Koordinačių plokštuma: kas tai? Kaip koordinačių plokštumoje pažymėti taškus ir konstruoti figūras? Koordinačių plokštuma

27.09.2019

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilna versija darbą galima rasti skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Įvadas

Suaugusiųjų kalboje galbūt girdėjote tokią frazę: „Palik man savo koordinates“. Ši išraiška reiškia, kad pašnekovas turi palikti savo adresą arba telefono numerį, kur jį galima rasti. Tie iš jūsų, kurie žaidėte " jūrų mūšis“, ir naudojo atitinkamą koordinačių sistemą. Panaši koordinačių sistema naudojama ir šachmatuose. Sėdynės kino salėje nurodomos dviem skaičiais: pirmasis skaičius nurodo eilės numerį, o antrasis – šios eilės vietų numerį. Idėja nurodyti taško padėtį plokštumoje naudojant skaičius kilo senovėje. Koordinačių sistema persmelkia visą praktinį žmogaus gyvenimą ir turi didžiulę praktinis naudojimas. Todėl nusprendėme sukurti šį projektą, norėdami išplėsti savo žinias tema „Koordinačių plokštuma“

Projekto tikslai:

susipažinti su stačiakampės koordinačių sistemos atsiradimo plokštumoje istorija;

žymios asmenybės, susijusios su šia tema;

rasti įdomų istoriniai faktai;

gerai suvokti koordinates iš ausies; aiškiai ir tiksliai atlikti statybas;

paruošti pristatymą.

I skyrius. Koordinačių plokštuma

Idėja nurodyti taško padėtį plokštumoje naudojant skaičius kilo senovėje – pirmiausia astronomų ir geografų, rengiant žvaigždžių ir geografinius žemėlapius bei kalendorius.

§1. Koordinačių kilmė. Geografijos koordinačių sistema

200 metų prieš mūsų erą graikų mokslininkas Hiparchas pristatė geografines koordinates. Jis pasiūlė piešti geografinis žemėlapis lygiagretės ir dienovidiniai, o platumą ir ilgumą nurodykite skaičiais. Naudodamiesi šiais dviem skaičiais, galite tiksliai nustatyti salos, kaimo, kalno ar šulinio padėtį dykumoje ir nubraižyti juos žemėlapyje ar gaublyje, išmokę nustatyti atviras pasaulis laivo vietos platumos ir ilgumos, jūreiviai galėjo pasirinkti jiems reikalingą kryptį.

Rytų ilguma ir šiaurės platuma žymimos skaičiais su pliuso ženklu, o vakarų ilguma ir pietų platuma – skaičiais su minuso ženklu. Taigi, ženklų pora vienareikšmiškai identifikuoja Žemės rutulio tašką.

Geografinė platuma? - kampas tarp svambalo linijos tam tikrame taške ir pusiaujo plokštumos, matuojamas nuo 0 iki 90 abiejose pusiaujo pusėse. Geografinė ilguma? - kampas tarp dienovidinio plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, ir dienovidinio pradžios plokštumos (žr. Grinvičo dienovidinį). Ilgumos nuo 0 iki 180 į rytus nuo dienovidinio pradžios vadinamos rytine, o į vakarus – vakarine.

Norint rasti tam tikrą objektą mieste, daugeliu atvejų pakanka žinoti jo adresą. Iškyla sunkumų, jei reikia paaiškinti, kur, pvz. kaimo kotedžų rajonas, vieta miške. Geografinės koordinatės yra universali vieta nurodyti.

Susidūręs su avarine situacija, pirmiausia žmogus turi mokėti naršyti vietovėje. Kartais reikia nustatyti savo vietos geografines koordinates, pavyzdžiui, perduoti gelbėjimo tarnybai ar kitais tikslais.

Šiuolaikinė navigacija standartiškai naudoja pasaulinę koordinačių sistemą WGS-84. Šioje koordinačių sistemoje veikia visi GPS navigatoriai ir pagrindiniai kartografiniai projektai internete. Koordinatės WGS-84 sistemoje yra taip pat įprastai naudojamos ir visiems suprantamos, kaip ir universalus laikas. Paprastai pasiekiamas tikslumas dirbant su geografines koordinates yra 5-10 metrų nuo žemės.

Geografinės koordinatės yra pažymėti skaičiais (platuma nuo -90° iki +90°, ilguma nuo -180° iki +180°) ir gali būti rašomos įvairių formų: laipsniais (ddd.ddddd°); laipsniai ir minutės (ddd° mm.mmm"); laipsniai, minutės ir sekundės (ddd° mm" ss.s"). Įrašymo formas galima lengvai konvertuoti viena į kitą (1 laipsnis = 60 minučių, 1 minutė = 60 sekundžių ) Norint nurodyti koordinačių ženklą, dažnai naudojamos raidės, remiantis pagrindinių krypčių pavadinimais: N ir E - šiaurės platuma ir rytų ilguma - teigiami skaičiai, S ir W yra pietų platuma, o vakarų ilguma yra neigiami skaičiai.

Koordinačių įrašymo DEGREES forma yra patogiausia įvesti rankiniu būdu ir sutampa su matematiniu skaičiaus žymėjimu. Daugeliu atvejų pirmenybė teikiama koordinačių įrašymo laipsniais IR MINUTĖMIS forma; šis formatas yra nustatytas pagal nutylėjimą daugumoje GPS navigatorių ir yra įprastai naudojamas aviacijoje ir jūroje. Klasikinė koordinačių įrašymo LAIPSNAIS, MINUTĖMIS IR SEKUNDĖSE forma praktiškai nenaudojama.

§2. Koordinačių sistema astronomijoje. Mitai apie žvaigždynus

Kaip minėta aukščiau, idėja nurodyti taško padėtį plokštumoje naudojant skaičius kilo senovėje tarp astronomų, rengiant žvaigždžių žemėlapius. Žmonėms reikėjo skaičiuoti laiką, numatyti sezoniniai reiškiniai(potvyniai, atoslūgiai, sezoniniai lietūs, potvyniai), keliaujant reikėjo orientuotis reljefu.

Astronomija – mokslas apie žvaigždes, planetas, dangaus kūnus, jų sandarą ir vystymąsi.

Praėjo tūkstančiai metų, mokslas toli pažengė į priekį, bet žmonės vis dar negali atitraukti akių nuo naktinio dangaus grožio.

Žvaigždynai – zonos Žvaigždėtas dangus, būdingos figūros, suformuotos ryškių žvaigždžių. Visas dangus suskirstytas į 88 žvaigždynus, kurie palengvina naršymą tarp žvaigždžių. Dauguma žvaigždynų pavadinimų kilę iš antikos laikų.

Garsiausias žvaigždynas yra Ursa Major. IN Senovės Egiptas jis buvo vadinamas „Begemotu“, o kazachai vadino „Arkliu ant pavadėlio“, nors išoriškai žvaigždynas neprimena nei vieno, nei kito gyvūno. Koks tai jausmas?

Senovės graikai turėjo legendą apie žvaigždynus Didžiosios ir Mažoji Ursa. Visagalis dievas Dzeusas nusprendė paimti į žmona gražuolę nimfą Calisto, vieną iš deivės Afroditės tarnaičių, prieš pastarosios norą. Kad išgelbėtų Calisto nuo deivės persekiojimo, Dzeusas pavertė Calisto į Ursa majoras, jos mylimą šunį – į Mažąją Ursą ir paėmė juos į dangų. Iš žvaigždėto dangaus į koordinačių plokštumą perkelkite žvaigždynus Ursa Major ir Ursa Minor. . Kiekviena iš „Kibiro“ žvaigždžių Ursa majoras“ turi savo pavadinimą.

URSA PUIKI

Aš atpažįstu jį iš KIAUŠO!

Čia spindi septynios žvaigždės

Štai kokie jų vardai:

DUBHE apšviečia tamsą,

Šalia jo dega MERAKAS,

Šone yra FEKDA su MEGRETZ,

Drąsus bičiulis.

Iš MEGRETZ išvykimui

ALIOT yra

O už jo – MITZARAS su ALKORU

(Šie du šviečia vieningai.)

Mūsų kaušas užsidaro

Neprilygstamas BENETNASH.

Jis rodo į akį

Kelias į BOOTES žvaigždyną,

Kur šviečia gražus ARKTŪRAS,

Dabar visi jį pastebės!

Ne mažiau graži legenda apie Cefėjo, Kasiopėjos ir Andromedos žvaigždynus.

Etiopiją kadaise valdė karalius Kefėjas. Vieną dieną jo žmona karalienė Kasiopėja neapdairiai demonstravo savo grožį jūros gyventojams – nereidams. Pastarasis, įsižeidęs, pasiskundė jūrų dievui Poseidonui, o jūrų valdovas, įtūžęs Kasiopėjos įžūlumo, į Etiopijos krantus paleido jūrų pabaisą – Banginį. Norėdamas išgelbėti savo karalystę nuo sunaikinimo, Kefėjas, patartas orakului, nusprendė paaukoti pabaisai ir padovanoti jam savo mylimą dukrą Andromedą, kad ji būtų praryta. Jis prirakino Andromedą prie pakrantės uolos ir paliko ją laukti jos likimo sprendimo.

Ir šiuo metu, kitoje pasaulio pusėje, mitinis herojus Persėjas atliko drąsų žygdarbį. Jis pateko į nuošalią salą, kurioje gyveno gorgonai – nuostabios pabaisos moterų pavidalu, kurių galvose vietoj plaukų šmėžavo gyvatės. Gorgonų žvilgsnis buvo toks baisus, kad visi, į kuriuos jie žiūrėjo, akimirksniu pavirto akmenimis.

Pasinaudojęs šių pabaisų miegu, Persėjas vienam iš jų – Gorgon Medusa – nukirto galvą. Tuo metu iš nupjauto Medūzos kūno išskrido arklys Pegasas. Persėjas sugriebė medūzos galvą, užšoko ant Pegaso ir puolė oru į savo tėvynę. Kai jis skrido virš Etiopijos, jis pamatė Andromedą prirakintą prie uolos. Šiuo metu banginis jau buvo išlindęs iš jūros gelmių, ruošdamasis praryti savo auką. Tačiau Persėjas, puolęs į mirtiną kovą su Keitu, nugalėjo pabaisą. Jis parodė Keitui dar nepraradusią jėgų medūzos galvą, o pabaisa suakmenėjo, virto sala. Persėjas, atlaisvinęs Andromedą, grąžino ją jos tėvui, o Kefėjas, sujaudintas iš laimės, atidavė Andromedą Persėjui. Taip laimingai baigėsi ši istorija, kurios pagrindinius veikėjus senovės graikai įkėlė į dangų.

Įjungta žvaigždžių žemėlapisČia galite rasti ne tik Andromedą su tėčiu, mama ir vyru, bet ir stebuklingą žirgą Pegasą bei visų bėdų kaltininką – pabaisą Keitą.

Cetus žvaigždynas yra žemiau Pegaso ir Andromedos. Deja, jis nepasižymi jokia savybe ryškios žvaigždės ir todėl priklauso smulkiųjų žvaigždynų skaičiui.

§3. Stačiakampių koordinačių idėjos panaudojimas tapyboje.

Ant vienos iš Senovės Egipto laidojimo kamerų sienos pavaizduoti kvadratinių tinklelių (paletės) formos stačiakampių koordinačių idėjos taikymo pėdsakai. Tėvo Ramseso piramidės laidojimo kameroje ant sienos yra kvadratų tinklas. Su jų pagalba vaizdas perkeliamas padidinta forma. Renesanso menininkai taip pat naudojo stačiakampį tinklelį.

Žodis „perspektyva“ lotyniškai reiškia „aiškiai matyti“. IN vaizduojamieji menai linijinė perspektyva yra objektų vaizdas plokštumoje, atsižvelgiant į akivaizdžius jų dydžio pokyčius. Pagrindas šiuolaikinė teorija perspektyvas klojo didieji Renesanso menininkai – Leonardo da Vinci, Albrechtas Dureris ir kt. Vienoje Durerio graviūrų (3 pav.) pavaizduotas piešimo iš gyvenimo būdas per stiklą su ant jo uždėtu kvadratiniu tinkleliu. Šį procesą galima apibūdinti taip: jei stovėsite priešais langą ir, nekeisdami požiūrio taško, ant stiklo apvesite viską, kas matoma už jo, tada gautas piešinys bus perspektyvinis erdvės vaizdas.

Egipto projektavimo metodai, kurie, atrodo, buvo pagrįsti kvadratinių tinklelių modeliais. Egipto mene yra daugybė pavyzdžių, rodančių, kad menininkai ir skulptoriai pirmiausia ant sienos nupiešė tinklelį, kurį reikėjo nudažyti arba išraižyti, kad būtų išlaikytos nustatytos proporcijos. Paprasti skaitiniai šių tinklelių ryšiai yra visų puikių dalykų esmė meno kūriniai egiptiečiai

Tą patį metodą naudojo daugelis Renesanso menininkų, įskaitant Leonardo da Vinci. Senovės Egipte tai buvo įkūnyta Didžiojoje piramidėje, kurią sustiprina glaudus ryšys su Marlborough Down modeliu.

Pradėdamas darbą egiptiečių menininkas sieną išklojo tiesių linijų tinkleliu, o paskui atsargiai perkėlė ant jos figūras. Tačiau geometrinis tvarkingumas netrukdė jam detaliai tiksliai atkurti gamtos. Kiekvienos žuvies ir kiekvieno paukščio išvaizda perteikiama tokiu tikrumu, kad šiuolaikiniai zoologai gali nesunkiai nustatyti jų rūšį. 4 paveiksle pavaizduota kompozicijos detalė iš iliustracijos – medis su paukščiais, užfiksuotais Khnumhotepo tinkle. Dailininko rankos judesį lėmė ne tik įgūdžių atsargos, bet ir akis, jautri gamtos kontūrams.

4 pav. Paukščiai ant akacijos

II skyrius. Koordinačių metodas matematikoje

§1. Koordinačių taikymas matematikoje. Nuopelnai

Prancūzų matematikas Renė Dekartas

Ilgą laiką tik geografija „žemės aprašymas“ naudojo šį nuostabų išradimą, o tik XIV amžiuje prancūzų matematikas Nicolas Oresme (1323–1382) bandė jį pritaikyti „žemės matavimui“ - geometrijai. Jis pasiūlė uždengti plokštumą stačiakampiu tinkleliu ir platumą bei ilgumą vadinti tai, ką dabar vadiname abscisėmis ir ordinatėmis.

Remiantis šia sėkminga naujove, atsirado koordinačių metodas, susiejantis geometriją su algebra. Pagrindinis šio metodo sukūrimo nuopelnas priklauso didžiajam prancūzų matematikui Rene'ui Dekartui (1596–1650). Jo garbei tokia koordinačių sistema vadinama Dekarta, nurodanti bet kurio plokštumos taško vietą atstumais nuo šio taško iki „nulinės platumos“ - abscisių ašies ir „nulinio dienovidinio“ - ordinačių ašies.

Tačiau šis puikus XVII amžiaus (1596–1650) prancūzų mokslininkas ir mąstytojas ne iš karto rado savo vietą gyvenime. Gimęs kilmingoje šeimoje, Dekartas gavo geras išsilavinimas. 1606 m. tėvas jį išsiuntė į La Flèche jėzuitų kolegiją. Atsižvelgiant į ne itin gerą Dekarto sveikatą, jam buvo duota tam tikrų nuolaidų taikant griežtą režimą švietimo įstaiga Pavyzdžiui, jiems buvo leista keltis vėliau nei kitiems. Kolegijoje įgijęs daug žinių, Dekartas tuo pat metu buvo persmelktas antipatijos scholastinei filosofijai, kurią išlaikė visą gyvenimą.

Baigęs koledžą, Dekartas tęsė mokslus. 1616 m. Puatjė universitete įgijo teisės bakalauro laipsnį. 1617 m. Dekartas įstojo į kariuomenę ir daug keliavo po Europą.

1619-ieji Dekartui moksliškai buvo pagrindiniai metai.

Būtent tuo metu, kaip jis pats rašė savo dienoraštyje, jam buvo atskleisti naujo „nuostabiausio mokslo“ pagrindai. Greičiausiai Dekartas turėjo omenyje universalumo atradimą mokslinis metodas, kurią vėliau vaisingai pritaikė įvairiose disciplinose.

1620-aisiais Dekartas susipažino su matematiku M. Mersenne, per kurį ilgus metus „palaikė ryšį“ su visa Europos mokslo bendruomene.

1628 metais Dekartas Nyderlanduose apsigyveno daugiau nei 15 metų, bet neapsigyveno nei vienoje vietoje, o apie dvi dešimtis kartų keitė gyvenamąją vietą.

1633 m., sužinojęs apie Galilėjaus pasmerkimą bažnyčioje, Dekartas atsisakė išleisti savo gamtos filosofinį veikalą „Pasaulis“, kuriame išdėstė natūralios visatos kilmės idėjas pagal mechaninius materijos dėsnius.

1637 m Prancūzų kalba Išleidžiamas Dekarto veikalas „Metodo diskursas“, nuo kurio, kaip daugelis mano, prasidėjo šiuolaikinė Europos filosofija.

Didelę įtaką Europos mąstymui padarė ir paskutinis Dekarto filosofinis veikalas „Sielos aistros“, išleistas 1649 m., tais pačiais metais Švedijos karalienės Kristinos kvietimu Dekartas išvyko į Švediją. Atšiaurus klimatas ir neįprastas režimas (karalienė privertė Dekartą keltis 5 val., kad galėtų jai vesti pamokas ir atlikti kitas užduotis) pakenkė Dekarto sveikatai, o peršalęs jis.

mirė nuo plaučių uždegimo.

Pagal Dekarto įvestą tradiciją taško „platuma“ žymima raide x, „ilguma“ – raide y.

Šia sistema pagrįsti daug vietos nurodymo būdų.

Pavyzdžiui, kino teatro biliete yra du skaičiai: eilė ir sėdynė – jie gali būti laikomi sėdimos vietos teatre koordinatėmis.

Panašios koordinatės priimamos ir šachmatuose. Vietoj vieno iš skaičių paimama raidė: vertikalios langelių eilutės žymimos raidėmis Lotynų abėcėlė, o horizontalūs – skaičiais. Taigi kiekviena ląstelė šachmatų lenta yra suderinama raidžių ir skaičių pora, o šachmatininkai gali įrašyti savo partiją. Konstantinas Simonovas savo poemoje „Artileristo sūnus“ rašo apie koordinačių naudojimą.

Visą naktį vaikščiodamas kaip švytuoklė,

Majoras neužmerkė akių,

Iki ryto per radiją

Atėjo pirmasis signalas:

„Viskas gerai, aš ten patekau,

Vokiečiai yra kairėje nuo manęs,

Koordinatės (3;10),

Greitai užkurkime!

Ginklai užtaisyti

Majoras viską apskaičiavo pats.

Ir su riaumojimu pirmosios salvės

Jie atsitrenkė į kalnus.

Ir vėl signalas per radiją:

„Vokiečiai teisesni už mane,

Koordinatės (5; 10),

Greitai daugiau ugnies!

Žemė ir akmenys skraidė,

Dūmai kilo kolonoje.

Atrodė, kad dabar iš ten

Niekas gyvas nepaliks.

Trečiasis radijo signalas:

„Vokiečiai aplink mane,

Koordinatės (4; 10),

Negailėkite ugnies.

Majoras išbalo išgirdęs:

(4;10) – tik

Vieta, kur jo Lyonka

Dabar turi sėdėti.

Konstantinas Simonovas „Artilerininko sūnus“

§2. Legendos apie koordinačių sistemos išradimą

Yra keletas legendų apie koordinačių sistemos, kuri vadinama Dekarto vardu, išradimą.

Legenda 1

Ši istorija pasiekė mūsų laikus.

Paryžiaus teatruose besilankantis Dekartas nepabodo stebėtis sumaišties, kivirčų, o kartais net iššūkių dvikovoje, kurią sukėlė elementarios publikos pasiskirstymo salėje tvarkos trūkumas. Jo pasiūlyta numeravimo sistema, kurioje kiekviena vieta gavo eilės numerį ir serijos numeris iš krašto, iš karto pašalino visas ginčų priežastis ir Paryžiaus aukštuomenėje sukūrė tikrą sensaciją.

Legenda 2. Vieną dieną Rene Descartesas visą dieną gulėjo lovoje ir apie kažką galvojo, o musė zujo aplinkui ir neleido susikaupti. Jis pradėjo galvoti, kaip matematiškai apibūdinti musės padėtį bet kuriuo momentu, kad būtų galima ją smogti nepraleisdamas. Ir... sugalvojo Dekarto koordinatės, vienas didžiausių išradimų žmonijos istorijoje.

Markovcevas Yu.

Kartą nepažįstamame mieste

Atvyko jaunasis Dekartas.

Jį siaubingai kankino alkis.

Buvo vėsus kovo mėnuo.

Nusprendžiau paklausti praeivio

Dekartas, bandydamas nuraminti drebulį:

Kur yra viešbutis, pasakyk man?

Ir ponia pradėjo aiškinti:

- Eik į pieno parduotuvę

Tada į kepyklą, už jos

Čigonė parduoda segtukus

Ir nuodai žiurkėms ir pelėms,

Jūs tikrai juos rasite

Sūriai, sausainiai, vaisiai

Ir spalvingi šilkai...

Aš išklausiau visus šiuos paaiškinimus

Dekartas, virpantis nuo šalčio.

Jis labai norėjo valgyti

- Už parduotuvių yra vaistinė

(ten vaistininkas yra ūsuotas švedas),

O bažnyčia, kur amžiaus pradžioje

Atrodo, mano senelis vedė...

Kai ponia trumpam nutilo,

Staiga jos tarnas tarė:

- Eikite tiesiai tris kvartalus

Ir du į dešinę. Įėjimas iš kampo.

Tai jau trečioji pasaka apie įvykį, dėl kurio Dekartas kilo koordinačių idėja.

Išvada

Kurdami projektą sužinojome apie programą koordinačių plokštumaįvairiose mokslo srityse ir Kasdienybė, šiek tiek informacijos iš koordinačių plokštumos atsiradimo istorijos ir matematikų, kurie labai prisidėjo prie šio išradimo. Medžiaga, kurią surinkome rašydami darbą, gali būti naudojama mokyklos klubo užsiėmimuose kaip papildomos medžiagosį pamokas. Visa tai gali sudominti moksleivius ir praskaidrinti mokymosi procesą.

Ir mes norėtume baigti šiais žodžiais:

„Įsivaizduokite savo gyvenimą kaip koordinačių plokštumą. Y ašis yra jūsų padėtis visuomenėje. X ašis juda į priekį, link tikslo, link tavo svajonės. Ir, kaip žinome, tai begalė... mes galime kristi žemyn, vis labiau eidami į minusą, galime likti ties nuliu ir nieko nedaryti, visiškai nieko. Mes galime pakilti, mes galime kristi, galime eiti į priekį arba grįžti atgal, ir viskas dėl to, kad visas mūsų gyvenimas yra koordinačių plokštuma ir čia svarbiausia, kokia yra jūsų koordinatė...“

Bibliografija

Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 p., iliustr.

Lyatker Ya. A. Descartes. M.: Mysl, 1975. – (Praeities mąstytojai)

Matvievskaya G. P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976 m.

A. Savinas. Koordinatės Kvantinė. 1977. Nr.9

Matematika - laikraščio „Rugsėjo pirmoji“ priedas, Nr.7, Nr.20, Nr.17, 2003, Nr.11, 2000, Nr.

Siegel F.Yu. Žvaigždžių abėcėlė: vadovas studentams. - M.: Švietimas, 1981. - 191 p., iliustr.

Steve'as Parkeris, Nicholasas Harrisas. Iliustruota enciklopedija vaikams. Visatos paslaptys. Charkovas Belgorodas. 2008 m

Medžiaga iš svetainės http://istina.rin.ru/

Kas yra koordinačių plokštuma?

Terminas „koordinatės“ išverstas iš lotynų kalba reiškia žodį „užsakyta“.

Tarkime, kad reikia nurodyti taško padėtį plokštumoje. Tam paimame 2 statmenas tiesias linijas, kurios vadinamos koordinačių ašimis, kur X bus abscisių ašis, Y – ordinačių ašis, o koordinačių pradžia – taškas O. Statieji kampai, suformuoti naudojant koordinačių ašis bus vadinami koordinačių kampais.

Taip pasiekiame apibrėžimą ir dabar žinome, kad koordinačių plokštuma yra plokštuma su nurodyta koordinačių sistema.

Dabar pažvelkime į koordinačių kampų numeraciją:

Dabar parodykime stačiakampę koordinačių sistemą ir pažymime joje tašką M.

Tada per tašką M reikia nubrėžti tiesią liniją, kuri bus lygiagreti Y ašiai. Dabar pažiūrėkime, ką gavome. Kaip matome, tiesė kerta X ašį taške, kuriame koordinatė bus lygi –2. Ši koordinatė yra taško M abscisė.

Dabar per tašką M reikia nubrėžti tiesią liniją, kuri bus lygiagreti X ašiai.

Matome, kad ši tiesė kerta X ašį taške, kurio koordinatė lygi trims. Ši koordinatė bus taško M ordinatė.

Dabartinės M koordinačių įrašymas atrodys taip:

Tokiame žymėjime abscisė visada dedama į pirmą vietą, o ordinatės – antroje. Jei atsižvelgsime į taško M koordinačių pavyzdį (-2; 3), tada -2 veikia kaip taško M abscisė, o šio taško ordinatė bus skaičius 3.

Iš to išplaukia, kad koordinačių plokštumoje kiekvienas taškas M atitinka skaičių porą, tokią kaip jo abscisė ir ordinatė. Taip pat bus teisingas ir priešingas teiginys, tai yra, kiekviena tokia skaičių pora atitinka vieną tašką plokštumoje, kurios koordinatės yra šie skaičiai.

Pratimas:

Koordinačių plokštuma gyvenime

Ar, Jūsų nuomone, žinios apie koordinačių plokštumą gali būti naudingos kasdieniame gyvenime? O ar jūs kada nors girdėjote tokią frazę kaip „palik savo koordinates“ arba „prie kokios koordinatės tave galima rasti“? O ar kada pagalvojote, ką šie posakiai gali reikšti?

Pasirodo, viskas labai paprasta ir banalu, o tai reiškia to ar kito objekto vietą, pagal kurią nesunku rasti žmogų ar konkrečią vietą. Galime drąsiai teigti, kad koordinačių sistemos yra būtinos praktinis gyvenimasžmonių visur.

Tokia koordinačių sistema gali būti namų adresas, telefono numeris, darbo vieta ir kt.

Juk net ir pirkdami bilietus į traukinį žinote ne tik jo numerį ir kelionės tikslą, bet ir vagono bei sėdimos vietos numerį.

Norint eiti aplankyti klasės draugo, neužtenka žinoti tik namą, kuriame jis gyvena, bet reikia žinoti ir buto numerį.

Pratimas

1. Kokią informaciją reikia žinoti norint užimti vietą teatre?
2. Kokius duomenis reikia turėti norint nustatyti taškus žemės paviršiuje?
3. Pagal kokias koordinates galima nustatyti vietą kino salėje?
4. Ką reikia žinoti norint nustatyti figūrėlės padėtį šachmatų lentoje?
5. Kokias koordinates naudojate žaisdami jūrų mūšį?

Istorinė nuoroda

Idėja naudoti koordinates kilo nuo seniausių laikų. Iš pradžių astronomai pradėjo juos naudoti dangaus kūnams nustatyti, o geografai – vietai ir objektams Žemės paviršiuje nustatyti.

Senovės graikų astronomo Klaudijaus Plotomejaus darbų dėka jau antrajame amžiuje mokslininkai išmoko nustatyti ilgumą ir platumą.

Ar žinote, kodėl matematikoje yra toks dalykas kaip „Dekarto koordinačių sistema“? Pasirodo, koordinačių metodą, turintį bendrą matematinę reikšmę, XVII amžiuje atrado prancūzų matematikai Pierre'as Fermat ir Rene'as Dekartas, o 1637 metais Rene'as Descartes'as pirmą kartą aprašė jį knygoje apie geometriją.

Tačiau terminus „abscisė“, „ordinatė“ ir „koordinatės“ pirmą kartą įvedė Vilhelmas Leibnicas XVII a.

Namų darbai:

Koordinačių plokštumos supratimas

Kiekvienas objektas (pavyzdžiui, namas, vieta auditorijoje, taškas žemėlapyje) turi savo užsakytą adresą (koordinates), kuris turi skaitinį arba raidinį žymėjimą.

Matematikai sukūrė modelį, leidžiantį nustatyti objekto padėtį ir yra vadinamas koordinačių plokštuma.

Norint sukonstruoti koordinačių plokštumą, reikia nubrėžti $2$ statmenas tiesias linijas, kurių pabaigoje rodyklėmis nurodomos kryptys „į dešinę“ ir „aukštyn“. Tiesėms taikomos padalos, o linijų susikirtimo taškas yra abiejų skalių nulis.

1 apibrėžimas

Horizontali linija vadinama x ašis ir žymimas x, o vertikali linija vadinama y ašis ir žymimas y.

Sudaro dvi statmenos x ir y ašys su padalomis stačiakampio formos, arba Dekarto, koordinačių sistema, kurį pasiūlė prancūzų filosofas ir matematikas Rene Descartes.

Koordinačių plokštuma

Taško koordinatės

Taškas koordinačių plokštumoje yra apibrėžtas dviem koordinatėmis.

Norint nustatyti taško $A$ koordinates koordinačių plokštumoje, per jį reikia nubrėžti tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims (paveiksle pažymėta punktyrine linija). Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda $x$ taško $A$ koordinatę, o susikirtimas su y ašimi – taško $A$ y koordinatę. Rašant taško koordinates, pirmiausia įrašoma $x$ koordinatė, o po to $y$ koordinatė.

Paveikslo taškas $A$ turi $(3; 2)$ koordinates, o taškas $B (–1; 4)$.

Norėdami nubrėžti tašką koordinačių plokštumoje, atlikite veiksmus Atvirkštinė tvarka.

Taško konstravimas nurodytose koordinatėse

1 pavyzdys

Koordinačių plokštumoje sukonstruoti taškus $A(2;5)$ ir $B(3; –1).$

Sprendimas.

Taško $A$ statyba:

uždėkite skaičių $2$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
Y ašyje nubraižome skaičių $5$ ir nubrėžiame tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $A$ su koordinatėmis $(2; 5)$.

Taško $B$ statyba:

Nubraižykime skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkime tiesę, statmeną x ašiai;
$y$ ašyje pavaizduojame skaičių $(–1)$ ir nubrėžiame tiesią tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $B$ su koordinatėmis $(3; –1)$.

2 pavyzdys

Sukurkite taškus koordinačių plokštumoje su nurodytomis koordinatėmis $C (3; 0)$ ir $D(0; 2)$.

Sprendimas.

Taško $C$ konstrukcija:

įdėkite skaičių $3$ į $x$ ašį;
koordinatė $y$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $C$ bus $x$ ašyje.

Taško $D$ statyba:

padėkite skaičių $2$ ant $y$ ašies;
koordinatė $x$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $D$ bus $y$ ašyje.

1 pastaba

Todėl koordinatėje $x=0$ taškas bus $y$ ašyje, o koordinatėje $y=0$ taškas bus $x$ ašyje.

3 pavyzdys

Nustatykite taškų A, B, C, D koordinates.$

Sprendimas.

Nustatykime taško $A$ koordinates. Norėdami tai padaryti, per šį tašką $2$ nubrėžiame tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims. Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda koordinatę $x$, tiesės susikirtimas su y ašimi – koordinatę $y$. Taigi gauname, kad taškas $A (1; 3).$

Nustatykime taško $B$ koordinates. Norėdami tai padaryti, per šį tašką $2$ nubrėžiame tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims. Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda koordinatę $x$, tiesės susikirtimas su y ašimi – koordinatę $y$. Randame tą tašką $B (–2; 4).$

Nustatykime taško $C$ koordinates. Nes jis yra $y$ ašyje, tada šio taško $x$ koordinatė lygi nuliui. Y koordinatė yra $–2 $. Taigi taškas $C (0; –2)$.

Nustatykime taško $D$ koordinates. Nes ji yra $x$ ašyje, tada $y$ koordinatė lygi nuliui. Šio taško $x$ koordinatė yra $–5$. Taigi taškas $D (5; 0).$

4 pavyzdys

Sukurkite taškus $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Sprendimas.

$E$ taško statyba:

uždėkite skaičių $(–3)$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
ant $y$ ašies pavaizduojame skaičių $(–2)$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $E (–3; –2).$

$F$ taško konstrukcija:

koordinatė $y=0$, o tai reiškia, kad taškas yra $x$ ašyje;
Nubraižykime skaičių $5$ ant $x$ ašies ir gaukime tašką $F(5; 0).$

Taško $G$ statyba:

uždėkite skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją $x$ ašiai;
ant $y$ ašies nubraižome skaičių $4$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $G(3; 4).$

Taško $H$ statyba:

koordinatė $x=0$, tai reiškia, kad taškas yra $y$ ašyje;
Nubraižykime skaičių $(–4)$ ant $y$ ašies ir gaukime tašką $H(0;–4).$

$O$ taško konstrukcija:

abi taško koordinatės lygios nuliui, o tai reiškia, kad taškas vienu metu yra ir $y$ ašyje, ir $x$ ašyje, todėl yra abiejų ašių susikirtimo taškas (koordinačių pradžia).

Koordinačių plokštumos supratimas

Kiekvienas objektas (pavyzdžiui, namas, vieta auditorijoje, taškas žemėlapyje) turi savo užsakytą adresą (koordinates), kuris turi skaitinį arba raidinį žymėjimą.

Matematikai sukūrė modelį, leidžiantį nustatyti objekto padėtį ir yra vadinamas koordinačių plokštuma.

1 apibrėžimas

Horizontali linija vadinama x ašis ir žymimas x, o vertikali linija vadinama y ašis ir žymimas y.

Sudaro dvi statmenos x ir y ašys su padalomis stačiakampio formos, arba Dekarto, koordinačių sistema, kurį pasiūlė prancūzų filosofas ir matematikas Rene Descartes.

Koordinačių plokštuma

Taško koordinatės

Taškas koordinačių plokštumoje yra apibrėžtas dviem koordinatėmis.

Paveikslo taškas $A$ turi $(3; 2)$ koordinates, o taškas $B (–1; 4)$.

Norėdami nubrėžti tašką koordinačių plokštumoje, tęskite atvirkštine tvarka.

Taško konstravimas nurodytose koordinatėse

1 pavyzdys

Koordinačių plokštumoje sukonstruoti taškus $A(2;5)$ ir $B(3; –1).$

Sprendimas.

Taško $A$ statyba:

uždėkite skaičių $2$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
Y ašyje nubraižome skaičių $5$ ir nubrėžiame tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $A$ su koordinatėmis $(2; 5)$.

Taško $B$ statyba:

Nubraižykime skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkime tiesę, statmeną x ašiai;
$y$ ašyje pavaizduojame skaičių $(–1)$ ir nubrėžiame tiesią tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $B$ su koordinatėmis $(3; –1)$.

2 pavyzdys

Sukurkite taškus koordinačių plokštumoje su nurodytomis koordinatėmis $C (3; 0)$ ir $D(0; 2)$.

Sprendimas.

Taško $C$ konstrukcija:

įdėkite skaičių $3$ į $x$ ašį;
koordinatė $y$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $C$ bus $x$ ašyje.

Taško $D$ statyba:

padėkite skaičių $2$ ant $y$ ašies;
koordinatė $x$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $D$ bus $y$ ašyje.

1 pastaba

Todėl koordinatėje $x=0$ taškas bus $y$ ašyje, o koordinatėje $y=0$ taškas bus $x$ ašyje.

3 pavyzdys

Nustatykite taškų A, B, C, D koordinates.$

Sprendimas.

Nustatykime taško $C$ koordinates. Nes jis yra $y$ ašyje, tada šio taško $x$ koordinatė lygi nuliui. Y koordinatė yra $–2 $. Taigi taškas $C (0; –2)$.

Nustatykime taško $D$ koordinates. Nes ji yra $x$ ašyje, tada $y$ koordinatė lygi nuliui. Šio taško $x$ koordinatė yra $–5$. Taigi taškas $D (5; 0).$

4 pavyzdys

Sukurkite taškus $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Sprendimas.

$E$ taško statyba:

uždėkite skaičių $(–3)$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
ant $y$ ašies pavaizduojame skaičių $(–2)$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $E (–3; –2).$

$F$ taško konstrukcija:

koordinatė $y=0$, o tai reiškia, kad taškas yra $x$ ašyje;
Nubraižykime skaičių $5$ ant $x$ ašies ir gaukime tašką $F(5; 0).$

Taško $G$ statyba:

uždėkite skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją $x$ ašiai;
ant $y$ ašies nubraižome skaičių $4$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $G(3; 4).$

Taško $H$ statyba:

koordinatė $x=0$, tai reiškia, kad taškas yra $y$ ašyje;
Nubraižykime skaičių $(–4)$ ant $y$ ašies ir gaukime tašką $H(0;–4).$

$O$ taško konstrukcija:

abi taško koordinatės lygios nuliui, o tai reiškia, kad taškas vienu metu yra ir $y$ ašyje, ir $x$ ašyje, todėl yra abiejų ašių susikirtimo taškas (koordinačių pradžia).

Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje

Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys X’X ir Y’Y. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje parenkama teigiama kryptis.. Teigiama ašių kryptis (dešiniojoje koordinačių sistemoje) parenkama taip, kad pasukus X'X ašį prieš laikrodžio rodyklę 90°, jo teigiama kryptis sutampa su Y'Y ašies teigiama kryptimi. Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių X'X ir Y'Y, vadinami koordinačių kampais (žr. 1 pav.).

Taško A padėtis plokštumoje nustatoma pagal dvi koordinates x ir y. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė lygi atkarpos OC ilgiui pasirinktuose matavimo vienetuose. Atkarpas OB ir OC apibrėžia linijos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios Y'Y ir X'X ašims, atitinkamai. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y – taško A ordinate. Rašoma taip: A(x, y).

Jei taškas A yra koordinačių kampe I, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe II, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe III, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra IV koordinačių kampe, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir neigiamą ordinatę.

Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys OX, OY ir OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Matavimo vienetai yra vienodi visoms ašims. OX - abscisių ašis, OY - ordinačių ašis, OZ - taikymo ašis. Teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad OX ašį pasukus prieš laikrodžio rodyklę 90°, jos teigiama kryptis sutaptų su teigiama OY ašies kryptimi, jei šis sukimasis stebimas iš teigiamos OZ ašies krypties. Tokia koordinačių sistema vadinama dešiniaranke. Jeigu nykštys dešinė ranka imkime X kryptį kaip X kryptį, indeksinę – kaip Y kryptį, o vidurinę – kaip Z kryptį, tada susidaro dešinioji koordinačių sistema. Panašūs kairės rankos pirštai sudaro kairiąją koordinačių sistemą. Neįmanoma sujungti dešinės ir kairės koordinačių sistemų taip, kad atitinkamos ašys sutaptų (žr. 2 pav.).

Taško A padėtis erdvėje nustatoma pagal tris koordinates x, y ir z. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė – atkarpos OC ilgiui, z koordinatė – atkarpos OD ilgiui pasirinktais matavimo vienetais. Atkarpas OB, OC ir OD apibrėžia plokštumos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios atitinkamai plokštumoms YOZ, XOZ ir XOY. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y koordinatė vadinama taško A ordinate, z koordinatė vadinama taško A aplikacija. Rašoma taip: A(a, b, c).

Orty

Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, sulygiuotu su koordinačių ašimis. Vienetų vektorių skaičius yra lygus koordinačių sistemos matmeniui ir visi jie yra statmeni vienas kitam.

Trimačiu atveju tokie vienetiniai vektoriai dažniausiai žymimi i j k arba e x e y e z. Šiuo atveju dešiniarankės koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės su vektorių vektorine sandauga:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

Istorija

Stačiakampę koordinačių sistemą pirmą kartą pristatė Rene'as Descartes'as savo darbe „Metodo diskursas“ 1637 m. Todėl stačiakampė koordinačių sistema taip pat vadinama - Dekarto koordinačių sistema. Geometrinių objektų apibūdinimo koordinačių metodas pažymėjo analitinės geometrijos pradžią. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbai pirmą kartą buvo paskelbti po jo mirties. Dekartas ir Ferma koordinačių metodą naudojo tik plokštumoje.

Pirmą kartą koordinačių metodą trimatei erdvei Leonhardas Euleris panaudojo jau XVIII a.

taip pat žr

Nuorodos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „koordinačių plokštuma“ kituose žodynuose:

pjovimo plokštuma- (Pn) Koordinatės plokštuma, liečianti pjovimo briauną nagrinėjamame taške ir statmena pagrindinei plokštumai. [...

Topografijoje – įsivaizduojamų linijų tinklas, juosiantis Žemė platumos ir dienovidinio kryptimis, kuriomis galite tiksliai nustatyti bet kurio taško padėtį žemės paviršiuje. Platumos matuojamos nuo pusiaujo – didžiojo apskritimo... ... Geografinė enciklopedija

Topografijoje – įsivaizduojamų linijų tinklas, juosiantis Žemės rutulį platumos ir dienovidinio kryptimis, kurio pagalba galima tiksliai nustatyti bet kurio taško padėtį žemės paviršiuje. Platumos matuojamos nuo didžiojo apskritimo pusiaujo,... ... Collier enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. fazės diagramą. Fazių plokštuma – tai koordinačių plokštuma, kurioje išilgai koordinačių ašių nubrėžti bet kokie du kintamieji (fazių koordinatės), kurie vienareikšmiškai nustato sistemos būseną... ... Vikipedija

pagrindinė pjovimo plokštuma- (Pτ) Koordinatės plokštuma, statmena pagrindinės plokštumos ir pjovimo plokštumos sankirtai. [GOST 25762 83] Temos: pjovimo apdirbimas Bendrieji terminai: koordinačių plokštumų sistemos ir koordinačių plokštumos... Techninis vertėjo vadovas

instrumentinė pagrindinė pjovimo plokštuma- (Pτi) Koordinatės plokštuma, statmena pagrindinės instrumentinės plokštumos ir pjovimo plokštumos susikirtimo linijai. [GOST 25762 83] Temos: pjovimo apdirbimas Bendrieji terminai: koordinačių plokštumų sistemos ir koordinačių plokštumos... Techninis vertėjo vadovas

įrankių pjovimo plokštuma- (Pni) Koordinatės plokštuma, liečianti pjovimo briauną nagrinėjamame taške ir statmena pagrindinei prietaiso plokštumai. [GOST 25762 83] Pjovimo apdirbimo dalykai Bendrieji koordinačių plokštumos sistemos terminai ir... ... Techninis vertėjo vadovas