Pagrindinės trigonometrijos formulės. Trigonometrinės lygtys – formulės, sprendiniai, pavyzdžiai

Straipsnyje detaliai aprašomos pagrindinės trigonometrinės tapatybės, kurios nustato ryšį tarp tam tikro kampo sin, cos, t g, c t g. Jei žinoma viena funkcija, per ją galima rasti kitą.

Trigonometrinės tapatybės svarstymui šiame straipsnyje. Žemiau pateikiame jų išvedimo pavyzdį su paaiškinimu.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α g, 1 + 2 ct α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pakalbėkime apie svarbią trigonometrinę tapatybę, kuri laikoma trigonometrijos pagrindu.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Duotos lygybės t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α gaunamos iš pagrindinės, padalijus abi dalis iš sin 2 α ir cos 2 α. Po to gauname t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α ir t g α · c t g α = 1 – tai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų pasekmė.

Lygybė sin 2 α + cos 2 α = 1 yra pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Norint tai įrodyti, reikia atsigręžti į vieneto rato temą.

Tegu nurodytos taško A koordinatės (1, 0), kuris, pasukus kampu α, tampa tašku A 1. Pagal sin ir cos apibrėžimą taškas A 1 gaus koordinates (cos α, sin α). Kadangi A 1 yra vienetiniame apskritime, tai reiškia, kad koordinatės turi atitikti šio apskritimo sąlygą x 2 + y 2 = 1. Išraiška cos 2 α + sin 2 α = 1 turėtų galioti. Norėdami tai padaryti, būtina įrodyti pagrindinį trigonometrinį tapatumą visiems sukimosi kampams α.

Trigonometrijoje išraiška sin 2 α + cos 2 α = 1 naudojama kaip Pitagoro teorema trigonometrijoje. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite išsamų įrodymą.

Naudodami vienetinį apskritimą, tašką A su koordinatėmis (1, 0) pasukame aplink centrinį tašką O kampu α. Po pasukimo taškas pakeičia koordinates ir tampa lygus A 1 (x, y). Statmeną tiesę A 1 H nuleidžiame į O x nuo taško A 1.

Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad formavimas taisyklingas trikampis O A 1 N. Kojų O A 1 N ir O N modulis yra lygus, įrašas bus tokia forma: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Hipotenuzė O A 1 turi reikšmę, lygią vienetinio apskritimo spinduliui, | O A 1 | = 1. Naudodami šią išraišką, lygybę galime užrašyti naudodami Pitagoro teoremą: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Parašykime šią lygybę kaip | y | 2 + | x | 2 = 1 2, o tai reiškia, kad y 2 + x 2 = 1.

Naudodamiesi sin α = y ir cos α = x apibrėžimu, vietoj taškų koordinačių pakeičiame kampo duomenis ir pereiname prie nelygybės sin 2 α + cos 2 α = 1.

Pagrindinis kampo sin ir cos ryšys yra įmanomas per šią trigonometrinę tapatybę. Taigi galime apskaičiuoti kampo nuodėmę su žinomu cos ir atvirkščiai. Norėdami tai padaryti, reikia išspręsti sin 2 α + cos 2 = 1 sin ir cos atžvilgiu, tada gauname sin α = ± 1 - cos 2 α ir cos α = ± 1 - sin 2 α išraiškas. , atitinkamai. Kampo α dydis lemia ženklą prieš išraiškos šaknį. Norėdami gauti išsamų paaiškinimą, turite perskaityti skyrių apie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apskaičiavimą naudojant trigonometrines formules.

Dažniausiai pagrindinė formulė naudojama trigonometrinėms išraiškoms transformuoti arba supaprastinti. Sinuso ir kosinuso kvadratų sumą galima pakeisti 1. Tapatybės pakeitimas gali būti tiesioginis arba Atvirkštinė tvarka: vienetas pakeičiamas sinuso ir kosinuso kvadratų sumos išraiška.

Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą

Iš kosinuso ir sinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo aišku, kad jie yra tarpusavyje susiję, o tai leidžia atskirai konvertuoti reikiamus kiekius.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, o kosinusas yra x abscisė. Tangentas yra ryšys tarp ordinatės ir abscisės. Taigi mes turime:

t g α = y x = sin α cos α , o kotangentinė išraiška turi priešingą reikšmę, tai yra

c t g α = x y = cos α sin α .

Iš to išplaukia, kad gautos tapatybės t g α = sin α cos α ir c t g α = cos α sin α nurodomos naudojant sin ir cos kampus. Tangentas laikomas kampo tarp jų sinuso ir kosinuso santykiu, o kotangentas yra priešingas.

Atkreipkite dėmesį, kad t g α = sin α cos α ir c t g α = cos α sin α yra teisingi bet kuriai kampo α vertei, kurios vertės įtraukiamos į diapazoną. Pagal formulę t g α = sin α cos α kampo α reikšmė skiriasi nuo π 2 + π · z, o c t g α = cos α sin α įgyja kampo α reikšmę, skirtingą nuo π · z, z ima bet kurio sveikojo skaičiaus reikšmė.

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

Yra formulė, rodanti kampų santykį per liestinę ir kotangentą. Ši trigonometrinė tapatybė yra svarbi trigonometrijoje ir žymima kaip t g α · c t g α = 1. Prasminga α su bet kokia kita reikšme nei π 2 · z, kitaip funkcijos nebus apibrėžtos.

Formulė t g α · c t g α = 1 turi savų įrodinėjimo ypatumų. Iš apibrėžimo gauname, kad t g α = y x ir c t g α = x y, taigi gauname t g α · c t g α = y x · x y = 1. Transformavus išraišką ir pakeitus t g α = sin α cos α ir c t g α = cos α sin α, gauname t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.

Tada tangento ir kotangento išraiška turi reikšmę, kai galiausiai gauname atvirkštinius skaičius.

Tangentas ir kosinusas, kotangentas ir sinusas

Pakeitę pagrindines tapatybes, prieiname prie išvados, kad liestinė yra susijusi per kosinusą, o kotangentas – per sinusą. Tai matyti iš formulių t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

Apibrėžimas yra toks: kampo liestinės ir 1 kvadrato suma prilyginama trupmenai, kur skaitiklyje turime 1, o vardiklyje - nurodyto kampo kosinuso kvadratą ir sumą kampo kotangento kvadrato yra priešinga. Dėl trigonometrinės tapatybės sin 2 α + cos 2 α = 1 atitinkamas puses galime padalinti iš cos 2 α ir gauti t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, kur cos 2 α reikšmė neturėtų būti lygi nulis. Dalijant iš sin 2 α gauname tapatybę 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, kur sin 2 α reikšmė neturi būti lygi nuliui.

Iš aukščiau pateiktų išraiškų nustatėme, kad tapatumas t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α yra teisingas visoms kampo α reikšmėms, nepriklausančioms π 2 + π · z, ir 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α α reikšmėms, nepriklausančioms intervalui π · z.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Tai paskutinis ir labiausiai pagrindinė pamoka, reikalingas problemoms spręsti B11. Mes jau žinome, kaip paversti kampus iš radiano į laipsnio matą (žr. pamoką „Kampo radianas ir laipsnio matas“), taip pat žinome, kaip nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą, sutelkiant dėmesį į koordinačių ketvirčius ( žr. pamoką „Trigonometrinių funkcijų ženklai“).

Belieka apskaičiuoti pačios funkcijos reikšmę – tą patį skaičių, kuris parašytas atsakyme. Čia į pagalbą ateina pagrindinė trigonometrinė tapatybė.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Bet kuriam kampui α yra teisingas šis teiginys:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ši formulė susieja vieno kampo sinusus ir kosinusus. Dabar, žinodami sinusą, galime nesunkiai rasti kosinusą – ir atvirkščiai. Pakanka paimti kvadratinę šaknį:

Atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą priešais šaknis. Faktas yra tas, kad iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės neaišku, kas buvo pradinis sinusas ir kosinusas: teigiamas ar neigiamas. Juk kvadratas yra lygi funkcija, kuri „sudegina“ visus minusus (jei tokių buvo).

Štai kodėl visose B11 uždaviniuose, kurie randami vieningame valstybiniame matematikos egzamine, būtinai yra papildomų sąlygų, kurios padeda atsikratyti neapibrėžtumo ženklais. Paprastai tai yra koordinačių ketvirčio, ​​pagal kurį galima nustatyti ženklą, nuoroda.

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai paklaus: „O kaip su tangentu ir kotangentu? Iš aukščiau pateiktų formulių šių funkcijų tiesiogiai apskaičiuoti neįmanoma. Tačiau yra svarbių pasekmių iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, kurioje jau yra liestinės ir kotangentai. Būtent:

Svarbi išvada: bet kurio kampo α atveju pagrindinė trigonometrinė tapatybė gali būti perrašyta taip:

Šios lygtys nesunkiai išvedamos iš pagrindinės tapatybės – pakanka abi puses padalinti iš cos 2 α (kad gautume liestinę) arba iš sin 2 α (kad gautume kotangentą).

Pažvelkime į visa tai konkrečių pavyzdžių. Žemiau pateikiamos tikrosios B11 problemos, paimtos iš netikrų Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje 2012 m.

Mes žinome kosinusą, bet nežinome sinuso. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė („gryna“ forma) jungia tik šias funkcijas, todėl su ja dirbsime. Mes turime:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Norint išspręsti problemą, belieka rasti sinuso ženklą. Kadangi kampas α ∈ (π /2; π ), tada in laipsnio matas tai rašoma taip: α ∈ (90°; 180°).

Todėl kampas α yra II koordinačių ketvirtis- visi sinusai yra teigiami. Todėl sin α = 0,1.

Taigi, mes žinome sinusą, bet turime rasti kosinusą. Abi šios funkcijos yra pagrindinėje trigonometrinėje tapatybėje. Pakeiskime:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Belieka susidoroti su ženklu prieš trupmeną. Ką pasirinkti: pliusą ar minusą? Pagal sąlygą kampas α priklauso intervalui (π 3π /2). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gauname: α ∈ (180°; 270°).

Akivaizdu, kad tai III koordinačių ketvirtis, kur visi kosinusai yra neigiami. Todėl cos α = −0,5.

Užduotis. Raskite tan α, jei žinoma:

Tangentas ir kosinusas yra susiję su lygtimi, išplaukiančia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės:

Gauname: tan α = ±3. Liestinės ženklas nustatomas pagal kampą α. Yra žinoma, kad α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gauname α ∈ (270°; 360°).

Akivaizdu, kad tai IV koordinačių ketvirtis, kur visos liestinės yra neigiamos. Todėl tan α = −3.

Užduotis. Raskite cos α, jei žinoma:

Vėlgi sinusas žinomas, o kosinusas – nežinomas. Užrašykime pagrindinę trigonometrinę tapatybę:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Ženklas nustatomas pagal kampą. Turime: α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus perverskime iš laipsnių į radianus: α ∈ (270°; 360°) – IV koordinačių ketvirtis, ten esantys kosinusai yra teigiami. Todėl cos α = 0,6.

Užduotis. Raskite sin α, jei žinoma:

Užrašykime formulę, kuri išplaukia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės ir tiesiogiai jungia sinusą ir kotangentą:

Iš čia gauname, kad nuodėmė 2 α = 1/25, t.y. sin α = ±1/5 = ±0,2. Yra žinoma, kad kampas α ∈ (0; π /2). Laipsnio mastu tai rašoma taip: α ∈ (0°; 90°) - I koordinačių ketvirtis.

Taigi kampas yra I koordinačių kvadrante – ten visos trigonometrinės funkcijos yra teigiamos, taigi sin α = 0,2.

Pačioje šio straipsnio pradžioje mes išnagrinėjome koncepciją trigonometrinės funkcijos. Pagrindinis jų tikslas – studijuoti trigonometrijos pagrindus ir tirti periodinius procesus. Ir ne veltui nubrėžėme trigonometrinį apskritimą, nes dažniausiai trigonometrinės funkcijos apibrėžiamos kaip trikampio arba tam tikrų jo atkarpų kraštinių santykis vienetiniame apskritime. Taip pat paminėjau neabejotinai didžiulę trigonometrijos svarbą šiuolaikinis gyvenimas. Tačiau mokslas nestovi vietoje, todėl galime žymiai išplėsti trigonometrijos taikymo sritį ir perkelti jos nuostatas į tikrus, o kartais ir sudėtingus skaičius.

Trigonometrijos formulės Yra keletas tipų. Pažvelkime į juos eilės tvarka.

1. To paties kampo trigonometrinių funkcijų santykiai

Čia mes apsvarstysime tokią sąvoką kaip pagrindinės trigonometrinės tapatybės.

Trigonometrinė tapatybė yra lygybė, susidedanti iš trigonometrinių ryšių ir kuri tenkinama visoms į ją įtrauktų kampų reikšmėms.

Pažvelkime į svarbiausius trigonometrinius tapatumus ir jų įrodymus:

Pirmoji tapatybė išplaukia iš paties liestinės apibrėžimo.

Paimkite stačiakampį trikampį, kuris turi aštrus kampas x viršūnėje A.



Norėdami įrodyti tapatybes, turite naudoti Pitagoro teoremą:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Dabar padalijame abi lygybės puses iš (AB) 2 ir, prisiminę sin ir cos kampo apibrėžimus, gauname antrą tapatybę:

(BC) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Norėdami įrodyti trečiąją ir ketvirtąją tapatybes, naudojame ankstesnį įrodymą.

Norėdami tai padaryti, padalykite abi antrosios tapatybės puses iš cos 2 x:

sin 2 x / cos 2 x + cos 2 x / cos 2 x = 1 / cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Remdamiesi pirmąja tapatybe tg x = sin x /cos x gauname trečiąją:

1 + įdegis 2 x = 1 / cos 2 x

Dabar antrąją tapatybę padalinkime iš nuodėmės 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ nuodėmė 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x yra ne kas kita, kaip 1/tg 2 x, todėl gauname ketvirtąją tapatybę:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Atėjo laikas prisiminti sumos teoremą vidiniai kampai trikampis, kuris teigia, kad trikampio kampų suma = 180 0. Pasirodo, trikampio viršūnėje B yra kampas, kurio reikšmė yra 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Dar kartą prisiminkime nuodėmės ir cos apibrėžimus ir gaukime penktąją ir šeštąją tapatybes:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Dabar atlikime šiuos veiksmus:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Kaip matote, čia viskas elementaru.

Yra ir kitų tapatybių, kurios naudojamos sprendžiant matematinius tapatumus, aš juos pateiksiu tiesiog formoje informacinė informacija, nes jie visi kyla iš pirmiau minėtų dalykų.



2. Trigonometrinių funkcijų išreiškimas viena per kitą

   (Ženklo pasirinkimas priešais šaknį priklauso nuo to, kuriame apskritimo ketvirčiu yra kampas?)







3. Toliau pateikiamos kampų pridėjimo ir atėmimo formulės:



4. Dvigubo, trigubo ir puskampių formulės.

   Atkreipiu dėmesį, kad jie visi kyla iš ankstesnių formulių.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x = cos 2 x -sin 2 x = 1-2sin 2 x = 2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3x) /(1 - 3tg 2x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Trigonometrinių išraiškų konvertavimo formulės:

Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – kelių kampų funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje mes išvardinsime visus pagrindinius trigonometrines formules, kurių pakanka daugumai trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės apibrėžti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją bet kuria kita.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Sumažinimo formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio savybę. nurodytas kampas. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, jų įsiminimo mnemoninę taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.

Sudėjimo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos tų kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra pagrindas išvesti šias trigonometrines formules.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip trigonometrinės pusės kampo funkcijos išreiškiamos viso kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Laipsnio mažinimo formulės

Trigonometrinės laipsnių mažinimo formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralūs laipsniai trigonometrinės funkcijos sinusams ir kosinusams iki pirmojo laipsnio, bet keli kampai. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

Pagrindinis tikslas trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra eiti į funkcijų sandaugą, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinės medžiagos Ir išorinis dizainas, negalima atgaminti jokia forma ar naudoti be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.