4-ന് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ? നിങ്ങൾ സന്തോഷം കൊണ്ട് പൊട്ടിത്തെറിക്കുന്നില്ലേ?

ചോദ്യം, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, രസകരമാണ് ... ഇത് സാധ്യമാണ്, ഒരു 4 കൊണ്ട് കടന്നുപോകാൻ കഴിയും! ഒപ്പം പൊട്ടിത്തെറിക്കാതിരിക്കാനും... പതിവായി വ്യായാമം ചെയ്യുക എന്നതാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള അടിസ്ഥാന തയ്യാറെടുപ്പ് ഇതാ. പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ വായിക്കാത്ത ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ എല്ലാ രഹസ്യങ്ങളും നിഗൂഢതകളും ഉപയോഗിച്ച്... ഈ വിഭാഗം പഠിക്കുക, ഇതിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുക വിവിധ ഉറവിടങ്ങൾ- എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കും! അടിസ്ഥാന വിഭാഗം "നിങ്ങൾക്ക് എ സി മതി!" അത് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രശ്നവും ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ പെട്ടെന്ന് ... ലിങ്കുകൾ പിന്തുടരുക, അലസമായിരിക്കരുത്!

മഹത്തായതും ഭയങ്കരവുമായ ഒരു വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും.

ത്രികോണമിതി

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക വകുപ്പ് 555-ലെ സാമഗ്രികൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

ഈ വിഷയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വളരെയധികം പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഇത് ഏറ്റവും കഠിനമായ ഒന്നായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സൈനും കോസൈനും എന്താണ്? ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണ്? എന്താണ് ഒരു നമ്പർ സർക്കിൾ?നിങ്ങൾ ഈ നിരുപദ്രവകരമായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുമ്പോൾ, ആ വ്യക്തി വിളറിയതായി മാറുകയും സംഭാഷണം വഴിതിരിച്ചുവിടാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ... പക്ഷേ വെറുതെയായി. ഇവ ലളിതമായ ആശയങ്ങളാണ്. ഈ വിഷയം മറ്റുള്ളവരെക്കാൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല. ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് വളരെ പ്രധാനപെട്ടതാണ്. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി ഇഷ്ടപ്പെടും. അതിനാൽ,

സൈനും കോസൈനും എന്താണ്? ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണ്?

നമുക്ക് പുരാതന കാലം മുതൽ ആരംഭിക്കാം. വിഷമിക്കേണ്ട, ഏകദേശം 15 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഞങ്ങൾ 20 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ത്രികോണമിതിയിലൂടെ കടന്നുപോകും. കൂടാതെ, അത് ശ്രദ്ധിക്കാതെ, എട്ടാം ക്ലാസിലെ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു ഭാഗം ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും.

വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം വരയ്ക്കാം എ, ബി, സികോണും എക്സ്. ഇവിടെ ഇതാ.

ഒരു വലത് കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. എ, സി- കാലുകൾ. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്. ശേഷിക്കുന്ന വശത്തെ ഹൈപ്പോടെനസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടെ- ഹൈപ്പോടെനസ്.

ത്രികോണവും ത്രികോണവും, ചിന്തിക്കൂ! അവനെ എന്തു ചെയ്യണം? എന്നാൽ പുരാതന ആളുകൾക്ക് എന്തുചെയ്യണമെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു! നമുക്ക് അവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. നമുക്ക് വശം അളക്കാം വി. ചിത്രത്തിൽ, സെല്ലുകൾ പ്രത്യേകമായി വരച്ചിരിക്കുന്നു ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ അസൈൻമെൻ്റുകൾഅത് സംഭവിക്കുന്നു. വശം വിനാല് സെല്ലുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. ശരി. നമുക്ക് വശം അളക്കാം എ.മൂന്ന് സെല്ലുകൾ.

ഇനി നമുക്ക് വശത്തിൻ്റെ നീളം വിഭജിക്കാം എഓരോ വശവും നീളം വി. അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, നമുക്ക് മനോഭാവം എടുക്കാം എലേക്ക് വി. a/v= 3/4.

നേരെമറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാം വിഓൺ എ.നമുക്ക് 4/3 ലഭിക്കും. കഴിയും വിവിഭജിക്കുക കൂടെ.ഹൈപ്പോടെനസ് കൂടെസെല്ലുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, പക്ഷേ ഇത് 5 ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത്= 4/5. ചുരുക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വശങ്ങളുടെ നീളം പരസ്പരം വിഭജിച്ച് കുറച്ച് സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും.

അതുകൊണ്ട്? ഈ രസകരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതുവരെ ഒന്നുമില്ല. വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത ഒരു വ്യായാമം.)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ത്രികോണം വലുതാക്കാം. നമുക്ക് വശങ്ങൾ നീട്ടാം അകത്തും കൂടെ, എന്നാൽ അങ്ങനെ ത്രികോണം ദീർഘചതുരാകൃതിയിൽ തുടരുന്നു. കോർണർ എക്സ്, തീർച്ചയായും, മാറില്ല. ഇത് കാണുന്നതിന്, ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക, അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ സ്പർശിക്കുക (നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടാബ്‌ലെറ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ). പാർട്ടികൾ എ, ബി, സിആയി മാറും m, n, k, കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, വശങ്ങളുടെ നീളം മാറും.

എന്നാൽ അവരുടെ ബന്ധം അങ്ങനെയല്ല!

മനോഭാവം a/vആയിരുന്നു: a/v= 3/4, ആയി m/n= 6/8 = 3/4. മറ്റ് പ്രസക്തമായ കക്ഷികളുടെ ബന്ധങ്ങളും മാറില്ല . നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടാനുസരണം വശങ്ങളുടെ നീളം മാറ്റാം. മട്ട ത്രികോണം, കൂട്ടുക കുറക്കുക, ആംഗിൾ x മാറ്റാതെ – ബന്ധപ്പെട്ട കക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം മാറില്ല . നിങ്ങൾക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ പുരാതന ആളുകളുടെ വാക്ക് നിങ്ങൾക്ക് എടുക്കാം.

എന്നാൽ ഇത് ഇതിനകം വളരെ പ്രധാനമാണ്! ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം വശങ്ങളുടെ നീളത്തെ (ഒരേ കോണിൽ) ഒരു തരത്തിലും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, പാർട്ടികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക പേര് നേടിയിട്ടുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ പേരുകൾ, സംസാരിക്കാൻ.) എന്നെ കണ്ടുമുട്ടുക.

ആംഗിൾ x ൻ്റെ സൈൻ എന്താണ് ? ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ എതിർവശത്തിൻ്റെ അനുപാതം ഇതാണ്:

sinx = a/c

x കോണിൻ്റെ കോസൈൻ എന്താണ് ? തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതം ഇതാണ്:

കൂടെosx= ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത്

എന്താണ് ടാൻജെൻ്റ് x ? എതിർവശവും തൊട്ടടുത്ത വശവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഇതാണ്:

tgx =a/v

ആംഗിൾ x ൻ്റെ കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്താണ് ? തൊട്ടടുത്തുള്ള വശത്തിൻ്റെ വിപരീത അനുപാതം ഇതാണ്:

ctgx = v/a

എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. Sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്. അളവില്ലാത്ത. വെറും അക്കങ്ങൾ. ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ ഉണ്ട്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ എല്ലാം വിരസമായി ആവർത്തിക്കുന്നത്? പിന്നെ എന്താ ഇത് ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ എളുപ്പമാക്കാം. "നമുക്ക് ദൂരെ നിന്ന് തുടങ്ങാം..." എന്ന വാചകം പരിചിതമാണോ? അതിനാൽ ദൂരെ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക.

സൈനസ്ആംഗിൾ ഒരു അനുപാതമാണ് അകലെലെഗ് ആംഗിളിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെൻസസ് വരെ. കോസൈൻ- അയൽക്കാരൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതം.

ടാൻജെൻ്റ്ആംഗിൾ ഒരു അനുപാതമാണ് അകലെലെഗ് കോണിൽ നിന്ന് അടുത്തുള്ള ഒന്ന് വരെ. കോട്ടാൻജെൻ്റ്- വിപരീതമായി.

ഇത് എളുപ്പമാണ്, അല്ലേ?

ശരി, ടാൻജെൻ്റിലും കോട്ടാൻജെൻ്റിലും കാലുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂവെന്നും സൈനിലും കോസൈനിലും ഹൈപ്പോടെനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുവെന്നും നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാകും.

ഈ മഹത്തായ കുടുംബത്തെ - സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നും വിളിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കേണ്ട ഒരു ചോദ്യം.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്ന് പറയുന്നത് മൂലയോ?കക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത്, അതുമായി എന്താണ് ബന്ധം? മൂലയോ?

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം നോക്കാം. ആദ്യത്തേതിന് സമാനമാണ്.

ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ നിങ്ങളുടെ മൗസ് ഹോവർ ചെയ്യുക. ഞാൻ ആംഗിൾ മാറ്റി എക്സ്. മുതൽ വർദ്ധിപ്പിച്ചു x മുതൽ x വരെ.എല്ലാ ബന്ധങ്ങളും മാറി! മനോഭാവം a/v 3/4 ആയിരുന്നു, അനുബന്ധ അനുപാതം t/v 6/4 ആയി.

മറ്റെല്ലാ ബന്ധങ്ങളും വ്യത്യസ്തമായി!

അതിനാൽ, വശങ്ങളുടെ അനുപാതങ്ങൾ അവയുടെ നീളത്തെ (ഒരു കോണിൽ x) ഒരു തരത്തിലും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ ഈ കോണിനെ കുത്തനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു! അവനിൽ നിന്ന് മാത്രം.അതിനാൽ, sine, cosine, tangent, cotangent എന്നീ പദങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു മൂല.ഇവിടെ കോണാണ് പ്രധാനം.

കോൺ അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം. ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ സൈനും കോസൈനും ഉണ്ട്. മിക്കവാറും എല്ലാവർക്കും അവരുടേതായ ടാൻജെൻ്റും കോട്ടാൻജെൻ്റും ഉണ്ട്.അതു പ്രധാനമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ആംഗിൾ നൽകിയാൽ, അതിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾക്കറിയാം ! തിരിച്ചും. ഒരു സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയാൽ, അതിനർത്ഥം നമുക്ക് ആംഗിൾ അറിയാം എന്നാണ്.

ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ വിവരിക്കുന്ന പ്രത്യേക പട്ടികകളുണ്ട്. അവയെ ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ വളരെക്കാലം മുമ്പ് സമാഹരിച്ചതാണ്. കാൽക്കുലേറ്ററോ കമ്പ്യൂട്ടറോ ഇല്ലാതിരുന്ന കാലത്ത്...

തീർച്ചയായും, എല്ലാ കോണുകളുടെയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓർക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. കുറച്ച് ആംഗിളുകൾക്കായി മാത്രം നിങ്ങൾ അവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് കൂടുതൽ. എന്നാൽ മന്ത്രവാദം എനിക്ക് ഒരു ആംഗിൾ അറിയാം, അതിനർത്ഥം അതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ എനിക്കറിയാം” -എപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കുന്നു!

അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ നിന്ന് ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു ഭാഗം ആവർത്തിച്ചു. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമുണ്ടോ? അത്യാവശ്യം. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം ഇതാ. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, എട്ടാം ക്ലാസ് മതി. നൽകിയ ചിത്രം:

എല്ലാം. കൂടുതൽ ഡാറ്റ ഇല്ല. വിമാനത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

കോശങ്ങൾ കാര്യമായി സഹായിക്കുന്നില്ല, ത്രികോണം എങ്ങനെയോ തെറ്റായി സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.... ഉദ്ദേശ്യത്തോടെ, ഞാൻ ഊഹിക്കുന്നു... വിവരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം ഉണ്ട്. 8 സെല്ലുകൾ. ചില കാരണങ്ങളാൽ, ആംഗിൾ നൽകി.

ഇവിടെയാണ് നിങ്ങൾ ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ച് ഉടനടി ഓർമ്മിക്കേണ്ടത്. ഒരു കോണുണ്ട്, അതായത് അതിൻ്റെ എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും നമുക്ക് അറിയാം. നാല് ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഏതാണ് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? നമുക്ക് നോക്കാം, നമുക്ക് എന്തറിയാം? ഹൈപ്പോടെനസും കോണും നമുക്കറിയാം, പക്ഷേ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് തൊട്ടടുത്തുള്ളഈ മൂലയിലേക്ക് കത്തീറ്റർ! ഇത് വ്യക്തമാണ്, കോസൈൻ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്! ഇവിടെ നമ്മൾ ആരംഭിക്കുന്നു. കോസൈൻ (അനുപാതം തൊട്ടടുത്തുള്ളകാൽ മുതൽ ഹൈപ്പോടെൻസസ്):

cosC = BC/8

ഞങ്ങളുടെ ആംഗിൾ സി 60 ഡിഗ്രിയാണ്, അതിൻ്റെ കോസൈൻ 1/2 ആണ്. പട്ടികകളൊന്നുമില്ലാതെ നിങ്ങൾ ഇത് അറിയേണ്ടതുണ്ട്! അതാണ്:

1/2 = BC/8

പ്രാഥമിക രേഖീയ സമവാക്യം. അജ്ഞാതം - സൂര്യൻ. സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മറന്നവർ, ലിങ്ക് നോക്കുക, ബാക്കിയുള്ളവർ പരിഹരിക്കുക:

BC = 4

ഓരോ കോണിനും അതിൻ്റേതായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് പുരാതന ആളുകൾ മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ, അവർക്ക് ന്യായമായ ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരുന്നു. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെയെങ്കിലും പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടതാണോ?ഒരു ആംഗിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ അറിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റുള്ളവ കണ്ടെത്താനാകുമോ? ആംഗിൾ തന്നെ കണക്കാക്കാതെ?

അവർ വളരെ അസ്വസ്ഥരായിരുന്നു...)

ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.

തീർച്ചയായും, ഒരേ കോണിലെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പദപ്രയോഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഏത് ബന്ധവും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഫോർമുലകളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ത്രികോണമിതിയിൽ ധാരാളം സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്. എന്നാൽ ഇവിടെ നമ്മൾ ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായവ നോക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു: അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ.അവ ഇതാ:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ നന്നായി അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അവയില്ലാതെ ത്രികോണമിതിയിൽ പൊതുവെ ഒന്നും ചെയ്യാനില്ല. ഈ അടിസ്ഥാന ഐഡൻ്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സഹായ ഐഡൻ്റിറ്റികൾ കൂടി പിന്തുടരുന്നു:

അവസാനത്തെ മൂന്ന് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ഓർമ്മയിൽ നിന്ന് പെട്ടെന്ന് വീഴുമെന്ന് ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുന്നു. ചില കാരണങ്ങളാൽ.) തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം ആദ്യത്തെ മൂന്ന്. പക്ഷേ, ഇൻ കഠിനമായ സമയം... നീ മനസ്സിലാക്കുന്നു.)

സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ചുവടെയുള്ളത് പോലെ, മറക്കാവുന്ന ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഒരു മാർഗമുണ്ട്. ഒപ്പം പിശകുകൾ നാടകീയമായി കുറയ്ക്കുകമറവി കാരണം, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും. "ഒരേ കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ" എന്ന പാഠഭാഗം 555-ൽ ഈ സമ്പ്രദായമുണ്ട്.

ഏത് ജോലികളിലാണ് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്? മറ്റൊന്ന് നൽകിയാൽ ചില ആംഗിൾ ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ടാസ്ക്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ അത്തരമൊരു ചുമതല വർഷം തോറും ഉണ്ട്.) ഉദാഹരണത്തിന്:

x ഒരു നിശിതകോണും cosx=0.8 ഉം ആണെങ്കിൽ sinx ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ചുമതല ഏതാണ്ട് പ്രാഥമികമാണ്. സൈനും കോസൈനും അടങ്ങുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്. ഫോർമുല ഇതാ:

sin 2 x + cos 2 x = 1

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത് കോസൈന് പകരം 0.8:

sin 2 x + 0.8 2 = 1

ശരി, ഞങ്ങൾ പതിവുപോലെ കണക്കാക്കുന്നു:

sin 2 x + 0.64 = 1

sin 2 x = 1 - 0.64

പ്രായോഗികമായി അത്രമാത്രം. ഞങ്ങൾ സൈനിൻ്റെ വർഗ്ഗം കണക്കാക്കി, സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ഉത്തരം തയ്യാറാണ്! 0.36 ൻ്റെ റൂട്ട് 0.6 ആണ്.

ചുമതല ഏതാണ്ട് പ്രാഥമികമാണ്. എന്നാൽ "ഏകദേശം" എന്ന വാക്ക് ഒരു കാരണത്താലാണ്... sinx= - 0.6 എന്ന ഉത്തരവും അനുയോജ്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത... (-0.6) 2 ഉം 0.36 ആയിരിക്കും.

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഒരെണ്ണം വേണം. രണ്ടാമത്തേത് തെറ്റാണ്. എങ്ങനെയാകണം!? അതെ, പതിവുപോലെ.) അസൈൻമെൻ്റ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക. ചില കാരണങ്ങളാൽ അത് പറയുന്നു:... x ഒരു നിശിത കോണാണെങ്കിൽ...ടാസ്‌ക്കുകളിൽ, ഓരോ വാക്കിനും ഒരു അർത്ഥമുണ്ട്, അതെ... ഈ പദപ്രയോഗം പരിഹാരത്തിനുള്ള അധിക വിവരമാണ്.

90°യിൽ താഴെയുള്ള കോണാണ് നിശിതകോണം. അത്തരം കോണുകളിലും എല്ലാംത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ - സൈൻ, കോസൈൻ, കോട്ടാൻജെൻ്റോടുകൂടിയ ടാൻജെൻ്റ് - പോസിറ്റീവ്.ആ. ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നെഗറ്റീവ് ഉത്തരം നിരസിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

യഥാർത്ഥത്തിൽ, എട്ടാം ക്ലാസ്സുകാർക്ക് അത്തരം സൂക്ഷ്മതകൾ ആവശ്യമില്ല. അവ വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ, അവിടെ കോണുകൾ നിശിതമായിരിക്കും. അവർക്കറിയില്ല, സന്തോഷമുള്ളവരേ, നെഗറ്റീവ് കോണുകളും 1000° കോണുകളും ഉണ്ടെന്ന്... കൂടാതെ ഈ ഭയങ്കരമായ കോണുകൾക്കെല്ലാം അതിൻ്റേതായ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുണ്ട്, പ്ലസ്, മൈനസ്...

എന്നാൽ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്, അടയാളം കണക്കിലെടുക്കാതെ - ഒരു വഴിയുമില്ല. വളരെയധികം അറിവ് ദുഃഖങ്ങളെ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, അതെ...) കൂടാതെ ശരിയായ തീരുമാനംചുമതലയിൽ അധിക വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കണം (ആവശ്യമെങ്കിൽ). ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രിയിലൂടെ ഇത് നൽകാം:

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും വഴി. ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ കാണും.) അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് തന്നിരിക്കുന്ന ആംഗിൾ x ഏത് പാദത്തിൽ പതിക്കുന്നു, ഈ പാദത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന് എന്ത് അടയാളമുണ്ട്?

ത്രികോണമിതിയുടെ ഈ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എന്താണ് ത്രികോണമിതി വൃത്തം, ഈ വൃത്തത്തിലെ കോണുകളുടെ അളവ്, ഒരു കോണിൻ്റെ റേഡിയൻ അളവ് എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ സൈനുകളുടെ പട്ടിക, ടാൻജെൻ്റുകളുടെ കോസൈനുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാം:

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

1. sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഓർക്കുക. അത് വളരെ ഉപകാരപ്രദമായിരിക്കും.

2. ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ കോണുകളുമായി ശക്തമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒന്ന് അറിയാം, അതായത് മറ്റൊന്ന് അറിയാം.

3. ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു: ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റികളാൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അറിയാം, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾക്ക് (ആവശ്യമായ അധിക വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ) മറ്റുള്ളവയെല്ലാം കണക്കാക്കാം.

ഇനി സാധാരണ പോലെ തീരുമാനിക്കാം. ആദ്യം, എട്ടാം ക്ലാസ്സിൻ്റെ പരിധിയിലുള്ള ജോലികൾ. എന്നാൽ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും ...)

1. ctgA = 0.4 ആണെങ്കിൽ tgA യുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

2. β എന്നത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണാണ്. sinβ = 12/13 ആണെങ്കിൽ tanβ ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

3. സൈൻ നിർവ്വചിക്കുക ന്യൂനകോണ് x എങ്കിൽ tgх = 4/3.

4. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

(1-cosx)(1+cosx), sinx = 0.3 ആണെങ്കിൽ

ഉത്തരങ്ങൾ (അർദ്ധവിരാമങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ക്രമരഹിതമായി):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

സംഭവിച്ചത്? കൊള്ളാം! എട്ടാം ക്ലാസുകാർക്ക് അവരുടെ എ കൾ എടുക്കാൻ ഇതിനകം പോകാം.)

എല്ലാം ശരിയായില്ലേ? ടാസ്‌ക്കുകൾ 2 ഉം 3 ഉം എങ്ങനെയോ അത്ര നല്ലതല്ല...? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! അത്തരം ജോലികൾക്കായി ഒരു മനോഹരമായ സാങ്കേതികതയുണ്ട്. സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ലാതെ എല്ലാം പ്രായോഗികമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അതിനാൽ, പിശകുകളില്ലാതെ. സെക്ഷൻ 555 ലെ "ഒരു കോണിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം" എന്ന പാഠത്തിൽ ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. മറ്റെല്ലാ ജോലികളും അവിടെയാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ പോലെയുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളായിരുന്നു ഇവ, എന്നാൽ ഒരു സ്ട്രിപ്പ്-ഡൗൺ പതിപ്പിൽ. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ - വെളിച്ചം). ഇപ്പോൾ ഏതാണ്ട് സമാന ജോലികൾ, പക്ഷേ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഫോർമാറ്റിൽ. വിജ്ഞാനഭാരമുള്ള ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്.)

6. sinβ = 12/13 ആണെങ്കിൽ tanβ ൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക, ഒപ്പം

7. tgх = 4/3 ആണെങ്കിൽ sinх നിർണ്ണയിക്കുക, കൂടാതെ x ഇടവേളയിൽ (- 540°; - 450°) പെടുന്നു.

8. ctgβ = 1 ആണെങ്കിൽ sinβ cosβ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ):

0,8; 0,5; -2,4.

ഇവിടെ പ്രശ്നം 6-ൽ ആംഗിൾ വളരെ വ്യക്തമായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല... എന്നാൽ പ്രശ്നം 8-ൽ അത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല! ഇത് ഉദ്ദേശ്യത്തോടെയാണ്). അധിക വിവരങ്ങൾ ടാസ്ക്കിൽ നിന്ന് മാത്രമല്ല, തലയിൽ നിന്നും എടുക്കുന്നു.) എന്നാൽ നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ശരിയായ ടാസ്ക് ഉറപ്പാണ്!

തീരുമാനിച്ചില്ലെങ്കിലോ? ഹും... ശരി, സെക്ഷൻ 555 ഇവിടെ സഹായിക്കും. അവിടെ ഈ ജോലികൾക്കെല്ലാം പരിഹാരങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു, മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഈ പാഠം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് വളരെ പരിമിതമായ ധാരണ നൽകുന്നു. എട്ടാം ക്ലാസിൽ. മൂപ്പർക്ക് ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ട്...

ഉദാഹരണത്തിന്, ആംഗിൾ ആണെങ്കിൽ എക്സ്(ഈ പേജിലെ രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം നോക്കൂ) - ഇത് മണ്ടത്തരമാക്കണോ!? ത്രികോണം പൂർണ്ണമായും തകരും! അപ്പോൾ നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? കാലും ഹൈപ്പോടെനസും ഉണ്ടാവില്ല... സൈൻ അപ്രത്യക്ഷമായി...

പുരാതന ആളുകൾ ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഒരു വഴി കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മൊബൈൽ ഫോണോ ടിവിയോ വൈദ്യുതിയോ ഉണ്ടാകുമായിരുന്നില്ല. അതെ അതെ! സൈദ്ധാന്തിക അടിസ്ഥാനംത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളില്ലാത്ത ഇവയെല്ലാം ഒരു വടി ഇല്ലാതെ പൂജ്യമാണ്. എന്നാൽ പുരാതന ആളുകൾ നിരാശരായില്ല. അവർ എങ്ങനെ പുറത്തായി എന്നത് അടുത്ത പാഠത്തിൽ.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ഞങ്ങൾ ത്രികോണമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിന്നാണ്. സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് നമുക്ക് നിർവചിക്കാം, അതുപോലെ ഒരു നിശിതകോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ്. ഇതാണ് ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനം.

അത് നമുക്ക് ഓർമ്മിപ്പിക്കാം വലത് കോൺ 90 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായ ഒരു കോണാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പകുതി തിരിഞ്ഞ ആംഗിൾ.

മൂർച്ചയുള്ള മൂല- 90 ഡിഗ്രിയിൽ കുറവ്.

മങ്ങിയ ആംഗിൾ- 90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതൽ. അത്തരമൊരു കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, "ഒബ്‌റ്റ്യൂസ്" എന്നത് ഒരു അപമാനമല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പദമാണ് :-)

നമുക്ക് ഒരു വലത് ത്രികോണം വരയ്ക്കാം. ഒരു വലത് കോണിനെ സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശം അതേ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, ചെറുത് മാത്രം. അങ്ങനെ, കോണിൻ്റെ എതിർവശം A നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

ആംഗിൾ അനുബന്ധമായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം.

ഹൈപ്പോടെനസ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വലത് കോണിൻ്റെ എതിർവശമാണ്.

കാലുകൾ- നിശിതമായ കോണുകൾക്ക് എതിരായി കിടക്കുന്ന വശങ്ങൾ.

കോണിൻ്റെ എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്ന കാലിനെ വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്(കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്). കോണിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്ന മറ്റേ കാലിനെ വിളിക്കുന്നു തൊട്ടടുത്തുള്ള.

സൈനസ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിതകോണം ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്:

കോസൈൻഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിത കോണിൽ - തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതം:

ടാൻജെൻ്റ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിത കോണിൽ - എതിർവശത്തിൻ്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള അനുപാതം:

മറ്റൊരു (തത്തുല്യമായ) നിർവചനം: ഒരു നിശിത കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് അതിൻ്റെ കോസൈനുമായുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെ അനുപാതമാണ്:

കോട്ടാൻജെൻ്റ്ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിത ആംഗിൾ - തൊട്ടടുത്തുള്ള വശത്തിൻ്റെ വിപരീത അനുപാതം (അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് സമാനമാണ്, കോസൈൻ്റെയും സൈനിൻ്റെയും അനുപാതം):

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയ്ക്കുള്ള അടിസ്ഥാന ബന്ധങ്ങൾ ചുവടെ ശ്രദ്ധിക്കുക. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവ നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

അവയിൽ ചിലത് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ശരി, ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ നൽകി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതി. എന്നാൽ എന്തുകൊണ്ടാണ് നമുക്ക് ഇപ്പോഴും സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ ആവശ്യമായി വരുന്നത്?

അത് ഞങ്ങൾക്കറിയാം ഏതൊരു ത്രികോണത്തിൻ്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്.

തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നമുക്കറിയാം പാർട്ടികൾമട്ട ത്രികോണം. ഇതാണ് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം: .

ഒരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ട് കോണുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് മൂന്നാമത്തേത് കണ്ടെത്താനാകും. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്നാമത്തേത് കണ്ടെത്താനാകും. ഇതിനർത്ഥം കോണുകൾക്ക് അവരുടേതായ അനുപാതമുണ്ട്, വശങ്ങളിൽ അവരുടേതാണ്. എന്നാൽ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കോണും (വലത് കോണൊഴികെ) ഒരു വശവും അറിയാമെങ്കിൽ നിങ്ങൾ എന്തുചെയ്യണം, എന്നാൽ നിങ്ങൾ മറ്റ് വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടോ?

പ്രദേശത്തിൻ്റെയും നക്ഷത്രനിബിഡമായ ആകാശത്തിൻ്റെയും ഭൂപടങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ പണ്ട് ആളുകൾ നേരിട്ടത് ഇതാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും നേരിട്ട് അളക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല.

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് - അവയെ എന്നും വിളിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി ആംഗിൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ- തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നൽകുക പാർട്ടികൾഒപ്പം കോണുകൾത്രികോണം. ആംഗിൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, പ്രത്യേക പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അതിൻ്റെ എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെയും കോണുകളുടെ സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, സ്പർശനങ്ങൾ എന്നിവ അറിയുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ബാക്കിയുള്ളവ കണ്ടെത്താനാകും.

"നല്ല" കോണുകൾക്കായി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടികയും ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കും.

പട്ടികയിലെ രണ്ട് ചുവന്ന ഡാഷുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉചിതമായ ആംഗിൾ മൂല്യങ്ങളിൽ, ടാൻജെൻ്റും കോട്ടാൻജെൻ്റും നിലവിലില്ല.

FIPI ടാസ്ക് ബാങ്കിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി ത്രികോണമിതി പ്രശ്നങ്ങൾ നോക്കാം.

1. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണാണ്, . കണ്ടെത്തുക.

നാല് സെക്കൻഡിനുള്ളിൽ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് , .

2. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോൺ , , ആണ്. കണ്ടെത്തുക.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം.

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളിൽ കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ കോണുകളും ഉള്ളതും ഉണ്ട്. അവർക്കുള്ള അടിസ്ഥാന അനുപാതങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ ഓർക്കുക!

കോണുകളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്, കോണിൻ്റെ എതിർവശത്തുള്ള കാൽ തുല്യമാണ് ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ പകുതി.

കോണുകളുള്ള ഒരു ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്. അതിൽ, ഹൈപ്പോടെനസ് കാലിനേക്കാൾ മടങ്ങ് വലുതാണ്.

വലത് ത്രികോണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു - അതായത്, അജ്ഞാത വശങ്ങളോ കോണുകളോ കണ്ടെത്തുക. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല! IN ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ ഓപ്ഷനുകൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ബാഹ്യകോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ കോട്ടാൻജെൻ്റ് ദൃശ്യമാകുന്ന നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. അടുത്ത ലേഖനത്തിൽ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ.

വിദ്യാർത്ഥികൾ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലകളിലൊന്നാണ് ത്രികോണമിതി. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല: ഈ വിജ്ഞാന മേഖലയെ സ്വതന്ത്രമായി കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സ്പേഷ്യൽ ചിന്ത, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവ്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക, കൂടാതെ പൈ നമ്പർ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ. കൂടാതെ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയണം, ഇതിന് ഒന്നുകിൽ വികസിത ഗണിത മെമ്മറി അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ലോജിക്കൽ ശൃംഖലകൾ നേടാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതിയുടെ ഉത്ഭവം

ഈ ശാസ്ത്രവുമായി പരിചയപ്പെടുന്നത് ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിക്കേണ്ടത്, എന്നാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ ത്രികോണമിതി പൊതുവെ എന്താണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ചരിത്രപരമായി, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയിലെ പ്രധാന പഠന ലക്ഷ്യം വലത് ത്രികോണങ്ങളായിരുന്നു. 90 ഡിഗ്രി കോണിൻ്റെ സാന്നിധ്യം രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു കോണും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളും ഒരു വശവും ഉപയോഗിച്ച് സംശയാസ്പദമായ ചിത്രത്തിൻ്റെ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. മുൻകാലങ്ങളിൽ, ആളുകൾ ഈ പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിക്കുകയും കെട്ടിടങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിലും നാവിഗേഷനിലും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും കലയിലും പോലും ഇത് സജീവമായി ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി.

ആദ്യ ഘട്ടം

തുടക്കത്തിൽ, വലത് ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ആളുകൾ കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു. പിന്നെ അവർ തുറന്നു പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഇത് ഉപയോഗത്തിൻ്റെ അതിരുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി ദൈനംദിന ജീവിതംഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഈ ശാഖ.

ഇന്ന് സ്കൂളിൽ ത്രികോണമിതിയുടെ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നത് വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്നാണ്, അതിനുശേഷം വിദ്യാർത്ഥികൾ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിക്കുകയും അമൂർത്തമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ, ഹൈസ്കൂളിൽ ആരംഭിക്കുന്ന ജോലി.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതി

പിന്നീട്, ശാസ്ത്രം വികാസത്തിൻ്റെ അടുത്ത തലത്തിൽ എത്തിയപ്പോൾ, വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങൾ ബാധകമാകുന്ന ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്. ഈ വിഭാഗം സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടില്ല, പക്ഷേ അതിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലവും മറ്റേതെങ്കിലും ഗ്രഹത്തിൻ്റെ ഉപരിതലവും കുത്തനെയുള്ളതാണ്, അതായത് ഏത് ഉപരിതല അടയാളപ്പെടുത്തലും "ആർക്ക് ആകൃതിയിൽ" ആയിരിക്കും. ത്രിമാന സ്ഥലം.

ഗ്ലോബും ത്രെഡും എടുക്കുക. ഗ്ലോബിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് ത്രെഡ് അറ്റാച്ചുചെയ്യുക, അങ്ങനെ അത് മുറുകെ പിടിക്കുക. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക - ഇത് ഒരു കമാനത്തിൻ്റെ ആകൃതി സ്വീകരിച്ചു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതി അത്തരം രൂപങ്ങളെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഇത് ജിയോഡെസി, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, മറ്റ് സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ മേഖലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മട്ട ത്രികോണം

ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികളെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് പഠിച്ച ശേഷം, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നും അവയുടെ സഹായത്തോടെ എന്ത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താമെന്നും ഏത് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും കൂടുതൽ മനസിലാക്കാൻ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഒരു വലത് ത്രികോണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി. ആദ്യം, ഹൈപ്പോടെനസ് 90 ഡിഗ്രി കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശമാണ്. ഇത് ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ മൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് വശങ്ങളും യഥാക്രമം 3 ഉം 4 സെൻ്റീമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം 5 സെൻ്റീമീറ്ററായിരിക്കും. വഴിയിൽ, പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഏകദേശം നാലര ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ഇതിനെക്കുറിച്ച് അറിയാമായിരുന്നു.

വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് ശേഷിക്കുന്ന വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നാം ഓർക്കണം.

നിർവ്വചനം

അവസാനമായി, ജ്യാമിതീയ അടിത്തറയെക്കുറിച്ചുള്ള ഉറച്ച ധാരണയോടെ, ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ് (അതായത് എതിർവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വശം ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ) ഹൈപ്പോടെൻസിലേക്ക്. ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ എന്നത് ഹൈപ്പോട്ടീനസുമായുള്ള തൊട്ടടുത്ത വശത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്.

സൈനോ കോസൈനോ ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർക്കുക! എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് ഡിഫോൾട്ടായി ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, കാലിൻ്റെ നീളം എത്രയായാലും, അത് ഹൈപ്പോടെനസിനെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും, അതായത് അവയുടെ അനുപാതം എപ്പോഴും ഒന്നിൽ കുറവായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് 1-ൽ കൂടുതൽ മൂല്യമുള്ള ഒരു സൈനോ കോസൈനോ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലോ ന്യായവാദത്തിലോ ഒരു പിശക് നോക്കുക. ഈ ഉത്തരം വ്യക്തമായും തെറ്റാണ്.

അവസാനമായി, ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എതിർ വശവും തൊട്ടടുത്ത വശവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. സൈനിനെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതേ ഫലം ലഭിക്കും. നോക്കൂ: ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ വശത്തിൻ്റെ നീളം ഹൈപ്പോടെന്യൂസ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഹൈപ്പോടെനസ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിലെ അതേ ബന്ധം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

കോടാൻജെൻ്റ്, അതനുസരിച്ച്, കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിൻ്റെ എതിർവശത്തേക്ക് അനുപാതമാണ്. ഒന്നിനെ ടാൻജെൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് അതേ ഫലം ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്നതിൻ്റെ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, നമുക്ക് ഫോർമുലകളിലേക്ക് പോകാം.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ത്രികോണമിതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല - സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയില്ലാതെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കൃത്യമായി ആവശ്യമാണ്.

ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ട ആദ്യത്തെ ഫോർമുല പറയുന്നത് ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്. ഈ ഫോർമുലപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്, എന്നാൽ വശത്തെക്കാൾ കോണിൻ്റെ വലുപ്പം അറിയണമെങ്കിൽ അത് സമയം ലാഭിക്കുന്നു.

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, അത് സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വളരെ ജനപ്രിയമാണ്: ഒന്നിൻ്റെ ആകെത്തുകയും ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചതുരവും കോണിൻ്റെ കോസൈനിൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് തുല്യമാണ്. സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുക: ആദ്യ ഫോർമുലയിലെ അതേ പ്രസ്താവനയാണിത്, ഐഡൻ്റിറ്റിയുടെ ഇരുവശങ്ങളും മാത്രമേ കോസൈൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ഒരു ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനം ത്രികോണമിതി ഫോർമുലയെ പൂർണ്ണമായും തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയാത്തതാക്കുന്നു. ഓർക്കുക: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്ന് അറിയുന്നത്, പരിവർത്തന നിയമങ്ങളും നിരവധി അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും, നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ആവശ്യമായ കൂടുതൽ സ്വതന്ത്രമായി നേടാനാകും. സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾഒരു കടലാസിൽ.

ഇരട്ട കോണുകൾക്കും ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ട രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടി കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അവ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ രണ്ട് തവണ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നം ചേർക്കുന്നു.

ഡബിൾ ആംഗിൾ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. അവ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ് - ഒരു പരിശീലനമെന്ന നിലയിൽ, ബീറ്റാ കോണിന് തുല്യമായ ആൽഫ ആംഗിൾ എടുത്ത് അവ സ്വയം നേടാൻ ശ്രമിക്കുക.

അവസാനമായി, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് ആൽഫ എന്നിവയുടെ ശക്തി കുറയ്ക്കാൻ ഡബിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതിയിലെ രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സൈൻ സിദ്ധാന്തവും കോസൈൻ സിദ്ധാന്തവുമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ മനസിലാക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും വലുപ്പം മുതലായവ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തിൻ്റെയും നീളം വിപരീത കോണിൽ ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എന്ന് സൈൻ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു. ഒരേ നമ്പർ. മാത്രമല്ല, ഈ സംഖ്യ ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ദൂരങ്ങൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വൃത്തം.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, അത് ഏതെങ്കിലും ത്രികോണങ്ങളിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു. രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം തൊട്ടടുത്ത കോണിൻ്റെ ഇരട്ട കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കുറയ്ക്കുക - തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം മൂന്നാം വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അങ്ങനെ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി മാറുന്നു.

അശ്രദ്ധമായ തെറ്റുകൾ

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എന്താണെന്ന് അറിയാമെങ്കിലും, അസാന്നിദ്ധ്യം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശക് കാരണം ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്. അത്തരം തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായവ നോക്കാം.

ഒന്നാമതായി, അന്തിമഫലം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ദശാംശങ്ങളാക്കി മാറ്റരുത് - നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഇങ്ങനെ നൽകാം പൊതു അംശം, വ്യവസ്ഥകളിൽ മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞിട്ടില്ലെങ്കിൽ. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തെ ഒരു തെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും പുതിയ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, അത് രചയിതാവിൻ്റെ ആശയം അനുസരിച്ച് കുറയ്ക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ അനാവശ്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിങ്ങളുടെ സമയം പാഴാക്കും. മൂന്നിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിൻ്റെ റൂട്ട് പോലുള്ള മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും സത്യമാണ്, കാരണം അവ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും പ്രശ്നങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു. "വൃത്തികെട്ട" നമ്പറുകൾ റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നതിനും ഇത് ബാധകമാണ്.

കൂടാതെ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഏത് ത്രികോണത്തിനും ബാധകമാണ്, പക്ഷേ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ബാധകമല്ല! വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഇരട്ടി ഗുണം കുറയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾ തെറ്റായി മറന്നാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കുമെന്ന് മാത്രമല്ല, വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പൂർണ്ണമായ ധാരണക്കുറവ് നിങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇത് അശ്രദ്ധമായ തെറ്റിനേക്കാൾ മോശമാണ്.

മൂന്നാമതായി, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവയ്ക്കായി 30, 60 ഡിഗ്രി കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഓർക്കുക, കാരണം 30 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ 60 ൻ്റെ കോസൈന് തുല്യമാണ്, തിരിച്ചും. അവരെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി നിങ്ങൾക്ക് അനിവാര്യമായും തെറ്റായ ഫലം ലഭിക്കും.

അപേക്ഷ

പല വിദ്യാർത്ഥികളും ത്രികോണമിതി പഠിക്കാൻ തിടുക്കം കാണിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവർക്ക് അതിൻ്റെ പ്രായോഗിക അർത്ഥം മനസ്സിലാകുന്നില്ല. ഒരു എഞ്ചിനീയർക്കോ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനോ വേണ്ടി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്താണ്? വിദൂര നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കാനോ ഉൽക്കാശിലയുടെ പതനം പ്രവചിക്കാനോ മറ്റൊരു ഗ്രഹത്തിലേക്ക് ഗവേഷണ പേടകം അയയ്ക്കാനോ കഴിയുന്ന ആശയങ്ങളാണിവ. അവയില്ലാതെ, ഒരു കെട്ടിടം പണിയുക, ഒരു കാർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുക, ഒരു ഉപരിതലത്തിലെ ലോഡ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വസ്തുവിൻ്റെ പാത കണക്കാക്കുക എന്നിവ അസാധ്യമാണ്. ഇവ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രമാണ്! എല്ലാത്തിനുമുപരി, സംഗീതം മുതൽ വൈദ്യശാസ്ത്രം വരെ എല്ലായിടത്തും ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒടുവിൽ

അതിനാൽ നിങ്ങൾ സൈൻ, കൊസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്. നിങ്ങൾക്ക് അവ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാനും സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാനും കഴിയും.

ത്രികോണമിതിയുടെ മുഴുവൻ പോയിൻ്റും ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയാത്തവ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് വരുന്നു. ആകെ ആറ് പാരാമീറ്ററുകളുണ്ട്: മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളവും മൂന്ന് കോണുകളുടെ വലുപ്പവും. ടാസ്‌ക്കുകളിലെ വ്യത്യാസം വ്യത്യസ്ത ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റ നൽകിയിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലാണ്.

കാലുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന നീളം അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് അടിസ്ഥാനമാക്കി സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഈ പദങ്ങൾ ഒരു അനുപാതത്തിനപ്പുറം മറ്റൊന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, ഒരു അനുപാതം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം ഒരു സാധാരണ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇവിടെ സാധാരണ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

- ത്രികോണമിതിയിൽ തീർച്ചയായും ജോലികൾ ഉണ്ടാകും. സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജെൻ്റുകൾ, കോട്ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവയാൽ നിറഞ്ഞുനിൽക്കുന്ന, സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ എണ്ണം ക്രോം ചെയ്യേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത കാരണം ത്രികോണമിതി പലപ്പോഴും ഇഷ്ടപ്പെടില്ല. യൂലർ, പീൽ ഫോർമുലകളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് മറന്നുപോയ ഒരു ഫോർമുല എങ്ങനെ ഓർമ്മിക്കാമെന്ന് സൈറ്റ് ഇതിനകം ഒരിക്കൽ ഉപദേശം നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ലളിതമായ അഞ്ച് കാര്യങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയെന്ന് കാണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ബാക്കിയുള്ളവയെക്കുറിച്ച് പൊതു ആശയംനിങ്ങൾ പോകുമ്പോൾ അവരെ പുറത്തു കൊണ്ടുവരിക. ഇത് ഡിഎൻഎ പോലെയാണ്: തന്മാത്ര ഒരു പൂർത്തിയായ ജീവിയുടെ പൂർണ്ണമായ ബ്ലൂപ്രിൻ്റുകൾ സംഭരിക്കുന്നില്ല. പകരം, ലഭ്യമായ അമിനോ ആസിഡുകളിൽ നിന്ന് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ ത്രികോണമിതിയിൽ, ചിലത് അറിയുന്നു പൊതു തത്വങ്ങൾ, മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ട ഒരു ചെറിയ കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഫോർമുലകളും നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളെ ആശ്രയിക്കും:

സൈൻ, കോസൈൻ തുകകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, കോസൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പാരിറ്റിയെക്കുറിച്ചും സൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിചിത്രതയെക്കുറിച്ചും അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, b-ന് പകരം -b മാറ്റി, വ്യത്യാസങ്ങൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:

1. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സൈൻ: പാപം(എ-ബി) = പാപംഎകോസ്(-ബി)+കോസ്എപാപം(-ബി) = പാപംഎകോസ്ബി-കോസ്എപാപംബി
2. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ കോസൈൻ: കോസ്(എ-ബി) = കോസ്എകോസ്(-ബി)-പാപംഎപാപം(-ബി) = കോസ്എകോസ്ബി+പാപംഎപാപംബി

ഒരേ ഫോർമുലകളിലേക്ക് a = b ഇടുന്നത്, ഇരട്ട കോണുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഫോർമുലകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

1. ഇരട്ട കോണിൻ്റെ സൈൻ: പാപം2a = പാപം(a+a) = പാപംഎകോസ്എ+കോസ്എപാപംഎ = 2പാപംഎകോസ്എ
2. ഇരട്ട കോണിൻ്റെ കോസൈൻ: കോസ്2a = കോസ്(a+a) = കോസ്എകോസ്എ-പാപംഎപാപംഎ = കോസ്2 എ-പാപം2 എ

മറ്റ് ഒന്നിലധികം കോണുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായി ലഭിക്കും:

1. ട്രിപ്പിൾ ആംഗിളിൻ്റെ സൈൻ: പാപം3എ = പാപം(2a+a) = പാപം2aകോസ്എ+കോസ്2aപാപംഎ = (2പാപംഎകോസ്എ)കോസ്എ+(കോസ്2 എ-പാപം2 എ)പാപംഎ = 2പാപംഎകോസ്2 എ+പാപംഎകോസ്2 എ-പാപം 3 a = 3 പാപംഎകോസ്2 എ-പാപം 3 a = 3 പാപംഎ(1-പാപം2 എ)-പാപം 3 a = 3 പാപംഎ-4പാപം 3എ
2. ട്രിപ്പിൾ കോണിൻ്റെ കോസൈൻ: കോസ്3എ = കോസ്(2a+a) = കോസ്2aകോസ്എ-പാപം2aപാപംഎ = (കോസ്2 എ-പാപം2 എ)കോസ്എ-(2പാപംഎകോസ്എ)പാപംഎ = കോസ് 3 a- പാപം2 എകോസ്എ-2പാപം2 എകോസ്എ = കോസ് 3 a-3 പാപം2 എകോസ്എ = കോസ് 3 a-3(1- കോസ്2 എ)കോസ്എ = 4കോസ് 3 a-3 കോസ്എ

മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ഒരു പ്രശ്നം നോക്കാം.
നൽകിയിരിക്കുന്നത്: ആംഗിൾ നിശിതമാണ്.
എങ്കിൽ അതിൻ്റെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തുക
ഒരു വിദ്യാർത്ഥി നൽകിയ പരിഹാരം:
കാരണം , അത് പാപംഎ= 3,എ കോസ്എ = 4.
(ഗണിത നർമ്മത്തിൽ നിന്ന്)

അതിനാൽ, ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ നിർവചനം ഈ പ്രവർത്തനത്തെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. എന്നാൽ ടാൻജെൻ്റിനെ കോസൈനുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. അത് നേടുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി എടുക്കുന്നു: പാപം 2 എ+കോസ് 2 എ= 1 കൂടാതെ അതിനെ ഹരിക്കുക കോസ് 2 എ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതായിരിക്കും:

(കോണ് മൂർച്ചയുള്ളതിനാൽ, റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുമ്പോൾ, + ചിഹ്നം എടുക്കുന്നു)

ഒരു തുകയുടെ സ്പർശനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഓർക്കാൻ പ്രയാസമുള്ള മറ്റൊന്നാണ്. നമുക്ക് ഇത് ഇങ്ങനെ ഔട്ട്പുട്ട് ചെയ്യാം:

ഉടനടി പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ഒപ്പം

ഇരട്ട കോണിനുള്ള കോസൈൻ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന്, പകുതി കോണുകൾക്കുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ ഫോർമുലകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇരട്ട ആംഗിൾ കോസൈൻ ഫോർമുലയുടെ ഇടതുവശത്തേക്ക്:
കോസ്2 എ = കോസ് 2 എ-പാപം 2 എ
ഞങ്ങൾ ഒരെണ്ണം ചേർക്കുന്നു, വലതുവശത്ത് - ഒരു ത്രികോണമിതി യൂണിറ്റ്, അതായത്. സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.
കോസ്2a+1 = കോസ്2 എ-പാപം2 എ+കോസ്2 എ+പാപം2 എ
2കോസ് 2 എ = കോസ്2 എ+1
പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു കോസ്എവഴി കോസ്2 എവേരിയബിളുകളുടെ ഒരു മാറ്റം നടത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ക്വാഡ്രാൻ്റ് അനുസരിച്ച് അടയാളം എടുക്കുന്നു.

അതുപോലെ, സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് ഒരെണ്ണവും വലതുവശത്ത് നിന്ന് സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:
കോസ്2a-1 = കോസ്2 എ-പാപം2 എ-കോസ്2 എ-പാപം2 എ
2പാപം 2 എ = 1-കോസ്2 എ

അവസാനമായി, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് സൈനുകളുടെ ആകെത്തുകയെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം പാപംഎ+പാപംബി. a = x+y, b+x-y എന്നിങ്ങനെയുള്ള വേരിയബിളുകൾ x, y എന്നിവ പരിചയപ്പെടുത്താം. പിന്നെ
പാപംഎ+പാപംബി = പാപം(x+y)+ പാപം(x-y) = പാപം x കോസ് y+ കോസ് x പാപം y+ പാപം x കോസ് y- കോസ് x പാപം y=2 പാപം x കോസ്വൈ. ഇനി നമുക്ക് a, b എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x, y എന്നിവ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

a = x+y, b = x-y ആയതിനാൽ . അതുകൊണ്ടാണ്

നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ പിൻവലിക്കാം

1. വിഭജനത്തിനുള്ള ഫോർമുല സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾവി തുക: പാപംഎകോസ്ബി = 0.5(പാപം(a+b)+പാപം(എ-ബി))

സൈനുകളുടെ വ്യത്യാസവും കോസൈനുകളുടെ തുകയും വ്യത്യാസവും ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റുന്നതിനും അതുപോലെ തന്നെ സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളെ ആകെത്തുകയായി വിഭജിക്കുന്നതിനും നിങ്ങൾ സ്വയം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരിശീലിക്കാനും രൂപപ്പെടുത്താനും ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഈ വ്യായാമങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം നിങ്ങൾ നന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യും, ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ടെസ്റ്റ്, ഒളിമ്പ്യാഡ് അല്ലെങ്കിൽ ടെസ്റ്റിംഗ് എന്നിവയിൽ പോലും നഷ്ടപ്പെടില്ല.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും ജ്യാമിതിയിലെ അവയുടെ ഉപയോഗവും പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. ത്രികോണമിതിയുടെ വികസനം പുരാതന ഗ്രീസിൽ ആരംഭിച്ചു. മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ, മിഡിൽ ഈസ്റ്റിലെയും ഇന്ത്യയിലെയും ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികാസത്തിന് പ്രധാന സംഭാവനകൾ നൽകി.

ഈ ലേഖനം സമർപ്പിതമാണ് അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾത്രികോണമിതിയുടെ നിർവചനങ്ങളും. ഇത് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു: സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ്. അവയുടെ അർത്ഥം ജ്യാമിതിയുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ വിശദീകരിക്കുകയും ചിത്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

Yandex.RTB R-A-339285-1

തുടക്കത്തിൽ, ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഒരു കോണായ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെട്ടു.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ

ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ (sin α) എന്നത് ഈ കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള കാലിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതമാണ്.

കോണിൻ്റെ കോസൈൻ (cos α) - തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതം.

ആംഗിൾ ടാൻജെൻ്റ് (t g α) - എതിർവശത്തിൻ്റെ തൊട്ടടുത്ത വശത്തിൻ്റെ അനുപാതം.

ആംഗിൾ കോട്ടാൻജെൻ്റ് (c t g α) - തൊട്ടടുത്ത വശത്തിൻ്റെ എതിർ വശത്തിൻ്റെ അനുപാതം.

ഈ നിർവചനങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിശിതകോണിന് നൽകിയിരിക്കുന്നു!

നമുക്ക് ഒരു ദൃഷ്ടാന്തം പറയാം.

IN ത്രികോണം ABCവലത് ആംഗിൾ C ഉപയോഗിച്ച്, A കോണിൻ്റെ സൈൻ ലെഗ് BC യുടെ ഹൈപ്പോടെനസ് AB യുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിലെ അറിയപ്പെടുന്ന നീളത്തിൽ നിന്ന് ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്!

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി -1 മുതൽ 1 വരെയാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സൈനും കോസൈനും -1 മുതൽ 1 വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. ടാൻജെൻ്റിൻ്റെയും കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഏത് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങൾ നിശിത കോണുകൾക്ക് ബാധകമാണ്. ത്രികോണമിതിയിൽ, ഒരു റൊട്ടേഷൻ ആംഗിൾ എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ മൂല്യം, ഒരു നിശിത കോണിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, 0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. ഡിഗ്രികളിലോ റേഡിയനുകളിലോ ഉള്ള ഭ്രമണകോണം - ∞ മുതൽ + ∞ വരെയുള്ള ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. .

ഈ സന്ദർഭത്തിൽ, അനിയന്ത്രിതമായ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിൻ്റെ ഒരു കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ നമുക്ക് നിർവചിക്കാം. കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം.

കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പ്രാരംഭ പോയിൻ്റ് A (1, 0) യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത് ഒരു നിശ്ചിത കോണിലൂടെ ഭ്രമണം ചെയ്യുകയും പോയിൻ്റ് A 1-ലേക്ക് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു. പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) യുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ സൈൻ (പാപം).

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ സൈൻ α പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്. sin α = y

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ കോസൈൻ (കോസ്).

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ കോസൈൻ α പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൻ്റെ abscissa ആണ്. cos α = x

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് (tg).

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ്, പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയിലേക്കുള്ള അനുപാതമാണ്. t g α = y x

ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ കോട്ടാൻജെൻ്റ് (ctg).

ഭ്രമണകോണം α യുടെ കോടാൻജെൻ്റ് എന്നത് പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയുടെ ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ അനുപാതമാണ്. c t g α = x y

ഏത് ഭ്രമണ കോണിനും സൈനും കോസൈനും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം ഭ്രമണത്തിനു ശേഷമുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും ഏത് കോണിലും നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ടാൻജെൻ്റ്, കോടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയിൽ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഭ്രമണത്തിനു ശേഷമുള്ള ഒരു ബിന്ദു പൂജ്യം abscissa (0, 1), (0, - 1) എന്നിവയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ടാൻജെൻ്റ് t g α = y x എന്നതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം അതിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. കോട്ടാൻജെൻ്റിലും സ്ഥിതി സമാനമാണ്. ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ കോട്ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നതാണ് വ്യത്യാസം.

ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്!

സൈനും കോസൈനും ഏത് കോണുകൾക്കും α നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ കോണുകൾക്കും ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ കോണുകൾക്കും കോട്ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു

തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ"ഭ്രമണ കോണിൻ്റെ സൈൻ α" എന്ന് പറയരുത്. "ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ആംഗിൾ" എന്ന വാക്കുകൾ ലളിതമായി ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, എന്താണ് ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നതെന്ന് സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് ഇതിനകം വ്യക്തമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമ്പറുകൾ

ഒരു സംഖ്യയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തെ സംബന്ധിച്ചെന്ത്, അല്ലാതെ ഭ്രമണകോണിനെക്കുറിച്ചല്ല?

ഒരു സംഖ്യയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ്

ഒരു സംഖ്യയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് ടിയഥാക്രമം സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് ടിറേഡിയൻ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 10 π എന്ന സംഖ്യയുടെ സൈൻ സൈനിനു തുല്യം 10 π റാഡിൻ്റെ റൊട്ടേഷൻ കോൺ.

ഒരു സംഖ്യയുടെ sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് മറ്റൊരു സമീപനമുണ്ട്. നമുക്ക് അത് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.

ആർക്കും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ടിയൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവ കേന്ദ്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവ ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

സർക്കിളിലെ ആരംഭ പോയിൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ് A ആണ് (1, 0).

പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ടി

നെഗറ്റീവ് നമ്പർ ടിസർക്കിളിന് ചുറ്റും എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങുകയും പാത t കടന്നുപോകുകയും ചെയ്താൽ ആരംഭ പോയിൻ്റ് പോകുന്ന പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു സംഖ്യയും ഒരു ബിന്ദുവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമ്മൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ടിയുടെ സൈൻ (പാപം).

ഒരു സംഖ്യയുടെ സൈൻ ടി- സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് ക്രമപ്പെടുത്തുക ടി. sin t = y

ടിയുടെ കോസൈൻ (കോസ്).

ഒരു സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ ടി- സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൻ്റെ പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ടി. cos t = x

t യുടെ ടാൻജെൻ്റ് (tg).

ഒരു സംഖ്യയുടെ ടാൻജെൻ്റ് ടി- സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ അബ്സിസ്സയിലേക്കുള്ള ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ അനുപാതം ടി. t g t = y x = sin t cos t

ഏറ്റവും പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ ഈ ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമാണ്, വിരുദ്ധമല്ല. നമ്പറുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സർക്കിളിൽ പോയിൻ്റ് ചെയ്യുക ടി, ഒരു കോണിലൂടെ തിരിഞ്ഞതിന് ശേഷം ആരംഭ പോയിൻ്റ് പോകുന്ന പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ടിറേഡിയൻ.

കോണീയ, സംഖ്യാ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ

കോണിൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും α ഈ കോണിൻ്റെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. α = 90 ° + 180 ° k ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ കോണുകളും പോലെ, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ഒരു നിശ്ചിത ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. മുകളിൽ പ്രസ്താവിച്ചതുപോലെ, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ α യ്ക്കും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

sin α, cos α, t g α, c t g α എന്നിവ ആംഗിൾ ആൽഫയുടെ ഫംഗ്ഷനുകളോ അല്ലെങ്കിൽ കോണീയ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളോ ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

അതുപോലെ, ഒരു സംഖ്യാ വാദത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളായി നമുക്ക് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം. ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ടിഒരു സംഖ്യയുടെ സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ടി. π 2 + π · k, k ∈ Z ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒരു ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. സമാനമായി, π · k, k ∈ Z ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും കോട്ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ

Sine, cosine, tangent, cotangent എന്നിവയാണ് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ഏത് വാദമാണെന്ന് സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് സാധാരണയായി വ്യക്തമാണ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം(കോണീയ വാദം അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യാ വാദം) ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

തുടക്കത്തിൽ തന്നെ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങളിലേക്കും 0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആൽഫ കോണിലേക്കും മടങ്ങാം. സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയുടെ ത്രികോണമിതി നിർവചനങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വീക്ഷണാനുപാതം നൽകുന്ന ജ്യാമിതീയ നിർവചനങ്ങളുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. കാണിച്ചു തരാം.

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ എടുക്കാം. നമുക്ക് ആരംഭ പോയിൻ്റ് A (1, 0) 90 ഡിഗ്രി വരെ ഒരു കോണിൽ തിരിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൽ നിന്ന് abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമായി വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ആംഗിൾ A 1 O H കോണിന് തുല്യമാണ്തിരിയുക α, ലെഗ് O H ൻ്റെ നീളം പോയിൻ്റ് A 1 (x, y) ൻ്റെ abscissa ന് തുല്യമാണ്. കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള കാലിൻ്റെ നീളം A 1 (x, y) പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഹൈപ്പോടെന്യൂസിൻ്റെ നീളം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഇത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൻ്റെ ആരമാണ്.

ജ്യാമിതിയിൽ നിന്നുള്ള നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി, ആംഗിൾ α ൻ്റെ സൈൻ എതിർ വശത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ഇതിനർത്ഥം, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഒരു നിശിതകോണിൻ്റെ സൈൻ വീക്ഷണാനുപാതത്തിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഭ്രമണകോണം α യുടെ സൈൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്, ആൽഫ 0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള പരിധിയിലാണ്.

അതുപോലെ, കോസൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, കോട്ടാൻജെൻ്റ് എന്നിവയ്ക്ക് നിർവചനങ്ങളുടെ കത്തിടപാടുകൾ കാണിക്കാം.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക