y f x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനെ വിളിക്കുന്നു. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്

ഡെറിവേറ്റീവിന് നിരവധി ഉപയോഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു: ഡെറിവേറ്റീവ് ചലനത്തിൻ്റെ വേഗതയാണ് (അല്ലെങ്കിൽ, പൊതുവെ, ഏത് പ്രക്രിയയുടെയും വേഗത); ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് ചരിവ്ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്; ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏകതാനതയ്ക്കും തീവ്രതയ്ക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കാം; ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഡെറിവേറ്റീവ് സഹായിക്കുന്നു.

എന്നാൽ അകത്ത് യഥാർത്ഥ ജീവിതംവിപരീത പ്രശ്‌നങ്ങളും പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഉദാഹരണത്തിന്, അറിയപ്പെടുന്ന ചലന നിയമമനുസരിച്ച് വേഗത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തിനൊപ്പം, അറിയപ്പെടുന്ന വേഗതയ്‌ക്കനുസരിച്ച് ചലന നിയമം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്‌നവുമുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു, t എന്ന സമയത്ത് അതിൻ്റെ വേഗത u = tg എന്ന ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്. ചലന നിയമം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. s = s(t) എന്നത് ആവശ്യമുള്ള ചലന നിയമം ആകട്ടെ. s"(t) = u"(t) എന്ന് അറിയാം. ഇതിനർത്ഥം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ് പ്രവർത്തനം s = s(t), അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് tg ന് തുല്യമാണ്. അത് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല

ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ അപൂർണ്ണമായി എന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം. വാസ്തവത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി: ഫോമിൻ്റെ ഏത് പ്രവർത്തനവും ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം ചലനനിയമമായി വർത്തിക്കും

ചുമതല കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, പ്രാരംഭ സാഹചര്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ചില സമയങ്ങളിൽ ഒരു ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, t=0. s(0) = s 0 എന്ന് പറയുകയാണെങ്കിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് s(0) = 0 + C ലഭിക്കും, അതായത് S 0 = C. ഇപ്പോൾ ചലന നിയമം അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരസ്പര വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പേരുകൾ നൽകുകയും പ്രത്യേക നൊട്ടേഷനുകൾ കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ക്വയറിംഗും (x 2) വേർതിരിച്ചെടുക്കലും സ്ക്വയർ റൂട്ട് sine(sinх) കൂടാതെ ആർക്ക്സൈൻ(arcsin x), മുതലായവ. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നും വിപരീത പ്രവർത്തനം എന്നും വിളിക്കുന്നു, അതായത്. തന്നിരിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയ - സംയോജനം.
"ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പദം തന്നെ "ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ" ന്യായീകരിക്കാവുന്നതാണ്: y - f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ "ജന്മം നൽകുന്നു" എന്ന പുതിയ ഫംഗ്‌ഷന് y"= f"(x). y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഇപ്രകാരം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഒരു “മാതാപിതാവ്” , എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ, സ്വാഭാവികമായും, അതിനെ “മാതാപിതാവ്” അല്ലെങ്കിൽ “നിർമ്മാതാവ്” എന്ന് വിളിക്കില്ല; അവർ പറയുന്നത്, y"=f"(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇത് പ്രാഥമിക ചിത്രമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ, ചെറുത്, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്.

നിർവ്വചനം 1. X-ൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-നും F"(x)=f(x) തുല്യത നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഇടവേള X-ന് y = F(x) ഫംഗ്‌ഷനെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രായോഗികമായി, ഇടവേള X സാധാരണയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ അത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്ൻ ആയി).

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

1) y = x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ y = 2x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (x 2)" = 2x ശരിയാണ്.
2) y - x 3 ഫംഗ്‌ഷൻ y-3x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (x 3)" = 3x 2 ശരിയാണ്.
3) y = cosx എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് y-sinх എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (sinx)" = cosx ശരിയാണ്.
4) എല്ലാ x > 0 നും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ ഇടവേളയിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്
പൊതുവേ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയുന്നത്, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ഈ പട്ടിക എങ്ങനെ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ആദ്യ നിരയുടെ അനുബന്ധ വരിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണ് (ഇത് പരിശോധിക്കുക, മടിയനാകരുത്, അത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്). ഉദാഹരണത്തിന്, y = x 5 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്, നിങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതുപോലെ, ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് (പട്ടികയുടെ നാലാമത്തെ വരി കാണുക).

കുറിപ്പുകൾ: 1. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുണ്ടെന്നും അവയ്‌ക്കെല്ലാം y = രൂപമുണ്ടെന്നും ഉള്ള സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ ചുവടെ തെളിയിക്കും. F(x ) + C. അതിനാൽ, പട്ടികയുടെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ എല്ലായിടത്തും C എന്ന പദം ചേർക്കുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയായിരിക്കും, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
2. സംക്ഷിപ്തതയ്‌ക്കായി, ചിലപ്പോൾ "y = F(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ്" എന്ന വാക്യത്തിനുപകരം F(x) f(x) ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് അവർ പറയുന്നു. .”

2. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അതുപോലെ തന്നെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഫോർമുലകൾ മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കുന്നത് (അവ പേജ് 196 ലെ പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്), മാത്രമല്ല ചില നിയമങ്ങളും. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമങ്ങളുമായി അവ നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

നിയമം 1.ഒരു തുകയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഈ ഫോർമുലേഷൻ്റെ ഒരു പരിധിവരെ "ലഘുത" യിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരാൾ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തണം: y = f(x), y = g(x) എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് യഥാക്രമം y-F(x), y-G(x) എന്നീ ഇടവേളകളിൽ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, y ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക. = f(x)+g(x) ഇടവേള X-ൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, ഈ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x)+G(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്. എന്നാൽ സാധാരണയായി, നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (സിദ്ധാന്തങ്ങളല്ല), കീവേഡുകൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ - ഇത് പ്രായോഗികമായി നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഉദാഹരണം 2. y = 2x + cos x ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 2x-നുള്ള ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് x" ആണ്; കോക്‌സിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്. ഇതിനർത്ഥം y = 2x + cos x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = x 2 + sin x (പൊതുവായി ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷനും) ആയിരിക്കും എന്നാണ്. Y = x 1 + sinx + C) .
സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

നിയമം 2.ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം 3.

പരിഹാരം. a) sin x ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് -soz x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം y = 5 sin x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ y = -5 cos x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരിക്കും.

b) cos x-ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്നാണ്
c) x 3-നുള്ള ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് x-നുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, y = 1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = x ഫംഗ്ഷനാണ്. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒന്നും രണ്ടും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, y = 12x 3 + 8x-1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
അഭിപ്രായം.അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമല്ല (ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്) കൂടാതെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമല്ല. അതിനാൽ, ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ല. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക!
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു നിയമം നമുക്ക് നേടാം. y = f(kx+m) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നതെന്ന് നമുക്കറിയാം

ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
നിയമം 3. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y=f(kx+m) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് ഫംഗ്‌ഷൻ.

തീർച്ചയായും,

y = f(kx+m) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
മൂന്നാമത്തെ നിയമത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്. y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, y = f(kx+m) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ഇതുപോലെ തുടരുക: എടുക്കുക അതേ ഫംഗ്ഷൻ F, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x-ന് പകരം, kx+m എന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക; കൂടാതെ, ഫംഗ്ഷൻ ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പ് "തിരുത്തൽ ഘടകം" എഴുതാൻ മറക്കരുത്
ഉദാഹരണം 4.നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) sin x ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് -soz x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം y = sin2x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കും
b) cos x-ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്നാണ്

c) x 7-നുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് y = (4-5x) 7 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കും എന്നാണ്.

3. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി y = f(x) ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തിന് ഒന്നിലധികം പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നം കൂടുതൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യാം.

തെളിവ്. 1. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ X എന്ന ഇടവേളയിൽ. ഇതിനർത്ഥം X മുതൽ എല്ലാ x നും തുല്യത x"(x) = f(x) നിലനിർത്തുന്നു എന്നാണ്. നമുക്ക് y = F(x)+C എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

അതിനാൽ, (F(x)+C) = f(x). ഇതിനർത്ഥം y = F(x) + C എന്നത് y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
അങ്ങനെ, y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y=F(x) ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് (f = f(x) അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, y = ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷനും F(x) +C ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
2. സൂചിപ്പിച്ച തരം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റ് എക്‌സ്‌ഹോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം.

y=F 1 (x), y=F(x) എന്നിവ X ഇടവേളയിൽ Y = f(x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള രണ്ട് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളായിരിക്കട്ടെ. ഇതിനർത്ഥം X ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-നും ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ പിടിക്കുന്നു: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
ഒരു ഇടവേള X-ലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, X ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ സ്ഥിരമായിരിക്കും (§ 35-ൽ നിന്ന് സിദ്ധാന്തം 3 കാണുക). ഇതിനർത്ഥം F 1 (x) - F (x) = C, അതായത്. Fx) = F(x)+C.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം 5.സമയത്തിനനുസരിച്ച് വേഗത മാറുന്നതിനുള്ള നിയമം നൽകിയിരിക്കുന്നു: v = -5sin2t. t=0 എന്ന സമയത്ത് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് സംഖ്യ 1.5-ന് തുല്യമായിരുന്നു (അതായത് s(t) = 1.5) എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ചലന നിയമം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.സമയത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനമെന്ന നിലയിൽ വേഗത കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ, നമ്മൾ ആദ്യം വേഗതയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. v = -5sin2t എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്. അത്തരം ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ, കൂടാതെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

സ്ഥിരമായ C യുടെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച് s(0) = 1.5. t=0, S = 1.5 എന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് (1) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

C യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഫോർമുലയിലേക്ക് (1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ചലന നിയമം ലഭിക്കും:

നിർവ്വചനം 2.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x) ഒരു ഇടവേള X-ൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x) ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ്, അതായത്. y = F(x) + C എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കൂട്ടത്തെ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്:

(വായിക്കുക: "അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എഫിൽ നിന്ന് x de x").
ഈ പദവിയുടെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അർത്ഥം എന്താണെന്ന് അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും.
ഈ വിഭാഗത്തിൽ ലഭ്യമായ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ പ്രധാന അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യും:

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മുകളിലുള്ള മൂന്ന് നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് അനുബന്ധ ഏകീകരണ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താം.

നിയമം 1.പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംയോജനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അവിഭാജ്യ ഘടകങ്ങൾ:

നിയമം 2.അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും:

നിയമം 3.എങ്കിൽ

ഉദാഹരണം 6.അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംയോജനത്തിൻ്റെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇനി നമുക്ക് 3-ഉം 4-ഉം സംയോജന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം:

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

b) സംയോജനത്തിൻ്റെയും ഫോർമുല 8 ൻ്റെയും മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

c) തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ നേരിട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾക്ക് അനുബന്ധ ഫോർമുലയോ അനുബന്ധ നിയമമോ ഇല്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ സഹായിക്കുന്നു.

നമുക്ക് പ്രയോജനപ്പെടുത്താം ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യംഡിഗ്രി കുറയ്ക്കൽ:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നു:

എ.ജി. മൊർഡ്‌കോവിച്ച് ആൾജിബ്ര പത്താം ക്ലാസ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കലണ്ടർ-തീമാറ്റിക് ആസൂത്രണം, വീഡിയോഗണിതം ഓൺലൈനിൽ, സ്കൂളിലെ ഗണിതം

ലക്ഷ്യം:

• ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം.
• സമഗ്രതയുടെ ധാരണയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ്.
• കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് കഴിവുകളുടെ രൂപീകരണം.
• സൗന്ദര്യബോധം വളർത്തുക (അസാധാരണമായതിൽ സൗന്ദര്യം കാണാനുള്ള കഴിവ്).

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം എന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ രീതികളാൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും അവയുടെ സാമാന്യവൽക്കരണങ്ങളുടെയും പഠനത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖ ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതിൻ്റെ സാരാംശം "ചെറിയ" എന്നതിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്.

ആ. ഓരോ ഡെഫനിഷൻ പോയിൻ്റിൻ്റെയും മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കങ്ങളിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം. പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്ന് വ്യത്യാസം - കണ്ടെത്തൽഡെറിവേറ്റീവ് (ഡിഫറൻഷ്യൽ) കൂടാതെ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പഠനത്തിനുള്ള പ്രയോഗവും.

വിപരീത പ്രശ്നം അത്ര പ്രധാനമല്ല. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും സമീപമുള്ള പെരുമാറ്റം അറിയാമെങ്കിൽ, ആ ഫംഗ്‌ഷനെ മൊത്തത്തിൽ എങ്ങനെ പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പരിധിയിലും. ഈ പ്രശ്നം ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പഠന വിഷയമാണ്.

വേർതിരിവിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് ഏകീകരണം. അല്ലെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് f(x) ഫംഗ്ഷൻ പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു. "ഇൻ്റഗ്രോ" എന്ന ലാറ്റിൻ പദത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പുനഃസ്ഥാപിക്കൽ എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1.

അനുവദിക്കുക (x)`=3x 2.
നമുക്ക് f(x) കണ്ടെത്താം.

പരിഹാരം:

വ്യതിരിക്തതയുടെ നിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, f(x) = x 3 എന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല, കാരണം (x 3)` = 3x 2
എന്നിരുന്നാലും, f(x) അദ്വിതീയമായി കണ്ടെത്തിയില്ല എന്നത് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കാനാകും.
f(x) ആയി നമുക്ക് എടുക്കാം
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3, മുതലായവ.

കാരണം അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് 3x 2 ന് തുല്യമാണ്. (ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 0 ആണ്). ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെല്ലാം സ്ഥിരമായ പദത്താൽ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം f(x) = x 3 + C എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ C എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

കണ്ടെത്തിയ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷനുകളെ f(x) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രിമോഡിയംഫംഗ്ഷൻ F`(x)= 3x 2

നിർവ്വചനം. ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x നും F`(x)= f(x) ആണെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഇടവേള J-യിലെ f(x) ഫംഗ്‌ഷനായി F(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ F(x)=x 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ f(x)=3x 2 ഓൺ (- ∞ ; ∞) ന് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
എല്ലാ x ~R നും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ: F`(x)=(x 3)`=3x 2

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, ഈ ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് (ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 കാണുക).

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. F(x)=x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാ f(x)= 1/x എന്ന ഇടവേളയിൽ (0; +) വിരുദ്ധമാണ്, കാരണം ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-നും തുല്യത നിലനിൽക്കുന്നു.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. F(x)=tg3x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ f(x)=3/cos3x എന്നതിൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ് (-n/ 2; പി/ 2),
കാരണം F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 ഫംഗ്‌ഷൻ, ഇടവേളയിൽ (0;∞) f(x)=12cos4x-1/x 2 എന്നതിനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്
കാരണം F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

പ്രഭാഷണം 2.

വിഷയം: ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്. ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്.

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയെ ആശ്രയിക്കും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്ഥിരതയുടെ അടയാളം: J ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് Ψ(x) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ Ψ(x) സ്ഥിരമായിരിക്കും.

ഈ പ്രസ്താവന ജ്യാമിതീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

Ψ`(x)=tgα, γde α എന്നത് abscissa x 0 ഉള്ള ബിന്ദുവിലുള്ള Ψ(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണെന്ന് അറിയാം. J ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ Ψ`(υ)=0 ആണെങ്കിൽ, Ψ(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും ടാൻജെൻ്റിന് tanα=0 δ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അതിനാൽ, സൂചിപ്പിച്ച ഇടവേളയിൽ, Ψ(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=C എന്ന നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, f(x)=c എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഈ ഇടവേളയിൽ f`(x)=0 ആണെങ്കിൽ J ഇടവേളയിൽ സ്ഥിരമാണ്.

തീർച്ചയായും, J ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള അനിയന്ത്രിതമായ x 1, x 2 എന്നിവയ്ക്കായി, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), കാരണം f`(c)=0, പിന്നെ f(x 2)= f(x 1)

സിദ്ധാന്തം: (ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്)

F(x) എന്നത് F(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണെങ്കിൽ J ഇടവേളയിൽ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: F(x)+C, ഇവിടെ C എന്നത് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

തെളിവ്:

x Є J-ന് F`(x) = f (x), തുടർന്ന് (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), എന്ന് അനുവദിക്കുക.
Φ(x) നിലവിലുണ്ടെന്ന് കരുതുക - J ഇടവേളയിൽ f (x) ന് മറ്റൊരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്, അതായത്. Φ`(x) = f (x),
തുടർന്ന് (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J.
ഇതിനർത്ഥം ജെ ഇടവേളയിൽ Φ(x) - F(x) സ്ഥിരമാണ്.
അതിനാൽ, Φ(x) - F(x) = C.
എവിടെ നിന്ന് Φ(x)= F(x)+C.
ഇതിനർത്ഥം, F(x) എന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (x) J എന്ന ഇടവേളയിൽ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗണത്തിന് ഒരു ഫോം ഉണ്ട്: F(x)+C, ഇവിടെ C എന്നത് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
തൽഫലമായി, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഒരു സ്ഥിരമായ പദത്താൽ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം: f (x) = cos x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ സെറ്റ് കണ്ടെത്തുക. ആദ്യത്തെ മൂന്നെണ്ണത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ വരയ്ക്കുക.

പരിഹാരം: f (x) = cos x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ് Sin x
F(x) = Sin x+C - എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ്.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം: r (0;c) ൻ്റെ സമാന്തര കൈമാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് F(x)+C യുടെ ഗ്രാഫ് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് F(x) ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം: f (x) = 2x എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി, t.M (1;4) വഴി കടന്നുപോകുന്ന ഗ്രാഫ് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: F(x)=x 2 +C – എല്ലാ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ്, F(1)=4 - പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്.
അതിനാൽ, 4 = 1 2 + സി
സി = 3
F(x) = x 2 +3

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മൂന്ന് അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളുണ്ട്. അവ ബന്ധപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്.

നിയമം 1

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് F ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചില ഫംഗ്‌ഷൻ g-ന് G ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, F + G എന്നത് f + g-ന് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, F' = f. ജി' = ജി. ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് നമുക്ക്:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

നിയമം 2

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് F ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, k എന്നത് ചില സ്ഥിരാങ്കമാണ്. അപ്പോൾ k*F എന്നത് k*f എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഈ നിയമം പിന്തുടരുന്നു.

നമുക്ക്: (k*F)' = k*F' = k*f.

നിയമം 3

F(x) എന്നത് f(x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ചില ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളാണെങ്കിൽ, k, b എന്നിവ ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണെങ്കിൽ, k പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, (1/k)*F*(k*x+b) ആയിരിക്കും f (k*x+b) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഈ നിയമം പിന്തുടരുന്നു:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

ഈ നിയമങ്ങൾ എങ്ങനെ ബാധകമാണ് എന്നതിൻ്റെ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക പൊതു രൂപം f(x) = x^3 +1/x^2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ. x^3 ഫംഗ്‌ഷനായി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ (x^4)/4 ആയിരിക്കും, കൂടാതെ 1/x^2 ഫംഗ്‌ഷനു വേണ്ടി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ -1/x ആയിരിക്കും. ആദ്യ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

ഉദാഹരണം 2. f(x) = 5*cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പൊതുവായ രൂപം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് sin(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

F(x) = 5*sin(x).

ഉദാഹരണം 3. y = sin(3*x-2) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് കണ്ടെത്തുക. sin(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് -cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനായി നമുക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

ഉദാഹരണം 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

1/x^5 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ (-1/(4*x^4)) ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

മുമ്പ്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ അനുസരിച്ച്, വഴികാട്ടി വിവിധ ഫോർമുലകൾനിയമങ്ങളും, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി. ഡെറിവേറ്റീവിന് നിരവധി ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്: ഇത് ചലനത്തിൻ്റെ വേഗതയാണ് (അല്ലെങ്കിൽ, പൊതുവേ, ഏത് പ്രക്രിയയുടെയും വേഗത); ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം; ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏകതാനതയ്ക്കും തീവ്രതയ്ക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കാം; ഇത് ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

എന്നാൽ അറിയപ്പെടുന്ന ചലനനിയമമനുസരിച്ച് വേഗത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തോടൊപ്പം, ഒരു വിപരീത പ്രശ്നവുമുണ്ട് - അറിയപ്പെടുന്ന വേഗതയനുസരിച്ച് ചലന നിയമം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നം. ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു, t സമയത്ത് അതിൻ്റെ വേഗത നൽകുന്നത് v=gt എന്ന ഫോർമുലയാണ്. ചലന നിയമം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. s = s(t) എന്നത് ആവശ്യമുള്ള ചലന നിയമം ആകട്ടെ. s"(t) = v(t) എന്ന് അറിയാം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ s = s(t) തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് gt ന് തുല്യമാണ്. ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. അത് \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).വാസ്തവത്തിൽ
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
ഉത്തരം: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ അപൂർണ്ണമായി എന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) ലഭിച്ചു. വാസ്തവത്തിൽ, പ്രശ്‌നത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്: സി ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമായ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷനും ഒരു നിയമമായി വർത്തിക്കും ചലനം, \(\ഇടത് (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

പ്രശ്നം കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ സാഹചര്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ചില സമയങ്ങളിൽ ഒരു ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന് t = 0. പറയുകയാണെങ്കിൽ, s(0) = s 0, തുടർന്ന് തുല്യത s(t) = (gt 2)/2 + C നമുക്ക് ലഭിക്കും: s(0) = 0 + C, അതായത് C = s 0. ഇപ്പോൾ ചലന നിയമം അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരസ്പര വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പേരുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, പ്രത്യേക നൊട്ടേഷനുകൾ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: സ്ക്വയറിംഗ് (x 2), വർഗ്ഗമൂലവും (\(\sqrt(x) \)), സൈൻ (sin x), ആർക്സിൻ (arcsin x) ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം, വിപരീത പ്രവർത്തനം, അതായത് തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയാണ് സംയോജനം.

"ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പദം തന്നെ "ദൈനംദിന നിബന്ധനകളിൽ" ന്യായീകരിക്കാവുന്നതാണ്: ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) "ജന്മം നൽകുന്നു" എന്ന പുതിയ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് y" = f"(x). y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു “മാതാപിതാവ്” ആയി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സ്വാഭാവികമായും അതിനെ “മാതാപിതാവ്” അല്ലെങ്കിൽ “നിർമ്മാതാവ്” എന്ന് വിളിക്കില്ല; അവർ പറയുന്നു, അത് y" = f" എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ( x) , പ്രാഥമിക ചിത്രം അല്ലെങ്കിൽ പ്രാകൃതം.

നിർവ്വചനം.\(x \in X\) എന്നതിന് F"(x) = f(x) തുല്യത നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ X ഇടവേളയിലെ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ y = F(x) ഫംഗ്‌ഷനെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രായോഗികമായി, ഇടവേള X സാധാരണയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ അത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്ൻ ആയി).

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം.
1) y = x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ y = 2x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം ഏത് x നും തുല്യത (x 2)" = 2x ശരിയാണ്
2) y = x 3 ഫംഗ്‌ഷൻ y = 3x 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം ഏത് x നും തുല്യത (x 3)" = 3x 2 ശരിയാണ്
3) y = sin(x) ഫംഗ്‌ഷൻ y = cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം ഏതൊരു x നും തുല്യത (sin(x))" = cos(x) ശരിയാണ്

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഫോർമുലകൾ മാത്രമല്ല, ചില നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമങ്ങളുമായി അവ നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

നിയമം 1.ഒരു തുകയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

നിയമം 2. F(x) എന്നത് f(x) ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണെങ്കിൽ kF(x) എന്നത് kf(x) ൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ്.

സിദ്ധാന്തം 1. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y = f(kx + m) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് \(y=\frac(1)(k)F ഫംഗ്‌ഷനാണ്. (kx+m) \)

സിദ്ധാന്തം 2. X ഇടവേളയിലെ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ y = F(x) ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്, അവയ്‌ക്കെല്ലാം y = F(x) രൂപമുണ്ട്. + സി.

സംയോജന രീതികൾ

വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റ് രീതി (പകരം സ്ഥാപിക്കൽ രീതി)

ഒരു പുതിയ സംയോജന വേരിയബിൾ (അതായത്, സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ) അവതരിപ്പിക്കുന്നത് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ വഴി സംയോജിപ്പിക്കുന്ന രീതി ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഇൻ്റഗ്രൽ ഒരു പുതിയ അവിഭാജ്യമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അത് ടാബ്ലർ അല്ലെങ്കിൽ അതിലേക്ക് കുറയ്ക്കാം. സാധാരണ രീതികൾപകരം വയ്ക്കാനുള്ള തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഇല്ല. പകരക്കാരനെ ശരിയായി നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള കഴിവ് പരിശീലനത്തിലൂടെ നേടിയെടുക്കുന്നു.
ഇൻ്റഗ്രൽ \(\textstyle \int F(x)dx \) കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് \(x= \varphi(t) \) പകരം വയ്ക്കാം, അവിടെ \(\varphi(t) \) ഒരു തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്.
തുടർന്ന് \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) കൂടാതെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിനുള്ള ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഫോർമുലയുടെ ഇൻവേരിയൻസ് പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കി, സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ വഴി നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഫോർമുല ലഭിക്കും:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) രൂപത്തിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ സംയോജനം

m ഒറ്റയടി ആണെങ്കിൽ, m > 0, പകരം sin x = t ആക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
n ഒറ്റയടി ആണെങ്കിൽ, n > 0, പകരം cos x = t ആക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
n, m എന്നിവ തുല്യമാണെങ്കിൽ, പകരം tg x = t ആക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഭാഗങ്ങൾ പ്രകാരമുള്ള സംയോജനം

ഭാഗങ്ങളുടെ സംയോജനം - സംയോജനത്തിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
അഥവാ:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ (ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ) പട്ടിക

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ f(x)ഇടയില് (എ; ബി)ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു F(x), ആ സമത്വം ഏതൊരാൾക്കും നിലനിൽക്കുന്നു എക്സ്ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിന്ന്.

ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന വസ്തുത നാം കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ കൂടെപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ സമത്വം സത്യമാണ്. അതിനാൽ പ്രവർത്തനം f(x)നിരവധി പ്രാകൃതങ്ങൾ ഉണ്ട് F(x)+C, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിന് കൂടെ, കൂടാതെ ഈ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകൾ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരമായ മൂല്യത്താൽ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു അനിശ്ചിത സംയോജനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റും f(x)ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .

പദപ്രയോഗം വിളിക്കുന്നു സമഗ്രമായ, എ f(x) – സമഗ്രമായ പ്രവർത്തനം. ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു f(x).

ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു അനിശ്ചിതത്വംസംയോജനം, കാരണം ഏകീകരണത്തിൻ്റെ ഫലം ഒന്നിലധികം ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ് F(x), അതിൻ്റെ പ്രാകൃതങ്ങളുടെ കൂട്ടം F(x)+C.

അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് D(x) ൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ ഇൻ്റഗ്രൽ കർവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. x0y കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ സ്ഥിരമായ C യുടെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിക്കുന്ന വക്രങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ 0y അക്ഷത്തിൽ സമാന്തരമായ ഷിഫ്റ്റ് വഴി പരസ്പരം ലഭിക്കുന്നു. മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണത്തിനായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

J 2 x^x = x2 + C.

ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കുടുംബം (x + C) ഒരു കൂട്ടം പരാബോളകളാൽ ജ്യാമിതീയമായി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു.

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരെണ്ണം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, സ്ഥിരമായ C നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന അധിക വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. സാധാരണയായി, ഈ ആവശ്യത്തിനായി, പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ സജ്ജീകരിക്കും: ആർഗ്യുമെൻ്റ് x = x0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷന് D മൂല്യമുണ്ട്. (x0) = y0.

ഉദാഹരണം. x0 = 1 എന്നതിൽ 3 മൂല്യം എടുക്കുന്ന y = 2 x ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ആവശ്യമായ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്: D(x) = x2 + 2.

പരിഹാരം. ^2x^x = x2 + C; 12 + സി = 3; സി = 2.

2. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷന് തുല്യമാണ്:

2. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് എക്സ്പ്രഷന് തുല്യമാണ്:

3. ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ അനിശ്ചിത സംയോജനം ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കും ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിനും തുല്യമാണ്:

4. അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാം:

5. സംയോജനത്തിൻ്റെ (വ്യത്യാസം) സംയോജനത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) തുല്യമാണ്:

6. പ്രോപ്പർട്ടി 4, 5 എന്നിവയുടെ സംയോജനമാണ്:

7. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ മാറ്റമില്ലാത്ത സ്വത്ത്:

എങ്കിൽ , അത്

8. സ്വത്ത്:

എങ്കിൽ , അത്

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി വേരിയബിൾ മാറ്റ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സംയോജനത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, അത് അടുത്ത വിഭാഗത്തിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

3. സംയോജന രീതിഇൻഡിഗ്രാൻഡിൻ്റെ (അല്ലെങ്കിൽ എക്സ്പ്രഷൻ) സമാന പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെയും അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിലൂടെയും തന്നിരിക്കുന്ന ഇൻ്റഗ്രൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ ടേബിൾ ഇൻ്റഗ്രലുകളായി ചുരുക്കിയതിനെ വിളിക്കുന്നു നേരിട്ടുള്ള സംയോജനം. ഈ ഇൻ്റഗ്രൽ ഒരു ടേബിളിലേക്ക് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഓപ്പറേഷൻ " ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നം സബ്‌സ്‌ക്രൈബുചെയ്യുന്നു»):

എല്ലാം, f’(u)du = d(f(u)).ഇത് (ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഫോർമുല പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുകയും ഈ ഇൻ്റഗ്രൽ നിരവധി പട്ടികകളിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും ചെയ്യാം.

4. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി വഴിയുള്ള സംയോജനം.

ഈ രീതിയുടെ സാരം, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഈ വേരിയബിളിലൂടെ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഒരു പട്ടിക (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ) രൂപത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

മിക്കപ്പോഴും, ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളും ഫംഗ്ഷനുകളും റാഡിക്കലുകളുമായി സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ പകരം വയ്ക്കൽ രീതി രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

ഉദാഹരണം.

അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാം. പ്രകടിപ്പിക്കാം എക്സ്വഴി z:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഇൻ്റഗ്രലിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

നമുക്കുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് .

യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു എക്സ്:

ഉത്തരം: