Kvadratinė funkcija y f x. Kvadratinės funkcijos grafiko braižymas. Vaizdinis vadovas (2019 m.)

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, pavardę, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Kaip sukurti parabolę? Yra keli kvadratinės funkcijos grafiko būdai. Kiekvienas iš jų turi savo pliusų ir minusų. Panagrinėkime du būdus.

Pradėkime nuo kvadratinės funkcijos y=x²+bx+c ir y= -x²+bx+c formų braižymo.

Pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y=x²+2x-3.

Sprendimas:

y=x²+2x-3 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis į viršų. Parabolės viršūnių koordinatės

Iš viršūnės (-1;-4) sudarome parabolės y=x² grafiką (kaip nuo koordinačių pradžios. Vietoj (0;0) - viršūnė (-1;-4). Iš (-1; -4) einame 1 vienetu į dešinę ir 1 vienetu aukštyn, tada 1 vienetu į kairę ir 1 aukštyn, tada: 2 - dešinėn, 4 - aukštyn, 2 - kairėn, 3 - 9 - aukštyn; kairėn, 9 - aukštyn Jei šių 7 taškų nepakanka, tada 4 į dešinę, 16 į viršų ir tt).

Kvadratinės funkcijos y= -x²+bx+c grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Norėdami sudaryti grafiką, ieškome viršūnės koordinačių ir iš jos sukuriame parabolę y= -x².

Pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y= -x²+2x+8.

Sprendimas:

y= -x²+2x+8 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis žemyn. Parabolės viršūnių koordinatės

Iš viršaus statome parabolę y= -x² (1 – į dešinę, 1 – žemyn; 1 – kairėn, 1 – žemyn; 2 – dešinėn, 4 – žemyn; 2 – kairėn, 4 – žemyn ir tt):

Šis metodas leidžia greitai sukurti parabolę ir nesukelia sunkumų, jei žinote, kaip pavaizduoti funkcijas y=x² ir y= -x². Trūkumas: jei viršūnių koordinatės yra trupmeniniai skaičiai, sudaryti grafiką nėra labai patogu. Jei reikia žinoti tikslias grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškų reikšmes, papildomai turėsite išspręsti lygtį x²+bx+c=0 (arba -x²+bx+c=0), net jei šiuos taškus galima tiesiogiai nustatyti iš brėžinio.

Kitas būdas sudaryti parabolę yra taškais, tai yra, galite rasti keletą grafiko taškų ir per juos nubrėžti parabolę (atsižvelgiant į tai, kad tiesė x=xₒ yra jos simetrijos ašis). Paprastai tam jie ima parabolės viršūnę, grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis ir 1-2 papildomus taškus.

Nubraižykite funkcijos y=x²+5x+4 grafiką.

Sprendimas:

y=x²+5x+4 yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis į viršų. Parabolės viršūnių koordinatės

tai yra, parabolės viršus yra taškas (-2,5; -2,25).

Ieškote. Sankirtos su Ox ašimi taške y=0: x²+5x+4=0. Šaknys kvadratinė lygtis x1=-1, x2=-4, tai yra, mes gavome du taškus grafike (-1; 0) ir (-4; 0).

Grafiko susikirtimo su Oy ašimi taške x=0: y=0²+5∙0+4=4. Gavome tašką (0; 4).

Norėdami patikslinti grafiką, galite rasti papildomą tašką. Paimkime x=1, tada y=1²+5∙1+4=10, tai yra, kitas grafiko taškas yra (1; 10). Mes pažymime šiuos taškus koordinačių plokštuma. Atsižvelgdami į parabolės simetriją tiesės, einančios per jos viršūnę, atžvilgiu, pažymime dar du taškus: (-5; 6) ir (-6; 10) ir per juos nubrėžiame parabolę:

Nubraižykite funkciją y= -x²-3x.

Sprendimas:

y= -x²-3x yra kvadratinė funkcija. Grafikas yra parabolė su šakomis žemyn. Parabolės viršūnių koordinatės

Viršūnė (-1,5; 2,25) yra pirmasis parabolės taškas.

Grafiko susikirtimo taškuose su abscisių ašimi y=0, tai yra, išsprendžiame lygtį -x²-3x=0. Jo šaknys yra x=0 ir x=-3, tai yra (0;0) ir (-3;0) – dar du taškai grafike. Taškas (o; 0) taip pat yra parabolės susikirtimo su ordinačių ašimi taškas.

Esant x=1 y=-1²-3∙1=-4, tai yra (1; -4) yra papildomas braižymo taškas.

Parabolės konstravimas iš taškų yra daug darbo reikalaujantis metodas, palyginti su pirmuoju. Jei parabolė nesikerta su Jaučio ašimi, reikės daugiau papildomų taškų.

Prieš tęsdami y=ax²+bx+c formos kvadratinių funkcijų grafikus, panagrinėkime funkcijų grafikų konstravimą naudojant geometrines transformacijas. Taip pat patogiausia y=x²+c formos funkcijų grafikus sudaryti naudojant vieną iš šių transformacijų – lygiagretųjį vertimą.

Kategorija: |

15 pamoka.
Šansų įtakaa, b IrSu į vietą
kvadratinės funkcijos grafikas

Tikslai: toliau ugdyti gebėjimą grafiškai sudaryti kvadratinę funkciją ir išvardyti jos savybes; nustatyti koeficientų įtaką A, b Ir Su apie kvadratinės funkcijos grafiko vietą.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

II. Darbas žodžiu.

Nustatykite, kuris funkcijų grafikas parodytas paveikslėlyje:

adresu = X 2 – 2X – 1;

adresu = –2X 2 – 8X;

adresu = X 2 – 4X – 1;

adresu = 2X 2 + 8X + 7;

adresu = 2X 2 – 1.

b)

adresu = X 2 – 2X;

adresu = –X 2 + 4X + 1;

adresu = –X 2 – 4X + 1;

adresu = –X 2 + 4X – 1;

adresu = –X 2 + 2X – 1.

III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas.

Pratimai:

1. Nr. 127 (a).

Sprendimas

Tiesiai adresu = 6X + b paliečia parabolę adresu = X 2 + 8, tai yra, jis turi tik vieną bendrą tašką tuo atveju, kai lygtis 6 X + b = X 2 + 8 turės unikalų sprendimą.

Ši lygtis yra kvadratinė, raskime jos diskriminantą:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, jei 1 + b= 0, tai yra b= –1.

Atsakymas: b= –1.

3. Nustatyti koeficientų įtaką A, b Ir Su apie funkcijų grafiko vietą adresu = Oi 2 + bx + Su.

Mokiniai turi pakankamai žinių, kad galėtų savarankiškai atlikti šią užduotį. Jie turėtų būti pakviesti užsirašyti visas savo išvadas į sąsiuvinį, pabrėžiant kiekvieno koeficiento „pagrindinį“ vaidmenį.

1) Koeficientas Aįtakoja parabolės šakų kryptį: kada A> 0 – šakos nukreiptos į viršų, su A < 0 – вниз.

2) Koeficientas b turi įtakos parabolės viršūnės vietai. At b= 0 viršūnė yra ašyje OU.

3) Koeficientas Su rodo parabolės susikirtimo tašką su ašimi OU.

Po to galima pateikti pavyzdį, rodantį, ką galima pasakyti apie koeficientus A, b Ir Su pagal funkcijos grafiką.

Reikšmė Su galima vadinti tiksliai: kadangi grafikas kerta ašį OU taške (0; 1), tada Su = 1.

Koeficientas A galima palyginti su nuliu: kadangi parabolės šakos nukreiptos žemyn, tada A < 0.

Koeficiento ženklas b galima sužinoti iš formulės, kuri nustato parabolės viršūnės abscisę: T= , nuo A < 0 и T= 1, tada b> 0.

4. Pagal koeficientų reikšmę nustatykite, kuris funkcijos grafikas pavaizduotas paveiksle A, b Ir Su.

adresu = –X 2 + 2X;

adresu = X 2 + 2X + 2;

adresu = 2X 2 – 3X – 2;

adresu = X 2 – 2.

Sprendimas

A, b Ir Su:

A> 0, nes parabolės šakos nukreiptos į viršų;

b OU;

Su= –2, nes parabolė kerta ordinates taške (0; –2).

adresu = 2X 2 – 3X – 2.

adresu = X 2 – 2X;

adresu = –2X 2 + X + 3;

adresu = –3X 2 – X – 1;

adresu = –2,7X 2 – 2X.

Sprendimas

Remdamiesi parodyta diagrama, darome tokias išvadas apie koeficientus A, b Ir Su:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, nes parabolės viršūnė nėra ant ašies OU;

Su= 0, nes parabolė kerta ašį OU taške (0; 0).

Visas šias sąlygas tenkina tik funkcija adresu = –2,7X 2 – 2X.

5. Pagal funkcijos grafiką adresu = Oi 2 + bx + Su A, b Ir Su:

A) b)

Sprendimas

a) Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl A > 0.

Parabolė kerta ordinačių ašį apatinėje pusplokštumoje, taigi Su < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Norėdami rasti parabolės viršūnės abscisę, naudokite formulę: T= . Iš grafiko matyti, kad T < 0, и мы определим, что A> 0. Todėl b> 0.

b) Panašiai nustatome koeficientų ženklus A, b Ir Su:

A < 0, Su > 0, b< 0.

Studentams, kurie yra akademiškai stiprūs, gali būti suteikta papildoma galimybė užpildyti Nr. 247.

Sprendimas

adresu = X 2 + px + q.

a) Pagal Vietos teoremą žinoma, kad jei X 1 ir X 2 – lygties šaknys X 2 +
+ px + q= 0 (tai yra šios funkcijos nuliai), tada X 1 · X 2 = q Ir X 1 + X 2 = –R. Mes tai gauname q= 3 4 = 12 ir R = –(3 + 4) = –7.

b) Parabolės susikirtimo su ašimi taškas OU duos parametro reikšmę q, tai yra q= 6. Jei funkcijos grafikas kerta ašį OI taške (2; 0), tada skaičius 2 yra lygties šaknis X 2 + px + q= 0. Reikšmės pakeitimas X= 2 į šią lygtį, tai gauname R = –5.

c) Jūsų mažiausia vertėši kvadratinė funkcija pasiekia parabolės viršūnę, todėl iš kur R= –12. Pagal sąlygą funkcijos reikšmė adresu = X 2 – 12X + q taške x= 6 lygu 24. Pakeičiant x= 6 ir adresu= 24 į šią funkciją, mes tai nustatome q= 60.

IV. Tikrinimo darbai.

1 variantas

1. Nubraižykite funkciją adresu = 2X 2 + 4X– 6 ir raskite naudodami grafiką:

a) funkcijos nuliai;

b) intervalai, kuriuose adresu> 0 ir y < 0;

d) mažiausia funkcijos reikšmė;

e) funkcijos diapazonas.

2. Be funkcijos grafiko adresu = –X 2 + 4X, rasti:

a) funkcijos nuliai;

c) funkcijos diapazonas.

3. Pagal funkcijos grafiką adresu = Oi 2 + bx + Su nustatyti koeficientų požymius A, b Ir Su:

2 variantas

1. Nubraižykite funkciją adresu = –X 2 + 2X+ 3 ir raskite naudodami grafiką:

a) funkcijos nuliai;

b) intervalai, kuriuose adresu> 0 ir y < 0;

c) didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalai;

d) didžiausia funkcijos reikšmė;

e) funkcijos diapazonas.

2. Be funkcijos grafiko adresu = 2X 2 + 8X, rasti:

a) funkcijos nuliai;

b) didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalai;

c) funkcijos diapazonas.

3. Pagal funkcijos grafiką adresu = Oi 2 + bx + Su nustatyti koeficientų požymius A, b Ir Su:

V. Pamokos santrauka.

Dažnai užduodami klausimai:

– Apibūdinkite kvadratinės funkcijos konstravimo algoritmą.

– Išvardykite funkcijos savybes adresu = Oi 2 + bx + Su adresu A> 0 ir at A < 0.

– Kaip įtakoja koeficientai A, b Ir Su apie kvadratinės funkcijos grafiko vietą?

Namų darbai: Nr.127 (b), Nr.128, Nr.248.

PAPILDOMAI: Nr.130.

Matematikos pamokose mokykloje jau susipažinai su paprasčiausiomis funkcijos savybėmis ir grafiku y = x 2. Išplėskime savo žinias kvadratinė funkcija.

1 pratimas.

Nubraižykite funkciją y = x 2. Mastelis: 1 = 2 cm. Pažymėkite tašką Oy ašyje F(0; 1/4). Kompasu arba popieriaus juostele išmatuokite atstumą nuo taško F iki tam tikro momento M parabolės. Tada prisekite juostelę taške M ir pasukite aplink tą tašką, kol ji bus vertikali. Juostos galas nukris šiek tiek žemiau x ašies (1 pav.). Ant juostelės pažymėkite, kiek ji tęsiasi už x ašies. Dabar paimkite kitą parabolės tašką ir pakartokite matavimą dar kartą. Kiek juostos kraštas nukrito žemiau x ašies?

Rezultatas: Kad ir kurį parabolės tašką y = x 2 pasirinktumėte, atstumas nuo šio taško iki taško F(0; 1/4) bus didesnis atstumas nuo to paties taško iki x ašies visada tuo pačiu skaičiumi – 1/4.

Galime sakyti kitaip: atstumas nuo bet kurio parabolės taško iki taško (0; 1/4) lygus atstumui nuo to paties parabolės taško iki tiesės y = -1/4. Šis nuostabus taškas F(0; 1/4) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės y = x 2, o tiesė y = -1/4 – direktorėši parabolė. Kiekviena parabolė turi kryptį ir židinį.

Įdomios parabolės savybės:

1. Bet kuris parabolės taškas yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo parabolės židiniu, ir tam tikros tiesės, vadinamos jos krypties tašku.

2. Jei pasuksite parabolę aplink simetrijos ašį (pavyzdžiui, parabolė y = x 2 aplink Oy ašį), gausite labai įdomų paviršių, vadinamą apsisukimo paraboloidu.

Skysčio paviršius besisukančiame inde turi sukimosi paraboloido formą. Šį paviršių pamatysite, jei šaukštu stipriai maišysite nepilnoje arbatos stiklinėje ir tada išimsite šaukštą.

3. Jei įmesite akmenį į tuštumą tam tikru kampu į horizontą, jis skris parabole (2 pav.).

4. Jei susikertate kūgio paviršių su plokštuma, lygiagrečia bet kuriai iš jo generatricų, tada skerspjūvis sudarys parabolę (3 pav.).

5. Atrakcionų parkuose kartais vyksta linksmas pasivažinėjimas, vadinamas Stebuklų paraboloidu. Kiekvienam, stovinčiam besisukančio paraboloido viduje, atrodo, kad jis stovi ant grindų, o likę žmonės kažkokiu stebuklingu būdu laikosi įsikibę į sienas.

6. Atspindiuosiuose teleskopuose naudojami ir paraboliniai veidrodžiai: tolimos žvaigždės šviesa, atėjusi lygiagrečiu spinduliu, krentanti ant teleskopo veidrodžio, surenkama į fokusavimą.

7. Prožektoriuose dažniausiai yra paraboloido formos veidrodis. Jei paraboloido židinyje pastatysite šviesos šaltinį, tada spinduliai atsispindės nuo jo parabolinis veidrodis, sudaro lygiagrečią spindulį.

Kvadratinės funkcijos grafikas

Matematikos pamokose mokėtės, kaip iš funkcijos y = x 2 grafiko gauti formos funkcijų grafikus:

1) y = ax 2– grafiko y = x 2 ištempimas pagal Oy ašį |a| kartų (su |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ryžių. 4).

2) y = x 2 + n– grafiko poslinkis n vienetų išilgai Oy ašies, o jei n > 0, tai poslinkis aukštyn, o jei n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafiko poslinkis m vienetais išilgai Ox ašies: jei m< 0, то вправо, а если m >0, tada kairėn, (5 pav.).

4) y = -x 2– simetriškas atvaizdavimas grafiko Ox ašies atžvilgiu y = x 2.

Pažvelkime atidžiau į funkcijos braižymą y = a(x – m) 2 + n.

Formos y = ax 2 + bx + c kvadratinė funkcija visada gali būti sumažinta iki formos

y = a(x – m) 2 + n, kur m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Įrodykime tai.

tikrai,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Pristatome naujus užrašus.

Leisti m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

tada gauname y = a(x – m) 2 + n arba y – n = a(x – m) 2.

Padarykime dar keletą pakeitimų: tegul y – n = Y, x – m = X (*).

Tada gauname funkciją Y = aX 2, kurios grafikas yra parabolė.

Parabolės viršūnė yra ištakoje. X = 0; Y = 0.

Viršūnės koordinates pakeitę į (*), gauname grafiko y = a(x – m) 2 + n viršūnės koordinates: x = m, y = n.

Taigi, norint nubrėžti kvadratinę funkciją, pavaizduotą kaip

y = a(x – m) 2 + n

atlikdami transformacijas, galite elgtis taip:

a) nubraižykite funkciją y = x 2 ;

b) lygiagrečiai perkeliant išilgai Ox ašies m vienetų ir išilgai Oy ašies n vienetų - perkelkite parabolės viršūnę iš pradžios į tašką su koordinatėmis (m; n) (6 pav.).

Įrašymo transformacijos:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Pavyzdys.

Naudodami transformacijas sukonstruokite funkcijos y = 2(x – 3) 2 grafiką Dekarto koordinačių sistemoje – 2.

Sprendimas.

Transformacijų grandinė:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Siužetas parodytas ryžių. 7.

Galite savarankiškai piešti kvadratines funkcijas. Pavyzdžiui, sudarykite funkcijos y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiką vienoje koordinačių sistemoje, naudodami transformacijas. Jei turite klausimų ar norite gauti patarimą iš mokytojo, turite galimybę atlikti nemokama 25 minučių trukmės pamoka su internetiniu dėstytoju po registracijos. Dėl tolesnis darbas Su mokytoju galite pasirinkti jums tinkantį tarifų planą.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip pavaizduoti kvadratinę funkciją?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.