Tema – racionalūs skaičiai. Sveikieji ir racionalieji skaičiai. Realūs skaičiai

16.10.2019

Racionalūs numeriai yra formos skaičiai, kur
yra sveikasis skaičius ir – natūralus. Racionaliųjų skaičių aibė žymima raide . Šiuo atveju ryšys yra įvykdytas
, nes bet koks sveikasis skaičius
gali būti pavaizduotas formoje . Taigi, galima sakyti, kad racionalūs numeriai– tai visi sveikieji skaičiai, taip pat teigiamos ir neigiamos paprastosios trupmenos.

Dešimtainės - tai paprastosios trupmenos, kurių vardiklis yra vienas su nuliais, tai yra, 10; 100; 1000 ir kt. Dešimtainės trupmenos rašomos be vardiklio. Pirmiausia rašoma visa skaičiaus dalis, dešinėje nuo jos dedamas kablelis; Pirmasis skaitmuo po kablelio reiškia dešimtųjų skaičių, antrasis – šimtąsias, trečias – tūkstantąsias ir kt. Skaičiai po kablelio vadinami kablelio skaičiais.

Begalinis paskambino dešimtainis, kuriame yra begalinis skaičius skaitmenų po kablelio.

Kiekvienas racionalus skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinis arba begalinis dešimtainis skaičius. Tai pasiekiama padalijus skaitiklį iš vardiklio.

Vadinama begalinė dešimtainė trupmena periodiškai , jei, pradedant nuo tam tikros vietos, vienas skaitmuo ar skaitmenų grupė kartojasi tiesiai vienas po kito. Pasikartojantis skaitmuo arba skaitmenų grupė vadinamas tašku ir rašomas skliausteliuose. Pavyzdžiui, .

Taip pat yra atvirkščiai: bet kuri begalinė periodinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip bendroji trupmena.

Pateikiame šiek tiek informacijos apie periodines trupmenas.

1. Jei trupmenos periodas prasideda iškart po kablelio, vadinasi trupmena grynai periodiškai , jei ne iškart po kablelio – mišrus periodinis .

Pavyzdžiui, 1,(58) yra grynai periodinė trupmena, o 2,4(67) yra mišri periodinė trupmena.

2. Jei neredukuojamoji trupmena yra toks, kad jo vardiklį išskaidžius į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir 5, tada skaičius įrašomas kaip dešimtainė, reiškia galutinę dešimtainę trupmeną; jei nurodytoje plėtinyje yra kitų pirminių veiksnių, tada bus gauta begalinė dešimtainė periodinė trupmena.

3. Jei neredukuojamoji trupmena yra toks, kad jo vardiklio išskaidymas į pirminius veiksnius neapima skaičių 2 ir 5, tada skaičiaus įrašymas dešimtainės trupmenos pavidalu tai yra grynai periodinė dešimtainė trupmena; jei nurodytame išplėtime kartu su kitais pirminiais koeficientais yra 2 arba 5, tai rezultatas yra mišri periodinė dešimtainė trupmena.

4. Periodinė trupmena gali turėti bet kokio ilgio periodą, ty turėti bet kokį skaičių skaitmenų.

1.3. Neracionalūs skaičiai

Neracionalus skaičius vadinama begaline dešimtaine neperiodine trupmena .

Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai yra natūraliųjų skaičių šaknys, kurios nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Pavyzdžiui,
,
. Skaičiai neracionalūs
;
. Iracionaliųjų skaičių aibė žymima raide .

1.10 pavyzdys.Įrodyk tai
yra neracionalus skaičius.

Sprendimas. Apsimeskime tai
– racionalus skaičius. Akivaizdu, kad jis nėra vientisas, todėl
, Kur
Ir – neredukuojama trupmena; reiškia skaičius
Ir abipusiai paprastas. Nes
, Tai
, tai yra
.

Šioje pamokoje sužinosime apie daugybę racionalių skaičių. Išanalizuokime pagrindines racionaliųjų skaičių savybes, sužinokime, kaip dešimtaines trupmenas paversti paprastosiomis trupmenomis ir atvirkščiai.

Mes jau kalbėjome apie natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibes. Natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių poaibis.

Dabar mes sužinojome, kas yra trupmenos, ir išmokome su jomis dirbti. Pavyzdžiui, trupmena nėra sveikas skaičius. Tai reiškia, kad turime apibūdinti naują skaičių rinkinį, kuriame bus visos trupmenos, ir šiam rinkiniui reikia pavadinimo, aiškaus apibrėžimo ir pavadinimo.

Pradėkime nuo pavadinimo. Lotyniškas žodis ratio verčiamas į rusų kalbą kaip santykis, trupmena. Naujojo rinkinio pavadinimas „racionalūs skaičiai“ kilęs iš šio žodžio. Tai reiškia, kad „racionalūs skaičiai“ gali būti išversti kaip „trupiniai skaičiai“.

Išsiaiškinkime, iš kokių skaičių sudaro šis rinkinys. Galime manyti, kad jis susideda iš visų trupmenų. Pavyzdžiui, tokie - . Tačiau toks apibrėžimas nebūtų visiškai teisingas. Trupmena yra ne pats skaičius, o skaičiaus rašymo forma. Toliau pateiktame pavyzdyje du skirtingos frakcijos reiškia tą patį skaičių:

Tada tiksliau būtų sakyti, kad racionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti trupmena. Ir tai iš tikrųjų yra beveik tas pats apibrėžimas, kuris naudojamas matematikoje.

Šis rinkinys žymimas raide . Kaip natūraliųjų ir sveikųjų skaičių aibės yra susijusios su naująja racionaliųjų skaičių aibe? Natūralųjį skaičių galima užrašyti kaip trupmeną be galo daug būdų. Ir kadangi jį galima pavaizduoti kaip trupmeną, tai taip pat yra racionalu.

Panaši situacija yra ir su neigiamais sveikaisiais skaičiais. Bet koks neigiamas sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena . Ar įmanoma skaičių nulį pavaizduoti trupmena? Žinoma, galite, taip pat be galo daug būdų .

Taigi visi natūralūs skaičiai ir visi sveikieji skaičiai taip pat yra racionalieji skaičiai. Natūraliųjų skaičių ir sveikųjų skaičių aibės yra racionaliųjų skaičių () rinkinio poaibiai.

Aibių uždarumas aritmetinių veiksmų atžvilgiu

Būtinybę įvesti naujus skaičius – sveikuosius, vėliau racionalius – galima paaiškinti ne tik problemomis iš Tikras gyvenimas. Pačios aritmetinės operacijos mums tai sako. Sudėkime du natūraliuosius skaičius: . Vėl gauname natūralųjį skaičių.

Jie sako, kad natūraliųjų skaičių aibė uždaroma atliekant sudėjimo operaciją (uždaroma sudėjus). Pagalvokite patys, ar natūraliųjų skaičių aibė yra uždaryta dauginant.

Kai tik bandome iš skaičiaus atimti kažką lygaus ar didesnio, mums trūksta natūraliųjų skaičių. Nulinių ir neigiamų sveikųjų skaičių įvedimas ištaiso situaciją:

Atimant sveikųjų skaičių aibė uždaryta. Galime pridėti ir atimti bet kurį sveikąjį skaičių, nebijodami, kad neturėsime skaičiaus, su kuriuo būtų galima parašyti rezultatą (uždarytas sudėjimo ir atimties).

Ar daugybos metu sveikųjų skaičių aibė uždaryta? Taip, bet kurių dviejų sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius (uždarytas sudėjimo, atimties ir daugybos sritys).

Liko dar vienas veiksmas – padalijimas. Ar skaidant sveikųjų skaičių aibė uždaryta? Atsakymas akivaizdus: ne. Padalinkime iš. Tarp sveikųjų skaičių nėra tokio skaičiaus, kad būtų galima užrašyti atsakymą: .

Tačiau naudodami trupmeną beveik visada galime užrašyti vieno sveikojo skaičiaus dalijimo iš kito rezultatą. Kodėl beveik? Prisiminkime, kad pagal apibrėžimą negalima dalyti iš nulio.

Taigi, racionaliųjų skaičių aibė (kuri atsiranda įvedus trupmenas) pretenduoja į aibę, uždarą atliekant visas keturias aritmetines operacijas.

Patikrinkime.

Tai reiškia, kad racionaliųjų skaičių rinkinys uždaromas sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant, išskyrus padalijimą iš nulio. Šia prasme galime pasakyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra „geresnė“ nei ankstesnės natūraliųjų ir sveikųjų skaičių rinkiniai. Ar tai reiškia, kad racionalieji skaičiai yra paskutinė mūsų tiriama skaičių aibė? Nr. Vėliau turėsime kitų skaičių, kurių negalima užrašyti kaip trupmenas, pavyzdžiui, neracionalius.

Skaičiai kaip įrankis

Skaičiai yra įrankis, kurį žmogus sukūrė pagal poreikį.

Ryžiai. 1. Natūraliųjų skaičių naudojimas

Toliau, kai reikėjo vadovauti atsiskaitymai grynaisiais, prieš skaičių pradėti dėti pliuso arba minuso ženklai, nurodantys, ar pradinę reikšmę reikia didinti ar mažinti. Taip atsirado neigiami ir teigiami skaičiai. Naujasis rinkinys buvo vadinamas sveikųjų skaičių rinkiniu ().

Ryžiai. 2. Trupmenų naudojimas

Todėl pasirodo naujas įrankis, nauji skaičiai yra trupmenos. Jas rašome skirtingais lygiaverčiais būdais: paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis ( ).

Visi skaičiai - "senas" (sveikasis skaičius) ir "naujas" (trupmeninis) - buvo sujungti į vieną rinkinį ir pavadinti racionaliųjų skaičių rinkiniu ( - racionalūs skaičiai).

Taigi, racionalusis skaičius yra skaičius, kuris gali būti pavaizduotas kaip bendroji trupmena. Tačiau šis matematikos apibrėžimas dar patikslintas. Bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną su teigiamu vardikliu, ty sveikojo skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus santykiu: .

Tada gauname apibrėžimą: skaičius vadinamas racionaliuoju, jei jį galima pavaizduoti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir natūralusis vardiklis ().

Be paprastųjų trupmenų, naudojame ir dešimtaines. Pažiūrėkime, kaip jie susiję su racionaliųjų skaičių aibe.

Yra trys dešimtainių dalių tipai: baigtinis, periodinis ir neperiodinis.

Begalinės neperiodinės trupmenos: tokios trupmenos taip pat turi begalinį skaičių po kablelio, tačiau taško nėra. Pavyzdys yra PI dešimtainis žymėjimas:

Bet kuri baigtinė dešimtainė trupmena pagal apibrėžimą yra įprasta trupmena su vardikliu ir pan.

Garsiai perskaitykime dešimtainę trupmeną ir parašykime įprasta forma: , .

Grįžtant nuo trupmenos rašymo prie dešimtainio skaičiaus, galite gauti baigtines dešimtaines trupmenas arba begalines periodines trupmenas.

Konvertavimas iš trupmenos į dešimtainę

Paprasčiausias atvejis, kai trupmenos vardiklis yra dešimties laipsnis: ir t.t. Tada naudojame dešimtainės trupmenos apibrėžimą:

Yra trupmenų, kurių vardiklį galima nesunkiai sumažinti iki šios formos: . Galima pereiti prie tokio žymėjimo, jei vardiklio išplėtimas apima tik dvejetus ir penketukus.

Vardiklis susideda iš trijų dvejetų ir vieno penkių. Kiekvienas iš jų sudaro dešimtuką. Tai reiškia, kad mums trūksta dviejų. Padauginkite iš skaitiklio ir vardiklio:

Tai buvo galima padaryti kitaip. Padalinkite iš stulpelio (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 2. Kolonos padalijimas

Su atveju vardiklio negalima paversti ar kitu skaitmeniu, nes jo išplėtimas apima trigubą. Liko tik vienas būdas – padalinti į stulpelį (žr. 2 pav.).

Toks padalijimas kiekviename žingsnyje duos liekaną ir koeficientą. Šis procesas yra begalinis. Tai yra, mes gavome begalinę periodinę trupmeną su tašku

Praktikuokime. Paprastąsias trupmenas paverskime po kablelio.

Visuose šiuose pavyzdžiuose mes gavome paskutinę dešimtainę trupmeną, nes vardiklio išplėtimas apėmė tik du ir penketus.

(pasitikrinkime dalindami į lentelę – žr. 3 pav.).

Ryžiai. 3. Ilgasis padalijimas

Ryžiai. 4. Kolonos padalijimas

(žr. 4 pav.)

Vardiklio išplėtimas apima trigubą, o tai reiškia, kad vardiklis perkeliamas į formą ir pan. neveiks. Padalinkite į stulpelį. Situacija kartosis. Rezultatų įraše bus be galo daug trynukų. Taigi,.

(žr. 5 pav.)

Ryžiai. 5. Kolonos padalijimas

Taigi, bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną. Tai yra jo apibrėžimas.

Ir bet kurią paprastąją trupmeną galima pavaizduoti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Įrašų trupmenos tipai:

dešimtainės trupmenos įrašymas paprastosios trupmenos pavidalu: ; ;

bendrosios trupmenos rašymas dešimtainiu tikslumu: (galutinė trupmena); (begalinis periodiškumas).

Tai yra, bet koks racionalus skaičius gali būti parašytas kaip baigtinė arba periodinė dešimtainė trupmena. Šiuo atveju galutinė trupmena taip pat gali būti laikoma periodine, kurios periodas lygus nuliui.

Kartais racionaliajam skaičiui suteikiamas būtent toks apibrėžimas: racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima užrašyti kaip periodinę dešimtainę trupmeną.

Periodinės trupmenos konvertavimas

Pirmiausia panagrinėkime trupmeną, kurios periodas susideda iš vieno skaitmens ir neturi išankstinio taško. Pažymėkime šį skaičių raide . Metodas yra gauti kitą skaičių su tuo pačiu laikotarpiu:

Tai galima padaryti pradinį skaičių padauginus iš . Taigi skaičius turi tą patį laikotarpį. Atimkite iš paties skaičiaus:

Norėdami įsitikinti, kad viską padarėme teisingai, pereikime prie išvirkščia pusė, mums jau žinomu būdu - dalijant į stulpelį pagal (žr. 1 pav.).

Tiesą sakant, mes gauname pradinės formos skaičių su tašku.

Panagrinėkime skaičių su išankstiniu ir ilgesniu periodu: . Metodas išlieka toks pat kaip ir ankstesnis pavyzdys. Turime gauti naują numerį su tuo pačiu laikotarpiu ir tokio pat ilgio išankstiniu periodu. Tam reikia, kad kablelis pasislinktų į dešinę taško trukme, t.y. dviem simboliais. Padauginkite pradinį skaičių iš:

Iš gautos išraiškos atimkime pradinę išraišką:

Taigi, koks yra vertimo algoritmas? Periodinę trupmeną reikia padauginti iš formos skaičiaus ir pan., kuriame yra tiek nulių, kiek yra skaitmenų dešimtainės trupmenos periode. Gauname naują periodinį. Pavyzdžiui:

Iš vienos periodinės trupmenos atėmus kitą, gauname galutinę dešimtainę trupmeną:

Belieka pirminę periodinę trupmeną išreikšti paprastosios trupmenos forma.

Norėdami praktikuotis, patys užsirašykite keletą periodinių trupmenų. Naudodamiesi šiuo algoritmu, sumažinkite juos iki įprastos trupmenos formos. Norėdami patikrinti skaičiuotuvą, padalykite skaitiklį iš vardiklio. Jei viskas teisinga, gausite pradinę periodinę trupmeną

Taigi, bet kurią baigtinę arba begalinę periodinę trupmeną galime užrašyti kaip paprastąją trupmeną, kaip natūraliojo skaičiaus ir sveikojo skaičiaus santykį. Tie. visos tokios trupmenos yra racionalieji skaičiai.

O kaip su neperiodinėmis trupmenomis? Pasirodo, neperiodinės trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos (priimsime šį faktą be įrodymų). Tai reiškia, kad jie nėra racionalūs skaičiai. Jie vadinami neracionaliais.

Begalinės neperiodinės trupmenos

Kaip jau minėjome, racionalusis skaičius dešimtainiu būdu yra arba baigtinė, arba periodinė trupmena. Tai reiškia, kad jei galime sukonstruoti begalinę neperiodinę trupmeną, tai gausime neracionalųjį, tai yra neracionalųjį skaičių.

Štai vienas iš būdų tai padaryti: trupmeninė šio skaičiaus dalis susideda tik iš nulių ir vienetų. Nulių tarp vienetų skaičius padidėja . Čia neįmanoma išryškinti pasikartojančios dalies. Tai yra, trupmena nėra periodinė.

Išmokite patys kurti neperiodines dešimtaines trupmenas, tai yra neracionalius skaičius

Žinomas neracionaliojo skaičiaus pavyzdys yra pi ( ). Šiame įraše nėra taško. Tačiau be pi, yra be galo daug kitų neracionalių skaičių. Apie neracionalius skaičius daugiau pakalbėsime vėliau.

Matematika 5 klasė. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31-as leidimas, ištrintas. - M: Mnemosyne, 2013 m.
Matematika 5 klasė. Erina T.M. Darbo knygaį vadovėlį Vilenkin N.Ya., M.: Egzaminas, 2013 m.
Matematika 5 klasė. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013 m.

Math-prosto.ru ().
Cleverstudents.ru ().
Mathematics-repetition.com ().

Namų darbai

) yra skaičiai su teigiamu arba neigiamu ženklu (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Tikslesnė racionaliųjų skaičių sąvoka skamba taip:

Racionalus skaičius- skaičius, kuris vaizduojamas kaip bendroji trupmena m/n, kur skaitiklis m yra sveikieji skaičiai ir vardiklis n — sveikieji skaičiai, pavyzdžiui 2/3.

Begalinės neperiodinės trupmenos NĖRA įtraukiamos į racionaliųjų skaičių aibę.

a/b, Kur a∈ Z (a priklauso sveikiesiems skaičiams), b∈ N (b priklauso natūraliems skaičiams).

Racionalių skaičių naudojimas realiame gyvenime.

Realiame gyvenime racionaliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant kai kurių sveikųjų skaičių dalijamų objektų dalis, Pavyzdžiui, pyragaičiai ar kiti maisto produktai, kurie prieš vartojimą supjaustomi gabalėliais arba apytiksliai įvertinti išplėstų objektų erdvinius ryšius.

Racionaliųjų skaičių savybės.

Pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės.

1. Tvarkingumas a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai nustatyti 1 ir tik vieną iš 3 santykių tarp jų: “<», «>" arba "=". Ši taisyklė yra - užsakymo taisyklė ir suformuluokite taip:

2 teigiami skaičiai a=m a /n a Ir b=mb/nb yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir 2 sveikieji skaičiai m a⋅ n b Ir m b⋅ n a;
2 neigiami skaičiai a Ir b yra susiję tokiu pačiu santykiu kaip ir 2 teigiami skaičiai |b| Ir |a|;
Kada a teigiamas ir b- Tada neigiamai a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildymo operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra sumavimo taisyklė, kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių c. Be to, pats skaičius c- Tai suma numeriai a Ir b ir jis žymimas kaip (a+b) sumavimas.

Sumavimo taisyklė atrodo taip:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. Daugybos operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra daugybos taisyklė, susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi c. Iškviečiamas skaičius c dirbti numeriai a Ir b ir žymėti (a⋅b), ir iškviečiamas šio numerio radimo procesas daugyba.

Daugybos taisyklė atrodo taip: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kokiems trims racionaliesiems skaičiams a, b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, ir jeigu a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Papildymo asociatyvumas. 3 racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, jis išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių pridėjus.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a

8. Prieinamumas priešingi skaičiai . Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, o juos sudėjus gaunamas 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.

∀ a, b∈ K a⋅ b=b⋅ a

10. Daugybos asociatyvumas. 3 racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, jis daugybos procese išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1=a

12. Abipusių skaičių buvimas. Kiekvienas racionalusis skaičius, išskyrus nulį, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, padauginus iš kurio gauname 1 .

∀ a∈ K∃ a−1∈ K a⋅ a−1=1

13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija yra susijusi su sudėjimu naudojant paskirstymo dėsnį:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Ryšys tarp užsakymo santykio ir pridėjimo operacijos. Kairėje ir dešinėje dalyse racionalioji nelygybė pridėkite tą patį racionalųjį skaičių.

∀ a,b,c∈ K a ⇒ a+c

15. Ryšys tarp eilės santykio ir daugybos operacijos. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties neneigiamo racionalaus skaičiaus.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, nesunku paimti tiek vienetų, kad jų suma būtų didesnė a.

Šis straipsnis skirtas temos „Racionalieji skaičiai“ studijoms. Žemiau pateikiami racionalių skaičių apibrėžimai, pateikiami pavyzdžiai ir kaip nustatyti, ar skaičius yra racionalus, ar ne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalūs numeriai. Apibrėžimai

Prieš pateikdami racionaliųjų skaičių apibrėžimą, prisiminkime, kokios dar yra skaičių aibės ir kaip jos tarpusavyje susijusios.

Natūralūs skaičiai kartu su jų priešingybėmis ir skaičiumi nuliu sudaro sveikųjų skaičių aibę. Savo ruožtu sveikųjų trupmeninių skaičių aibė sudaro racionaliųjų skaičių aibę.

Apibrėžimas 1. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kurie gali būti pavaizduoti kaip teigiama bendroji trupmena a b, neigiama bendroji trupmena a b arba skaičius nulis.

Taigi galime išlaikyti keletą racionaliųjų skaičių savybių:

Bet kuris natūralusis skaičius yra racionalus skaičius. Akivaizdu, kad kiekvienas natūralusis skaičius n gali būti pavaizduotas kaip trupmena 1 n.
Bet koks sveikasis skaičius, įskaitant skaičių 0, yra racionalus skaičius. Iš tiesų, bet koks teigiamas ir bet koks neigiamas sveikasis skaičius gali būti lengvai pavaizduoti atitinkamai kaip teigiama arba neigiama įprastoji trupmena. Pavyzdžiui, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Bet kuri teigiama arba neigiama bendroji trupmena a b yra racionalusis skaičius. Tai tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto apibrėžimo.
Bet koks mišrus skaičius yra racionalus. Iš tiesų, mišrus skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta netinkama trupmena.
Bet kuri baigtinė arba periodinė dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota trupmena. Todėl kiekviena periodinė arba baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalus skaičius.
Begaliniai ir neperiodiniai dešimtainiai skaičiai nėra racionalūs skaičiai. Jų negalima pavaizduoti paprastųjų trupmenų pavidalu.

Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių. Skaičiai 5, 105, 358, 1100055 yra natūralūs, teigiami ir sveikieji skaičiai. Akivaizdu, kad tai yra racionalūs skaičiai. Skaičiai - 2, - 358, - 936 yra neigiami sveikieji skaičiai ir jie taip pat yra racionalūs pagal apibrėžimą. Paprastosios trupmenos 3 5, 8 7, - 35 8 taip pat yra racionaliųjų skaičių pavyzdžiai.

Aukščiau pateiktą racionaliųjų skaičių apibrėžimą galima suformuluoti trumpiau. Dar kartą atsakysime į klausimą, kas yra racionalusis skaičius?

Apibrėžimas 2. Racionalieji skaičiai

Racionalieji skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima pavaizduoti kaip trupmeną ± z n, kur z yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.

Galima parodyti, kad šis apibrėžimas yra lygiavertis ankstesniam racionaliųjų skaičių apibrėžimui. Norėdami tai padaryti, atminkite, kad trupmenos linija yra lygi dalybos ženklui. Atsižvelgdami į sveikųjų skaičių dalijimo taisykles ir savybes, galime parašyti šias teisingas nelygybes:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Taigi, galime rašyti:

z n = z n , p r ir z > 0 0 , p r ir z = 0 - z n , p r ir z< 0

Tiesą sakant, šis įrašas yra įrodymas. Pateiksime racionaliųjų skaičių pavyzdžių, remiantis antruoju apibrėžimu. Apsvarstykite skaičius - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ir - 1 3 5. Visi šie skaičiai yra racionalūs, nes juos galima užrašyti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir natūraliuoju vardikliu: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Pateikime kitą lygiavertę racionaliųjų skaičių apibrėžimo formą.

3 apibrėžimas. Racionalieji skaičiai

Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima užrašyti kaip baigtinę arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Šis apibrėžimas tiesiogiai išplaukia iš pirmosios šios pastraipos apibrėžties.

Apibendrinkime ir suformuluosime šio punkto santrauką:

Teigiamos ir neigiamos trupmenos ir sveikieji skaičiai sudaro racionaliųjų skaičių aibę.
Kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena, kurios skaitiklis yra sveikas skaičius, o vardiklis yra natūralusis skaičius.
Kiekvienas racionalusis skaičius taip pat gali būti pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena: baigtinė arba be galo periodinė.

Kuris skaičius yra racionalus?

Kaip jau išsiaiškinome, bet koks natūralusis skaičius, sveikasis skaičius, tikroji ir netinkamoji paprastoji trupmena, periodinė ir baigtinė dešimtainė trupmena yra racionalūs skaičiai. Turėdami šias žinias galite lengvai nustatyti, ar tam tikras skaičius yra racionalus.

Tačiau praktikoje dažnai tenka susidurti ne su skaičiais, o su skaitinėmis išraiškomis, kuriose yra šaknų, laipsnių ir logaritmų. Kai kuriais atvejais atsakymas į klausimą "ar skaičius racionalus?" toli gražu nėra akivaizdu. Pažvelkime į metodus, kaip atsakyti į šį klausimą.

Jei skaičius pateikiamas kaip išraiška, kurioje yra tik racionalieji skaičiai ir aritmetines operacijas tarp jų, tada išraiškos rezultatas yra racionalus skaičius.

Pavyzdžiui, išraiškos 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) reikšmė yra racionalus skaičius ir lygi 18.

Taigi, kompleksas supaprastinamas skaitinė išraiška leidžia nustatyti, ar nurodytas skaičius yra racionalus.

Dabar pažvelkime į šaknies ženklą.

Pasirodo, kad skaičius m n, pateiktas kaip skaičiaus m laipsnio n šaknis, yra racionalus tik tada, kai m yra kurio nors natūraliojo skaičiaus n-asis laipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Skaičius 2 nėra racionalus. Tuo tarpu 9, 81 yra racionalūs skaičiai. 9 ir 81 yra tobuli skaičių 3 ir 9 kvadratai. Skaičiai 199, 28, 15 1 nėra racionalūs skaičiai, nes po šaknies ženklu esantys skaičiai nėra tobuli bet kokių natūraliųjų skaičių kvadratai.

Dabar paimkime sudėtingesnį atvejį. Ar 243 5 yra racionalus skaičius? Jei padidinsite 3 į penktą laipsnį, gausite 243, todėl pradinę išraišką galima perrašyti taip: 243 5 = 3 5 5 = 3. Todėl šis skaičius yra racionalus. Dabar paimkime skaičių 121 5. Šis skaičius yra neracionalus, nes nėra natūraliojo skaičiaus, kurį padidinus iki penktosios laipsnio gautų 121.

Norint išsiaiškinti, ar skaičiaus a logaritmas iki bazės b yra racionalus skaičius, reikia taikyti prieštaravimo metodą. Pavyzdžiui, išsiaiškiname, ar tai racionalu žurnalo numeris 2 5. Tarkime, kad šis skaičius yra racionalus. Jei taip, tai galima parašyti paprastosios trupmenos log 2 5 = m n forma. Pagal logaritmo savybes ir laipsnio savybes teisingos šios lygybės:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Akivaizdu, kad paskutinė lygybė neįmanoma, nes kairėje ir dešinėje pusėse yra atitinkamai nelyginiai ir lyginiai skaičiai. Todėl padaryta prielaida yra neteisinga ir log 2 5 nėra racionalus skaičius.

Verta paminėti, kad nustatydami skaičių racionalumą ir neracionalumą neturėtumėte priimti staigių sprendimų. Pavyzdžiui, iracionaliųjų skaičių sandaugos rezultatas ne visada yra iracionalusis skaičius. Geras pavyzdys: 2 · 2 = 2 .

Taip pat yra iracionalių skaičių, kuriuos pakėlus iki neracionalios laipsnio gaunamas racionalus skaičius. Formos 2 log 2 3 laipsnyje bazė ir rodiklis yra neracionalieji skaičiai. Tačiau pats skaičius yra racionalus: 2 log 2 3 = 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter