ഇത് ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത പ്രോഗ്രാംനിങ്ങൾക്ക് പോളിനോമിയലുകൾ കോളം കൊണ്ട് വിഭജിക്കാം.
ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല, അത് നൽകുന്നു വിശദമായ പരിഹാരംവിശദീകരണങ്ങളോടെ, അതായത്. ഗണിതത്തിലും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ബീജഗണിതത്തിലും അറിവ് പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഹാര പ്രക്രിയ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് പരിശോധനകൾകൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താം, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബഹുപദം ലളിതമാക്കുകഅഥവാ ബഹുപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുക, പിന്നെ ഇതിനായി നമുക്ക് ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പ്രോഗ്രാം ലളിതവൽക്കരണം (ഗുണനം) ഉണ്ട്

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും, പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറുള്ള ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കൻ്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു നിര (കോണിൽ) കൊണ്ട് ഒരു ബഹുപദമായി (ബൈനോമിയൽ) വിഭജിക്കുന്നു

ബീജഗണിതത്തിൽ ഒരു നിര (കോണിൽ) കൊണ്ട് ബഹുപദങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നു- പോളിനോമിയൽ f(x) നെ പോളിനോമിയൽ (ബൈനോമിയൽ) g(x) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം, അതിൻ്റെ ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ f(x) യുടെ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആണ്.

പോളിനോമിയൽ-ബൈ-പോളിനോമിയൽ ഡിവിഷൻ അൽഗോരിതം എന്നത് കൈകൊണ്ട് എളുപ്പത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളുടെ നിര വിഭജനത്തിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച രൂപമാണ്.

ഏതെങ്കിലും പോളിനോമിയലുകൾക്ക് \(f(x) \) കൂടാതെ \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), \(q(x) \) കൂടാതെ \(r(r() എന്നിവയും ഉണ്ട്. x ) \), അത്തരം
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
കൂടാതെ \(r(x)\) ന് \(g(x)\) എന്നതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ഡിഗ്രി ഉണ്ട്.

ബഹുപദങ്ങളെ ഒരു നിരയായി (കോണിൽ) വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ലാഭവിഹിതത്തിന് \(q(x) \) ഘടകവും ശേഷിക്കുന്ന \(r(x) \) \(f(x) \) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. കൂടാതെ പൂജ്യമല്ലാത്ത വിഭജനം \(g(x) \)

ഉദാഹരണം

ഒരു കോളം (കോണിൽ) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു പോളിനോമിയലിനെ മറ്റൊരു പോളിനോമിയൽ (ബൈനോമിയൽ) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:
\(\ വലിയ \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ ഈ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഘടകവും ബാക്കിയും കണ്ടെത്താനാകും:
1. ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ ആദ്യ ഘടകത്തെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂലകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, ഫലം \((x^3/x = x^2)\) വരിയുടെ കീഴിൽ വയ്ക്കുക

3. ലാഭവിഹിതത്തിൽ നിന്ന് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം ലഭിക്കുന്ന ബഹുപദം കുറയ്ക്കുക, \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- എന്ന വരിക്ക് കീഴിൽ ഫലം എഴുതുക. 42) \)

4. ഡിവിഡൻ്റായി വരിയുടെ കീഴിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് മുമ്പത്തെ 3 ഘട്ടങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുക.

5. ഘട്ടം 4 ആവർത്തിക്കുക.

6. അൽഗോരിതം അവസാനം.
അങ്ങനെ, ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഘടകമാണ് \(q(x)=x^2-9x-27\), കൂടാതെ \(r(x)=-123\) എന്നത് ബഹുപദങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ശേഷിപ്പാണ്.

ബഹുപദങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം രണ്ട് തുല്യതകളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
അഥവാ
\(\ വലുത്(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

"പ്രൊഫഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സ് ട്യൂട്ടർ" എന്ന വെബ്സൈറ്റ് അധ്യാപനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രീതിശാസ്ത്ര ലേഖനങ്ങളുടെ പരമ്പര തുടരുന്നു. സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിലെ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും പ്രശ്നകരവുമായ വിഷയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എൻ്റെ ജോലിയുടെ രീതികളുടെ വിവരണങ്ങൾ ഞാൻ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നു. ഈ മെറ്റീരിയൽ 8-11 ഗ്രേഡുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുമായി സാധാരണ പ്രോഗ്രാമിലും മാത്തമാറ്റിക്സ് ക്ലാസുകളുടെ പ്രോഗ്രാമിലും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അധ്യാപകർക്കും അധ്യാപകർക്കും ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകന് എല്ലായ്പ്പോഴും പാഠപുസ്തകത്തിൽ മോശമായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിർഭാഗ്യവശാൽ, അത്തരം വിഷയങ്ങൾ കൂടുതൽ കൂടുതൽ ആയിത്തീരുന്നു, കൂടാതെ മാനുവലുകളുടെ രചയിതാക്കളെ പിന്തുടരുന്ന അവതരണ പിശകുകൾ കൂട്ടത്തോടെ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. തുടക്കക്കാരായ മാത്ത് ട്യൂട്ടർമാർക്കും പാർട്ട് ടൈം ട്യൂട്ടർമാർക്കും (അധ്യാപകർ വിദ്യാർത്ഥികളും യൂണിവേഴ്സിറ്റി ട്യൂട്ടർമാരുമാണ്) മാത്രമല്ല, പരിചയസമ്പന്നരായ അധ്യാപകർ, പ്രൊഫഷണൽ ട്യൂട്ടർമാർ, പരിചയവും യോഗ്യതയും ഉള്ള അധ്യാപകർ എന്നിവർക്കും ഇത് ബാധകമാണ്. എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകർക്കും സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലെ പരുക്കൻ അറ്റങ്ങൾ സമർത്ഥമായി തിരുത്താനുള്ള കഴിവില്ല. ഈ തിരുത്തലുകൾ (അല്ലെങ്കിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ) ആവശ്യമാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നില്ല. കുട്ടികളുടെ ഗുണപരമായ ധാരണയ്ക്കായി മെറ്റീരിയൽ പൊരുത്തപ്പെടുത്തുന്നതിൽ കുറച്ച് കുട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ദൗർഭാഗ്യവശാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകരും മെത്തഡോളജിസ്റ്റുകളും പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളുടെ രചയിതാക്കളും ചേർന്ന് പാഠപുസ്തകത്തിലെ ഓരോ അക്ഷരങ്ങളും കൂട്ടമായി ചർച്ച ചെയ്യുന്ന കാലം കടന്നുപോയി. മുമ്പ്, സ്കൂളുകളിൽ ഒരു പാഠപുസ്തകം പുറത്തിറക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, പഠന ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഗൗരവമായ വിശകലനങ്ങളും പഠനങ്ങളും നടത്തിയിരുന്നു. ശക്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ക്ലാസുകളുടെ നിലവാരത്തിലേക്ക് അവയെ ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട് പാഠപുസ്തകങ്ങൾ സാർവത്രികമാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന അമച്വർമാരുടെ സമയം അതിക്രമിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിവരങ്ങളുടെ അളവ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഓട്ടം അതിൻ്റെ സ്വാംശീകരണത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം കുറയുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ യഥാർത്ഥ അറിവിൻ്റെ നിലവാരം കുറയുന്നു. എന്നാൽ ഇതൊന്നും ആരും ശ്രദ്ധിക്കാറില്ല. ഞങ്ങളുടെ കുട്ടികൾ ഇതിനകം എട്ടാം ക്ലാസിൽ, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ പഠിച്ച കാര്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ നിർബന്ധിതരാകുന്നു: പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, ഉയർന്ന ഡിഗ്രി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കൽ എന്നിവയും മറ്റെന്തെങ്കിലും. ഒരു കുട്ടിയുടെ പൂർണ്ണമായ ധാരണയ്‌ക്കായി പുസ്‌തകങ്ങളിലെ മെറ്റീരിയലുകളുടെ പൊരുത്തപ്പെടുത്തൽ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് വളരെയധികം അവശേഷിക്കുന്നു, ഒരു ഗണിത അധ്യാപകൻ ഇത് എങ്ങനെയെങ്കിലും കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ നിർബന്ധിതനാകുന്നു.

മുതിർന്നവർക്കുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ "ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവും ഹോർണറുടെ സ്കീമും" എന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന "ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു കോണിലൂടെ ഹരിക്കൽ" പോലുള്ള ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട വിഷയം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് സംസാരിക്കാം. കുറച്ച് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ചോദ്യം അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരുന്നില്ല, കാരണം അത് പ്രധാന ഭാഗമല്ലായിരുന്നു സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. ഇപ്പോൾ ടെലിയാക്കോവ്സ്കി എഡിറ്റുചെയ്ത പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ബഹുമാനപ്പെട്ട രചയിതാക്കൾ, എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഏറ്റവും മികച്ച പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പുതിയ പതിപ്പിൽ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തി, അത് പൂർണ്ണമായും നശിപ്പിച്ച ശേഷം, ട്യൂട്ടർക്ക് അനാവശ്യമായ ആശങ്കകൾ മാത്രം നൽകി. ഗണിതശാസ്ത്ര പദവി ഇല്ലാത്ത സ്കൂളുകളിലെയും ക്ലാസുകളിലെയും അധ്യാപകർ, രചയിതാക്കളുടെ പുതുമകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ച്, അവരുടെ പാഠങ്ങളിൽ അധിക ഖണ്ഡികകൾ ഉൾപ്പെടുത്താൻ തുടങ്ങി, കൂടാതെ അന്വേഷണാത്മക കുട്ടികൾ അവരുടെ ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ മനോഹരമായ പേജുകൾ നോക്കുന്നത് കൂടുതലായി ചോദിക്കുന്നു. അദ്ധ്യാപകൻ: "എന്താണ് ഈ കോണിലൂടെയുള്ള വിഭജനം? നമ്മൾ ഇതിലൂടെ പോകുമോ? ഒരു മൂല എങ്ങനെ പങ്കിടാം? അത്തരം നേരിട്ടുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇനി മറച്ചുവെക്കാനില്ല. ട്യൂട്ടർ കുട്ടിയോട് എന്തെങ്കിലും പറയേണ്ടിവരും.

പക്ഷേ? പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ സമർത്ഥമായി അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നെങ്കിൽ ആ വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്ന രീതി ഞാൻ വിവരിക്കുമായിരുന്നില്ല. എല്ലാം നമ്മോടൊപ്പം എങ്ങനെ പോകുന്നു? പാഠപുസ്തകങ്ങൾ അച്ചടിച്ച് വിൽക്കണം. ഇതിനായി അവ പതിവായി അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. അറിവും നൈപുണ്യവുമില്ലാതെ ശൂന്യമായ തലയുമായി കുട്ടികൾ അവരുടെ അടുത്തേക്ക് വരുന്നുവെന്ന് സർവകലാശാലാ അധ്യാപകർ പരാതിപ്പെടുമോ? ഗണിതശാസ്ത്ര പരിജ്ഞാനത്തിനുള്ള ആവശ്യകതകൾ വർദ്ധിക്കുന്നുണ്ടോ? കൊള്ളാം! നമുക്ക് ചില വ്യായാമങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യാം, പകരം മറ്റ് പ്രോഗ്രാമുകളിൽ പഠിച്ച വിഷയങ്ങൾ ചേർക്കുക. എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മുടെ പാഠപുസ്തകം മോശമായത്? ഞങ്ങൾ ചില അധിക അധ്യായങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തും. ഒരു മൂലയെ വിഭജിക്കുന്ന നിയമം സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് അറിയില്ലേ? ഇതാണ് അടിസ്ഥാന ഗണിതശാസ്ത്രം. "കൂടുതൽ അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക്" എന്ന തലക്കെട്ടിൽ ഈ ഖണ്ഡിക ഓപ്ഷണൽ ആക്കണം. ഇതിനെതിരെ അധ്യാപകർ? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ട്യൂട്ടർമാരെ പൊതുവെ ശ്രദ്ധിക്കുന്നത്? മെത്തഡോളജിസ്റ്റുകളും സ്കൂൾ അധ്യാപകരും എതിരാണോ? ഞങ്ങൾ മെറ്റീരിയലിനെ സങ്കീർണ്ണമാക്കില്ല, മാത്രമല്ല അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഭാഗം പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

അത് ഇവിടെ തുടങ്ങുന്നു. വിഷയത്തിൻ്റെ ലാളിത്യവും അതിൻ്റെ സ്വാംശീകരണത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരവും, ഒന്നാമതായി, അതിൻ്റെ യുക്തി മനസ്സിലാക്കുന്നതിലാണ്, അല്ലാതെ, പാഠപുസ്തക രചയിതാക്കളുടെ നിർദ്ദേശങ്ങൾക്കനുസൃതമായി, പരസ്പരം വ്യക്തമായി ബന്ധമില്ലാത്ത ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിൽ അല്ല. . അല്ലെങ്കിൽ, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ തലയിൽ മൂടൽമഞ്ഞ് ഉണ്ടാകും. രചയിതാക്കൾ താരതമ്യേന ശക്തരായ വിദ്യാർത്ഥികളെ ലക്ഷ്യമിടുന്നുവെങ്കിൽ (എന്നാൽ ഒരു സാധാരണ പ്രോഗ്രാമിൽ പഠിക്കുന്നു), നിങ്ങൾ വിഷയം ഒരു കമാൻഡ് ഫോമിൽ അവതരിപ്പിക്കരുത്. പാഠപുസ്തകത്തിൽ നമ്മൾ എന്താണ് കാണുന്നത്? കുട്ടികളേ, ഈ നിയമം അനുസരിച്ച് നമ്മൾ വിഭജിക്കണം. കോണിൻ്റെ കീഴിൽ ബഹുപദം നേടുക. അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ ബഹുപദം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യപ്പെടും. എന്നിരുന്നാലും, കോണിന് കീഴിലുള്ള പദങ്ങൾ കൃത്യമായി ഈ രീതിയിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ വ്യക്തമല്ല, എന്തുകൊണ്ടാണ് അവ മൂലയ്ക്ക് മുകളിലുള്ള പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും തുടർന്ന് നിലവിലുള്ള ശേഷിപ്പിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത്. ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, തിരഞ്ഞെടുത്ത മോണോമിയലുകൾ ആത്യന്തികമായി ചേർക്കേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ യഥാർത്ഥ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വികാസമാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും വ്യക്തമല്ല. പ്രഗത്ഭരായ ഏതൊരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും പാഠപുസ്തകത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിശദീകരണങ്ങൾക്ക് മേൽ ധീരമായ ചോദ്യചിഹ്നം ഇടും.

പാഠപുസ്തകത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെല്ലാം പ്രായോഗികമായി വിദ്യാർത്ഥിക്ക് വ്യക്തമാക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിനുള്ള എൻ്റെ പരിഹാരം ഞാൻ ട്യൂട്ടർമാരുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകരുടെയും ശ്രദ്ധയിൽപ്പെടുത്തുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കും: a എന്ന സംഖ്യ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണെങ്കിൽ, ഈ ബഹുപദത്തെ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം, അവയിലൊന്ന് x-a ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് വഴികളിലൊന്നിൽ ലഭിക്കും: രൂപാന്തരങ്ങളിലൂടെ ഒരു രേഖീയ ഘടകം വേർതിരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഒരു മൂലയാൽ ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ ഹോർണറുടെ സ്കീം വഴി. ഈ ഫോർമുലേഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഒരു ഗണിത അധ്യാപകന് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് എളുപ്പമാകുന്നത്.

എന്താണ് അധ്യാപന രീതിശാസ്ത്രം? ഒന്നാമതായി, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നിഗമനങ്ങൾ വരച്ചതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വിശദീകരണങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങളുടെയും ക്രമത്തിൽ ഇത് വ്യക്തമായ ക്രമമാണ്. ഈ വിഷയം ഒരു അപവാദമല്ല. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകന് കുട്ടിയെ ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ് ഒരു മൂല കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്. ഇത് വളരെ പ്രധാനപെട്ടതാണ്! മനസ്സിലാക്കാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം. തിരഞ്ഞെടുത്ത റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് കുറച്ച് പോളിനോമിയൽ എടുത്ത്, ഏഴാം ക്ലാസ് മുതൽ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് പരിചിതമായ ഐഡൻ്റിറ്റി ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികത കാണിക്കാം. ഒരു ഗണിത അധ്യാപകനിൽ നിന്നുള്ള ഉചിതമായ വിശദീകരണങ്ങളും ഊന്നലും നുറുങ്ങുകളും ഉപയോഗിച്ച്, പൊതുവായ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളോ അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളോ ഡിഗ്രികളോ ഇല്ലാതെ മെറ്റീരിയൽ കൈമാറുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്.

ഒരു ഗണിത അധ്യാപകനുള്ള പ്രധാന ഉപദേശം- തുടക്കം മുതൽ അവസാനം വരെ നിർദ്ദേശങ്ങൾ പാലിക്കുക, ഈ ക്രമം മാറ്റരുത്.

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ബഹുപദം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. സംഖ്യ 1-ന് പകരം അതിൻ്റെ X-ന് പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് x=1 അതിൻ്റെ റൂട്ട് ആണ്. നമുക്ക് അതിനെ രണ്ട് പദങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, അതിലൂടെ അവയിലൊന്ന് ഒരു രേഖീയ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെയും ചില മോണോമിയലിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് ഒരു ഡിഗ്രി കുറവാണ്. അതായത്, നമുക്ക് അതിനെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

റെഡ് ഫീൽഡിനായി ഞങ്ങൾ മോണോമിയൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതുവഴി ലീഡിംഗ് പദത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അത് യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ലീഡിംഗ് പദവുമായി പൂർണ്ണമായും യോജിക്കുന്നു. വിദ്യാർത്ഥി ഏറ്റവും ദുർബലനല്ലെങ്കിൽ, ഗണിത അദ്ധ്യാപകനോട് ആവശ്യമായ പദപ്രയോഗം പറയാൻ അയാൾ തികച്ചും പ്രാപ്തനാണ്: . അത് ചുവന്ന ഫീൽഡിലേക്ക് തിരുകാനും അവ തുറക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് കാണിക്കാനും ട്യൂട്ടറോട് ഉടൻ ആവശ്യപ്പെടണം. ഈ വെർച്വൽ താൽക്കാലിക പോളിനോമിയൽ അമ്പടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ (ചെറിയ ഫോട്ടോയ്ക്ക് കീഴിൽ) ഒപ്പിടുന്നതാണ് നല്ലത്, ഇത് കുറച്ച് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, നീല. ചുവന്ന ഫീൽഡിനായി ഒരു പദം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, തിരഞ്ഞെടുക്കലിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം. ഈ ശേഷിപ്പ് കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകുമെന്ന് ഇവിടെ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ഞാൻ അധ്യാപകരെ ഉപദേശിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ സമത്വത്തിലേക്ക് ഒരെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, അതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് (1 യഥാർത്ഥ ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമായതിനാൽ) പൂജ്യം ലഭിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ഗണിത അദ്ധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കണം, കൂടാതെ വലതുവശത്ത്, ഞങ്ങൾ ആദ്യ ടേമിനെ പൂജ്യമാക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനർത്ഥം, ഒരു സ്ഥിരീകരണവുമില്ലാതെ, "പച്ച അവശിഷ്ടത്തിൻ്റെ" മൂലമാണ് ഒന്ന് എന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും.

ഒറിജിനൽ പോളിനോമിയലിൽ നിന്ന് അതേ രേഖീയ ഘടകത്തെ വേർതിരിച്ച് നമുക്ക് അതേ രീതിയിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യാം. ഗണിത അധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ മുന്നിൽ രണ്ട് ഫ്രെയിമുകൾ വരച്ച് ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പൂരിപ്പിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥി അദ്ധ്യാപകനായി ചുവന്ന ഫീൽഡിനായി ഒരു മോണോമിയൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതുവഴി ലീനിയർ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ ലീഡിംഗ് പദത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അത് വികസിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ മുൻനിര പദം നൽകുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് ഫ്രെയിമിലേക്ക് ഘടിപ്പിക്കുന്നു, ഉടനടി ബ്രാക്കറ്റ് തുറന്ന് മടക്കിയതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ട എക്സ്പ്രഷൻ നീലയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക. ഈ ഓപ്പറേഷൻ നടത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഒടുവിൽ, അവസാനത്തെ ശേഷിക്കുന്ന കാര്യത്തിലും അങ്ങനെ തന്നെ ചെയ്യുന്നു

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഒടുവിൽ ലഭിക്കും

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം, യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ വിഘടനം ഘടകങ്ങളായി നമുക്ക് കാണാം, അതിലൊന്ന് "തിരഞ്ഞെടുത്ത റൂട്ട് x മൈനസ്" ആണ്.

അവസാനത്തെ "പച്ച അവശിഷ്ടം" ആകസ്മികമായി ആവശ്യമായ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിച്ചതായി വിദ്യാർത്ഥി ചിന്തിക്കുന്നത് തടയാൻ, ഗണിത അധ്യാപകൻ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്നു പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത്എല്ലാ പച്ച അവശിഷ്ടങ്ങളിലും - അവയിൽ ഓരോന്നിനും റൂട്ട് 1 ഉണ്ട്. ഈ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഡിഗ്രി കുറയുന്നതിനാൽ, പ്രാരംഭ ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഏത് ഡിഗ്രി നമുക്ക് നൽകിയാലും, താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട്, റൂട്ട് 1 ഉള്ള ഒരു രേഖീയ “പച്ച അവശിഷ്ടം” നമുക്ക് ലഭിക്കും, കൂടാതെ അതിനാൽ അത് ചില സംഖ്യകളിലേക്കും പദപ്രയോഗത്തിലേക്കും ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇതു കഴിഞ്ഞ് തയ്യാറെടുപ്പ് ജോലിഒരു കോണിൽ ഹരിക്കുമ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയോട് വിശദീകരിക്കാൻ ഒരു ഗണിത അധ്യാപകന് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാകില്ല. ഇത് ഒരേ പ്രക്രിയയാണ്, ചെറുതും കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതുമായ രൂപത്തിൽ, തുല്യ ചിഹ്നങ്ങളില്ലാതെ, അതേ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത പദങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതാതെ. ലീനിയർ ഫാക്ടർ വേർതിരിച്ചെടുത്ത പോളിനോമിയൽ മൂലയുടെ ഇടതുവശത്ത് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, തിരഞ്ഞെടുത്ത ചുവന്ന മോണോമിയലുകൾ ഒരു കോണിൽ ശേഖരിക്കുന്നു (അവ എന്തിനാണ് കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ടതെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാകും), “നീല പോളിനോമിയലുകൾ”, “ചുവപ്പ് ” എന്നവയെ x-1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം, തുടർന്ന് സംഖ്യകളുടെ സാധാരണ വിഭജനത്തിൽ ഒരു നിരയിലേക്ക് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം (മുമ്പ് പഠിച്ചതിൻ്റെ ഒരു സാമ്യം ഇവിടെയുണ്ട്). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന "പച്ച അവശിഷ്ടങ്ങൾ" പുതിയ ഒറ്റപ്പെടലിനും "റെഡ് മോണോമിയലുകൾ" തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനും വിധേയമാണ്. പൂജ്യം "ഗ്രീൻ ബാലൻസ്" ലഭിക്കുന്നതുവരെ അങ്ങനെ. കോണിന് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള ലിഖിത ബഹുപദങ്ങളുടെ കൂടുതൽ വിധി വിദ്യാർത്ഥി മനസ്സിലാക്കുന്നു എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം. വ്യക്തമായും, ഇവ ബ്രാക്കറ്റുകളാണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം യഥാർത്ഥ ബഹുപദത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ്റെ ജോലിയുടെ അടുത്ത ഘട്ടം ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപീകരണമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, അദ്ധ്യാപകൻ്റെ ഈ സമീപനത്തിലൂടെ അതിൻ്റെ രൂപീകരണം വ്യക്തമാകും: a എന്ന സംഖ്യ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, അതിലൊന്ന് , മറ്റൊന്ന് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് വഴികളിൽ ഒന്നിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. :

• നേരിട്ടുള്ള വിഘടനം (ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതിക്ക് സമാനമാണ്)
• ഒരു കോണിൽ ഹരിക്കൽ (ഒരു നിരയിൽ)
• ഹോർണർ സർക്യൂട്ട് വഴി

എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകരും അവരുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഹോർണർ ഡയഗ്രം കാണിക്കുന്നില്ലെന്നും എല്ലാ സ്കൂൾ അധ്യാപകരും (ഭാഗ്യവശാൽ ട്യൂട്ടർമാർക്ക് തന്നെ) പാഠങ്ങൾക്കിടയിൽ വിഷയത്തിലേക്ക് ആഴത്തിൽ പോകുന്നില്ലെന്നും പറയണം. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഗണിത ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിക്ക്, നീണ്ട വിഭജനത്തിൽ നിർത്താൻ ഞാൻ ഒരു കാരണവും കാണുന്നില്ല. മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദവും വേഗംവിഘടിപ്പിക്കൽ സാങ്കേതികത കൃത്യമായി ഹോർണറുടെ സ്കീമിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഒരു കുട്ടിക്ക് അത് എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് വിശദീകരിക്കാൻ, പച്ച അവശിഷ്ടങ്ങളിൽ ഉയർന്ന ഗുണകങ്ങളുടെ രൂപം ഒരു കോണിലൂടെ വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് മതിയാകും. പ്രാരംഭ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആദ്യത്തെ "റെഡ് മോണോമിയലിൻ്റെ" കോഫിഫിഷ്യൻ്റിലേക്കും നിലവിലുള്ള അപ്പർ പോളിനോമിയലിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിലേക്കും കൊണ്ടുപോകുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാകും. കുറച്ചിരിക്കുന്നു"റെഡ് മോണോമിയലിൻ്റെ" നിലവിലെ ഗുണകത്തെ ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലം. അതുകൊണ്ട് അത് സാധ്യമാണ് ചേർക്കുകകൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലം. ഗുണകങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതകളിൽ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ച ശേഷം, വേരിയബിളുകൾ സ്വയം രേഖപ്പെടുത്താതെ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണയായി എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന് ഒരു ഗണിത അധ്യാപകന് കാണിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ മുൻഗണനയുടെ ക്രമത്തിൽ യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ടും ഗുണകങ്ങളും നൽകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

ഒരു പോളിനോമിയലിൽ ഏതെങ്കിലും ബിരുദം ഇല്ലെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പൂജ്യം ഗുണകം പട്ടികയിലേക്ക് നിർബന്ധിതമാക്കും. "ചുവന്ന പോളിനോമിയലുകളുടെ" ഗുണകങ്ങൾ "ഹുക്ക്" റൂൾ അനുസരിച്ച് താഴത്തെ വരിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

റൂട്ട് അവസാനത്തെ റെഡ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, മുകളിലെ വരിയിലെ അടുത്ത കോഫിഫിഷ്യൻ്റിലേക്ക് ചേർത്തു, ഫലം താഴെയുള്ള വരിയിലേക്ക് എഴുതുന്നു. അവസാന നിരയിൽ, അവസാനത്തെ "ഗ്രീൻ ബാക്കി" യുടെ ഉയർന്ന ഗുണകം ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പുനൽകുന്നു, അതായത് പൂജ്യം. പ്രക്രിയ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, അക്കങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്ന റൂട്ടിനും പൂജ്യം ശേഷിക്കും ഇടയിൽ സാൻഡ്‌വിച്ച് ചെയ്‌തുരണ്ടാമത്തെ (രേഖീയമല്ലാത്ത) ഘടകത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളായി മാറുന്നു.

a എന്ന റൂട്ട് താഴത്തെ വരിയുടെ അവസാനം ഒരു പൂജ്യം നൽകുന്നതിനാൽ, ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ടിൻ്റെ ശീർഷകത്തിനായി അക്കങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം. പ്രത്യേക തിരഞ്ഞെടുപ്പ് സിദ്ധാന്തമാണെങ്കിൽ യുക്തിസഹമായ റൂട്ട്. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ലഭിച്ച ഈ ശീർഷകത്തിനായുള്ള എല്ലാ കാൻഡിഡേറ്റുകളും ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് ഹോർണറുടെ ഡയഗ്രാമിലേക്ക് ലളിതമായി ചേർത്തിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചാലുടൻ, പരീക്ഷിച്ച സംഖ്യ ഒരു റൂട്ടായിരിക്കും, അതേ സമയം യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അതിൻ്റെ വരിയിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും. വളരെ സുഖകരമായി.

ഉപസംഹാരമായി, ഹോർണറുടെ സ്കീം കൃത്യമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനും വിഷയം പ്രായോഗികമായി ഏകീകരിക്കുന്നതിനും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അദ്ധ്യാപകന് തൻ്റെ പക്കൽ മതിയായ മണിക്കൂർ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. "ആഴ്ചയിൽ ഒരിക്കൽ" ഭരണകൂടവുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു അധ്യാപകൻ കോർണർ ഡിവിഷനിൽ ഏർപ്പെടരുത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലും ഗണിതത്തിലെ സ്റ്റേറ്റ് അക്കാദമി ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സിലും, ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ അത്തരം മാർഗ്ഗങ്ങളിലൂടെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴെങ്കിലും നേരിടാൻ സാധ്യതയില്ല. മോസ്കോ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷയ്ക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടർ ഒരു കുട്ടിയെ തയ്യാറാക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിഷയം പഠിക്കുന്നത് നിർബന്ധമാണ്. യൂണിവേഴ്സിറ്റി അധ്യാപകർ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ കംപൈലർമാരിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഒരു അപേക്ഷകൻ്റെ അറിവിൻ്റെ ആഴം പരിശോധിക്കാൻ ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.

കോൾപാക്കോവ് അലക്സാണ്ടർ നിക്കോളാവിച്ച്, മാത്തമാറ്റിക്സ് ട്യൂട്ടർ മോസ്കോ, സ്ട്രോഗിനോ

ഹോർണറുടെ സ്കീം - ഒരു ബഹുപദത്തെ വിഭജിക്കുന്ന രീതി

$$P_n(x)=\sum\പരിധി_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

$x-a$ എന്ന ദ്വിപദത്തിൽ. നിങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുമായി പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ആദ്യ വരിയിൽ തന്നിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ ആദ്യ ഘടകം $a$ എന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും, $x-a$ എന്ന ദ്വിപദത്തിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ്:

nth ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു പോളിനോമിയലിനെ $x-a$ എന്ന ബൈനോമിയൽ കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് ശേഷം, യഥാർത്ഥ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവുള്ള ഒരു ബഹുപദം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അതായത്. $n-1$ തുല്യമാണ്. ഹോർണർ സ്‌കീമിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹിതം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് $5x^4+5x^3+x^2-11$ കൊണ്ട് $x-1$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

നമുക്ക് രണ്ട് വരികളുള്ള ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം: ആദ്യ വരിയിൽ $x$ എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ പവറുകളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന $5x^4+5x^3+x^2-11$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഈ പോളിനോമിയലിൽ ഒന്നാം ഡിഗ്രി വരെ $x$ അടങ്ങിയിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതായത്. ആദ്യ പവറിലേക്കുള്ള $x$ ൻ്റെ ഗുണകം 0 ആണ്. നമ്മൾ $x-1$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഒന്ന് എഴുതുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ ശൂന്യമായ കളങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങാം. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ രണ്ടാമത്തെ സെല്ലിൽ ഞങ്ങൾ $5$ എന്ന സംഖ്യ എഴുതുന്നു, ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ സെല്ലിൽ നിന്ന് അത് നീക്കുക:

ഈ തത്വമനുസരിച്ച് അടുത്ത സെൽ പൂരിപ്പിക്കാം: $1\cdot 5+5=10$:

രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ നാലാമത്തെ സെല്ലും ഇതേ രീതിയിൽ പൂരിപ്പിക്കാം: $1\cdot 10+1=11$:

അഞ്ചാമത്തെ സെല്ലിന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $1\cdot 11+0=11$:

ഒടുവിൽ, അവസാനത്തെ, ആറാമത്തെ സെല്ലിനായി, നമുക്കുള്ളത്: $1\cdot 11+(-11)=0$:

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു, ഉത്തരം എഴുതുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സംഖ്യകൾ (ഒന്നിനും പൂജ്യത്തിനും ഇടയിൽ) $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്. സ്വാഭാവികമായും, യഥാർത്ഥ ബഹുപദമായ $5x^4+5x^3+x^2-11$ നാലിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന $5x^3+10x^2+11x+11$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ബിരുദം ഒന്നാണ്. കുറവ്, അതായത്. മൂന്ന് തുല്യമാണ്. $5x^4+5x^3+x^2-11$ എന്ന ബഹുപദത്തെ $x-1$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ (പൂജ്യം) അവസാനത്തെ സംഖ്യ അർത്ഥമാക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ബാക്കിയുള്ളത് പൂജ്യമാണ്, അതായത്. ബഹുപദങ്ങൾ തുല്യമായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ ഫലത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം: $x=1$ ന് $5x^4+5x^3+x^2-11$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

നിഗമനം ഈ രൂപത്തിലും രൂപപ്പെടുത്താം: $5x^4+5x^3+x^2-11$ എന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യം $x=1$-ൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഏകത്വം എന്നത് ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ എന്ന ബഹുപദത്തെ $x+3$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$x+3$ എന്ന പദപ്രയോഗം $x-(-3)$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കണമെന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി വ്യവസ്ഥ ചെയ്യാം. ഹോർണറുടെ സ്കീമിൽ കൃത്യമായി $-3$ ഉൾപ്പെടുന്നു. യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഡിഗ്രി $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ നാലിന് തുല്യമായതിനാൽ, വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം ലഭിക്കും:

ഫലം അർത്ഥമാക്കുന്നത്

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ കൊണ്ട് $x+3$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ബാക്കിയുള്ളത് $4$ ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ, അതേ കാര്യം, $x=-3$ എന്നതിനുള്ള ബഹുപദമായ $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ മൂല്യം $4$-ന് തുല്യമാണ്. വഴിയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ബഹുപദത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് $x=-3$ പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് രണ്ടുതവണ പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

ആ. ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ തന്നിരിക്കുന്ന മൂല്യത്തിന് ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം. ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യമെങ്കിൽ, ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 ൽ ചർച്ച ചെയ്തതുപോലെ, എല്ലാ വേരുകളും തീർന്നുപോകുന്നതുവരെ ഹോർണറുടെ സ്കീം തുടർച്ചയായി നിരവധി തവണ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3

Horner's സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ പോളിനോമിയലിൻ്റെ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക.

ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ വേരിയബിളിൻ്റെ (അതായത് $x^6$) ഉയർന്ന ശക്തിയുടെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകൾ അന്വേഷിക്കണം, അതായത്. 45 എന്ന സംഖ്യയുടെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു ബഹുപദത്തിന്, അത്തരം വേരുകൾ സംഖ്യകൾ $45 ആകാം; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$, $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, $1$:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, $x=1$ ഉള്ള ബഹുപദമായ $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ മൂല്യം $192$-ന് തുല്യമാണ് (അവസാന സംഖ്യ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ), കൂടാതെ $0 $ അല്ല, അതിനാൽ ഏകത്വം ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമല്ല. ഒരെണ്ണത്തിനായുള്ള പരിശോധന പരാജയപ്പെട്ടതിനാൽ, നമുക്ക് $x=-1$ മൂല്യം പരിശോധിക്കാം. ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ പട്ടിക സൃഷ്ടിക്കില്ല, പക്ഷേ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരും. നമ്പർ 1, അതിലേക്ക് ഒരു പുതിയ (മൂന്നാം) വരി ചേർക്കുന്നു. $1$ ൻ്റെ മൂല്യം പരിശോധിച്ച രണ്ടാമത്തെ വരി ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യപ്പെടും, അത് തുടർന്നുള്ള ചർച്ചകളിൽ ഉപയോഗിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, പട്ടിക വീണ്ടും എഴുതാം, പക്ഷേ ഇത് സ്വമേധയാ പൂരിപ്പിക്കുന്നതിന് ധാരാളം സമയമെടുക്കും. മാത്രമല്ല, സ്ഥിരീകരണം പരാജയപ്പെടുന്ന നിരവധി നമ്പറുകൾ ഉണ്ടാകാം, ഓരോ തവണയും ഒരു പുതിയ പട്ടിക എഴുതുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. "കടലാസിൽ" കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ചുവന്ന വരകൾ ലളിതമായി മറികടക്കാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, $x=-1$ എന്നതിൽ $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. $-1$ എന്ന സംഖ്യയാണ് ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട്. $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തെ $x-(-1)=x+1$ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് $x എന്ന ബഹുപദം ലഭിക്കും ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ഇവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ പട്ടികയുടെ മൂന്നാം നിരയിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ്. നമ്പർ 2 (ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 കാണുക). കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലം ഈ ഫോമിലും അവതരിപ്പിക്കാം:

\begin(സമവാക്യം)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\ അവസാനം(സമവാക്യം)

നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകൾക്കായുള്ള തിരയൽ തുടരാം. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. വീണ്ടും, ഈ ബഹുപദത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകൾ അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദമായ $45$ എന്ന സംഖ്യകളുടെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ തിരയുന്നു. $-1$ നമ്പർ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ പട്ടിക സൃഷ്ടിക്കില്ല, എന്നാൽ മുമ്പത്തെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരും. നമ്പർ 2, അതായത്. ഇതിലേക്ക് ഒരു വരി കൂടി ചേർക്കാം:

അതിനാൽ, $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് $-1$. ഈ ഫലം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

\begin(സമവാക്യം)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \ അവസാനം(സമവാക്യം)

തുല്യത (2) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, സമത്വം (1) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

\ആരംഭിക്കുക(സമവാക്യം)\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിച്ചു) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)\അവസാനം(സമവാക്യം)

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ $x^4-22x^2+24x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തേടേണ്ടതുണ്ട് - സ്വാഭാവികമായും, അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ($45$ സംഖ്യകൾ) ഹരിച്ചുള്ളവയിൽ. നമുക്ക് $-1$ നമ്പർ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം:

$x^4-22x^2+24x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് $-1$ എന്ന സംഖ്യ. ഈ ഫലം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

\begin(സമവാക്യം)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \ അവസാനം(സമവാക്യം)

തുല്യത (4) കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾ സമത്വം (3) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

\ആരംഭിക്കുക(സമവാക്യം)\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിച്ചു) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)\അവസാനം(സമവാക്യം)

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ $x^3-x^2-21x+45$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തിരയുകയാണ്. നമുക്ക് $-1$ നമ്പർ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം:

പരിശോധന പരാജയത്തിൽ അവസാനിച്ചു. ആറാമത്തെ വരി ചുവപ്പിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്ത് മറ്റൊരു നമ്പർ പരിശോധിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ $3$:

ബാക്കിയുള്ളത് പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ $3$ എന്ന സംഖ്യയാണ് ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട്. അതിനാൽ $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. ഇനി സമത്വം (5) ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം.

സ്ലൈഡ് 3

ഹോർണർ വില്യംസ് ജോർജ്ജ് (1786-22.9.1837) - ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. ബ്രിസ്റ്റോളിൽ ജനിച്ചു. അവൻ അവിടെ പഠിക്കുകയും ജോലി ചെയ്യുകയും ചെയ്തു, തുടർന്ന് ബാത്തിലെ സ്കൂളുകളിൽ. ബീജഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന കൃതികൾ. 1819-ൽ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഒരു രീതി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിനെ ഇപ്പോൾ റുഫിനി-ഹോർണർ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഈ രീതി ചൈനക്കാർക്ക് 13-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ അറിയാമായിരുന്നു). ഹോർണറിന് ശേഷം.

സ്ലൈഡ് 4

ഹോർണർ സ്കീം

വിഭജന രീതി nth ബഹുപദംഒരു ലീനിയർ ബൈനോമിയലിൽ ബിരുദം - a, അപൂർണ്ണമായ ഘടകത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും ബാക്കിയുള്ളവയും വിഭജിക്കാവുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുമായും സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

സ്ലൈഡ് 5

ഹോർണറുടെ സ്കീം അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പട്ടികയിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 1. ഭാഗിക ഘടകം x3-x2+3x - 13 ഉം ബാക്കി 42=f(-3) ഉം ആണ്.

സ്ലൈഡ് 6

ഈ രീതിയുടെ പ്രധാന നേട്ടം നൊട്ടേഷൻ്റെ ഒതുക്കവും ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു ദ്വിപദമായി വേഗത്തിൽ വിഭജിക്കാനുള്ള കഴിവുമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രൂപമാണ് ഹോർണറുടെ സ്കീം, എന്നിരുന്നാലും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് പൂർണ്ണമായും ദൃശ്യമല്ല. ഉത്തരം (ഘടകവൽക്കരണം) ഇവിടെ തന്നെ ലഭിക്കുന്നു, അത് നേടുന്ന പ്രക്രിയ ഞങ്ങൾ കാണുന്നില്ല. ഞങ്ങൾ ഹോർണറുടെ സ്കീമിൻ്റെ കർശനമായ സാധൂകരണത്തിൽ ഏർപ്പെടില്ല, അത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മാത്രം കാണിക്കും.

സ്ലൈഡ് 7

ഉദാഹരണം 2.

P(x)=x4-6x3+7x-392 എന്ന ബഹുപദം x-7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, കൂടാതെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഘടകം കണ്ടെത്താം. പരിഹാരം. ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, നമ്മൾ P(7) കണ്ടെത്തുന്നു: ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് P(7)=0 ലഭിക്കും, അതായത്. ഒരു ബഹുപദത്തെ x-7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ബാക്കിയുള്ളത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, P(x) എന്നത് (x-7) ഗുണിതമാണ്. P(x) ൻ്റെ ഘടകഭാഗം (x-7) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

സ്ലൈഡ് 8

പോളിനോമിയൽ x3 - 5x2 - 2x + 16 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

ഈ ബഹുപദത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഈ പോളിനോമിയലിൻ്റെ മൂലമാണെങ്കിൽ, അത് 16 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒരു ഹരിച്ചാണ്. അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഇവ ±1 സംഖ്യകൾ മാത്രമായിരിക്കും; ± 2; ± 4; ± 8; ±16. നേരിട്ടുള്ള സ്ഥിരീകരണത്തിലൂടെ, സംഖ്യ 2 ഈ പോളിനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്, അതായത്, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ഇവിടെ Q(x) രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്.

സ്ലൈഡ് 9

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ 1, −3, -8 എന്നത് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിനെ x – 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നു. അതായത് വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം ഇതാണ്: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. ഡിവിഷൻ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഡിഗ്രി എല്ലായ്പ്പോഴും ഒറിജിനൽ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ 1 കുറവാണ്. അതിനാൽ: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

• സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുക ഉയർന്ന ബിരുദങ്ങൾഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നു;
• ജോഡികളായി പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുക;
• കോഴ്സിൻ്റെ പ്രധാന വിഭാഗങ്ങളുമായി സംയോജിച്ച്, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം സൃഷ്ടിക്കുക;
• വിദ്യാർത്ഥിയെ അവൻ്റെ കഴിവുകൾ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ താൽപ്പര്യം വികസിപ്പിക്കുക, ചിന്തിക്കാനുള്ള കഴിവ്, വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുക.

ഉപകരണം:ഗ്രൂപ്പ് വർക്കിനുള്ള കാർഡുകൾ, ഹോർണറുടെ ഡയഗ്രം ഉള്ള പോസ്റ്റർ.

അധ്യാപന രീതി:പ്രഭാഷണം, കഥ, വിശദീകരണം, പരിശീലന വ്യായാമങ്ങൾ നടത്തുക.

നിയന്ത്രണ രൂപം:ജോലികൾ പരിശോധിക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം, സ്വതന്ത്ര ജോലി.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടനാ നിമിഷം

2. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് പുതുക്കൽ

ഒരു സംഖ്യ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണോ (ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുക) എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം ഏതാണ്?

ബെസൗട്ടിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം. P(x) എന്ന ബഹുപദത്തെ ഹരിക്കുമ്പോൾ ബാക്കിയുള്ളത് ദ്വിപദം x-c P(c) ന് തുല്യമാണ്, c എന്ന സംഖ്യയെ P(c)=0 ആണെങ്കിൽ P(x) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഡിവിഷൻ ഓപ്പറേഷൻ നടത്താതെ തന്നെ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യ ഒരു ബഹുപദത്തിൻ്റെ മൂലമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ സിദ്ധാന്തം അനുവദിക്കുന്നു.

ഏത് പ്രസ്താവനകളാണ് വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നത്?

a) ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ ബഹുപദത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അന്വേഷിക്കണം.

b) ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 0 ആണെങ്കിൽ, വേരുകളിൽ ഒന്ന് 1 ആണ്.

c) ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒറ്റസ്ഥാനങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, വേരുകളിൽ ഒന്ന് -1 ന് തുല്യമാണ്.

d) എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്.

ഇ) ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ട്.

3. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു

മുഴുവൻ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പോളിനോമിയലുകളുടെ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഹോർണർ സ്കീം എന്ന പ്രത്യേക അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ ഈ പ്രവർത്തനം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാം. ഇംഗ്ലീഷ് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ വില്യം ജോർജ്ജ് ഹോർണറുടെ പേരിലാണ് ഈ സർക്യൂട്ടിന് പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. P(x) എന്ന ബഹുപദത്തെ x-c കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഘടകവും ബാക്കിയും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ആണ് ഹോർണറുടെ സ്കീം. ഇത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ബഹുപദമായ P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n നൽകട്ടെ. ഈ ബഹുപദത്തെ x-c കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് P(x)=(x-c)g(x) + r(x) രൂപത്തിലുള്ള അതിൻ്റെ പ്രതിനിധാനമാണ്. ഭാഗിക g(x)=0 x n-1 +-ൽ n x n-2 +...+n-2 x +-ൽ n-1, ഇവിടെ 0 =a 0, n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. ബാക്കിയുള്ളത് r(x)= st n-1 +a n. ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ രീതിയെ ഹോർണർ സ്കീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പേരിൽ "സ്കീം" എന്ന വാക്ക്, അതിൻ്റെ നടപ്പാക്കൽ സാധാരണയായി താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ ഫോർമാറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്ന വസ്തുതയാണ്. ആദ്യം, പട്ടിക 2 (n+2) വരയ്ക്കുക. താഴെ ഇടത് സെല്ലിൽ c എന്ന സംഖ്യയും മുകളിലെ വരിയിൽ P(x) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും എഴുതുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുകളിൽ ഇടത് സെൽ ശൂന്യമായി അവശേഷിക്കുന്നു.

അൽഗോരിതം നടപ്പിലാക്കിയ ശേഷം, താഴെ വലതുവശത്തുള്ള സെല്ലിൽ എഴുതപ്പെടുന്ന സംഖ്യ, പോളിനോമിയൽ P(x) ൻ്റെ x-c കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ശേഷിപ്പാണ്. താഴത്തെ വരിയിലെ 0, 1, 2,... എന്നിവയിലെ മറ്റ് സംഖ്യകൾ ഘടകത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: P(x)= x 3 -2x+3 എന്ന ബഹുപദത്തെ x-2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

നമുക്ക് x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 ലഭിക്കുന്നു.

4. പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഏകീകരണം

ഉദാഹരണം 1: P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 എന്ന ബഹുപദത്തെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക.

സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ വേരുകളും തിരയുകയാണ് -1: 1; -1. നമുക്ക് ഒരു മേശ ഉണ്ടാക്കാം:

X = -1 – റൂട്ട്

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

നമുക്ക് 1/2 പരിശോധിക്കാം.

അതിനാൽ, പോളിനോമിയൽ P(x) രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

ഉദാഹരണം 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് എഴുതിയിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, വേരുകളിൽ ഒന്ന് 1 ആണ്. നമുക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം:

നമുക്ക് P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) ലഭിക്കും. ഫ്രീ ടേം 2 ൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഞങ്ങൾ വേരുകൾ നോക്കും.

കേടുകൂടാത്ത വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. നമുക്ക് 1/2 പരിശോധിക്കാം; -1/2.

ഉത്തരം: 1; -1/2.

ഉദാഹരണം 3: 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

5: 1;-1;5;-5 എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കും. ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമായതിനാൽ x=1 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. നമുക്ക് ഹോർണറുടെ സ്കീം ഉപയോഗിക്കാം:

നമുക്ക് സമവാക്യം മൂന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കാം: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. തീരുമാനിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5x 2 -7x+5=0, ഞങ്ങൾക്ക് D=49-100=-51 ലഭിച്ചു, വേരുകളൊന്നുമില്ല.

കാർഡ് 1

1. പോളിനോമിയൽ ഘടകം: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

കാർഡ് 2

1. ബഹുപദ ഘടകം: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

കാർഡ് 3

1. ഇതിലേക്കുള്ള ഘടകം: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x 3 -2x 2 +4x-8=0

കാർഡ് 4

1. ഇതിലേക്കുള്ള ഘടകം: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. സംഗ്രഹിക്കുന്നു

ജോഡികളായി പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അറിവ് പരിശോധിക്കുന്നത് പ്രവർത്തന രീതിയും ഉത്തരത്തിൻ്റെ പേരും തിരിച്ചറിഞ്ഞ് ക്ലാസിൽ നടത്തുന്നു.

ഹോം വർക്ക്:

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

സാഹിത്യം

1. എൻ.യാ. Vilenkin et al., ആൾജിബ്രയും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും, ഗ്രേഡ് 10 (ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആഴത്തിലുള്ള പഠനം): ജ്ഞാനോദയം, 2005.
2. യു.ഐ. സഖാർചുക്ക്, എൽ.എസ്. സഗറ്റെലോവ, ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം: വോൾഗോഗ്രാഡ്, 2007.
3. എസ്.ബി. ഗാഷ്കോവ്, നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷനും.