Kaip padauginti trupmeną iš dešimtainio skaičiaus. Dešimtainių skaičių dauginimas, taisyklės, pavyzdžiai, sprendiniai

Pereikime prie kito veiksmo tyrimo su dešimtainėmis trupmenomis, dabar išsamiai apžvelgsime dauginant po kablelio. Pirmiausia pakalbėkime Bendri principai dauginant dešimtaines trupmenas. Po to pereisime prie dešimtainės trupmenos dauginimo iš dešimtainės trupmenos, parodysime, kaip padauginti dešimtainę trupmeną iš stulpelio, ir apsvarstysime pavyzdžių sprendimus. Toliau apžvelgsime dešimtainių trupmenų padauginimą iš natūraliųjų skaičių, ypač iš 10, 100 ir kt. Galiausiai pakalbėkime apie dešimtainių skaičių dauginimą iš trupmenų ir mišrių skaičių.

Iš karto pasakykime, kad šiame straipsnyje kalbėsime tik apie teigiamų dešimtainių trupmenų dauginimą (žr. teigiamus ir neigiamus skaičius). Likę atvejai aptariami straipsniuose racionaliųjų skaičių daugyba ir padauginus realius skaičius.

Puslapio naršymas.

Bendrieji dešimtainių skaičių dauginimo principai

Aptarkime bendruosius principus, kurių reikėtų laikytis dauginant iš dešimtainių skaičių.

Nuo finalo po kablelio o begalinės periodinės trupmenos yra paprastųjų trupmenų rašymo dešimtainė forma, tada tokių dešimtainių skaičių dauginimas iš esmės reiškia bendrųjų trupmenų dauginimą. Kitaip tariant, dauginant baigtinius dešimtainius, dauginant baigtines ir periodines dešimtaines trupmenas, ir periodinių dešimtainių skaičių dauginant Paprastosios trupmenos padauginamos pavertus dešimtaines trupmenas į paprastas.

Pažvelkime į pateikto dešimtainių trupmenų dauginimo principo taikymo pavyzdžius.

Pavyzdys.

Padauginkite dešimtainius skaičius iš 1,5 ir 0,75.

Sprendimas.

Pakeiskime dauginamas dešimtaines trupmenas atitinkamomis paprastosiomis trupmenomis. Kadangi 1,5 = 15/10 ir 0,75 = 75/100, tada . Galite sumažinti trupmeną, o tada pasirinkti visą dalį iš netinkamos trupmenos arba, patogiau, gautą bendroji trupmena Parašykite 1 125/1 000 kaip dešimtainę trupmeną 1,125.

Atsakymas:

1,5·0,75=1,125.

Pažymėtina, kad stulpelyje patogu dauginti galutines dešimtaines trupmenas, kalbėsime apie šį dešimtainių trupmenų dauginimo būdą.

Pažvelkime į periodinių dešimtainių trupmenų dauginimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite periodinių dešimtainių trupmenų 0,(3) ir 2,(36) sandaugą.

Sprendimas.

Periodines dešimtaines trupmenas paverskime paprastosiomis trupmenomis:

Tada . Gautą paprastąją trupmeną galite konvertuoti į dešimtainę trupmeną:

Atsakymas:

0, (3) · 2, (36) = 0, (78) .

Jei tarp padaugintų dešimtainių trupmenų yra begalės neperiodinių, tai visos padaugintos trupmenos, įskaitant baigtines ir periodines, turėtų būti suapvalintos iki tam tikro skaitmens (žr. suapvalinti skaičius), tada padauginkite galutines po kablelio trupmenas, gautas po apvalinimo.

Pavyzdys.

Dešimtaines padauginkite iš 5,382... ir 0,2.

Sprendimas.

Pirmiausia suapvalinkime begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną, apvalinti galima iki šimtųjų dalių, turime 5,382...≈5,38. Galutinės dešimtainės trupmenos 0,2 nereikia suapvalinti iki artimiausios šimtosios dalies. Taigi 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Belieka skaičiuoti galutinių dešimtainių trupmenų sandaugą: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Atsakymas:

5,382…·0,2≈1,076.

Dešimtainių trupmenų dauginimas iš stulpelio

Baigtines dešimtaines trupmenas galima padauginti stulpelyje, panašiai kaip dauginant natūraliuosius skaičius stulpelyje.

Suformuluokime dešimtainių trupmenų dauginimo iš stulpelio taisyklė. Norėdami padauginti dešimtaines trupmenas iš stulpelio, turite:

• nekreipdami dėmesio į kablelius, atlikti daugybą pagal visas daugybos su natūraliųjų skaičių stulpeliu taisykles;
• atskirti nuo gauto skaičiaus kablelio tiek skaičių dešinėje, kiek skaičių po kablelio yra abiejuose veiksniuose kartu, o jei gaminyje nėra pakankamai skaičių, reikia pridėti kairėje reikalingas kiekis nuliai.

Pažvelkime į dešimtainių trupmenų padauginimo iš stulpelių pavyzdžius.

Pavyzdys.

Padauginkite dešimtainius skaičius iš 63,37 ir 0,12.

Sprendimas.

Stulpelyje padauginkime dešimtaines trupmenas. Pirmiausia padauginame skaičius, nepaisydami kablelių:

Belieka prie gauto produkto pridėti kablelį. Ji turi atskirti 4 skaitmenis į dešinę, nes faktoriai turi keturis skaitmenis po kablelio (du trupmenoje 3,37 ir du trupmenoje 0,12). Ten yra pakankamai skaičių, todėl jums nereikia pridėti nulių kairėje. Pabaikime įrašymą:

Dėl to turime 3,37·0,12=7,6044.

Atsakymas:

3,37·0,12=7,6044.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite dešimtainių skaičių sandaugą 3,2601 ir 0,0254.

Sprendimas.

Atlikę daugybą stulpelyje, neatsižvelgdami į kablelius, gauname tokį vaizdą:

Dabar gaminyje reikia atskirti 8 skaitmenis dešinėje kableliu, nes bendras padaugintų trupmenų skaitmenų po kablelio skaičius yra aštuoni. Tačiau gaminyje yra tik 7 skaitmenys, todėl kairėje turite pridėti tiek nulių, kad 8 skaitmenis galėtumėte atskirti kableliu. Mūsų atveju turime priskirti du nulius:

Tai užbaigia dešimtainių trupmenų dauginimą iš stulpelio.

Atsakymas:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Dešimtaines padauginkite iš 0,1, 0,01 ir kt.

Gana dažnai dešimtaines trupmenas tenka padauginti iš 0,1, 0,01 ir pan. Todėl patartina suformuluoti dešimtainės trupmenos dauginimo iš šių skaičių taisyklę, kuri išplaukia iš aukščiau aptartų dešimtainių trupmenų dauginimo principų.

Taigi, duoto dešimtainio skaičiaus padauginimas iš 0,1, 0,01, 0,001 ir tt duoda trupmeną, gautą iš pradinio, jei jos žymėjime kablelis atitinkamai perkeliamas į kairę skaitmenimis 1, 2, 3 ir tt, o jei nepakanka skaitmenų kableliui perkelti, tada reikia pridėti į kairę reikalinga suma nuliai.

Pavyzdžiui, norėdami padauginti dešimtainę trupmeną 54,34 iš 0,1, trupmenos 54,34 kablelį reikia perkelti į kairę 1 skaitmeniu, o tai suteiks jums trupmeną 5,434, tai yra, 54,34·0,1=5,434. Pateikime kitą pavyzdį. Dešimtainę trupmeną 9,3 padauginkite iš 0,0001. Norėdami tai padaryti, padaugintoje dešimtainėje trupmenoje 9.3 turime perkelti dešimtainį tašką 4 skaitmenimis į kairę, tačiau trupmenos 9.3 žymėjime tiek skaitmenų nėra. Todėl trupmenos 9,3 kairėje turime priskirti tiek nulių, kad galėtume lengvai perkelti po kablelio iki 4 skaitmenų, turime 9,3·0,0001=0,00093.

Atkreipkite dėmesį, kad nurodyta dešimtainės trupmenos dauginimo iš 0,1, 0,01, ... taisyklė galioja ir begalinėms dešimtainėms trupmenoms. Pavyzdžiui, 0.(18)·0,01=0,00(18) arba 93,938…·0,1=9,3938….

Dešimtainės dalies dauginimas iš natūraliojo skaičiaus

Jo esmė dešimtainių skaičių padauginus iš natūraliųjų skaičių niekuo nesiskiria nuo dešimtainio skaičiaus padauginimo iš kablelio.

Patogiausia galutinę dešimtainę trupmeną padauginti iš natūraliojo skaičiaus stulpelyje; tokiu atveju turėtumėte laikytis dešimtainių trupmenų stulpelyje dauginimo taisyklių, aptartų vienoje iš ankstesnių pastraipų.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite sandaugą 15·2,27.

Sprendimas.

Natūralųjį skaičių padauginkime iš dešimtainės trupmenos stulpelyje:

Atsakymas:

15·2,27=34,05.

Periodinę dešimtainę trupmeną dauginant iš natūraliojo skaičiaus, periodinę trupmeną reikia pakeisti paprastąja trupmena.

Pavyzdys.

Dešimtainę trupmeną 0.(42) padauginkite iš natūraliojo skaičiaus 22.

Sprendimas.

Pirmiausia paverskime periodinę dešimtainę trupmeną į paprastąją trupmeną:

Dabar padauginkime: . Šis rezultatas dešimtainiu tikslumu yra 9,(3) .

Atsakymas:

0,(42)·22=9,(3) .

O begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną dauginant iš natūraliojo skaičiaus, pirmiausia reikia atlikti apvalinimą.

Pavyzdys.

Padauginkite iš 4·2,145….

Sprendimas.

Suapvalinus pradinę begalinę dešimtainę trupmeną iki šimtųjų, gauname natūraliojo skaičiaus ir galutinės dešimtainės trupmenos dauginimą. Turime 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Atsakymas:

4·2,145…≈8,60.

Dešimtainės dalies padauginimas iš 10, 100, ...

Gana dažnai dešimtaines trupmenas tenka padauginti iš 10, 100, ... Todėl patartina šiuos atvejus panagrinėti išsamiai.

Ištarkime dešimtainės trupmenos padauginimo iš 10, 100, 1000 ir tt taisyklė. Dauginant dešimtainę trupmeną iš 10, 100, ... jos žymėjime reikia perkelti dešimtainį tašką į dešinę iki atitinkamai iki 1, 2, 3, ... skaitmenų ir išmesti papildomus nulius kairėje; jei dauginamos trupmenos žymėjime nėra pakankamai skaitmenų, kad būtų galima perkelti dešimtainį tašką, tada reikia pridėti reikiamą skaičių nulių į dešinę.

Pavyzdys.

Dešimtainę trupmeną 0,0783 padauginkite iš 100.

Sprendimas.

Perkelkime trupmeną 0,0783 dviem skaitmenimis į dešinę ir gausime 007,83. Numetus du nulius kairėje, gaunama dešimtainė trupmena 7,38. Taigi 0,0783·100=7,83.

Atsakymas:

0,0783·100=7,83.

Pavyzdys.

Dešimtainę trupmeną 0,02 padauginkite iš 10 000.

Sprendimas.

Norėdami padauginti 0,02 iš 10 000, dešimtainį kablelį turime perkelti 4 skaitmenimis į dešinę. Akivaizdu, kad trupmenoje 0,02 nėra pakankamai skaitmenų, kad kablelis būtų perkeltas 4 skaitmenimis, todėl dešinėje pridėsime kelis nulius, kad būtų galima perkelti kablelį. Mūsų pavyzdyje pakanka pridėti tris nulius, turime 0,02000. Perkėlus kablelį gauname įrašą 00200.0. Atmetę nulius kairėje, gauname skaičių 200,0, kuris yra lygus natūraliajam skaičiui 200, kuris gaunamas dešimtainę trupmeną 0,02 padauginus iš 10 000.

§ 1 Dešimtainių trupmenų dauginimo taisyklės taikymas

Šioje pamokoje susipažinsite ir išmoksite taikyti dešimtainių skaičių dauginimo taisyklę ir dešimtainio skaičiaus dauginimo iš vietos vertės vieneto, pvz., 0,1, 0,01 ir kt., taisyklę. Be to, apžvelgsime daugybos ypatybes, kai ieškosime išraiškų, kuriose yra po kablelio, reikšmes.

Išspręskime problemą:

Automobilio greitis yra 59,8 km/val.

Kokį atstumą automobilis įveiks per 1,3 valandos?

Kaip žinia, norint rasti kelią, reikia greitį padauginti iš laiko, t.y. 59,8 karto 1,3.

Surašykime skaičius į stulpelį ir pradėkime dauginti, nepastebėdami kablelių: 8 padauginus iš 3 gaunasi 24, 4 mintyse rašome 2, 3 padauginus iš 9 yra 27 plius plius 2, gauname 29, mes mintyse parašykite 9, 2. Dabar padauginame 3 iš 5, gauname 15 ir pridedame 2, gauname 17.

Pereikime prie antrosios eilutės: 1 padauginus iš 8, gauname 8, 1 padauginame iš 9, gauname 9, 1 padauginame iš 5, gauname 5, pridedame šias dvi eilutes, gauname 4, 9+8 yra 17, 7 rašome 1 mintyse, 7 +9 yra 16 ir dar 1, bus 17, 7 rašome 1 mintyse, 1+5 ir dar 1 gauname 7.

Dabar pažiūrėkime, kiek skaičių po kablelio yra abiejose trupmenose! Pirmoje trupmenoje yra vienas skaitmuo po kablelio, o antroji trupmena – vienas skaitmuo po kablelio, tik du skaitmenys. Tai reiškia, kad dešinėje rezultato pusėje reikia suskaičiuoti du skaitmenis ir dėti kablelį, t.y. bus 77,74. Taigi, padauginus 59,8 iš 1,3, gauname 77,74. Tai reiškia, kad problemos atsakymas yra 77,74 km.

Taigi, norint padauginti dvi dešimtaines trupmenas, jums reikia:

Pirma: padauginkite nekreipdami dėmesio į kablelius

Antra: gautoje sandaugoje kableliu atskirkite tiek skaitmenų dešinėje, kiek abiejuose veiksniuose kartu yra po kablelio.

Jei gautame sandaugoje yra mažiau skaitmenų, nei reikia atskirti kableliu, priešais reikia pridėti vieną ar daugiau nulių.

Pavyzdžiui: 0,145 padauginus iš 0,03 mūsų gaminyje gauname 435, o kableliu reikia atskirti 5 skaitmenis dešinėje, todėl prieš skaičių 4 pridedame dar 2 nulius, dedame kablelį ir pridedame dar vieną nulį. Gauname atsakymą 0,00435.

§ 2 Dešimtainių trupmenų dauginimo savybės

Dauginant dešimtaines trupmenas, išsaugomos visos tos pačios daugybos savybės, kurios taikomos natūraliems skaičiams. Atlikime keletą užduočių.

1 užduotis:

Išspręskime šį pavyzdį taikydami daugybos paskirstymo savybę sudėjimo atžvilgiu.

Iš skliaustų paimkime 5,7 (bendrasis koeficientas), skliausteliuose palikdami 3,4 plius 0,6. Šios sumos reikšmė yra 4, o dabar 4 reikia padauginti iš 5,7, gauname 22,8.

Užduotis Nr. 2:

Taikykime daugybos komutacinę savybę.

Pirmiausia 2,5 padauginame iš 4, gauname 10 sveikųjų skaičių, o dabar reikia 10 padauginti iš 32,9 ir gauname 329.

Be to, daugindami dešimtaines trupmenas, galite pastebėti:

Dauginant skaičių iš netinkamos dešimtainės trupmenos, t.y. didesnis arba lygus 1, jis didėja arba nekinta, pavyzdžiui:

Padauginus skaičių iš tinkamos dešimtainės trupmenos, t.y. mažesnis nei 1, jis mažėja, pavyzdžiui:

Išspręskime pavyzdį:

23,45 padaugintas iš 0,1.

Turime padauginti 2 345 iš 1 ir atskirti tris kablelius dešinėje, gausime 2, 345.

Dabar išspręskime kitą pavyzdį: 23,45 padalijus iš 10, turime perkelti dešimtainį skaičių į kairę viena vieta, nes skaitmenų vienete yra 1 nulis, gauname 2,345.

Iš šių dviejų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad dešimtainę trupmeną padauginus iš 0,1, 0,01, 0,001 ir t.t., reiškia skaičių padalyti iš 10, 100, 1000 ir t.t., t.y. Dešimtainėje trupmenoje dešimtainį tašką reikia perkelti į kairę tiek vietų, kiek koeficiente yra nulių prieš 1.

Naudodami gautą taisyklę randame produktų vertes:

13,45 karto 0,01

priešais skaičių 1 yra 2 nuliai, todėl dešimtainį tašką perkelkite į kairę 2 vietas, gausime 0,1345.

0,02 karto 0,001

Priešais skaičių 1 yra 3 nuliai, tai reiškia, kad kablelį perkeliame trimis vietomis į kairę, gauname 0,00002.

Taigi, šioje pamokoje išmokote padauginti dešimtaines trupmenas. Norėdami tai padaryti, tereikia atlikti daugybą, nekreipti dėmesio į kablelius, o gautoje sandaugoje kableliu atskirti tiek skaitmenų dešinėje, kiek abiejuose veiksniuose kartu yra po kablelio. Be to, susipažinome su dešimtainės trupmenos dauginimo iš 0,1, 0,01 ir tt taisykle, taip pat ištyrėme dešimtainių trupmenų dauginimo savybes.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Matematika 5 klasė. Vilenkinas N.Y., Žokhovas V.I. ir kt., 31 leidimas, ištrintas. - M: 2013 m.
2. Didaktinė medžiaga matematikos 5 kl. Autorius - Popovas M.A. – 2013 metai
3. Skaičiuojame be klaidų. Darbas su savęs patikrinimu 5-6 klasėje matematikos. Autorius - Minaeva S.S. – 2014 metai
4. Didaktinė medžiaga matematikai 5 klasė. Autoriai: Dorofejevas G.V., Kuznecova L.V. – 2010 m
5. Kontroliuoti ir savarankiškas darbas matematikos 5 kl. Autoriai - Popovas M.A. – 2012 metai
6. Matematika. 5 klasė: mokomoji. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009

Paskutinėje pamokoje išmokome sudėti ir atimti po kablelio skaičių (žr. pamoką „Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas“). Tuo pačiu metu įvertinome, kiek supaprastinami skaičiavimai, palyginti su įprastomis „dviejų aukštų“ trupmenomis.

Deja, šis efektas nepasireiškia dauginant ir dalijant dešimtainius. Kai kuriais atvejais dešimtainis žymėjimas netgi apsunkina šias operacijas.

Pirma, pristatykime naują apibrėžimą. Matysime jį gana dažnai, ir ne tik šioje pamokoje.

Reikšminga skaičiaus dalis yra viskas tarp pirmojo ir paskutinio ne nulio skaitmenų, įskaitant galus. Tai apie kalbant tik apie skaičius, į dešimtainį kablelį neatsižvelgiama.

Skaičiai, įtraukti į reikšminę skaičiaus dalį, vadinami reikšminiais skaitmenimis. Jie gali kartotis ir netgi būti lygūs nuliui.

Pavyzdžiui, apsvarstykite kelias dešimtaines trupmenas ir užrašykite atitinkamas reikšmingas dalis:

1. 91,25 → 9125 (svarbūs skaičiai: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (svarbūs skaičiai: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (svarbūs skaičiai: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (svarbūs skaičiai: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (reikšminga figūra tik vienas: 3).

Atkreipkite dėmesį: reikšmingoje skaičiaus dalyje esantys nuliai niekur nedingsta. Su kažkuo panašaus jau susidūrėme, kai išmokome paversti dešimtaines trupmenas į paprastas (žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“).

Šis punktas toks svarbus, o klaidų čia daroma taip dažnai, kad artimiausiu metu paskelbsiu testą šia tema. Būtinai praktikuokite! Ir mes, apsiginklavę reikšmingos dalies samprata, iš tikrųjų pereisime prie pamokos temos.

Dešimtainių skaičių dauginimas

Daugybos operacija susideda iš trijų nuoseklių žingsnių:

1. Kiekvienai trupmenai užrašykite reikšmingąją dalį. Gausite du paprastus sveikuosius skaičius – be vardiklio ir po kablelio;
2. Padauginkite šiuos skaičius iš bet kurio patogiu būdu. Tiesiogiai, jei skaičiai maži, arba stulpelyje. Gauname reikšmingą norimos trupmenos dalį;
3. Išsiaiškinkite, kur ir kiek skaitmenų perkeliamas kablelis pradinėse trupmenose, kad gautumėte atitinkamą reikšmingąją dalį. Atlikite atvirkštinius perjungimus svarbiai daliai, gautai ankstesniame žingsnyje.

Leiskite dar kartą priminti, kad į nulius reikšmingos dalies pusėse niekada neatsižvelgiama. Šios taisyklės nepaisymas sukelia klaidų.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Dirbame su pirmąja išraiška: 0,28 · 12,5.

1. Užrašykime reikšmingąsias dalis skaičiams iš šios išraiškos: 28 ir 125;
2. Jų gaminys: 28 · 125 = 3500;
3. Pirmajame koeficiente kablelis perkeliamas 2 skaitmenimis į dešinę (0,28 → 28), o antrajame – dar 1 skaitmeniu. Iš viso jums reikia trijų skaitmenų poslinkio į kairę: 3500 → 3500 = 3,5.

Dabar pažiūrėkime į išraišką 6.3 · 1.08.

1. Išrašykime reikšmingąsias dalis: 63 ir 108;
2. Jų gaminys: 63 · 108 = 6804;
3. Vėlgi, du poslinkiai į dešinę: atitinkamai 2 ir 1 skaitmeniu. Iš viso – vėl 3 skaitmenys į dešinę, taigi atvirkštinis poslinkis bus 3 skaitmenys į kairę: 6804 → 6.804. Šį kartą pasibaigiančių nulių nėra.

Pasiekėme trečią išraišką: 132,5 · 0,0034.

1. Reikšmingos dalys: 1325 ir 34;
2. Jų produktas: 1325 · 34 = 45 050;
3. Pirmoje trupmenoje kablelis pasislenka į dešinę 1 skaitmeniu, o antroje - net 4. Iš viso: 5 į dešinę. Perkeliame 5 į kairę: 45 050 → .45050 = 0,4505. Nulis buvo pašalintas pabaigoje ir pridėtas priekyje, kad neliktų „nuogo“ kablelio.

Ši išraiška yra: 0,0108 · 1600,5.

1. Rašome reikšmingas dalis: 108 ir 16 005;
2. Juos padauginame: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Skaičiuojame po kablelio: pirmame skaičiuje yra 4, antrame – 1. Iš viso vėlgi 5. Turime: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Pabaigoje „papildomas“ nulis buvo pašalintas.

Galiausiai paskutinė išraiška: 5,25 10 000.

1. Reikšmingos dalys: 525 ir 1;
2. Juos padauginame: 525 · 1 = 525;
3. Pirmoji trupmena perkeliama 2 skaitmenimis į dešinę, o antroji trupmena – 4 skaitmenimis į kairę (10 000 → 1 0000 = 1). Iš viso 4–2 = 2 skaitmenys į kairę. Atliekame atvirkštinį poslinkį 2 skaitmenimis į dešinę: 525, → 52 500 (turėjome pridėti nulius).

Atkreipkite dėmesį į paskutinį pavyzdį: kadangi dešimtainis kablelis perkeltas į skirtingomis kryptimis, bendras poslinkis randamas per skirtumą. Tai labai svarbus punktas! Štai dar vienas pavyzdys:

Apsvarstykite skaičius 1,5 ir 12 500. Turime: 1,5 → 15 (paslinkimas 1 į dešinę); 12 500 → 125 (2 poslinkis į kairę). Mes „žingsniuojame“ 1 skaitmenį į dešinę, o tada 2 į kairę. Dėl to mes pasitraukėme 2 − 1 = 1 skaitmenį į kairę.

Dešimtainis padalijimas

Dalijimasis yra bene sunkiausia operacija. Žinoma, čia galite veikti pagal analogiją su daugyba: padalinkite reikšmingas dalis ir tada „perkelkite“ dešimtainį tašką. Tačiau šiuo atveju yra daug subtilybių, kurios paneigia galimą taupymą.

Todėl pažvelkime į universalų algoritmą, kuris yra šiek tiek ilgesnis, bet daug patikimesnis:

1. Konvertuoti visas dešimtaines trupmenas į paprastas trupmenas. Šiek tiek pasipraktikavus, šis veiksmas užtruks kelias sekundes;
2. Padalinkite gautas trupmenas klasikiniu būdu. Kitaip tariant, padauginkite pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios (žr. pamoką „Skaičių trupmenų dauginimas ir dalijimas“);
3. Jei įmanoma, vėl pateikite rezultatą kaip dešimtainę trupmeną. Šis žingsnis taip pat yra greitas, nes vardiklis dažnai jau yra dešimties laipsnis.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Panagrinėkime pirmąją išraišką. Pirmiausia paverskime trupmenas į dešimtaines:

Padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmosios trupmenos skaitiklis vėl bus koeficientas:

Trečiame ir ketvirtame pavyzdžiuose yra svarbus momentas: atsikračius dešimtainio žymėjimo atsiranda redukuojamos trupmenos. Tačiau šio sumažinimo neatliksime.

Paskutinis pavyzdys įdomus tuo, kad antrosios trupmenos skaitiklyje yra pirminis skaičius. Čia tiesiog nėra ko faktorinuoti, todėl svarstome tai tiesiai į priekį:

Kartais padalijus gaunamas sveikasis skaičius (kalbu apie paskutinį pavyzdį). Šiuo atveju trečias veiksmas apskritai neatliekamas.

Be to, dalinant dažnai atsiranda „bjaurių“ trupmenų, kurių negalima paversti dešimtainiais. Tai išskiria padalijimą nuo daugybos, kai rezultatai visada pateikiami dešimtaine forma. Žinoma, šiuo atveju paskutinis žingsnis vėl neįvykdytas.

Taip pat atkreipkite dėmesį į 3 ir 4 pavyzdžius. Juose sąmoningai nesumažiname paprastųjų trupmenų, gautų iš kablelio. Priešingu atveju tai apsunkins atvirkštinę užduotį – galutinį atsakymą vėl pateiksite dešimtaine forma.

Atminkite: pagrindinė trupmenos savybė (kaip ir bet kuri kita matematikos taisyklė) pati savaime nereiškia, kad ji turi būti taikoma visur ir visada, esant kiekvienai progai.

Šioje pamokoje apžvelgsime kiekvieną iš šių operacijų atskirai.

Pamokos turinys

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Kaip žinome, dešimtainė trupmena turi sveikąjį skaičių ir trupmeninę dalis. Sudedant po kablelio, visa ir trupmenos dalys pridedamos atskirai.

Pavyzdžiui, sudėkime dešimtaines trupmenas 3.2 ir 5.3. Stulpelyje patogiau sudėti dešimtaines trupmenas.

Pirmiausia parašykime šias dvi trupmenas į stulpelį, kur sveikosios dalys būtinai būtų po sveikaisiais skaičiais, o trupmeninės dalys – po trupmeninėmis dalimis. Mokykloje šis reikalavimas vadinamas "kablelis po kableliu".

Parašykime trupmenas stulpelyje taip, kad kablelis būtų po kableliu:

Pradedame sudėti trupmenines dalis: 2 + 3 = 5. Penketą įrašome trupmeninėje atsakymo dalyje:

Dabar sumuojame visas dalis: 3 + 5 = 8. Visoje atsakymo dalyje rašome aštuonis:

Dabar visą dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu. Norėdami tai padaryti, mes vėl laikomės taisyklės "kablelis po kableliu":

Gavome atsakymą 8,5. Taigi išraiška 3,2 + 5,3 lygi 8,5

Tiesą sakant, ne viskas taip paprasta, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Čia taip pat yra spąstų, apie kuriuos dabar kalbėsime.

Vietos po kablelio

Dešimtainės trupmenos, kaip ir įprasti skaičiai, turi savo skaitmenis. Tai yra dešimtinių, šimtųjų, tūkstantųjų vietos. Šiuo atveju skaitmenys prasideda po kablelio.

Pirmasis skaitmuo po kablelio nurodo dešimtąsias vietas, antrasis skaitmuo po kablelio – šimtąsias vietas, o trečias skaitmuo po kablelio – tūkstantąsias vietas.

Vietose po kablelio yra keletas Naudinga informacija. Tiksliau, jie nurodo, kiek dešimtųjų, šimtųjų ir tūkstantųjų yra dešimtainėje dalyje.

Pavyzdžiui, apsvarstykite dešimtainę trupmeną 0,345

Padėtis, kurioje yra trys, vadinama dešimtoji vieta

Padėtis, kurioje yra keturi, vadinama šimtoji vieta

Padėtis, kurioje yra penki, vadinama tūkstantoji vieta

Pažiūrėkime į šį piešinį. Matome, kad dešimtoje vietoje yra trejetas. Tai reiškia, kad dešimtainėje trupmenoje 0,345 yra trys dešimtosios.

Jei sudėsime trupmenas, gausime pradinę dešimtainę trupmeną 0,345

Matyti, kad iš pradžių gavome atsakymą, bet pavertėme jį į dešimtainę trupmeną ir gavome 0,345.

Sudedant dešimtaines trupmenas vadovaujamasi tais pačiais principais ir taisyklėmis kaip ir sudedant paprastus skaičius. Dešimtainės trupmenos pridedamos skaitmenimis: dešimtosios pridedamos prie dešimtosios, šimtosios - šimtosios, tūkstantosios - tūkstantosios.

Todėl, pridėdami dešimtaines trupmenas, turite laikytis taisyklės "kablelis po kableliu". Kablelis po kableliu nurodo pačią tvarką, kuria dešimtosios pridedamos prie dešimtosios, šimtosios prie šimtosios, tūkstantosios prie tūkstantosios.

1 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę 1,5 + 3,4

Visų pirma, sumuojame trupmenines dalis 5 + 4 = 9. Savo atsakymo trupmeninėje dalyje įrašome devynis:

Dabar pridedame sveikųjų skaičių dalis 1 + 3 = 4. Keturias įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Dabar visą dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu. Norėdami tai padaryti, vėl laikomės taisyklės „kablelis po kableliu“:

Gavome 4,9 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 1,5 + 3,4 reikšmė yra 4,9

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę: 3,51 + 1,22

Rašome šią išraišką stulpelyje, laikydamiesi taisyklės „kablelis po kableliu“.

Pirmiausia sumuojame trupmeninę dalį, būtent šimtąsias 1+2=3. Šimtojoje atsakymo dalyje rašome trigubą:

Dabar pridėkite dešimtąsias 5+2=7. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome septynetą:

Dabar sudedame visas dalis 3+1=4. Visoje atsakymo dalyje rašome keturis:

Visą dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu, laikydamiesi taisyklės „kablelis po kableliu“:

Gavome atsakymą 4,73. Tai reiškia, kad išraiškos 3,51 + 1,22 reikšmė yra lygi 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kaip ir naudojant įprastus skaičius, pridedant po kablelio, . Tokiu atveju atsakyme įrašomas vienas skaitmuo, o likusieji perkeliami į kitą skaitmenį.

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 2,65 + 3,27

Stulpelyje įrašome šią išraišką:

Sudėkite šimtąsias dalis 5+7=12. Skaičius 12 netilps į šimtąją mūsų atsakymo dalį. Todėl šimtojoje dalyje rašome skaičių 2 ir perkeliame vienetą į kitą skaitmenį:

Dabar sudedame dešimtąsias 6+2=8 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 9. Dešimtojoje atsakymo dalyje įrašome skaičių 9:

Dabar sudedame visas dalis 2+3=5. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome skaičių 5:

Atsakymas, kurį gavome, buvo 5,92. Tai reiškia, kad išraiškos 2,65 + 3,27 reikšmė yra lygi 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 9,5 + 2,8

Šią išraišką įrašome stulpelyje

Sudedame trupmenines dalis 5 + 8 = 13. Skaičius 13 netilps į mūsų atsakymo trupmeninę dalį, todėl pirmiausia užrašome skaičių 3 ir perkeliame vienetą į kitą skaitmenį, tiksliau, perkeliame į sveikoji dalis:

Dabar pridedame sveikųjų skaičių dalis 9+2=11 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 12. Skaičius 12 įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome atsakymą 12.3. Tai reiškia, kad išraiškos 9,5 + 2,8 reikšmė yra 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Sudedant po kablelio skaičių, skaitmenų skaičius po kablelio abiejose trupmenose turi būti vienodas. Jei skaičių nepakanka, šios trupmeninės dalies vietos užpildomos nuliais.

5 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę: 12,725 + 1,7

Prieš rašydami šią išraišką stulpelyje, paverskime skaitmenų skaičių po kablelio abiejose trupmenose vienodą. Dešimtainėje trupmenoje 12,725 yra trys skaitmenys po kablelio, o trupmenoje 1,7 yra tik vienas. Tai reiškia, kad 1,7 trupmenos pabaigoje reikia pridėti du nulius. Tada gauname trupmeną 1,700. Dabar galite įrašyti šią išraišką stulpelyje ir pradėti skaičiuoti:

Sudėkite tūkstantąsias dalis 5+0=5. Tūkstančioje atsakymo dalyje rašome skaičių 5:

Sudėkite šimtąsias dalis 2+0=2. Šimtojoje atsakymo dalyje rašome skaičių 2:

Sudėkite dešimtąsias 7+7=14. Skaičius 14 netilps į dešimtadalį mūsų atsakymo. Todėl pirmiausia užrašome skaičių 4 ir perkeliame vienetą į kitą skaitmenį:

Dabar pridedame sveikųjų skaičių dalis 12+1=13 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 14. Skaičius 14 įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome 14 425 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 12,725+1,700 reikšmė yra 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Dešimtainių skaičių atėmimas

Atimdami dešimtaines trupmenas, turite laikytis tų pačių taisyklių kaip ir pridedant: „kablelis po kablelio“ ir „lygus skaitmenų skaičius po kablelio“.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 2,5 − 2,2

Rašome šią išraišką stulpelyje, laikydamiesi taisyklės „kablelis po kableliu“:

Skaičiuojame trupmeninę dalį 5−2=3. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome skaičių 3:

Skaičiuojame sveikąją dalį 2−2=0. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome nulį:

Atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome 0,3 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 2,5 − 2,2 reikšmė yra lygi 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 7.353 - 3.1

Šioje išraiškoje skirtingi kiekiai skaičiai po kablelio. Trupmeną 7,353 sudaro trys skaitmenys po kablelio, o trupmena 3,1 turi tik vieną. Tai reiškia, kad 3.1 trupmenos pabaigoje reikia pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius abiejose trupmenose būtų vienodas. Tada gauname 3100.

Dabar galite įrašyti šią išraišką stulpelyje ir apskaičiuoti:

Gavome 4253 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 7,353 − 3,1 reikšmė yra lygi 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kaip ir įprastų skaičių atveju, kartais turėsite pasiskolinti vieną iš gretimo skaitmens, jei atimti tampa neįmanoma.

3 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę 3,46 − 2,39

Atimkite šimtąsias dalis iš 6–9. Negalite atimti skaičiaus 9 iš skaičiaus 6. Todėl iš gretimo skaitmens reikia pasiskolinti vieną. Pasiskolinęs vieną iš gretimo skaitmens, skaičius 6 virsta skaičiumi 16. Dabar galite apskaičiuoti šimtąsias 16−9=7. Šimtojoje atsakymo dalyje rašome septynetą:

Dabar atimame dešimtąsias. Kadangi vieną vienetą užėmėme dešimtoje vietoje, ten buvę skaičius sumažėjo vienu vienetu. Kitaip tariant, dešimtųjų vietoje dabar yra ne skaičius 4, o skaičius 3. Apskaičiuokime dešimtąsias 3−3=0. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome nulį:

Dabar atimame visas dalis 3−2=1. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome vieną:

Atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome atsakymą 1.07. Tai reiškia, kad išraiškos 3,46–2,39 reikšmė yra lygi 1,07

3,46−2,39=1,07

4 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę 3−1.2

Šiame pavyzdyje iš sveikojo skaičiaus atimamas dešimtainis skaičius. Parašykime šią išraišką stulpelyje taip visa dalis dešimtainė trupmena 1,23 atsidūrė po skaičiumi 3

Dabar paverskime skaitmenų skaičių po kablelio vienodu. Norėdami tai padaryti, po skaičiaus 3 dedame kablelį ir pridedame vieną nulį:

Dabar atimame dešimtąsias: 0–2. Iš nulio negalima atimti skaičiaus 2. Todėl iš gretimo skaitmens reikia pasiskolinti vieną. Pasiskolinęs vieną iš gretimo skaitmens, 0 virsta skaičiumi 10. Dabar galite skaičiuoti dešimtąsias 10−2=8. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome aštuonetą:

Dabar atimame visas dalis. Anksčiau skaičius 3 buvo visame, bet iš jo paėmėme vieną vienetą. Dėl to jis virto skaičiumi 2. Todėl iš 2 atimame 1. 2−1=1. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome vieną:

Atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome atsakymą 1,8. Tai reiškia, kad išraiškos 3–1,2 reikšmė yra 1,8

Dešimtainių skaičių dauginimas

Dauginti po kablelio skaičių yra paprasta ir netgi smagu. Norėdami padauginti dešimtainių skaičių, padauginkite juos kaip įprastus skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelius.

Gavus atsakymą, visą dalį nuo trupmeninės dalies reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio abiejose trupmenose, tada atsakyme suskaičiuoti tiek pat skaitmenų iš dešinės ir įdėti kablelį.

1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 2,5 × 1,5

Padauginkime šias dešimtaines trupmenas kaip paprastus skaičius, nepaisydami kablelių. Norėdami nepaisyti kablelių, galite laikinai įsivaizduoti, kad jų visai nėra:

Gavome 375. Šiame skaičiuje sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, 2,5 ir 1,5 trupmenose turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio. Pirmoji trupmena turi vieną skaitmenį po kablelio, o antroji trupmena taip pat turi vieną. Iš viso du skaičiai.

Grįžtame prie numerio 375 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis dešinėje ir įdėti kablelį:

Gavome atsakymą 3,75. Taigi išraiškos 2,5 × 1,5 reikšmė yra 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

2 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę 12,85 × 2,7

Padauginkime šias dešimtaines trupmenas, nepaisydami kablelių:

Gavome 34695. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio trupmenose 12,85 ir 2,7. Trupmena 12,85 turi du skaitmenis po kablelio, o trupmena 2,7 turi vieną skaitmenį – iš viso trys skaitmenys.

Grįžtame prie numerio 34695 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti tris skaitmenis iš dešinės ir įdėti kablelį:

Gavome 34 695 atsakymą. Taigi išraiškos 12,85 × 2,7 reikšmė yra 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Dešimtainės dalies padauginimas iš įprasto skaičiaus

Kartais susidaro situacijos, kai reikia padauginti dešimtainę trupmeną iš įprasto skaičiaus.

Norėdami padauginti dešimtainį skaičių ir skaičių, padauginkite juos nekreipdami dėmesio į kablelį dešimtainėje. Gavus atsakymą, visą dalį nuo trupmeninės dalies reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio dešimtainėje trupmenoje, tada atsakyme suskaičiuoti tiek pat skaitmenų iš dešinės ir įdėti kablelį.

Pavyzdžiui, 2,54 padauginkite iš 2

Padauginkite dešimtainę trupmeną 2,54 iš įprasto skaičiaus 2, nekreipdami dėmesio į kablelį:

Gavome skaičių 508. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės. Norėdami tai padaryti, trupmenoje 2,54 turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio. Trupmeną 2,54 sudaro du skaitmenys po kablelio.

Grįžtame į numerį 508 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis dešinėje ir įdėti kablelį:

Gavome atsakymą 5.08. Taigi išraiškos 2,54 × 2 reikšmė yra 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Dešimtainių skaičių padauginkite iš 10, 100, 1000

Dešimtainės trupmenos dauginimas iš 10, 100 arba 1000 atliekamas taip pat, kaip dešimtainių dalių dauginimas iš įprastų skaičių. Turite atlikti daugybą, nekreipdami dėmesio į kablelį dešimtainėje trupmenoje, tada atsakyme atskirkite visą dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės tiek pat skaitmenų, kiek buvo skaitmenų po kablelio.

Pavyzdžiui, 2,88 padauginkite iš 10

Padauginkite dešimtainę trupmeną 2,88 iš 10, nepaisydami kablelio dešimtainėje trupmenoje:

Gavome 2880. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės. Norėdami tai padaryti, trupmenoje 2,88 turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio. Matome, kad trupmena 2,88 turi du skaitmenis po kablelio.

Grįžtame prie numerio 2880 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis dešinėje ir įdėti kablelį:

Gavome atsakymą 28.80. Numeskime paskutinį nulį ir gaukime 28,8. Tai reiškia, kad išraiškos 2,88×10 reikšmė yra 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Yra antras būdas dešimtaines trupmenas padauginti iš 10, 100, 1000. Šis metodas yra daug paprastesnis ir patogesnis. Tai reiškia, kad dešimtainis taškas perkeliamas į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente yra nulių.

Pavyzdžiui, nuspręskime ankstesnis pavyzdys 2,88x10 tokiu būdu. Neduodami jokių skaičiavimų, iš karto žiūrime į koeficientą 10. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra vienas nulis. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame kablelį į dešinįjį vieną skaitmenį, gauname 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Pabandykime 2,88 padauginti iš 100. Iš karto žiūrime į koeficientą 100. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra du nuliai. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame kablelį į dešinįjį du skaitmenis, gauname 288

2,88 × 100 = 288

Pabandykime 2,88 padauginti iš 1000. Iš karto žiūrime į koeficientą 1000. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra trys nuliai. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame dešimtainį tašką į dešinę trimis skaitmenimis. Trečio skaitmens ten nėra, todėl pridedame dar vieną nulį. Dėl to gauname 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Dešimtainių skaičių padauginus iš 0,1 0,01 ir 0,001

Dešimtainės dalies dauginimas iš 0,1, 0,01 ir 0,001 veikia taip pat, kaip dešimtainės dalies dauginimas iš kablelio. Reikia trupmenas dauginti kaip paprastus skaičius, o atsakyme dėti kablelį, skaičiuojant tiek skaitmenų į dešinę, kiek abiejose trupmenose yra skaitmenų po kablelio.

Pavyzdžiui, 3,25 padauginkite iš 0,1

Šias trupmenas dauginame kaip paprastus skaičius, nepaisydami kablelių:

Gavome 325. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio trupmenose 3,25 ir 0,1. Trupmena 3,25 turi du skaitmenis po kablelio, o trupmena 0,1 - vieną skaitmenį. Iš viso trys skaičiai.

Grįžtame prie skaičiaus 325 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti tris skaitmenis iš dešinės ir įdėti kablelį. Suskaičiavę tris skaitmenis, matome, kad skaičiai baigėsi. Tokiu atveju turite pridėti vieną nulį ir pridėti kablelį:

Gavome 0,325 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 3,25 × 0,1 reikšmė yra 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Yra antras būdas po kablelio padauginti iš 0,1, 0,01 ir 0,001. Šis metodas yra daug paprastesnis ir patogesnis. Tai reiškia, kad dešimtainis taškas perkeliamas į kairę tiek skaitmenų, kiek koeficiente yra nulių.

Pavyzdžiui, išspręskime ankstesnį pavyzdį 3,25 × 0,1 tokiu būdu. Nepateikdami jokių skaičiavimų, iš karto žiūrime į daugiklį 0,1. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra vienas nulis. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame dešimtainį tašką į kairę vienu skaitmeniu. Perkeldami kablelį vienu skaitmeniu į kairę, matome, kad prieš tris skaitmenis daugiau nėra. Tokiu atveju pridėkite vieną nulį ir padėkite kablelį. Rezultatas yra 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Pabandykime 3,25 padauginti iš 0,01. Iš karto žiūrime į daugiklį 0,01. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra du nuliai. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame dešimtainį tašką į kairę du skaitmenis, gauname 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Pabandykime 3,25 padauginti iš 0,001. Iš karto žiūrime į daugiklį 0,001. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra trys nuliai. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame dešimtainį tašką į kairę trimis skaitmenimis, gauname 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nepainiokite dešimtainių trupmenų dauginimo iš 0,1, 0,001 ir 0,001 su daugyba iš 10, 100, 1000. Dažna klaida dauguma žmonių.

Dauginant iš 10, 100, 1000, dešimtainis kablelis perkeliamas į dešinę tiek skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

O dauginant iš 0,1, 0,01 ir 0,001, dešimtainis kablelis perkeliamas į kairę tiek pat skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

Jei iš pradžių sunku prisiminti, galite naudoti pirmąjį metodą, kuriame daugyba atliekama kaip su įprastais skaičiais. Atsakyme turėsite atskirti visą dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuojant tiek pat skaitmenų dešinėje, kiek yra skaitmenų po kablelio abiejose trupmenose.

Mažesnio skaičiaus padalijimas iš didesnio skaičiaus. Pažengęs lygis.

Vienoje iš ankstesnių pamokų sakėme, kad dalijant mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus, gaunama trupmena, kurios skaitiklis yra dividendas, o vardiklis – daliklis.

Pavyzdžiui, norint padalinti vieną obuolį į du, skaitiklyje reikia įrašyti 1 (vieną obuolį), o vardiklyje – 2 (du draugus). Dėl to gauname trupmeną . Tai reiškia, kad kiekvienas draugas gaus obuolį. Kitaip tariant, pusė obuolio. Trupmena yra problemos atsakymas "Kaip padalinti vieną obuolį į du"

Pasirodo, šią užduotį galite išspręsti toliau, jei padalinsite 1 iš 2. Juk trupmenos eilutė bet kurioje trupmenoje reiškia padalijimą, todėl šis padalijimas trupmenoje yra leidžiamas. Bet kaip? Esame įpratę, kad dividendas visada didesnis už daliklį. Tačiau čia, priešingai, dividendas yra mažesnis nei daliklis.

Viskas paaiškės, jei prisiminsime, kad trupmena reiškia gniuždymą, padalijimą, padalijimą. Tai reiškia, kad įrenginį galima padalyti į tiek dalių, kiek norima, o ne tik į dvi dalis.

Padalijus mažesnį skaičių iš didesnio skaičiaus, gaunama dešimtainė trupmena, kurios sveikoji dalis yra 0 (nulis). Trupmeninė dalis gali būti bet kokia.

Taigi, padalinkime 1 iš 2. Išspręskime šį pavyzdį su kampu:

Vieno negalima visiškai padalinti į dvi dalis. Jei užduosite klausimą „kiek du yra viename“ , tada atsakymas bus 0. Todėl į koeficientą rašome 0 ir dedame kablelį:

Dabar, kaip įprasta, padauginame koeficientą iš daliklio, kad gautume likutį:

Atėjo momentas, kai įrenginį galima padalyti į dvi dalis. Norėdami tai padaryti, į dešinę nuo gauto nulio pridėkite kitą nulį:

Gavome 10. Padalinkite 10 iš 2, gausime 5. Penketą įrašome trupmeninėje atsakymo dalyje:

Dabar išimame paskutinę likutį, kad užbaigtume skaičiavimą. Padauginkite 5 iš 2, kad gautumėte 10

Gavome 0,5 atsakymą. Taigi trupmena yra 0,5

Pusę obuolio taip pat galima parašyti naudojant dešimtainę trupmeną 0,5. Jei pridėsime šias dvi dalis (0,5 ir 0,5), vėl gausime originalų vieną visą obuolį:

Šį tašką taip pat galima suprasti, jei įsivaizduojate, kaip 1 cm yra padalintas į dvi dalis. Jei padalinsite 1 centimetrą į 2 dalis, gausite 0,5 cm

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 4:5

Kiek penketukų yra keturiese? Visai ne. Dalinyje rašome 0 ir dedame kablelį:

0 padauginame iš 5, gauname 0. Po keturiais rašome nulį. Nedelsdami atimkite šį nulį iš dividendų:

Dabar pradėkime dalyti (skirstyti) keturis į 5 dalis. Norėdami tai padaryti, pridėkite nulį į dešinę nuo 4 ir padalinkite 40 iš 5, gausime 8. Dalinyje įrašome aštuonis.

Pavyzdį užbaigiame padaugindami 8 iš 5, kad gautume 40:

Gavome 0,8 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 4:5 reikšmė yra 0,8

3 pavyzdys. Raskite 5 išraiškos reikšmę: 125

Kiek skaičių yra 125 iš penkių? Visai ne. Dalinyje rašome 0 ir dedame kablelį:

0 padauginame iš 5, gauname 0. Po penkiais rašome 0. Nedelsdami atimkite 0 iš penkių

Dabar pradėkime dalyti (skirstyti) penkis į 125 dalis. Norėdami tai padaryti, dešinėje nuo šių penkių įrašome nulį:

Padalinkite 50 iš 125. Kiek skaičių 125 yra skaičiuje 50? Visai ne. Taigi koeficiente vėl rašome 0

Padauginkite 0 iš 125, gausime 0. Parašykite šį nulį po 50. Nedelsdami atimkite 0 iš 50

Dabar skaičių 50 padalinkite į 125 dalis. Norėdami tai padaryti, dešinėje nuo 50 įrašome dar vieną nulį:

Padalinkite 500 iš 125. Kiek skaičių yra 125 skaičiuje 500? Yra keturi skaičiai 125, esantys skaičiuje 500. Keturis įrašykite į koeficientą:

Pavyzdį užbaigiame padaugindami 4 iš 125, kad gautume 500

Gavome 0,04 atsakymą. Tai reiškia, kad išraiškos 5: 125 reikšmė yra 0,04

Skaičių dalijimas be liekanos

Taigi, po dalinio vieneto dėkime kablelį, taip nurodydami, kad sveikųjų skaičių dalijimas baigtas ir pereiname prie trupmeninės dalies:

Prie likusios 4 pridėkime nulį

Dabar padalinkite 40 iš 5, gausime 8. Datuke rašome aštuonis:

40−40=0. Mums liko 0. Tai reiškia, kad padalijimas yra visiškai baigtas. Padalijus 9 iš 5, gaunama dešimtainė trupmena 1,8:

9: 5 = 1,8

2 pavyzdys. Padalinkite 84 iš 5 be liekanos

Pirmiausia, kaip įprasta, padalinkite 84 iš 5 su likusia dalimi:

Privačiai gavome 16 ir liko dar 4. Dabar šią likutį padalinkime iš 5. Padėkite kablelį į dalinį ir pridėkite 0 prie likusios 4

Dabar 40 padalijame iš 5, gauname 8. Aštuonetą įrašome dalinyje po kablelio:

ir užpildykite pavyzdį patikrindami, ar dar liko likučio:

Dešimtainės dalies dalijimas iš įprasto skaičiaus

Dešimtainė trupmena, kaip žinome, susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Dalindami dešimtainę trupmeną iš įprasto skaičiaus, pirmiausia turite:

• iš šio skaičiaus padalinkite visą dešimtainės trupmenos dalį;
• po to, kai visa dalis yra padalinta, turite nedelsdami dėti kablelį į koeficientą ir tęsti skaičiavimą, kaip ir įprastą padalijimą.

Pavyzdžiui, padalinkite 4,8 iš 2

Parašykime šį pavyzdį kampe:

Dabar visą dalį padalinkime iš 2. Keturi padalyti iš dviejų lygu du. Datuke rašome du ir iškart dedame kablelį:

Dabar padauginame koeficientą iš daliklio ir pažiūrime, ar yra dalybos likutis:

4−4=0. Likusi dalis lygi nuliui. Nulio dar neužrašome, nes sprendimas nebaigtas. Toliau skaičiuojame kaip įprastu padalijimu. Nuimkite 8 ir padalinkite iš 2

8: 2 = 4. Į koeficientą įrašome keturis ir iš karto padauginame iš daliklio:

Gavome atsakymą 2.4. Išraiškos 4,8:2 reikšmė yra 2,4

2 pavyzdys. Raskite išraiškos 8.43 reikšmę: 3

Padalinkite 8 iš 3, gausime 2. Iš karto po 2 dėkite kablelį:

Dabar padauginame koeficientą iš daliklio 2 × 3 = 6. Šešetą įrašome po aštuoniais ir randame likutį:

Padalinkite 24 iš 3, gausime 8. Dalinyje įrašome aštuonis. Nedelsdami padauginkite jį iš daliklio, kad rastumėte dalybos likutį:

24−24=0. Likusi dalis lygi nuliui. Nulio dar nenurašome. Iš dividendų atimame tris paskutinius ir padalijame iš 3, gauname 1. Nedelsdami padauginkite 1 iš 3, kad užbaigtumėte šį pavyzdį:

Gavome atsakymą 2,81. Tai reiškia, kad išraiškos 8,43: 3 reikšmė yra 2,81

Dešimtainės dalies dalijimas iš kablelio

Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos, turite perkelti kablelį į dividendą ir daliklį į dešinę tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje, o tada padalyti iš įprasto skaičiaus.

Pavyzdžiui, padalinkite 5,95 iš 1,7

Parašykime šią išraišką kampu

Dabar dividende ir daliklyje dešimtainį tašką perkeliame į dešinę tiek pat skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje. Daliklis turi vieną skaitmenį po kablelio. Tai reiškia, kad dividende ir daliklyje dešimtainį tašką turime perkelti vienu skaitmeniu į dešinę. Perkeliame:

Po kablelio perkėlus į dešinįjį vieną skaitmenį, dešimtainė trupmena 5,95 tapo trupmena 59,5. O dešimtainė trupmena 1,7, vienu skaitmeniu perkėlus kablelį į dešinę, virto įprastu skaičiumi 17. Ir mes jau žinome, kaip dešimtainę trupmeną padalinti iš įprasto skaičiaus. Tolesnis skaičiavimas nėra sudėtingas:

Kablelis perkeliamas į dešinę, kad padalijimas būtų lengvesnis. Tai leidžiama, nes padauginus ar padalijus dividendą ir daliklį iš to paties skaičiaus, koeficientas nekinta. Ką tai reiškia?

Tai vienas iš įdomių savybių padalinys. Tai vadinama koeficiento savybe. Apsvarstykite 9 išraišką: 3 = 3. Jei šioje išraiškoje dividendas ir daliklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, tai koeficientas 3 nepasikeis.

Padauginkime dividendą ir daliklį iš 2 ir pažiūrėkime, kas iš to išeis:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Kaip matyti iš pavyzdžio, koeficientas nepasikeitė.

Tas pats atsitinka, kai perkeliame kablelį dividende ir daliklyje. Ankstesniame pavyzdyje, kur 5,91 dalijome iš 1,7, perkėlėme kablelį dividendų ir dalijimo vienu skaitmeniu į dešinę. Perkėlus po kablelio trupmeną, trupmena 5,91 buvo paversta trupmena 59,1, o trupmena 1,7 – į įprastą skaičių 17.

Tiesą sakant, šiame procese buvo dauginama iš 10. Tai atrodė taip:

5,91 × 10 = 59,1

Todėl skaitmenų skaičius po kablelio daliklyje lemia, iš ko bus padaugintas dividendas ir daliklis. Kitaip tariant, skaitmenų skaičius po kablelio daliklyje nulems, kiek skaitmenų dividende ir daliklyje dešimtainis kablelis bus perkeltas į dešinę.

Dešimtainės dalies dalijimas iš 10, 100, 1000

Dešimtainė dalis dalijama iš 10, 100 arba 1000 taip pat, kaip . Pavyzdžiui, padalinkite 2,1 iš 10. Išspręskite šį pavyzdį naudodami kampą:

Bet yra ir antras būdas. Jis lengvesnis. Šio metodo esmė ta, kad kablelis dividende perkeliamas į kairę tiek skaitmenų, kiek daliklyje yra nulių.

Išspręskime ankstesnį pavyzdį tokiu būdu. 2.1: 10. Žiūrime į daliklį. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad yra vienas nulis. Tai reiškia, kad dividende 2,1 turite perkelti dešimtainį tašką į kairę vienu skaitmeniu. Perkeliame kablelį į kairę vieną skaitmenį ir matome, kad daugiau skaitmenų neliko. Tokiu atveju prieš skaičių pridėkite dar vieną nulį. Dėl to gauname 0,21

Pabandykime 2,1 padalyti iš 100. 100 yra du nuliai. Tai reiškia, kad dividende 2.1 turime perkelti kablelį į kairę dviem skaitmenimis:

2,1: 100 = 0,021

Pabandykime 2,1 padalyti iš 1000. 1000 yra trys nuliai. Tai reiškia, kad dividende 2.1 turite perkelti kablelį į kairę trimis skaitmenimis:

2,1: 1000 = 0,0021

Dešimtainės dalies dalijimas iš 0,1, 0,01 ir 0,001

Dešimtainė trupmena dalijama iš 0,1, 0,01 ir 0,001 taip pat, kaip . Dividendyje ir daliklyje dešimtainį kablelį reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje.

Pavyzdžiui, 6,3 padalinkime iš 0,1. Visų pirma, perkelkime kablelius dividende ir daliklyje į dešinę tiek pat skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje. Daliklis turi vieną skaitmenį po kablelio. Tai reiškia, kad kablelius dividende ir daliklyje perkeliame į dešinę vienu skaitmeniu.

Perkėlus dešimtainį kablelį į dešinįjį vieną skaitmenį, dešimtainė trupmena 6,3 tampa įprastu skaičiumi 63, o dešimtainė trupmena 0,1, perkėlus kablelį į dešinę, vienas skaitmuo virsta vienu. O 63 padalyti iš 1 labai paprasta:

Tai reiškia, kad išraiškos 6.3: 0.1 reikšmė yra 63

Bet yra ir antras būdas. Jis lengvesnis. Šio metodo esmė ta, kad kablelis dividende perkeliamas į dešinę tiek skaitmenų, kiek daliklyje yra nulių.

Išspręskime ankstesnį pavyzdį tokiu būdu. 6,3: 0,1. Pažiūrėkime į daliklį. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad yra vienas nulis. Tai reiškia, kad 6,3 dividende turite perkelti dešimtainį tašką į dešinę vienu skaitmeniu. Perkelkite kablelį į dešinįjį vieną skaitmenį ir gaukite 63

Pabandykime 6,3 padalyti iš 0,01. 0,01 daliklis turi du nulius. Tai reiškia, kad dividende 6.3 turime perkelti kablelį į dešinę dviem skaitmenimis. Tačiau dividende yra tik vienas skaitmuo po kablelio. Tokiu atveju pabaigoje reikia pridėti dar vieną nulį. Dėl to gauname 630

Pabandykime 6,3 padalyti iš 0,001. 0,001 daliklis turi tris nulius. Tai reiškia, kad dividende 6.3 turime perkelti dešimtainį tašką į dešinę trimis skaitmenimis:

6,3: 0,001 = 6300

Savarankiško sprendimo užduotys

Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Kaip ir įprasti skaičiai.

2. Skaičiuojame 1-osios trupmenos po kablelio skaičių ir 2-ąją. Sudedame jų skaičius.

3. Galutiniame rezultate iš dešinės į kairę suskaičiuokite tiek pat skaitmenų, kaip ir aukščiau esančioje pastraipoje, ir padėkite kablelį.

Dešimtainių trupmenų dauginimo taisyklės.

1. Padauginkite nekreipdami dėmesio į kablelį.

2. Produkte atskiriame tiek pat skaitmenų po kablelio, kiek yra po kablelio abiejuose veiksniuose kartu.

Dauginant dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, reikia:

1. Padauginkite skaičius nekreipdami dėmesio į kablelį;

2. Dėl to kablelį dedame taip, kad į dešinę nuo jo būtų tiek skaitmenų, kiek yra dešimtainėje trupmenoje.

Dešimtainių trupmenų dauginimas iš stulpelio.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Dešimtaines trupmenas rašome stulpelyje ir dauginame kaip natūraliuosius skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelius. Tie. 3,11 laikome 311, o 0,01 - 1.

Rezultatas yra 311. Toliau skaičiuojame ženklų (skaitmenų) skaičių po kablelio abiem trupmenoms. Pirmasis dešimtainis skaičius susideda iš 2 skaitmenų, o antrasis - 2. Iš viso skaitmenys po kablelio:

2 + 2 = 4

Skaičiuojame iš dešinės į kairę keturis rezultato skaitmenis. Galutiniame rezultate yra mažiau skaičių, nei reikia atskirti kableliu. Tokiu atveju kairėje pusėje reikia pridėti trūkstamą nulių skaičių.

Mūsų atveju trūksta pirmojo skaitmens, todėl kairėje pridedame 1 nulį.

Pastaba:

Dauginant bet kurią dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., dešimtainės trupmenos kablelis perkeliamas į dešinę tiek vietų, kiek nulių yra po vieneto.

Pavyzdžiui:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Pastaba:

Dešimtainį skaičių padauginti iš 0,1; 0,01; 0,001; ir taip toliau, šios trupmenos kablelis turi būti perkeltas į kairę tiek vietų, kiek nulių yra prieš vieną.

Skaičiuojame nulį sveikųjų skaičių!

Pavyzdžiui:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56