Žvaigždžių naujienos
Bendras skaičių kartotinis. Internetinė skaičiuoklė GCD ir LCM paieška (skaičiavimas).
Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.
Pavyzdžiui:
Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.
Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis .
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b.
Bendrieji kartotiniai keli skaičiai yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų bendrų kartotinių visada yra mažiausias, in tokiu atveju tai yra 90. Šiuo numeriu vadinama mažiausiasbendrasis kartotinis (CMM).
LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.
Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.
Komutatyvumas:
Asociatyvumas:
Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai, tada:
Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m, n sutampa su LCM( m, n).
Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.
Taigi, Čebyševo funkcija. Ir:
Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).
Kas išplaukia iš platinimo įstatymo pirminiai skaičiai.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.
NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:
1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:
2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:
Kur p 1 ,...,p k- įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,e k— neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei plėtinyje nėra atitinkamo pirminio).
Tada NOC ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:
Kitaip tariant, LCM išskaidymas apima visus pirminius veiksnius, įtrauktus į bent vieną skaičių skaidymą a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio daugiklio eksponentų.
Pavyzdys:
Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:
Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:
- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;
- didžiausią dekompoziciją (didžiausio duotųjų skaičiaus faktorių sandaugą) perkelkite į norimos sandaugos veiksnius, o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurių nėra pirmame skaičiuje arba jame nėra, skilimo. mažiau kartų;
— gauta pirminių koeficientų sandauga bus duotųjų skaičių LCM.
Bet kokie du ar daugiau natūraliuosius skaičius turi savo NOC. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.
Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) papildomi koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.
Pagrindiniai veiksniai daugiau 30 buvo papildytas skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias produktas iš galimų (150, 250, 300...), kurių kartotiniai yra visi pateikti skaičiai.
Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai skaičiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.
Taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.
Kitas variantas:
Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:
1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);
4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;
5) padauginkite šias galias.
Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.
Sprendimas. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Išrašome didžiausi laipsniai visus pirminius daliklius ir padauginkite juos:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Internetinis skaičiuotuvas leidžia greitai rasti didžiausią bendras daliklis ir mažiausias bendrasis dviejų ar bet kurio kito skaičių kartotinis.
Skaičiuoklė GCD ir LCM paieškai
Raskite GCD ir LOC
Rasta GCD ir LOC: 5806
Kaip naudotis skaičiuokle
- Įvesties lauke įveskite skaičius
- Jei įvesite neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
- spustelėkite mygtuką „Rasti GCD ir LOC“.
Kaip įvesti skaičius
- Skaičiai įvedami atskirti tarpu, tašku arba kableliu
- Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl nėra sunku rasti ilgų skaičių GCD ir LCM
Kas yra GCD ir NOC?
Didžiausias bendras daliklis keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.
Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?
Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungę galite patikrinti kai kurių iš jų ir jų derinių dalijamumą.
Kai kurie skaičių dalijimosi požymiai
1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 testas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: Mes žiūrime į paskutinį skaitmenį: 8 - tai reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.
2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 testas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš trijų. Taigi, norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, reikia apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma yra labai didelė, tą patį procesą galima pakartoti dar kartą.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.
3. Skaičiaus dalijamumo iš 5 testas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.
4. Skaičiaus dalijamumo iš 9 testas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.
Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM
Kaip rasti dviejų skaičių gcd
Dauguma paprastu būdu Apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus šių skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.
Panagrinėkime šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:
- Suskaičiuojame abu skaičius: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
- Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 = 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.
Kaip rasti dviejų skaičių LCM
Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tas, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių gcd. Apsvarstykime tik tai.
Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti jį iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:
- Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kaip jau žinoma, yra lygus 4
- LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .
Kelių skaičių GCD ir LCM radimas
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Norėdami rasti kelių skaičių gcd, taip pat galite naudoti šį ryšį: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
Panašus ryšys taikomas mažiausiam bendram kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.
- Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Raskime bendruosius veiksnius: 1, 2 ir 2.
- Jų sandauga duos GCD: 1·2·2 = 4
- Dabar suraskime LCM: norėdami tai padaryti, pirmiausia suraskime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.
Tęskime pokalbį apie mažiausią bendrąjį kartotinį, kurį pradėjome skyriuje „LCM – mažiausias bendrasis kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai“. Šioje temoje apžvelgsime būdus, kaip rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, ir pažvelgsime į klausimą, kaip rasti neigiamo skaičiaus LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD
Mes jau nustatėme ryšį tarp mažiausio bendro kartotinio ir didžiausio bendro daliklio. Dabar sužinokime, kaip nustatyti LCM naudojant GCD. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tai padaryti teigiami skaičiai.
1 apibrėžimas
Mažiausią bendrąjį kartotinį galite rasti per didžiausią bendrąjį daliklį naudodami formulę LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
1 pavyzdys
Turite rasti skaičių 126 ir 70 LCM.
Sprendimas
Paimkime a = 126, b = 70. Pakeiskime reikšmes į formulę, skirtą mažiausiam bendrajam kartotiniui apskaičiuoti per didžiausią bendrą daliklį LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Suranda skaičių 70 ir 126 gcd. Tam mums reikia euklido algoritmo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, todėl GCD (126 , 70) = 14 .
Apskaičiuokime LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atsakymas: LCM(126; 70) = 630.
2 pavyzdys
Raskite skaičius 68 ir 34.
Sprendimas
GCD šiuo atveju nėra sunku rasti, nes 68 dalijasi iš 34. Apskaičiuokime mažiausią bendrąjį kartotinį naudodami formulę: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atsakymas: LCM(68, 34) = 68.
Šiame pavyzdyje naudojome taisyklę, leidžiančią rasti mažiausią bendrą teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinį: jei pirmasis skaičius dalijasi iš antrojo, tų skaičių LCM bus lygus pirmajam skaičiui.
LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Dabar pažiūrėkime į LCM radimo metodą, kuris pagrįstas skaičiais paverčiant pirminius veiksnius.
2 apibrėžimas
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turime atlikti kelis paprastus veiksmus:
- sudarome skaičių sandaugą iš visų pirminių veiksnių, kuriems reikia rasti LCM;
- iš jų gaunamų produktų neįtraukiame visų pagrindinių veiksnių;
- sandauga, gauta pašalinus bendruosius pirminius veiksnius, bus lygi duotųjų skaičių LCM.
Šis mažiausiojo bendro kartotinio radimo metodas pagrįstas lygybe LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jei pažvelgsite į formulę, paaiškės: skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių šių dviejų skaičių skaidyme, sandaugai. Šiuo atveju dviejų skaičių gcd yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių šių dviejų skaičių faktoriuose, sandaugai.
3 pavyzdys
Turime du skaičius 75 ir 210. Galime juos suskirstyti taip: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Jei sudarysite visų dviejų pradinių skaičių koeficientų sandaugą, gausite: 2 3 3 5 5 5 7.
Jei neįtrauksime faktorių, bendrų skaičiams 3 ir 5, gausime tokios formos sandaugą: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produktas bus mūsų LCM numeriams 75 ir 210.
4 pavyzdys
Raskite skaičių LCM 441 Ir 700 , įtraukiant abu skaičius į pirminius veiksnius.
Sprendimas
Raskime visus pirminius skaičių, pateiktų sąlygoje, veiksnius:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Gauname dvi skaičių grandines: 441 = 3 3 7 7 ir 700 = 2 2 5 5 7.
Visų veiksnių, dalyvavusių skaidant šiuos skaičius, sandauga bus tokia: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Raskime bendrus veiksnius. Tai yra skaičius 7. Išskirkime jį iš viso produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. Pasirodo, NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas: LOC(441; 700) = 44 100.
Pateiksime kitą metodo formuluotę, kaip rasti LCM, išskaidant skaičius į pirminius veiksnius.
3 apibrėžimas
Anksčiau iš bendro veiksnių, bendrų abiem skaičiams, skaičiaus neįtraukėme. Dabar darysime kitaip:
- Suskirstykime abu skaičius į pirminius veiksnius:
- prie pirmojo skaičiaus pirminių koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus;
- gauname sandaugą, kuri bus norimas dviejų skaičių LCM.
5 pavyzdys
Grįžkime prie skaičių 75 ir 210, kurių LCM jau ieškojome viename iš ankstesnių pavyzdžių. Suskirstykime juos į paprastus veiksnius: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Į koeficientų sandaugą 3, 5 ir 5 skaičiai 75 prideda trūkstamus veiksnius 2 Ir 7 skaičiai 210. Mes gauname: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Tai yra skaičių 75 ir 210 LCM.
6 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti skaičių 84 ir 648 LCM.
Sprendimas
Skaičius iš sąlygos išskaidykime į paprastus veiksnius: 84 = 2 2 3 7 Ir 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Prie sandaugos pridėkime koeficientus 2, 2, 3 ir 7
skaičiai 84 trūksta koeficientų 2, 3, 3 ir
3
Skaičiai 648. Gauname prekę 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Tai mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis.
Atsakymas: LCM(84, 648) = 4 536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Nepriklausomai nuo to, su kiek skaičių turime reikalų, mūsų veiksmų algoritmas visada bus toks pat: paeiliui rasime dviejų skaičių LCM. Šiuo atveju yra teorema.
1 teorema
Tarkime, kad turime sveikuosius skaičius a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšie skaičiai randami nuosekliai skaičiuojant m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Dabar pažiūrėkime, kaip teorema gali būti taikoma sprendžiant konkrečias problemas.
7 pavyzdys
Turite apskaičiuoti mažiausią bendrą keturių skaičių 140, 9, 54 ir kartotinį 250 .
Sprendimas
Įveskime žymėjimą: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Pradėkime nuo apskaičiavimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Apskaičiuojant skaičių 140 ir 9 GCD, taikykime Euklido algoritmą: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Gauname: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Todėl m 2 = 1 260.
Dabar apskaičiuokime naudodami tą patį algoritmą m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Skaičiuodami gauname m 3 = 3 780.
Tereikia apskaičiuoti m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mes laikomės to paties algoritmo. Gauname m 4 = 94 500.
Keturių skaičių LCM iš pavyzdinės sąlygos yra 94500.
Atsakymas: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kaip matote, skaičiavimai yra paprasti, tačiau gana daug darbo reikalaujantys. Norėdami sutaupyti laiko, galite pasirinkti kitą kelią.
4 apibrėžimas
Siūlome tokį veiksmų algoritmą:
- visus skaičius išskaidome į pirminius veiksnius;
- prie pirmojo skaičiaus veiksnių sandaugos pridedame trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus sandaugos;
- prie ankstesniame etape gauto sandaugos pridedame trūkstamus trečiojo skaičiaus koeficientus ir pan.;
- gauta sandauga bus mažiausias bendrasis visų skaičių iš sąlygos kartotinis.
8 pavyzdys
Turite rasti penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Sprendimas
Padėkime visus penkis skaičius į pirminius koeficientus: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirminiai skaičiai, kurie yra skaičius 7, negali būti įtraukti į pirminius veiksnius. Tokie skaičiai sutampa su jų išskaidymu į pirminius veiksnius.
Dabar paimkime skaičiaus 84 pirminių koeficientų 2, 2, 3 ir 7 sandaugą ir pridėkime prie jų trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus. Skaičius 6 išskaidėme į 2 ir 3. Šie veiksniai jau yra pirmojo skaičiaus sandaugoje. Todėl mes juos praleidžiame.
Toliau pridedame trūkstamus daugiklius. Pereikime prie skaičiaus 48, iš kurio pirminių koeficientų sandaugos paimame 2 ir 2. Tada pridedame pirminį koeficientą 7 iš ketvirto skaičiaus ir 11 ir 13 penktojo skaičiaus koeficientus. Gauname: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tai mažiausias bendras pirminių penkių skaičių kartotinis.
Atsakymas: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Norėdami rasti mažiausią bendrą kartotinį neigiami skaičiai, šie skaičiai pirmiausia turi būti pakeisti skaičiais su priešingu ženklu, o tada skaičiavimai turi būti atlikti naudojant aukščiau nurodytus algoritmus.
9 pavyzdys
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ir LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Tokie veiksmai yra leistini dėl to, kad jei su tuo sutiksime a Ir − a- priešingi skaičiai,
tada skaičiaus kartotinių aibė a atitinka skaičiaus kartotinių aibę − a.
10 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti neigiamų skaičių LCM − 145 Ir − 45 .
Sprendimas
Pakeiskime skaičius − 145 Ir − 45 į priešingus jų skaičius 145 Ir 45 . Dabar, naudodami algoritmą, apskaičiuojame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, prieš tai nustatę GCD naudodami Euklido algoritmą.
Gauname, kad skaičių LCM yra − 145 ir − 45 lygus 1 305 .
Atsakymas: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti LCM, pirmiausia turite nustatyti termino „daugelis“ reikšmę.
A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris be liekanos dalijasi iš A. Taigi skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, gali būti laikomi 15, 20, 25 ir pan.
Tam tikro skaičiaus daliklių skaičius gali būti ribotas, tačiau kartotinių yra begalinis skaičius.
Bendrasis natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš jų nepaliekant liekanos.
Kaip rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį
Mažiausias skaičių kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų šių skaičių.
Norėdami rasti LOC, galite naudoti kelis metodus.
Mažiems skaičiams patogu užrašyti visus šių skaičių kartotinius vienoje eilutėje, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Keletai žymimi didžiąja raide K.
Pavyzdžiui, 4 kartotiniai gali būti parašyti taip:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Taigi, matote, kad mažiausias bendras skaičių 4 ir 6 kartotinis yra skaičius 24. Šis žymėjimas atliekamas taip:
LCM(4, 6) = 24
Jei skaičiai dideli, raskite bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį, tada geriau naudoti kitą LCM skaičiavimo metodą.
Norėdami atlikti užduotį, turite suskaičiuoti pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.
Pirmiausia reikia užrašyti didžiausio eilutės skaičiaus išskaidymą, o po juo - likusius.
Kiekvieno skaičiaus skaidymas gali turėti skirtingą skaičių veiksnių.
Pavyzdžiui, suskaičiuokime skaičius 50 ir 20 į pirminius koeficientus.
Išskleisdami mažesnį skaičių, turėtumėte pabrėžti veiksnius, kurių trūksta pirmojo didžiausio skaičiaus išplėtimui, ir tada pridėti juos prie jo. Pateiktame pavyzdyje trūksta dviejų.
Dabar galite apskaičiuoti mažiausią bendrąjį 20 ir 50 kartotinį.
LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Taigi didesnio skaičiaus pirminių veiksnių sandauga ir antrojo skaičiaus faktoriai, kurie nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus plėtimą, bus mažiausias bendras kartotinis.
Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, turėtumėte juos visus įtraukti į pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.
Pavyzdžiui, galite rasti mažiausią bendrą skaičių 16, 24, 36 kartotinį.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Taigi tik du du iš šešiolikos išplėtimo nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus faktorizavimą (vienas yra dvidešimt keturių išplėtimas).
Taigi, juos reikia pridėti prie didesnio skaičiaus išplėtimo.
LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Yra ypatingi mažiausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vieną iš skaičių be likučio galima padalyti iš kito, tai didesnis iš šių skaičių bus mažiausias bendras kartotinis.
Pavyzdžiui, dvylikos ir dvidešimt keturių LCM yra dvidešimt keturi.
Jei reikia rasti mažiausią bendrą kartotinį kopirminių skaičių, kurie neturi identiškų daliklių, tada jų LCM bus lygus jų sandaugai.
Pavyzdžiui, LCM (10, 11) = 110.
Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.
Pavyzdžiui:
Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.
Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis .
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b.
Bendrieji kartotiniai keli skaičiai yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų bendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiasbendrasis kartotinis (CMM).
LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.
Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.
Komutatyvumas:
Asociatyvumas:
Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai, tada:
Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m, n sutampa su LCM( m, n).
Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.
Taigi, Čebyševo funkcija. Ir:
Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).
Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.
NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:
1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:
2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:
Kur p 1 ,...,p k- įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,e k— neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei plėtinyje nėra atitinkamo pirminio).
Tada NOC ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:
Kitaip tariant, LCM išskaidymas apima visus pirminius veiksnius, įtrauktus į bent vieną skaičių skaidymą a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio daugiklio eksponentų.
Pavyzdys:
Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:
Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:
- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;
- didžiausią dekompoziciją (didžiausio duotųjų skaičiaus faktorių sandaugą) perkelkite į norimos sandaugos veiksnius, o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurių nėra pirmame skaičiuje arba jame nėra, skilimo. mažiau kartų;
— gauta pirminių koeficientų sandauga bus duotųjų skaičių LCM.
Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.
Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) papildomi koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.
Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai papildomi skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kuris yra visų pateiktų skaičių kartotinis.
Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai skaičiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.
Taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.
Kitas variantas:
Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:
1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);
4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;
5) padauginkite šias galias.
Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.
Sprendimas. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Užrašome visų pirminių daliklių didžiausias galias ir jas padauginame:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
