinuszfüggvény értéktáblázata a következő szögek értékeit mutatja: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 fokban, ami megfelel sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi radián szögmértékben. Iskolai szinusztáblázat.

A trigonometrikus koszinuszfüggvényhez a táblázat a következő szögek értékeit mutatja: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 fokban, ami cos 0 pi-nek felel meg. , cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi radián szögmértékben. Iskolai koszinusz táblázat.

A trigonometrikus érintőfüggvény trigonometrikus táblázata a következő szögekhez ad értékeket: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 fokban, ami tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi a szögek radián mértékében. A trigonometrikus érintőfüggvények következő értékei nincsenek definiálva tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2, és egyenlőnek tekintendők a végtelennel.

A trigonometrikus függvény kotangenséhez a trigonometrikus táblázatban a következő szögek értékei vannak megadva: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 fokban, ami megfelel ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 radián szögmértékben. A trigonometrikus kotangens függvények alábbi értékei nincsenek definiálva ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi, és egyenlőnek tekintendők a végtelennel.

A szekáns és koszekáns trigonometrikus függvények értékei ugyanazokra a szögekre vannak megadva fokban és radiánban, mint a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens.

A nem szabványos szögek trigonometrikus függvényeinek táblázata a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeit mutatja szögeknél 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 fokban és radiánban pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radián. A trigonometrikus függvények értékeit törtekben és négyzetgyökökben fejezzük ki, hogy megkönnyítsük a törtek csökkentését az iskolai példákban.

Még három trigonometrikus szörny. Az első az 1,5 másfél fok vagy a pi érintője osztva 120-zal. A második a pi koszinusza osztva 240-nel, pi/240. A leghosszabb a pi koszinusza osztva 17-tel, pi/17.

A szinusz és koszinusz függvények trigonometrikus értékköre vizuálisan ábrázolja a szinusz és a koszinusz előjeleit a szög nagyságától függően. Különösen a szőkék esetében a koszinusz értékek zöld vonallal vannak aláhúzva, hogy csökkentsék a zavartságot. A fokok radiánra váltása is nagyon világosan látható, ha a radiánokat pi-ben fejezzük ki.

Ez a trigonometrikus táblázat a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értékeit mutatja be 0 nulla és 90 kilencven fok közötti szögek esetén, egyfokos időközönként. Az első negyvenöt foknál a trigonometrikus függvények neveit a táblázat tetején kell nézni. Az első oszlop fokokat tartalmaz, a következő négy oszlopba a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékeit írjuk.

A negyvenöt foktól kilencven fokig terjedő szögeknél a trigonometrikus függvények neveit a táblázat aljára írjuk. Az utolsó oszlop a fokokat tartalmazza, a koszinuszok, szinuszok, kotangensek és érintők értékeit az előző négy oszlopba írjuk. Legyen óvatos, mert a trigonometrikus függvények nevei a trigonometrikus táblázat alján eltérnek a táblázat tetején található nevektől. A szinuszok és koszinuszok felcserélődnek, csakúgy, mint az érintő és a kotangens. Ez a trigonometrikus függvények értékeinek szimmetriájának köszönhető.

A trigonometrikus függvények előjeleit a fenti ábra mutatja. A szinusz pozitív értékei 0 és 180 fok között, vagy 0 és pi között vannak. A szinusz negatív értékei 180 és 360 fok között, vagy pi és 2 pi között vannak. A koszinusz értékek pozitívak 0 és 90 és 270 és 360 fok között, vagy 0 és 1/2 pi és 3/2 és 2 pi között. Az érintő és a kotangens pozitív értéke 0 és 90 fok között, valamint 180 és 270 fok között van, ami a 0 és 1/2 pi és a pi és 3/2 pi közötti értékeknek felel meg. Az érintő és a kotangens negatív értékei 90-180 fok és 270-360 fok, vagy 1/2 pi-től pi-ig és 3/2 pi-től 2 pi-ig. A trigonometrikus függvények előjeleinek meghatározásakor 360 foknál vagy 2 pi-nél nagyobb szögeknél ezeknek a függvényeknek a periodicitási tulajdonságait kell használni.

A szinusz, az érintő és a kotangens trigonometrikus függvények páratlan függvények. Ezeknek a függvényeknek a negatív szögek értéke negatív lesz. A koszinusz egy egyenletes trigonometrikus függvény – a negatív szög koszinusz értéke pozitív lesz. A trigonometrikus függvények szorzásakor és osztásakor előjelszabályokat kell követni.

A 2/2 gyökér mennyi pi?— Különböző módon történik (lásd a képet). Tudnia kell, hogy melyik trigonometrikus függvény egyenlő a kettő gyökér osztva kettővel.

Ha tetszett a poszt, és többet szeretnél tudni, több is van készülőben.

cos pi osztva 2-vel

Kezdőlap > Címtár > Matematikai képletek.

Matematikai képletek.

Konvertálja át a radiánt fokokra.
A d = A r * 180/pi

Fokok átváltása radiánra.
A r = A d * pi / 180
Ahol A d a szög fokban, A r a szög radiánban.

Körméret.
L = 2 * pi * R

A körív hossza.
L=A*R

Egy háromszög területe.

p=(a+b+c)/2 - fél kerület.

Egy kör területe.
S = pi * R 2

Ágazati terület.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2

A labda felülete.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * pi * R * H

Ahol S a henger oldalfelületének területe, R a henger alapjának sugara, H a henger magassága.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

A labda hangereje.
V = 4/3 * pi * R 3

Henger térfogata.
V = pi*R2*H

Kúp térfogata.

Feladás dátuma: 01/15/13
Frissítve: 11/15/14
Megtekintések száma: 10754
ma: 1

Kezdőlap > Címtár > Matematikai képletek.

Egor

Jó estét! Nagyon érdekes kérdést tettél fel, remélem tudunk segíteni.

Hogyan kell megoldani a C1-et. 2. lecke. Egységes államvizsga matematikából 2014

Neked és nekem meg kell oldanunk a következő problémát: keresd meg a cos pi-t osztva 2-vel.
Az ilyen problémák megoldásához leggyakrabban meg kell határozni a koszinusz- vagy szinuszkitevőket. 0 és 360 fok közötti szögeknél a cos vagy sin szinte bármilyen értéke könnyen megtalálható a megfelelő létező és széles körben elterjedt lemezeken, például ezeken:

De neked és nekem nem szinuszunk (bűn) van, hanem koszinuszunk. Először is értsük meg, mi a koszinusz. A cos (koszinusz) a trigonometrikus függvények egyike. Egy hegyesszögű derékszögű háromszög koszinuszának kiszámításához ismernie kell a szomszédos szög oldalának és az alsó szögnek az arányát. A koszinusz pi osztva 2-vel könnyen kiszámítható a trigonometrikus képlet segítségével, amely a standard trigonometriai képletekre vonatkozik. De ha a koszinusz pi 2-vel osztva értékéről beszélünk, akkor ehhez azt a táblázatot fogjuk használni, amelyet már többször említettünk:

Sok sikert a jövőbeni hasonló feladatok megoldásához!
Válasz:

Kezdőlap > Címtár > Matematikai képletek.

Matematikai képletek.

Konvertálja át a radiánt fokokra.
A d = A r * 180/pi

Fokok átváltása radiánra.
A r = A d * pi / 180
Ahol A d a szög fokban, A r a szög radiánban.

Körméret.
L = 2 * pi * R
Ahol L a kerülete, R a kör sugara.

A körív hossza.
L=A*R
ahol L a körív hossza, R a kör sugara, A a középponti szög, radiánban kifejezve
Egy A = 2*pi (360 fokos) kör esetén L = 2*pi*R kapjuk.

Egy háromszög területe.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
ahol S a háromszög területe, a, b, c az oldalak hossza,
p=(a+b+c)/2 - fél kerület.

Egy kör területe.
S = pi * R 2
Ahol S a kör területe, R a kör sugara.

Ágazati terület.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Ahol S a szektor területe, R a kör sugara, L d az ív hossza.

A labda felülete.
S = 4 * pi * R 2
Ahol S a labda felülete, R a labda sugara.

A henger oldalsó felülete.
S = 2 * pi * R * H
Ahol S a henger oldalfelületének területe, R a henger alapjának sugara, H a henger magassága.

A henger teljes felülete.
S = 2*pi*R*H+2*pi*R2
Ahol S a henger oldalfelületének területe, R a henger alapjának sugara, H a henger magassága.

A kúp oldalfelületének területe.
S = pi * R * L
Ahol S a kúp oldalfelületének területe, R a kúp alapjának sugara, L a kúp generatrixának hossza.

A kúp teljes felülete.
S = pi * R * L + pi * R 2
Ahol S a kúp teljes felülete, R a kúp alapjának sugara, L a kúp generatrixának hossza.

A labda hangereje.
V = 4/3 * pi * R 3
Ahol V a labda térfogata, R a labda sugara.

Henger térfogata.
V = pi*R2*H
Ahol V a henger térfogata, R a henger alapjának sugara, H a henger magassága.

Kúp térfogata.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Ahol V a kúp térfogata, R a kúp alapjának sugara, L a kúp generatrixának hossza, A a kúp csúcsán bezárt szög.

Feladás dátuma: 01/15/13
Frissítve: 11/15/14
Megtekintések száma: 10742
ma: 1

Kezdőlap > Címtár > Matematikai képletek.

Egor
A vezetéket egy orvosi tű kupakjából kivágott csővel rögzítheti a Crohn akkumulátor kivezetéseihez.

A szög mértéke. Radián szögmérték. Fokok átváltása radiánba és fordítva.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Az előző leckében megtanultuk, hogyan kell szögeket mérni egy trigonometrikus körön. Megtanulta számolni a pozitív és negatív szögeket. Megtanultuk, hogyan rajzoljunk 360 foknál nagyobb szöget. Ideje kitalálni, hogyan kell mérni a szögeket. Főleg a „Pi” számmal, ami trükkös feladatokban igyekszik megzavarni minket, igen...

A "Pi" számmal rendelkező trigonometriai szabványos feladatok jól megoldottak. A vizuális memória segít. De a sablontól való bármilyen eltérés katasztrófa! Hogy ne essen le - megért szükséges. Amit most meg fogunk tenni sikerrel. Úgy értem, mindent meg fogunk érteni!

Így, mit a szögek számítanak? Az iskolai trigonometria tanfolyamon két mértéket használnak: fokos szögmértékÉs radiánszögmérés. Nézzük ezeket az intézkedéseket. E nélkül nincs sehol a trigonometria.

A szög mértéke.

Valahogy hozzászoktunk a fokokhoz. Legalább átmentünk a geometrián... És az életben gyakran találkozunk például a „180 fokkal elfordult” kifejezéssel. A diploma röviden, egyszerű dolog...

Igen? Akkor válaszolj mi az a diploma? Mi van, nem megy azonnal? Ez az...

A fokokat az ókori Babilonban találták fel. Nagyon régen volt... 40 évszázaddal ezelőtt... És előálltak egy egyszerű ötlettel. Fogták és 360 egyenlő részre osztották a kört. 1 fok a kör 1/360-a. Ez minden. 100 darabra bonthatták volna. Vagy 1000. De felosztották 360-ra. Egyébként miért pont 360-ra? Mennyivel jobb a 360, mint a 100? A 100 valahogy simábbnak tűnik... Próbálj meg válaszolni erre a kérdésre. Vagy gyenge az ókori Babilonnal szemben?

Valahol ugyanabban az időben, az ókori Egyiptomban egy másik kérdés gyötörte őket. Hányszor nagyobb egy kör hossza, mint az átmérője? És mértek így, meg úgy... Mindenből valamivel több lett, mint három. De valahogy bozontos, egyenetlen lett... De nem ők, az egyiptomiak a hibásak. Utánuk még 35 évszázadig szenvedtek. Míg végül bebizonyították, hogy akármilyen finomra vágsz egy kört egyenlő darabokra, ezekből is lehet csinálni sima az átmérő hossza lehetetlen... Elvileg lehetetlen. Nos, persze, hogy hányszor nagyobb a kerület az átmérőnél. Hozzávetőlegesen, körülbelül. 3,1415926... alkalommal.

Ez a "Pi" szám. Olyan bozontos, olyan bozontos. A tizedesvessző után végtelen számú szám van sorrend nélkül... Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük. Ez egyébként azt jelenti, hogy egy kör egyenlő darabjaiból az átmérőt sima ne hajtogasd. Soha.

A gyakorlati használat érdekében a tizedesvessző után csak két számjegyet szokás megjegyezni. Emlékezik:

Mivel megértjük, hogy a kör kerülete „Pi”-szeresével nagyobb, mint az átmérője, érdemes megjegyezni a kör kerületének képletét:

Ahol L- kerülete, és d- átmérője.

Hasznos a geometriában.

Az általános műveltséghez hozzáteszem, hogy a „Pi” szám nem csak a geometriában található... A matematika különböző ágaiban, és főleg a valószínűségszámításban ez a szám folyamatosan megjelenik! Magától. A vágyainkon túl. Mint ez.

De térjünk vissza a fokokhoz. Rájöttél, hogy az ókori Babilonban miért osztották fel a kört 360 egyenlő részre? És például nem 100-al? Nem? RENDBEN. Adok egy verziót. Nem lehet kérdezni az ókori babiloniaktól... Építkezéshez, vagy mondjuk csillagászathoz célszerű a kört egyenlő részekre osztani. Most nézze meg, milyen számokkal osztható teljesen 100, és melyik - 360? És ezeknek az osztóknak milyen változatában teljesen- több? Ez a felosztás nagyon kényelmes az emberek számára. De...

Mint az ókori Babilonnál jóval később kiderült, nem mindenki szereti a diplomát. A felsőbb matematika nem szereti őket... A felsőbb matematika komoly hölgy, a természet törvényei szerint szerveződik. És ez a hölgy kijelenti: "Ma 360 részre bontottad a kört, holnap 100-ra, holnapután 245-re... És mit tegyek? Nem, tényleg..." Hallgatnom kellett. A természetet nem lehet becsapni...

Olyan szögmértéket kellett bevezetni, amely nem függ az emberi találmányoktól. Találkozás - radián!

Radián szögmérték.

Mi az a radián? A radián meghatározása továbbra is körön alapul. Az 1 radián szög az a szög, amely ívet vág egy körből, amelynek hossza ( L) egyenlő a sugár hosszával ( R). Nézzük a képeket.

Ilyen kicsi a szög, szinte nem is létezik... Vigyük a kurzort a kép fölé (vagy érintsük meg a képet a táblagépen) és látunk kb. radián. L = R

Érzi a különbséget?

Egy radián sokkal több, mint egy fok. Hányszor?

Nézzük a következő képet. Amire félkört rajzoltam. A kihajtott szög természetesen 180°.

Most ezt a félkört radiánokra vágom! Vigyük a kurzort a kép fölé, és látjuk, hogy a 180° 3 és fél radiánnak felel meg.

Ki tudja kitalálni, mivel egyenlő ez a farok!?

Igen! Ez a farok 0,1415926... Helló, "Pi" szám, még nem felejtettünk el!

Valóban, a 180° fok 3,1415926... radiánt tartalmaz. Amint maga is érti, a 3.1415926 írása állandóan... kényelmetlen. Ezért e végtelen szám helyett mindig egyszerűen ezt írják:

De az interneten a szám

Kényelmetlen írni... Ezért írom a nevét a szövegbe - „Pi”. Ne keveredj össze, oké?

Most teljesen értelmesen felírhatunk egy közelítő egyenlőséget:

Vagy pontos egyenlőség:

Határozzuk meg, hány fok van egy radiánban. Hogyan? Könnyen! Ha 3,14 radiánban 180° fok van, akkor 1 radiánban 3,14-szer kevesebb! Azaz elosztjuk az első egyenletet (a képlet is egyenlet!) 3,14-gyel:

Ezt az arányt érdemes megjegyezni: egy radián körülbelül 60°. A trigonometriában gyakran meg kell becsülni és fel kell mérni a helyzetet. Itt ez a tudás sokat segít.

De ennek a témának a fő készsége az fokok átváltása radiánba és fordítva.

Ha a szöget radiánban adjuk meg "Pi" számmal, akkor minden nagyon egyszerű. Tudjuk, hogy "Pi" radián = 180°. Tehát radiánokkal helyettesítjük a „Pi” - 180°-ot. A szöget fokban kapjuk. Csökkentjük a csökkentett mennyiséget, és kész a válasz. Például meg kell találnunk, hogy hányan fokon szögben "Pi"/2 radián? Tehát ezt írjuk:

Vagy egy egzotikusabb kifejezés:

Könnyű, igaz?

A fordított fordítás egy kicsit bonyolultabb. De nem sok. Ha a szöget fokban adjuk meg, ki kell találnunk, hogy egy fok hányados radiánban, és ezt a számot meg kell szorozni a fokok számával. Mit jelent 1° radiánban?

Megnézzük a képletet, és rájövünk, hogy ha 180° = „Pi” radián, akkor 1° 180-szor kisebb. Más szóval, elosztjuk az egyenletet (a képlet is egyenlet!) 180-zal. Nem kell a „Pi”-t 3,14-ként ábrázolni, úgyis mindig betűvel írjuk. Azt találjuk, hogy egy fokozat egyenlő:

Ez minden. A fokok számát megszorozzuk ezzel az értékkel, és megkapjuk a szöget radiánban. Például:

Vagy hasonlóan:

Amint láthatja, egy lírai kitérőkkel teli, nyugodt beszélgetés során kiderült, hogy a radiánok nagyon egyszerűek. A fordítás pedig nem probléma... A „Pi” pedig egy teljesen tűrhető dolog... Akkor honnan a zavar!?

felfedem a titkot. A helyzet az, hogy a trigonometrikus függvényekben a fokok szimbólumát írják. Mindig. Például sin35°. Ez a szinusz 35 fokon . És a radián ikon ( boldog) - nincs írva! Utalva van. Vagy a matematikusokat eluralta a lustaság, vagy valami más... De úgy döntöttek, nem írnak. Ha a szinusz-kotangensben nincsenek szimbólumok, akkor a szög az radiánban ! Például a cos3 a három koszinusza radiánok .

Ez zűrzavarhoz vezet... Az ember látja a „Pi”-t, és azt hiszi, hogy az 180°. Bármikor és bárhol. Ez egyébként működik. A példák egyelőre szabványosak. De a "Pi" egy szám! A szám 3,14, de nem fok! Ez a "Pi" radián = 180°!

Még egyszer: „Pi” egy szám! 3.14. Irracionális, de számszerű. Ugyanaz, mint az 5 vagy a 8. Megteheti például a "Pi" lépéseket. Három lépés és még egy kicsi. Vagy vásároljon "Pi" kilogramm édességet. Ha egy képzett eladó találkozik...

A "Pi" egy szám! Mi van, bosszantalak ezzel a mondattal? Már régen megértett mindent? RENDBEN. Ellenőrizzük. Mondd, melyik szám nagyobb?

Vagy mi a kevesebb?

Ez a kissé nem szokványos kérdések sorozatának egyike, amelyek kábulatba kergethetnek...

Ha Ön is elkábult, emlékezzen a varázslatra: „Pi” egy szám! 3.14. A legelső szinuszban egyértelműen szerepel, hogy a szög fokokban! Ezért lehetetlen a „Pi”-t 180°-kal helyettesíteni! A "Pi" fok körülbelül 3,14°. Ezért írhatjuk:

A második szinuszban nincsenek jelölések. Így - radiánok! Ez az a hely, ahol a „Pi” 180°-kal való helyettesítése tökéletesen működik. A radiánokat fokokra konvertálva, ahogy fent írtuk, a következőt kapjuk:

Marad a két szinusz összehasonlítása. Mit. elfelejtette hogyan? Természetesen trigonometrikus kört használva! Rajzolj egy kört, rajzolj hozzávetőlegesen 60°-os és 1,05°-os szögeket. Nézzük meg, milyen szinuszai vannak ezeknek a szögeknek. Röviden, minden úgy van leírva, mint a trigonometrikus körről szóló téma végén. Egy körön (még a görbén is!) jól látható lesz, hogy sin60° lényegesen több mint sin1,05°.

Pontosan ugyanezt tesszük a koszinuszokkal. A körre körülbelül 4-es szögeket rajzolunk fokonés 4 radián(Elfelejtette, hogy 1 radián körülbelül mit jelent?). A kör mindent elmond! Természetesen a cos4 kisebb, mint a cos4°.

Gyakoroljuk a szögmértékek használatát.

Konvertálja át ezeket a szögeket fokokról radiánra:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Ezeket az értékeket radiánban kell megadni (más sorrendben!)

0

A válaszokat egyébként külön kiemeltem két sorban. Nos, derítsük ki, mik a sarkok az első sorban? Legalább fokban, legalább radiánban?

Igen! Ezek a koordinátarendszer tengelyei! Ha a trigonometrikus kört nézzük, akkor ezekkel az értékekkel a szög mozgó oldalát pontosan illeszkedik a tengelyekre. Ezeket az értékeket ismerni kell. És jó okkal vettem észre a 0 fokos (0 radián) szöget. Aztán vannak, akik egyszerűen nem találják ezt a szöget egy körön... És ennek megfelelően összezavarodnak a nulla trigonometrikus függvényeiben... A másik dolog, hogy a mozgó oldal nulla fokos helyzete egybeesik a pozícióval. 360°-ban, tehát mindig vannak egybeesések a közeli körön.

A második sorban speciális szögek is vannak... Ezek 30°, 45° és 60°. És mi olyan különleges bennük? Semmi különös. Az egyetlen különbség ezen szögek és az összes többi között az, hogy tudnia kell ezekről a szögekről Minden. És hol találhatók, és milyen trigonometrikus funkcióik vannak ezeknek a szögeknek. Mondjuk az értéket sin100° nem kell tudnod. A sin45°- Kérlek légy olyan kedves! Ez egy kötelező tudás, ami nélkül nincs mit tenni a trigonometriában... De erről majd a következő leckében.

Addig is folytassuk az edzést. Alakítsa át ezeket a szögeket radiánról fokra:

Ilyen eredményeket kell kapnia (rendetlenségben):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Megtörtént? Akkor ezt feltételezhetjük fokok átváltása radiánra és vissza- már nem a te problémád.) De a szögek fordítása az első lépés a trigonometria megértéséhez. Ott is szinuszokkal és koszinuszokkal kell dolgozni. És érintőkkel és kotangensekkel is...

A második erőteljes lépés az a trigonometrikus kör bármely szögének meghatározásának képessége. Mind fokban, mind radiánban. A trigonometria során unalmas tippeket fogok adni erről a készségről, igen...) Ha mindent tudsz (vagy azt hiszed, hogy mindent tudsz) a trigonometrikus körről és a trigonometrikus kör szögeinek méréséről, akkor megnézheted. Oldja meg ezeket az egyszerű feladatokat:

1. Melyik negyedbe esnek a szögek:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Könnyen? Folytassuk:

2. Melyik negyedbe esnek a sarkok:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Nincs is gond? Na, nézd...)

3. A sarkokat negyedekbe is helyezheti:

Tudnál? Hát adsz..)

4. Mely tengelyekre esik a sarok:

és sarok:

Az is könnyű? Hm...)

5. Melyik negyedbe esnek a sarkok:

És működött!? Hát akkor tényleg nem tudom...)

6. Határozza meg, melyik negyedbe esnek a sarkok:

1, 2, 3 és 20 radián.

Csak az utolsó feladat utolsó kérdésére (ez egy kicsit trükkös) adok választ. Az első negyedévbe 20 radiános szög esik be.

A többi választ nem adom meg, nem kapzsiságból.) Egyszerűen, ha te nem döntöttek valami kételkedsz benne ennek eredményeként, illetve a 4. számú feladatra költött több mint 10 másodperc, rosszul tájékozódsz a körben. Ez lesz a te problémád az egész trigonometriában. Jobb, ha azonnal megszabadulsz tőle (a probléma, nem a trigonometria!). Ezt a következő témakörben lehet megtenni: Gyakorlati munka a trigonometrikus körrel az 555. szakaszban.

Megmondja, hogyan kell egyszerűen és helyesen megoldani az ilyen feladatokat. Nos, ezeket a feladatokat természetesen megoldották. A negyedik feladatot pedig 10 másodperc alatt sikerült megoldani. Igen, eldőlt, hogy bárki megteheti!

Ha teljesen biztos a válaszaiban, és nem érdeklik a radiánokkal való munka egyszerű és problémamentes módjai, akkor nem kell felkeresnie az 555-öt. Nem ragaszkodom hozzá.)

A jó megértés elég jó ok a továbblépésre!)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A cos (3/2 Pi) kifejezés értékének kiszámítására több lehetőség is van.

Első lehetőség. Használat
Ez a lehetőség a legkönnyebb és legegyszerűbb, és abból áll, hogy meg kell találnia a megfelelő értékeket a táblázatban.

A táblázatnak számos változata létezik, amelyek közül néhány csak radiánban, mások fokban, mások pedig radiánban és fokban egyaránt tartalmazzák az érveket.
Néha még mindig hasznos a szögértéket fokokká konvertálni, hogy könnyebb legyen a koszinusz érték érzékelése. De nem tilos fokokat és radiánokat tartalmazó táblázatot használni)).
A táblázatból meghatározzuk a koszinusz értékét 3 Pi / 2-ből - ez 0.
Matematikai jelölés:

Második lehetőség. .
Kényelmes lehetőség, ha nem áll rendelkezésre trigonometrikus függvénytáblázat. Itt a trigonometrikus kör segítségével határozható meg a trigonometrikus függvény értéke.


Egy trigonometrikus körön (vagy körön) a koszinusz függvény értékei az abszcissza tengelyen helyezkednek el.
A hozzárendelés szerint a függvény argumentuma 3 Pi / 2. A körön ez az érték az ordináta tengelyén van a legalul. Egy adott függvény értékének kiszámításához le kell engedni az Ox tengelyre merőlegest, ami után 0 értéket kapunk. Így a 3 Pi / 2 koszinusza 0-val egyenlő.

Harmadik lehetőség. Használat .
Ha nincs táblázat, és nehéz eligazodni a trigonometrikus körben, akkor hasznos a koszinusz gráf használata, amelyből az értéket is meghatározhatja.

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept szerint vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag téglalapnak tekinthető, amelynek egyik oldala a salátát, a másik oldala pedig a vizet. E két oldal összege a borscsot jelzi. Az ilyen „borscht” téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

Hogyan lesz a salátából és a vízből borscs matematikai szempontból? Hogyan válhat két szakasz összege trigonometriává? Ennek megértéséhez lineáris szögfüggvényekre van szükségünk.

A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei, akárcsak a természet törvényei, attól függetlenül működnek, hogy tudunk-e létezésükről vagy sem.

A lineáris szögfüggvények összeadási törvények. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges a lineáris szögfüggvények nélkül? Lehetséges, mert a matematikusok továbbra is boldogulnak nélkülük. A matematikusok trükkje az, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket ők maguk is tudnak, és soha nem mondanak el olyan problémákat, amelyeket nem tudnak megoldani. Néz. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Nem ismerünk más problémákat, és nem tudjuk, hogyan oldjuk meg őket. Mit tegyünk, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Ezután mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. A mindennapi életben jól megvagyunk anélkül, hogy felbontjuk az összeget, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos kutatásában nagyon hasznos lehet egy összeget összetevőire bontani.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szeretnek beszélni (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységekkel kell rendelkezniük. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek lehetnek súly-, térfogat-, érték- vagy mértékegységek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek mezőjének különbségei, amelyek szögletes zárójelben és betűvel vannak jelezve. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - különbségeket a leírt tárgyak területén. A különböző objektumok azonos számú azonos mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz az egységmegjelöléshez adunk alsó indexeket különböző objektumokhoz, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és hogyan változik az idő múlásával vagy a cselekvéseink hatására. Levél W Betűvel fogom kijelölni a vizet S A salátát betűvel fogom kijelölni B- borscs. Így fognak kinézni a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor ezekből együtt egy adag borscs lesz. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat lesz. Mit tanítottak nekünk akkor? Megtanítottuk a mértékegységeket a számoktól elkülöníteni, és számokat összeadni. Igen, bármelyik szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - érthetetlenül csináljuk, hogy mit, érthetetlenül miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különböző szint miatt a matematikusok csak eggyel operálnak. Helyesebb lenne megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

A nyuszik, kacsák, kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló pénzösszeghez. Vagyonunk összértékét pénzben kifejezve megkaptuk.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabokban kapjuk meg.

Amint láthatja, ugyanaz az összeadási törvény lehetővé teszi, hogy különböző eredményeket kapjon. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most láthatjuk, mi fog történni a lineáris szögfüggvények különböző szögértékeivel.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Lehet nulla borscs nulla salátával (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért történik, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Ezt tetszés szerint érezheti, de ne feledje – minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, szóval dobja el a logikáját, és ostobán zsúfolja össze a matematikusok által kitalált definíciókat: „nullával osztás lehetetlen”, „bármely szám szorozva nulla egyenlő nullával” , „a lyukasztási ponton túl nulla” és egyéb hülyeségek. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha többé nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés elveszti értelmét: hogyan tekinthető számnak valami, ami nem szám ? Ez olyan, mintha azt kérdeznénk, hogy egy láthatatlan színt milyen színbe kell besorolni. Nullát hozzáadni egy számhoz ugyanaz, mint olyan festékkel festeni, ami nincs ott. Meglegyintettünk egy száraz ecsettel, és azt mondtuk mindenkinek, hogy „festettünk”. De elkanyarodok egy kicsit.

A szög nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a víz. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyforma mennyiségű víz és saláta van. Ez a tökéletes borscs (bocsáss meg, szakácsok, ez csak matematika).

A szög negyvenöt foknál nagyobb, de kilencven foknál kisebb. Sok vízünk van és kevés salátánk. Folyékony borscsot kapsz.

Derékszög. Van vizünk. A salátából már csak emlékek maradnak, hiszen továbbra is attól a vonaltól mérjük a szöget, amely egykor a salátát jelölte. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben kapaszkodj és igyál vizet, amíg van)

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lennének itt.

Két barátnak volt részesedése egy közös üzletben. Miután megölték egyiküket, minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscht trigonometriához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

Megnéztem egy érdekes videót erről Grundy sorozat Egy mínusz egy plusz egy mínusz egy - Numberphile. A matematikusok hazudnak. Érvelésük során nem végeztek egyenlőségi ellenőrzést.

Ez visszhangozza a róla szóló gondolataimat.

Nézzük meg közelebbről azokat a jeleket, amelyek arra utalnak, hogy a matematikusok megtévesztenek bennünket. Az érvelés legelején a matematikusok azt mondják, hogy egy sorozat összege FÜGG attól, hogy páros számú eleme van-e vagy sem. Ez egy OBJEKTÍVEN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNY. Mi történik ezután?

Ezután a matematikusok kivonják a sorozatot az egységből. Mihez vezet ez? Ez a sorozat elemeinek számának változásához vezet - a páros szám páratlan, a páratlan szám páros számmá változik. Végül is egy eggyel egyenlő elemet adtunk a sorozathoz. Minden külső hasonlóság ellenére a transzformáció előtti sorozat nem egyenlő a transzformáció utáni sorozattal. Még ha végtelen sorozatról beszélünk is, emlékeznünk kell arra, hogy a páratlan elemszámú végtelen sorozat nem egyenlő a páros számú elemű végtelen sorozattal.

Két különböző elemszámú sorozat közé egyenlőségjelet adva a matematikusok azt állítják, hogy a sorozat összege NEM FÜGG a sorozat elemeinek számától, ami ellentmond egy OBJEKTÍVAN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNYNEK. A végtelen sorozat összegére vonatkozó további érvelés hamis, mivel hamis egyenlőségen alapul.

Ha azt látja, hogy a matematikusok a bizonyítások során zárójeleket tesznek, átrendeznek egy matematikai kifejezés elemeit, hozzáadnak vagy eltávolítanak valamit, legyen nagyon óvatos, valószínűleg meg akarnak csalni. A kártyamágusokhoz hasonlóan a matematikusok is különféle kifejezési manipulációkat alkalmaznak, hogy elvonják a figyelmét annak érdekében, hogy végül hamis eredményt adjanak. Ha nem tudsz megismételni egy kártyatrükköt anélkül, hogy nem ismernéd a megtévesztés titkát, akkor a matematikában minden sokkal egyszerűbb: nem is gyanítasz semmit a megtévesztésről, de az összes manipuláció matematikai kifejezéssel történő megismétlése lehetővé teszi, hogy meggyőzz másokat a megtévesztés helyességéről. a kapott eredményt, mint amikor meggyőztek.

Kérdés a hallgatóságtól: A végtelen (mint az S sorozat elemeinek száma) páros vagy páratlan? Hogyan lehet megváltoztatni a paritást annak, aminek nincs paritása?

A végtelen a matematikusoknak való, ahogy a Mennyek Királysága a papoknak – még soha senki nem járt ott, de mindenki pontosan tudja, hogyan működik ott minden))) Egyetértek, a halál után teljesen közömbös lesz, hogy páros vagy páratlan számot éltél. napok száma, de... Ha csak egy napot veszünk az életed kezdetéhez, egy teljesen más személyt kapunk: vezetékneve, keresztneve és apaneve teljesen megegyezik, csak a születési dátum teljesen más - ő volt egy nappal előtted született.

Most térjünk a lényegre))) Tegyük fel, hogy egy véges sorozat, amelynek paritása van, elveszíti ezt a paritást, amikor a végtelenbe megy. Ekkor egy végtelen sorozat bármely véges szakaszának paritást kell veszítenie. Ezt nem látjuk. Az a tény, hogy nem tudjuk biztosan megmondani, hogy egy végtelen sorozat páros vagy páratlan elemszámú-e, nem jelenti azt, hogy a paritás eltűnt. A paritás, ha létezik, nem tűnhet el nyomtalanul a végtelenbe, mint egy éles ujjában. Van egy nagyon jó analógia erre az esetre.

Megkérdezted már az órában ülő kakukktól, hogy milyen irányba forog az óramutató? Számára a nyíl az óramutató járásával ellentétes irányba forog. Bármilyen paradoxon is hangzik, a forgás iránya kizárólag attól függ, hogy melyik oldalról figyeljük a forgást. És így van egy kerekünk, amely forog. Nem tudjuk megmondani, hogy a forgás milyen irányban történik, hiszen a forgássík egyik oldaláról és a másik oldaláról is megfigyelhetjük. Csak arról tanúskodhatunk, hogy van forgás. Teljes analógia egy végtelen sorozat paritásával S.

Most adjunk hozzá egy második forgó kereket, amelynek forgási síkja párhuzamos az első forgó kerék forgássíkjával. Még mindig nem tudjuk biztosan megmondani, hogy ezek a kerekek milyen irányban forognak, de azt abszolút meg tudjuk mondani, hogy mindkét kerék azonos vagy ellenkező irányba forog-e. Két végtelen sorozat összehasonlítása SÉs 1-S, a matematika segítségével megmutattam, hogy ezeknek a sorozatoknak más a paritásuk, és hiba egyenlőségjelet tenni közéjük. Személy szerint megbízom a matematikában, nem bízom a matematikusokban))) Egyébként a végtelen sorozatok transzformációinak geometriájának teljes megértéséhez be kell vezetni a fogalmat "egyidejűség". Ezt le kell rajzolni.

2019. augusztus 7., szerda

Az erről szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. A lényeg az, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-összehúzó a nyulat. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa a valós számot jelenti. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha a természetes számok végtelen halmazát vesszük példának, akkor a vizsgált példák a következő formában ábrázolhatók:

Annak érdekében, hogy egyértelműen bebizonyítsák, igazuk volt, a matematikusok sok különböző módszert dolgoztak ki. Személy szerint én úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a tamburákkal táncoló sámánokra. Lényegében mindegyik abból adódik, hogy vagy a szobák egy része üresen áll, és új vendégek költöznek be, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott nézetemet a Szőkéről szóló fantáziatörténet formájában mutattam be. Mire épül az érvelésem? A végtelen számú látogató áthelyezése végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután az első szobát felszabadítottuk egy vendég számára, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a másikba. Persze az időtényezőt hülyén figyelmen kívül lehet hagyni, de ez a „nem bolondoknak írt törvény” kategóriába tartozik. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a „végtelen szálloda”? A végtelen szálloda olyan szálloda, amelyben mindig van bármennyi üres ágy, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen "látogató" folyosón minden szoba foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó "vendég" szobákkal. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Sőt, a „végtelen szállodának” végtelen sok emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok nem képesek elhatárolódni a banális hétköznapi problémáktól: mindig csak egy Isten-Allah-Buddha van, csak egy szálloda, csak egy folyosó. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámával, meggyőzve minket arról, hogy lehetséges „beleütni a lehetetlent”.

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet van - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen a számokat mi magunk találtuk ki, a számok nem léteznek a természetben. Igen, a természet remekül tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Máskor elmondom, mit gondol a természet. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz van. Vegyük fontolóra mindkét lehetőséget, ahogy az igazi tudósokhoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever a polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs hova vinni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egyet és visszatehetjük a polcra. Utána levehetünk egyet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, a halmaz elemeinek részletes felsorolásával. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz található a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Vegyünk egy ilyen készletet. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Ezt kapjuk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számoláshoz, mint a vonalzót a méréshez. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez egy másik sor lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákkal találkozik, gondolja át, vajon a matematikusok generációi által kitaposott hamis érvelés útján jár-e. Hiszen a matematika tanulása mindenekelőtt stabil gondolkodási sztereotípiát alakít ki bennünk, és csak azután erősíti szellemi képességeinket (vagy éppen ellenkezőleg, megfoszt bennünket a szabadgondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Éppen befejeztem egy cikk utószavát, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Nehéz nekünk ugyanabban a kontextusban szemlélni a modern matematikát? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – nyelve és konvenciói különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész sorát szeretném szentelni a modern matematika legnyilvánvalóbb hibáinak. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3., szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben jelen van. Nézzünk egy példát.

Legyen nekünk bőven A négy emberből áll. Ez a halmaz az „emberek” alapján van kialakítva. Jelöljük ennek a halmaznak az elemeit betűvel A, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorozatszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet a „nem”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk A nem alapján b. Figyeljük meg, hogy a mi „embereink” csoportja mára „nembeli jellemzőkkel rendelkező emberek” halmazává vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw szexuális jellemzők. Most alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, függetlenül attól, hogy melyik - férfi vagy nő. Ha valakinek megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen előjel, akkor nullával. És akkor a szokásos iskolai matematikát használjuk. Nézd, mi történt.

Szorzás, kicsinyítés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfiak részhalmazát Bmés a nők egy részhalmaza Bw. A matematikusok megközelítőleg ugyanígy érvelnek, amikor a halmazelméletet alkalmazzák a gyakorlatban. De nem a részleteket árulják el, hanem a végeredményt – „sok ember a férfiak egy részéből és a nők egy részéből áll.” Természetesen felmerülhet a kérdés: mennyire helyesen alkalmazták a matematikát a fent vázolt transzformációkban? Biztosíthatom Önöket, hogy az átalakítások lényegében helyesen történtek, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb ágainak matematikai alapjait. Ami? Máskor mesélek erről.

Ami a szuperhalmazokat illeti, két halmazt összevonhat egy szuperszettbe, ha kiválasztja a két halmaz elemeiben található mértékegységet.

Mint látható, a mértékegységek és a közönséges matematika a halmazelméletet a múlt emlékévé teszi. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok úgy viselkedtek, mint egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Megtanítják nekünk ezt a „tudást”.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.
Egy példával mutatom be a folyamatot. Kiválasztjuk a „vörös szilárd pattanást” - ez a mi „egészünk”. Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezután kiválasztjuk az „egész” egy részét, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így jutnak táplálékhoz azáltal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a „masnis pattanásos szilárd”-ot, és kombináljuk ezeket az „egészeket” szín szerint, kiválasztva a piros elemeket. Sok "pirost" kaptunk. Most az utolsó kérdés: a kapott „íjjal” és „piros” halmazok ugyanazok, vagy két különböző halmaz? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy lesz.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros szilárd pattanással és masnival". A formálás négy különböző mértékegységben zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárd), érdesség (pattanás), díszítés (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós tárgyak megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. Zárójelben vannak kiemelve azok a mértékegységek, amelyek alapján az „egész” megkülönböztethető az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amellyel a halmaz létrejön. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tamburákkal való tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, azzal érvelve, hogy ez „nyilvánvaló”, mert a mértékegységek nem részei „tudományos” arzenáljuknak.

A mértékegységek használatával nagyon egyszerű egy készletet felosztani vagy több készletet egyetlen szuperszettbe kombinálni. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.

(pi / 3) többféleképpen is elvégezhető.

1. módszer.
A módszert leggyakrabban iskolások és diákok használják, és az egyik legegyszerűbb.
A függvény és argumentuma a közös argumentumokban található, és metszéspontjuknál ennek a függvénynek az értéke az adott argumentumból származik.

A táblázat segítségével megtaláljuk a pi / 3 szinuszának értékét - ez a 3 gyöke osztva 2-vel.
Írjuk le matematikailag:

2. módszer.
Egy másik módszer a (vagy kör).


Itt a szinuszok értékei az ordináta tengelyen (Oy tengely) helyezkednek el. Próbáljuk meg kiszámítani a pi / 3 szinuszának értékét.
A szinusz argumentuma egyenlő pi / 3-mal - keressük meg ezt az értéket a körön. Ezután leeresztjük a szinuszok értékeit tartalmazó tengelyre merőlegeset - az Oy tengelyt. A merőleges végén megkapjuk a 3/2 értékgyökét, így a pi/3 szinusza egyenlő 3/2 gyökével.

3. módszer.
A szinusz értékének kiszámításának másik módja a felhasználás.
Például egy szinuszos gráfon (szinuszos) megtaláljuk a pi / 3 értéket az Ox tengelyen, majd húzunk egy egyenest erre a tengelyre merőlegesen, amíg az nem metszi a gráfot. Kapunk egy pontot, amelyet az Oy tengelyre vetítünk, és megkapjuk a 3/2 értékgyökét.