រូបមន្តត្រីកោណមាត្រពិសេស។ រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ

អត្ថបទពិពណ៌នាលម្អិតអំពីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន។ សមភាពទាំងនេះបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាង sin, cos, t g, c t g សម្រាប់ មុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ប្រសិនបើមុខងារមួយត្រូវបានគេដឹង មុខងារមួយទៀតអាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈវា។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ការពិចារណានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ ខាងក្រោម​នេះ​យើង​បង្ហាញ​ឧទាហរណ៍​មួយ​នៃ​ប្រភព​របស់​វា​ជាមួយ​នឹង​ការ​ពន្យល់។

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

ចូរនិយាយអំពីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រដ៏សំខាន់មួយ ដែលត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រ។

sin 2 α + cos 2 α = 1

សមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α ត្រូវបានចេញមកពីមេមួយដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ sin 2 α និង cos 2 α។ បន្ទាប់ពីនោះយើងទទួលបាន t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α និង t g α · c t g α = 1 - នេះគឺជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់។

សមភាព sin 2 α + cos 2 α = 1 គឺជាអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់។ ដើម្បីបញ្ជាក់វា អ្នកត្រូវងាកទៅប្រធានបទនៃរង្វង់ឯកតា។

សូមឱ្យកូអរដោនេនៃចំណុច A (1, 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលបន្ទាប់ពីការបង្វិលដោយមុំ α ក្លាយជាចំណុច A 1 ។ តាមនិយមន័យនៃ sin និង cos ចំនុច A 1 នឹងទទួលបានកូអរដោនេ (cos α, sin α) ។ ដោយសារ A 1 មានទីតាំងនៅក្នុងរង្វង់ឯកតា នេះមានន័យថា កូអរដោនេត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ x 2 + y 2 = 1 នៃរង្វង់នេះ។ កន្សោម cos 2 α + sin 2 α = 1 គួរតែត្រឹមត្រូវ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រសំខាន់សម្រាប់មុំបង្វិលទាំងអស់α។

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ កន្សោម sin 2 α + cos 2 α = 1 ត្រូវបានគេប្រើជាទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរក្នុងត្រីកោណមាត្រ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណាលើភស្តុតាងលម្អិត។

ដោយប្រើរង្វង់ឯកតាយើងបង្វិលចំណុច A ជាមួយកូអរដោនេ (1, 0) ជុំវិញចំណុចកណ្តាល O ដោយមុំα។ បន្ទាប់ពីការបង្វិលចំនុចផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេហើយក្លាយជាស្មើ A 1 (x, y) ។ យើងបន្ថយបន្ទាត់កាត់កែង A 1 H ទៅ O x ពីចំណុច A 1 ។

តួលេខបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាការបង្កើត ត្រីកោណកែង O A 1 N. ម៉ូឌុលនៃជើង O A 1 N និង O N គឺស្មើគ្នា ធាតុចូលនឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . អ៊ីប៉ូតេនុស O A 1 មានតម្លៃស្មើនឹងកាំនៃរង្វង់ឯកតា, | ឱ ក ១ | = ១. ដោយ​ប្រើ​កន្សោម​នេះ យើង​អាច​សរសេរ​សមភាព​បាន​ដោយ​ប្រើ​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គ័រ៖ | A 1 N | 2 + | O N | ២ = | ឱ ក ១ | ២. ចូរយើងសរសេរសមភាពនេះជា | y | 2 + | x | 2 = 1 2 មានន័យថា y 2 + x 2 = 1 ។

ដោយប្រើនិយមន័យនៃ sin α = y និង cos α = x យើងជំនួសទិន្នន័យមុំជំនួសឱ្យកូអរដោនេនៃចំនុចហើយបន្តទៅវិសមភាព sin 2 α + cos 2 α = 1 ។

ការតភ្ជាប់ជាមូលដ្ឋានរវាង sin និង cos នៃមុំគឺអាចធ្វើទៅបានតាមរយៈអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនេះ។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាអំពើបាបនៃមុំជាមួយនឹង cos ដែលគេស្គាល់ និងច្រាសមកវិញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយ sin 2 α + cos 2 = 1 ទាក់ទងនឹង sin និង cos បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកន្សោមនៃទម្រង់ sin α = ± 1 - cos 2 α និង cos α = ± 1 - sin 2 α រៀងៗខ្លួន។ ទំហំនៃមុំ α កំណត់សញ្ញានៅពីមុខឫសនៃកន្សោម។ សម្រាប់ការពន្យល់លម្អិត អ្នកត្រូវអានផ្នែកស្តីពីការគណនាស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ រូបមន្តមូលដ្ឋានត្រូវបានប្រើដើម្បីបំប្លែង ឬសម្រួលកន្សោមត្រីកោណមាត្រ។ គេអាចជំនួសផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដោយ 1 ។ ការជំនួសអត្តសញ្ញាណអាចជាដោយផ្ទាល់ឬ លំដាប់បញ្ច្រាស៖ ឯកតាត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមនៃផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

តង់សង់ និងកូតង់សង់តាមរយៈស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

ពីនិយមន័យនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់ វាច្បាស់ណាស់ថាពួកវាមានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបំប្លែងបរិមាណចាំបាច់ដោយឡែកពីគ្នា។

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

ពីនិយមន័យ ស៊ីនុសគឺជា កំណត់នៃ y ហើយកូស៊ីនុស គឺជា abscissa នៃ x ។ Tangent គឺជាទំនាក់ទំនងរវាង ordinate និង abscissa ។ ដូច្នេះយើងមាន៖

t g α = y x = sin α cos α ហើយកន្សោមកូតង់សង់មានអត្ថន័យផ្ទុយ នោះគឺ

c t g α = x y = cos α sin α ។

វាដូចខាងក្រោមដែលអត្តសញ្ញាណលទ្ធផល t g α = sin α cos α និង c t g α = cos α sin α ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើមុំ sin និង cos ។ តង់សង់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសទៅនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា ហើយកូតង់សង់គឺផ្ទុយគ្នា។

ចំណាំថា t g α = sin α cos α និង c t g α = cos α sin α គឺពិតសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃមុំ α ដែលជាតម្លៃដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងជួរ។ ពីរូបមន្ត t g α = sin α cos α តម្លៃមុំ α ខុសពី π 2 + π · z ហើយ c t g α = cos α sin α យកតម្លៃមុំ α ខុសពី π · z, z យក តម្លៃនៃចំនួនគត់ណាមួយ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់

មានរូបមន្តដែលបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមុំតាមរយៈតង់សង់ និងកូតង់សង់។ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងត្រីកោណមាត្រ ហើយត្រូវបានតំណាងថាជា t g α · c t g α = 1 ។ វាសមហេតុផលសម្រាប់ α ជាមួយនឹងតម្លៃណាមួយក្រៅពី π 2 · z បើមិនដូច្នោះទេ មុខងារនឹងមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

រូបមន្ត t g α · c t g α = 1 មានលក្ខណៈពិសេសរបស់វានៅក្នុងភស្តុតាង។ តាមនិយមន័យយើងមានថា t g α = y x និង c t g α = x y ដូច្នេះហើយយើងទទួលបាន t g α · c t g α = y x · x y = 1 ។ បំប្លែងកន្សោម និងជំនួស t g α = sin α cos α និង c t g α = cos α sin α យើងទទួលបាន t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 ។

បន្ទាប់មក កន្សោមតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់មានអត្ថន័យនៃពេលដែលយើងទទួលបានលេខបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

តង់សង់ និងកូស៊ីនុស កូតង់សង់ និងស៊ីនុស

ដោយបានបំប្លែងអត្តសញ្ញាណសំខាន់ៗ យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាតង់សង់គឺទាក់ទងតាមរយៈកូស៊ីនុស និងកូតង់សង់តាមរយៈស៊ីនុស។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរូបមន្ត t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α។

និយមន័យមានដូចខាងក្រោម៖ ផលបូកនៃការ៉េនៃតង់សង់នៃមុំមួយ និង 1 គឺស្មើនឹងប្រភាគ ដែលនៅក្នុងភាគយកយើងមាន 1 ហើយនៅក្នុងភាគបែងការ៉េនៃកូស៊ីនុសនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងផលបូក នៃការ៉េនៃកូតង់សង់នៃមុំគឺផ្ទុយ។ សូមអរគុណចំពោះអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ sin 2 α + cos 2 α = 1 យើងអាចបែងចែកភាគីដែលត្រូវគ្នាដោយ cos 2 α និងទទួលបាន t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α ដែលតម្លៃនៃ cos 2 α មិនគួរស្មើនឹង សូន្យ នៅពេលបែងចែកដោយ sin 2 α យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α ដែលតម្លៃនៃ sin 2 α មិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។

ពីកន្សោមខាងលើយើងបានរកឃើញថាអត្តសញ្ញាណ t g 2 α + 1 = 1 cos 2 αគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃមុំ α មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ π 2 + π · z និង 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α សម្រាប់តម្លៃនៃ α មិនមែនជារបស់ចន្លោះពេល π · z ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អ្នកអាចបញ្ជាទិញ ដំណោះស្រាយលម្អិតភារកិច្ចរបស់អ្នក !!!

សមភាពដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (`sin x, cos x, tan x` ឬ `ctg x`) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រ ហើយវាគឺជារូបមន្តរបស់ពួកគេដែលយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀត។

សមីការសាមញ្ញបំផុតគឺ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` ដែល `x` ជាមុំដែលត្រូវរក `a` គឺជាលេខណាមួយ។ ចូរយើងសរសេររូបមន្តឫសសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ។

1. សមីការ `sin x=a` ។

សម្រាប់ `|a|>1` វាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ពេល `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. សមីការ `cos x = a`

សម្រាប់ `|a|>1` - ដូចក្នុងករណីស៊ីនុស ដំណោះស្រាយក្នុងចំណោម ចំនួនពិតមិន​មាន។

ពេល `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ករណីពិសេសសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងក្រាហ្វ។

3. សមីការ `tg x=a`

មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. សមីការ `ctg x=a`

ក៏​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​ដំណោះ​ស្រាយ​សម្រាប់​តម្លៃ​ណាមួយ​នៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រក្នុងតារាង

សម្រាប់ស៊ីនុស៖
សម្រាប់កូស៊ីនុស៖
សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានលេខបញ្ច្រាស អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ:

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយមានពីរដំណាក់កាល៖

• ដោយមានជំនួយពីការបំលែងវាទៅជាសាមញ្ញបំផុត;
• ដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញបំផុតដែលទទួលបានដោយប្រើរូបមន្តឫស និងតារាងដែលបានសរសេរខាងលើ។

សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយចម្បងដោយប្រើឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្ត្រពិជគណិត។

វិធីសាស្រ្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការជំនួសអថេរមួយ និងជំនួសវាទៅជាសមភាព។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ធ្វើការជំនួស៖ `cos(x+\frac \pi 6)=y` បន្ទាប់មក `2y^2-3y+1=0`,

យើងរកឃើញឫស៖ `y_1=1, y_2=1/2` ដែលករណីពីរដូចខាងក្រោម៖

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n` ។

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n` ។

ការបំបែកឯកតា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `sin x + cos x = 1` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង៖ `sin x+cos x-1=0`។ ដោយប្រើ យើងបំប្លែង និងកំណត់ផ្នែកខាងឆ្វេង៖

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n` ។
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`។

ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

ដំបូងអ្នកត្រូវកាត់បន្ថយសមីការត្រីកោណមាត្រនេះទៅជាទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ពីរ៖

`a sin x+b cos x=0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ) ឬ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ)។

បន្ទាប់មកចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `cos x \ne 0` - សម្រាប់ករណីទីមួយ និងដោយ `cos^2 x \ne 0` - សម្រាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ `tg x`: `a tg x+b=0` និង `a tg^2 x + b tg x +c =0` ដែលចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរផ្នែកខាងស្តាំជា `1=sin^2 x+cos^2 x`៖

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0` ។

នេះគឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ យើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយ `cos^2 x \ne 0` យើងទទួលបាន៖

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0` ។ សូមណែនាំការជំនួស `tg x=t` លទ្ធផលជា `t^2 + t - 2=0` ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ `t_1=-2` និង `t_2=1` ។ បន្ទាប់មក៖

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ផ្លាស់ទីទៅពាក់កណ្តាលមុំ

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `11 sin x − 2 cos x = 10` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេ ជាលទ្ធផល៖ `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

អនុវត្តវិធីសាស្ត្រពិជគណិតដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ យើងទទួលបាន៖

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

សេចក្តីផ្តើមនៃមុំជំនួយ

នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ `a sin x + b cos x = c` ដែល a, b, c ជាមេគុណ និង x ជាអថេរ បែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ `sqrt (a^2+b^2)`៖

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`។

មេគុណ​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​មាន​លក្ខណៈ​នៃ​ស៊ីនុស និង​កូស៊ីនុស ពោល​គឺ​ផល​បូក​នៃ​ការ​ការ៉េ​របស់​វា​ស្មើ​នឹង 1 ហើយ​ម៉ូឌុល​របស់​វា​មិន​ធំ​ជាង 1។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ពួក​វា​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) = sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` បន្ទាប់មក៖

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x = C` ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `3 sin x + 4 cos x = 2` ។

ដំណោះស្រាយ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយ `sqrt (3^2+4^2)` ​​យើងទទួលបាន៖

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=``\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`។

ចូរយើងសម្គាល់ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ។ ចាប់តាំងពី `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` បន្ទាប់មកយើងយក `\varphi=arcsin 4/5` ជាមុំជំនួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់៖

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ដោយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំសម្រាប់ស៊ីនុស យើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

សមីការត្រីកោណមាត្រប្រភាគ

ទាំងនេះគឺជាសមភាពជាមួយប្រភាគដែលភាគយក និងភាគបែងមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`។

ដំណោះស្រាយ។ គុណ និងចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពដោយ `(1+cos x)`។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ដោយពិចារណាថាភាគបែងមិនអាចស្មើនឹងសូន្យ យើងទទួលបាន `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ។

ចូរ​គណនា​ភាគយក​នៃ​ប្រភាគ​ទៅ​សូន្យ៖ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`។ បន្ទាប់មក `sin x=0` ឬ `1-sin x=0`។

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z` ។

ដោយមើលឃើញថា `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ដំណោះស្រាយគឺ `x=2\pi n, n \in Z` និង `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ ក្នុង Z` ។

ចម្លើយ។ `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z` ។

ត្រីកោណមាត្រ និងសមីការត្រីកោណមាត្រ ជាពិសេសគឺត្រូវបានប្រើប្រាស់ស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃធរណីមាត្រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ ការ​សិក្សា​ចាប់​ផ្ដើម​នៅ​ថ្នាក់​ទី​១០ តែង​តែ​មាន​ភារកិច្ច​សម្រាប់​ការ​ប្រឡង​បង្រួប​បង្រួម​រដ្ឋ ដូច្នេះ​ព្យាយាម​ចាំ​រូបមន្ត​ទាំង​អស់ សមីការត្រីកោណមាត្រ- ពួកគេប្រាកដជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក!

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកមិនចាំបាច់ទន្ទេញវានោះទេ រឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ពីខ្លឹមសារ និងអាចទាញយកវាបាន។ វាមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។ មើលដោយខ្លួនឯងដោយមើលវីដេអូ។

នៅសតវត្សរ៍ទីប្រាំមុនគ្រឹស្តសករាជ ទស្សនវិទូក្រិកបុរាណ Zeno of Elea បានបង្កើត aporias ដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ ដែលល្បីល្បាញបំផុតនោះគឺ "Achilles and the Tortoise" aporia ។ នេះជាអ្វីដែលវាស្តាប់ទៅដូចជា៖

ឧបមាថា Achilles រត់លឿនជាងសត្វអណ្តើកដប់ដង ហើយនៅខាងក្រោយវាមួយពាន់ជំហាន។ ក្នុងអំឡុងពេលដែលវាត្រូវការ Achilles ដើម្បីរត់ចម្ងាយនេះ អណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ នៅពេលដែល Achilles រត់មួយរយជំហាន អណ្តើកវារដប់ជំហានទៀត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនេះនឹងបន្តផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់ Achilles នឹងមិនតាមទាន់សត្វអណ្តើកទេ។

ហេតុផលនេះបានក្លាយជាការតក់ស្លុតឡូជីខលសម្រាប់មនុស្សជំនាន់ក្រោយៗទាំងអស់។ Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... ពួកគេទាំងអស់បានចាត់ទុក aporia របស់ Zeno តាមរបៀបមួយឬផ្សេងទៀត។ ការ​តក់​ស្លុត​ខ្លាំង​ណាស់​»។ ... ការពិភាក្សាបន្តរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ សហគមន៍វិទ្យាសាស្ត្រមិនទាន់អាចយល់បានអំពីខ្លឹមសារនៃពាក្យប្រៀបធៀប ... ការវិភាគគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីកំណត់ វិធីសាស្រ្តរូបវន្ត និងទស្សនវិជ្ជាថ្មីត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហានេះ។ ; គ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេក្លាយជាដំណោះស្រាយដែលទទួលយកជាទូទៅចំពោះបញ្ហា..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia" មនុស្សគ្រប់គ្នាយល់ថាពួកគេកំពុងត្រូវបានបោកបញ្ឆោត ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់យល់ពីអ្វីដែលការបោកបញ្ឆោតនោះទេ។

តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា Zeno នៅក្នុង aporia របស់គាត់បានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីបរិមាណទៅ . ការផ្លាស់ប្តូរនេះបង្កប់ន័យកម្មវិធីជំនួសឱ្យអចិន្ត្រៃយ៍។ តាមដែលខ្ញុំយល់ ឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសម្រាប់ប្រើឯកតាអថេរនៃការវាស់វែងមិនទាន់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ឬវាមិនត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ aporia របស់ Zeno ទេ។ ការអនុវត្តតក្កវិជ្ជាធម្មតារបស់យើងនាំយើងចូលទៅក្នុងអន្ទាក់។ យើង ដោយសារនិចលភាពនៃការគិត អនុវត្តឯកតាថេរនៃពេលវេលាទៅនឹងតម្លៃទៅវិញទៅមក។ តាមទស្សនៈរូបវន្ត វាហាក់បីដូចជាពេលវេលាថយចុះរហូតដល់វាឈប់ទាំងស្រុងនៅពេល Achilles ចាប់អណ្តើក។ ប្រសិនបើពេលវេលាឈប់ នោះ Achilles មិនអាចលើសពីអណ្តើកទៀតទេ។

ប្រសិនបើ​យើង​បង្វែរ​តក្កវិជ្ជា​ធម្មតា​របស់​យើង​មក​វិញ នោះ​អ្វីៗ​នឹង​ចូល​មក​ក្នុង​កន្លែង។ Achilles រត់ក្នុងល្បឿនថេរ។ ផ្នែកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃផ្លូវរបស់គាត់គឺខ្លីជាងផ្នែកមុនដប់ដង។ ដូច្នោះហើយ ពេលវេលាដែលចំណាយលើការយកឈ្នះវាគឺតិចជាងដប់ដង។ ប្រសិនបើយើងអនុវត្តគោលគំនិតនៃ "ភាពមិនចេះរីងស្ងួត" នៅក្នុងស្ថានភាពនេះ នោះវានឹងជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការនិយាយថា "Achilles នឹងចាប់បានអណ្តើកយ៉ាងលឿនឥតកំណត់"។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជៀសវាងអន្ទាក់ឡូជីខលនេះ? រក្សានៅក្នុងឯកតានៃពេលវេលាហើយកុំលោតទៅ ទៅវិញទៅមក. នៅក្នុងភាសារបស់ Zeno វាមើលទៅដូចនេះ:

នៅពេលដែលវាត្រូវ Achilles រត់មួយពាន់ជំហាន អណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហានក្នុងទិសដៅដូចគ្នា។ ក្នុងចន្លោះពេលបន្ទាប់ដែលស្មើនឹងលើកទីមួយ Achilles នឹងរត់មួយពាន់ជំហានទៀត ហើយអណ្តើកនឹងវារមួយរយជំហាន។ ឥឡូវនេះ Achilles គឺប្រាំបីរយជំហាននៅពីមុខអណ្តើក។

វិធីសាស្រ្តនេះពិពណ៌នាឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់នូវការពិតដោយគ្មានភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខល។ ប៉ុន្តែវាមិនមែនទេ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញបញ្ហា។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Einstein អំពីភាពមិនអាចទ្រាំទ្របាននៃល្បឿននៃពន្លឺគឺស្រដៀងទៅនឹង aporia របស់ Zeno "Achilles and the Tortoise" ។ យើងនៅតែត្រូវសិក្សា គិតឡើងវិញ និងដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ហើយដំណោះស្រាយត្រូវតែស្វែងរកមិនមែនក្នុងចំនួនច្រើនគ្មានកំណត់ទេ ប៉ុន្តែជាឯកតារង្វាស់។

aporia គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀតនៃ Zeno ប្រាប់អំពីព្រួញហោះ:

ព្រួញហោះគឺគ្មានចលនាទេ ព្រោះរាល់ពេលដែលវាសម្រាក ហើយដោយសារវាសម្រាកគ្រប់ពេល វាតែងតែសម្រាក។

នៅក្នុង aporia នេះ ភាពផ្ទុយគ្នានៃឡូជីខលត្រូវបានយកឈ្នះយ៉ាងសាមញ្ញ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថារាល់ពេលដែលព្រួញហោះបានសម្រាកនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហដែលតាមពិតគឺជាចលនា។ ចំណុចមួយទៀតត្រូវកត់សម្គាល់នៅទីនេះ។ ពីរូបថតមួយសន្លឹកនៃឡាននៅលើផ្លូវ វាមិនអាចកំណត់ពីការពិតនៃចលនារបស់វា ឬចម្ងាយទៅវាបានទេ។ ដើម្បី​កំណត់​ថា​តើ​រថយន្ត​កំពុង​ផ្លាស់ទី​ឬ​អត់ អ្នកត្រូវការ​រូបថត​ពីរ​សន្លឹក​ថត​ពី​ចំណុច​ដូចគ្នា​នៅ​ចំណុច​ខុស​គ្នា​ក្នុង​ពេល​វេលា ប៉ុន្តែ​អ្នក​មិន​អាច​កំណត់​ចម្ងាយ​ពី​វា​បាន​ទេ។ ដើម្បីកំណត់ចម្ងាយទៅឡាន អ្នកត្រូវការរូបថតពីរសន្លឹកដែលថតពីចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហ ក្នុងពេលតែមួយ ប៉ុន្តែពីពួកវាអ្នកមិនអាចកំណត់ការពិតនៃចលនាបានទេ (ជាការពិតណាស់ អ្នកនៅតែត្រូវការទិន្នន័យបន្ថែមសម្រាប់ការគណនា ត្រីកោណមាត្រនឹងជួយអ្នក ) អ្វីដែលខ្ញុំចង់ចង្អុលបង្ហាញ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសគឺថា ចំណុចពីរនៅក្នុងពេលវេលា និងពីរចំណុចនៅក្នុងលំហ គឺជារឿងផ្សេងគ្នា ដែលមិនគួរច្រឡំនោះទេ ព្រោះវាផ្តល់ឱកាសខុសៗគ្នាសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ។

ថ្ងៃពុធ ទី៤ ខែកក្កដា ឆ្នាំ២០១៨

ភាពខុសគ្នារវាង set និង multiset ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អនៅលើ Wikipedia ។ សូម​មើល។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ "មិនអាចមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទពីរនៅក្នុងសំណុំមួយ" ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទនៅក្នុងសំណុំនោះ សំណុំបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា "ពហុសិត" ។ មនុស្សសមហេតុសមផលនឹងមិនយល់ពីតក្កវិជ្ជាមិនសមហេតុផលបែបនេះទេ។ នេះ​ជា​កម្រិត​នៃ​សត្វ​សេក​ដែល​ចេះ​និយាយ និង​ស្វា​ដែល​ត្រូវ​បាន​បង្ហាត់​បង្រៀន ដែល​គ្មាន​បញ្ញា​ពី​ពាក្យ «​ទាំងស្រុង»។ គណិតវិទូដើរតួជាអ្នកបង្ហាត់ធម្មតា ដោយអធិប្បាយដល់យើងនូវគំនិតមិនសមហេតុផលរបស់ពួកគេ។

មានពេលមួយ វិស្វករដែលសាងសង់ស្ពាននោះ បានជិះទូកនៅក្រោមស្ពាន ខណៈពេលកំពុងធ្វើតេស្តស្ពាន។ ប្រសិនបើស្ពានដួលរលំ វិស្វករមធ្យមបានស្លាប់នៅក្រោមគំនរបាក់បែកនៃការបង្កើតរបស់គាត់។ ប្រសិនបើស្ពានអាចទប់ទល់នឹងបន្ទុកបាន វិស្វករដែលមានទេពកោសល្យបានសាងសង់ស្ពានផ្សេងទៀត។

មិនថាគណិតវិទូលាក់ខ្លួននៅពីក្រោយឃ្លាថា "ចាំខ្ញុំ ខ្ញុំនៅផ្ទះ" ឬផ្ទុយទៅវិញ "គណិតវិទ្យាសិក្សាគំនិតអរូបី" វាមានទងផ្ចិតមួយដែលភ្ជាប់ពួកវាជាមួយការពិត។ ទងផ្ចិតនេះគឺជាប្រាក់។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្ដីសំណុំគណិតវិទ្យាចំពោះគណិតវិទូខ្លួនឯង។

យើង​បាន​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​បាន​យ៉ាង​ល្អ ហើយ​ឥឡូវ​យើង​កំពុង​អង្គុយ​នៅ​បញ្ជី​ប្រាក់​ដោយ​ផ្តល់​ប្រាក់​ខែ។ ដូច្នេះ​គណិត​វិទូ​មក​រក​យើង​ដើម្បី​លុយ​គាត់។ យើងរាប់ចំនួនសរុបទៅគាត់ ហើយដាក់វានៅលើតុរបស់យើងក្នុងគំនរផ្សេងៗគ្នា ដែលក្នុងនោះយើងដាក់វិក័យប័ត្រនៃនិកាយដូចគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងយកវិក្កយបត្រមួយពីគំនរនីមួយៗ ហើយផ្តល់ឱ្យគណិតវិទូនូវ "ប្រាក់ខែគណិតវិទ្យា" របស់គាត់។ ចូរយើងពន្យល់ទៅគណិតវិទូថា គាត់នឹងទទួលបានវិក្កយបត្រដែលនៅសល់ លុះត្រាតែគាត់បង្ហាញថា សំណុំដែលគ្មានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ មិនស្មើនឹងសំណុំដែលមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទ។ នេះជាកន្លែងដែលការសប្បាយចាប់ផ្តើម។

ជាដំបូង តក្កវិជ្ជារបស់តំណាងរាស្រ្តនឹងដំណើរការ៖ "នេះអាចអនុវត្តចំពោះអ្នកដទៃ ប៉ុន្តែមិនមែនចំពោះខ្ញុំទេ!" បន្ទាប់មកពួកគេនឹងចាប់ផ្តើមធានាយើងឡើងវិញថាវិក្កយបត្រនៃនិកាយដូចគ្នាមានលេខវិក្កយបត្រផ្សេងៗគ្នា ដែលមានន័យថាពួកគេមិនអាចចាត់ទុកថាជាធាតុដូចគ្នាបានទេ។ មិនអីទេ តោះរាប់ប្រាក់ខែជាកាក់ - មិនមានលេខនៅលើកាក់ទេ។ នៅទីនេះ គណិតវិទូនឹងចាប់ផ្តើមចងចាំរូបវិទ្យាយ៉ាងក្លៀវក្លា៖ នៅលើកាក់ផ្សេងៗមាន បរិមាណផ្សេងគ្នាភាពកខ្វក់ រចនាសម្ព័ន្ធគ្រីស្តាល់ និងការរៀបចំអាតូមិកនៃកាក់នីមួយៗមានតែមួយគត់...

ហើយឥឡូវនេះខ្ញុំមានសំណួរដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត: តើខ្សែលើសពីណាដែលធាតុនៃសំណុំច្រើនប្រែទៅជាធាតុនៃសំណុំមួយហើយច្រាសមកវិញ? បន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចដោយ shamans វិទ្យាសាស្ត្រមិនជិតនឹងនិយាយកុហកនៅទីនេះទេ។

មើល​នេះ។ យើងជ្រើសរើសកីឡដ្ឋានបាល់ទាត់ដែលមានផ្ទៃដីដូចគ្នា។ តំបន់នៃវាលគឺដូចគ្នា - ដែលមានន័យថាយើងមានសំណុំច្រើន។ ប៉ុន្តែ​បើ​យើង​ក្រឡេក​មើល​ឈ្មោះ​កីឡដ្ឋាន​ដូច​គ្នា​នេះ​យើង​ទទួល​បាន​ច្រើន​ព្រោះ​ឈ្មោះ​ខុស​គ្នា។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសំណុំនៃធាតុដូចគ្នាគឺទាំងសំណុំនិងសំណុំច្រើន។ តើមួយណាត្រឹមត្រូវ? ហើយនៅទីនេះ គណិតវិទូ-shaman-sharpist ទាញសន្លឹកអាត់ចេញពីដៃអាវរបស់គាត់ ហើយចាប់ផ្តើមប្រាប់យើងអំពីឈុតមួយ ឬច្រើនឈុត។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយគាត់នឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងថាគាត់និយាយត្រូវ។

ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែល shamans សម័យទំនើបដំណើរការជាមួយនឹងទ្រឹស្តីសំណុំដោយចងវាទៅនឹងការពិតវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរមួយ: តើធាតុនៃសំណុំមួយខុសគ្នាពីធាតុនៃសំណុំមួយផ្សេងទៀតយ៉ាងដូចម្តេច? ខ្ញុំ​នឹង​បង្ហាញ​អ្នក​ដោយ​មិន​មាន "អាច​យល់​បាន​ថា​មិន​មែន​ជា​ការ​ទាំងមូល" ឬ "មិន​អាច​យល់​បាន​ដូច​ជា​ទាំងមូល" ។

ថ្ងៃអាទិត្យ ទី១៨ ខែមីនា ឆ្នាំ២០១៨

ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខគឺជាការរាំរបស់ shamans ជាមួយនឹង tambourine ដែលមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យា។ មែនហើយ នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា យើងត្រូវបានបង្រៀនឱ្យស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនមួយ ហើយប្រើវា ប៉ុន្តែនោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជា shamans ដើម្បីបង្រៀនកូនចៅរបស់ពួកគេនូវជំនាញ និងប្រាជ្ញារបស់ពួកគេ បើមិនដូច្នេះទេ shamans នឹងស្លាប់។

តើអ្នកត្រូវការភស្តុតាងទេ? បើកវិគីភីឌា ហើយព្យាយាមស្វែងរកទំព័រ "ផលបូកនៃលេខមួយ"។ នាងមិនមានទេ។ មិនមានរូបមន្តនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលអាចប្រើដើម្បីរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនណាមួយនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ លេខគឺជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកដែលយើងសរសេរលេខ ហើយនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា កិច្ចការនេះស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "រកផលបូកនៃនិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកដែលតំណាងឱ្យលេខណាមួយ។" គណិតវិទូមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហានេះបានទេ ប៉ុន្តែ shamans អាចធ្វើវាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើយើងធ្វើអ្វី និងរបៀបដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះហើយ សូមឲ្យយើងមានលេខ 12345។ តើត្រូវធ្វើអ្វីដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខនេះ? ចូរយើងពិចារណាជំហានទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ។

1. សរសេរលេខនៅលើក្រដាសមួយ។ តើយើងបានធ្វើអ្វី? យើងបានបំប្លែងលេខទៅជានិមិត្តសញ្ញាលេខក្រាហ្វិក។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

2. យើងកាត់រូបភាពលទ្ធផលមួយទៅជារូបភាពជាច្រើនដែលមានលេខរៀងៗខ្លួន។ ការកាត់រូបភាពមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

3. បំប្លែងនិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកនីមួយៗទៅជាលេខ។ នេះមិនមែនជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាទេ។

4. បន្ថែមលេខលទ្ធផល។ ឥឡូវនេះនេះគឺជាគណិតវិទ្យា។

ផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខ 12345 គឺ 15 ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ។

តាម​ទស្សនៈ​គណិត​វិទ្យា វា​មិន​សំខាន់​ទេ​ថា​យើង​សរសេរ​លេខ​ប្រព័ន្ធ​មួយ​ណា​។ ដូច្នេះនៅក្នុង ប្រព័ន្ធផ្សេងគ្នានៅក្នុងការគណនាផលបូកនៃខ្ទង់នៃចំនួនដូចគ្នានឹងខុសគ្នា។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រព័ន្ធលេខត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរតូចនៅខាងស្តាំនៃលេខ។ ជាមួយ មួយចំនួនធំ 12345 ខ្ញុំ​មិន​ចង់​បោក​ក្បាល​ខ្ញុំ​ទេ សូម​មើល​លេខ ២៦ ពី​អត្ថបទ​អំពី។ ចូរយើងសរសេរលេខនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខគោលពីរ គោលដប់ប្រាំបី ទសភាគ និងគោលដប់ប្រាំមួយ។ យើងនឹងមិនមើលគ្រប់ជំហាននៅក្រោមមីក្រូទស្សន៍ទេ យើងបានធ្វើរួចហើយ។ តោះមើលលទ្ធផល។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខផ្សេងគ្នាផលបូកនៃខ្ទង់នៃលេខដូចគ្នាគឺខុសគ្នា។ លទ្ធផលនេះមិនទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យាទេ។ វាដូចគ្នានឹងប្រសិនបើអ្នកកំណត់ផ្ទៃដីនៃចតុកោណជាម៉ែត្រ និងសង់ទីម៉ែត្រ នោះអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលខុសគ្នាទាំងស្រុង។

សូន្យមើលទៅដូចគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទាំងអស់ ហើយមិនមានផលបូកនៃខ្ទង់ទេ។ នេះគឺជាអំណះអំណាងមួយផ្សេងទៀតនៅក្នុងការពេញចិត្តនៃការពិតដែលថា។ សំណួរ​សម្រាប់​គណិត​វិទ្យា៖ តើ​អ្វី​ដែល​មិន​មែន​ជា​លេខ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ដោយ​របៀប​ណា? ចុះសម្រាប់គណិតវិទូវិញ គ្មានអ្វីក្រៅពីលេខទេ? ខ្ញុំអាចអនុញ្ញាតឱ្យវាសម្រាប់ shamans ប៉ុន្តែមិនមែនសម្រាប់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទេ។ ការពិតមិនមែនគ្រាន់តែជាលេខទេ។

លទ្ធផលដែលទទួលបានគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាភស្តុតាងដែលថាប្រព័ន្ធលេខគឺជាឯកតានៃការវាស់វែងសម្រាប់លេខ។ យ៉ាងណាមិញ យើងមិនអាចប្រៀបធៀបលេខជាមួយនឹងឯកតារង្វាស់ផ្សេងគ្នាបានទេ។ ប្រសិនបើសកម្មភាពដូចគ្នាជាមួយនឹងឯកតាផ្សេងគ្នានៃការវាស់វែងនៃបរិមាណដូចគ្នានាំឱ្យមាន លទ្ធផលផ្សេងគ្នាបន្ទាប់​ពី​ការ​ប្រៀបធៀប​វា​មាន​ន័យ​ថា វា​មិន​មាន​អ្វី​ទាក់ទង​នឹង​គណិតវិទ្យា​ទេ។

តើគណិតវិទ្យាពិតគឺជាអ្វី? នេះគឺជាពេលដែលលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាមិនអាស្រ័យលើទំហំនៃចំនួន ឯកតារង្វាស់ដែលបានប្រើ និងលើអ្នកដែលអនុវត្តសកម្មភាពនេះ។

ចុះហត្ថលេខាលើទ្វារ គាត់បើកទ្វារហើយនិយាយថា៖

អូ! តើនេះមិនមែនជាបន្ទប់ទឹករបស់ស្ត្រីទេឬ?
- នារី​វ័យក្មេង! នេះជាមន្ទីរពិសោធន៍សម្រាប់សិក្សាអំពីភាពបរិសុទ្ធនៃព្រលឹងក្នុងអំឡុងពេលឡើងទៅកាន់ឋានសួគ៌! Halo នៅលើកំពូលហើយព្រួញឡើងលើ។ តើបង្គន់អ្វីទៀត?

ស្រី... សសរពីលើ និងព្រួញចុះក្រោម ជាប្រុស។

ប្រសិន​បើ​ការងារ​សិល្បៈ​រចនា​បែប​នេះ​លេច​មុខ​អ្នក​ច្រើន​ដង​ក្នុង​មួយ​ថ្ងៃ។

បន្ទាប់មកវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលអ្នកស្រាប់តែឃើញរូបតំណាងចម្លែកនៅក្នុងឡានរបស់អ្នក៖

ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំខិតខំប្រឹងប្រែងដើម្បីមើលសញ្ញាដក 4 ដឺក្រេនៅក្នុងមនុស្សដែលមានលាមក (រូបភាពមួយ) (សមាសភាពនៃរូបភាពជាច្រើន: សញ្ញាដកលេខ 4 ការកំណត់ដឺក្រេ) ។ ហើយ​ខ្ញុំ​មិន​គិត​ថា​នារី​ម្នាក់​នេះ​ជា​មនុស្ស​ល្ងង់​ដែល​មិន​ចេះ​រូបវិទ្យា​នោះ​ទេ។ នាង​គ្រាន់​តែ​មាន​ភាព​រឹង​មាំ​នៃ​ការ​យល់​ឃើញ​រូបភាព​ក្រាហ្វិក។ ហើយគណិតវិទូបង្រៀនយើងគ្រប់ពេល។ នេះជាឧទាហរណ៍មួយ។

1A មិនមែនជា "ដកបួនដឺក្រេ" ឬ "មួយ a" ទេ។ នេះគឺជា "មនុស្សល្មោភកាម" ឬលេខ "ម្ភៃប្រាំមួយ" នៅក្នុងសញ្ញាគោលដប់ប្រាំមួយ។ មនុស្សទាំងនោះដែលធ្វើការឥតឈប់ឈរនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខនេះ ដឹងដោយស្វ័យប្រវត្តិនូវលេខ និងអក្សរជានិមិត្តសញ្ញាក្រាហ្វិកតែមួយ។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ- ទាំងនេះគឺជាសមភាពដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកមុខងារទាំងនេះ ដោយផ្តល់ថា ណាមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះនិយាយថាផលបូកនៃការ៉េនៃស៊ីនុសនៃមុំមួយ និងការ៉េនៃកូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺស្មើនឹងមួយ ដែលក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងធ្វើឱ្យវាអាចគណនាស៊ីនុសនៃមុំមួយនៅពេលដែលកូស៊ីនុសរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ និងច្រាសមកវិញ។ .

នៅពេលបំប្លែងកន្សោមត្រីកោណមាត្រ អត្តសញ្ញាណនេះត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកជំនួសផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃមុំមួយជាមួយមួយ ហើយអនុវត្តប្រតិបត្តិការជំនួសក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសផងដែរ។

ស្វែងរកតង់សង់ និងកូតង់សង់ដោយប្រើស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

អត្តសញ្ញាណទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងពីនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលវា នោះតាមនិយមន័យ កំណត់ y គឺជាស៊ីនុស ហើយ abscissa x គឺជាកូស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកតង់សង់នឹងស្មើនឹងសមាមាត្រ \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), និងសមាមាត្រ \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- នឹងក្លាយជាកូតង់សង់។

ចូរយើងបន្ថែមថាសម្រាប់តែមុំ \alpha ដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលរួមបញ្ចូលក្នុងពួកវាសមហេតុផល អត្តសញ្ញាណនឹងកាន់។ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ឧទាហរណ៍: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)មានសុពលភាពសម្រាប់មុំ \ អាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2)+\pi z, ក ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- សម្រាប់មុំ \ អាល់ហ្វា ក្រៅពី \ pi z, z គឺជាចំនួនគត់។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូតង់សង់

tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ អាល់ហ្វា = ១

អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់តែមុំ \ អាល់ហ្វាដែលខុសពី \frac(\pi)(2) z. បើមិនដូច្នោះទេ កូតង់សង់ ឬតង់ហ្សង់នឹងមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ដោយផ្អែកលើចំណុចខាងលើយើងទទួលបាន tg \alpha = \frac(y)(x), ក ctg \alpha=\frac(x)(y). វាធ្វើតាមនោះ។ tg \\ អាល់ហ្វា \\ cdot ctg \\ alpha = \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) = 1. ដូច្នេះតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំដូចគ្នាដែលពួកគេយល់បានគឺជាលេខបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

ទំនាក់ទំនងរវាងតង់សង់ និងកូស៊ីនុស កូតង់សង់ និងស៊ីនុស

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- ផលបូកនៃការ៉េនៃតង់សង់នៃមុំ \ អាល់ហ្វា និង 1 គឺស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃកូស៊ីនុសនៃមុំនេះ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ទាំងអស់ក្រៅពី \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- ផលបូកនៃ 1 និងការ៉េនៃកូតង់សង់នៃមុំ \ អាល់ហ្វាគឺស្មើនឹងការេបញ្ច្រាសនៃស៊ីនុសនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អត្តសញ្ញាណនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ \alpha ណាមួយដែលខុសពី \pi z។

ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក \sin \alpha និង tg \alpha ប្រសិនបើ \cos \alpha=-\frac12និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

មុខងារ \sin \alpha និង \cos \alpha ត្រូវបានទាក់ទងដោយរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1. ជំនួសរូបមន្តនេះ។ \cos \alpha = -\frac12, យើង​ទទួល​បាន:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12\right)^2 = 1

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយ ២៖

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅត្រីមាសទី 2 ស៊ីនុសគឺវិជ្ជមានដូច្នេះ \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ដើម្បីស្វែងរក tan \ alpha យើងប្រើរូបមន្ត tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក \cos \alpha និង ctg \alpha ប្រសិនបើ និង \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha=1លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), យើង​ទទួល​បាន \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha=1. សមីការនេះមានដំណោះស្រាយពីរ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

តាមលក្ខខណ្ឌ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . នៅត្រីមាសទី 2 កូស៊ីនុសគឺអវិជ្ជមានដូច្នេះ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ដើម្បីស្វែងរក ctg \alpha យើងប្រើរូបមន្ត ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). យើងដឹងពីតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).