Raskite didėjančio funkcijos sumažėjimo ir ekstremalių intervalus. Pakankamai didėjančių ir mažėjančių funkcijų požymių

Darinys. Jei funkcijos išvestinė yra teigiama bet kuriame intervalo taške, tai funkcija didėja, jei ji neigiama, ji mažėja.

Norint rasti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, reikia rasti jos apibrėžimo sritį, išvestinę, išspręsti F’(x) > 0 ir F’(x) formos nelygybes.

Sprendimas.

3. Išspręskite nelygybes y’ > 0 ir y’ 0;
(4–x)/x³

Sprendimas.
1. Raskime funkcijos apibrėžimo sritį. Akivaizdu, kad išraiška vardiklyje visada turi skirtis nuo nulio. Todėl 0 iš apibrėžimo srities neįtraukiama: funkcija apibrėžta x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Išspręskite nelygybes y’ > 0 ir y’ 0;
(4–x)/x³

4. Kairioji nelygybės pusė turi vieną tikrąjį x = 4 ir pasisuka į ties x = 0. Todėl reikšmė x = 4 įtraukiama ir į intervalą, ir į mažėjantį intervalą, o taškas 0 neįtrauktas.
Taigi, reikiama funkcija didėja intervale x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Kairioji nelygybės pusė turi vieną tikrąjį x = 4 ir pasisuka į ties x = 0. Todėl reikšmė x = 4 įtraukiama ir į intervalą, ir į mažėjantį intervalą, o taškas 0 neįtrauktas.
Taigi, reikiama funkcija didėja intervale x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Šaltiniai:

• kaip rasti funkcijos mažėjimo intervalus

Funkcija reiškia griežtą vieno skaičiaus priklausomybę nuo kito arba funkcijos (y) reikšmę nuo argumento (x). Kiekvienas procesas (ne tik matematikoje) gali būti apibūdintas pagal savo funkciją, kurią turės charakteristikos: mažėjimo ir didėjimo intervalai, minimumų ir maksimumų taškai ir pan.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcijos

2 pavyzdys.
Raskite mažėjimo intervalus f(x)=sinx +x.
Šios funkcijos išvestinė bus lygi: f’(x)=cosx+1.
Nelygybės cosx+1 sprendimas

Intervalas monotonija funkcija gali būti vadinama intervalu, kuriame funkcija arba tik didėja, arba tik mažėja. Keletas konkrečių veiksmų padės rasti tokius funkcijos diapazonus, kurių dažnai reikia atliekant tokio pobūdžio algebrinius uždavinius.

Instrukcijos

Pirmas žingsnis sprendžiant intervalų, kuriais funkcija monotoniškai didėja arba mažėja, nustatymo problemą yra šios funkcijos apskaičiavimas. Norėdami tai padaryti, sužinokite visas argumentų reikšmes (reikšmes išilgai x ašies), kurioms galite rasti funkcijos reikšmę. Pažymėkite taškus, kuriuose pastebimi nutrūkimai. Raskite funkcijos išvestinę. Kai nustatysite išvestinę išraišką, nustatykite ją lygią nuliui. Po to turėtumėte rasti gauto rezultato šaknis. Ne apie leistiną plotą.

Taškai, kuriuose funkcija arba jos išvestinė lygi nuliui, reiškia intervalų ribas monotonija. Šie diapazonai, taip pat juos skiriantys taškai, turėtų būti įvesti į lentelę paeiliui. Gautuose intervaluose raskite funkcijos išvestinės ženklą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite bet kurį argumentą iš intervalo į išraišką, atitinkančią išvestinę. Jei rezultatas yra teigiamas, funkcija šiame diapazone padidėja; Rezultatai įrašomi į lentelę.

Funkcijos f’(x) išvestinę žyminčioje eilutėje rašomos atitinkamos argumentų reikšmės: „+“ – jei išvestinė yra teigiama, „-“ – neigiama arba „0“ – lygi nuliui. Kitoje eilutėje atkreipkite dėmesį į pačios pradinės išraiškos monotoniją. Rodyklė aukštyn atitinka padidėjimą, o rodyklė žemyn – sumažėjimą. Patikrinkite funkcijas. Tai taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui. Ekstremas gali būti maksimalus taškas arba minimalus taškas. Jei ankstesnė funkcijos dalis padidėjo, o dabartinė sumažėjo, tai yra maksimalus taškas. Tuo atveju, kai funkcija mažėjo prieš tam tikrą tašką, o dabar didėja, tai yra minimalus taškas. Įveskite funkcijos reikšmes į lentelę ekstremaliuose taškuose.

Šaltiniai:

• koks yra monotonijos apibrėžimas

Funkcijos, kuri turi kompleksinę priklausomybę nuo argumento, elgsena tiriama naudojant išvestinę. Pagal išvestinės pokyčio pobūdį galite rasti kritinius funkcijos augimo ar sumažėjimo taškus ir sritis.

Tegul tam tikroje plokštumoje nurodoma stačiakampė koordinačių sistema. Kai kurios funkcijos grafikas , (X apibrėžimo sritis) yra šios plokštumos taškų aibė su koordinatėmis, kur .

Norėdami sudaryti grafiką, plokštumoje turite pavaizduoti taškų, kurių koordinatės (x;y) yra susijusios su ryšiu.

Dažniausiai funkcijos grafikas yra tam tikra kreivė.

Paprasčiausias būdas braižyti grafiką yra braižyti taškais.

Sudaroma lentelė, kurioje argumento reikšmė yra viename langelyje, o funkcijos reikšmė iš šio argumento yra priešingame langelyje. Tada plokštumoje pažymimi gauti taškai, o per juos nubrėžiama kreivė.

Funkcijos grafiko sudarymo naudojant taškus pavyzdys:

Pastatykime stalą.

Dabar sukurkime grafiką.

Bet tokiu būdu ne visada pavyksta sukonstruoti pakankamai tikslų grafiką – tikslumui reikia paimti daug taškų. Todėl jie naudoja įvairių metodų funkcijų studijos.

Su visa funkcijos tyrimo schema supažindinama aukštajame moksle. švietimo įstaigų. Vienas iš funkcijos tyrimo taškų yra surasti funkcijos didėjimo (mažėjimo) intervalus.

Funkcija vadinama didėjančia (mažėjančia) tam tikrame intervale, jei bet kuriam x 2 ir x 1 iš šio intervalo, kad x 2 > x 1.

Pavyzdžiui, funkcija, kurios grafikas parodytas kitame paveikslėlyje, intervalais didėja, o intervale mažėja (-5;3). Tai yra, intervalais Tvarkaraštis kyla į viršų. O intervale (-5;3) „nuokalnėn“.

Kitas funkcijos tyrimo punktas yra funkcijos periodiškumo tyrimas.

Funkcija vadinama periodine, jei yra skaičius T, kad .

Skaičius T vadinamas funkcijos periodu. Pavyzdžiui, funkcija yra periodinė, čia periodas yra 2P, taigi

Periodinių funkcijų grafikų pavyzdžiai:

Pirmosios funkcijos periodas yra 3, o antrosios - 4.

Funkcija vadinama net jei Lyginės funkcijos pavyzdys y=x 2 .

Funkcija vadinama nelygine, jei Pavyzdys nelyginė funkcija y=x 3 .

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu (ašinė simetrija).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei (centrinė simetrija).

Lyginių (kairėje) ir nelyginių (dešinėje) funkcijų grafikų pavyzdžiai.

1. Raskite funkcijos sritį

2. Raskite funkcijos išvestinę

3. Išvestinę prilyginkite nuliui ir raskite funkcijos kritinius taškus

4. Pažymėkite kritinius taškus apibrėžimo srityje

5. Apskaičiuokite išvestinės ženklą kiekviename gautame intervale

6. Išsiaiškinkite funkcijos elgesį kiekviename intervale.

Pavyzdys: Raskite didėjančios ir mažėjančios funkcijos intervalusf(x) = ir šios funkcijos nulių skaičių intervale .

Sprendimas:

1.D( f) = R

2. f"(x) =

D( f") = D( f) = R

3. Išspręsdami lygtį, raskite funkcijos kritinius taškus f"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

kritiniai funkcijos taškai x= 0 ir x = 10.

4. Nustatykime išvestinės ženklą.

f"(x) + – +

f(x) 0 10x

intervaluose (-∞; 0) ir (10; +∞) funkcijos išvestinė yra teigiama ir taškuose x= 0 ir x = 10 funkcija f(x) yra tęstinis, todėl ši funkcija didėja intervalais: (-∞; 0]; .

Nustatykime funkcijos reikšmių ženklą segmento galuose.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Kadangi funkcija segmente mažėja, o funkcijos reikšmių ženklas keičiasi, tai šiame segmente yra vienas funkcijos nulis.

Atsakymas: funkcija f(x) didėja intervalais: (-∞; 0]; ;

intervale funkcija turi vieną funkciją nulį.

2. Ekstremalūs funkcijos taškai: maksimalūs ir mažiausi taškai. Būtinos ir pakankamos sąlygos egzistuoti funkcijos ekstremumui. Ekstremumo funkcijos tyrimo taisyklė .

1 apibrėžimas:Taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui, vadinami kritiniais arba stacionariais.

2 apibrėžimas. Taškas vadinamas minimaliu (maksimaliu) funkcijos tašku, jei funkcijos reikšmė šiame taške yra mažesnė (didesnė nei) artimiausios funkcijos reikšmės.

Reikėtų nepamiršti, kad didžiausias ir minimalus in tokiu atveju yra vietiniai.

Fig. 1. Rodomi vietiniai maksimumai ir minimumai.

Funkcijos maksimumą ir minimumą vienija bendras pavadinimas: funkcijos ekstremumas.

1 teorema. (būtinas ženklas funkcijos ekstremumo buvimas). Jei taške diferencijuojama funkcija turi maksimalų arba minimumą šiame taške, tada jos išvestinė taške išnyksta, .

2 teorema.(pakankamas funkcijos ekstremumo buvimo požymis). Jei ištisinė funkcija turi išvestinę visuose tam tikro intervalo, kuriame yra kritinis taškas, taškuose (išskyrus patį šį tašką), ir jei išvestinė, argumentui pereinant iš kairės į dešinę per kritinį tašką, pakeičia ženklą iš pliuso į minusą, tai funkcija šiame taške turi maksimumą, o kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą – minimumą.

Monotoniškas

Labai svarbus turtas funkcija yra jos monotoniškumas. Žinant šią įvairių specialiųjų funkcijų savybę, galima nustatyti įvairių fizinių, ekonominių, socialinių ir daugelio kitų procesų elgesį.

Išskiriami šie funkcijų monotonijos tipai:

1) funkcija dideja, Jei tam tikru intervalu, jei bet kokiems dviem taškams ir šis intervalas toks, kad . Tie. didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę;

2) funkcija mažėja, Jei tam tikru intervalu, jei bet kokiems dviem taškams ir šis intervalas toks, kad . Tie. didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę;

3) funkcija nemažėjantis, Jei tam tikru intervalu, jei bet kokiems dviem taškams ir šis intervalas toks, kad ;

4) funkcija nepadidėja, Jei tam tikru intervalu, jei bet kokiems dviem taškams ir šis intervalas toks, kad .

2. Pirmaisiais dviem atvejais taip pat vartojamas terminas „griežtas monotoniškumas“.

3. Paskutiniai du atvejai yra specifiniai ir paprastai nurodomi kaip kelių funkcijų sudėtis.

4. Atskirai pažymime, kad funkcijos grafiko padidėjimas ir sumažėjimas turėtų būti nagrinėjamas iš kairės į dešinę ir nieko daugiau.

2. Lyginis/nelyginis.

Funkcija vadinama nelygine, jei pasikeitus argumento ženklui, jis pakeičia jo reikšmę į priešingą. To formulė atrodo taip . Tai reiškia, kad vietoj visų x į funkciją pakeitus „minus x“ reikšmes, funkcija pakeis savo ženklą. Tokios funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

Nelyginių funkcijų pavyzdžiai yra ir kt.

Pavyzdžiui, grafikas iš tikrųjų turi simetriją dėl kilmės:

Funkcija vadinama lygine, jei pasikeitus argumento ženklui, jis nekeičia jo reikšmės. To formulė atrodo taip. Tai reiškia, kad vietoj visų x į funkciją pakeitus „minus x“ reikšmes, funkcija nepasikeis. Tokios funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu.

Lyginių funkcijų pavyzdžiai yra ir kt.

Pavyzdžiui, parodykime grafiko simetriją apie ašį:

Jei funkcija nepriklauso nė vienam iš nurodytų tipų, ji vadinama nei lygine, nei nelygine arba funkcija bendras vaizdas . Tokios funkcijos neturi simetrijos.

Pavyzdžiui, tokia funkcija yra tiesinė funkcija, kurią neseniai svarstėme su grafiku:

3. Ypatinga nuosavybė funkcijos yra periodiškumas.

Faktas yra tas, kad periodinės funkcijos, į kurias atsižvelgiama standarte mokyklos mokymo programa, yra tik trigonometrinės funkcijos. Mes jau išsamiai apie juos kalbėjome studijuodami atitinkamą temą.

Periodinė funkcija yra funkcija, kuri nekeičia savo reikšmių, kai prie argumento pridedamas tam tikras pastovus skaičius, kuris nėra nulis.

Šis minimalus skaičius vadinamas funkcijos laikotarpis ir yra pažymėti raide .

To formulė atrodo taip: .

Pažvelkime į šią savybę naudodami sinuso grafiko pavyzdį:

Prisiminkime, kad funkcijų ir laikotarpis yra , o periodas ir yra .

Kaip jau žinome, už trigonometrinės funkcijos su sudėtingu argumentu gali būti nestandartinis laikotarpis. Tai apie apie formos funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus. O apie funkcijas:

Jų laikotarpis yra lygus.

Kaip matote, norint apskaičiuoti naują laikotarpį, standartinis laikotarpis tiesiog padalytas iš argumento koeficiento. Tai nepriklauso nuo kitų funkcijos modifikacijų.

Apribojimas.

Funkcija y=f(x) aibėje X⊂D(f) vadinama apribota iš apačios, jei yra skaičius a, kad bet kuriai xϵX galioja nelygybė f(x)< a.

Funkcija y=f(x) aibėje X⊂D(f) vadinama apribota iš viršaus, jei yra skaičius a, kad bet kuriai хϵХ galioja nelygybė f(x)< a.

Jei intervalas X nenurodytas, tada funkcija laikoma apribota visoje apibrėžimo srityje. Funkcija, kuri yra apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama ribojama.

Funkcijos apribojimą lengva perskaityti iš grafiko. Galite nubrėžti kokią nors liniją y=a, o jei funkcija aukštesnė už šią liniją, tai ji apribota iš apačios.

Jei žemiau, tai atitinkamai aukščiau. Žemiau pateikiamas žemiau apribotos funkcijos grafikas. Vaikinai, pabandykite patys nupiešti ribotos funkcijos grafiką.

Tema: Funkcijų savybės: didėjimo ir mažėjimo intervalai; didžiausias ir mažiausia vertė; ekstremalieji taškai (lokalinis maksimumas ir minimumas), funkcijos išgaubtumas.

Didėjimo ir mažėjimo intervalai.

Remiantis pakankamomis funkcijos didėjimo ir mažėjimo sąlygomis (požymiais), randami funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai.

Čia pateikiamos didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalo ženklų formuluotės:

· jei funkcijos išvestinė y=f(x) teigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija padidėja X;

· jei funkcijos išvestinė y=f(x) neigiamas bet kam x nuo intervalo X, tada funkcija sumažėja X.

Taigi, norint nustatyti funkcijos didėjimo ir sumažėjimo intervalus, būtina:

· rasti funkcijos apibrėžimo sritį;

· rasti funkcijos išvestinę;

· išspręsti nelygybes apibrėžimo srityje;

Funkcijos kraštutinumas

2 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ tašku, jei šio taško kaimynystė yra tokia, kad visiems $x$ šioje kaimynystėje nelygybė $f(x)\le f(x_0) $ laikosi.

3 apibrėžimas

Taškas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ tašku, jei šio taško kaimynystė yra tokia, kad visiems $x$ šioje kaimynystėje nelygybė $f(x)\ge f(x_0) $ laikosi.

Funkcijos ekstremumo sąvoka glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibrėžimą.

4 apibrėžimas

$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:

1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.

Ekstremalumo sąvokai galime suformuluoti teoremas apie pakankamą ir būtinas sąlygas jo egzistavimas.

2 teorema

Pakankama būklė ekstremumas

Tegul taškas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja išvestinė $f"(x)$ ir palaiko pastovų ženklą. Tada:

1) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė yra $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ išvestinė yra $f"\left( x\dešinė)

2) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė $f"\left(x\right)0$, tai taškas $x_0$ yra mažiausias šios funkcijos taškas.

3) Jei ir intervale $(a,x_0)$ ir intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\right) >0$ arba išvestinė $f"\left(x \dešinė)

Ši teorema pavaizduota 1 paveiksle.

1 pav. Pakankama sąlyga ekstremumams egzistuoti

Kraštutinių pavyzdžiai (2 pav.).

2 pav. Kraštutinių taškų pavyzdžiai

Ekstremumo funkcijos tyrimo taisyklė

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

7) Pagal 2 teoremą padarykite išvadas apie maksimumų ir minimumų buvimą kiekviename intervale.

Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

Pirmiausia supažindinkime su didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimais.

5 apibrėžimas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, didėja, jei bet kuriuose taškuose $x_1,x_2\in X$ ties $x_1

6 apibrėžimas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, mažėja, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ taškuose $x_1,x_2\in X$.

Didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimas

Galite ištirti didėjančias ir mažėjančias funkcijas naudodami išvestinę.

Norėdami ištirti funkciją didėjimo ir mažėjimo intervalams, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) Raskite funkcijos $f(x)$ apibrėžimo sritį;

2) Raskite išvestinę $f"(x)$;

3) Raskite taškus, kuriuose galioja lygybė $f"\left(x\right)=0$;

4) Raskite taškus, kuriuose $f"(x)$ neegzistuoja;

5) Koordinačių tiesėje pažymėkite visus rastus taškus ir šios funkcijos apibrėžimo sritį;

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename gautame intervale;

7) Padarykite išvadą: intervalais, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija didėja.

Didinimo, mažinimo ir ekstremalių taškų buvimo funkcijų tyrimo problemų pavyzdžiai

1 pavyzdys

Ištirkite didinimo ir mažinimo funkciją bei didžiausių ir mažiausių taškų buvimą: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kadangi pirmieji 6 taškai yra vienodi, pirmiausia atlikime juos.

1) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;

5) Koordinačių linija:

3 pav.

6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename intervale:

\ \}