2-nél nagyobb fokú racionális egyenletek. Videólecke „Racionális egyenletek

Megtanultuk már a másodfokú egyenletek megoldását. Most terjesszük ki a vizsgált módszereket a racionális egyenletekre.

Mi a racionális kifejezés? Ezzel a fogalommal már találkoztunk. Racionális kifejezések számokból, változókból, ezek hatványaiból és matematikai műveletek szimbólumaiból álló kifejezések.

Ennek megfelelően a racionális egyenletek a következő alakú egyenletek: , ahol - racionális kifejezések.

Korábban csak azokat a racionális egyenleteket vettük figyelembe, amelyek lineárisra redukálhatók. Most nézzük meg azokat a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekre redukálhatók.

1. példa

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Egy tört akkor és csak akkor egyenlő 0-val, ha a számlálója 0, a nevezője pedig nem egyenlő 0-val.

A következő rendszert kapjuk:

A rendszer első egyenlete az másodfokú egyenlet. Mielőtt megoldanánk, osszuk el az összes együtthatóját 3-mal.

Két gyökeret kapunk: ; .

Mivel a 2 soha nem egyenlő 0-val, két feltételnek kell teljesülnie: . Mivel a fent kapott egyenlet egyik gyöke sem esik egybe a változó érvénytelen értékeivel, amelyeket a második egyenlőtlenség megoldása során kaptunk, mindkettő ennek az egyenletnek a megoldása.

Válasz:.

Tehát fogalmazzunk meg egy megoldási algoritmust racionális egyenletek:

1. Mozgassa az összes kifejezést a bal oldalra úgy, hogy a jobb oldalon 0 legyen.

2. Átalakítsa és egyszerűsítse a bal oldalt, csökkentse az összes törtet értékre közös nevező.

3. A kapott törtet 0-val egyenlővé teszi a következő algoritmus segítségével: .

4. Írja fel azokat a gyököket, amelyeket az első egyenletben kapott, és teljesítse a válaszban a második egyenlőtlenséget!

Nézzünk egy másik példát.

2. példa

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás

A legelején az összes tagot balra mozgatjuk, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon.

Most hozzuk az egyenlet bal oldalát egy közös nevezőre:

Ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet.

Ennek az egyenletnek az együtthatói: . Kiszámoljuk a diszkriminánst:

Két gyökeret kapunk: ; .

Most oldjuk meg a második egyenlőtlenséget: a tényezők szorzata akkor és csak akkor nem egyenlő 0-val, ha egyik tényező sem egyenlő 0-val.

Két feltételnek kell teljesülnie: . Azt találjuk, hogy az első egyenlet két gyöke közül csak az egyik alkalmas - 3.

Válasz:.

Ebben a leckében megemlékeztünk arról, hogy mi a racionális kifejezés, és megtanultuk, hogyan kell megoldani a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekké redukálódnak.

A következő leckében a racionális egyenleteket, mint valós helyzetek modelljeit, és a mozgási problémákat is megvizsgáljuk.

Bibliográfia

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra, 8. 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. osztály. Tutorial for oktatási intézmények. - M.: Oktatás, 2006.

1. Fesztivál pedagógiai elképzelések "Nyilvános óra" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Házi feladat

Ebben a cikkben megmutatom algoritmusok hétféle racionális egyenlet megoldására, amely változók változtatásával másodfokúvá redukálható. A legtöbb esetben a cseréhez vezető átalakítások nagyon nem triviálisak, és elég nehéz egyedül kitalálni őket.

Minden egyenlettípusnál elmagyarázom, hogyan kell változót megváltoztatni benne, majd részletes megoldást mutatok be a megfelelő videós oktatóanyagban.

Lehetősége van saját maga folytatni az egyenletek megoldását, majd a videó leckével ellenőrizni a megoldást.

Szóval, kezdjük.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2)=40

Figyeljük meg, hogy az egyenlet bal oldalán négy zárójel szorzata, a jobb oldalon pedig egy szám található.

1. Csoportosítsuk a zárójeleket kettővel, hogy a szabad tagok összege azonos legyen.

2. Szorozzuk meg őket.

3. Vezessünk be egy változó változást.

Egyenletünkben az első zárójelet a harmadikkal, a másodikat a negyedikkel csoportosítjuk, mivel (-1)+(-4)=(-7)+2:

Ezen a ponton nyilvánvalóvá válik a változó helyettesítése:

Megkapjuk az egyenletet

Válasz:

2 .

Egy ilyen típusú egyenlet egy különbséggel hasonlít az előzőhöz: az egyenlet jobb oldalán a szám és a szorzata található. És teljesen más módon van megoldva:

1. A zárójeleket kettővel csoportosítjuk, hogy a szabad tagok szorzata azonos legyen.

2. Szorozza meg az egyes zárójelpárokat.

3. Minden tényezőből kiveszünk x-et.

4. Oszd el az egyenlet mindkét oldalát -vel.

5. Változóváltást vezetünk be.

Ebben az egyenletben az első zárójelet a negyedikkel, a másodikat a harmadikkal csoportosítjuk, mivel:

Vegye figyelembe, hogy minden zárójelben az at együttható és a szabad tag azonos. Vegyünk ki egy tényezőt minden zárójelből:

Mivel x=0 nem gyöke az eredeti egyenletnek, ezért az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk -vel. Kapunk:

Kapjuk az egyenletet:

Válasz:

3 .

Vegye figyelembe, hogy mindkét tört nevezője négyzet háromtagú, amelyre a vezető együttható és a szabad tag megegyezik. Vegyük ki x-et a zárójelből, mint a második típus egyenletében. Kapunk:

Osszuk el az egyes törtek számlálóját és nevezőjét x-szel:

Most bevezethetünk egy változó helyettesítést:

Egyenletet kapunk a t változóra:

4 .

Figyeljük meg, hogy az egyenlet együtthatói szimmetrikusak a központihoz képest. Ezt az egyenletet ún visszaváltható .

Megoldani,

1. Oszd el az egyenlet mindkét oldalát (ezt megtehetjük, mivel x=0 nem gyöke az egyenletnek.) A következőt kapjuk:

2. Csoportosítsuk a kifejezéseket a következőképpen:

3. Minden csoportban vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből:

4. Mutassuk be a helyettesítést:

5. Fejezd ki t-n keresztül a kifejezést:

Innen

A t egyenletét kapjuk:

Válasz:

5. Homogén egyenletek.

Homogén szerkezetű egyenletekkel találkozhatunk exponenciális, logaritmikus ill trigonometrikus egyenletek, tehát fel kell tudnia ismerni.

A homogén egyenletek szerkezete a következő:

Ebben az egyenlőségben A, B és C számok, a négyzet és a kör pedig azonos kifejezéseket jelöl. Ez azt jelenti, hogy egy homogén egyenlet bal oldalán azonos fokú monomiumok összege található. ebben az esetben a monomok foka 2), és nincs szabad tag.

Egy homogén egyenlet megoldásához mindkét oldalt el kell osztani

Figyelem! Ha egy egyenlet jobb és bal oldalát elosztja egy ismeretlent tartalmazó kifejezéssel, gyököket veszíthet. Ezért ellenőrizni kell, hogy annak a kifejezésnek a gyökerei, amellyel az egyenlet mindkét oldalát felosztjuk, az eredeti egyenlet gyökerei-e.

Menjünk az első úton. Kapjuk az egyenletet:

Most bemutatjuk a változó helyettesítését:

Egyszerűsítsük a kifejezést, és kapjunk egy bikvadratikus egyenletet t-re:

Válasz: vagy

7 .

Ennek az egyenletnek a szerkezete a következő:

A megoldáshoz ki kell választani egy teljes négyzetet az egyenlet bal oldalán.

A teljes négyzet kiválasztásához a szorzat kétszeresét kell összeadnia vagy kivonnia. Ekkor megkapjuk az összeg vagy a különbség négyzetét. Ez kulcsfontosságú a sikeres változócseréhez.

Kezdjük azzal, hogy megkeressük a termék kétszeresét. Ez lesz a kulcs a változó cseréjéhez. Egyenletünkben a szorzat kétszerese egyenlő

Most találjuk ki, mi a kényelmesebb számunkra - az összeg négyzete vagy a különbség. Először nézzük a kifejezések összegét:

Nagy! Ez a kifejezés pontosan egyenlő a szorzat kétszeresével. Ezután ahhoz, hogy az összeg négyzetét zárójelben kapja meg, össze kell adnia és ki kell vonnia a dupla szorzatot:

\(\bullet\) A racionális egyenlet \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] formában ábrázolt egyenlet, ahol \(P(x), \Q(x)\ ) - polinomok (az „X”-ek összege különböző hatványokban, szorozva különböző számokkal).
Az egyenlet bal oldalán található kifejezést racionális kifejezésnek nevezzük.
ODZ (régió elfogadható értékeket) egy racionális egyenletben az összes olyan \(x\) értéke, amelynél NEM tűnik el a nevező, azaz \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Például egyenletek \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] racionális egyenletek.
Az első egyenletben az ODZ mind \(x\) úgy, hogy \(x\ne 3\) (írd \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); a második egyenletben – ezek mind \(x\) úgy, hogy \(x\ne -1; x\ne 1\) (írd \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); és a harmadik egyenletben nincsenek megkötések az ODZ-re vonatkozóan, vagyis az ODZ mind \(x\) (ezek \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Tételek:
1) Két tényező szorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az egyik egyenlő nullával, a másik pedig nem veszíti el értelmét, ezért a \(f(x)\cdot g(x)=0\ egyenlet ) egyenértékű a rendszerrel \[\begin(esetek) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\\ \ szöveg(ODZ egyenletek)\end(esetek)\] 2) Egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla, ezért a \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) egyenletrendszerrel ekvivalens \[\begin(esetek) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(esetek)\]\(\bullet\) Nézzünk néhány példát.

1) Oldja meg a \(x+1=\dfrac 2x\) egyenletet. Határozzuk meg ennek az egyenletnek az ODZ-jét - ez \(x\ne 0\) (mivel \(x\) van a nevezőben).
Ez azt jelenti, hogy az ODZ a következőképpen írható fel: .
Helyezzük át az összes kifejezést egy részbe, és hozzuk őket közös nevezőre: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( esetek) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(esetek)\] A rendszer első egyenletének megoldása a következő lesz: \(x=-2, x=1\) . Látjuk, hogy mindkét gyök nem nulla. Ezért a válasz: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Oldja meg az egyenletet! \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Keressük meg ennek az egyenletnek az ODZ-jét. Látjuk, hogy a \(x\) egyetlen értéke, amelynél a bal oldalnak nincs értelme, az \(x=0\) . Tehát az ODZ így írható: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Így ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

\[\begin(esetek) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra. \\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(igazított) \end(összegyűjtve) \jobbra.\\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött)\begin(igazított) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\\ x\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(összegyűjtött) \begin(igazított) &x=2\\ &x=1 \end(igazított) \end(összegyűjtött) \jobbra.\] Valójában annak ellenére, hogy \(x=0\) a második tényező gyöke, ha \(x=0\)-t behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor ennek nem lesz értelme, mert A \(\dfrac 40\) kifejezés nincs megadva.
Így ennek az egyenletnek a megoldása \(x\in \(1;2\)\) .

3) Oldja meg az egyenletet! \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] A \(4x^2-1\ne 0\) egyenletünkben, amelyből \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , azaz \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Vigyük át az összes kifejezést a bal oldalra, és hozzuk őket közös nevezőre:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Bal jobbra nyíl \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(esetek) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(összegyűjtött) \begin( igazítva) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(igazított)\end(összegyűjtött) \jobbra.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Balra jobbra nyíl \quad x=-3\)

Válasz: \(x\in \(-3\)\) .

Megjegyzés. Ha a válasz véges számhalmazból áll, akkor ezeket pontosvesszővel elválasztva, kapcsos zárójelben írhatjuk fel, ahogy az előző példákban is látható.

A matematika egységes államvizsgáján minden évben találkoznak racionális egyenletek megoldását igénylő problémákkal, ezért a minősítő teszt letételére való felkészülés során a végzősöknek mindenképpen meg kell ismételnie az elméletet ebben a témában. Az alap- és szakvizsgát egyaránt teljesítő végzősöknek képesnek kell lenniük megbirkózni az ilyen feladatokkal. Az elmélet elsajátítása és a „Racionális egyenletek” témakörben végzett gyakorlati gyakorlatok elvégzése után a hallgatók képesek lesznek problémákat megoldani tetszőleges számú művelettel, és számíthatnak arra, hogy versenyképes pontszámokat kapnak az egységes államvizsgán.

Hogyan készüljünk fel a vizsgára a Shkolkovo oktatási portál segítségével?

Néha meglehetősen nehéznek bizonyul olyan forrás megtalálása, amely teljes mértékben bemutatja a matematikai problémák megoldásának alapvető elméleteit. Lehet, hogy a tankönyv egyszerűen nincs kéznél. A szükséges képletek megtalálása pedig néha még az interneten is meglehetősen nehézkes lehet.

A Shkolkovo oktatási portál mentesíti Önt a kereséstől a szükséges anyagotés segít felkészülni a tanúsítási teszt sikeres letételére.

Minden szükséges elmélet a „Racionális egyenletek” témában szakértőink elkészítették és bemutatták a leginkább hozzáférhető formában. A bemutatott információk áttanulmányozása után a hallgatók képesek lesznek pótolni a hiányosságokat a tudásban.

Az egységes államvizsgára való sikeres felkészüléshez a végzősöknek nemcsak a „Racionális egyenletek” témakör elméleti alapanyagának felfrissítésére van szükségük, hanem gyakorolniuk kell a feladatok elvégzését is. konkrét példák. Nagy választék feladatokat a „Katalógus” részben mutatjuk be.

Szakértőink minden gyakorlathoz az oldalon egy megoldási algoritmust írtak, és jelezték a helyes választ. A tanulók készségszintjüktől függően különböző nehézségi fokú problémák megoldását gyakorolhatják. A megfelelő részben található feladatok listája folyamatosan bővül és frissül.

Tanulmányozzon elméleti anyagot és fejlessze problémamegoldó készségeit a „Racionális egyenletek” témakörben, hasonlóan Egységes államvizsga tesztek, online is elvégezhető. Ha szükséges, a bemutatott feladatok bármelyike ​​hozzáadható a „Kedvencek” részhez. Miután ismét megismételte az alapelméletet a „Racionális egyenletek” témában, egy középiskolás diák a jövőben visszatérhet a problémához, hogy egy algebraórán megvitassa a megoldásának előrehaladását a tanárral.

A „racionális egyenletek polinomokkal” az egyik leggyakrabban előforduló téma a tesztben Egységes államvizsga-feladatok matematika. Emiatt érdemes megismételni őket Speciális figyelem. Sok diák szembesül azzal a problémával, hogy megtalálja a diszkriminánst, a mutatókat jobb oldalról balra viszi át és az egyenletet közös nevezőre hozza, ezért az ilyen feladatok elvégzése nehézségeket okoz. Racionális egyenletek megoldása az egységes államvizsgára való felkészülés során webhelyünkön segít gyorsan megbirkózni bármilyen bonyolultságú problémával, és remekül teljesíteni a tesztet.

Válassza a Shkolkovo oktatási portált az egységes matematika vizsgára való sikeres felkészüléshez!

Ismerni az ismeretlenek kiszámításának szabályait és könnyen megszerezni helyes eredményeket, használja online szolgáltatásunkat. A Shkolkovo portál egy egyedülálló platform, amely mindent tartalmaz, ami a felkészüléshez szükséges Egységes államvizsga anyagok. Tanáraink rendszereztek és érthető formában bemutatták az összes matematikai szabályt. Emellett meghívjuk az iskolásokat, hogy próbálják ki magukat standard racionális egyenletek megoldásában, amelyek alapja folyamatosan frissül, bővül.

A tesztelésre való hatékonyabb felkészülés érdekében javasoljuk, hogy kövesse speciális módszerünket, és kezdje a szabályok ismétlésével és az egyszerű problémák megoldásával, fokozatosan haladva a bonyolultabbak felé. Így a végzős képes lesz azonosítani a legnehezebb témákat magának, és ezek tanulmányozására összpontosítani.

Kezdje el a felkészülést az utolsó tesztre Shkolkovóval még ma, és az eredmények nem várnak sokáig! Válaszd a legtöbbet könnyű példa a javasoltak közül. Ha gyorsan elsajátította a kifejezést, lépjen tovább nehéz feladat. Így fejlesztheti tudását a matematika USE feladatok speciális szintű megoldásáig.

A képzés nem csak a moszkvai diplomások, hanem más városokból származó iskolások számára is elérhető. Töltsön el naponta néhány órát a tanulással például portálunkon, és hamarosan bármilyen bonyolultságú egyenletekkel megbirkózik!

A legkisebb közös nevezőt használjuk az egyenlet egyszerűsítésére. Ezt a módszert akkor használjuk, ha egy adott egyenletet nem tud felírni egy racionális kifejezéssel az egyenlet mindkét oldalán (és használja a keresztezett szorzási módszert). Ezt a módszert akkor használjuk, ha 3 vagy több törtből álló racionális egyenletet kapunk (két tört esetén jobb a keresztezett szorzást használni).