Sukamasis judėjimas. Centripetinis pagreitis – formulės išvedimas ir praktinis pritaikymas

Objektas, judantis apskritimo spindulio orbita r su vienodu tangentiniu greičiu u yra greičio vektorius v, kurio dydis yra pastovus, bet kurio kryptis nuolat kinta. Iš to išplaukia, kad objektas turi turėti pagreitį, nes (vektorius) yra (vektoriaus) greičio kitimo greitis, o (vektoriaus) greitis iš tikrųjų skiriasi laike.

Tarkime, kad objektas juda iš taško P iki taško K tarp laiko t ir, t + δ t kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje. Darykime prielaidą, kad objektas yra pasuktas δθ radianų per šį laikotarpį. Vektorius, kaip parodyta diagramoje, yra identiškas vektoriui. Be to, kampas tarp vektorių ir š δθ . Vektorius reiškia greičio vektoriaus pokytį, δ v, tarp laiko t Ir t + δ t. Iš to aišku, kad šis vektorius yra nukreiptas į apskritimo centrą. Remiantis standartine trigonometrija, vektoriaus ilgis yra:

Tačiau mažais kampais nuodėmė θ ≃ θ , su sąlyga θ matuojamas radianais. Vadinasi,

δv ≃ v δθ.

Kur yra objekto kampinis greitis radianais per sekundę. Taigi objektas, judantis apskritimo orbita spinduliu r, vienodu tangentiniu greičiu v, ir vienodas kampinis greitis, turi pagreitį, nukreiptą į apskritimo centrą, tai yra, įcentrinis pagreitis- dydis:

Tarkime, kad kūnas turi masę m, pritvirtintas prie laido galo, ilgis r, ir sukasi taip, kad kūnas apibūdina horizontalų spindulio apskritimą r, vienodu tangentiniu greičiu v. Kaip ką tik sužinojome, kūno įcentrinis pagreitis yra . Todėl kūnas patiria įcentrinę jėgą

Kas suteikia šią galią? Gerai, šiame pavyzdyje jėgą suteikia kabelio įtempimas. Vadinasi, .

Tarkime, kad kabelis yra toks, kad nutrūksta, kai įtampa jame viršija tam tikrą kritinę vertę. Iš to išplaukia, kad yra Maksimalus greitis, su kuria kūnas gali judėti, būtent:

Jeigu v viršija v maks, nutrūks laidas. Nutrūkus kabeliui, kūnas nebepatirs įcentrinės jėgos, todėl judės dideliu greičiu v maks išilgai tiesės, kuri liečia jau esamą apskritą orbitą.

Leidžia mums egzistuoti šioje planetoje. Kaip suprasti, kas yra įcentrinis pagreitis? Tai apibrėžimas fizinis kiekis pateikta žemiau.

Stebėjimai

Paprasčiausią ratu judančio kūno pagreičio pavyzdį galima stebėti sukant akmenį ant virvės. Jūs traukiate virvę, o virvė traukia akmenį link centro. Kiekvienu laiko momentu virvė suteikia akmeniui tam tikrą judesį ir kiekvieną kartą vis nauja kryptimi. Virvės judėjimą galite įsivaizduoti kaip silpnų trūkčiojimų seriją. Truktelėjimas – ir virvė keičia kryptį, kitas trūkčiojimas – dar vienas pokytis ir taip toliau ratu. Jei staigiai atleisite virvę, trūkčiojimas nustos, o kartu su juo ir greičio krypties pokytis. Akmuo judės ta kryptimi, kuri liečia apskritimą. Kyla klausimas: „Su kokiu pagreičiu kūnas judės šiuo momentu?

Išcentrinio pagreičio formulė

Visų pirma, verta paminėti, kad kūno judėjimas ratu yra sudėtingas. Akmuo vienu metu dalyvauja dviejų tipų judesiuose: veikiamas jėgos jis juda link sukimosi centro ir tuo pačiu metu išilgai apskritimo liestinės, toldamas nuo šio centro. Pagal antrąjį Niutono dėsnį, jėga, laikanti akmenį ant virvės, yra nukreipta į sukimosi centrą išilgai lyno. Ten bus nukreiptas ir pagreičio vektorius.

Tarkime, kad po kurio laiko t mūsų akmuo, tolygiai judėdamas greičiu V, patenka iš taško A į tašką B. Tarkime, kad tuo momentu, kai kūnas kirto tašką B, įcentrinė jėga jį nustojo veikti. Tada per tam tikrą laikotarpį jis patektų į tašką K. Jis guli ant liestinės. Jei tą patį laiko momentą kūną veiktų tik įcentrinės jėgos, tai per laiką t, judėdamas tuo pačiu pagreičiu, jis atsidurtų taške O, kuris yra tiesėje, vaizduojančioje apskritimo skersmenį. Abu segmentai yra vektoriai ir paklūsta vektorių pridėjimo taisyklei. Susumavus šiuos du judesius per laikotarpį t, gauname judesį išilgai lanko AB.

Jei laiko intervalas t yra nežymiai mažas, tai lankas AB mažai skirsis nuo stygos AB. Taigi judėjimą lanku galima pakeisti judėjimu styga. Šiuo atveju akmens judėjimas išilgai stygos laikysis įstatymų tiesinis judėjimas, tai yra, nuvažiuotas atstumas AB bus lygus akmens greičio ir jo judėjimo laiko sandaugai. AB = V x t.

Norimą įcentrinį pagreitį pažymėkime raide a. Tada nuvažiuotą kelią tik veikiant įcentriniam pagreičiui galima apskaičiuoti pagal formulę tolygiai pagreitintas judėjimas:

Atstumas AB yra lygus greičio ir laiko sandaugai, ty AB = V x t,

AO - apskaičiuota anksčiau naudojant vienodai pagreitinto judesio formulę judant tiesia linija: AO = esant 2/2.

Pakeitę šiuos duomenis į formulę ir pakeitę juos, gauname paprastą ir elegantišką įcentrinio pagreičio formulę:

Žodžiais tai galima išreikšti taip: apskritimu judančio kūno įcentrinis pagreitis lygus tiesinio greičio, padalytos kvadratu iš apskritimo, išilgai kurio kūnas sukasi, spindulio. Šiuo atveju įcentrinė jėga atrodys taip, kaip paveikslėlyje žemiau.

Kampinis greitis

Kampinis greitis lygus tiesiniam greičiui, padalytam iš apskritimo spindulio. Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: V = ωR, kur ω yra kampinis greitis

Jei šią reikšmę pakeisime formulėje, galime gauti kampinio greičio išcentrinio pagreičio išraišką. Tai atrodys taip:

Pagreitis nekeičiant greičio

Ir vis dėlto, kodėl kūnas, kurio pagreitis nukreiptas į centrą, nejuda greičiau ir nejuda arčiau sukimosi centro? Atsakymas slypi pačioje pagreičio formuluotėje. Faktai rodo, kad sukamasis judėjimas yra realus, tačiau norint jį išlaikyti, reikia pagreičio, nukreipto į centrą. Veikiant šio pagreičio sukeliamai jėgai, įvyksta judėjimo kiekio pokytis, dėl kurio judėjimo trajektorija nuolat kreiva, visą laiką keičiant greičio vektoriaus kryptį, bet nekeičiant jo absoliučios vertės. . Judėdamas ratu, mūsų ilgai kentėjęs akmuo veržiasi į vidų, kitaip jis ir toliau judėtų liestine. Kiekvieną laiko akimirką, eidamas tangentiškai, akmuo traukiasi į centrą, bet į jį neįkrenta. Kitas įcentrinio pagreičio pavyzdys būtų vandens slidininkas, darantis nedidelius ratus ant vandens. Sportininko figūra pasvirusi; atrodo, kad jis krenta, toliau juda ir pasilenkia į priekį.

Taigi galime daryti išvadą, kad pagreitis nedidina kūno greičio, nes greičio ir pagreičio vektoriai yra statmeni vienas kitam. Pridėjus prie greičio vektoriaus, pagreitis keičia tik judėjimo kryptį ir išlaiko kūną orbitoje.

Saugos koeficiento viršijimas

Ankstesniame eksperimente susidūrėme su tobula virve, kuri nenutrūko. Bet tarkime, kad mūsų virvė yra pati įprasčiausia, ir jūs netgi galite apskaičiuoti jėgą, po kurios ji tiesiog nutrūks. Norint apskaičiuoti šią jėgą, pakanka palyginti lyno stiprumą su apkrova, kurią ji patiria sukantis akmeniui. Sukdami akmenį didesniu greičiu, jūs suteikiate jam didesnį judesį, taigi ir didesnį pagreitį.

Džiuto lyno skersmuo apie 20 mm, jo ​​tempiamasis stipris yra apie 26 kN. Pastebėtina, kad virvės ilgis niekur neatsiranda. Sukdami 1 kg sveriantį krovinį ant lyno, kurio spindulys yra 1 m, galime apskaičiuoti, kad jam nutrūkti reikalingas tiesinis greitis yra 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Taigi greitis, kuris yra pavojingas viršyti bus lygus √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Gravitacija

Svarstydami eksperimentą, mes nepaisėme gravitacijos poveikio, nes esant tokiam dideliam greičiui jo įtaka yra nereikšminga. Tačiau galite pastebėti, kad išvyniojus ilgą virvę, kūnas apibūdina sudėtingesnę trajektoriją ir palaipsniui artėja prie žemės.

Dangaus kūnai

Jei žiedinio judėjimo dėsnius perkeltume į erdvę ir pritaikytume juos dangaus kūnų judėjimui, galėtume iš naujo atrasti keletą nuo seno pažįstamų formulių. Pavyzdžiui, jėga, kuria kūnas traukiamas į Žemę, yra žinoma pagal formulę:

Mūsų atveju koeficientas g yra tas pats įcentrinis pagreitis, kuris buvo gautas iš ankstesnės formulės. Tik šiuo atveju akmens vaidmenį atliks į Žemę traukiantis dangaus kūnas, o lyno – gravitacijos jėga. Koeficientas g bus išreikštas mūsų planetos spinduliu ir jos sukimosi greičiu.

Rezultatai

Išcentrinio pagreičio esmė yra sunkus ir nedėkingas darbas, norint išlaikyti judantį kūną orbitoje. Yra paradoksalus atvejis, kai nuolatinis pagreitis kūnas nekeičia savo greičio. Neišmokytam protui toks teiginys yra gana paradoksalus. Nepaisant to, tiek apskaičiuojant elektrono judėjimą aplink branduolį, tiek skaičiuojant žvaigždės sukimosi aplink juodąją skylę greitį, įcentrinis pagreitis vaidina svarbų vaidmenį.

Leidžia mums egzistuoti šioje planetoje. Kaip suprasti, kas yra įcentrinis pagreitis? Šio fizinio dydžio apibrėžimas pateiktas žemiau.

Stebėjimai

Paprasčiausią ratu judančio kūno pagreičio pavyzdį galima stebėti sukant akmenį ant virvės. Jūs traukiate virvę, o virvė traukia akmenį link centro. Kiekvienu laiko momentu virvė suteikia akmeniui tam tikrą judesį ir kiekvieną kartą vis nauja kryptimi. Virvės judėjimą galite įsivaizduoti kaip silpnų trūkčiojimų seriją. Truktelėjimas – ir virvė keičia kryptį, kitas trūkčiojimas – dar vienas pokytis ir taip toliau ratu. Jei staigiai atleisite virvę, trūkčiojimas nustos, o kartu su juo ir greičio krypties pokytis. Akmuo judės ta kryptimi, kuri liečia apskritimą. Kyla klausimas: „Su kokiu pagreičiu kūnas judės šiuo momentu?

Išcentrinio pagreičio formulė

Visų pirma, verta paminėti, kad kūno judėjimas ratu yra sudėtingas. Akmuo vienu metu dalyvauja dviejų tipų judesiuose: veikiamas jėgos jis juda link sukimosi centro ir tuo pačiu metu išilgai apskritimo liestinės, toldamas nuo šio centro. Pagal antrąjį Niutono dėsnį, jėga, laikanti akmenį ant virvės, yra nukreipta į sukimosi centrą išilgai lyno. Ten bus nukreiptas ir pagreičio vektorius.

Tarkime, kad po kurio laiko t mūsų akmuo, tolygiai judėdamas greičiu V, patenka iš taško A į tašką B. Tarkime, kad tuo momentu, kai kūnas kirto tašką B, įcentrinė jėga jį nustojo veikti. Tada per tam tikrą laikotarpį jis patektų į tašką K. Jis guli ant liestinės. Jei tą patį laiko momentą kūną veiktų tik įcentrinės jėgos, tai per laiką t, judėdamas tuo pačiu pagreičiu, jis atsidurtų taške O, kuris yra tiesėje, vaizduojančioje apskritimo skersmenį. Abu segmentai yra vektoriai ir paklūsta vektorių pridėjimo taisyklei. Susumavus šiuos du judesius per laikotarpį t, gauname judesį išilgai lanko AB.

Jei laiko intervalas t yra nežymiai mažas, tai lankas AB mažai skirsis nuo stygos AB. Taigi judėjimą lanku galima pakeisti judėjimu styga. Šiuo atveju akmens judėjimas išilgai stygos laikysis tiesinio judėjimo dėsnių, tai yra, nuvažiuotas atstumas AB bus lygus akmens greičio ir jo judėjimo laiko sandaugai. AB = V x t.

Norimą įcentrinį pagreitį pažymėkime raide a. Tada kelias, nueitas tik veikiant įcentriniam pagreičiui, gali būti apskaičiuojamas naudojant tolygiai pagreitinto judėjimo formulę:

Atstumas AB yra lygus greičio ir laiko sandaugai, ty AB = V x t,

AO - apskaičiuota anksčiau naudojant vienodai pagreitinto judesio formulę judant tiesia linija: AO = esant 2/2.

Pakeitę šiuos duomenis į formulę ir pakeitę juos, gauname paprastą ir elegantišką įcentrinio pagreičio formulę:

Žodžiais tai galima išreikšti taip: apskritimu judančio kūno įcentrinis pagreitis lygus tiesinio greičio, padalytos kvadratu iš apskritimo, išilgai kurio kūnas sukasi, spindulio. Šiuo atveju įcentrinė jėga atrodys taip, kaip paveikslėlyje žemiau.

Kampinis greitis

Kampinis greitis lygus tiesiniam greičiui, padalytam iš apskritimo spindulio. Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: V = ωR, kur ω yra kampinis greitis

Jei šią reikšmę pakeisime formulėje, galime gauti kampinio greičio išcentrinio pagreičio išraišką. Tai atrodys taip:

Pagreitis nekeičiant greičio

Ir vis dėlto, kodėl kūnas, kurio pagreitis nukreiptas į centrą, nejuda greičiau ir nejuda arčiau sukimosi centro? Atsakymas slypi pačioje pagreičio formuluotėje. Faktai rodo, kad sukamasis judėjimas yra realus, tačiau norint jį išlaikyti, reikia pagreičio, nukreipto į centrą. Veikiant šio pagreičio sukeliamai jėgai, įvyksta judėjimo kiekio pokytis, dėl kurio judėjimo trajektorija nuolat kreiva, visą laiką keičiant greičio vektoriaus kryptį, bet nekeičiant jo absoliučios vertės. . Judėdamas ratu, mūsų ilgai kentėjęs akmuo veržiasi į vidų, kitaip jis ir toliau judėtų liestine. Kiekvieną laiko akimirką, eidamas tangentiškai, akmuo traukiasi į centrą, bet į jį neįkrenta. Kitas įcentrinio pagreičio pavyzdys būtų vandens slidininkas, darantis nedidelius ratus ant vandens. Sportininko figūra pasvirusi; atrodo, kad jis krenta, toliau juda ir pasilenkia į priekį.

Taigi galime daryti išvadą, kad pagreitis nedidina kūno greičio, nes greičio ir pagreičio vektoriai yra statmeni vienas kitam. Pridėjus prie greičio vektoriaus, pagreitis keičia tik judėjimo kryptį ir išlaiko kūną orbitoje.

Saugos koeficiento viršijimas

Ankstesniame eksperimente susidūrėme su tobula virve, kuri nenutrūko. Bet tarkime, kad mūsų virvė yra pati įprasčiausia, ir jūs netgi galite apskaičiuoti jėgą, po kurios ji tiesiog nutrūks. Norint apskaičiuoti šią jėgą, pakanka palyginti lyno stiprumą su apkrova, kurią ji patiria sukantis akmeniui. Sukdami akmenį didesniu greičiu, jūs suteikiate jam didesnį judesį, taigi ir didesnį pagreitį.

Džiuto lyno skersmuo apie 20 mm, jo ​​tempiamasis stipris yra apie 26 kN. Pastebėtina, kad virvės ilgis niekur neatsiranda. Sukdami 1 kg sveriantį krovinį ant lyno, kurio spindulys yra 1 m, galime apskaičiuoti, kad jam nutrūkti reikalingas tiesinis greitis yra 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Taigi greitis, kuris yra pavojingas viršyti bus lygus √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Gravitacija

Svarstydami eksperimentą, mes nepaisėme gravitacijos poveikio, nes esant tokiam dideliam greičiui jo įtaka yra nereikšminga. Tačiau galite pastebėti, kad išvyniojus ilgą virvę, kūnas apibūdina sudėtingesnę trajektoriją ir palaipsniui artėja prie žemės.

Dangaus kūnai

Jei žiedinio judėjimo dėsnius perkeltume į erdvę ir pritaikytume juos dangaus kūnų judėjimui, galėtume iš naujo atrasti keletą nuo seno pažįstamų formulių. Pavyzdžiui, jėga, kuria kūnas traukiamas į Žemę, yra žinoma pagal formulę:

Mūsų atveju koeficientas g yra tas pats įcentrinis pagreitis, kuris buvo gautas iš ankstesnės formulės. Tik šiuo atveju akmens vaidmenį atliks į Žemę traukiantis dangaus kūnas, o lyno – gravitacijos jėga. Koeficientas g bus išreikštas mūsų planetos spinduliu ir jos sukimosi greičiu.

Rezultatai

Išcentrinio pagreičio esmė yra sunkus ir nedėkingas darbas, norint išlaikyti judantį kūną orbitoje. Pastebimas paradoksalus atvejis, kai, esant nuolatiniam pagreičiui, kūnas nekeičia savo greičio reikšmės. Neišmokytam protui toks teiginys yra gana paradoksalus. Nepaisant to, tiek apskaičiuojant elektrono judėjimą aplink branduolį, tiek skaičiuojant žvaigždės sukimosi aplink juodąją skylę greitį, įcentrinis pagreitis vaidina svarbų vaidmenį.

Judant apskritimu pastoviu tiesiniu greičiu υ, kūnas turi pastovų įcentrinį pagreitį, nukreiptą į apskritimo centrą

a c = υ 2 /R, (18)

kur R yra apskritimo spindulys.

Įcentrinio pagreičio formulės išvedimas

A-prioras.

6 pav. Įcentrinio pagreičio formulės išvedimas

Paveiksle poslinkio ir greičio vektorių suformuoti trikampiai yra panašūs. Atsižvelgiant į tai == R ir == υ, iš trikampių panašumo randame:

(20)

(21)

Apskritimo centre pastatykime koordinačių pradžią ir plokštuma (x, y) pasirinkite plokštumą, kurioje yra apskritimas. Apskritimo taško padėtis bet kuriuo metu vienareikšmiškai nustatoma pagal polinį kampą φ, išmatuotą radianais (rad), ir

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

kur φ 0 nustato pradinę fazę (pradinę apskritimo taško padėtį nuliniu metu).

Esant tolygiam sukimuisi, kampas φ, matuojamas radianais, laikui bėgant didėja tiesiškai:

φ = ωt, (23)

kur ω vadinamas cikliniu (apvaliu) dažniu. Ciklinio dažnio matmuo: [ω] = c –1 = Hz.

Ciklinis dažnis yra lygus sukimosi kampo dydžiui (matuojamas rad) per laiko vienetą, todėl jis dar vadinamas kampiniu greičiu.

Taško koordinačių priklausomybę nuo apskritimo laiko, esant tolygiai sukimui tam tikru dažniu, galima parašyti taip:

x = R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Laikas, per kurį reikia atlikti vieną apsisukimą, vadinamas T periodu.

Dažnis ν = 1/T. (25)

Dažnio matmuo: [ν] = s –1 = Hz.

Ciklinio dažnio ir periodo bei dažnio ryšys: 2π = ωT, iš kur

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Ryšys tarp tiesinio greičio ir kampinio greičio randamas iš lygybės:

2πR = υT, iš kur

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Galima parašyti įcentrinio pagreičio išraišką Skirtingi keliai, naudojant greičio, dažnio ir periodo ryšius:

a q = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Transliacinių ir sukamųjų judesių ryšys

Pagrindinės judėjimo tiesia linija su pastoviu pagreičiu kinematinės charakteristikos: poslinkis s, greitis υ ir pagreitis a. Atitinkamos charakteristikos judant R spindulio apskritimu: kampinis poslinkis φ, kampinis greitis ω ir kampinis pagreitis ε (jei kūnas sukasi kintamu greičiu).

Remiantis geometriniais sumetimais, tarp šių charakteristikų atsiranda šie ryšiai:

poslinkis s → kampinis poslinkis φ = s/R;

greitis υ → kampinis greitis ω = υ /R;

pagreitis a→ kampinis pagreitis ε = a/R.

Visos tolygiai pagreitinto judėjimo tiesia linija kinematikos formulės gali būti paverstos sukimosi ratu kinematikos formulėmis, jei atlikti nurodyti pakeitimai. Pavyzdžiui:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Santykį tarp taško tiesinio ir kampinio greičių sukantis apskritime galima užrašyti vektorine forma. Iš tiesų, tegul apskritimas, kurio centras yra pradžioje, yra (x, y) plokštumoje. Bet kuriuo metu vektorius nubrėžta nuo pradžios iki taško apskritime, kuriame yra kūnas, statmenas kūno greičio vektoriui , šioje vietoje nukreipta apskritimo liestinė. Apibrėžkime vektorių , kuris absoliučia verte yra lygus kampiniam greičiui ω ir yra nukreiptas išilgai sukimosi ašies kryptimi, kurią nustato dešiniojo sraigto taisyklė: jei varžtą įsukate taip, kad jo sukimosi kryptis sutaptų su sukimosi kryptimi taško išilgai apskritimo, tada varžto judėjimo kryptis rodo vektoriaus kryptį . Tada ryšys tarp trijų tarpusavyje statmenų vektorių ,Ir galima parašyti naudojant vektorių kryžminę sandaugą.