I.V. Yakovlev | សមា្ភារៈគណិតវិទ្យា | MathUs.ru

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាប្រភេទពិសេសនៃលំដាប់។ ដូច្នេះ មុននឹងកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ (ហើយបន្ទាប់មកធរណីមាត្រ) យើងត្រូវពិភាក្សាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃលំដាប់លេខ។

បន្តបន្ទាប់

ស្រមៃមើលឧបករណ៍នៅលើអេក្រង់ដែលលេខជាក់លាក់ត្រូវបានបង្ហាញមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀត។ ចូរនិយាយថា 2; ៧; ១៣; 1; ៦; 0; ៣; : : : សំណុំនៃលេខនេះគឺច្បាស់ណាស់ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់មួយ។

និយមន័យ។ លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយគត់ (ដែលភ្ជាប់ជាមួយលេខធម្មជាតិតែមួយ)1. លេខដែលមានលេខ n ត្រូវបានហៅ អាណត្តិទីលំដាប់។

ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ លេខទីមួយគឺ 2 នេះគឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយ a1; លេខប្រាំមានលេខ 6 គឺជាឃ្លាទី 5 នៃលំដាប់ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយ a5 ។ ទាំងអស់, អាណត្តិទីលំដាប់​ត្រូវ​បាន​តាង​ដោយ (ឬ bn, cn, ល)។

ស្ថានភាពងាយស្រួលបំផុតគឺនៅពេលដែលពាក្យទី n នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត an = 2n 3 បញ្ជាក់លំដាប់៖ 1; 1; ៣; ៥; ៧; : : : រូបមន្ត a = (1)n បញ្ជាក់លំដាប់: 1; 1; 1; 1; : ::

មិនមែនគ្រប់លេខទាំងអស់សុទ្ធតែជាលំដាប់ទេ។ ដូច្នេះផ្នែកមួយមិនមែនជាលំដាប់ទេ។ វាមានលេខ "ច្រើនពេក" ដែលត្រូវប្តូរលេខ។ សំណុំ R ទាំងអស់។ ចំនួនពិតក៏មិនមែនជាលំដាប់ដែរ។ ការពិតទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖ និយមន័យមូលដ្ឋាន

ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រៀម​ខ្លួន​ជា​ស្រេច​ក្នុង​ការ​កំណត់​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) ស្មើនឹងផលបូកពាក្យមុន និងចំនួនថេរមួយចំនួន (ហៅថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ)។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់ទី 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ​ 2 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 3. លំដាប់​ទី 7; ២; ៣; ៨; : : : គឺ​ជា​ការ​វិវឌ្ឍន៍​នព្វន្ធ​ដែល​មាន​ពាក្យ​ទី​មួយ 7 និង​ភាព​ខុស​គ្នា 5. លំដាប់​ទី 3; ៣; ៣; : : : គឺជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានភាពខុសគ្នាស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យសមមូល៖ លំដាប់ a ត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នា +1 an ជាតម្លៃថេរ (ឯករាជ្យនៃ n) ។

ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើង ប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺវិជ្ជមាន ហើយការថយចុះប្រសិនបើភាពខុសគ្នារបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

1 នេះ​ជា​និយមន័យ​ខ្លី​ជាង​នេះ៖ លំដាប់​គឺ​ជា​មុខងារ​ដែល​បាន​កំណត់​លើ​សំណុំ លេខធម្មជាតិ. ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃចំនួនពិតគឺជាអនុគមន៍ f: N ! រ.

តាមលំនាំដើម លំដាប់ត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់ ពោលគឺមានលេខចំនួនគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់រំខានយើងដើម្បីពិចារណាលំដាប់កំណត់; តាមពិត លេខកំណត់ណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់បញ្ចប់គឺ 1; ២; ៣; ៤; 5 មានប្រាំលេខ។

រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ

វាងាយស្រួលយល់ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយលេខពីរ៖ ពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។ ដូច្នេះ សំណួរកើតឡើង៖ តើការដឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ស្វែងរកពាក្យតាមអំពើចិត្តនៃដំណើរការនព្វន្ធដោយរបៀបណា?

វាមិនពិបាកក្នុងការទទួលបានរូបមន្តដែលត្រូវការសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យមួយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា ឃ. យើង​មាន:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
ជាពិសេសយើងសរសេរ៖
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ហើយឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថារូបមន្តសម្រាប់មួយគឺ:
an = a1 + (n 1)d:

បញ្ហា 1. នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ 2; ៥; ៨; ដប់មួយ; : : : រករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ហើយគណនាលេខមួយរយ។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមរូបមន្ត (១) យើងមាន៖

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299៖

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ណាមួយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ (ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ) គឺជាមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាងរបស់វា។

	ភស្តុតាង។ យើង​មាន:
	a n 1+ a n+1		(មួយ ឃ) + (មួយ + ឃ)

ដែលជាអ្វីដែលត្រូវបានទាមទារ។

ជាទូទៅ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ បំពេញនូវសមភាព

a n = a n k + a n + k

សម្រាប់ n > 2 និង k ធម្មជាតិណាមួយ។< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

វាប្រែថារូបមន្ត (2) គឺមិនត្រឹមតែចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានផងដែរ។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ថាលំដាប់គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

សញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ប្រសិនបើសមភាព (2) ទទួលបានសម្រាប់ n > 2 ទាំងអស់ នោះលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

a na n 1 = a n + 1a n:

ពីនេះយើងអាចមើលឃើញថាភាពខុសគ្នា a +1 a មិនអាស្រ័យលើ n ហើយនេះមានន័យថាយ៉ាងជាក់លាក់ថាលំដាប់ a គឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ និងសញ្ញានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្កើតជាទម្រង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួលយើងនឹងធ្វើដូចនេះសម្រាប់លេខបី (នេះគឺជាស្ថានភាពដែលជារឿយៗកើតឡើងក្នុងបញ្ហា) ។

លក្ខណៈនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លេខបី a, b, c បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ 2b = a + c ។

បញ្ហា 2. (MSU, មហាវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច, 2007) លេខបី 8x, 3 x2 និង 4 នៅក្នុងលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញបង្កើតជាការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរក x និងចង្អុលបង្ហាញភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធយើងមាន៖

2(3 x2) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

ប្រសិនបើ x = 1 នោះយើងទទួលបានការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពនៃ 8, 2, 4 ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 6 ។ ប្រសិនបើ x = 5 នោះយើងទទួលបានការកើនឡើងនៃ 40, 22, 4; ករណីនេះមិនសមរម្យទេ។

ចម្លើយ៖ x = 1 ភាពខុសគ្នាគឺ 6 ។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

មានរឿងព្រេងនិទានថា ថ្ងៃមួយ គ្រូប្រាប់ក្មេងៗឱ្យរកលេខបូកពីលេខ 1 ដល់លេខ 100 ហើយអង្គុយស្ងៀមអានកាសែត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មាននាទី ក្មេងប្រុសម្នាក់បាននិយាយថា គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហានេះហើយ។ វាគឺជាលោក Karl Friedrich Gauss អាយុ 9 ឆ្នាំដែលក្រោយមកគឺជាម្នាក់ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុត។ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

គំនិតរបស់ Little Gauss មានដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ

S = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100៖

ចូរសរសេរចំនួននេះតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖

S = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

ហើយបន្ថែមរូបមន្តទាំងពីរនេះ៖

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹង 101 ហើយវាមាន 100 ពាក្យសរុប។

2S = 101 100 = 10100;

យើងប្រើគំនិតនេះដើម្បីទាញយករូបមន្តផលបូក

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ការកែប្រែដ៏មានប្រយោជន៍នៃរូបមន្ត (3) ត្រូវបានទទួល ប្រសិនបើយើងជំនួសរូបមន្តនៃពាក្យ n = a1 + (n 1)d ទៅក្នុងវា៖

		2a1 + (n 1) ឃ

បញ្ហាទី 3. រកផលបូកនៃលេខបីខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលបែងចែកដោយ 13 ។

ដំណោះស្រាយ។ លេខបីខ្ទង់ដែលគុណនឹង 13 បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធដោយពាក្យទីមួយគឺ 104 ហើយភាពខុសគ្នាគឺ 13; វចនានុក្រមទី ៩ នៃវឌ្ឍនភាពនេះមានទម្រង់៖

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើការវិវត្តរបស់យើងមានលក្ខខណ្ឌប៉ុន្មាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាព៖

មួយ 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; ន ៦ ៦៩៖

ដូច្នេះ មានសមាជិកចំនួន 69 នាក់នៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ ដោយប្រើរូបមន្ត (4) យើងរកឃើញចំនួនដែលត្រូវការ៖

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជារឿងសាមញ្ញ។ ទាំងក្នុងន័យ និងរូបមន្ត។ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការគ្រប់ប្រភេទលើប្រធានបទនេះ។ ពីមូលដ្ឋានទៅរឹង។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យ និងរូបមន្តនៃបរិមាណ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ភាពរីករាយរបស់អ្នកផ្ទាល់។ ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបន្ថែមពាក្យទាំងអស់របស់វាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមានតិចតួច អ្នកអាចបន្ថែមដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានច្រើន ឬច្រើន... ការបន្ថែមគឺរំខាន។) ក្នុងករណីនេះ រូបមន្តមកជួយសង្គ្រោះ។

រូបមន្តសម្រាប់បរិមាណគឺសាមញ្ញ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអក្សរប្រភេទណាដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត។ នេះនឹងជម្រះរឿងជាច្រើន។

ស - ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លទ្ធផលបន្ថែម គ្រប់គ្នាសមាជិក, ជាមួយ ដំបូងដោយ ចុងក្រោយ។វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ពួកគេបន្ថែមយ៉ាងពិតប្រាកដ ទាំងអស់។សមាជិកជាប់ៗគ្នា ដោយមិនរំលង ឬរំលង។ ហើយច្បាស់ណាស់ចាប់ផ្តើមពី ដំបូង។នៅក្នុងបញ្ហាដូចជាការស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទីបី និងទីប្រាំបី ឬផលបូកនៃពាក្យទី 5 ដល់ទី 20 ការអនុវត្តន៍រូបមន្តដោយផ្ទាល់នឹងខកចិត្ត។ )

ក ១ - ដំបូងសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់នៅទីនេះ វាសាមញ្ញ ដំបូងលេខជួរ។

មួយ n- ចុងក្រោយសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ លេខចុងក្រោយនៃស៊េរី។ មិន​មែន​ជា​ឈ្មោះ​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​ដែល​បាន​អនុវត្ត​ទៅ​នឹង​ចំនួន​នេះ​គឺ​សមរម្យ​ណាស់។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯង។

ន - ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថានៅក្នុងរូបមន្តលេខនេះ។ ស្របគ្នានឹងចំនួនពាក្យបន្ថែម។

ចូរយើងកំណត់គំនិត ចុងក្រោយសមាជិក មួយ n. សំណួរពិបាក៖ តើសមាជិកមួយណានឹងក្លាយជា ចុងក្រោយប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ?)

ដើម្បីឆ្លើយដោយទំនុកចិត្ត អ្នកត្រូវយល់ពីអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ហើយ... អានកិច្ចការដោយប្រុងប្រយ័ត្ន!)

ក្នុងកិច្ចការស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចុងក្រោយតែងតែលេចឡើង (ដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រយោល)។ ដែលគួរតែត្រូវបានកំណត់។បើមិនដូច្នេះទេ ចំនួនចុងក្រោយជាក់លាក់ ជាធម្មតាមិនមានទេ។ចំពោះដំណោះស្រាយវាមិនមានបញ្ហាថាតើការវិវត្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ: កំណត់ឬគ្មានកំណត់។ វាមិនមានបញ្ហាថាតើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរបៀបណា៖ ស៊េរីនៃលេខ ឬរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ។

អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ថារូបមន្តដំណើរការពីពាក្យដំបូងនៃការវិវត្តទៅជាពាក្យដែលមានលេខ ន.តាមពិតឈ្មោះពេញនៃរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ចំនួននៃសមាជិកដំបូងបំផុតទាំងនេះ i.e. នត្រូវបានកំណត់ដោយភារកិច្ច។ នៅក្នុងកិច្ចការមួយ ពត៌មានដ៏មានតម្លៃទាំងអស់នេះត្រូវបានអ៊ិនគ្រីបជាញឹកញាប់ បាទ... ប៉ុន្តែកុំខ្វល់អី នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងបង្ហាញពីអាថ៌កំបាំងទាំងនេះ។ )

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការលើផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ជា​ដំបូងបង្អស់, ព័ត៌មានមានប្រយោជន៍:

ការលំបាកចម្បងក្នុងកិច្ចការដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ គឺស្ថិតនៅក្នុងការកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃធាតុនៃរូបមន្ត។

អ្នកសរសេរភារកិច្ចអ៊ិនគ្រីបធាតុដូចគ្នាទាំងនេះជាមួយ ការស្រមើលស្រមៃគ្មានព្រំដែន.) រឿងសំខាន់នៅទីនេះគឺមិនត្រូវខ្លាចទេ។ ការយល់ដឹងអំពីខ្លឹមសារនៃធាតុ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបកស្រាយពួកវាដោយសាមញ្ញ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនដោយលំអិត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការដែលផ្អែកលើ GIA ពិតប្រាកដ។

1. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a n = 2n-3.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យ 10 ដំបូងរបស់វា។

ការងារ​ល្អ. ងាយស្រួល) ដើម្បីកំណត់បរិមាណដោយប្រើរូបមន្ត តើយើងត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ? សមាជិកដំបូង ក ១, អាណត្តិចុងក្រោយ មួយ nបាទចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ ន.

តើខ្ញុំអាចទទួលបានលេខសមាជិកចុងក្រោយនៅឯណា? ន? បាទ, នៅទីនោះ, នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ! វានិយាយថា៖ រកផលបូក សមាជិក 10 នាក់ដំបូង។អញ្ចឹងតើវានឹងនៅជាមួយលេខអ្វី? ចុងក្រោយ,សមាជិកទីដប់?) អ្នកនឹងមិនជឿទេ លេខរបស់គាត់គឺលេខដប់!) ដូច្នេះ ជំនួសឱ្យ មួយ nយើងនឹងជំនួសរូបមន្ត មួយ 10ហើយជំនួសវិញ។ ន- ដប់។ ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយត្រូវគ្នានឹងចំនួនសមាជិក។

វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ ក ១និង មួយ 10. នេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ចូលរៀនមេរៀនមុន បើគ្មានវាគ្មានផ្លូវទេ។

ក ១= 2 1 − 3.5 = −1.5

មួយ 10=2·10 - 3.5 =16.5

ស = ស ១០.

យើងបានរកឃើញអត្ថន័យនៃធាតុទាំងអស់នៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវជំនួសពួកគេ ហើយរាប់៖

នោះ​ហើយ​ជា​វា។ ចម្លើយ៖ ៧៥ ។

កិច្ចការមួយទៀតផ្អែកលើ GIA ។ ស្មុគស្មាញបន្តិច៖

2. ផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធ (a n) ភាពខុសគ្នានៃលេខ 3.7; a 1 = 2.3 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 15 លក្ខខណ្ឌដំបូងរបស់វា។

យើងសរសេររូបមន្តបូកភ្លាមៗ៖

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យណាមួយដោយលេខរបស់វា។ យើងស្វែងរកការជំនួសដ៏សាមញ្ញមួយ៖

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

វានៅសល់ដើម្បីជំនួសធាតុទាំងអស់ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយគណនាចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖ ៤២៣ ។

ដោយវិធីនេះប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តបូកជំនួសឱ្យ មួយ nយើងគ្រាន់តែជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n ហើយទទួលបាន៖

ចូរយើងធ្វើបទបង្ហាញស្រដៀងគ្នា និងទទួលបានរូបមន្តថ្មីសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពាក្យទី 9 មិនត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះទេ។ មួយ n. នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន រូបមន្តនេះជួយបានច្រើន បាទ... អ្នកអាចចងចាំរូបមន្តនេះ។ ឬអ្នកអាចបង្ហាញវានៅពេលត្រឹមត្រូវ ដូចជានៅទីនេះ។ យ៉ាងណាមិញ អ្នកតែងតែត្រូវចងចាំរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងរូបមន្តសម្រាប់លេខទី )។

ឥឡូវនេះភារកិច្ចនៅក្នុងទម្រង់នៃការអ៊ិនគ្រីបខ្លី):

3. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលជាគុណនឹងបី។

វ៉ោ​វ! មិន​ថា​សមាជិក​ដំបូង ឬ​ចុង​ក្រោយ​របស់​អ្នក ឬ​ការ​រីក​ចម្រើន​ទាល់​តែ​សោះ... រស់​យ៉ាង​ណា!?

អ្នកនឹងត្រូវគិតដោយក្បាលរបស់អ្នក ហើយដកធាតុទាំងអស់នៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធចេញពីលក្ខខណ្ឌ។ យើងដឹងថាលេខពីរខ្ទង់ជាអ្វី។ ពួកវាមានពីរលេខ។) តើលេខពីរខ្ទង់នឹងទៅជាយ៉ាងណា ដំបូង? 10, សន្មត់។) ក រឿងចុងក្រោយលេខពីរខ្ទង់? 99 ពិតណាស់! លេខបីខ្ទង់នឹងតាមគាត់...

គុណនឹងបី... ហ៊ឹម... ទាំងនេះជាលេខដែលចែកដោយបី នៅទីនេះ! ដប់មិនបែងចែកដោយបី 11 មិនបែងចែក ... 12 ... បែងចែក! ដូច្នេះមានអ្វីមួយកំពុងលេចចេញមក។ អ្នក​អាច​សរសេរ​ស៊េរី​រួច​ហើយ​តាម​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា៖

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

តើ​ស៊េរី​នេះ​នឹង​ក្លាយ​ជា​ដំណើរការ​នព្វន្ធ​ឬ? ប្រាកដណាស់! ពាក្យនីមួយៗខុសគ្នាពីពាក្យមុនដោយបីយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែម 2 ឬ 4 ទៅពាក្យមួយ និយាយថា លទ្ធផល ឧ។ លេខថ្មីលែងចែកដោយ 3 ទៀតហើយ។ អ្នកអាចកំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធបានភ្លាមៗ៖ d = ៣.វានឹងមានប្រយោជន៍!)

ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាពនូវប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពមួយចំនួន៖

តើលេខនឹងជាអ្វី? នសមាជិកចុងក្រោយ? អ្នកណាដែលគិតថាលេខ 99 ខុសធ្ងន់ធ្ងរ... លេខតែងតែជាប់ៗគ្នា ប៉ុន្តែសមាជិករបស់យើងលោតលើសពីបី។ ពួកគេមិនត្រូវគ្នា។

មានដំណោះស្រាយពីរនៅទីនេះ។ មធ្យោបាយមួយគឺសម្រាប់ការឧស្សាហ៍ព្យាយាម។ អ្នក​អាច​សរសេរ​ការ​វិវត្តន៍ ស៊េរី​លេខ​ទាំង​មូល និង​រាប់​ចំនួន​សមាជិក​ដោយ​ម្រាមដៃ​របស់​អ្នក។) វិធី​ទី​ពីរ​គឺ​សម្រាប់​អ្នក​គិត​ពិចារណា។ អ្នកត្រូវចាំរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តរូបមន្តទៅនឹងបញ្ហារបស់យើង យើងឃើញថា 99 គឺជាពាក្យទី 30 នៃការវិវត្តន៍។ ទាំងនោះ។ n = 30 ។

សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

យើងមើលហើយរីករាយ។) យើងបានដកចេញពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាំបាច់ដើម្បីគណនាចំនួន:

ក ១= 12.

មួយ 30= 99.

ស = ស ៣០.

នៅសល់ទាំងអស់គឺជានព្វន្ធបឋម។ យើងជំនួសលេខទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនា៖

ចម្លើយ៖ ១៦៦៥

ប្រភេទល្បែងផ្គុំរូបដ៏ពេញនិយមមួយទៀត៖

4. ទទួលបានវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ៖

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

រកផលបូកនៃពាក្យពីម្ភៃទៅសាមសិបបួន។

យើង​មើល​រូបមន្ត​ចំនួន​នោះ​ហើយ... យើង​ពិបាក​ចិត្ត។) រូបមន្ត​ខ្ញុំ​សូម​រំលឹក​អ្នក​គណនា​ចំនួន ពីដំបូងសមាជិក។ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាអ្នកត្រូវគណនាផលបូក ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ទី 20 ...រូបមន្តនឹងមិនដំណើរការទេ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ អ្នក​អាច​សរសេរ​ដំណើរ​ការ​ទាំង​មូល​ជា​ស៊េរី ហើយ​បន្ថែម​ពាក្យ​ពី 20 ទៅ 34។ ប៉ុន្តែ... វា​ជា​រឿង​ឆោត​ល្ងង់ ហើយ​ចំណាយ​ពេល​យូរ​មែន​ទេ?)

មានដំណោះស្រាយឆើតឆាយជាង។ ចូរបែងចែកស៊េរីរបស់យើងជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកទីមួយនឹងមាន ចាប់ពីពាក្យទីមួយដល់ទីដប់ប្រាំបួន។ផ្នែកទីពីរ - ពីម្ភៃទៅសាមសិបបួន។វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីមួយ ស ១-១៩ចូរបន្ថែមវាជាមួយនឹងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីពីរ ស ២០-៣៤យើងទទួលបានផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពពីពាក្យទីមួយដល់សាមសិបបួន ស ១-៣៤. ដូចនេះ៖

ស ១-១៩ + ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤

ពីនេះយើងអាចឃើញថារកផលបូក ស ២០-៣៤អាចត្រូវបានធ្វើដោយការដកសាមញ្ញ

ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤ - ស ១-១៩

បរិមាណទាំងពីរនៅខាងស្តាំត្រូវបានពិចារណា ពីដំបូងសមាជិក, i.e. រូបមន្តផលបូកស្តង់ដារគឺអាចអនុវត្តបានចំពោះពួកគេ។ តោះ​ចាប់ផ្តើម?

យើងដកប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពចេញពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា៖

d = 1.5 ។

ក ១= -21,5.

ដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ 19 និង 34 ដំបូង យើងនឹងត្រូវការពាក្យទី 19 និង 34 ។ យើងគណនាពួកវាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ដូចក្នុងបញ្ហាទី 2៖

មួយ 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

មួយ ៣៤= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

មិនមានអ្វីនៅសល់ទេ។ ពីផលបូកនៃពាក្យ 34 ដកផលបូកនៃ 19 ឃ្លា៖

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

ចម្លើយ៖ ២៦២.៥

ចំណាំសំខាន់មួយ! មានល្បិចមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដោយផ្ទាល់ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការ (ស ២០-៣៤)យើងបានរាប់ អ្វីមួយដែលហាក់ដូចជាមិនត្រូវការ - S 1-19 ។ហើយបន្ទាប់មកពួកគេបានកំណត់ ស ២០-៣៤បោះចោលអ្វីដែលមិនចាំបាច់ចេញពីលទ្ធផលពេញលេញ។ ប្រភេទនៃ "ក្លែងបន្លំត្រចៀករបស់អ្នក" ជារឿយៗជួយសង្រ្គោះអ្នកក្នុងបញ្ហាអាក្រក់។ )

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យមើលបញ្ហាដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តពីរបី។ )

ដំបូន្មានជាក់ស្តែង:

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយដែលទាក់ទងនឹងផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យសរសេរភ្លាមៗនូវរូបមន្តសំខាន់ៗពីរពីប្រធានបទនេះ។

រូបមន្ត​សម្រាប់​ពាក្យ​ទី​៩៖

រូបមន្តទាំងនេះនឹងប្រាប់អ្នកភ្លាមៗអំពីអ្វីដែលត្រូវរកមើល និងក្នុងទិសដៅអ្វីដែលត្រូវគិត ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ជួយ

ហើយឥឡូវនេះភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

5. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយបី។

ឡូយ?) ព័ត៌មានជំនួយត្រូវបានលាក់នៅក្នុងកំណត់ចំណាំចំពោះបញ្ហា 4. ជាការប្រសើរណាស់ បញ្ហាទី 3 នឹងជួយ។

6. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 24 លក្ខខណ្ឌដំបូងរបស់វា។

មិនធម្មតា?) នេះគឺជារូបមន្តដែលកើតឡើងដដែលៗ។ អ្នកអាចអានអំពីវានៅក្នុងមេរៀនមុន។ កុំព្រងើយកន្តើយចំពោះតំណភ្ជាប់នេះ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្ររដ្ឋ។

7. Vasya បានសន្សំប្រាក់សម្រាប់ថ្ងៃឈប់សម្រាក។ ជាច្រើនដូចជា 4550 rubles! ហើយខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តផ្តល់ឱ្យមនុស្សជាទីស្រលាញ់របស់ខ្ញុំ (ខ្លួនឯង) ពីរបីថ្ងៃនៃសុភមង្គល) ។ រស់នៅស្អាតដោយមិនបដិសេធខ្លួនឯងអ្វីទាំងអស់។ ចំណាយ 500 រូប្លិ៍នៅថ្ងៃដំបូងហើយនៅថ្ងៃបន្ទាប់នីមួយៗចំណាយ 50 រូប្លិ៍ច្រើនជាងថ្ងៃមុន! រហូតដល់លុយអស់។ តើ Vasya មានសុភមង្គលប៉ុន្មានថ្ងៃ?

តើវាពិបាកទេ?) តើវាអាចជួយបានទេ? រូបមន្តបន្ថែមពីកិច្ចការទី 2 ។

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7, 3240, 6 ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដាក់ឈ្មោះតាមលំដាប់នៃលេខ (លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាព)

ក្នុង​នោះ​ពាក្យ​បន្ទាប់​នីមួយៗ​ខុស​ពី​ពាក្យ​មុន​ដោយ​ពាក្យ​ថ្មី​ដែល​គេ​ហៅ​ផង​ដែរ។ ភាពខុសគ្នានៃជំហានឬវឌ្ឍនភាព.

ដូច្នេះ ដោយបញ្ជាក់ជំហានវឌ្ឍនភាព និងពាក្យដំបូងរបស់វា អ្នកអាចរកឃើញធាតុណាមួយរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ

1) សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព។

ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។ ប្រសិនបើមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យសេស (គូ) ដែលនៅជាប់គ្នានៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងពាក្យដែលឈរនៅចន្លោះពួកវា នោះលំដាប់នៃលេខនេះគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យលំដាប់ណាមួយ។

ផងដែរដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្តខាងលើអាចមានលក្ខណៈទូទៅដូចខាងក្រោម

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ ប្រសិនបើអ្នកសរសេរលក្ខខណ្ឌនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា

វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការអនុវត្តដើម្បីសម្រួលការគណនាក្នុងបញ្ហា។

2) ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត

ចងចាំយ៉ាងល្អនូវរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ វាមិនអាចខ្វះបានក្នុងការគណនា ហើយត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងស្ថានភាពជីវិតសាមញ្ញ។

3) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការរកមិនឃើញផលបូកទាំងមូល ប៉ុន្តែផ្នែកនៃលំដាប់ដែលចាប់ផ្តើមពីពាក្យ kth របស់វា នោះរូបមន្តបូកខាងក្រោមនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក

4) ចំណាប់អារម្មណ៍ជាក់ស្តែងគឺការស្វែងរកផលបូកនៃ n លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលចាប់ផ្តើមពីលេខ kth ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើរូបមន្ត

នេះបញ្ចប់សម្ភារៈទ្រឹស្តី និងបន្តទៅការដោះស្រាយបញ្ហាទូទៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ 1. រកលេខ សែសិបនៃដំណើរការនព្វន្ធ 4;7;...

ដំណោះស្រាយ៖

តាម​លក្ខខណ្ឌ​ដែល​យើង​មាន

ចូរកំណត់ជំហាននៃដំណើរការ

ដោយប្រើរូបមន្តដ៏ល្បីមួយ យើងរកឃើញពាក្យទីសែសិបនៃវឌ្ឍនភាព

ឧទាហរណ៍ ២. វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យទីបី និងទីប្រាំពីររបស់វា។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព និងផលបូកនៃដប់។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងសរសេរធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវឌ្ឍនភាពដោយប្រើរូបមន្ត

យើងដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ជាលទ្ធផលយើងរកឃើញជំហានរីកចម្រើន

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការណាមួយ ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

យើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដប់ដំបូងនៃដំណើរការ

ដោយមិនប្រើការគណនាស្មុគស្មាញ យើងបានរកឃើញបរិមាណដែលត្រូវការទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ 3. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយភាគបែង និងមួយនៃពាក្យរបស់វា។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព ផលបូកនៃពាក្យ 50 របស់វាដែលចាប់ផ្តើមពី 50 និងផលបូកនៃ 100 ដំបូង។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ធាតុទីរយនៃវឌ្ឍនភាព

ហើយស្វែងរកទីមួយ

ដោយផ្អែកលើទី 1 យើងរកឃើញពាក្យទី 50 នៃវឌ្ឍនភាព

ស្វែងរកផលបូកនៃផ្នែកនៃដំណើរការ

និងផលបូកនៃ 100 ដំបូង

ចំនួនទឹកប្រាក់នៃដំណើរការគឺ 250 ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ស្វែងរកចំនួនពាក្យនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ៖

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងសរសេរសមីការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃពាក្យទីមួយ និងជំហាននៃវឌ្ឍនភាព ហើយកំណត់ពួកវា

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តផលបូក ដើម្បីកំណត់ចំនួនពាក្យនៅក្នុងផលបូក

យើងអនុវត្តភាពសាមញ្ញ

និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ក្នុង​ចំណោម​តម្លៃ​ទាំង​ពីរ​ដែល​បាន​រក​ឃើញ មាន​តែ​លេខ 8 ដែល​សម​នឹង​លក្ខខណ្ឌ​បញ្ហា។ ដូច្នេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ 111 ។

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដោះស្រាយសមីការ

1+3+5+...+x=307។

ដំណោះស្រាយ៖ សមីការនេះគឺជាផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ចូរយើងសរសេរពាក្យដំបូងរបស់វា ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នាក្នុងដំណើរការ

បញ្ហា​លើ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​មាន​ស្រាប់​ហើយ​នៅ​សម័យ​បុរាណ។ ពួកគេ​បាន​បង្ហាញ​ខ្លួន​ហើយ​ទាមទារ​ដំណោះស្រាយ​ព្រោះ​ពួកគេ​មាន​តម្រូវការ​ជាក់ស្តែង។

ដូច្នេះនៅក្នុង papyri មួយ។ អេ​ស៊ី​ប​បុរាណ"ដែលមានមាតិកាគណិតវិទ្យា - ក្រដាស Rhind (សតវត្សទី 19 មុនគ។ ស។

ហើយនៅក្នុងស្នាដៃគណិតវិទ្យារបស់ក្រិកបុរាណមានទ្រឹស្ដីឆើតឆាយទាក់ទងនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដូច្នេះ Hypsicles of Alexandria (សតវត្សទី 2 ដែលបានចងក្រងបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនហើយបានបន្ថែមសៀវភៅទី 14 ទៅក្នុង Euclid's Elements) បានបង្កើតគំនិតនេះថា: "នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធដែលមានលេខគូ ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃពាក់កណ្តាលទីពីរ។ គឺធំជាងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃលេខ 1 នៅលើការ៉េ 1/2 ចំនួនសមាជិក។"

លំដាប់​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ ក. លេខ​នៃ​លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​សមាជិក​របស់​វា ហើយ​ជា​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ​ដែល​មាន​សន្ទស្សន៍​ដែល​បង្ហាញ លេខ​សម្គាល់សមាជិកនេះ (a1, a2, a3 ... អានថា: “a 1st” “a 2nd” “a 3rd” ហើយដូច្នេះនៅលើ)។

លំដាប់អាចគ្មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី? ដោយវាយើងមានន័យថាមួយដែលទទួលបានដោយការបន្ថែមពាក្យមុន (n) ជាមួយនឹងលេខដូចគ្នា d ដែលជាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ប្រសិនបើ ឃ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 បន្ទាប់មកការវិវត្តនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាកើនឡើង។

ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា finite ប្រសិនបើមានតែពាក្យពីរបីដំបូងរបស់វាប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានយកមកពិចារណា។ នៅខ្លាំងណាស់ បរិមាណដ៏ច្រើន។សមាជិកគឺជាការរីកចម្រើនគ្មានទីបញ្ចប់រួចទៅហើយ។

ការវិវត្តនព្វន្ធណាមួយត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

a =kn+b ខណៈពេលដែល b និង k គឺជាលេខមួយចំនួន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយគឺពិតទាំងស្រុង៖ ប្រសិនបើលំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តស្រដៀងគ្នា នោះវាពិតជាដំណើរការនព្វន្ធដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1. ពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងពាក្យបន្ទាប់។
2. Converse: ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 នោះពាក្យនីមួយៗគឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃពាក្យមុន និងមួយបន្ទាប់ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ នោះលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។ សមភាពនេះក៏ជាសញ្ញានៃវឌ្ឍនភាពផងដែរ ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថាជាលក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាព។
   តាមរបៀបដូចគ្នា ទ្រឹស្តីបទដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺពិត៖ លំដាប់មួយគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ លុះត្រាតែសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់លក្ខខណ្ឌណាមួយនៃលំដាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 ។

លក្ខណៈលក្ខណៈសម្រាប់លេខទាំងបួននៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត a + am = ak + al ប្រសិនបើ n + m = k + l (m, n, k គឺជាលេខវឌ្ឍនភាព) ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចាំបាច់ណាមួយ (Nth) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍៖ ពាក្យទីមួយ (a1) ក្នុងដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ និងស្មើនឹងបី ហើយភាពខុសគ្នា (d) គឺស្មើនឹងបួន។ អ្នកត្រូវស្វែងរកពាក្យទីសែសិបប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ a45=1+4(45-1)=177

រូបមន្ត a = ak + d(n - k) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ពាក្យទី n នៃដំណើរការនព្វន្ធតាមរយៈពាក្យ kth ណាមួយរបស់វា ផ្តល់ថាវាត្រូវបានគេស្គាល់។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (មានន័យថា n លក្ខខណ្ឌដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពកំណត់) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

Sn = (a1+an) n/2 ។

ប្រសិនបើពាក្យទី 1 ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនោះរូបមន្តមួយផ្សេងទៀតគឺងាយស្រួលសម្រាប់ការគណនា:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលមានពាក្យ n ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

ជម្រើសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា និងទិន្នន័យដំបូង។

ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខណាមួយដូចជា 1,2,3,...,n,...- ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

បន្ថែមពីលើការវិវត្តនព្វន្ធ ក៏មានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រផងដែរ ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ និងលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន។

មនុស្សមួយចំនួនចាត់ទុកពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ដោយប្រយ័ត្នប្រយែង ជាពាក្យស្មុគស្មាញបំផុតពីផ្នែក គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង. ទន្ទឹមនឹងនេះការវិវត្តនព្វន្ធសាមញ្ញបំផុតគឺជាការងាររបស់ម៉ែត្រតាក់ស៊ី (កន្លែងដែលពួកគេនៅតែមាន) ។ ហើយ​ការ​យល់​ពី​ខ្លឹមសារ (ហើយ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​មិន​មាន​អ្វី​សំខាន់​ជាង “ការ​យល់​ពី​ខ្លឹមសារ”) នៃ​លំដាប់​នព្វន្ធ​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ ដោយ​បាន​វិភាគ​គោល​គំនិត​បឋម​មួយ​ចំនួន។

លំដាប់លេខគណិតវិទ្យា

លំដាប់លេខជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីលេខ ដែលនីមួយៗមានលេខរៀងៗខ្លួន។

a 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;

និង 2 គឺជាពាក្យទីពីរនៃលំដាប់;

និង 7 គឺជាសមាជិកទីប្រាំពីរនៃលំដាប់;

និង n គឺជាសមាជិកទី 9 នៃលំដាប់;

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនសំណុំលេខ និងលេខណាមួយដែលចាប់អារម្មណ៍យើងទេ។ យើងនឹងផ្តោតការយកចិត្តទុកដាក់របស់យើងលើលំដាប់លេខដែលតម្លៃនៃពាក្យទី 9 ទាក់ទងទៅនឹងលេខធម្មតារបស់វាដោយទំនាក់ទំនងដែលអាចបង្កើតបានយ៉ាងច្បាស់តាមគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត: តម្លៃលេខនៃលេខ n គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃ n ។

a គឺជាតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខមួយ;

n គឺជាលេខស៊េរីរបស់វា;

f(n) គឺជាអនុគមន៍មួយ ដែលលេខធម្មតានៅក្នុងលំដាប់លេខ n គឺជាអាគុយម៉ង់។

និយមន័យ

ការវិវត្តនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខដែលពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗធំជាង (តិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃលំដាប់នព្វន្ធមានដូចខាងក្រោម៖

a n - តម្លៃនៃសមាជិកបច្ចុប្បន្ននៃដំណើរការនព្វន្ធ;

a n+1 - រូបមន្តនៃចំនួនបន្ទាប់;

ឃ - ភាពខុសគ្នា (ចំនួនជាក់លាក់) ។

វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន (d>0) នោះសមាជិកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីដែលកំពុងពិចារណានឹងធំជាងលេខមុន ហើយការវិវត្តនព្វន្ធបែបនេះនឹងកើនឡើង។

នៅក្នុងក្រាហ្វខាងក្រោមវាងាយស្រួលក្នុងការមើលថាហេតុអ្វីបានជាលំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា "ការកើនឡើង"។

ក្នុងករណីដែលភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាន (ឃ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

តម្លៃសមាជិកដែលបានបញ្ជាក់

ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យបំពានណាមួយ a n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយការគណនាតាមលំដាប់លំដោយនៃតម្លៃនៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការនព្វន្ធដោយចាប់ផ្តើមពីទីមួយទៅមួយដែលអ្នកចង់បាន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផ្លូវនេះមិនតែងតែអាចទទួលយកបានទេ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យប្រាំពាន់ ឬប្រាំបីលាន។ ការគណនាបែបបុរាណនឹងចំណាយពេលច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការវិវត្តនព្វន្ធជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានសិក្សាដោយប្រើរូបមន្តជាក់លាក់។ វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ផងដែរ៖ តម្លៃនៃពាក្យណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធអាចត្រូវបានកំណត់ជាផលបូកនៃពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព គុណនឹងចំនួននៃពាក្យដែលចង់បាន កាត់បន្ថយដោយ មួយ។

រូបមន្តមានលក្ខណៈជាសកលសម្រាប់ការបង្កើន និងបន្ថយការវិវត្ត។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាតម្លៃនៃពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមនៃការស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

លក្ខខណ្ឌ៖ មានការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺ 3;

ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខគឺ 1.2 ។

កិច្ចការ៖ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ 214 លក្ខខណ្ឌ

ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងប្រើរូបមន្ត៖

a(n) = a1 + d(n-1)

ការជំនួសទិន្នន័យពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហាទៅក្នុងកន្សោម យើងមាន៖

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

ចំលើយ៖ ឃ្លាទី ២១៤ នៃលំដាប់គឺស្មើនឹង ២៥៨.៦។

គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនៃការគណនានេះគឺជាក់ស្តែង - ដំណោះស្រាយទាំងមូលចំណាយពេលមិនលើសពី 2 បន្ទាត់។

ផលបូកនៃចំនួនលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងស៊េរីនព្វន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃផ្នែកមួយចំនួនរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាក៏មិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃពាក្យនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមវាឡើង។ វិធីសាស្ត្រនេះអាចអនុវត្តបាន ប្រសិនបើចំនួនពាក្យដែលផលបូកត្រូវរកគឺតូច។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀតវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។

ផលបូកនៃពាក្យនៃដំណើរការនព្វន្ធពី 1 ដល់ n គឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យទីមួយ និង n គុណនឹងចំនួននៃពាក្យ n ហើយចែកនឹងពីរ។ ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្តតម្លៃនៃពាក្យទី 9 ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមពីកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖

ពាក្យដំបូងនៃលំដាប់គឺសូន្យ;

ភាពខុសគ្នាគឺ 0.5 ។

បញ្ហាតម្រូវឱ្យកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីពី 56 ដល់ 101 ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់កំណត់ចំនួននៃដំណើរការ៖

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ដំបូងយើងកំណត់ផលបូកនៃតម្លៃនៃ 101 លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃបញ្ហារបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

ជាក់ស្តែង ដើម្បីស្វែងយល់ពីផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពពីលេខ 56 ដល់ 101 វាចាំបាច់ត្រូវដក S 55 ចេញពី S 101 ។

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ដូច្នេះផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធសម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះគឺ៖

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃការវិវត្តនព្វន្ធ

នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍នៃលំដាប់នព្វន្ធដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ - taximeter (ម៉ែត្រឡានតាក់ស៊ី)។ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ។

ការឡើងជិះតាក់ស៊ី (ដែលរួមបញ្ចូលទាំងការធ្វើដំណើរ 3 គីឡូម៉ែត្រ) មានតម្លៃ 50 រូប្លិ៍។ គីឡូម៉ែត្របន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានបង់ក្នុងអត្រា 22 រូប្លិ / គីឡូម៉ែត្រ។ ចម្ងាយធ្វើដំណើរគឺ 30 គីឡូម៉ែត្រ។ គណនាតម្លៃនៃការធ្វើដំណើរ។

1. ចូរបោះបង់ចោល 3 គីឡូម៉ែត្រដំបូង តម្លៃដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការចំណាយលើការចុះចត។

30 - 3 = 27 គ។

2. ការគណនាបន្ថែមទៀតគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីការញែកស៊េរីលេខនព្វន្ធនោះទេ។

លេខសមាជិក - ចំនួនគីឡូម៉ែត្រដែលបានធ្វើដំណើរ (ដកបីដំបូង) ។

តម្លៃនៃសមាជិកគឺជាផលបូក។

ពាក្យដំបូងក្នុងបញ្ហានេះនឹងស្មើនឹង 1 = 50 rubles ។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ d = 22 r ។

លេខដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺជាតម្លៃនៃ (27+1) នៃដំណាក់កាលនព្វន្ធ - ការអានម៉ែត្រនៅចុងបញ្ចប់នៃគីឡូម៉ែត្រទី 27 គឺ 27.999... = 28 គីឡូម៉ែត្រ។

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 − 1) = 644

ការគណនាទិន្នន័យប្រតិទិនសម្រាប់រយៈពេលវែងតាមអំពើចិត្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីលំដាប់លេខជាក់លាក់។ នៅក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ ប្រវែងនៃគន្លងគឺតាមធរណីមាត្រអាស្រ័យលើចម្ងាយនៃរាងកាយសេឡេស្ទាលទៅផ្កាយ។ លើសពីនេះទៀត ស៊េរីលេខផ្សេងៗត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយជោគជ័យក្នុងស្ថិតិ និងផ្នែកអនុវត្តផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។

ប្រភេទមួយទៀតនៃលំដាប់លេខគឺធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរកាន់តែច្រើនបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងនយោបាយ សង្គមវិទ្យា និងវេជ្ជសាស្ត្រ ដើម្បីបង្ហាញពីល្បឿនខ្ពស់នៃការរីករាលដាលនៃបាតុភូតជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ ជំងឺអំឡុងពេលមានការរាតត្បាត ពួកគេនិយាយថាដំណើរការនេះវិវត្តនៅក្នុង វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ.

ពាក្យទី N នៃស៊េរីលេខធរណីមាត្រខុសពីលេខមុន ដែលវាត្រូវបានគុណដោយចំនួនថេរមួយចំនួន - ភាគបែង ឧទាហរណ៍ ពាក្យទីមួយគឺ 1 ភាគបែងត្រូវគ្នានឹង 2 បន្ទាប់មក៖

n=1:1 ∙ 2 = 2

n=2:2 ∙ 2 = 4

n=3:4 ∙ 2 = 8

n=4:8 ∙ 2 = 16

n=5:16 ∙ 2 = 32,

b n - តម្លៃនៃពាក្យបច្ចុប្បន្ននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ;

b n+1 - រូបមន្តនៃពាក្យបន្ទាប់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ;

q គឺជាភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ (ចំនួនថេរ)។

ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ នោះវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគូររូបភាពខុសគ្នាបន្តិច៖

ដូចនៅក្នុងករណីនព្វន្ធ ការវិវត្តធរណីមាត្រមានរូបមន្តសម្រាប់តម្លៃនៃពាក្យបំពាន។ ពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យទីមួយ ហើយភាគបែងនៃការវិវត្តទៅជាថាមពលនៃ n កាត់បន្ថយដោយមួយ:

ឧទាហរណ៍។ យើងមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 3 និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពស្មើនឹង 1.5 ។ ចូរយើងស្វែងរកពាក្យទី 5 នៃវឌ្ឍនភាព

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ផលបូកនៃចំនួនពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តពិសេសផងដែរ។ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលគុណនៃពាក្យទី 9 នៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា និងពាក្យទីមួយនៃវឌ្ឍនភាព ដែលបែងចែកដោយភាគបែងកាត់បន្ថយដោយមួយ:

ប្រសិនបើ b n ត្រូវបានជំនួសដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ តម្លៃនៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលកំពុងពិចារណានឹងមានទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍។ ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រចាប់ផ្តើមដោយពាក្យទីមួយស្មើនឹង 1. ភាគបែងត្រូវបានកំណត់ជា 3. ចូរយើងស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យប្រាំបីដំបូង។

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280