ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

a*x^2 +b*x+c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ a,b,c ചില അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, x എന്നത് ഒരു വേരിയബിളാണ്. മാത്രമല്ല, a എന്ന സംഖ്യ 0 ന് തുല്യമല്ല.

a,b,c എന്നീ സംഖ്യകളെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. a എന്ന സംഖ്യയെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്നും b സംഖ്യയെ x ൻ്റെ ഗുണകം എന്നും c സംഖ്യയെ ഫ്രീ ടേം എന്നും വിളിക്കുന്നു. മറ്റു പേരുകളും ചില സാഹിത്യങ്ങളിൽ കാണാം. a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യത്തെ ഗുണകം എന്നും b സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അവരുടേതായ വർഗ്ഗീകരണമുണ്ട്.

സാധ്യതകളുടെ ലഭ്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

1. മുഴുവൻ

2. അപൂർണ്ണം

അജ്ഞാതമായ ഏറ്റവും ഉയർന്ന അളവിലുള്ള ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്(മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യം):

1. നൽകിയത്

2. പ്രതിനിധീകരിക്കാത്തത്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സമ്പൂർണ്ണ എന്ന് വിളിക്കുന്നുമൂന്ന് ഗുണകങ്ങളും അതിൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ. പൂർണ്ണമായതിൻ്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം: a*x^2 +b*x+c=0;

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നുസമവാക്യത്തിൽ a*x^2 +b*x+c=0 ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന് b അല്ലെങ്കിൽ c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (b=0 അല്ലെങ്കിൽ c=0), എന്നിരുന്നാലും, ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമായിരിക്കും ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബിയും കോ എഫിഷ്യൻ്റ് സിയും (ബി=0, സി=0 എന്നിവയും).

മുൻനിര ഗുണകത്തെക്കുറിച്ച് ഇവിടെ ഒന്നും പറയുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അത് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം.

നൽകിയത്അതിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (a=1). മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം ഇതാണ്: x^2 +d*x+e=0.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അജ്ഞാത,സമവാക്യത്തിലെ മുൻനിര ഗുണകം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ. കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം: a*x^2 +b*x+c=0.

കുറയ്ക്കാത്ത ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും കുറച്ച ഒന്നായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളെ മുൻനിര ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഇക്വേഷൻ ഉദാഹരണങ്ങൾ

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:നമുക്ക് സമവാക്യം 2*x^2 - 6*x+7 =0;

നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് അതിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 2. നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളെ അത് കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഉത്തരം എഴുതാം.

x^2 - 3*x+3.5 =0;

നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് a*x^2 +b*x+c എന്ന രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമുണ്ട്. ഇതിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

പ്രധാനപ്പെട്ട കുറിപ്പുകൾ!
1. ഫോർമുലകൾക്ക് പകരം ഗോബിൾഡിഗൂക്ക് കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ കാഷെ മായ്‌ക്കുക. നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഇവിടെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
2. നിങ്ങൾ ലേഖനം വായിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഞങ്ങളുടെ നാവിഗേറ്റർ പരമാവധി ശ്രദ്ധിക്കുക ഉപയോഗപ്രദമായ വിഭവംവേണ്ടി

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം" എന്ന പദത്തിൽ പ്രധാന വാക്ക് "ക്വാഡ്രാറ്റിക്" ആണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ (അതേ x) ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം, കൂടാതെ മൂന്നാമത്തെ (അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലിയ) ശക്തിക്ക് x ഉണ്ടാകരുത്.

പല സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

ഇതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണെന്നും മറ്റേതെങ്കിലും സമവാക്യമല്ലെന്നും നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് പഠിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കി X ൻ്റെ അധികാരങ്ങളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ നിബന്ധനകൾ ക്രമീകരിക്കാം

ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും!

ഉദാഹരണം 2.

ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഗുണിക്കുക:

ഈ സമവാക്യം, യഥാർത്ഥത്തിൽ അതിൽ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ല!

ഉദാഹരണം 3.

നമുക്ക് എല്ലാം ഗുണിക്കാം:

ഭീതിദമാണ്? നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾ... എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കാണാം:

ഉദാഹരണം 4.

അത് അവിടെ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി നോക്കാം. നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

നോക്കൂ, അത് കുറഞ്ഞു - ഇപ്പോൾ ഇതൊരു ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യമാണ്!

ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്നും അല്ലാത്തത് ഏതെന്നും ഇപ്പോൾ സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സമചതുരം Samachathuram;
2. സമചതുരം Samachathuram;
3. ചതുരമല്ല;
4. ചതുരമല്ല;
5. ചതുരമല്ല;
6. സമചതുരം Samachathuram;
7. ചതുരമല്ല;
8. സമചതുരം Samachathuram.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരമ്പരാഗതമായി എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

• സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റുകളും അതുപോലെ ഫ്രീ ടേം സിയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ). കൂടാതെ, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഉണ്ട് നൽകിയത്- ഇവയാണ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം പൂർണ്ണമാകുക മാത്രമല്ല, കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു!)

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

  ചില മൂലകങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെട്ടതിനാൽ അവ അപൂർണ്ണമാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ എപ്പോഴും x ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം!!! അല്ലെങ്കിൽ, അത് ഇനി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായിരിക്കില്ല, മറിച്ച് മറ്റ് ചില സമവാക്യങ്ങളായിരിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ അത്തരമൊരു വിഭജനം കൊണ്ടുവന്നത്? ഒരു എക്സ് സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, ശരി. പരിഹാര രീതികളാൽ ഈ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അവ ഓരോന്നും കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം - അവ വളരെ ലളിതമാണ്!

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.
2. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.
3. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

1. ഐ. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എങ്ങനെ എടുക്കണമെന്ന് നമുക്കറിയാവുന്നതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം

എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും, അതിനാൽ: എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പ്രധാന കാര്യം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം, അത് കുറവായിരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർമ്മിക്കുക.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് ഇടത് വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക എന്നതാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വേരുകൾ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെ കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത് !!!

ഉദാഹരണം 6:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 7:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഓ! ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല!

വേരുകളില്ലാത്ത അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ കൊണ്ടുവന്നു - (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). കൂടാതെ ഉത്തരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാത്തതിനാൽ ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 8:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

അങ്ങനെ,

ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം (അവയെല്ലാം ലളിതമാണെങ്കിലും, ശരിയല്ലേ?). വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിരാകരിക്കും.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇവയേക്കാൾ അൽപ്പം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (കുറച്ച് മാത്രം).

ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും! അപൂർണ്ണം പോലും.

മറ്റ് രീതികൾ ഇത് വേഗത്തിൽ ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

1. ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്; പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഒരു പടി എടുക്കുക. വിവേചനം () സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, ഘട്ടത്തിലെ ഫോർമുല ഇതിലേക്ക് ചുരുക്കും. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
• എങ്കിൽ, സ്റ്റെപ്പിലെ വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് തിരിച്ചുപോയി ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഘട്ടം 3.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 10:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 11:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം.

ഉത്തരം:വേരുകളില്ല

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കുറച്ചത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു തരം സമവാക്യമുണ്ട് (ഗുണകം a തുല്യമാകുമ്പോൾ):

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകിയത്ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഗുണനം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 12:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, അതായത്. നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

നമുക്ക് സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

ഉത്തരം: ; .

ഉദാഹരണം 13:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 14:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. ശരാശരി നില

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ചില സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ.

സംഖ്യയെ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദ്യ ഗുണകംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, എ - സ്വതന്ത്ര അംഗം.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം സമവാക്യം ഉടനടി രേഖീയമാണെങ്കിൽ, കാരണം അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാം. ഈ കസേര സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

വിവിധ തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നോക്കാം - അവ ലളിതമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ നമുക്ക് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും:

I., ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

II. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.

III. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.

ഇനി ഈ ഓരോ ഉപവിഭാഗങ്ങൾക്കുമുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം.

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം നിങ്ങൾ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ്:

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഓർക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം അത് കുറവായിരിക്കരുത് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത്!

ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല.

ഒരു പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാൻ, ഞങ്ങൾ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉത്തരം:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇതിനർത്ഥം:

അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം കണക്കാക്കി വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം:

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

1. വിവേചനം

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയിലെ വിവേചനത്തിൽ നിന്നുള്ള റൂട്ട് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്നാൽ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആകാം. എന്തുചെയ്യും? ഘട്ടം 2-ലേക്ക് നാം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്:
• എങ്കിൽ സമവാക്യം ഉണ്ട് ഒരേ വേരുകൾ, എന്നാൽ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു റൂട്ട്:

  അത്തരം വേരുകളെ ഇരട്ട വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, വിവേചനക്കാരൻ്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് അത് സാധ്യമാണ് വ്യത്യസ്ത അളവുകൾവേരുകൾ? നമുക്ക് തിരിയാം ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, . ഇതിനർത്ഥം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ abscissa axis (axis) മായി ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്. ഒരു പരവലയം അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കണമെന്നില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ (പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുമ്പോൾ) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിച്ചേക്കാം.

കൂടാതെ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഗുണകം ഉത്തരവാദിയാണ്. പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ താഴേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

ഉത്തരം: .

ഉത്തരം:

ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം: .

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ().

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം #1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും . മറ്റ് ഗുണകങ്ങൾ:; .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

ഉത്തരം:; .

ഉദാഹരണം #2:

പരിഹാരം:

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു.

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു. ലഭിക്കുന്നതിന്, അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും: കൂടാതെ, എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉൽപ്പന്നം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #3:

പരിഹാരം:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അതിനാൽ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ് അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

കൂടാതെ: അവരുടെ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ് - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

കൂടാതെ: - അനുയോജ്യം. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, ചെറിയ മോഡുലസ് ഉള്ള റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: . ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #4:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് നെഗറ്റീവും മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ.

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് ഏത് വേരുകൾക്ക് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ മാത്രം ആദ്യ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, അനുസരിച്ച് ഇത്രയെങ്കിലും, വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, രണ്ട് വേരുകൾക്കും ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നു.

ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ അക്കങ്ങളും.

ഉത്തരം:

സമ്മതിക്കുക, ഈ വൃത്തികെട്ട വിവേചനത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം വാമൊഴിയായി വേരുകൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം കഴിയുന്നത്ര തവണ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

എന്നാൽ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സുഗമമാക്കുന്നതിനും വേഗത്തിലാക്കുന്നതിനും വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോജനം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ യാന്ത്രികതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. ഇതിനായി, അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ വഞ്ചിക്കരുത്: നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രം:

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:

ടാസ്ക് 1. ((x)^(2))-8x+12=0

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു കഷണം ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നു:

തുക കാരണം അനുയോജ്യമല്ല;

: തുക നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് മാത്രമാണ്.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 2.

വീണ്ടും ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: തുക തുല്യമായിരിക്കണം, ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായിരിക്കണം.

എന്നാൽ അത് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല, പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു: കൂടാതെ (മൊത്തം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 3.

ഹും... അതെവിടെ?

നിങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു ഭാഗത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, നിർത്തുക! സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. അതിനാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം നൽകേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് നയിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ആശയം ഉപേക്ഷിച്ച് മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ). ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകുക എന്നതിനർത്ഥം മുൻനിര ഗുണകത്തെ തുല്യമാക്കുക എന്നാണ് എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

കൊള്ളാം. അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യവും ഉൽപ്പന്നവുമാണ്.

ഇവിടെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഷെല്ലിംഗ് പിയേഴ്സ് പോലെ എളുപ്പമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് (ടൗട്ടോളജിക്ക് ക്ഷമിക്കണം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 4.

സ്വതന്ത്ര അംഗം നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്താണ് ഇതിൻ്റെ പ്രത്യേകത? വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുണ്ടാകും എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇപ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയല്ല, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളിലെ വ്യത്യാസമാണ് പരിശോധിക്കുന്നത്: ഈ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്.

അതിനാൽ, വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, അതായത്. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ റൂട്ടിന് ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടായിരിക്കും: ഒപ്പം, മുതൽ.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 5.

നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? അത് ശരിയാണ്, സമവാക്യം നൽകുക:

വീണ്ടും: ഞങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. ഏതാണ്? അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് മൈനസിന് ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉത്തരം:; .

ഞാൻ സംഗ്രഹിക്കട്ടെ:

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ വാമൊഴിയായി കണ്ടെത്താനാകും.
3. സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിലോ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യമായ ജോഡി ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലോ, മുഴുവൻ വേരുകളുമില്ല, നിങ്ങൾ അത് മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ).

3. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതി

അജ്ഞാതമായ എല്ലാ പദങ്ങളും സംക്ഷിപ്ത ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - തുകയുടെ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം - വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, സമവാക്യം തരത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉദാഹരണം 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 2:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

IN പൊതുവായ കാഴ്ചപരിവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു: .

ഒന്നും നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? ഇത് വിവേചനപരമായ കാര്യമാണ്! അങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾക്ക് വിവേചന സൂത്രവാക്യം ലഭിച്ചത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ, - സ്വതന്ത്ര പദം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം, അതായത്: .

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം:

• ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ,
• ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമുണ്ടെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: .

1. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1.1 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) നമുക്ക് അജ്ഞാതമായത് പ്രകടിപ്പിക്കാം:,

2) പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക:

• സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

1.2 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം: ,

2) ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

1.3 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ: .

2. ഫോമിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

2.1 വിവേചനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

1) നമുക്ക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാം സാധാരണ കാഴ്ച: ,

2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം:

3) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്, അവ സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

2.2 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക (രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം) തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്, അതായത്. , എ.

2.3 ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം

ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഫോമിൽ എഴുതാം: .

ശരി, വിഷയം കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾ ഈ വരികൾ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ വളരെ ശാന്തനാണ് എന്നാണ്.

കാരണം 5% ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾ അവസാനം വരെ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ 5% ആണ്!

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം.

ഈ വിഷയത്തിലെ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പിന്നെ, ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഇത്... ഇത് വെറും സൂപ്പർ! നിങ്ങളുടെ സമപ്രായക്കാരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തേക്കാളും നിങ്ങൾ ഇതിനകം മികച്ചതാണ്.

ഇത് മതിയാകില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം...

എന്തിനുവേണ്ടി?

വേണ്ടി വിജയകരമായ പൂർത്തീകരണംഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ, ഒരു ബജറ്റിൽ കോളേജിൽ പ്രവേശനത്തിനും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ജീവിതത്തിനും.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല, ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയാം...

സ്വീകരിച്ച ആളുകൾ ഒരു നല്ല വിദ്യാഭ്യാസം, അത് ലഭിക്കാത്തവരേക്കാൾ വളരെ കൂടുതൽ സമ്പാദിക്കുക. ഇത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്.

എന്നാൽ ഇത് പ്രധാന കാര്യമല്ല.

പ്രധാന കാര്യം അവർ കൂടുതൽ സന്തുഷ്ടരാണ് (അത്തരം പഠനങ്ങളുണ്ട്). ഒരുപക്ഷെ, ഇനിയും നിരവധി അവസരങ്ങൾ അവരുടെ മുന്നിൽ തുറക്കപ്പെടുകയും ജീവിതം ശോഭനമാകുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണോ? അറിയില്ല...

എന്നാൽ സ്വയം ചിന്തിക്കൂ...

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ മികച്ചവരായിരിക്കാനും ആത്യന്തികമായി ... സന്തോഷവാനായിരിക്കാനും എന്താണ് വേണ്ടത്?

ഈ വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ കൈ നേടുക.

പരീക്ഷയ്ക്കിടെ നിങ്ങളോട് തിയറി ചോദിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും സമയത്തിനെതിരായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

കൂടാതെ, നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ (ഒരുപാട്!), നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും ഒരു മണ്ടത്തരമായ തെറ്റ് ചെയ്യും അല്ലെങ്കിൽ സമയമില്ല.

ഇത് സ്പോർട്സിൽ പോലെയാണ് - ഉറപ്പായും വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇത് പലതവണ ആവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്തെല്ലാം ശേഖരം കണ്ടെത്തുക, അനിവാര്യമായും പരിഹാരങ്ങൾക്കൊപ്പം, വിശദമായ വിശകലനം തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക!

നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം (ഓപ്ഷണൽ) ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടാൻ, നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വായിക്കുന്ന YouClever പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ആയുസ്സ് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്ങനെ? രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഈ ലേഖനത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ജോലികളും അൺലോക്ക് ചെയ്യുക -
2. പാഠപുസ്തകത്തിലെ എല്ലാ 99 ലേഖനങ്ങളിലും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് അൺലോക്ക് ചെയ്യുക - ഒരു പാഠപുസ്തകം വാങ്ങുക - 499 RUR

അതെ, ഞങ്ങളുടെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ അത്തരം 99 ലേഖനങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് ചെയ്യാനും അവയിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടെക്സ്റ്റുകളും ഉടനടി തുറക്കാനും കഴിയും.

സൈറ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ ജീവിതത്തിനായി മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരമായി...

ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടില്ലെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവരെ കണ്ടെത്തുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ മാത്രം നിൽക്കരുത്.

"മനസ്സിലായി", "എനിക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും" എന്നിവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ കഴിവുകളാണ്. രണ്ടും വേണം.

പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അവ പരിഹരിക്കുക!

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങളും പഠിക്കുന്നു സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസർവകലാശാലകളിലും. അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a*x^2 + b*x + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളാണ് x-വേരിയബിൾ, എ, ബി, സി - സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ; എ<>0 . സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ (വേരുകൾ) അബ്സിസ്സ (x) അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാണ്. സാധ്യമായ മൂന്ന് കേസുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:
1) പരവലയത്തിന് abscissa അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. ഇതിനർത്ഥം മുകളിലെ തലത്തിൽ ശാഖകൾ മുകളിലോ താഴെ ശാഖകളോ ഉള്ളതാണ്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല (ഇതിന് രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്).

2) പരവലയത്തിന് കാള അച്ചുതണ്ടുമായി ഒരു പോയിൻ്റ് വിഭജനമുണ്ട്. അത്തരമൊരു പോയിൻ്റിനെ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അല്ലെങ്കിൽ കൂടിയ മൂല്യം നേടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് സമാന വേരുകൾ) ഉണ്ട്.

3) അവസാന കേസ് പ്രായോഗികമായി കൂടുതൽ രസകരമാണ് - അബ്സിസ്സ അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

വേരിയബിളുകളുടെ ശക്തികളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പരവലയത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ച് രസകരമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.

1) കോ എഫിഷ്യൻ്റ് എ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു; അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു.

2) കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബി പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശീർഷകം അത് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇടത് അർദ്ധ-തലത്തിലാണ്. നെഗറ്റീവ് അർത്ഥം- പിന്നെ വലതുവശത്ത്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം മാറ്റാം

തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും

ഇരുവശങ്ങളും 4a കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

ഇടതുവശത്ത് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം ലഭിക്കാൻ, ഇരുവശത്തും b^2 ചേർത്ത് പരിവർത്തനം നടത്തുക

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനത്തിനും വേരുകൾക്കുമുള്ള ഫോർമുല

വിവേചനം എന്നത് സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യമാണ്, അത് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് (രണ്ട് ഏകീകൃത വേരുകൾ), അത് D=0 എന്നതിനായുള്ള മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അവയുടെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ പരിഗണിക്കുകയും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം തന്നെ നൊട്ടേഷനിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പിന്തുടരുന്നു: നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത ഗുണകമായ p ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഗുണനം q എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ക്ലാസിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ a പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ മുഴുവൻ സമവാക്യവും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക.

ഫാക്‌ടറിംഗ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ ഷെഡ്യൂൾ

ചുമതല സജ്ജീകരിക്കട്ടെ: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഘടകം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു (വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക). അടുത്തതായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിപുലീകരണ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങൾ

ടാസ്ക് 1. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

x^2-26x+120=0 .

പരിഹാരം: ഗുണകങ്ങൾ എഴുതി അവയെ വിവേചന ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റുക

റൂട്ട് നൽകിയ മൂല്യം 14 ന് തുല്യമാണ്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പതിവ് ഉപയോഗത്തിലൂടെ ഓർമ്മിക്കുക, എന്നിരുന്നാലും, സൗകര്യാർത്ഥം, ലേഖനത്തിൻ്റെ അവസാനം, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും നേരിടാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് നൽകും.
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

നമുക്കും കിട്ടും

ടാസ്ക് 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

2x 2 +x-3=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്, ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക


അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ടാസ്ക് 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

9x 2 -12x+4=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വേരുകൾ ഒത്തുപോകുന്ന ഒരു കേസ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

ടാസ്ക് 4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

x^2+x-6=0 .

പരിഹാരം: x ന് ചെറിയ ഗുണകങ്ങൾ ഉള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. അതിൻ്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം -6 ന് തുല്യമായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാധ്യമായ ജോഡി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (-3;2), (3;-2) . ആദ്യ വ്യവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ജോഡി പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

പ്രശ്നം 5. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് 18 സെൻ്റിമീറ്ററും അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 77 സെ.മീ 2 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി ചുറ്റളവ് അതിൻ്റെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് x നെ വലിയ വശമായി സൂചിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് 18-x അതിൻ്റെ ചെറിയ വശമാണ്. ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ദൈർഘ്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:
x(18-x)=77;
അഥവാ
x 2 -18x+77=0.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്താം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നു

എങ്കിൽ x=11,അത് 18's=7 ,വിപരീതവും ശരിയാണ് (x=7 എങ്കിൽ, 21's=9).

പ്രശ്നം 6. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 10x 2 -11x+3=0 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നമ്മൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി കണക്കാക്കുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം വേരുകളാൽ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും.

പരാമീറ്ററുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

ഉദാഹരണം 1. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: a=3 മൂല്യത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ അതിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. അടുത്തതായി, ഒരു പൂജ്യം വിവേചനത്തോടെ സമവാക്യത്തിന് ഗുണിതം 2 ൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് വിവേചനം എഴുതാം

നമുക്ക് ഇത് ലളിതമാക്കി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം

പരാമീറ്ററുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 12 ആണ്. ലളിതമായ തിരയലിലൂടെ, 3,4 അക്കങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ തുടക്കത്തിൽ a=3 എന്ന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നിരസിച്ചതിനാൽ, ശരിയായത് ഇതായിരിക്കും - a=4.അങ്ങനെ, a=4 ന് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,സമവാക്യം a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: നമുക്ക് ആദ്യം ഏകവചന പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കാം, അവ a=0, a=-3 എന്നീ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കും. a=0 ആകുമ്പോൾ, സമവാക്യം 6x-9=0 രൂപത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കും; x=3/2, ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടാകും. a= -3 ന് നമുക്ക് 0=0 എന്ന ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും.
നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം

പോസിറ്റീവ് ആയ ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

ആദ്യ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു>3 ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തേതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനവും വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു


ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുന്ന ഇടവേളകൾ നമുക്ക് നിർവചിക്കാം പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ. പോയിൻ്റ് a=0 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കും 3>0 . അതിനാൽ, ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് (-3;1/3) പ്രവർത്തനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. കാര്യം മറക്കരുത് a=0,യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളതിനാൽ അത് ഒഴിവാക്കണം.
തൽഫലമായി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ഇടവേളകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പ്രായോഗികമായി സമാനമായ നിരവധി ജോലികൾ ഉണ്ടാകും, ചുമതലകൾ സ്വയം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പരസ്പരവിരുദ്ധമായ വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കാൻ മറക്കരുത്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നന്നായി പഠിക്കുക; വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളിലും ശാസ്ത്രങ്ങളിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് അവ പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിച്ച ശേഷം, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ മറ്റുള്ളവരുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുമായി, അവയെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ax² + bx + c = 0 പോലെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ വേരിയബിൾ x ആണ്, സംഖ്യകൾ a, b, c ആണ്, ഇവിടെ a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഗുണകം (സി അല്ലെങ്കിൽ ബി) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി വർഗ്ഗീകരിക്കും.

വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇതുവരെ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ എങ്കിൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾഅവ പരിഹരിക്കാനുള്ള ലളിതമായ വഴികളും.

a) കോ എഫിഷ്യൻ്റ് c 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോ എഫിഷ്യൻ്റ് b പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി ² + bx + 0 = 0 എന്നത് കോടാലി ² + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറേറ്റുചെയ്യുന്നതിലും പിന്നീട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിക്കുന്നതിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 5x² - 20x = 0. സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു: ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് സാധാരണ ഘടകം എടുക്കുന്നു.

5x (x - 4) = 0

ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 0 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് 4 ആണ്.

b) b = 0, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി ² + 0x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ax ² + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. : എ) ഇടതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ ബഹുപദം ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ; ബി) ഗണിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്. അത്തരം ഒരു സമവാക്യം ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 5/2 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് തുല്യമാണ് - 5/2.

c) b എന്നത് 0-നും c എന്നത് 0-നും തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോടാലി ² + 0 + 0 = 0 എന്നത് കോടാലി ² = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. അത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൽ x 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വേരുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

കൂടുതൽ ലളിതമായ രീതിയിൽ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് z ഇടുക. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും: z(аz + b) = 0. ഘടകങ്ങൾ എഴുതാം: z=0, az + b = 0, കാരണം രണ്ടും പൂജ്യത്തിൽ കലാശിക്കും. az + b = 0 എന്ന നൊട്ടേഷനിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേത് മറ്റൊരു അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് വലത്തേക്ക് നീക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് z1 = 0, z2 = -b/a എന്നിവ ലഭിക്കും. ഇവയാണ് ഒറിജിനലിൻ്റെ വേരുകൾ.

അവിടെയുണ്ടെങ്കിൽ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യംഫോം az² + c = 0, in ഈ സാഹചര്യത്തിൽആകുന്നു ലളിതമായ കൈമാറ്റംസമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം. അതിൻ്റെ അടയാളവും മാറ്റുക. ഫലം az² = -с ആയിരിക്കും. എക്സ്പ്രസ് z² = -c/a. റൂട്ട് എടുത്ത് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതുക - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്.

കുറിപ്പ്

സമവാക്യത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി മുഴുവൻ സമവാക്യത്തെയും ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ആവശ്യമാണ്; ചിലപ്പോൾ ഇത് മുതിർന്നവരെ സഹായിക്കും. സാധാരണ ജീവിതം. നിരവധി പ്രത്യേക പരിഹാര മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

a*x^2+b*x+c=0 ഫോമിൻ്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഗുണകം x എന്നത് ആവശ്യമുള്ള വേരിയബിളാണ്, a, b, c സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളാണ്. “+” ചിഹ്നം “-” ചിഹ്നമായി മാറുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുകയോ വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിവേചനം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ രീതി, കാരണം a, b, c എന്നിവയുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.

വിവേചനം (D) കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ D=b^2 - 4*a*c എന്ന ഫോർമുല എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. D മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ കുറവോ തുല്യമോ ആകാം. D പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും; D = 0 ആണെങ്കിൽ, ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ; കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ കേസിൽ D-ക്ക് രണ്ട് തുല്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അറിയപ്പെടുന്ന ഗുണകങ്ങൾ a, b, c ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

നിങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, ഇവിടെ sqrt എന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതായത് തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതിനുശേഷം സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കും.

ഡി പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, അതിന് ഇപ്പോഴും വേരുകളുണ്ട്. ഈ വിഭാഗം പ്രായോഗികമായി സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടില്ല. റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുവെന്ന് സർവകലാശാല വിദ്യാർത്ഥികൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം എടുത്തുകാണിച്ചുകൊണ്ട് അവർ അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു, അതായത്, റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള -1 എല്ലായ്പ്പോഴും സാങ്കൽപ്പിക മൂലകമായ "i" ന് തുല്യമാണ്, അത് റൂട്ട് കൊണ്ട് ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു. പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. ഉദാഹരണത്തിന്, D=sqrt(-20), രൂപാന്തരത്തിന് ശേഷം നമുക്ക് D=sqrt(20)*i ലഭിക്കും. ഈ പരിവർത്തനത്തിനുശേഷം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് മുകളിൽ വിവരിച്ച അതേ വേരുകളുടെ കണ്ടെത്തലായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

x(1), x(2) എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം. സമാനമായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=സെ. കൂടാതെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് b എന്ന ഗുണകത്തിന് മുന്നിലുള്ള ചിഹ്നമാണ്, ഈ ചിഹ്നം സമവാക്യത്തിലെ ഒന്നിന് വിപരീതമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, x (1), x (2) എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടിവരുമെന്ന വസ്തുത നിങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘടകങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ചിലത് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ രീതിയിൽ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞെങ്കിൽ, മടിക്കേണ്ടതില്ല ഉത്തരം എഴുതുക. x(1) ഉം x(2) ഉം ബ്രാക്കറ്റിലെ അടുത്തുള്ള ഗുണകങ്ങൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, എന്നാൽ വിപരീത ചിഹ്നം.

കൂടാതെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്. നിങ്ങൾക്ക് ചില നിബന്ധനകൾ നഷ്‌ടമായേക്കാം; അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. x^2 അല്ലെങ്കിൽ x ന് മുന്നിൽ ഒന്നുമില്ലെങ്കിൽ, a, b എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ 1 ന് തുല്യമാണ്.