Instrukcijos

Jei modulis vaizduojamas kaip ištisinė funkcija, tada jo argumento reikšmė gali būti teigiama arba neigiama: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Nesunku pastebėti, kad kompleksinių skaičių sudėjimas ir atėmimas vadovaujasi ta pačia taisykle, kaip ir sudėjimas ir .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga yra lygi:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Kadangi i^2 = -1, galutinis rezultatas yra:

(x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Kompleksinių skaičių eksponentiškumo ir šaknų ištraukimo operacijos apibrėžiamos taip pat, kaip ir realiųjų skaičių. Tačiau kompleksinėje srityje bet kuriam skaičiui yra lygiai n skaičių b, kurių b^n = a, tai yra, n n-ojo laipsnio šaknų.

Visų pirma tai reiškia, kad bet kuri n laipsnio algebrinė lygtis su vienu kintamuoju turi tiksliai n sudėtingų šaknų, kai kurios iš jų gali būti .

Video tema

Šaltiniai:

• Paskaita „Sudėtingi skaičiai“ 2019 m

Šaknis yra piktograma, nurodanti matematinę skaičiaus radimo operaciją, kurią padidinus iki galios, nurodytos prieš šaknies ženklą, turėtų būti gautas skaičius, nurodytas po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, susijusias su šaknimis, nepakanka vien apskaičiuoti vertę. Būtina atlikti papildomas operacijas, iš kurių viena yra skaičiaus, kintamojo ar išraiškos įvedimas po šaknies ženklu.

Instrukcijos

Nustatykite šaknies eksponentą. Rodiklis yra sveikasis skaičius, nurodantis laipsnį, iki kurio turi būti padidintas šaknies apskaičiavimo rezultatas, kad būtų gauta radikali išraiška (skaičius, iš kurio išgaunama ši šaknis). Šakninis eksponentas kaip viršutinis indeksas prieš šaknies piktogramą. Jei šis nenurodytas, tai yra Kvadratinė šaknis, kurio laipsnis yra du. Pavyzdžiui, šaknies √3 rodiklis yra du, ³√3 rodiklis yra trys, šaknies ⁴√3 rodiklis yra keturi ir t.

Padidinkite skaičių, kurį norite įvesti po šaknies ženklu, iki laipsnio, lygus rodikliuišią šaknį, kurią nustatėte ankstesniame žingsnyje. Pavyzdžiui, jei po šaknies ženklu ⁴√3 reikia įvesti skaičių 5, tada šaknies laipsnio indeksas yra keturi ir reikia 5 padidinimo iki ketvirtosios laipsnio rezultato 5⁴=625. Tai galite padaryti bet kokiu jums patogiu būdu – savo galva, naudodami skaičiuotuvą ar atitinkamas priglobtas paslaugas.

Įveskite reikšmę, gautą ankstesniame žingsnyje, po šaknies ženklu kaip radikalios išraiškos daugiklį. Ankstesniame veiksme naudotame pavyzdyje po šaknies pridėjus ⁴√3 5 (5*⁴√3), šį veiksmą galima atlikti taip: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Jei įmanoma, supaprastinkite gautą radikalią išraišką. Ankstesnių veiksmų pavyzdyje tereikia padauginti skaičius po šaknies ženklu: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Tai užbaigia numerio įvedimo po šaknimi operacija.

Jei problema yra nežinomų kintamųjų, aukščiau aprašytus veiksmus galima atlikti bendras vaizdas. Pavyzdžiui, jei reikia įvesti nežinomą kintamąjį x po ketvirtąja šaknies šaknimi, o radikali išraiška yra 5/x³, tada visą veiksmų seką galima parašyti taip: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Šaltiniai:

• kaip vadinamas šaknies ženklas?

Realių skaičių neužtenka bet kokiam išspręsti kvadratinė lygtis. Paprasčiausia kvadratinė lygtis, kuri neturi šaknų realūs skaičiai- tai x^2+1=0. Ją sprendžiant paaiškėja, kad x=±sqrt(-1), ir pagal elementarios algebros dėsnius iš neigiamo ištraukti lyginio laipsnio šaknį numeriai tai uždrausta.

Viena iš sunkiausių temų studentams yra lygčių, kuriose yra kintamasis po modulio ženklu, sprendimas. Pirmiausia išsiaiškinkime, su kuo tai susiję? Kodėl, pavyzdžiui, dauguma vaikų kvadratines lygtis laužo kaip riešutus, bet su šia tai toli gražu nėra geriausia? sudėtinga koncepcija Kaip modulyje tiek daug problemų?

Mano nuomone, visi šie sunkumai yra susiję su aiškiai suformuluotų lygčių su moduliu sprendimo taisyklių trūkumu. Taigi, spręsdamas kvadratinę lygtį, studentas tikrai žino, kad pirmiausia reikia pritaikyti diskriminantinę formulę, o tada – kvadratinės lygties šaknų formules. Ką daryti, jei lygtyje rastas modulis? Bandysime aiškiai aprašyti reikalingą veiksmų planą tuo atveju, kai lygtyje po modulio ženklu yra nežinomasis. Kiekvienam atvejui pateiksime kelis pavyzdžius.

Bet pirmiausia prisiminkime modulio apibrėžimas. Taigi, moduliuokite skaičių a pats šis skaičius vadinamas if a neneigiamas ir -a, jei numeris a mažiau nei nulis. Galite parašyti taip:

|a| = a, jei a ≥ 0 ir |a| = -a jei a< 0

Kalbėti apie geometrine prasme modulį, reikia atsiminti, kad kiekvienas tikrasis skaičius atitinka tam tikrą skaičių ašies tašką – jo į koordinuoti. Taigi, skaičiaus modulis arba absoliuti reikšmė yra atstumas nuo šio taško iki skaitinės ašies pradžios. Atstumas visada nurodomas kaip teigiamas skaičius. Taigi bet kurio neigiamo skaičiaus modulis yra teigiamas skaičius. Beje, net šiame etape daugelis studentų pradeda sutrikti. Modulyje gali būti bet koks skaičius, tačiau modulio naudojimo rezultatas visada yra teigiamas skaičius.

Dabar pereikime tiesiai prie lygčių sprendimo.

1. Panagrinėkime |x| formos lygtį = c, kur c yra tikrasis skaičius. Šią lygtį galima išspręsti naudojant modulio apibrėžimą.

Visus realiuosius skaičius suskirstome į tris grupes: didesnius už nulį, mažesnius už nulį, trečią grupę sudaro skaičius 0. Sprendimą rašome diagramos pavidalu:

(±c, jei c > 0

Jei |x| = c, tada x = (0, jei c = 0

(be šaknų, jei su< 0

1) |x| = 5, nes 5 > 0, tada x = ±5;

2) |x| = -5, nes -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada x = 0.

2. Formos |f(x)| lygtis = b, kur b > 0. Norint išspręsti šią lygtį, reikia atsikratyti modulio. Tai darome taip: f(x) = b arba f(x) = -b. Dabar kiekvieną gautą lygtį turite išspręsti atskirai. Jei pradinėje lygtyje b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, nes 4 > 0, tada

x + 2 = 4 arba x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, nes 11 > 0, tada

x 2 – 5 = 11 arba x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 be šaknų

3) |x 2 – 5x| = -8, nes -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Formos |f(x)| lygtis = g(x). Pagal modulio prasmę tokia lygtis turės sprendinius, jeigu jos dešinioji pusė bus didesnė arba lygi nuliui, t.y. g(x) ≥ 0. Tada turėsime:

f(x) = g(x) arba f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ši lygtis turės šaknis, jei 5x – 10 ≥ 0. Čia ir prasideda tokių lygčių sprendimas.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Sprendimas:

2x – 1 = 5x – 10 arba 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Sujungiame O.D.Z. ir sprendimą, gauname:

Šaknis x = 11/7 netelpa O.D.Z., ji yra mažesnė nei 2, bet x = 3 atitinka šią sąlygą.

Atsakymas: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Išspręskime šią nelygybę intervalų metodu:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Sprendimas:

x – 1 = 1 – x 2 arba x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 arba x = 1 x = 0 arba x = 1

3. Sujungiame tirpalą ir O.D.Z.:

Tinka tik šaknys x = 1 ir x = 0.

Atsakymas: x = 0, x = 1.

4. Formos |f(x)| lygtis = |g(x)|. Tokia lygtis yra lygiavertė šioms dviem lygtims f(x) = g(x) arba f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ši lygtis yra lygi šioms dviem:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 arba x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 arba x = 4 x = 2 arba x = 1

Atsakymas: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Pakeitimo metodu išspręstos lygtys (kintamųjų pakeitimas). Šis metodas sprendimus lengviausia paaiškinti konkretus pavyzdys. Taigi, gaukime kvadratinę lygtį su moduliu:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Pagal modulio savybę x 2 = |x| 2, todėl lygtį galima perrašyti taip:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Padarykime pakeitimą |x| = t ≥ 0, tada turėsime:

t 2 – 6t + 5 = 0. Išspręsdami šią lygtį, randame, kad t = 1 arba t = 5. Grįžkime prie pakeitimo:

|x| = 1 arba |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Atsakymas: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pažvelkime į kitą pavyzdį:

x 2 + |x| – 2 = 0. Pagal modulio savybę x 2 = |x| 2, todėl

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Padarykime pakeitimą |x| = t ≥ 0, tada:

t 2 + t – 2 = 0. Išspręsdami šią lygtį, gauname t = -2 arba t = 1. Grįžkime prie pakeitimo:

|x| = -2 arba |x| = 1

Nėra šaknų x = ± 1

Atsakymas: x = -1, x = 1.

6. Kitas lygčių tipas yra lygtys su „sudėtingu“ moduliu. Tokios lygtys apima lygtis, kurios turi „modulius modulyje“. Tokio tipo lygtis galima išspręsti naudojant modulio savybes.

1) |3 – |x|| = 4. Veiksime taip pat, kaip ir antrojo tipo lygtyse. Nes 4 > 0, tada gauname dvi lygtis:

3 – |x| = 4 arba 3 – |x| = -4.

Dabar kiekvienoje lygtyje išreikškime modulį x, tada |x| = -1 arba |x| = 7.

Išsprendžiame kiekvieną iš gautų lygčių. Pirmoje lygtyje nėra šaknų, nes -1< 0, а во втором x = ±7.

Atsakymas x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Šią lygtį sprendžiame panašiai:

3 + |x + 1| = 5 arba 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 arba x + 1 = -2. Jokių šaknų.

Atsakymas: x = -3, x = 1.

Taip pat yra universalus būdas spręsti lygtis su moduliu. Tai yra intervalo metodas. Bet pažiūrėsime vėliau.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Ši internetinė matematikos skaičiuoklė jums padės išspręskite lygtį arba nelygybę su moduliais. Programa skirta sprendžiant lygtis ir nelygybes moduliais ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas rezultato gavimo procesas.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Įveskite lygtį arba nelygybę su moduliais

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Lygtys ir nelygybės su moduliais

Pagrindinės mokyklos algebros kurse galite susidurti su paprasčiausiomis lygtimis ir nelygybėmis su moduliais. Norėdami juos išspręsti, galite naudoti geometrinį metodą, pagrįstą tuo, kad \(|x-a| \) yra atstumas skaičių tiesėje tarp taškų x ir a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Pavyzdžiui, norint išspręsti lygtį \(|x-3|=2\), skaičių tiesėje reikia rasti taškus, kurie yra nutolę nuo taško 3 2 atstumu. Tokie taškai yra du: \(x_1=1 \) ir \(x_2=5\) .

Nelygybės sprendimas \(|2x+7|

Tačiau pagrindinis būdas išspręsti lygtis ir nelygybes su moduliais yra susijęs su vadinamuoju „modulio atskleidimu pagal apibrėžimą“:
jei \(a \geq 0 \), tada \(|a|=a \);
if \(a Paprastai lygtis (nelygybė) su moduliais redukuojama į lygčių (nelygybių), kuriose nėra modulio ženklo, rinkinį.

Be pirmiau pateikto apibrėžimo, naudojami šie teiginiai:
1) Jei \(c > 0\), tada lygtis \(|f(x)|=c \) yra lygiavertė lygčių rinkiniui: \(\left[\begin(masyvas)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(masyvas)\right.
2) Jei \(c > 0 \), tai nelygybė \(|f(x)| 3) Jei \(c \geq 0 \), tada nelygybė \(|f(x)| > c \) yra lygiavertis nelygybių rinkiniui: \(\left[\begin(masyvas)(l) f(x) c \end(masyvas)\right. \)
4) Jei abi nelygybės pusės \(f(x) PAVYZDYS 1. Išspręskite lygtį \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Jei \(x-1 \geq 0\), tada \(|x-1| = x-1\) ir duota lygtis įgauna formą
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rodyklė dešinėn x^2 +2x -8 = 0 \).
Jei \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \rodyklė dešinėn x^2 -2x -4 = 0 \).
Taigi, pateikta lygtis turėtų būti nagrinėjama atskirai kiekvienu iš dviejų nurodytų atvejų.
1) Tegu \(x-1 \geq 0 \), t.y. \(x\geq 1\). Iš lygties \(x^2 +2x -8 = 0\) randame \(x_1=2, \; x_2=-4\). Sąlygą \(x \geq 1 \) tenkina tik reikšmė \(x_1=2\).
2) Tegul \(x-1 Atsakymas: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

2 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Pirmas būdas(modulio išplėtimas pagal apibrėžimą).
Samprotaudami kaip 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad pateiktą lygtį reikia nagrinėti atskirai, jei tenkinamos dvi sąlygos: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) arba \(x^2-6x+7

1) Jei \(x^2-6x+7 \geq 0 \), tada \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ir duota lygtis įgauna formą \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rodyklė dešinėn 3x^2-23x+30=0 \). Išsprendę šią kvadratinę lygtį, gauname: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Išsiaiškinkime, ar reikšmė \(x_1=6\) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 \geq 0\). Norėdami tai padaryti, pakeiskime nurodytą vertęį kvadratinę nelygybę. Gauname: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), t.y. \(7 \geq 0 \) yra tikroji nelygybė. Tai reiškia, kad \(x_1=6\) yra pateiktos lygties šaknis.
Išsiaiškinkime, ar reikšmė \(x_2=\frac(5)(3)\) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 \geq 0\). Norėdami tai padaryti, nurodytą reikšmę pakeiskite kvadratine nelygybe. Gauname: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), t.y. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) yra neteisinga nelygybė. Tai reiškia, kad \(x_2=\frac(5)(3)\) nėra pateiktos lygties šaknis.

2) Jei \(x^2-6x+7 reikšmė \(x_3=3\) atitinka sąlygą \(x^2-6x+7 reikšmė \(x_4=\frac(4)(3) \) netenkina sąlyga \ (x^2-6x+7 Taigi duotoji lygtis turi dvi šaknis: \(x=6, \; x=3 \).

Antras būdas. Jei pateikta lygtis \(|f(x)| = h(x) \), tada su \(h(x) \(\left[\begin(masyvas)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end (masyvas)\right \)
Abi šios lygtys buvo išspręstos aukščiau (naudojant pirmąjį pateiktos lygties sprendimo būdą), jų šaknys yra tokios: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Sąlyga \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) iš šių keturios vertės tenkina tik dvi: 6 ir 3. Tai reiškia, kad duotoji lygtis turi dvi šaknis: \(x=6, \; x=3\).

Trečias būdas(grafinis).
1) Sukurkime funkcijos \(y = |x^2-6x+7| \) grafiką. Pirmiausia sukurkime parabolę \(y = x^2-6x+7\). Turime \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Funkcijos \(y = (x-3)^2-2\) grafiką galima gauti iš funkcijos \(y = x^2\) grafiko, perkeliant jį 3 mastelio vienetais į dešinę (išilgai x ašyje) ir 2 mastelio vienetais žemyn ( išilgai y ašies). Tiesė x=3 yra mus dominančios parabolės ašis. Kaip kontrolinius taškus tikslesniam braižymui patogu paimti tašką (3; -2) - parabolės viršūnę, tašką (0; 7) ir tašką (6; 7) simetriškus jam parabolės ašies atžvilgiu. .
Norėdami dabar sukurti funkcijos \(y = |x^2-6x+7| \) grafiką, turite palikti nepakeistas tas sudarytos parabolės dalis, kurios yra ne žemiau x ašies, ir atspindėti tą parabolės dalį. parabolė, esanti žemiau x ašies x ašies atžvilgiu.
2) Sukurkime tiesinės funkcijos \(y = \frac(5x-9)(3)\ grafiką. Kontroliniais taškais patogu paimti taškus (0; –3) ir (3; 2).

Svarbu, kad tiesės ir abscisių ašies susikirtimo taškas x = 1,8 būtų dešinėje nuo kairiojo parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taško – tai taškas \(x=3-\ sqrt(2) \) (nuo \(3-\sqrt(2 ) 3) Sprendžiant iš brėžinio, grafikai susikerta dviejuose taškuose - A(3; 2) ir B(6; 7). Pakeičiant šių abscises taškai x = 3 ir x = 6 į pateiktą lygtį, esame įsitikinę, kad abiem atvejais gaunama teisinga skaitinė lygybė. Tai reiškia, kad mūsų hipotezė pasitvirtino – lygtis turi dvi šaknis: x = 3 ir x = 6. Atsakymas: 3;

komentuoti. Grafinis metodas, nepaisant visų savo elegancijos, nėra labai patikimas. Nagrinėjamame pavyzdyje tai veikė tik todėl, kad lygties šaknys yra sveikieji skaičiai.

3 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Pirmas būdas
Išraiška 2x–4 tampa 0 taške x = 2, o išraiška x + 3 – 0 taške x = –3. Šie du taškai padalija skaičių eilutę į tris intervalus: \(x

Apsvarstykite pirmąjį intervalą: \((-\infty; \; -3) \).
Jei x Apsvarstykite antrąjį intervalą: \([-3; \; 2) \).
Jei \(-3 \leq x Apsvarstykite trečiąjį intervalą: \()