ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ: നിർവചനം, കണ്ടെത്തലിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു രേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ ആശയം രേഖയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും ഏത് ആപേക്ഷിക സ്ഥാനത്തിനും അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.

നേർരേഖ l വിമാനത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, l നും ഇടയിലുള്ള കോൺ 90 ന് തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു.

നേർരേഖ l വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായിരിക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ ഈ തലത്തിൽ കിടക്കുകയോ ആണെങ്കിൽ, l ഉം തമ്മിലുള്ള കോൺ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

l നേർരേഖ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, l-നും ഇതും തമ്മിലുള്ള കോൺ "നേർരേഖയായ l നും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ p-നും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് (ചിത്രം 39).

അരി. 39. ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും ഒരു തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ

അതിനാൽ, നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഈ കേസിൻ്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: ഒരു നേർരേഖ ചെരിഞ്ഞതാണെങ്കിൽ, നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് ഈ നേർരേഖയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണാണ്.

ഒപ്പം തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ.

7.1 പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ബുദ്ധിമുട്ട് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന മൂന്ന് ജോലികൾ നോക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലെ മൂന്നാമത്തെ ടാസ്ക് ലെവൽ C2.

പ്രശ്നം 1. ഒരു സാധാരണ ടെട്രാഹെഡ്രോണിൽ, സൈഡ് എഡ്ജിനും അടിത്തറയുടെ തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

പ്രശ്നം 2. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പ്രിസത്തിൽ ABCA1 B1 C1, സൈഡ് എഡ്ജ് അടിത്തറയുടെ വശത്തിന് തുല്യമാണ്. AA1 രേഖയ്ക്കും ABC1 വിമാനത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നേർരേഖ പരസ്പരം സമാന്തരമായി മാറ്റിയാൽ നേർരേഖയും തലവും തമ്മിലുള്ള കോൺ മാറില്ല. CC1 AA1 ന് സമാന്തരമായതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള കോണാണ് CC1 നേർരേഖയ്ക്കും ABC1 തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് (ചിത്രം 41).

B 1"

അരി. 41. ടാസ്ക് 2 ലേക്ക്

എം എബിയുടെ മധ്യബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. CC1 M എന്ന ത്രികോണത്തിൽ CH ഉയരം വരയ്ക്കാം. ABC1 വിമാനത്തിന് CH ലംബമാണെന്ന് കാണിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്, CH ന് ലംബമായി.

ആദ്യത്തെ നേർരേഖ വ്യക്തമാണ്: C1 M. തീർച്ചയായും, CH? നിർമ്മാണത്തിലൂടെ C1 എം.

രണ്ടാമത്തെ വരി എ.ബി. തീർച്ചയായും, ABC വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ചെരിഞ്ഞ സിഎച്ചിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ നേർരേഖ CM ആണ്; എബി സമയത്ത്? സെമി. മൂന്ന് ലംബങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് AB? സി.എച്ച്.

അപ്പോൾ CH? എബിസി1. അതിനാൽ, CC1 നും ABC1 നും ഇടയിലുള്ള കോൺ " = \CC1 H ആണ്. ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് CH ൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

C1 M CH = CC1 CM

(ഈ അനുപാതത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും CC1 M ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്). നമുക്ക് ഉണ്ട്:

CM = a 2 3 ;

ആംഗിൾ കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു ":

ഉത്തരം: ആർക്‌സിൻ 3 7 .

sin " = CH =3 : CC1 7

പ്രശ്നം 3. ABCDA1 B1 C1 D1 ക്യൂബിൻ്റെ A1 B1 എന്ന എഡ്ജിൽ പോയിൻ്റ് K എടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ A1 K: KB1 = 3: 1. നേർരേഖയായ AKയ്ക്കും പ്ലെയിൻ BC1 D1 നും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കിയ ശേഷം (ചിത്രം 42, ഇടത്), അധിക നിർമ്മാണങ്ങൾ ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു.

ആദ്യം, AB ലൈൻ BC1 D1 (AB k C1 D1 മുതൽ) തലത്തിലാണ് കിടക്കുന്നത് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. രണ്ടാമതായി, AK ന് സമാന്തരമായി B1 M വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 42, വലത്). നമുക്ക് B1 C വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ N എന്നത് B1 C, BC1 എന്നിവയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ.

B1 C എന്ന നേർരേഖ BC1 D1 വിമാനത്തിന് ലംബമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. തീർച്ചയായും:

1) ബി 1 സി ? BC1 (ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലുകൾ പോലെ);

2) ബി 1 സി ? മൂന്ന് ലംബങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് AB (എല്ലാത്തിനുമുപരി, എബിസി തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞ B1 C യുടെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ നേർരേഖ BC യിലേക്ക് ലംബമാണ്).

അങ്ങനെ, B1 C തലം BC1 D1 ൻ്റെ രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾക്ക് ലംബമാണ്; അതിനാൽ, B1 C? BC1 D1. അതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ പ്രൊജക്ഷൻ എം.ബി

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ നിർവചനത്തോടെയാണ് ലേഖനം ആരംഭിക്കുന്നത്. കോർഡിനേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഈ ലേഖനം നിങ്ങളെ കാണിക്കും. ഉദാഹരണങ്ങളുടെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരങ്ങൾ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ആദ്യം, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു നേർരേഖ എന്ന ആശയവും ഒരു വിമാനം എന്ന ആശയവും ആവർത്തിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു നേർരേഖയും തലവും തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിരവധി സഹായ നിർവചനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഈ നിർവചനങ്ങൾ വിശദമായി നോക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

ഒരു നേർരേഖയും ഒരു തലവും വിഭജിക്കുന്നുഅവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് ഉള്ളപ്പോൾ, അതായത്, അത് ഒരു നേർരേഖയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റാണ്.

ഒരു തലം വിഭജിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ വിമാനത്തിന് ലംബമായിരിക്കാം.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു നേർരേഖ ഒരു തലത്തിന് ലംബമാണ്ഈ വിമാനത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും രേഖയ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കുമ്പോൾ.

നിർവ്വചനം 3

ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻγ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ അത് γ എന്ന ബിന്ദുവിൽ പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് എം പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന γ തലത്തിന് ലംബമായി ഒരു രേഖയോടുകൂടിയ തലം വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റാണ്.

നിർവ്വചനം 4

ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ലൈനിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻγ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത രേഖയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും പ്രക്ഷേപണങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്.

ഇതിൽ നിന്ന് γ വിമാനത്തിന് ലംബമായ ഒരു രേഖയുടെ പ്രൊജക്ഷന് ഒരു ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ലൈനിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ γ തലം ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു രേഖയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടാതെ ലൈനിൻ്റെയും വിമാനത്തിൻ്റെയും കവല പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. താഴെയുള്ള ചിത്രം നോക്കാം.

ഓൺ ഈ നിമിഷംഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഡാറ്റയും ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്

നിർവ്വചനം 5

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും ഒരു തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺഈ നേർരേഖയ്ക്കും ഈ തലത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ വിളിക്കുന്നു, നേർരേഖ അതിന് ലംബമല്ല.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോണിൻ്റെ നിർവചനം ഒരു രേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണെന്ന നിഗമനത്തിലെത്താൻ സഹായിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത രേഖയും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തലത്തിലേക്ക്. ഇതിനർത്ഥം അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ എപ്പോഴും നിശിതമായിരിക്കും എന്നാണ്. താഴെയുള്ള ചിത്രം നോക്കാം.

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന കോണിനെ വലത് ആയി കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, 90 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ സമാന്തര നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി എടുക്കുമ്പോൾ കേസുകളുണ്ട്.

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് പരിഹാരത്തിൽ നിരവധി വ്യത്യാസങ്ങളുണ്ട്. പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഗതി തന്നെ അവസ്ഥയിൽ ലഭ്യമായ ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രതിവിധി, കോസൈനുകൾ, സൈനുകൾ, കോണുകളുടെ സ്പർശനങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സമാനതയുടെയോ സമത്വത്തിൻ്റെയോ അടയാളങ്ങളാണ് പരിഹാരത്തിനുള്ള പതിവ് കൂട്ടാളികൾ. കോർഡിനേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണ്. നമുക്ക് അത് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം O x y z ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ ഒരു നേർരേഖ a വ്യക്തമാക്കുന്നു, പോയിൻ്റ് M-ൽ γ തലം വിഭജിക്കുന്നു, അത് വിമാനത്തിന് ലംബമല്ല. നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ആംഗിൾ α കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യം നിങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ നിർവചനം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും.

O x y z കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഒരു നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കുന്നു, ഇത് ബഹിരാകാശത്തിലെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ബഹിരാകാശത്തെ നേർരേഖയുടെ ദിശാസൂചന വെക്‌ടറിനും യോജിച്ചതാണ്; വിമാനത്തിൻ്റെ വെക്റ്റർ. അപ്പോൾ a → = (a x , a y , a z) എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖ a യുടെ ദിശ വെക്‌ടറും n → (n x , n y , n z) γ വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറും ആണ്. ലൈനിൻ്റെ ഡയറക്‌ടിംഗ് വെക്‌ടറിൻ്റെയും γ വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ അറിയാം, അതായത്, അവ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ വെക്റ്ററുകൾ a → നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. സമവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി n → എന്നിവയും.

ആംഗിൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ, നേർരേഖയുടെയും സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെയും ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്ററിൻ്റെ നിലവിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ കോണിൻ്റെ മൂല്യം നേടുന്നതിന് ഫോർമുല രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വെക്‌ടറുകൾ a →, n → എന്നിവ പ്ലോട്ട് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഒരു നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു a തലം γ. നൽകിയിരിക്കുന്ന ലൈനുകളും പ്ലെയിനുകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥാനത്തിന് 4 ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. എല്ലാ 4 വ്യതിയാനങ്ങളും കാണിക്കുന്ന ചുവടെയുള്ള ചിത്രം നോക്കുക.

വെക്‌ടറുകൾ a →, n → എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിനെ ഒരു →, n → ^ എന്ന് നിയുക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്നും അത് നിശിതമാണെന്നും ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും, തുടർന്ന് നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ആവശ്യമുള്ള കോൺ α പൂരകമാണ്, അതായത്, നമുക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും. രൂപത്തിൻ്റെ a → , n → ^ = 90 ° - α. എപ്പോൾ, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, a →, n → ^ > 90 °, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു →, n → ^ = 90 ° + α.

ഇവിടെ നിന്നാണ് കോസൈനുകൾ ലഭിക്കുന്നത് തുല്യ കോണുകൾതുല്യമാണ്, പിന്നെ അവസാനത്തെ തുല്യതകൾ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

എക്സ്പ്രഷനുകൾ ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾ റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കണം. അപ്പോൾ a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യത നമുക്ക് ലഭിക്കും.< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

പരിവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കിയ ശേഷം, സിസ്റ്റം sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ എന്ന രൂപം എടുക്കുന്നു.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈൻ നേർരേഖയുടെ ഡയറക്‌ടിംഗ് വെക്‌ടറിനും നൽകിയിരിക്കുന്ന തലത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണിനെ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗം വെളിപ്പെടുത്തി, ഈ ആംഗിൾ വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ മൂല്യവും ഈ ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഗുണനവും എടുക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖയുടെയും ഒരു തലത്തിൻ്റെയും വിഭജനം വഴി ലഭിച്ച കോണിൻ്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുന്ന പ്രക്രിയ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് നടത്തുന്നു.

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + 2

ഇതിനർത്ഥം നേർരേഖയുടെ ഡയറക്‌റ്റിംഗ് വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും ഒരു തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം രൂപാന്തരത്തിനു ശേഷമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിൻ്റെ രൂപമാണ് എന്നാണ്.

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n

അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സൈനിനുള്ള കോസൈൻ കണ്ടെത്തുന്നത് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് സാധ്യമാണ്. ഒരു നേർരേഖയുടെയും ഒരു തലത്തിൻ്റെയും വിഭജനം ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു. അതിൻ്റെ മൂല്യം ആയിരിക്കുമെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അതിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ cos α = 1 - sin α എന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 എന്ന നേർരേഖയും തലം 2 x + z - 1 = 0 ഉം രൂപപ്പെടുന്ന കോണിൻ്റെ കോൺ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് a → = (3, - 2, 6) എന്നത് x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 എന്ന നേർരേഖയുടെ ദിശ വെക്‌ടറാണ്.

സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അത് പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പൊതുവായ സമവാക്യംവിമാനങ്ങൾ, കാരണം അവയുടെ സാന്നിധ്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് മുന്നിൽ ലഭ്യമായ ഗുണകങ്ങളാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരിയബിളുകൾ. 2 x + z - 1 = 0 വിമാനത്തിന് സാധാരണ വെക്‌ടറിന് n → = (2, 0, 1) എന്ന ഫോം ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നത് തുടരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ a →, b → എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 = n + 2 + 2 ( = 2 x 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കോസൈൻ്റെ മൂല്യവും കോണിൻ്റെ മൂല്യവും കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

ഉത്തരം: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

ഉദാഹരണം 2

A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിച്ച ഒരു പിരമിഡ് ഉണ്ട്. A D നേർരേഖയും A B C തലവും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്ററിൻ്റെയും വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. A D എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ദിശ വെക്‌ടറിന് A D → = 4, 1, 1 കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

A B C വിമാനത്തിൽ പെടുന്ന സാധാരണ വെക്റ്റർ n → വെക്റ്റർ A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണ്. A B C വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിനെ A B →, A C → വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6, 3, - )

ഒരു നേർരേഖയുടെയും ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും വിഭജനം വഴി രൂപംകൊണ്ട ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ കണക്കാക്കാൻ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് പകരം വയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a rc sin 23 21 2

ഉത്തരം: a rc sin 23 21 2 .

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു നേർരേഖ l-നും തലം 6-നും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ, തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയായ l-നും ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏത് ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വരച്ച ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലേക്ക് ലംബമായ n-നും ഇടയിലുള്ള p എന്ന അധിക കോണിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ് (ചിത്രം 144). ആംഗിൾ പി ആവശ്യമുള്ള കോണിനെ a മുതൽ 90° വരെ പൂർത്തീകരിക്കുന്നു. നേർരേഖയായ l, ലംബമായും നേർരേഖയ്ക്കുചുറ്റും രൂപംകൊണ്ട കോണിൻ്റെ തലം തലം തിരിക്കുന്നതിലൂടെ P കോണിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം, അത് പൂരകമായി തുടരുന്നു വലത് കോൺ. ഈ അധിക ആംഗിൾ കോണിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം a നേർരേഖ l നും തലം 0 നും ഇടയിൽ നൽകും.

27. രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഡൈഹെഡ്രൽ കോൺ- Q, l എന്നീ രണ്ട് വിമാനങ്ങൾക്കിടയിൽ. - ഒന്നുകിൽ ഒരു ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിൻ്റെ അറ്റം പ്രൊജക്റ്റിംഗ് ലൈനാക്കി മാറ്റുന്നതിന് പ്രൊജക്ഷൻ തലം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെയോ (പ്രശ്നങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം) അല്ലെങ്കിൽ എഡ്ജ് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, രണ്ട് ലംബമായ n1, n2 എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൽ വരയ്ക്കുന്നത് പോലെ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഈ പ്ലെയ്‌നുകൾ സ്‌പേസ് ബിയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് M-ൽ നിന്ന് ഈ ലംബമായ പ്ലെയ്‌നുകൾ M പോയിൻ്റിൽ നമുക്ക് a, P എന്നീ രണ്ട് തലം കോണുകൾ ലഭിക്കും, അവ യഥാക്രമം q, l വിമാനങ്ങൾ രൂപംകൊണ്ട രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ (ഡൈഹെഡ്രൽ) രേഖീയ കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. ലെവലിൻ്റെ നേർരേഖയ്ക്ക് ചുറ്റും കറങ്ങിക്കൊണ്ട് ലംബമായ n1, n2 എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണുകളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം, q, l വിമാനങ്ങൾ രൂപീകരിച്ച ഡൈഹെഡ്രൽ കോണിൻ്റെ രേഖീയ കോൺ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കും.

വളഞ്ഞ വരകൾ. വളഞ്ഞ വരകളുടെ പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകൾ.

ഒരു വക്രത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ ഡ്രോയിംഗിൽ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ, റിട്ടേൺ, ബ്രേക്ക്, നോഡൽ പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്ന അതിൻ്റെ പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകളും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനിലെ പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകളാണ്. വളവുകളുടെ ഏകവചന പോയിൻ്റുകൾ ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ ടാൻജെൻ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു.

വക്രത്തിൻ്റെ തലം ഒരു പ്രൊജക്റ്റിംഗ് സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ (ചിത്രം. എ),അപ്പോൾ ഈ വക്രത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രൊജക്ഷന് ഒരു നേർരേഖയുടെ ആകൃതിയുണ്ട്.

ഒരു സ്പേഷ്യൽ വക്രത്തിന്, അതിൻ്റെ എല്ലാ പ്രൊജക്ഷനുകളും വളഞ്ഞ വരകളാണ് (ചിത്രം 1). b).

ഏത് വക്രമാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നതെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ (തലം അല്ലെങ്കിൽ സ്പേഷ്യൽ), വക്രത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഒരേ തലത്തിലുള്ളതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ബിപോയിൻ്റ് മുതൽ വക്രം സ്പേഷ്യൽ ആണ് ഡിവക്രം മറ്റ് മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തലത്തിൻ്റേതല്ല എ, ബിഒപ്പം ഇഈ വക്രം.

വൃത്തം - രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു തലം വക്രം, അതിൻ്റെ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു വൃത്തവും ദീർഘവൃത്തവും ആകാം

ഒരു സിലിണ്ടർ ഹെലിക്കൽ ലൈൻ (ഹെലിക്സ്) ഒരു ഹെലിക്കൽ ചലനം നടത്തുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ പാതയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു സ്പേഷ്യൽ വക്രമാണ്.

29. പരന്നതും സ്പേഷ്യൽ വളഞ്ഞതുമായ വരകൾ.

ചോദ്യം 28 കാണുക

30. സങ്കീർണ്ണമായ ഉപരിതല ഡ്രോയിംഗ്. അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥകൾ.

ബഹിരാകാശത്ത് ചലിക്കുന്ന വരികളുടെ തുടർച്ചയായ സ്ഥാനങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് ഉപരിതലം. ഈ രേഖ നേരായതോ വളഞ്ഞതോ ആകാം, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ജനറട്രിക്സ്പ്രതലങ്ങൾ. ജനറട്രിക്സ് ഒരു വക്രതയാണെങ്കിൽ, അതിന് സ്ഥിരമായതോ വേരിയബിൾ രൂപമോ ഉണ്ടാകാം. ജനറട്രിക്സ് നീങ്ങുന്നു വഴികാട്ടികൾ,ജനറേറ്ററുകളേക്കാൾ വ്യത്യസ്തമായ ദിശയുടെ വരികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഗൈഡ് ലൈനുകൾ ജനറേറ്ററുകൾക്കുള്ള ചലന നിയമം സജ്ജമാക്കുന്നു. ഗൈഡുകൾക്കൊപ്പം ജനറേറ്ററിക്സ് നീക്കുമ്പോൾ, എ ഫ്രെയിംഉപരിതലം (ചിത്രം 84), ഇത് ജനറേറ്ററുകളുടെയും ഗൈഡുകളുടെയും തുടർച്ചയായ നിരവധി സ്ഥാനങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. ഫ്രെയിം പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ജനറേറ്ററുകളാണെന്ന് ഒരാൾക്ക് ബോധ്യപ്പെടാം എൽവഴികാട്ടികളും ടി മാറ്റാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഉപരിതലം അതേപടി തുടരുന്നു.

ഏത് ഉപരിതലവും വിവിധ രീതികളിൽ ലഭിക്കും.

ജനറട്രിക്സിൻ്റെ ആകൃതിയെ ആശ്രയിച്ച്, എല്ലാ ഉപരിതലങ്ങളും വിഭജിക്കാം ഭരിച്ചു,ജനറേറ്റീവ് നേർരേഖയുള്ളവ, കൂടാതെ ഭരിക്കപ്പെടാത്ത,വളഞ്ഞ രേഖ രൂപപ്പെടുന്നവ.

വികസിപ്പിക്കാവുന്ന പ്രതലങ്ങളിൽ എല്ലാ പോളിഹെഡ്ര, സിലിണ്ടർ, കോണാകൃതി, ടോർസോ പ്രതലങ്ങളുടെയും ഉപരിതലങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. മറ്റെല്ലാ പ്രതലങ്ങളും വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്. നോൺ-റൂൾഡ് പ്രതലങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു ജനറേറ്ററിക്സും (വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഉപരിതലവും ട്യൂബുലാർ പ്രതലങ്ങളും) വേരിയബിൾ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു ജനറേറ്ററിക്സും (ചാനലും ഫ്രെയിം പ്രതലങ്ങളും) ഉണ്ടാകാം.

സങ്കീർണ്ണമായ ഡ്രോയിംഗിലെ ഒരു ഉപരിതലം അതിൻ്റെ ജനറേറ്ററുകൾ നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ ഭാഗത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു. ഒരു പ്രതലത്തിൻ്റെ ഒരു ഡ്രോയിംഗിൽ, ബഹിരാകാശത്തെ ഏത് ബിന്ദുവിലും അത് ഒരു പ്രതലത്തിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന ചോദ്യം അവ്യക്തമായി പരിഹരിക്കപ്പെടും. ഉപരിതല ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി വ്യക്തമാക്കുന്നത് ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ റിവേഴ്‌സിബിലിറ്റി ഉറപ്പാക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് ദൃശ്യമാക്കുന്നില്ല. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ജനറേറ്ററുകളുടെ സാന്ദ്രമായ ഫ്രെയിമിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഔട്ട്ലൈൻ ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും അവർ അവലംബിക്കുന്നു (ചിത്രം 86). പ്രൊജക്ഷൻ പ്ലെയിനിലേക്ക് ഉപരിതല Q പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, പ്രൊജക്റ്റിംഗ് കിരണങ്ങൾ ഈ ഉപരിതലത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത രേഖ രൂപപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. എൽ, വിളിക്കപ്പെടുന്ന കോണ്ടൂർലൈൻ. കോണ്ടൂർ ലൈനിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഉപന്യാസംപ്രതലങ്ങൾ. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഡ്രോയിംഗിൽ, ഏത് ഉപരിതലത്തിനും ഉണ്ട്: പി 1 - തിരശ്ചീന രൂപരേഖ, പി 2-ൽ - ഫ്രണ്ടൽ ഔട്ട്ലൈൻ, പി 3-ൽ - ഉപരിതലത്തിൻ്റെ പ്രൊഫൈൽ ഔട്ട്ലൈൻ. സ്കെച്ചിൽ കോണ്ടൂർ ലൈനിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾക്ക് പുറമേ, കട്ട് ലൈനുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയും തലവും തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ നിർവചനം ചരിഞ്ഞ പ്രൊജക്ഷൻ എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. നിർവ്വചനം. ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് ഈ നേർരേഖയ്ക്കും നൽകിയിരിക്കുന്ന തലത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ്.

ചിത്രത്തിൽ. 341, ചെരിഞ്ഞ AM നും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ കാണിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ്. ഒരു നേർരേഖ ഒരു തലത്തിന് സമാന്തരമോ അതിൽ കിടക്കുന്നതോ ആണെങ്കിൽ, വിമാനവുമായുള്ള അതിൻ്റെ കോൺ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് വിമാനത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, ആംഗിൾ ശരിയാണെന്ന് പ്രഖ്യാപിക്കും (മുമ്പത്തെ നിർവചനം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഇവിടെ ബാധകമല്ല!). മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, നേർരേഖയ്ക്കും അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുമിടയിൽ ഒരു നിശിത കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ ഒരിക്കലും വലത് കോണിൽ കവിയരുത്. ഇവിടെ കോണിൻ്റെ അളവിനെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയെന്നും കോണിനെക്കുറിച്ചല്ല (തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്ഒരു നേർരേഖയുടെ തലത്തിലേക്കുള്ള ചെരിവിൻ്റെ അളവിനെക്കുറിച്ച്; രണ്ട് കിരണങ്ങളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപമെന്ന ആശയത്തിന് ഇവിടെ നേരിട്ട് ബന്ധമില്ല).

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരു നിശിത കോണിൻ്റെ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി കൂടി നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയും ഒരു തലത്തിൽ സാധ്യമായ എല്ലാ നേർരേഖകളും രൂപപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ കോണുകളിലും, തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ പ്രൊജക്ഷനോടുകൂടിയ കോണാണ് ഏറ്റവും ചെറുത്.

തെളിവ്. നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 342. a ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയായിരിക്കട്ടെ, വിമാനത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വിമാനം K ലെ ഏകപക്ഷീയമായ മറ്റൊരു വരയായിരിക്കട്ടെ (സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ അത് വിമാനവുമായി ലൈൻ a യുടെ കവലയിലെ പോയിൻ്റ് എ വഴി വരച്ചു). നമുക്ക് അതിനെ ഒരു നേരായ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഇടാം, അതായത്, ചെരിഞ്ഞ MA യുടെ അടിത്തറയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, എവിടെയാണ് ചെരിഞ്ഞ a യുടെ പോയിൻ്റുകളിലൊന്നിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ.

അപ്പോൾ ത്രികോണങ്ങളിൽ രണ്ട് വശങ്ങളും തുല്യമാണ്: വശം AM സാധാരണമാണ്, അവ നിർമ്മാണത്തിൽ തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ത്രികോണത്തിലെ മൂന്നാമത്തെ വശം ത്രികോണത്തിലെ മൂന്നാമത്തെ വശത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (ചെരിഞ്ഞ വശം ലംബമായതിനേക്കാൾ വലുതാണ്). ഇതിനർത്ഥം വിപരീത കോൺ b എന്നത് അനുബന്ധ കോണിനെക്കാൾ വലുതാണെന്നാണ് a b (ഖണ്ഡിക 217 കാണുക): , അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിലെ സാധ്യമായ എല്ലാ നേർരേഖകൾക്കും ഇടയിലുള്ള കോണുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറുത്.

ന്യായവും മറ്റും

സിദ്ധാന്തം. മൂർച്ചയുള്ള മൂലഒരു തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയ്‌ക്കിടയിലുള്ളതും ഈ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും ഈ നേർരേഖയ്ക്കും ചെരിഞ്ഞതിനും ഇടയിലുള്ള കോണിനേക്കാൾ കുറവാണ്.

തെളിവ്. വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയായിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 342), ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞിരിക്കുക, t വിമാനത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആയിരിക്കാം. ഞങ്ങൾ നേർരേഖയെ തലത്തിലേക്ക് ചെരിഞ്ഞതായി പരിഗണിക്കും, അത് സൂചിപ്പിച്ച തലത്തിലേക്ക് അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആയിരിക്കും, മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും: അതാണ് ഞങ്ങൾക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടത്. മൂന്ന് ലംബങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ഒരു തലത്തിലെ ഒരു നേർരേഖ ചരിഞ്ഞ പ്രൊജക്ഷന് ലംബമായിരിക്കുമ്പോൾ (കേസ് ഒരു നിശിതമല്ല, വലത് കോണാണ്), നേർരേഖയും ലംബമായിരിക്കും. ചരിഞ്ഞ ഒന്ന്; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകളും വലത് കോണുകളാണ്, അതിനാൽ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം.

നിർവ്വചനം. ഈ നേർരേഖയെ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും ഒരു തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ, അതിന് ലംബമല്ല, ഒരു നേർരേഖയും ഒരു തലത്തിലേക്ക് അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനും തമ്മിലുള്ള കോണാണ്.

ഈ തലത്തെ വിഭജിക്കുന്നതും അതിന് ലംബമല്ലാത്തതുമായ ഒരു തലം γ ഉം ഒരു വരയും നൽകട്ടെ.

നേർരേഖ a, പ്ലെയിൻ γ എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോൺ നിർമ്മിക്കാം:

1. നമുക്ക് സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏത് പോയിൻ്റിൽ നിന്നും, ഞങ്ങൾ തലം γ ലേക്ക് ലംബമായി താഴ്ത്തുന്നു;
2. ചെരിഞ്ഞതും ലംബവുമായ അടിത്തറയുടെ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നു b. ലൈൻ b എന്നത് ലൈൻ a വിമാനത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്;
3. നേർരേഖകൾ a, b എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള നിശിതകോണാണ് a നേർരേഖയും γ തലവും തമ്മിലുള്ള കോണാണ്, അതായത്. ∠(a;b)= ∠(a;γ), ഇവിടെ ∠(a;b) എന്നത് a, b എന്നീ വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണ്; ∠(a;γ) - a നേർരേഖയും തലം γ യും തമ്മിലുള്ള കോൺ.

കോർഡിനേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

3. ദിശ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും (a 1; b 1; c 1) സാധാരണ വെക്‌ടറും അറിയാമെങ്കിൽ
(a; b; c), തുടർന്ന് a നേർരേഖയും തലം γ യും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണക്കാക്കുന്നത് നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ഉരുത്തിരിയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ്.

നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്കറിയാം:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), അപ്പോൾ cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
(1) മുതൽ (2) => ; (3)
, m ഉം n ഉം വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ എവിടെയാണ്; (4)
ഞങ്ങൾ (4) (3) എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ∠(a;b)= ∠(a;γ), അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

4. സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഏത് തലവും സമവാക്യം നൽകാം

ax + by + cz + d = 0,

എ, ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങളിൽ കുറഞ്ഞത് ഒന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഗുണകങ്ങൾ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളായിരിക്കും, അതായത്. (എ; ബി; സി).

കോർഡിനേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയും ഒരു വിമാനവും അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു;
2. ഞങ്ങൾ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കുന്നു;
3. ദിശ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു;
4. വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക;
5. ഒരു നേർരേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു;
6. കോണിൻ്റെ മൂല്യം തന്നെ കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം:
1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ക്യൂബിൽ, AC 1 നേർരേഖയ്ക്കും BDD 1 എന്ന തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തുക..
പരിഹാരം:

1. പോയിൻ്റ് D-ൽ ഉത്ഭവം ഉള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം.
2. ദിശ വെക്റ്റർ എസി 1 ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം പോയിൻ്റ് എ, സി 1 എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക:
എ(0; 1; 0);
സി 1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. BB 1 D 1 വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത വിമാനത്തിൻ്റെ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, വിമാനത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം വരയ്ക്കുക:
ഡി(0; 0; 0);
ഡി 1 (0; 0; 1);
ബി(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:എ
x-y = 0.
അങ്ങനെ, BDD 1 വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്‌ടറിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്:
{1;-1; 0}.
4. നേർരേഖ AC 1-നും BDD 1-നും ഇടയിലുള്ള സൈൻ കണ്ടെത്തുക:

5. പ്രധാനമായത് ഉപയോഗിക്കാം ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റിനേർരേഖയായ AC 1-നും BDD 1-നും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തുക:

6. നേർരേഖ AC 1-നും BDD 1-നും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: .

2. ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജ പിരമിഡ് SABCD യിൽ, എല്ലാ അറ്റങ്ങളും 1 ന് തുല്യമാണ്, ലൈൻ BDക്കും പ്ലെയിൻ SBC യ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈൻ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

1. ബി പോയിൻ്റിലെ ഉത്ഭവത്തോടുകൂടിയ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം.
2. ദിശ വെക്റ്റർ BD യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം ബി, ഡി പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക:

3. SBC പ്ലെയിനിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത വിമാനത്തിൻ്റെ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, എസ്ബിസി തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

പോയിൻ്റ് എസ് ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ലഭിച്ചു?

പോയിൻ്റ് എസ് മുതൽ അടിസ്ഥാന തലം എബിസിയിലേക്ക് ഒരു ലംബമായി താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റിനെ O പോയിൻ്റ് ഒ എന്നത് എബിസി തലത്തിലേക്ക് എസ് പോയിൻ്റിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്. അതിൻ്റെ x, y കോർഡിനേറ്റുകൾ എസ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളായിരിക്കും.

പിരമിഡിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, പോയിൻ്റ് S ൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി (z അക്ഷത്തിൽ)

ത്രികോണം SOB ചതുരാകൃതിയിലാണ്, അതിനാൽ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

വിമാന സമവാക്യം ax+by+cz+d=0 ആണ്. പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം:

അങ്ങനെ, SBD വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്:

.
4. നേർരേഖയായ ബിഡിക്കും വിമാനം എസ്ബിഡിക്കും ഇടയിലുള്ള സൈൻ കണ്ടെത്തുക.