Az y f x függvény antideriváltját nevezzük. A funkció antiderivatívája. Az antiderivatív fő tulajdonsága

27.09.2019

Láttuk, hogy a deriváltnak számos felhasználása van: a derivált a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); származéka az lejtő egy függvény grafikonjának érintője; a derivált segítségével megvizsgálhatja a függvényt monotonitásra és szélsőségekre; a derivált segít megoldani az optimalizálási problémákat.

De be igazi életet Inverz problémákat is meg kell oldani: például az ismert mozgástörvényből a sebesség megtalálásának problémája mellett találkozunk azzal a problémával is, hogy ismert sebességből állítsuk vissza a mozgástörvényt. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.

1. példa Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog, sebességét t időpontban az u = tg képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.

Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = u"(t). Ez azt jelenti, hogy a probléma megoldásához választania kell funkció s = s(t), melynek deriváltja egyenlő tg-vel. Ezt nem nehéz kitalálni

Rögtön jegyezzük meg, hogy a példa helyesen, de hiányosan van megoldva. Megállapítottuk, hogy valójában a problémának végtelen sok megoldása van: az űrlap bármely függvénye egy tetszőleges állandó mozgástörvényként szolgálhat, hiszen

A feladat pontosítása érdekében rögzítenünk kellett a kiindulási helyzetet: jelöljük meg egy mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t=0-nál. Ha mondjuk s(0) = s 0, akkor az egyenlőségből azt kapjuk, hogy s(0) = 0 + C, azaz S 0 = C. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott:
A matematikában a kölcsönösen inverz műveleteknek különböző neveket adnak, és speciális jelöléseket találnak ki: például négyzetre emelés (x 2) és kivonás. négyzetgyök sine(sinх) és arcszinusz(arcsin x) stb. Az adott függvényre vonatkozó derivált megtalálásának folyamatát differenciálásnak nevezzük, az inverz műveletet, azaz. adott deriváltból függvény keresésének folyamata - integráció.
Maga a „származék” kifejezés a „hétköznapi életben” igazolható: az y - f(x) függvény új y"= f"(x) függvényt hoz létre. Az y = f(x) függvény így működik „szülő” , de a matematikusok természetesen nem „szülőnek” vagy „termelőnek” mondják, hogy az y"=f"(x) függvényhez képest ez az elsődleges kép, ill röviden az antiderivatív.

1. definíció. Az y = F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az y = f(x) függvényre egy adott X intervallumon, ha X-ből minden x-re teljesül az F"(x)=f(x) egyenlőség.

A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény definíciójának természetes tartománya).

Íme néhány példa:

1) Az y = x 2 függvény antideriválta az y = 2x függvényre, mivel minden x esetén igaz az (x 2)" = 2x egyenlőség.
2) az y - x 3 függvény antideriválta az y-3x 2 függvényre, mivel minden x esetén igaz az (x 3)" = 3x 2 egyenlőség.
3) Az y-sinх függvény az y = cosx függvény antideriváltja, mivel minden x esetén igaz a (sinx)" = cosx egyenlőség.
4) A függvény antiderivált az intervallumon lévő függvényre, mivel minden x > 0 esetén az egyenlőség igaz
Általánosságban elmondható, hogy a származékok megtalálására szolgáló képletek ismeretében nem nehéz összeállítani egy táblázatot az antiderivatívek megtalálásához.

Reméljük, megérti a táblázat összeállítását: a második oszlopba írt függvény deriváltja megegyezik az első oszlop megfelelő sorába írt függvény származékával (nézd meg, ne légy lusta, nagyon hasznos). Például az y = x 5 függvény esetében az antiderivált, amint azt meg fogod állapítani, a függvény (lásd a táblázat negyedik sorát).

Megjegyzések: 1. Az alábbiakban bizonyítjuk azt a tételt, hogy ha y = F(x) antideriválta az y = f(x) függvényre, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = alakú. F(x ) + C. Ezért helyesebb lenne, ha a táblázat második oszlopában mindenhová hozzáadnánk a C tagot, ahol C egy tetszőleges valós szám.
2. A rövidség kedvéért néha az „y = F(x) függvény az y = f(x) függvény antideriváltja” kifejezés helyett azt mondják, hogy F(x) az f(x) antideriváltja. .”

2. Az antiderivátumok megtalálásának szabályai

Az antiderivatívák megtalálásakor, valamint a származékok megtalálásakor nemcsak képleteket használnak (ezeket a 196. oldali táblázat tartalmazza), hanem néhány szabályt is. Közvetlenül kapcsolódnak a derivatívák kiszámításának megfelelő szabályaihoz.

Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.

Felhívjuk a figyelmet ennek a megfogalmazásnak a kissé „könnyedségére”. Valójában meg kell fogalmazni a tételt: ha az y = f(x) és y = g(x) függvényeknek van antideriváltja az X intervallumon, rendre y-F(x) és y-G(x), akkor az y függvények összege = f(x)+g(x) egy antideriválta az X intervallumon, és ez az antideriválta az y = F(x)+G(x) függvény. De általában szabályok (nem tételek) megfogalmazásakor csak kulcsszavak maradnak - ez kényelmesebb a szabályok gyakorlati alkalmazásához

2. példa Keresse meg az y = 2x + cos x függvény antideriváltját.

Megoldás. A 2x antideriváltja x"; a cox antideriváltja a sin x. Ez azt jelenti, hogy az y = 2x + cos x függvény antideriváltja az y = x 2 + sin x függvény lesz (és általában bármely formájú függvény Y = x 1 + sinx + C) .
Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

2. szabály A konstans tényező kivehető az antiderivatív előjeléből.

3. példa

Megoldás. a) A sin x antideriváltja -soz x; Ez azt jelenti, hogy az y = 5 sin x függvény esetén az antiderivatív függvény az y = -5 cos x függvény lesz.

b) A cos x antideriváltja sin x; Ez azt jelenti, hogy egy függvény antideriváltja a függvény
c) Az x 3 antideriváltja az x antideriváltája az y = 1 függvény antideriváltja az y = x függvény. Az antideriválták megtalálásának első és második szabályát felhasználva azt találjuk, hogy az y = 12x 3 + 8x-1 függvény antideriváltja a függvény
Megjegyzés. Mint ismeretes, a szorzat deriváltja nem egyenlő a származékok szorzatával (a szorzat megkülönböztetésének szabálya összetettebb), a hányados deriváltja pedig nem egyenlő a származékok hányadosával. Ezért nincsenek szabályok a termék antideriváltjának vagy két függvény hányadosának antideriváltjának megtalálására. Legyen óvatos!
Vegyünk egy másik szabályt az antiderivatívek megtalálására. Tudjuk, hogy az y = f(kx+m) függvény deriváltját a képlet számítja ki

Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
3. szabály. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája, akkor az y=f(kx+m) függvény antideriváltja a függvény

Valójában,

Ez azt jelenti, hogy az y = f(kx+m) függvény antideriváltja.
A harmadik szabály jelentése a következő. Ha tudja, hogy az y = f(x) függvény antideriváltja az y = F(x) függvény, és meg kell találnia az y = f(kx+m) függvény antideriváltját, akkor a következőképpen járjon el: ugyanaz az F függvény, de az x argumentum helyett a kx+m kifejezést helyettesítsük; ezen kívül ne felejtsd el beírni a „korrekciós tényezőt” a függvény jele elé
4. példa Keressen antiderivatíveket adott függvényekhez:

Megoldás, a) A sin x antideriváltja -soz x; Ez azt jelenti, hogy az y = sin2x függvény esetében az antiderivált lesz a függvény
b) A cos x antideriváltja sin x; Ez azt jelenti, hogy egy függvény antideriváltja a függvény

c) Az x 7 antideriváltja azt jelenti, hogy az y = (4-5x) 7 függvény esetén az antiderivált a függvény lesz

3. Határozatlan integrál

Fentebb már megjegyeztük, hogy egy adott y = f(x) függvény antideriváltjának megtalálásának problémájának több megoldása is van. Beszéljük meg ezt a kérdést részletesebben.

Bizonyíték. 1. Legyen y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltja az X intervallumon. Ez azt jelenti, hogy X-ből minden x-re teljesül az x"(x) = f(x) egyenlőség. keresse meg bármely y = F(x)+C alakú függvény deriváltját:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Tehát (F(x)+C) = f(x). Ez azt jelenti, hogy y = F(x) + C az y = f(x) függvény antideriváltja.
Így bebizonyítottuk, hogy ha az y = f(x) függvénynek van y=F(x) antideriváltja, akkor az (f = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, például bármely y = alakú függvény. Az F(x) +C egy antiderivált.
2. Most bizonyítsuk be, hogy a jelzett függvénytípus kimeríti az antideriválták teljes halmazát.

Legyen y=F 1 (x) és y=F(x) az Y = f(x) függvény két antideriváltja az X intervallumon. Ez azt jelenti, hogy az X intervallumból származó összes x-re a következő összefüggések érvényesek: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

Tekintsük az y = F 1 (x) -.F(x) függvényt, és keressük meg a deriváltját: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Ismeretes, hogy ha egy függvény deriváltja egy X intervallumon azonos nullával, akkor a függvény az X intervallumon állandó (lásd a 35. § 3. tételét). Ez azt jelenti, hogy F 1 (x) - F (x) = C, azaz. Fx) = F(x)+C.

A tétel bizonyítást nyert.

5. példa A sebesség időbeli változásának törvénye adott: v = -5sin2t. Határozzuk meg az s = s(t) mozgástörvényt, ha tudjuk, hogy t=0 időpontban a pont koordinátája egyenlő volt az 1,5 számmal (azaz s(t) = 1,5).

Megoldás. Mivel a sebesség a koordináta deriváltja az idő függvényében, először meg kell találnunk a sebesség antideriváltját, azaz. antiderivált a v = -5sin2t függvényre. Az egyik ilyen antiderivatív a függvény, és az összes antiderivatív halmazának a következő alakja van:

A C konstans fajlagos értékének megtalálásához a kezdeti feltételeket használjuk, amelyek szerint s(0) = 1,5. A t=0, S = 1,5 értékeket behelyettesítve az (1) képletbe, kapjuk:

C talált értékét behelyettesítve az (1) képletbe, megkapjuk a minket érdeklő mozgástörvényt:

2. definíció. Ha egy y = f(x) függvénynek van egy y = F(x) antideriváltája egy X intervallumon, akkor az összes antiderivált halmaz, azaz. az y = F(x) + C alakú függvényhalmazt az y = f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük, és a következővel jelöljük:

(olvassa: „határozatlan integrál ef x de x-ből”).
A következő bekezdésben megtudjuk, mi ennek a megjelölésnek a rejtett jelentése.
Az ebben a részben elérhető antiderivált táblázat alapján összeállítjuk a fő határozatlan integrálok táblázatát:

Az antideriválták megtalálásának fenti három szabálya alapján meg tudjuk fogalmazni a megfelelő integrációs szabályokat.

1. szabály A függvények összegének integrálja egyenlő az összeggel ezen függvények integráljai:

2. szabály A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:

3. szabály. Ha

6. példa. Határozatlan integrálok keresése:

Megoldás, a) Az első és második integrációs szabályt felhasználva megkapjuk:

Most használjuk a 3. és 4. integrációs képletet:

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

b) A harmadik integrációs szabály és a 8-as képlet felhasználásával kapjuk:

c) Adott integrál közvetlen kereséséhez sem a megfelelő képlet, sem a megfelelő szabály nincs. Ilyen esetekben néha segítenek az integráljel alatt lévő kifejezés korábban végrehajtott azonos transzformációi.

Használjuk ki trigonometrikus képlet Fokozatcsökkentés:

Ezután sorrendben megtaláljuk:

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Naptári tematikus tervezés matematikában, videó matematikából online, Matematika az iskolában

Cél:

Az antiderivatív fogalmának kialakulása.
Felkészülés az integrál észlelésére.
Számítástechnikai ismeretek formálása.
A szépérzék fejlesztése (a szépség meglátásának képessége a szokatlanban).

A matematikai elemzés a matematika ágainak összessége, amelyek a függvények és általánosításaik tanulmányozására irányulnak a differenciál- és integrálszámítás módszereivel.

Eddig a matematikai elemzésnek a differenciálszámításnak nevezett ágát tanulmányoztuk, melynek lényege egy függvény tanulmányozása a „kicsiben”.

Azok. egy függvény vizsgálata az egyes definíciós pontok kellően kis környezetében. Az egyik művelet differenciálás – megtalálás derivált (differenciál) és alkalmazása a függvények tanulmányozására.

Az inverz probléma nem kevésbé fontos. Ha egy függvény viselkedése a definíciójának minden pontja közelében ismert, akkor hogyan lehet rekonstruálni a függvény egészét, azaz? definíciójának teljes terjedelmében. Ez a probléma az úgynevezett integrálszámítás vizsgálatának tárgya.

Az integráció a differenciálás fordított művelete. Vagy az f(x) függvény visszaállítása adott f`(x) deriváltból. A latin „integro” szó helyreállítást jelent.

1. számú példa.

Legyen (x)`=3x2.
Keressük f(x)-et.

Megoldás:

A differenciálás szabálya alapján nem nehéz kitalálni, hogy f(x) = x 3, mert (x 3)` = 3x 2
Könnyen észrevehető azonban, hogy f(x) nem egyedi.
F(x)-ként vehetjük
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 stb.

Mert mindegyik deriváltja 3x2. (Egy állandó deriváltja 0). Mindezek a függvények egy állandó taggal különböznek egymástól. Ezért a feladat általános megoldása így írható fel: f(x) = x 3 + C, ahol C bármely állandó valós szám.

A talált f(x) függvények bármelyike meghívásra kerül PRIMODIUM az F`(x)= 3x2 függvényre

Meghatározás. Az F(x) függvényt egy adott J intervallumon lévő f(x) függvény antiderivatívájának nevezzük, ha az ebből az intervallumból származó összes x-re F`(x)= f(x). Tehát az F(x)=x 3 függvény antideriválta f(x)=3x 2 esetén (- ∞ ; ∞).
Mivel minden x ~R esetében igaz az egyenlőség: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Mint már észrevettük, ennek a függvénynek végtelen számú antideriváltja van (lásd az 1. példát).

2. példa. Az F(x)=x függvény antiderivált minden f(x)= 1/x-re a (0; +) intervallumon, mert ebből az intervallumból minden x-re érvényes az egyenlőség.
F"(x) = (x 1/2)" = 1/2x -1/2 = 1/2x

3. példa. Az F(x)=tg3x függvény az f(x)=3/cos3x antideriváltja a (-n/) intervallumon 2; p/ 2),
mert F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

4. számú példa. Az F(x)=3sin4x+1/x-2 függvény antideriválta f(x)=12cos4x-1/x 2 esetén a (0;∞) intervallumon.
mert F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2. előadás.

Téma: Antiderivatív. Az antiderivatív funkció fő tulajdonsága.

Az antiderivatív vizsgálatakor a következő állításra fogunk támaszkodni. Egy függvény állandóságának előjele: Ha a J intervallumon a függvény Ψ(x) deriváltja egyenlő 0-val, akkor ezen az intervallumon a Ψ(x) függvény állandó.

Ez az állítás geometriailag is kimutatható.

Ismeretes, hogy Ψ`(x)=tgα, γde α a Ψ(x) függvény grafikonjának érintőjének dőlésszöge az x 0 abszcissza pontban. Ha Ψ`(υ)=0 a J intervallum bármely pontján, akkor tanα=0 δ a Ψ(x) függvény grafikonjának bármely érintőjére. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonjának érintője bármely pontban párhuzamos az abszcissza tengellyel. Ezért a jelzett intervallumon a Ψ(x) függvény grafikonja egybeesik az y=C egyenesszakasszal.

Tehát az f(x)=c függvény állandó a J intervallumon, ha ezen az intervallumon f`(x)=0.

Valójában a J intervallumból származó tetszőleges x 1 és x 2 esetén, a függvény középértékére vonatkozó tételt felhasználva, felírhatjuk:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), mert f`(c)=0, majd f(x2)=f(x1)

Tétel: (Az antiderivatív függvény fő tulajdonsága)

Ha F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja a J intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza a következő alakú: F(x)+C, ahol C bármely valós szám.

Bizonyíték:

Legyen F`(x) = f(x), majd (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J esetén.
Tegyük fel, hogy létezik Φ(x) – egy másik antideriválta f (x)-re a J intervallumon, azaz. Φ`(x) = f(x),
akkor (Φ(x) - F(x))" = f (x) - f (x) = 0, x Є J esetén.
Ez azt jelenti, hogy Φ(x) - F(x) állandó a J intervallumon.
Ezért Φ(x) - F(x) = C.
Ahonnan Φ(x)= F(x)+C.
Ez azt jelenti, hogy ha F(x) egy antideriválta egy f (x) függvényre a J intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza a következő alakú: F(x)+C, ahol C bármely valós szám.
Következésképpen egy adott függvény bármely két antideriváltja konstans taggal különbözik egymástól.

Példa: Határozzuk meg az f (x) = cos x függvény antideriváltjainak halmazát. Rajzolja le az első három grafikonját!

Megoldás: A sin x az f (x) = cos x függvény egyik antideriváltja
F(x) = Sin x+C – az összes antiderivált halmaza.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometriai illusztráció: Bármely antiderivált F(x)+C grafikonja az F(x) antiderivált grafikonjából nyerhető r (0;c) párhuzamos átvitelével.

Példa: Az f (x) = 2x függvényhez keressen egy antiderivált, amelynek grafikonja átmegy t.M (1;4) függvényen.

Megoldás: F(x)=x 2 +C – az összes antiderivált halmaza, F(1)=4 – a feladat feltételei szerint.
Ezért 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Az antiderivatív függvények megtalálásának három alapvető szabálya van. Nagyon hasonlóak a megfelelő megkülönböztetési szabályokhoz.

1. szabály

Ha F valamilyen f függvény antideriváltja, G pedig valamilyen g függvény antideriváltája, akkor F + G az f + g antideriváltja.

Az antiderivált definíció szerint F’ = f. G' = g. És mivel ezek a feltételek teljesülnek, akkor a függvények összegének deriváltjának kiszámítására vonatkozó szabály szerint a következőket kapjuk:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

2. szabály

Ha F valamilyen f függvény antideriváltja, és k valamilyen állandó. Ekkor k*F a k*f függvény antideriváltja. Ez a szabály az összetett függvény deriváltjának számítására vonatkozó szabályból következik.

Van: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

3. szabály

Ha F(x) valamilyen antiderivált az f(x) függvényre, és k és b néhány állandó, és k nem egyenlő nullával, akkor (1/k)*F*(k*x+b) az f függvény antideriváltja (k*x+b).

Ez a szabály az összetett függvény deriváltjának kiszámítására vonatkozó szabályból következik:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Nézzünk néhány példát ezeknek a szabályoknak az alkalmazására:

1. példa. Lelet általános nézet az f(x) = x^3 +1/x^2 függvény antideriváltjai. Az x^3 függvénynél az egyik antiderivált az (x^4)/4, az 1/x^2 függvénynél pedig az egyik antiderivált a -1/x függvény lesz. Az első szabályt használva a következőket kapjuk:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

2. példa. Keressük meg az antideriválták általános alakját az f(x) = 5*cos(x) függvényre. A cos(x) függvény egyik antideriváltja a sin(x) függvény lesz. Ha most a második szabályt használjuk, akkor a következőket kapjuk:

F(x) = 5*sin(x).

3. példa Keresse meg az y = sin(3*x-2) függvény egyik antideriváltját. A sin(x) függvény egyik antideriváltja a -cos(x) függvény lesz. Ha most a harmadik szabályt használjuk, akkor az antiderivált kifejezést kapjuk:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

4. példa. Keresse meg az f(x) = 1/(7-3*x)^5 függvény antideriváltját

Az 1/x^5 függvény antideriváltja a (-1/(4*x^4)) függvény lesz. Most a harmadik szabályt használva megkapjuk.

Korábban adott függvény szerint, vezérelve különféle képletekés szabályokat, megtalálta a származékát. A deriváltnak számos felhasználása van: ez a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); a függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatója; a derivált segítségével megvizsgálhatja a függvényt monotonitásra és szélsőségekre; segít megoldani az optimalizálási problémákat.

De az ismert mozgástörvény szerinti sebesség megtalálásának problémája mellett van egy fordított probléma is - a mozgástörvény ismert sebesség szerinti helyreállításának problémája. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.

1. példa Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog, mozgásának sebességét t időpontban a v=gt képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.
Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = v(t). Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldásához ki kell választani egy s = s(t) függvényt, amelynek deriváltja egyenlő gt-vel. Nem nehéz kitalálni hogy $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Válasz: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Rögtön jegyezzük meg, hogy a példa helyesen, de hiányosan van megoldva. A következőt kaptuk: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Valójában a feladatnak végtelen sok megoldása van: bármely $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ alakú függvény, ahol C tetszőleges állandó, szolgálhat mozgás, mivel \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \jobbra)" = gt $

A probléma pontosabbá tételéhez a kiindulási helyzetet kellett rögzítenünk: meg kell adni egy mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t = 0-nál. Ha mondjuk s(0) = s 0, akkor a s(t) = (gt 2)/2 + C egyenlőség kapjuk: s(0) = 0 + C, azaz C = s 0. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

A matematikában a kölcsönösen inverz műveleteket különböző elnevezéssel látják el, speciális jelöléseket találnak ki, például: négyzetre emelés (x 2) és négyzetgyök ($\sqrt(x) $), szinusz (sin x) és arcszinusz (arcsin x) és stb. Egy adott függvény deriváltjának megtalálásának folyamatát ún különbségtétel, és az inverz művelet, azaz a függvény keresésének folyamata egy adott deriváltból az integráció.

Maga a „származék” kifejezés „hétköznapi értelemben” igazolható: az y = f(x) függvény „szül” egy új y" = f"(x) függvényt. Az y = f(x) függvény úgy működik, mintha „szülő” lenne, de a matematikusok természetesen nem „szülőnek” vagy „termelőnek” mondják, az y" = függvényhez képest f"(x) , elsődleges kép vagy primitív.

Meghatározás. Az y = F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az y = f(x) függvényre az X intervallumon, ha az F"(x) = f(x) egyenlőség teljesül $x \in X$-re.

A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény definíciójának természetes tartománya).

Mondjunk példákat.
1) Az y = x 2 függvény antideriválta az y = 2x függvényre, mivel bármely x esetén az (x 2)" = 2x egyenlőség igaz
2) Az y = x 3 függvény antideriválta az y = 3x 2 függvényre, mivel bármely x esetén az (x 3)" = 3x 2 egyenlőség igaz
3) Az y = sin(x) függvény antideriválta az y = cos(x) függvényre, mivel bármely x esetén igaz a (sin(x))" = cos(x) egyenlőség

Az antiderivatívák, valamint a származékok megtalálásakor nemcsak képleteket, hanem néhány szabályt is használnak. Közvetlenül kapcsolódnak a derivatívák kiszámításának megfelelő szabályaihoz.

Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.

Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehozza a megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

2. szabály Ha F(x) az f(x) antideriváltája, akkor kF(x) a kf(x) antideriváltája.

1. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája, akkor az y = f(kx + m) függvény antideriváltja a $y=\frac(1)(k)F függvény (kx+m) $

2. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltája az X intervallumon, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = F(x) alakú. + C.

Integrációs módszerek

Változó helyettesítési módszer (helyettesítési módszer)

A helyettesítéssel történő integráció módszere egy új integrációs változó (vagyis helyettesítés) bevezetését jelenti. Ebben az esetben az adott integrál egy új integrállá redukálódik, amely táblázatos vagy rá redukálható. Gyakori módszerek nincs kiválasztva a helyettesítések. A helyettesítés helyes meghatározásának képességét gyakorlással sajátítjuk el.
Legyen szükséges a $\textstyle \int F(x)dx \ integrál kiszámítása). Végezzük el a \(x= \varphi(t) $ behelyettesítést, ahol $\varphi(t) $ egy olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van.
Ekkor $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ és a határozatlan integrál integrációs képletének invariancia tulajdonsága alapján behelyettesítéssel megkapjuk az integrációs képletet:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

$\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ alakú kifejezések integrálása

Ha m páratlan, m > 0, akkor célszerűbb a behelyettesítést sin x = t-re tenni.
Ha n páratlan, n > 0, akkor kényelmesebb a cos x = t helyettesítést elvégezni.
Ha n és m páros, akkor célszerűbb a tg x = t helyettesítést elvégezni.

Integráció alkatrészek szerint

Integrálás részenként – a következő képlet alkalmazásával az integrációhoz:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
vagy:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Antiderivatív funkció f(x) között (a; b) ezt a függvényt hívják F(x), ez az egyenlőség mindenre érvényes X adott intervallumból.

Ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy egy állandó deriváltja VEL egyenlő nullával, akkor az egyenlőség igaz. Tehát a funkció f(x) sok primitíve van F(x)+C, tetszőleges állandóra VEL, és ezek az antiderivatívek tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Az antiderivatív funkciók teljes készlete f(x) ennek a függvénynek határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, A f(x) – integrand függvény. Az integrandus a függvény differenciálját jelenti f(x).

Azt a műveletet, amely során egy ismeretlen függvényt találunk a differenciálértéke alapján, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye egynél több függvény F(x), és primitíveinek halmaza F(x)+C.

A határozatlan integrál geometriai jelentése. A D(x) antiderivált grafikonját integrálgörbének nevezzük. Az x0y koordinátarendszerben egy adott függvény összes antideriváltjának grafikonja olyan görbecsaládot képvisel, amely a C konstans értékétől függ, és a 0y tengely mentén párhuzamos eltolással kapjuk meg egymást. A fent tárgyalt példához a következőket találjuk:

J 2 x^x = x2 + C.

Az antideriváltak családját (x + C) geometriailag parabolák halmaza értelmezi.

Ha egy antiderivatív családból kell találnia egyet, akkor további feltételeket állít be, amelyek lehetővé teszik a C állandó meghatározását. Általában erre a célra a kezdeti feltételeket beállítják: amikor az argumentum x = x0, a függvény értéke D. (x0) = y0.

Példa. Meg kell találni, hogy az y = 2 x függvény egyik antideriváltja, amely x0 = 1-nél a 3 értéket veszi fel.

A szükséges antiderivált: D(x) = x2 + 2.

Megoldás. ^2x^x = x2 + C; 12+C=3; C = 2.

2. A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrand függvénnyel:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandus kifejezéssel:

3. Egy bizonyos függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő magának ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha , Azt

8. Ingatlan:

Ha , Azt

Valójában ez a tulajdonság a változóváltoztatási módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben részletesebben is lesz szó.

Nézzünk egy példát:

3. Integrációs módszer amelyben egy adott integrált az integrandus (vagy kifejezés) azonos transzformációival és a határozatlan integrál tulajdonságainak alkalmazásával egy vagy több táblaintegrálra redukálunk, az ún. közvetlen integráció. Ha ezt az integrált táblázatosra redukáljuk, gyakran a következő differenciáltranszformációkat alkalmazzuk (" művelet feliratkozás a különbözeti jelre»):

Egyáltalán, f’(u)du = d(f(u)). Ezt (a képletet nagyon gyakran használják integrálok számításakor.

Keresse meg az integrált

Megoldás. Használjuk az integrál tulajdonságait, és redukáljuk ezt az integrált több táblázatosra.

4. Integráció helyettesítési módszerrel.

A módszer lényege, hogy bevezetünk egy új változót, ezen a változón keresztül fejezzük ki az integrandust, és ennek eredményeként az integrál táblázatos (vagy egyszerűbb) alakjához jutunk.

Nagyon gyakran a helyettesítési módszer segít a trigonometrikus függvények és függvények gyökökkel való integrálásakor.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .