Atsitiktinai metami du kauliukai. Kauliuko tikimybė

Paliko atsakymą Svečias

Su vienu kauliukai situacija nepadoriai paprasta. Priminsiu, kad tikimybė randama pagal formulę P=m/n
P
=
m
n
, kur n
n
yra visų vienodai galimų elementarių eksperimento, kai mesti kubą arba kauliuką, rezultatų skaičius, ir m
m
- įvykiui palankių rezultatų skaičius.

1 pavyzdys: kauliukas metamas vieną kartą. Kokia tikimybė, kad bus išmestas lyginis taškų skaičius?

Kadangi kauliukas yra kubas (taip pat sakoma, kad įprastas kauliukas, t. y. subalansuotas kauliukas, kad jis vienoda tikimybe nusileistų į visas puses), kubas turi 6 puses (taškų skaičius nuo 1 iki 6, paprastai nurodomas taškais), tada Ir iš viso problemos rezultatai n=6
n
=
6
. Vieninteliai įvykiui palankūs rezultatai yra tie, kai atsiranda pusė su 2, 4 arba 6 taškais (tik lyginiai skaičiai); tokių pusių yra m=3
m
=
3
. Tada reikiamoji tikimybė yra P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2 pavyzdys. Metamas kauliukas. Raskite bent 5 taškų ridenimo tikimybę.

Mes mąstome taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje. Bendras vienodai galimų baigčių skaičius metant kauliuką n=6
n
=
6
, o sąlyga „išmesti bent 5 taškai“, tai yra „išmesti 5 arba 6 taškai“ tenkinama 2 rezultatais, m=2
m
=
2
. Reikalinga tikimybė P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Net nematau prasmės pateikti daugiau pavyzdžių, pereikime prie dviejų kauliukų, kur viskas tampa įdomiau ir sudėtingiau.

Du kauliukai

Kada mes kalbame apie Problemoms, susijusioms su 2 kauliukų metimu, labai patogu naudoti taškų lentelę. Horizontaliai brėžiame taškų skaičių, kurie krito ant pirmo kauliuko, o vertikaliai – ant antrojo kauliuko kritusių taškų skaičių. Gaukime kažką panašaus (aš dažniausiai tai darau programoje „Excel“, galite atsisiųsti failą žemiau):

2 kauliukų ridenimo taškų lentelė
Klausiate, kas yra lentelės langeliuose? Ir tai priklauso nuo to, kokią problemą spręsime. Bus užduotis apie taškų sumą - ten rašysime sumą, apie skirtumą - rašysime skirtumą ir pan. Pradėkime?

3 pavyzdys: vienu metu metami 2 kauliukai. Raskite tikimybę, kad bendra suma bus mažesnė nei 5 taškai.

Pirmiausia pažvelkime į bendrą eksperimento rezultatų skaičių. kai metėme vieną kauliuką, viskas buvo akivaizdu, 6 pusės - 6 rezultatai. Čia jau yra du kauliukai, todėl rezultatai gali būti pavaizduoti kaip sutvarkytos (x,y) formos skaičių poros.
x
,
y
, kur x
x
- kiek taškų buvo išmesta ant pirmo kauliuko (nuo 1 iki 6), y
y
- kiek taškų buvo išmesta ant antrojo kauliuko (nuo 1 iki 6). Akivaizdu, kad tokių skaičių porų bus n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(ir juos atitinka lygiai 36 langeliai rezultatų lentelėje).

Dabar laikas užpildyti lentelę. Kiekviename langelyje įvedame ant pirmo ir antrojo kauliukų išmestų taškų sumą ir gauname tokį vaizdą:

taškų sumos lentelė metant 2 kauliukus
Dabar ši lentelė padės mums rasti įvykiui palankių rezultatų skaičių „iš viso pasirodys mažiau nei 5 taškai“. Norėdami tai padaryti, suskaičiuojame langelių skaičių, kurių suma yra mažesnė nei 5 (ty 2, 3 arba 4). Aiškumo dėlei nuspalvinkime šias ląsteles, bus m=6
m
=
6
:

lentelė bendrų taškų mažiau nei 5 metant 2 kauliukus
Tada tikimybė yra tokia: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4 pavyzdys. Mesti du kauliukai. Raskite tikimybę, kad taškų skaičiaus sandauga dalijasi iš 3.

Sudarome ant pirmo ir antro kauliukų ridentų taškų produktų lentelę. Iš karto paryškiname tuos skaičius, kurie yra 3 kartotiniai:

Taškų sandaugos metant 2 kauliukus lentelė
Belieka tik užsirašyti, kad bendras baigčių skaičius yra n=36
n
=
36
(cm. ankstesnis pavyzdys, samprotavimas tas pats), o palankių rezultatų skaičius (tamsesnių langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) m=20
m
=
20
. Tada įvykio tikimybė bus lygi P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Kaip matote, tokio tipo problemas, tinkamai pasiruošus (pažvelkime į dar keletą problemų), galima greitai ir paprastai išspręsti. Dėl įvairovės atlikime dar vieną užduotį su kita lentele (visas lenteles galima atsisiųsti puslapio apačioje).

5 pavyzdys: kauliukas metamas du kartus. Raskite tikimybę, kad pirmojo ir antrojo kauliukų taškų skaičiaus skirtumas bus nuo 2 iki 5.

Užsirašykime taškų skirtumų lentelę, pažymime joje esančius langelius, kuriuose skirtumo reikšmė bus nuo 2 iki 5:

taškų skirtumo metant 2 kauliukus lentelė
Taigi bendras vienodai galimų elementarių baigčių skaičius yra n=36
n
=
36
, o palankių rezultatų skaičius (nuspalvintų langelių skaičius aukščiau esančioje lentelėje) m=10
m
=
10
. Tada įvykio tikimybė bus lygi P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Taigi, tuo atveju, kai kalbame apie 2 kauliukų metimą ir paprastą įvykį, turite sukurti lentelę, pasirinkti joje reikiamus langelius ir padalyti jų skaičių iš 36, tai bus tikimybė. Be taškų sumos, sandaugos ir skirtumo uždavinių, taip pat kyla problemų dėl skirtumo modulio, mažiausio ir didžiausio ištrauktų taškų skaičiaus (tinkamas lenteles rasite Excel faile).

Visose užduotyse B6 įjungta tikimybių teorija, kurie pateikiami Atidaryti užduočių banką, reikia susirasti tikimybė bet koks įvykis.

Reikia žinoti tik vieną formulę, kuris naudojamas skaičiuojant tikimybė:

Šioje formulėje p - įvykio tikimybė,

k- mus „tenkinančių“ įvykių skaičius kalba tikimybių teorija jie vadinami palankių rezultatų.

n- visų galimų įvykių skaičius arba visų galimų rezultatų skaičius.

Akivaizdu, kad visų galimų įvykių skaičius yra didesnis nei palankių rezultatų, taigi tikimybė yra reikšmė, mažesnė arba lygi 1.

Jeigu tikimybėįvykio reikšmė yra 1, o tai reiškia, kad šis įvykis tikrai įvyks. Toks įvykis vadinamas patikimas. Pavyzdžiui, tai, kad po sekmadienio bus pirmadienis, deja, yra patikimas įvykis ir jo tikimybė lygi 1.

Didžiausi sunkumai sprendžiant uždavinius kyla būtent ieškant skaičių k ir n.

Žinoma, kaip ir sprendžiant bet kokias problemas, sprendžiant problemas toliau tikimybių teorija Turite atidžiai perskaityti sąlygą, kad teisingai suprastumėte, kas duota ir ką reikia rasti.

Pažvelkime į keletą problemų sprendimo pavyzdžių iš iš Atidarykite banką užduotys .

1 pavyzdys. Atsitiktinio eksperimento metu metami du kauliukai. Raskite tikimybę, kad iš viso bus 8 taškai. Rezultatą suapvalinkite iki šimtųjų dalių.

Tegul pirmasis kauliukas meta vieną tašką, tada antrasis kauliukas gali mesti 6 įvairių variantų. Taigi, kadangi pirmasis kauliukas turi 6 skirtingas puses, bendras skirtingų variantų skaičius yra 6x6=36.

Bet nesame viskuo patenkinti. Pagal uždavinio sąlygas ištrauktų taškų suma turi būti lygi 8. Sukurkime palankių rezultatų lentelę:

Matome, kad mums tinkamų rezultatų skaičius yra 5.

Taigi tikimybė, kad iš viso atsiras 8 taškai, yra 5/36=0,13(8).

Dar kartą perskaitome problemos klausimą: rezultatas turi būti suapvalintas iki šimtųjų dalių.

Prisiminkime apvalinimo taisyklė.

Turime suapvalinti iki artimiausios šimtosios. Jei kitoje vietoje po šimtųjų (ty tūkstantųjų) yra skaičius, didesnis arba lygus 5, tada prie šimtosiose esančio skaičiaus pridedame 1; jei šis skaičius yra mažesnis nei 5, tada skaičius šimtojoje vietoje paliekamas nepakitęs.

Mūsų atveju tūkstantinėje vietoje esantis skaičius yra 8, todėl šimtojoje vietoje esantį skaičių 3 padidiname 1.

Taigi, p=5/36 ≈0,14

Atsakymas: 0,14

2 pavyzdys. Gimnastikos čempionate dalyvauja 20 sportininkų: 8 iš Rusijos, 7 iš JAV, likusieji iš Kinijos. Gimnastų pasirodymo tvarka nustatoma burtų keliu. Raskite tikimybę, kad pirmasis rungtyniaujantis sportininkas yra iš Kinijos.

Šioje užduotyje galimų baigčių skaičius yra 20 – tiek visų sportininkų.

Raskime palankių rezultatų skaičių. Tai lygu moterų sportininkių iš Kinijos skaičiui.

Taigi,

Atsakymas: 0,25

3 pavyzdys: iš 1000 parduotų sodo siurblių vidutiniškai 5 nutekėjo. Raskite tikimybę, kad vienas atsitiktinai valdymui parinktas siurblys nenutekės.

Šioje užduotyje n=1000.

Mus domina netekantys siurbliai. Jų skaičius 1000-5=995. Tie.

Užduotys skirtos tikimybė kauliukai ne mažiau populiarios nei monetų mėtymo problemos. Tokios problemos būklė dažniausiai skamba taip: metant vieną ar daugiau kauliukai(2 arba 3), kokia tikimybė, kad taškų suma bus lygi 10, arba taškų skaičius bus 4, arba taškų skaičiaus sandauga, arba taškų skaičiaus sandauga, padalyta iš 2 ir pan.

Klasikinės tikimybių formulės taikymas yra pagrindinis tokio tipo uždavinių sprendimo būdas.

Vienas mirtis, tikimybė.

Su vienu kauliuku situacija gana paprasta. nustatoma pagal formulę: P=m/n, kur m – palankių įvykiui baigčių skaičius, o n – visų elementarių vienodai galimų eksperimento su kaulo ar kubo metimu baigčių skaičius.

1 uždavinys. Kauliukai metami vieną kartą. Kokia tikimybė gauti lyginį taškų skaičių?

Kadangi kauliukas yra kubas (arba jis dar vadinamas įprastu kauliuku, kauliukas nusileis į visas puses su vienoda tikimybe, nes jis yra subalansuotas), kauliukas turi 6 puses (taškų skaičius nuo 1 iki 6, kurie yra paprastai nurodomi taškais), tai reiškia, kad problema turi bendrą baigčių skaičių: n=6. Įvykiui palankios tik baigtys, kuriose atsiranda pusė su lyginiais taškais 2,4 ir 6; kauliukas turi šias puses: m=3. Dabar galime nustatyti norimą kauliuko tikimybę: P=3/6=1/2=0,5.

Užduotis 2. Kauliukai metami vieną kartą. Kokia tikimybė, kad gausite bent 5 taškus?

Ši problema išspręsta pagal analogiją su aukščiau pateiktu pavyzdžiu. Metant kauliuką, bendras vienodai galimų baigčių skaičius yra: n=6, o problemos sąlygą tenkina tik 2 baigtys (išmesti ne mažiau 5 taškai, tai yra išmesti 5 arba 6 taškai), o tai reiškia m. =2. Toliau randame reikiamą tikimybę: P=2/6=1/3=0,333.

Du kauliukai, tikimybė.

Sprendžiant uždavinius, susijusius su 2 kauliukų metimu, labai patogu naudoti specialią taškų lentelę. Ant jo horizontaliai rodomas ant pirmojo kauliuko kritusių taškų skaičius, o vertikaliai – ant antrojo kauliuko. Ruošinys atrodo taip:

Tačiau kyla klausimas, kas bus tuščiose lentelės langeliuose? Tai priklauso nuo problemos, kurią reikia išspręsti. Jei uždavinys yra dėl taškų sumos, tada ten rašoma suma, o jei apie skirtumą, tai skirtumas užrašomas ir t.t.

3 uždavinys. Vienu metu metami 2 kauliukai. Kokia tikimybė gauti mažiau nei 5 taškus?

Pirmiausia turite išsiaiškinti, koks bus bendras eksperimento rezultatų skaičius. Viskas buvo aišku, kai mesti vieną kauliuką 6 kubo veidai – 6 eksperimento rezultatai. Bet kai jau yra du kauliukai, galimi rezultatai gali būti pavaizduoti kaip išdėstytos (x, y) formos skaičių poros, kur x rodo, kiek taškų buvo išmesta ant pirmo kauliuko (nuo 1 iki 6), o y - kiek taškų buvo išmesta ant antrojo kauliuko (nuo 1 iki 6). Iš viso bus tokių skaičių porų: n=6*6=36 (rezultatų lentelėje jos tiksliai atitinka 36 langelius).

Dabar galite užpildyti lentelę; tam kiekviename langelyje įvedamas taškų, kritusių ant pirmojo ir antrojo kauliukų, skaičius. Užbaigta lentelė atrodo taip:

Naudodami lentelę nustatysime rezultatų, palankių įvykiui, skaičių „iš viso pasirodys mažiau nei 5 taškai“. Suskaičiuokime langelių skaičių, sumos, kurioje bus, reikšmė mažesnis skaičius 5 (tai yra 2, 3 ir 4). Patogumui tokias ląsteles dažome, jų bus m=6:

Atsižvelgiant į lentelės duomenis, kauliukų tikimybė lygu: P=6/36=1/6.

4 uždavinys. Buvo mesti du kauliukai. Nustatykite tikimybę, kad taškų skaičiaus sandauga bus dalijama iš 3.

Kad išspręstume užduotį, padarykime lentelę iš taškų, kurie krito ant pirmojo ir antrojo kauliukų, sandaugų. Jame iš karto pabrėžiame skaičius, kurie yra 3 kartotiniai:

Užrašome bendrą eksperimento baigčių skaičių n=36 (samprotavimas toks pat kaip ir ankstesniame uždavinyje) ir palankių rezultatų skaičių (lentelėje nuspalvintų langelių skaičius) m=20. Įvykio tikimybė: P=20/36=5/9.

5 uždavinys. Kauliukai metami du kartus. Kokia tikimybė, kad pirmojo ir antrojo kauliukų taškų skaičius skirsis nuo 2 iki 5?

Siekiant nustatyti kauliukų tikimybė Užsirašykime taškų skirtumų lentelę ir joje pažymime tuos langelius, kurių skirtumo reikšmė bus nuo 2 iki 5:

Palankių baigčių skaičius (lentelės šešėlių langelių skaičius) yra m=10, bendras vienodai galimų elementarių baigčių skaičius bus n=36. Nustato įvykio tikimybę: P=10/36=5/18.

Paprasto įvykio atveju ir metant 2 kauliukus reikia pastatyti lentelę, tada joje pasirinkti reikiamus langelius ir padalyti jų skaičių iš 36, tai bus laikoma tikimybe.

1.4 - 1.6 uždaviniai

Probleminė sąlyga 1.4

Nurodykite problemos „sprendimo“ klaidą: mesti du kauliukai; raskite tikimybę, kad nubrėžtų taškų suma yra 3 (įvykis A). "Sprendimas". Galimi du testo rezultatai: ištrauktų taškų suma yra 3, ištrauktų taškų suma nėra lygi 3. Įvykį A palankiai vertina viena baigtis, bendras baigčių skaičius yra du. Todėl norima tikimybė lygi P(A) = 1/2.

1.4 problemos sprendimas

Šio „sprendimo“ klaida yra ta, kad aptariami rezultatai nėra vienodai įmanomi. Teisingas sprendimas: bendras vienodai galimų baigčių skaičius yra lygus (kiekvienas taškų skaičius, metamas ant vieno kauliuko, gali būti derinamas su visais taškų skaičiais, metamais ant kito kauliuko). Tarp šių rezultatų tik du rezultatai palankūs įvykiui: (1; 2) ir (2; 1). Tai reiškia, kad reikiama tikimybė

Atsakymas:

Probleminė sąlyga 1.5

Mesti du kauliukai. Raskite šių įvykių tikimybes: a) nubrėžtų taškų suma yra septyni; b) ištrauktų taškų suma yra aštuoni, o skirtumas - keturi; c) ištrauktų taškų suma yra aštuoni, jei žinoma, kad jų skirtumas yra keturi; d) susuktų taškų suma yra penki, o sandauga yra keturi.

1.5 problemos sprendimas

a) Šeši variantai ant pirmojo kauliuko, šeši ant antrojo. Iš viso variantų: (pagal prekės taisyklę). Sumos, lygios 7, pasirinkimai: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – iš viso šeši variantai. Reiškia,

b) Tik du tinkami variantai: (6.2) ir (2.6). Reiškia,

c) Yra tik du tinkami variantai: (2,6), (6,2). Bet iš viso galimi variantai 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Reiškia,.

d) Jei suma lygi 5, tinka šie variantai: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produktas yra 4 tik dviem variantams. Tada

Atsakymas: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probleminė sąlyga 1.6

Kubas, kurio visi kraštai yra spalvoti, supjaustomas į tūkstantį tokio pat dydžio kubelių, kurie vėliau kruopščiai sumaišomi. Raskite tikimybę, kad sėkmės nubrėžtas kubas turi spalvotus veidus: a) vieną; b) du; trečią valandą.

1.6 problemos sprendimas

Iš viso susidarė 1000 kubų. Trijų spalvų kubeliai: 8 (tai kampiniai kubeliai). Su dviem spalvotais paviršiais: 96 (kadangi yra 12 kubo kraštų, kurių kiekviename krašte yra 8 kubeliai). Kauliukai spalvotais krašteliais: 384 (kadangi yra 6 veideliai, o kiekviename yra 64 kubeliai). Belieka kiekvieną rastą kiekį padalyti iš 1000.

Atsakymas: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008