Žvaigždžių naujienos
Sužinokite, ar skaičius yra pirminis. Kaip patikrinti, ar skaičius yra pirminis
Daliklių surašymas. Pagal apibrėžimą skaičius n yra pirminis tik tada, kai jis nėra tolygiai dalijamas iš 2 ir kitų sveikųjų skaičių, išskyrus 1 ir save patį. Aukščiau pateikta formulė pašalina nereikalingus veiksmus ir sutaupo laiko: pavyzdžiui, patikrinus, ar skaičius dalijasi iš 3, nereikia tikrinti, ar jis dalijasi iš 9.
- Funkcija grindys (x) suapvalina x iki artimiausio sveikojo skaičiaus, kuris yra mažesnis arba lygus x.
Sužinokite apie modulinę aritmetiką. Operacija „x mod y“ (mod yra lotyniško žodžio „modulo“ santrumpa, tai yra „modulis“) reiškia „x padalyti iš y ir rasti likutį“. Kitaip tariant, modulinėje aritmetikoje, pasiekus tam tikrą reikšmę, kuri vadinama modulis, skaičiai vėl „pasisuka“ į nulį. Pavyzdžiui, laikrodis laiko laiką, kurio modulis yra 12: jis rodo 10, 11 ir 12 valandą, o tada grįžta į 1.
- Daugelis skaičiuotuvų turi mod raktą. Šio skyriaus pabaigoje parodyta, kaip rankiniu būdu įvertinti šią funkciją dideliems skaičiams.
Sužinokite apie Ferma mažosios teoremos spąstus. Visi skaičiai, kuriems netenkinamos bandymo sąlygos, yra sudėtiniai, tačiau likę skaičiai yra tik tikriausiai yra klasifikuojami kaip paprasti. Jei norite išvengti neteisingų rezultatų, ieškokite n„Carmichael skaičių“ sąraše (sudėtiniai skaičiai, kurie atitinka šį testą) ir „pseudo pirminiai skaičiaiŪkis“ (šie skaičiai atitinka tik kai kurių verčių bandymo sąlygas a).
Jei patogu, naudokite Miller-Rabin testą. Nors šis metodas gana sudėtingas skaičiuojant rankiniu būdu, jis dažnai naudojamas kompiuterines programas. Jis užtikrina priimtiną greitį ir sukelia mažiau klaidų nei Fermat metodas. Sudėtinis skaičius nebus priimtas kaip pirminis skaičius, jei skaičiuojama daugiau nei ¼ reikšmių a. Jei pasirinksite atsitiktinai skirtingos reikšmės a ir visų jų testas duos teigiamą rezultatą, galime gana užtikrintai manyti, kad n yra pirminis skaičius.
Dideliam skaičiui naudokite modulinę aritmetiką. Jei po ranka neturite skaičiuotuvo su modifikavimo funkcija arba skaičiuotuvas nėra skirtas operacijoms su tokiais dideli skaičiai, naudokite galių savybes ir modulinę aritmetiką, kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus. Žemiau pateikiamas pavyzdys 3 50 (\displaystyle 3^ (50)) 50 mod.:
- Perrašykite išraišką daugiau patogi forma: mod 50. Skaičiuojant rankiniu būdu, gali prireikti papildomų supaprastinimų.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Čia atsižvelgėme į modulinės daugybos savybę.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) 50 mod ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 * 43) (\displaystyle (43*43)) 50 mod.
- = 1849 (\displaystyle =1849) 50 mod.
- = 49 (\displaystyle =49).
Skaičiai yra skirtingi: natūralūs, racionalūs, racionalūs, sveikieji ir trupmeniniai, teigiami ir neigiami, kompleksiniai ir pirminiai, nelyginiai ir lyginiai, tikrieji ir tt Iš šio straipsnio galite sužinoti, kas yra pirminiai skaičiai.
Kokie skaičiai angliškai vadinami „paprastais“?
Labai dažnai moksleiviai iš pirmo žvilgsnio nežino, kaip atsakyti į vieną paprasčiausių matematikos klausimų, kas yra pirminis skaičius. Jie dažnai painioja pirminius skaičius su natūraliaisiais skaičiais (ty skaičiais, kuriuos žmonės naudoja skaičiuodami objektus, o kai kuriuose šaltiniuose jie prasideda nuliu, o kituose - vienetu). Tačiau tai yra visiškai dvi skirtingos sąvokos. Pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai yra sveikieji ir teigiami skaičiai, kurie yra didesni už vieną ir turi tik 2 natūraliuosius daliklius. Be to, vienas iš šių daliklių yra nurodytas skaičius, o antrasis yra vienas. Pavyzdžiui, trys yra pirminis skaičius, nes jo negalima padalyti be likučio iš jokio kito skaičiaus, išskyrus jį patį ir vieną.
Sudėtiniai skaičiai
Pirminių skaičių priešingybė yra sudėtiniai skaičiai. Jie taip pat yra natūralūs, taip pat didesni už vieną, bet turi ne du, o didesnį daliklių skaičių. Taigi, pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9 ir kt. yra natūralūs, sudėtiniai, bet ne pirminiai skaičiai. Kaip matote, tai dažniausiai lyginiai skaičiai, bet ne visi. Tačiau „du“ yra lyginis skaičius ir „pirmasis skaičius“ pirminių skaičių serijoje.
Pasekmė
Norint sudaryti pirminių skaičių seką, reikia pasirinkti iš visų natūraliųjų skaičių, atsižvelgiant į jų apibrėžimą, tai yra, reikia veikti prieštaringai. Būtina ištirti kiekvieną iš teigiamų natūraliųjų skaičių, kad pamatytumėte, ar jis turi daugiau nei du daliklius. Pabandykime sukurti seriją (seką), kurią sudaro pirminiai skaičiai. Sąrašas prasideda dviem, o paskui trimis, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieno. Apsvarstykite skaičių keturi. Ar jis turi kitus daliklius nei keturi ir vienas? Taip, tas skaičius yra 2. Taigi keturi nėra pirminis skaičius. Penki taip pat yra pirminiai (jis nesidalija iš jokio kito skaičiaus, išskyrus 1 ir 5), bet šeši dalijasi. Ir apskritai, jei vadovausitės visais lyginiais skaičiais, pastebėsite, kad, išskyrus „du“, nė vienas iš jų nėra pirminis. Iš to darome išvadą, kad lyginiai skaičiai, išskyrus du, nėra pirminiai. Kitas atradimas: visi skaičiai, dalijami iš trijų, išskyrus pačius tris, nesvarbu, ar jie lyginiai, ar nelyginiai, taip pat nėra pirminiai (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ir kt.). Tas pats pasakytina apie skaičius, kurie dalijasi iš penkių ir septynių. Visa jų gausybė taip pat nėra paprasta. Apibendrinkime. Taigi, prie paprastų vienženkliai skaičiaiĮtraukti visi nelyginiai skaičiai, išskyrus vieną ir devynis, o net „du“ yra lyginiai skaičiai. Patys dešimtukai (10, 20,... 40 ir kt.) nėra paprasti. Pirminius dviženklius, triženklius ir kt.
Teorijos apie pirminių skaičių savybes
Yra mokslas, tiriantis sveikųjų skaičių, įskaitant pirminius skaičius, savybes. Tai matematikos šaka, vadinama aukštąja. Be sveikųjų skaičių savybių, ji taip pat nagrinėja algebrinius ir transcendentinius skaičius, taip pat įvairios kilmės funkcijas, susijusias su šių skaičių aritmetika. Šiuose tyrimuose, be elementariųjų ir algebrinių metodų, naudojami ir analitiniai bei geometriniai. Konkrečiai, „Skaičių teorija“ yra susijusi su pirminių skaičių tyrimu.
Pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių „statybiniai blokai“.
Aritmetikoje yra teorema, vadinama pagrindine teorema. Anot jos, bet koks natūralusis skaičius, išskyrus vieną, gali būti pavaizduotas kaip sandauga, kurios veiksniai yra pirminiai skaičiai, o veiksnių eilė yra unikali, tai reiškia, kad vaizdavimo būdas yra unikalus. Tai vadinama natūraliojo skaičiaus faktorinavimu į pirminius veiksnius. Yra ir kitas šio proceso pavadinimas – skaičių faktorizacija. Remiantis tuo, pirminiai skaičiai gali būti vadinami Statybinė medžiaga“, „blokai“, skirti natūraliems skaičiams sudaryti.
Ieškokite pirminių skaičių. Paprastumo testai
Daugelis skirtingų laikų mokslininkų bandė rasti tam tikrus principus (sistemas), kaip rasti pirminių skaičių sąrašą. Mokslas žino sistemas, vadinamas Atkin sietu, Sundartham sietu ir Eratosthenes sietu. Tačiau jie neduoda jokių reikšmingų rezultatų, o pirminiams skaičiams rasti naudojamas paprastas testas. Matematikai taip pat sukūrė algoritmus. Paprastai jie vadinami pirmumo testais. Pavyzdžiui, yra Rabino ir Millerio sukurtas testas. Jį naudoja kriptografai. Taip pat yra Kayal-Agrawal-Sasquena testas. Tačiau, nepaisant pakankamo tikslumo, jį labai sunku apskaičiuoti, o tai sumažina jo praktinę reikšmę.
Ar pirminių skaičių aibė turi ribą?
Senovės graikų mokslininkas Euklidas savo knygoje „Elementai“ rašė, kad pirminių skaičių aibė yra begalybė. Jis pasakė taip: „Akimirkai įsivaizduokime, kad pirminiai skaičiai turi ribą. Tada padauginkime juos tarpusavyje ir pridėkime vieną prie produkto. Skaičius, gautas atlikus šiuos paprastus veiksmus, negali būti padalintas iš bet kurios pirminių skaičių serijos, nes likusioji dalis visada bus viena. Tai reiškia, kad yra dar koks nors skaičius, kuris dar neįtrauktas į pirminių skaičių sąrašą. Todėl mūsų prielaida nėra teisinga, ir ši aibė negali turėti ribos. Be Euklido įrodymo, yra ir modernesnė formulė, kurią pateikė XVIII amžiaus šveicarų matematikas Leonhardas Euleris. Pagal ją pirmųjų n skaičių sumos atvirkštinė suma didėja neribotai didėjant skaičiui n. O štai teoremos formulė dėl pirminių skaičių skirstinio: (n) auga kaip n/ln (n).
Koks yra didžiausias pirminis skaičius?
Tas pats Leonardas Euleris sugebėjo rasti didžiausią savo laiko pirminį skaičių. Tai yra 2 31 – 1 = 2147483647. Tačiau iki 2013 metų buvo paskaičiuotas dar vienas tiksliausias pirminių skaičių sąrašo didžiausias – 2 57885161 – 1. Jis vadinamas Merseno skaičiumi. Jame yra apie 17 mln dešimtainiai skaitmenys. Kaip matote, aštuonioliktojo amžiaus mokslininko rastas skaičius yra kelis kartus mažesnis už šį. Taip ir turėjo būti, nes Euleris šį skaičiavimą atliko rankiniu būdu, o mūsų amžininkui tikriausiai padėjo kompiuteris. Be to, šis skaičius buvo gautas Matematikos fakultete vienoje iš Amerikos katedrų. Šio mokslininko vardu pavadinti skaičiai išlaiko Luc-Lemaire pirmumo testą. Tačiau mokslas tuo sustoti nenori. „Electronic Frontier Foundation“, kuris buvo įkurtas 1990 m. Jungtinėse Amerikos Valstijose (EFF), pasiūlė piniginį atlygį už didelių pirminių skaičių suradimą. Ir jei iki 2013 metų premija būtų skirta tiems mokslininkams, kurie juos suras iš 1 ir 10 mln. dešimtainiai skaičiai, tada šiandien šis skaičius pasiekė nuo 100 mln. iki 1 mlrd. Prizai siekia nuo 150 iki 250 tūkstančių JAV dolerių.
Specialiųjų pirminių skaičių pavadinimai
Tie skaičiai, kurie buvo rasti tam tikrų mokslininkų sukurtų algoritmų dėka ir išlaikė paprastumo testą, vadinami ypatingais. Štai keletas iš jų:
1. Merssenas.
4. Kalenas.
6. Mills ir kt.
Šių skaičių, pavadintų aukščiau minėtų mokslininkų vardu, paprastumas nustatomas naudojant šiuos testus:
1. Luc-Lemaire.
2. Pepina.
3. Ryzelis.
4. Billhart – Lemaire – Selfridge ir kt.
Šiuolaikinis mokslas tuo nesibaigia ir tikriausiai netolimoje ateityje pasaulis sužinos vardus tų, kurie sugebėjo laimėti 250 000 USD prizą suradę didžiausią pirminį skaičių.
2.30 uždavinys
Duotas vienmatis masyvas A, susidedantis iš natūraliųjų skaičių. Parodykite pirminių skaičių skaičių masyve.
Pirmiausia leiskite man priminti, kas yra pirminiai skaičiai.
Dabar pereikime prie užduoties. Iš esmės mums reikia programos, kuri nustato pirminius skaičius. O elementų rūšiavimas ir jų verčių tikrinimas yra technologijos reikalas. Tuo pačiu metu galime ne tik skaičiuoti, bet ir parodyti pirminius masyvo skaičius.
Kaip nustatyti pirminį skaičių Pascal
Sprendimo algoritmas su išsamią analizę Aš duosiu Paskaliui. Sprendimą galite pamatyti pavyzdinėje programoje C++.
SVARBU!
Čia daugelis žmonių gali suklysti. Apibrėžimas sako, kad pirminis skaičius turi sklandžiai du skirtingi skirstytuvas Todėl skaičius 1 nėra pirminis (taip pat ne pirminis, nes nulį galima padalyti iš bet kurio skaičiaus).
Ar skaičius pirminis, patikrinsime naudodami , kurį sukursime patys. Ši funkcija grąžins TRUE, jei skaičius yra pirminis.
Funkcijoje pirmiausia patikrinsime, ar skaičius yra mažesnis nei du. Jei taip, tai nebėra pirminis skaičius. Jei skaičius yra 2 arba 3, tada jis yra aiškiai pirminis ir nereikia jokių papildomų patikrinimų.
Bet jei skaičius N yra daugiau nei trys, tada šiuo atveju apeisime visus galimus daliklius, pradedant nuo 2 iki (N-1). Jei skaičius N dalijasi iš kokio nors daliklio be liekanos, tai jis taip pat nėra pirminis skaičius. Tokiu atveju nutraukiame ciklą (nes nėra prasmės toliau tikrinti), o funkcija grąžina FALSE.
Nėra prasmės tikrinti, ar skaičius dalijasi iš savęs (todėl ciklas trunka tik iki N-1).
Pačios funkcijos čia nepateiksiu – pažiūrėkite pavyzdinėse programose.
2.30 uždavinio sprendimas Pascal mano užduotis; //**************************************************** **************** //KONSTANTS //******************************** ********* ************************************ SKAIČIUS = 100; //Elementų skaičius masyve //******************************************** *********** ********************** // FUNKCIJOS IR PROCEDŪROS //************ ****************************************************** ** //***** ******************************************** * ******* // Patikrina, ar skaičius yra pirminis // INPUT: N - skaičius // IŠVESTIS: TRUE - skaičius N yra pirminis, FALSE - ne pirminis //************ ******************************************** **** Ispirminis skaičius (N: ŽODŽIS) : ; var i: ; pradėti := TRUE; N iš 0..3: pradėti N Išeiti; galas; galas; i:= 2 iki (N-1) darykite, jei (N i) = 0, tada //Prasideda ne pirminis skaičius Rezultatas:= NETEISINGAS; ; galas; galas; i: WORD; X: ŽODIS = 0; A: of WORD; //**************************************************** **************** // PAGRINDINĖ PROGRAMA //******************************** **************************************** pradžia //Užpildykite masyvą skaičiais nuo i:= 1 iki COUNT do A[i] := i; //Suskaičiuokite ir pasirinkite pirminius skaičius iš masyvo i:= 1 iki COUNT do if IsPrimeNumber(A[i]), then begin (X); Rašyti(A[i], " "); galas; (#10#13"Pirminių skaičių skaičius = ", X); WriteLn("Pabaiga. Paspauskite ENTER..."); ; galas.
2.30 uždavinio sprendimas C++#įtraukti
Straipsnyje aptariamos pirminių ir sudėtinių skaičių sąvokos. Tokių skaičių apibrėžimai pateikiami su pavyzdžiais. Pateikiame įrodymą, kad pirminių skaičių skaičius neribojamas ir jį įrašysime į pirminių skaičių lentelę Eratosteno metodu. Bus pateikti įrodymai, leidžiantys nustatyti, ar skaičius yra pirminis, ar sudėtinis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai
Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai klasifikuojami kaip teigiami sveikieji skaičiai. Jie turi būti didesni nei vienas. Dalikliai taip pat skirstomi į paprastus ir sudėtinius. Norėdami suprasti sudėtinių skaičių sąvoką, pirmiausia turite išstudijuoti daliklių ir kartotinių sąvokas.
1 apibrėžimas
Pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys du teigiamus daliklius, ty save ir 1.
2 apibrėžimas
Sudėtiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys bent tris teigiamus daliklius.
Vienas nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius. Jis turi tik vieną teigiamą daliklį, todėl skiriasi nuo visų kitų teigiamų skaičių. Visi teigiami sveikieji skaičiai vadinami natūraliaisiais skaičiais, tai yra, naudojami skaičiuojant.
3 apibrėžimas
pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.
4 apibrėžimas
Sudėtinis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du teigiamus daliklius.
Bet kuris skaičius, didesnis nei 1, yra pirminis arba sudėtinis. Iš dalomumo savybės gauname, kad 1 ir skaičius a visada bus bet kurio skaičiaus a dalikliai, tai yra, jis dalijasi iš savęs ir iš 1. Pateiksime sveikųjų skaičių apibrėžimą.
5 apibrėžimas
Natūralūs skaičiai, kurie nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais.
Pirminiai skaičiai: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Jie dalijasi tik iš savęs ir 1. Sudėtiniai skaičiai: 6, 63, 121, 6697. Tai reiškia, kad skaičius 6 gali būti išskaidytas į 2 ir 3, o 63 - į 1, 3, 7, 9, 21, 63 ir 121 į 11, 11, tai yra, jo dalikliai bus 1, 11, 121. Skaičius 6697 suskaidomas į 37 ir 181. Atkreipkite dėmesį, kad pirminių ir pirminių skaičių sąvokos yra skirtingos sąvokos.
Kad būtų lengviau naudoti pirminius skaičius, turite naudoti lentelę:
Visų esamų natūraliųjų skaičių lentelė yra nereali, nes jų yra begalinis skaičius. Kai skaičiai pasiekia 10000 arba 1000000000 dydį, turėtumėte apsvarstyti galimybę naudoti Eratosteno sietą.
Panagrinėkime teoremą, kuri paaiškina paskutinį teiginį.
1 teorema
Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus, didesnio už vienetą, daliklis, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.
1 įrodymas
Tarkime, kad a yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, o b yra mažiausias nevienas a daliklis. Prieštaravimo metodu būtina įrodyti, kad b yra pirminis skaičius.
Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Iš čia matome, kad yra b daliklis, kuris skiriasi nuo 1 ir nuo b. Toks daliklis žymimas b 1. Būtina, kad 1 sąlyga< b 1 < b buvo baigtas.
Iš sąlygos aišku, kad a dalijamas iš b, b dalijasi iš b 1, o tai reiškia, kad dalijamumo sąvoka išreiškiama taip: a = b q ir b = b 1 · q 1 , iš kur a = b 1 · (q 1 · q) , kur q ir q 1 yra sveikieji skaičiai. Pagal sveikųjų skaičių daugybos taisyklę gauname, kad sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, kurio lygybė yra a = b 1 · (q 1 · q) . Matyti, kad b1 yra skaičiaus a daliklis. 1 nelygybė< b 1 < b Ne atitinka, nes nustatome, kad b yra mažiausias teigiamas ir ne 1 daliklis a.
2 teorema
Pirminių skaičių yra begalinis skaičius.
2 įrodymas
Tikriausiai imame baigtinį skaičių natūraliųjų skaičių n ir pažymime juos kaip p 1, p 2, …, p n. Apsvarstykime galimybę rasti pirminį skaičių, kuris skiriasi nuo nurodytųjų.
Atsižvelkime į skaičių p, kuris lygus p 1, p 2, ..., p n + 1. Jis nėra lygus kiekvienam iš skaičių, atitinkančių pirminius skaičius formos p 1, p 2, ..., p n. Skaičius p yra pirminis. Tada teorema laikoma įrodyta. Jei jis yra sudėtinis, tada reikia pažymėti p n + 1 ir parodykite, kad daliklis nesutampa su nė vienu iš p 1, p 2, ..., p n.
Jei taip nebūtų, tada, remiantis sandaugos p 1, p 2, ..., p n dalijamumo savybe , nustatome, kad jis dalijasi iš pn + 1. Atkreipkite dėmesį, kad išraiška p n + 1 padalijus skaičių p, gaunama suma p 1, p 2, ..., p n + 1. Gauname, kad išraiška p n + 1 Antrasis šios sumos narys, lygus 1, turi būti padalintas, bet tai neįmanoma.
Galima pastebėti, kad tarp bet kurio pateiktų pirminių skaičių galima rasti bet kurį pirminį skaičių. Iš to išplaukia, kad pirminių skaičių yra be galo daug.
Kadangi pirminių skaičių yra daug, lentelės apsiriboja skaičiais 100, 1000, 10000 ir pan.
Sudarydami pirminių skaičių lentelę, turėtumėte atsižvelgti į tai, kad tokiai užduočiai atlikti reikia nuosekliai tikrinti skaičius, pradedant nuo 2 iki 100. Jei daliklio nėra, jis įrašomas į lentelę, jei sudėtinis, tada į lentelę neįvedamas.
Pažvelkime į tai žingsnis po žingsnio.
Jei pradedate nuo skaičiaus 2, tada jis turi tik 2 daliklius: 2 ir 1, o tai reiškia, kad jį galima įrašyti į lentelę. Tas pats su skaičiumi 3. Skaičius 4 yra sudėtinis; jis turi būti išskaidytas į 2 ir 2. Skaičius 5 yra pirminis, o tai reiškia, kad jį galima įrašyti į lentelę. Atlikite tai iki skaičiaus 100.
Šis metodas nepatogus ir ilgas. Galite sukurti lentelę, bet turėsite išleisti didelis skaičius laikas. Būtina naudoti dalijamumo kriterijus, kurie pagreitins daliklių paieškos procesą.
Patogiausias laikomas metodas naudojant Eratosteno sietą. Pažvelkime į toliau pateiktas lenteles kaip pavyzdį. Pirmiausia užrašomi skaičiai 2, 3, 4, ..., 50.
Dabar reikia išbraukti visus skaičius, kurie yra 2 kartotiniai. Atlikite nuoseklius perbraukimus. Gauname tokią lentelę:
Mes pereiname prie skaičių, kurie yra 5 kartotiniai, perbraukimo. Mes gauname:
Nubraukite skaičius, kurie yra 7, 11 kartotiniai. Galų gale lentelė atrodo taip
Pereikime prie teoremos formulavimo.
3 teorema
Bazinio skaičiaus a mažiausias teigiamas ir ne 1 daliklis neviršija a, kur a yra duoto skaičiaus aritmetinė šaknis.
3 įrodymas
Būtina pažymėti b mažiausią sudėtinio skaičiaus a daliklį. Yra sveikasis skaičius q, kur a = b · q, ir mes turime, kad b ≤ q. Formos netolygumai yra nepriimtini b > q, nes pažeidžiama sąlyga. Abi nelygybės b ≤ q pusės turi būti padaugintos iš bet kurio teigiamo skaičiaus b, nelygaus 1. Gauname, kad b · b ≤ b · q, kur b 2 ≤ a ir b ≤ a.
Iš įrodytos teoremos aišku, kad skaičių perbraukimas lentelėje lemia tai, kad reikia pradėti nuo skaičiaus, lygaus b 2 ir tenkinančio nelygybę b 2 ≤ a. Tai yra, jei išbraukiate skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, procesas prasideda 4, o 3 kartotiniai - 9 ir taip toliau iki 100.
Tokios lentelės sudarymas naudojant Eratosteno teoremą rodo, kad perbraukus visus sudėtinius skaičius, išliks pirminiai skaičiai, kurie neviršija n. Pavyzdyje, kur n = 50, turime, kad n = 50. Iš čia gauname, kad Eratosteno sietas atsijoja visus sudėtinius skaičius, kurie nėra reikšmingi. didesnę vertęšaknis iš 50. Skaičių paieška atliekama perbraukiant.
Prieš spręsdami turite išsiaiškinti, ar skaičius yra pirminis, ar sudėtinis. Dažnai naudojami padalijimo kriterijai. Pažvelkime į tai toliau pateiktame pavyzdyje.
1 pavyzdys
Įrodykite, kad skaičius 898989898989898989 yra sudėtinis.
Sprendimas
Tam tikro skaičiaus skaitmenų suma yra 9 8 + 9 9 = 9 17. Tai reiškia, kad skaičius 9 · 17 dalijasi iš 9, remiantis dalijimosi iš 9 testu. Iš to išplaukia, kad jis yra sudėtinis.
Tokie ženklai negali įrodyti skaičiaus pirmumo. Jei reikia patikrinti, reikia imtis kitų veiksmų. Dauguma tinkamas būdas- tai krūva skaičių. Proceso metu galima rasti pirminius ir sudėtinius skaičius. Tai reiškia, kad skaičiai neturėtų viršyti reikšmės. Tai reiškia, kad skaičius a turi būti padalytas į pirminius veiksnius. jei tai patenkinama, skaičius a gali būti laikomas pirminiu.
2 pavyzdys
Nustatykite sudėtinį arba pirminį skaičių 11723.
Sprendimas
Dabar reikia rasti visus skaičiaus 11723 daliklius. Reikia įvertinti 11723 .
Iš čia matome, kad 11723 m< 200 , то 200 2 = 40 000 ir 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 mažesnis skaičius 200 .
Norėdami tiksliau įvertinti skaičių 11723, turite parašyti išraišką 108 2 = 11 664 ir 109 2 = 11 881 , Tai 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iš to seka, kad 11723 m< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Išplėsdami matome, kad 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 yra pirminiai skaičiai. Visi šis procesas gali būti pavaizduotas kaip padalijimas stulpeliu. Tai yra, padalinkite 11723 iš 19. Skaičius 19 yra vienas iš jo veiksnių, nes mes gauname padalijimą be liekanos. Pavadinkime padalijimą kaip stulpelį:
Iš to išplaukia, kad 11723 yra sudėtinis skaičius, nes be savęs ir 1 jis turi daliklį iš 19.
Atsakymas: 11723 yra sudėtinis skaičius.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pirmiausia pateiksime pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimus, taip pat pateiksime pavyzdžių. Po to įrodysime, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Toliau užrašysime pirminių skaičių lentelę ir apsvarstysime pirminių skaičių lentelės sudarymo būdus, ypatingą dėmesį skirdami metodui, vadinamam Eratosteno sietu. Baigdami pabrėšime pagrindinius dalykus, į kuriuos reikia atsižvelgti įrodant, kad duotas skaičius yra pirminis arba sudėtinis.
Puslapio naršymas.
Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai
Pirminių skaičių ir sudėtinių skaičių sąvokos reiškia skaičius, didesnius už vienetą. Tokie sveikieji skaičiai, priklausomai nuo jų teigiamų daliklių, skirstomi į pirminius ir sudėtinius skaičius. Taigi suprasti pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimai, turite gerai suprasti, kas yra dalikliai ir kartotiniai.
Apibrėžimas.
pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, dideli vienetai, turintys tik du teigiamus daliklius, būtent save ir 1.
Apibrėžimas.
Sudėtiniai skaičiai- tai sveikieji skaičiai, dideli vienetai, kurie pagal bent jau, trys teigiami dalikliai.
Atskirai pažymime, kad skaičius 1 netaikomas nei pirminiams, nei sudėtiniams skaičiams. Vienetas turi tik vieną teigiamą daliklį, kuris yra pats skaičius 1. Tai išskiria skaičių 1 nuo visų kitų teigiamų sveikųjų skaičių, turinčių bent du teigiamus daliklius.
Atsižvelgiant į tai, kad teigiami sveikieji skaičiai yra , o vienas turi tik vieną teigiamą daliklį, galime pateikti kitas pirminių ir sudėtinių skaičių apibrėžimų formuluotes.
Apibrėžimas.
pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.
Apibrėžimas.
Sudėtiniai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys daugiau nei du teigiamus daliklius.
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vienetą, yra pirminis arba sudėtinis skaičius. Kitaip tariant, nėra nė vieno sveikojo skaičiaus, kuris nebūtų nei pirminis, nei sudėtinis. Tai išplaukia iš dalijamumo savybės, kuri teigia, kad skaičiai 1 ir a visada yra bet kurio sveikojo skaičiaus a dalikliai.
Remdamiesi ankstesnėje pastraipoje pateikta informacija, galime pateikti tokį sudėtinių skaičių apibrėžimą.
Apibrėžimas.
Vadinami natūralieji skaičiai, kurie nėra pirminiai sudėtinis.
Duokim pirminių ir sudėtinių skaičių pavyzdžiai.
Sudėtinių skaičių pavyzdžiai yra 6, 63, 121 ir 6 697. Šį teiginį taip pat reikia paaiškinti. Skaičius 6, be teigiamų daliklių 1 ir 6, taip pat turi daliklius 2 ir 3, nes 6 = 2 3, todėl 6 tikrai yra sudėtinis skaičius. Teigiami koeficientai 63 yra skaičiai 1, 3, 7, 9, 21 ir 63. Skaičius 121 yra lygus sandaugai 11·11, todėl jo teigiami dalikliai yra 1, 11 ir 121. Ir skaičius 6 697 yra sudėtinis, nes jo teigiami dalikliai, be 1 ir 6 697, taip pat yra skaičiai 37 ir 181.
Baigdamas šį klausimą taip pat norėčiau atkreipti dėmesį į tai, kad pirminiai skaičiai ir pirminiai skaičiai toli gražu nėra tas pats dalykas.
Pirminių skaičių lentelė
Pirminiai skaičiai patogumui tolesnis naudojimas, įrašomi į lentelę, vadinamą pirminių skaičių lentele. Žemiau yra pirminių skaičių lentelė iki 1000.
Kyla logiškas klausimas: „Kodėl pirminių skaičių lentelę užpildėme tik iki 1000, ar negalima sukurti visų esamų pirminių skaičių lentelės“?
Pirmiausia atsakykime į pirmąją šio klausimo dalį. Daugeliui problemų, kurioms reikia naudoti pirminius skaičius, pakaks pirminių skaičių tūkstančio ribose. Kitais atvejais greičiausiai teks griebtis specialių sprendimų. Nors, žinoma, mes galime sudaryti pirminių skaičių lentelę iki savavališkai didelio baigtinio sveikojo skaičiaus teigiamas skaičius, nesvarbu, ar tai 10 000, ar 1 000 000 000, kitoje pastraipoje kalbėsime apie pirminių skaičių lentelių sudarymo metodus, ypač išanalizuosime vadinamą metodą.
Dabar pažvelkime į galimybę (tiksliau, neįmanomumą) sudaryti visų esamų pirminių skaičių lentelę. Negalime sudaryti visų pirminių skaičių lentelės, nes pirminių skaičių yra be galo daug. Paskutinis teiginys yra teorema, kurią įrodysime po šios pagalbinės teoremos.
Teorema.
Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus, didesnio už vienetą, daliklis, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.
Įrodymas.
Leisti a yra natūralusis skaičius, didesnis už vieną, o b yra mažiausias teigiamas kito nei vienas daliklis. Įrodykime, kad b yra pirminis skaičius prieštaravimu.
Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Tada yra skaičiaus b daliklis (pažymime jį b 1), kuris skiriasi ir nuo 1, ir nuo b. Jeigu dar atsižvelgsime į tai, kad daliklio absoliuti vertė neviršija absoliučios dividendo vertės (tai žinome iš dalijamumo savybių), tai 1 sąlyga turi būti įvykdyta
Kadangi skaičius a dalijasi iš b pagal sąlygą, o mes sakėme, kad b dalijasi iš b 1, dalijimosi sąvoka leidžia kalbėti apie sveikųjų skaičių q ir q 1 egzistavimą, kad a=b q ir b=b 1 q 1 , iš kur a= b 1 · (q 1 · q) . Iš to seka, kad dviejų sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, tai lygybė a=b 1 ·(q 1 ·q) rodo, kad b 1 yra skaičiaus a daliklis. Atsižvelgiant į pirmiau minėtus nelygumus 1
Dabar galime įrodyti, kad pirminių skaičių yra be galo daug.
Teorema.
Pirminių skaičių yra begalinis skaičius.
Įrodymas.
Tarkime, kad taip nėra. Tai yra, tarkime, kad yra tik n pirminių skaičių ir šie pirminiai skaičiai yra p 1, p 2, ..., p n. Parodykime, kad visada galime rasti pirminį skaičių, kuris skiriasi nuo nurodytųjų.
Apsvarstykite skaičių p lygų p 1 · p 2 ·… · p n +1. Akivaizdu, kad šis skaičius skiriasi nuo kiekvieno pirminio skaičiaus p 1, p 2, ..., p n. Jei skaičius p yra pirminis, tai teorema įrodyta. Jei šis skaičius yra sudėtinis, tai pagal ankstesnę teoremą yra šio skaičiaus pirminis daliklis (žymime jį p n+1). Parodykime, kad šis daliklis nesutampa nė su vienu iš skaičių p 1, p 2, ..., p n.
Jei taip nebūtų, tada sandauga p 1 ·p 2 ·…·p n pagal dalomumo savybes būtų padalinta iš p n+1. Tačiau skaičius p taip pat dalijasi iš p n+1, lygus sumai p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Iš to seka, kad p n+1 turi padalyti antrąjį šios sumos narį, kuris yra lygus vienetui, bet tai neįmanoma.
Taigi buvo įrodyta, kad visada galima rasti naują pirminį skaičių, kuris nėra įtrauktas į jokį iš anksto nustatytų pirminių skaičių skaičių. Todėl pirminių skaičių yra be galo daug.
Taigi dėl to, kad pirminių skaičių yra be galo daug, sudarydami pirminių skaičių lenteles visada apsiribojate iš viršaus į kokį nors skaičių, dažniausiai 100, 1000, 10000 ir t.t.
Eratosteno sietelis
Dabar aptarsime pirminių skaičių lentelių kūrimo būdus. Tarkime, kad turime sudaryti pirminių skaičių lentelę iki 100.
Akivaizdžiausias šios problemos sprendimo būdas yra nuosekliai tikrinti teigiamus sveikuosius skaičius, pradedant nuo 2 ir baigiant 100, ar nėra teigiamo daliklio, kuris yra didesnis nei 1 ir mažesnis už tikrinamą skaičių (iš mums žinomų dalijamumo savybių kad daliklio absoliuti reikšmė neviršytų absoliučios dividendo vertės, ne nulis). Jei tokio daliklio nerandama, tada tikrinamas skaičius yra pirminis, ir jis įrašomas į pirminių skaičių lentelę. Jei toks daliklis randamas, tai tikrinamas skaičius yra sudėtinis, jis NĖRA įrašytas į pirminių skaičių lentelę. Po to pereinama prie kito skaičiaus, kuris panašiai tikrinamas, ar nėra daliklio.
Apibūdinkime kelis pirmuosius žingsnius.
Pradedame nuo 2 skaičiaus. Skaičius 2 neturi teigiamų daliklių, išskyrus 1 ir 2. Todėl tai paprasta, todėl įvedame jį į pirminių skaičių lentelę. Čia reikėtų pasakyti, kad 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Pereikime prie numerio 3. Galimas teigiamas jo daliklis, išskyrus 1 ir 3, yra skaičius 2. Bet 3 nesidalija iš 2, todėl 3 yra pirminis skaičius, jį taip pat reikia įtraukti į pirminių skaičių lentelę. Pereikime prie 4 numerio. Jo teigiami dalikliai, išskyrus 1 ir 4, gali būti skaičiai 2 ir 3, patikrinkime juos. Skaičius 4 dalijasi iš 2, todėl 4 yra sudėtinis skaičius ir jo nereikia įtraukti į pirminių skaičių lentelę. Atminkite, kad 4 yra mažiausias sudėtinis skaičius. Pereikime prie numerio 5. Tikriname, ar bent vienas iš skaičių 2, 3, 4 yra jo daliklis. Kadangi 5 nesidalija iš 2, 3 ar 4, tai jis yra pirminis ir turi būti užrašytas pirminių skaičių lentelėje. Tada pereinama prie skaičių 6, 7 ir tt iki 100.
Šis pirminių skaičių lentelės sudarymo metodas toli gražu nėra idealus. Vienaip ar kitaip, jis turi teisę egzistuoti. Atkreipkite dėmesį, kad naudojant šį sveikųjų skaičių lentelės sudarymo būdą galite naudoti dalijamumo kriterijus, kurie šiek tiek pagreitins daliklių paieškos procesą.
Yra patogesnis būdas sukurti pirminių skaičių lentelę, vadinamą. Pavadinime esantis žodis „sietas“ nėra atsitiktinis, nes šio metodo veiksmai padeda tarsi „persijoti“ sveikus skaičius ir didelius vienetus per Eratosteno sietą, kad būtų atskirti paprasti nuo sudėtinių.
Parodykime veikiantį Eratosteno sietą, kai sudaroma pirminių skaičių iki 50 lentelę.
Pirmiausia užrašykite skaičius 2, 3, 4, ..., 50.
Pirmasis parašytas skaičius 2 yra pirminis. Dabar nuo 2 skaičiaus paeiliui judame į dešinę dviem skaičiais ir išbraukiame šiuos skaičius, kol pasieksime sudaromos skaičių lentelės pabaigą. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra dviejų kartotiniai.
Pirmasis skaičius po 2, kuris nėra perbrauktas, yra 3. Šis skaičius yra pirminis. Dabar nuo 3 skaičiaus paeiliui pereiname į dešinę trimis skaičiais (atsižvelgiant į jau perbrauktus skaičius) ir juos perbraukiame. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra trijų kartotiniai.
Pirmasis skaičius po 3, kuris nėra perbrauktas, yra 5. Šis skaičius yra pirminis. Dabar nuo skaičiaus 5 nuosekliai pereiname į dešinę 5 skaičiais (taip pat atsižvelgiame į anksčiau perbrauktus skaičius) ir juos perbraukiame. Taip bus išbraukti visi skaičiai, kurie yra penkių kartotiniai.
Toliau išbraukiame skaičius, kurie yra 7 kartotiniai, tada 11 kartotiniai ir pan. Procesas baigiasi, kai nebėra skaičių, kuriuos reikia perbraukti. Žemiau yra užpildyta pirminių skaičių iki 50 lentelė, gauta naudojant Eratosteno sietą. Visi neperbraukti skaičiai yra pirminiai, o visi perbraukti skaičiai yra sudėtiniai.
Taip pat suformuluokime ir įrodykime teoremą, kuri pagreitins pirminių skaičių lentelės sudarymo procesą naudojant Eratosteno sietą.
Teorema.
Mažiausias teigiamas sudėtinio skaičiaus a daliklis, kuris skiriasi nuo vieneto, neviršija , kur yra iš a .
Įrodymas.
Raide b pažymėkime mažiausią sudėtinio skaičiaus a daliklį, kuris skiriasi nuo vieno (skaičius b yra pirminis, kaip matyti iš teoremos, įrodytos pačioje ankstesnės pastraipos pradžioje). Tada yra sveikasis skaičius q, kad a=b·q (čia q yra teigiamas sveikasis skaičius, kuris išplaukia iš sveikųjų skaičių daugybos taisyklių), ir (b>q sąlyga, kad b yra mažiausias a daliklis, pažeidžiama , nes q taip pat yra skaičiaus a daliklis dėl lygybės a=q·b ). Padauginus abi nelygybės puses teigiamu ir sveikuoju skaičiumi, didesniu už vieną (mums leidžiama tai padaryti), gauname , Iš kurių ir .
Ką mums duoda įrodyta teorema apie Eratosteno sietą?
Pirma, sudėtinių skaičių, kurie yra pirminio skaičiaus b kartotiniai, perbraukimas turėtų prasidėti skaičiumi, lygiu (tai išplaukia iš nelygybės). Pavyzdžiui, skaičių, kurie yra dviejų kartotiniai, perbraukimas turėtų prasidėti skaičiumi 4, trijų kartotiniai - skaičiumi 9, penkių kartotiniai - skaičiumi 25 ir pan.
Antra, pirminių skaičių lentelės sudarymas iki skaičiaus n naudojant Eratosteno sietą gali būti laikomas baigtu, kai visi sudėtiniai skaičiai, kurie yra pirminių skaičių kartotiniai, neviršija . Mūsų pavyzdyje n=50 (kadangi mes sudarome pirminių skaičių lentelę iki 50), todėl Eratosteno sietas turėtų pašalinti visus sudėtinius skaičius, kurie yra pirminių skaičių 2, 3, 5 ir 7 kartotiniai. neviršija aritmetinės kvadratinės šaknies iš 50. Tai reiškia, kad mums nebereikia ieškoti ir išbraukti skaičių, kurie yra pirminių skaičių 11, 13, 17, 19, 23 kartotiniai ir tt iki 47, nes jie jau bus nubraukti kaip mažesnių pirminių skaičių 2 kartotiniai. , 3, 5 ir 7 .
Ar šis skaičius pirminis ar sudėtinis?
Kai kurioms užduotims reikia išsiaiškinti, ar nurodytas skaičius yra pirminis, ar sudėtinis. Apskritai ši užduotis toli gražu nėra paprasta, ypač skaičiams, kurių rašymą sudaro daug simbolių. Daugeliu atvejų turite ieškoti konkretaus būdo, kaip tai išspręsti. Tačiau mes stengsimės duoti kryptį minčių traukiniui paprastiems atvejams.
Žinoma, galite pabandyti naudoti dalijamumo testus, kad įrodytumėte, jog nurodytas skaičius yra sudėtinis. Jei, pavyzdžiui, koks nors dalijimosi testas rodo, kad tam tikras skaičius dalijasi iš kokio nors teigiamo sveikojo skaičiaus, didesnio už vienetą, tada pradinis skaičius yra sudėtinis.
Pavyzdys.
Įrodykite, kad 898 989 898 989 898 989 yra sudėtinis skaičius.
Sprendimas.
Šio skaičiaus skaitmenų suma lygi 9·8+9·9=9·17. Kadangi skaičius, lygus 9·17, dalijasi iš 9, tai pagal dalumą iš 9 galime teigti, kad pradinis skaičius taip pat dalijasi iš 9. Todėl jis yra sudėtinis.
Reikšmingas šio metodo trūkumas yra tas, kad dalijamumo kriterijai neleidžia įrodyti skaičiaus pirmumo. Todėl bandydami skaičių, kad pamatytumėte, ar jis pirminis, ar sudėtinis, turite elgtis kitaip.
Logiškiausias būdas yra išbandyti visus galimus tam tikro skaičiaus daliklius. Jei nė vienas iš galimų daliklių nėra tikrasis tam tikro skaičiaus daliklis, tada šis skaičius bus pirminis, priešingu atveju jis bus sudėtinis. Iš teoremų, įrodytų ankstesnėje pastraipoje, išplaukia, kad tam tikro skaičiaus a daliklių reikia ieškoti tarp pirminių skaičių, neviršijančių . Taigi duotą skaičių a galima nuosekliai padalyti iš pirminių skaičių (kurie patogiai paimti iš pirminių skaičių lentelės), bandant rasti skaičiaus a daliklį. Jei rastas daliklis, tada skaičius a yra sudėtinis. Jei tarp pirminių skaičių, neviršijančių , nėra skaičiaus a daliklio, tada skaičius a yra pirminis.
Pavyzdys.
Skaičius 11 723 paprastas ar sudėtinis?
Sprendimas.
Sužinokime, iki kokio pirminio skaičiaus gali būti skaičiaus 11 723 dalikliai. Norėdami tai padaryti, įvertinkime.
Gana akivaizdu, kad 
, nuo 200 2 = 40 000 ir 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью skaičių palyginimas). Taigi galimi pirminiai koeficientai 11 723 yra mažesni nei 200. Tai jau labai palengvina mūsų užduotį. Jei to nežinotume, turėtume pereiti visus pirminius skaičius ne iki 200, o iki skaičiaus 11 723.
Jei pageidaujate, galite įvertinti tiksliau. Kadangi 108 2 = 11 664 ir 109 2 = 11 881, tada 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Taigi bet kuris pirminis skaičius, mažesnis nei 109, potencialiai yra pirminis duoto skaičiaus 11 723 koeficientas.
Dabar skaičių 11 723 iš eilės padalinsime į pirminius skaičius 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Jei skaičius 11 723 yra padalintas iš vieno iš užrašytų pirminių skaičių, jis bus sudėtinis. Jei jis nesidalija iš nė vieno užrašyto pirminio skaičiaus, tada pirminis skaičius yra pirminis.
Viso šio monotoniško ir monotoniško dalijimosi proceso neaprašysime. Iš karto pasakykime, kad 11 723
