പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് പൊതുവായ ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക. ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം: എങ്ങനെ രചിക്കാം? വിമാന സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ബഹിരാകാശത്തെ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ബിന്ദുകളിലൂടെ ഒരൊറ്റ തലം വരയ്‌ക്കുന്നതിന്, ഈ പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ നേർരേഖയിൽ വരാതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ജനറൽ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുക.

ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് M(x, y, z) M 1, M 2, M 3 പോയിൻ്റുകളുള്ള അതേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നതിന്, വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

(
) = 0

അങ്ങനെ,

മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം:

വിമാനത്തിന് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും വെക്റ്റർ കോളിനിയറും നൽകിയിട്ടുള്ള ഒരു തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

പോയിൻ്റുകൾ M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2), വെക്റ്റർ എന്നിവ നൽകട്ടെ
.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളായ M 1, M 2 എന്നിവയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിനും വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ M (x, y, z) എന്ന അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിനും ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം. .

വെക്‌ടറുകൾ
വെക്‌ടറും
കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കണം, അതായത്.

(
) = 0

വിമാന സമവാക്യം:

ഒരു പോയിൻ്റും രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം,

വിമാനത്തിലേക്കുള്ള കോളിനിയർ.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നൽകട്ടെ
ഒപ്പം
, കോളിനിയർ വിമാനങ്ങൾ. അപ്പോൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റിന് M(x, y, z) വിമാനത്തിൽ പെടുന്നു, വെക്റ്ററുകൾ
കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കണം.

വിമാന സമവാക്യം:

പോയിൻ്റും സാധാരണ വെക്‌ടറും അനുസരിച്ച് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം .

സിദ്ധാന്തം. ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു പോയിൻ്റ് M നൽകിയാൽ 0 (എക്സ് 0 , വൈ 0 , z 0 ), തുടർന്ന് എം എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം 0 സാധാരണ വെക്റ്ററിന് ലംബമായി (എ, ബി, സി) ഫോം ഉണ്ട്:

എ(x – x 0 ) + ബി(വൈ – വൈ 0 ) + സി(z – z 0 ) = 0.

തെളിവ്. വിമാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിന് M(x, y, z) ഞങ്ങൾ ഒരു വെക്റ്റർ രചിക്കുന്നു. കാരണം വെക്റ്റർ സാധാരണ വെക്‌ടറാണ്, പിന്നെ അത് വിമാനത്തിന് ലംബമാണ്, അതിനാൽ വെക്‌ടറിന് ലംബമാണ്
. പിന്നെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം

= 0

അങ്ങനെ, നമുക്ക് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കും

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സെഗ്മെൻ്റുകളിലുള്ള ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

പൊതു സമവാക്യത്തിൽ Ax + Bi + Cz + D = 0 ആണെങ്കിൽ നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും (-D) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

,

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
, ഞങ്ങൾ സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നേടുന്നു:

a, b, c സംഖ്യകൾ യഥാക്രമം x, y, z അക്ഷങ്ങളുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാണ്.

വെക്റ്റർ രൂപത്തിലുള്ള ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

എവിടെ

- നിലവിലെ പോയിൻ്റിൻ്റെ ആരം വെക്റ്റർ M(x, y, z),

ലംബ ദിശയിലുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് ഒരു തലത്തിലേക്ക് വീഴുന്നു.

x, y, z അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ വെക്റ്റർ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണുകളാണ് , , .

p ആണ് ഈ ലംബത്തിൻ്റെ നീളം.

കോർഡിനേറ്റുകളിൽ, ഈ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം.

ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് M 0 (x 0, y 0, z 0) മുതൽ Ax+By+Cz+D=0 വിമാനത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം ഇതാണ്:

ഉദാഹരണം.ഈ തലത്തിലേക്ക് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് താഴേക്ക് പതിച്ച ലംബത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം P(4; -3; 12) ആണെന്ന് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

അതിനാൽ A = 4/13; ബി = -3/13; C = 12/13, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

A(x – x 0 ) + ബി(y - y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ഉദാഹരണം. P(2; 0; -1) എന്നീ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക

Q(1; -1; 3) വിമാനത്തിന് ലംബമായി 3x + 2y – z + 5 = 0.

വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ 3x + 2y – z + 5 = 0
ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം.എ (2, -1, 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക

B(3, 2, -1) വിമാനത്തിന് ലംബമായി എക്സ് + ചെയ്തത് + 2z – 3 = 0.

വിമാനത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: എ x+ബി വൈ+സി z+ D = 0, ഈ വിമാനത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ (എ, ബി, സി). വെക്റ്റർ
(1, 3, -5) വിമാനത്തിൻ്റേതാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയ വിമാനത്തിന്, ആവശ്യമുള്ളതിന് ലംബമായി, ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉണ്ട് (1, 1, 2). കാരണം എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ രണ്ട് തലങ്ങളുടേതാണ്, കൂടാതെ വിമാനങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബമാണ്

അതിനാൽ സാധാരണ വെക്റ്റർ (11, -7, -2). കാരണം പോയിൻ്റ് എ ആവശ്യമുള്ള തലത്തിൻ്റേതാണ്, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം, അതായത്. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

മൊത്തത്തിൽ, നമുക്ക് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കും: 11 x - 7വൈ – 2z – 21 = 0.

ഉദാഹരണം.ഈ തലത്തിലേക്ക് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് താഴേക്ക് പതിച്ച ലംബത്തിൻ്റെ അടിത്തറയാണ് P(4, -3, 12) എന്ന ബിന്ദുവാണെന്ന് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു
= (4, -3, 12). വിമാനത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: 4 x – 3വൈ + 12z+ D = 0. കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഡി കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് പിയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

16 + 9 + 144 + D = 0

മൊത്തത്തിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും: 4 x – 3വൈ + 12z – 169 = 0

ഉദാഹരണം. A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) പിരമിഡിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

എ 1 എ 2 എഡ്ജിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

A 1 A 2, A 1 A 4 എന്നീ അരികുകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

എ 1 എ 4 എഡ്ജും എ 1 എ 2 എ 3 മുഖവും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യം നമ്മൾ A 1 A 2 A 3 മുഖത്തേക്കുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുന്നു വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നമായി
ഒപ്പം
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

സാധാരണ വെക്‌ടറിനും വെക്‌ടറിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്താം
.

-4 – 4 = -8.

വെക്‌ടറിനും വിമാനത്തിനും ഇടയിലുള്ള ആവശ്യമുള്ള കോൺ  = 90 0 -  ന് തുല്യമായിരിക്കും.

മുഖത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം A 1 A 2 A 3 കണ്ടെത്തുക.

പിരമിഡിൻ്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുക.

A 1 A 2 A 3 വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

കമ്പ്യൂട്ടർ പതിപ്പ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ " ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സ്” നിങ്ങൾക്ക് പിരമിഡിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിപ്പിക്കാം.

പ്രോഗ്രാം ആരംഭിക്കാൻ, ഐക്കണിൽ ഇരട്ട-ക്ലിക്കുചെയ്യുക:

തുറക്കുന്ന പ്രോഗ്രാം വിൻഡോയിൽ, പിരമിഡിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകി എൻ്റർ അമർത്തുക. ഈ രീതിയിൽ, എല്ലാ തീരുമാന പോയിൻ്റുകളും ഓരോന്നായി ലഭിക്കും.

ശ്രദ്ധിക്കുക: പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്നതിന്, MapleV Release 4 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഏതൊരു പതിപ്പിൻ്റെയും Maple പ്രോഗ്രാം ( Waterloo Maple Inc.) നിങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടറിൽ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിരിക്കണം.

ബഹിരാകാശത്തെ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ബിന്ദുകളിലൂടെ ഒരൊറ്റ തലം വരയ്‌ക്കുന്നതിന്, ഈ പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ നേർരേഖയിൽ വരാതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ജനറൽ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുക.

ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് M(x, y, z) M 1, M 2, M 3 പോയിൻ്റുകളുള്ള അതേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നതിന്, വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 2.1.

ബഹിരാകാശത്തെ രണ്ട് വരികൾ ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നതും പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ അവയെ സമാന്തരമായി വിളിക്കുന്നു.

a, b എന്നീ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, പ്ലാനിമെട്രിയിലെന്നപോലെ, ഒരു || ബി. ബഹിരാകാശത്ത്, വരികൾ വിഭജിക്കാത്തതോ സമാന്തരമായോ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും. സ്റ്റീരിയോമെട്രിക്ക് ഈ കേസ് പ്രത്യേകമാണ്.

നിർവ്വചനം 2.2.

പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ലാത്തതും സമാന്തരമല്ലാത്തതുമായ വരികളെ ഇൻ്റർസെക്റ്റിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2.1.

തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം, ഒന്ന് മാത്രം.

25.ഒരു രേഖയും വിമാനവും തമ്മിലുള്ള സമാന്തരതയുടെ അടയാളം

സിദ്ധാന്തം

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു രേഖ ഈ തലത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, അത് വിമാനത്തിന് തന്നെ സമാന്തരമാണ്.

തെളിവ്

α ഒരു തലം ആയിരിക്കട്ടെ, അതിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു രേഖ, a1 എന്നത് α തലത്തിലെ ഒരു വരി a രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി. a, a1 എന്നീ വരികളിലൂടെ നമുക്ക് വിമാനം α1 വരയ്ക്കാം. α, α1 വിമാനങ്ങൾ a1 നേർരേഖയിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു. ഒരു വിഭജിച്ച തലം α ആണെങ്കിൽ, കവല പോയിൻ്റ് വരി a1-ൽ ഉൾപ്പെടും. എന്നാൽ ഇത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം a, a1 വരികൾ സമാന്തരമാണ്. തൽഫലമായി, ലൈൻ a തലം α ഛേദിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ α തലത്തിന് സമാന്തരമാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

27.തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു തലത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം

സിദ്ധാന്തം

തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിന് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ, തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു തലം വരയ്ക്കാൻ കഴിയും, ഒന്ന് മാത്രം.

തെളിവ്

ഈ തലത്തിൽ α ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ a, b എന്നിവ വരയ്ക്കാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് എ വഴി, അവയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഞങ്ങൾ a1, b1 വരികൾ വരയ്ക്കുന്നു. വിമാനങ്ങളുടെ സമാന്തരതയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, a1, b1 എന്നീ വരികളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന തലം β വിമാനത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

മറ്റൊരു തലം β1 പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് കരുതുക വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായിα. β തലത്തിൽ കിടക്കാത്ത ചില പോയിൻ്റ് C β1 തലത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം. എ, സി, പ്ലെയിനിൻ്റെ ചില പോയിൻ്റ് ബി എന്നിവയിലൂടെ നമുക്ക് γ തലം വരയ്ക്കാം. ഈ തലം α, β, β1 എന്നീ വിമാനങ്ങളെ b, a, c എന്നീ നേർരേഖകളിലൂടെ വിഭജിക്കും. a, c ലൈനുകൾ b രേഖയെ വിഭജിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവ α വിമാനത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, അവ ബി ലൈനിന് സമാന്തരമാണ്. എന്നാൽ γ തലത്തിൽ b രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായ ഒരു വരി മാത്രമേ പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകാൻ കഴിയൂ. അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമായത്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

28.സമാന്തര വിമാനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ th

29.

ബഹിരാകാശത്ത് ലംബ രേഖകൾ. ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് വരികൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ 90 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ ലംബമായി വിളിക്കുന്നു. സി. എം. കെ. കെ. എം. സി. കെ. വിഭജിക്കുന്നു. സങ്കരയിന പ്രജനനം.

സിദ്ധാന്തം 2 ലംബമായ രേഖകളുടെയും വിമാനങ്ങളുടെയും ആദ്യ പ്രോപ്പർട്ടി. ഒരു തലം രണ്ട് സമാന്തര രേഖകളിൽ ഒന്നിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, അത് മറ്റൊന്നിനും ലംബമാണ്.
തെളിവ്: a 1 ഉം a 2 - 2 ഉം സമാന്തര രേഖകളും a 1 രേഖയ്ക്ക് ലംബമായ ഒരു തലവും ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ തലം a 2 രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. നമുക്ക് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ നേർരേഖ x 2 വരയ്ക്കാം. പോയിൻ്റ് A 1 ലൂടെ നമുക്ക് വിമാനത്തിൽ വരയ്ക്കാം, വരി x 1 ലൈൻ x 2 ന് സമാന്തരമായി വരി a 1 ൻ്റെ വിഭജനം. ലൈൻ a 1 വിമാനത്തിന് ലംബമായതിനാൽ, a 1, x 1 വരികൾ ലംബമാണ്. സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, അവയ്ക്ക് സമാന്തരമായി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ, a 2, x 2 എന്നിവയും ലംബമാണ്. അങ്ങനെ, ലൈൻ a 2 വിമാനത്തിലെ ഏത് രേഖയ്ക്കും x 2 ലംബമാണ്. ഇതിൻ്റെ (നിർവചനപ്രകാരം) അർത്ഥമാക്കുന്നത് നേർരേഖ a 2 തലത്തിന് ലംബമാണെന്നാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. പിന്തുണാ ചുമതല നമ്പർ 2 കാണുക.
സിദ്ധാന്തം 3 ലംബമായ രേഖകളുടെയും വിമാനങ്ങളുടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി. ഒരേ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ്.
തെളിവ്: a, b എന്നിവ വിമാനത്തിന് ലംബമായി 2 നേർരേഖകളായിരിക്കട്ടെ. a, b വരികൾ സമാന്തരമല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. വിമാനത്തിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു പോയിൻ്റ് സി ബി ലൈനിൽ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. എ ലൈനിന് സമാന്തരമായി ബി 1 മുതൽ പോയിൻ്റ് സി വരെ ഒരു ലൈൻ വരയ്ക്കാം. സിദ്ധാന്തം 2 അനുസരിച്ച് ലൈൻ b 1 വിമാനത്തിന് ലംബമാണ്. B, B 1 എന്നിവ വിമാനവുമായി b, b 1 എന്നീ വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ BB 1 എന്ന നേർരേഖ വിഭജിക്കുന്ന വരികൾക്ക് b, b 1 എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണ്. കൂടാതെ ഇത് അസാധ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

33.ലംബമായി, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു തലത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് താഴ്ത്തുന്നത്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിനെ തലത്തിലെ ഒരു പോയിൻ്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതും തലത്തിന് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നതുമായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റാണ്. വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഈ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അവസാനം വിളിക്കുന്നു ലംബമായ അടിസ്ഥാനം.
ചായ്വുള്ളഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്നത്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിനെ തലത്തിന് ലംബമല്ലാത്ത ഒരു പോയിൻ്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും സെഗ്‌മെൻ്റാണ്. ഒരു വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ഭാഗത്തിൻ്റെ അവസാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ചെരിഞ്ഞ അടിസ്ഥാനം. ഒരേ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വരച്ച ഒരു ചെരിഞ്ഞ ഒന്നുമായി ലംബമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു. ചരിഞ്ഞ പ്രൊജക്ഷൻ.

AB α തലത്തിന് ലംബമാണ്.
എസി - ചരിഞ്ഞ, സിബി - പ്രൊജക്ഷൻ.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന

ഒരു ചെരിഞ്ഞ രേഖയുടെ അടിയിലൂടെ ഒരു തലത്തിൽ വരച്ച ഒരു നേർരേഖ അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷന് ലംബമാണെങ്കിൽ, അത് ചെരിഞ്ഞതിന് ലംബമായിരിക്കും.

തെളിവ്

അനുവദിക്കുക എബി- α വിമാനത്തിന് ലംബമായി, എ.സി.- ചായ്വുള്ളതും സി- പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന α തലത്തിലെ ഒരു നേർരേഖ സിപ്രൊജക്ഷന് ലംബമായും ബി.സി.. നമുക്ക് നേരിട്ട് ഉണ്ടാക്കാം സി.കെവരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി എബി. ഋജുവായത് സി.കെα വിമാനത്തിന് ലംബമാണ് (അത് സമാന്തരമായതിനാൽ എബി), അതിനാൽ ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും നേർരേഖ, അതിനാൽ, സി.കെഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സി. നമുക്ക് സമാന്തര വരകളിലൂടെ വരയ്ക്കാം എബിഒപ്പം സി.കെതലം β (സമാന്തരരേഖകൾ ഒരു വിമാനത്തെ നിർവചിക്കുന്നു, ഒന്ന് മാത്രം). ഋജുവായത് സിβ തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾക്ക് ലംബമായി, ഇത് ബി.സി.വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് ഒപ്പം സി.കെനിർമ്മാണം വഴി, ഇത് ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതായത് ഇത് രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ് എ.സി..

ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക. അവയുടെ റേഡിയസ് വെക്‌ടറുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നിലവിലെ ആരം വെക്‌ടറിനെ വെക്‌റ്റർ രൂപത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കണം (അവയെല്ലാം ആവശ്യമുള്ള തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു). അതിനാൽ, ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ-സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വെക്റ്റർ രൂപത്തിൽ മൂന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണിത്.

കോർഡിനേറ്റുകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, നമുക്ക് കോർഡിനേറ്റുകളിൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ രേഖയിലാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിലെ (18) ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ അവസാന രണ്ട് വരികളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ആനുപാതികവും ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവും ആയിരിക്കും. തൽഫലമായി, x, y, z എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും സമവാക്യം (18) സമാനമാകും. ജ്യാമിതീയമായി, ഇതിനർത്ഥം ബഹിരാകാശത്തെ ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ കിടക്കുന്ന ഒരു തലം കടന്നുപോകുന്നു എന്നാണ്.

പരാമർശം 1. വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ ഇതേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളെ യഥാക്രമം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ആദ്യ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏതെങ്കിലും തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ എഴുതും:

ആവശ്യമുള്ള തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, മറ്റ് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം (17) തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് (19), രണ്ട് ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം മൂന്നാമത്തേത് നിർണ്ണയിക്കുകയും കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നൽകുകയും വേണം (17).

ഉദാഹരണം 1. പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ ആദ്യത്തേതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും:

വിമാനം (17) മറ്റ് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെയും ആദ്യത്തെ പോയിൻ്റിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ ഇവയാണ്:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേതിലേക്ക് ചേർത്താൽ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എ, ബി, സി, യഥാക്രമം, 1, 5, -4 (അവയ്ക്ക് ആനുപാതികമായ സംഖ്യകൾ) എന്നതിന് പകരം സമവാക്യം (17) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏതൊരു വിമാനത്തിൻ്റെയും സമവാക്യം (0, 0, 0) ഇതായിരിക്കും]

(1, 1, 1), (2, 2, 2) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഈ വിമാനം കടന്നുപോകുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ ഇവയാണ്:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം 2 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളെ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് വിമാനത്തിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:

ഇത് ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്; അത് ഏകപക്ഷീയമായതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു

അളവുകൾ B, C (അതായത്, ബന്ധത്തിൽ നിന്ന്, അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ അനന്തമായ എണ്ണം വിമാനങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു (നൽകിയ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ നേർരേഖയിലാണ്).

പരാമർശം 2. ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഒരു വിമാനം വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും പൊതുവായ കാഴ്ച, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ. തീർച്ചയായും, സമവാക്യങ്ങളിൽ (17), (19) എ, ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഈ സമവാക്യങ്ങളെ മൂന്ന് അജ്ഞാതരായ എ, ബി, സി ഉള്ള ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റമായി കണക്കാക്കി, ആവശ്യമായതും മതിയായ അവസ്ഥഈ സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം (ഭാഗം 1, അധ്യായം VI, § 6):

ഈ ഡിറ്റർമിനൻ്റിനെ ആദ്യ വരിയുടെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വികസിപ്പിച്ച ശേഷം, നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമവാക്യം നേടുന്നു, അത് നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ തൃപ്തിപ്പെടും.

എന്നതിന് പകരം ഈ പോയിൻ്റുകളിലേതെങ്കിലും കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് നേരിട്ട് പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ഇടത് വശത്ത് നമുക്ക് ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ലഭിക്കും, അതിൽ ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളോ രണ്ട് സമാന വരികളോ ആണ്. അങ്ങനെ, നിർമ്മിച്ച സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു തലത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ മെറ്റീരിയലിൽ, ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നോക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം എന്താണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം അവതരിപ്പിക്കുകയും നിർദ്ദിഷ്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് കാണിക്കുകയും ചെയ്യും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ആദ്യം, നമ്മൾ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

നിർവ്വചനം 1

മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ പരസ്പരം യോജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു വിമാനം മാത്രമേ അവയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടാത്തതും ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകൾ നമുക്കുണ്ടെങ്കിൽ, അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നമുക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. നമുക്ക് ഇത് O x y z എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള M എന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നേർരേഖ. ഈ വ്യവസ്ഥകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് രണ്ട് സമീപനങ്ങളുണ്ട്.

1. ആദ്യ സമീപനം പൊതു തലം സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അക്ഷരരൂപത്തിൽ, A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യം നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് M 1 (x 1, y 1, z 1) വഴി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ആൽഫ തലം നിർവചിക്കാം. α വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിന് എ, ബി, സി കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

എൻ എന്നതിൻ്റെ നിർവ്വചനം

സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും വിമാനം കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും അറിയുന്നതിലൂടെ, ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമവാക്യം നമുക്ക് എഴുതാം.

ഭാവിയിൽ നമ്മൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നത് ഇതാണ്.

അങ്ങനെ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച്, വിമാനം കടന്നുപോകുന്ന ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റിൻ്റെ (മൂന്ന് പോലും) കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്കുണ്ട്. സമവാക്യം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് അത് n → സൂചിപ്പിക്കാം.

നമുക്ക് നിയമം ഓർമ്മിക്കാം: തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏത് വെക്‌ടറും അതേ തലത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിന് ലംബമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് n → യഥാർത്ഥ പോയിൻ്റുകൾ M 1 M 2 →, M 1 M 3 → എന്നിവ ചേർന്ന വെക്റ്ററുകൾക്ക് ലംബമായിരിക്കും. അപ്പോൾ നമുക്ക് M 1 M 2 → · M 1 M 3 → ഫോമിൻ്റെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായി n → സൂചിപ്പിക്കാം.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) കൂടാതെ M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (ഈ സമത്വങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ലേഖനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു), തുടർന്ന് ഇത് മാറുന്നു:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - 1

ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ n → കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കും. നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് ആവശ്യമായ സമവാക്യം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എഴുതാം.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) എന്നിവയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ സമീപനം വെക്റ്ററുകളുടെ കോപ്ലനാരിറ്റി പോലുള്ള ഒരു ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

നമുക്ക് M (x, y, z) പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ അവർ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾക്കായി ഒരു തലം നിർവ്വചിക്കുന്നു M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) വെക്‌ടറുകൾ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) കൂടാതെ M 1 M 3  → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) എന്നിവ കോപ്ലനാർ ആയിരിക്കും .

ഡയഗ്രാമിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → വെക്‌ടറുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , കോപ്ലനാരിറ്റിയുടെ പ്രധാന വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) കൂടാതെ M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം നമുക്ക് കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കിയ ശേഷം, M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ഒരേ നേർരേഖയിൽ വരാത്ത മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾക്ക് ആവശ്യമായ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സെഗ്മെൻ്റുകളിലുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്കോ വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ സമവാക്യത്തിലേക്കോ പോകാം.

അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച സമീപനങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ നടപ്പിലാക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും.

3 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

മുമ്പ്, ആവശ്യമുള്ള സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കാവുന്ന രണ്ട് സമീപനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു. പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ അവ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും നിങ്ങൾ ഓരോന്നും എപ്പോൾ തിരഞ്ഞെടുക്കണമെന്നും നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുണ്ട്. അവയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ രണ്ട് രീതികളും മാറിമാറി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1. നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

ഇനി നമുക്ക് അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നില്ല:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉണ്ട്: n → = (- 5, 30, 2) . അടുത്തതായി, നമുക്ക് പോയിൻ്റുകളിലൊന്ന് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, M 1 (- 3, 2, - 1), കൂടാതെ വെക്റ്റർ n → = (- 5, 30, 2) ഉപയോഗിച്ച് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക. നമുക്ക് ഇത് ലഭിക്കുന്നു: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് ആവശ്യമായ സമവാക്യമാണിത്.

2. നമുക്ക് മറ്റൊരു സമീപനം സ്വീകരിക്കാം. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) എന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുള്ള ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് എഴുതാം. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ പകരം വയ്ക്കാം. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു.

ഉത്തരം:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

എന്നാൽ തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഇപ്പോഴും ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കുകയും അവയ്‌ക്കായി ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഈ അവസ്ഥ പൂർണ്ണമായും ശരിയാകില്ലെന്ന് ഇവിടെ ഉടനടി പറയണം. അനന്തമായ എണ്ണം വിമാനങ്ങൾക്ക് അത്തരം പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ഒരൊറ്റ ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ചോദ്യത്തിൻ്റെ അത്തരമൊരു രൂപീകരണത്തിൻ്റെ തെറ്റ് തെളിയിക്കാൻ അത്തരമൊരു പ്രശ്നം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉണ്ട്, അതിൽ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. , 1) . അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് ആദ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കുകയും M 1 M 2 →, M 1 M 3 → എന്നീ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കി ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്യാം. നമുക്ക് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കാം: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → ആയതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആയിരിക്കും (ഈ ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം നിങ്ങൾ മറന്നെങ്കിൽ അവയെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനം വീണ്ടും വായിക്കുക). അങ്ങനെ, പ്രാരംഭ പോയിൻ്റുകൾ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) ഒരേ വരിയിലാണ്, കൂടാതെ ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിന് അനന്തമായി നിരവധിയുണ്ട്. ഓപ്ഷനുകൾ ഉത്തരം.

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയിൽ നിന്ന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) എന്നിവ ഒരേ വരിയിലാണെന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അനന്തമായ ഓപ്‌ഷനുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ഉത്തരമെങ്കിലും കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 അല്ലെങ്കിൽ M 2 M 3 എന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഈ പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മെറ്റീരിയൽ നോക്കുക).

2. M 1 M 2 എന്ന നേർരേഖയിൽ വരാത്ത ഒരു പോയിൻ്റ് M 4 (x 4, y 4, z 4) എടുക്കുക.

3. ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത M 1, M 2, M 4 എന്നീ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക