Kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę. Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamuoju kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Anksti ryte pradėjo groti teorijos saulės spindulys, kad netrukus būtų galima sutelkti dėmesį į praktiką, kurioje, nepaisant deklaruojamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Dėl sprendimų praktines užduotis turi sugebėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra nuolatinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške, o jo kairioji riba yra lygi reikšmei šiame taške:

Įsivaizduokite, kad žali taškai yra nagai, prie kurių pritvirtinta stebuklinga elastinė juosta:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tiksli viršutinė riba ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Apytiksliai kalbant, didžiausia vertė yra ten, kur yra aukščiausias grafiko taškas, o žemiausias yra žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną premiją: čia nereikia tikrinti, ar pakankama ekstremumo sąlyga, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuoja, kokia yra mažiausia arba didžiausia vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas pasitaiko ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš 1 ir 2 pastraipose rastų funkcijų reikšmių pasirinkite mažiausią ir didžiausią skaičių ir užrašykite atsakymą.

Atsisėdame ant žydros jūros kranto ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antrame kritiniame taške:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Trupmeninis racionalus pavyzdys savarankiškas sprendimas:

6 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Ir norint ją išspręsti, jums reikės minimalių žinių apie temą. Baigiasi dar vieni mokslo metai, visi nori atostogauti, o norėdama priartinti šią akimirką, iškart pereisiu prie reikalo:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų, apribotų trikampiu, rinkinys, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„išskirkite“ bent vieną tašką, tada regionas nebebus uždarytas). Praktiškai taip pat yra stačiakampių, apvalių ir šiek tiek sudėtingesnių formų sričių. Pažymėtina, kad matematinės analizės teorijoje pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir dabar nieko daugiau nereikia.

Plokščia sritis paprastai žymima raide ir, kaip taisyklė, nurodoma analitiškai – keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiškas veiksmažodis: „uždara zona, apribotas linijomis ».

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Turite nubrėžti visas išvardytas linijas (in tokiu atveju 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Ieškoma sritis paprastai būna švelniai užtamsinta, o jos riba pažymėta stora linija:


Taip pat galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie dėl tam tikrų priežasčių dažnai rašomi kaip išvardintas sąrašas, o ne kaip sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tada visos nelygybės, žinoma, atsainiai.

O dabar užduoties esmė. Įsivaizduokite, kad ašis išeina tiesiai į jus nuo pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas parodo kai kuriuos paviršius, o maža laimė yra ta, kad norint išspręsti šiandieninę problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nesvarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas srityje funkcija pasiekia didžiausią vertę (aukščiausias") ir mažiausiai (mažiausias") vertybes, kurias reikia rasti. Tokios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šios srities ribos. Tai veda prie paprasto ir skaidraus sprendimo algoritmo:

1 pavyzdys

Ribotu būdu uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man techniškai sunku padaryti interaktyvų problemos modelį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje matyti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie pateikiami vienas po kito, kai jie atrandami:

Remiantis preambule, sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

I) Raskime stacionarūs taškai. Tai yra standartinis veiksmas, kurį pakartotinai atlikome klasėje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite ant piešinio), tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus paryškinsiu paryškintu šriftu. Juos patogu pieštuku atsekti sąsiuvinyje.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pvz. vietinis minimumas, tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas nepriklauso regionui? Beveik nieko! Reikėtų tai pastebėti ir pereiti prie kito punkto.

II) Tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, pirmiausia naudingiau nagrinėti atkarpas, lygiagrečias koordinačių ašims, o pirmiausia gulinčias ant pačių ašių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)"išraižo" iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji yra:

– gauta vertė „įkrito“ į sritį, ir gali pasirodyti, kad taške (pažymėta brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame regione. Vienaip ar kitaip, atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes taškuose (pažymėta brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą naudodami „nuplėštą“ versiją:

2) Norėdami ištirti dešinę trikampio pusę, pakeiskite ją funkcija ir „sutvarkykite dalykus“:

Čia mes iš karto atliksime grubų patikrinimą, „paskambinsime“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

– gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija atsiradusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , atlikime kontrolinį patikrinimą:

3) Turbūt kiekvienas gali atspėti, kaip ištirti likusią pusę. Mes jį pakeičiame į funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmento galai jau buvo ištirtos, bet juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Patikrinkime skaičiavimus naudodami „biudžeto“ versiją :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas Užsirašykime suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Bet kokiu atveju dar kartą pakomentuosiu geometrine prasme rezultatas:
– čia yra aukščiausias paviršiaus taškas regione;
– čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Analizuojamoje užduotyje nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius įvairiose užduotyse skiriasi. Trikampio regiono minimalų „tyrimų rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, funkcija nurodo lėktuvas– visiškai aišku, kad stacionarių taškų nėra, o didžiausias/mažiausias reikšmes funkcija gali pasiekti tik trikampio viršūnėse. Tačiau yra tik vienas ar du panašūs pavyzdžiai – dažniausiai tenka susidurti su kai kuriais 2 eilės paviršius.

Jei bandysite tokias užduotis šiek tiek išspręsti, tada trikampiai gali priversti galvą suktis, todėl aš jums pasiruošiau neįprasti pavyzdžiai kad taptų kvadratas :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione.

Ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį į racionalią regiono ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti bet kokiu būdu, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti jūsų gyvenimą. Apytikslis baigiamųjų užduočių pavyzdys pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, kitu atveju su mano, kaip voro, darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

– Pirmuoju žingsniu statome plotą, patartina jį nuspalvinti ir paryškinti kraštą paryškinta linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia pažymėti brėžinyje.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso regionui. Tekste paryškiname gautas reikšmes (pavyzdžiui, apibraukite jas pieštuku). Jei stacionarus taškas NEPRIklauso regionui, tai pažymime šį faktą piktograma arba žodžiu. Jei stacionarių taškų iš viso nėra, darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio punkto negalima praleisti!

– Tiriame regiono sieną. Pirma, pravartu suprasti tiesias linijas, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių iš viso yra). Taip pat pabrėžiame funkcijų reikšmes, apskaičiuotas „įtartiniuose“ taškuose. Aukščiau daug pasakyta apie sprendimo techniką, o kai kas dar bus pasakyta žemiau – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės į tai!

– Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai užrašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitiems naudingų idėjų kuris bus naudingas praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždarame regione .

Išlaikiau autoriaus formuluotę, kurioje plotas pateiktas dvigubos nelygybės forma. Ši sąlyga gali būti parašyta lygiaverte sistema arba tradicine šios problemos forma:

Primenu, kad su netiesinis susidūrėme su nelygybėmis, o jei nesuprantate žymėjimo geometrinės reikšmės, prašome nedelsti ir išsiaiškinti situaciją jau dabar;-)

Sprendimas, kaip visada, pradedama sukonstruoti sritį, kuri atstovauja tam tikrą „padą“:

Hmm, kartais tenka kramtyti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistema yra idiotų svajonė :)

Nejudantis taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Ir taip, viskas gerai... pamoka praėjo puikiai – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Tiriame regiono sieną. Be daugiau dėmesio, pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskime, kur yra parabolės viršūnė:
– vertink tokias akimirkas – „pataikai“ tiesiai iki taško, nuo kurio viskas jau aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apsvarstykime apatinę „pado“ dalį „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų ją pakeičiame į funkciją, o mus domina tik segmentas:

Kontrolė:

Tai jau suteikia jaudulio monotoniškam važiavimui raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Nuspręskime kvadratinė lygtis, ar prisimeni dar ką nors apie tai? ...Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip jūs neskaitytumėte šių eilučių =) Jei dviese ankstesni pavyzdžiai skaičiavimai buvo patogūs po kablelio(kas, beje, reta), tada čia mūsų laukia įprasti bendrosios trupmenos. Mes randame „X“ šaknis ir naudojame lygtį, norėdami nustatyti atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:


Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai yra „kandidatai“, tai yra „kandidatai“!

Norėdami tai išspręsti patys:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas su garbanotomis petnešomis skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais tokiuose pavyzdžiuose jie naudojasi Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar tikrai reikės jį naudoti. Taigi, pavyzdžiui, jei duota funkcija su ta pačia sritimi „de“, tai po pakeitimo į ją – su išvestine iš be sunkumų; Be to, viskas surašyta „vienoje eilutėje“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir sudėtingesnių atvejų, kai be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) Sunku išsiversti – kaip ir be gero poilsio!

Visiems gero laiko ir iki greito pasimatymo kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

y =

segmente [ ;]

Įtraukti teoriją

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga

Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumui, t. y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Ji identifikuoja stacionarius taškus x c, kuriuose funkcija neveikia padidinti arba sumažinti.

Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

Tegu f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas aibei D priklausančio x atžvilgiu. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada taškas x * yra lokalus (pasaulinis) funkcijos minimumas.

Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas.

Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; , o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudotos net diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystėje vienoje taško pusėje x 0 arba abiejose pusėse išvestinės keičiasi ženklas. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtina sąlyga Funkcijos maksimumas ir minimumas (ekstremumas) yra tokie: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiuo metu išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba jos nėra.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba mažiausia)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąjį pakankama būklė funkcijos ekstremumas:

Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išspręskite lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Nagrinėjamu pavyzdžiu:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra „pliusas“).

Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y(x) = 3sin(x) – 0,5x

intervalais:

Taigi, funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arkos(0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = Arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijų reikšmes randame prie kritinių argumento verčių:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.

Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė -

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?

Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos apibrėžimo sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?

Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, kraštutinumą, reikia:

1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas ženklas, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.

Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai daugiau argumentai.

Kokie gazuoti gaivieji gėrimai valo paviršius?
Yra nuomonė, kad gazuotas gaivusis gėrimas Coca-Cola gali ištirpinti mėsą. Bet, deja, tiesioginių to įrodymų nėra. Priešingai, yra teigiamų faktų, patvirtinančių, kad dvi dienas Coca-Cola gėrime palikta mėsa keičia vartotojų savybes ir niekur nedingsta.

Maketai standartiniai butai, namų aprašymus ir nuotraukas galima peržiūrėti interneto svetainėse: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. tinklas/menas

Kaip gydyti neurozę
Neurozė (Novolat. neurosis, kilęs iš senovės graikų νε?ρον – nervas; sinonimai – psichoneurozė, neurozinis sutrikimas) – klinikoje: bendras funkcinių psichogeninių grįžtamųjų sutrikimų grupės, linkusios išlikti, pavadinimas.

Kas yra afelionas
Apocentras – orbitos taškas, kuriame elipsine orbita aplink kitą kūną besisukantis kūnas pasiekia didžiausią atstumą nuo pastarojo. Tame pačiame taške, pagal antrąjį Keplerio dėsnį, orbitos judėjimo greitis tampa minimalus. Apocenter yra taške, kuris yra diametraliai priešingas periapsiui. Ypatingais atvejais įprasta vartoti specialius terminus:

Kas yra mamonas
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) – žodis, kilęs iš graikų kalbos. mamonos ir reiškia turtus, žemiškus lobius, palaiminimus. Tarp kai kurių senovės pagonių tautų jis buvo turto ir pelno dievas. Minėtas Šventasis Raštas iš evangelistų Mato ir Luko: „Niekas negali tarnauti dviem šeimininkams: arba vieno, o kito nekęs.

Kada yra stačiatikių Velykos 2049 m.?
2015 metais stačiatikių Velykos bus balandžio 12 d., o katalikų Velykos – balandžio 5 d. IN bažnytiniai kalendoriai stačiatikių Velykų datos pateikiamos pagal Julijaus kalendorius (senas Stilius), o katalikiškos Velykos laikomos moderniomis Grigaliaus kalendorius (naujas stilius), todėl datų palyginimas reikalauja tam tikrų protinių pastangų

Kas yra rublis
Rublis – tai šiuolaikinių Rusijos, Baltarusijos (Baltarusijos rublis), Padniestrės (Padniestrės rublio) valiutų pavadinimas. Rusijos rublis taip pat yra apyvartoje Pietų Osetija ir Abchazija. Praeityje - Rusijos respublikų ir kunigaikštysčių, Maskvos Didžiosios Kunigaikštystės, Rusijos Karalystės, Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės piniginis vienetas, Rusijos imperija ir įvairių

Kiek laiko Ariel Sharon buvo komos būsenos?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) – Izraelio karinė, politinė ir valstybininkas, Izraelio ministras pirmininkas 2001–2006 m. Gimimo data: 1928 m. vasario 26 d. Gimimo vieta: Kfar Malal gyvenvietė netoli Kfar Sava, Izraelis Mirties data: 2014 m. sausio 11 d. Mirties vieta: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kas buvo neandertaliečiai
Neandertalietis, neandertalietis žmogus (lot. Homo neanderthalensis arba Homo sapiens neandertalietis) - fosilijų rūšysžmonių, gyvenusių prieš 300-24 tūkst. Pavadinimo kilmė Manoma, kad neandertaliečių kaukolė pirmą kartą buvo rasta 1856 m

Kiek metų yra Geoffrey Rush
Geoffrey Rush yra Australijos kino ir scenos aktorius. „Oskaro“ (1997), BAFTA (1996, 1999), „Auksinio gaublio“ (1997, 2005) laureatas. Garsiausi filmai, kuriuose jis dalyvauja, yra „Švytėjimas“.

Kaip nustatyti funkcijos grafiko išgaubtumo ir įgaubimo intervalus
Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga? Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas. Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai išvestinė šiame taške yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė t