ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയൽ, തീവ്രത

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയ്‌ക്കൽ, തീവ്രത എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയും മറ്റ് ജോലികളുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗവുമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന പഠനം. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമിക വിവരങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സൈദ്ധാന്തിക അധ്യായം, പ്രാഥമിക പഠനത്തിനായി ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ആവർത്തനം)- ഇനിപ്പറയുന്ന മെറ്റീരിയൽ വളരെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് എന്ന കാരണത്താലും അടിസ്ഥാനപരമായി ഡെറിവേറ്റീവ്,ഈ ലേഖനത്തിന്റെ യോജിപ്പുള്ള തുടർച്ചയാണ്. സമയം കുറവാണെങ്കിലും, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഔപചാരികമായ പരിശീലനവും സാധ്യമാണ്.

ഇന്ന് അന്തരീക്ഷത്തിൽ അപൂർവമായ ഏകാഭിപ്രായത്തിന്റെ ഒരു ആത്മാവുണ്ട്, അവിടെയുള്ള എല്ലാവരും ആഗ്രഹത്താൽ ജ്വലിക്കുന്നതായി എനിക്ക് നേരിട്ട് അനുഭവപ്പെടുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ പഠിക്കുക. അതിനാൽ, ന്യായമായ, നല്ല, ശാശ്വതമായ പദാവലി ഉടൻ നിങ്ങളുടെ മോണിറ്റർ സ്ക്രീനുകളിൽ ദൃശ്യമാകും.

എന്തിനുവേണ്ടി? ഒരു കാരണം ഏറ്റവും പ്രായോഗികമാണ്: ഒരു പ്രത്യേക ജോലിയിൽ പൊതുവെ എന്താണ് നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകും!

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏകതാനത. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിന്റുകളും എക്‌സ്ട്രീമയും

നമുക്ക് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, അവൾ എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു തുടർച്ചയായമുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ:

അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, സാധ്യമായ മിഥ്യാധാരണകളിൽ നിന്ന് ഉടനടി രക്ഷപ്പെടാം, പ്രത്യേകിച്ചും അടുത്തിടെ പരിചയപ്പെട്ട വായനക്കാർക്ക് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ താൽപ്പര്യമില്ല, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതെങ്ങനെ (മുകളിൽ, താഴെ, അച്ചുതണ്ട് വിഭജിക്കുന്നിടത്ത്). ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ, അച്ചുതണ്ടുകൾ മാനസികമായി മായ്ച്ച് ഒരു ഗ്രാഫ് വിടുക. കാരണം അവിടെയാണ് താൽപര്യം.

ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നുഒരു ഇടവേളയിൽ, ഈ ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്ക് ബന്ധവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നു. പ്രദർശന പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ വളരുന്നു.

അതുപോലെ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നുഒരു ഇടവേളയിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്ക്, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്" പോകുന്നു. ഇടവേളകളിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു .

ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്‌താൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായഈ ഇടവേളയിൽ. എന്താണ് ഏകതാനത? അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ എടുക്കുക - ഏകതാനത.

നിങ്ങൾക്ക് നിർവ്വചിക്കാനും കഴിയും കുറയാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (ആദ്യ നിർവചനത്തിൽ വിശ്രമിച്ച അവസ്ഥ) കൂടാതെ വർദ്ധിക്കാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (രണ്ടാമത്തെ നിർവചനത്തിൽ മൃദുവായ അവസ്ഥ). ഒരു ഇടവേളയിൽ കുറയാത്തതോ വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഒരു മോണോടോണിക് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (കണിശമായ ഏകതാനത എന്നത് "ലളിതമായി" ഏകതാനതയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്).

പകുതി-ഇടവേളകളിലും സെഗ്‌മെന്റുകളിലും ഉൾപ്പെടെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ്/കുറവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് സമീപനങ്ങളും സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ തലയിൽ എണ്ണ-എണ്ണ-എണ്ണ ഒഴിക്കാതിരിക്കാൻ, വർഗ്ഗീകരണ നിർവചനങ്ങളോടെ തുറന്ന ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കും. - ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്, കൂടാതെ നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് മതിയാകും.

അങ്ങനെ, എന്റെ ലേഖനങ്ങളിൽ "ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനത" എന്ന വാക്ക് മിക്കവാറും എപ്പോഴും മറഞ്ഞിരിക്കും ഇടവേളകൾകർശനമായ ഏകതാനത(കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നതോ കർശനമായി കുറയ്ക്കുന്നതോ ആയ പ്രവർത്തനം).

ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കം. വിദ്യാർത്ഥികൾ കഴിയുന്നിടത്തെല്ലാം ഓടിപ്പോകുകയും മൂലകളിൽ ഭീതിയോടെ ഒളിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വാക്കുകൾ. ...പോസ്റ്റ് കഴിഞ്ഞാലും Cauchy പരിധികൾഅവർ ഇപ്പോൾ മറഞ്ഞിരിക്കില്ല, പക്ഷേ ചെറുതായി വിറയ്ക്കുന്നു =) വിഷമിക്കേണ്ട, ഇപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല - നിർവചനങ്ങൾ കൂടുതൽ കർശനമായി രൂപപ്പെടുത്താൻ എനിക്ക് ചുറ്റുപാടുകൾ ആവശ്യമാണ് അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾ. നമുക്ക് ഓർക്കാം:

ഒരു പോയിന്റിന്റെ അയൽപക്കംഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇടവേളയെ വിളിക്കുന്നു, സൗകര്യാർത്ഥം ഇടവേള പലപ്പോഴും സമമിതിയാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പോയിന്റും അതിന്റെ സാധാരണ അയൽപക്കവും:

യഥാർത്ഥത്തിൽ, നിർവചനങ്ങൾ:

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ പരമാവധി പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിന്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം . ഞങ്ങളുടെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണംഇതാണ് കാര്യം.

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ മിനിമം പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിന്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം . ഡ്രോയിംഗിൽ പോയിന്റ് "a" ഉണ്ട്.

കുറിപ്പ് : അയൽപക്ക സമമിതിയുടെ ആവശ്യകത ഒട്ടും ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ, അത് പ്രധാനമാണ് അസ്തിത്വത്തിന്റെ വസ്തുതനിർദ്ദിഷ്‌ട വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന അയൽപക്കം (ചെറിയതോ സൂക്ഷ്മമായതോ ആകട്ടെ).

പോയിന്റുകൾ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾഅല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതായത്, പരമാവധി പോയിന്റുകൾക്കും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾക്കുമുള്ള സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പദമാണിത്.

"തീവ്രം" എന്ന വാക്ക് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം? അതെ, ഏകതാനത പോലെ നേരിട്ട്. റോളർ കോസ്റ്ററുകളുടെ അങ്ങേയറ്റം പോയിന്റുകൾ.

ഏകതാനതയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, അയഞ്ഞ പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ നിലവിലുണ്ട്, അവ സിദ്ധാന്തത്തിൽ കൂടുതൽ സാധാരണമാണ് (തീർച്ചയായും, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കർശനമായ കേസുകൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു!):

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു പരമാവധി പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ അങ്ങനെയാണ് എല്ലാവർക്കും
പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു മിനിമം പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ അങ്ങനെയാണ് എല്ലാവർക്കുംഈ അയൽപക്കത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു.

അവസാന രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ “ഫ്ലാറ്റ് സെക്ഷൻ”) ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് പരമാവധി, മിനിമം പോയിന്റായി കണക്കാക്കുന്നു. പ്രവർത്തനം, വഴിയിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതും കുറയാത്തതുമാണ്, അതായത്, ഏകതാനമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഈ പരിഗണനകൾ സൈദ്ധാന്തികർക്ക് വിട്ടുകൊടുക്കും, കാരണം പ്രായോഗികമായി ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരമ്പരാഗത "കുന്നുകൾ", "പൊള്ളകൾ" (ഡ്രോയിംഗ് കാണുക) ഒരു അതുല്യമായ "കുന്നിലെ രാജാവ്" അല്ലെങ്കിൽ "ചതുപ്പിന്റെ രാജകുമാരി" എന്നിവയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നു. ഒരു വൈവിധ്യമെന്ന നിലയിൽ, അത് സംഭവിക്കുന്നു നുറുങ്ങ്, മുകളിലേക്കോ താഴേയ്‌ക്കോ നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്.

ഓ, റോയൽറ്റിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു:
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ;
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പൊതുവായ പേര് - അങ്ങേയറ്റംപ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ദയവായി നിങ്ങളുടെ വാക്കുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക!

എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ- ഇവ "എക്സ്" മൂല്യങ്ങളാണ്.
അതിരുകൾ- "ഗെയിം" അർത്ഥങ്ങൾ.

! കുറിപ്പ് : ചിലപ്പോൾ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത പദങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നേരിട്ട് കിടക്കുന്ന "X-Y" പോയിന്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് എത്ര എക്സ്ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും?

ഒന്നുമില്ല, 1, 2, 3, ... തുടങ്ങിയവ. അനന്തതയിലേയ്ക്ക്. ഉദാഹരണത്തിന്, സൈനിന് അനന്തമായ മിനിമയും മാക്സിമയും ഉണ്ട്.

പ്രധാനം!"പരമാവധി പ്രവർത്തനക്ഷമത" എന്ന പദം സമാനമല്ല"ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി മൂല്യം" എന്ന പദം. ഒരു പ്രാദേശിക അയൽപക്കത്തിൽ മാത്രമേ മൂല്യം പരമാവധി ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "തണുത്ത സഖാക്കൾ" ഉണ്ട്. അതുപോലെ, "ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം" എന്നത് "ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം" എന്നതിന് തുല്യമല്ല, കൂടാതെ ഡ്രോയിംഗിൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് മാത്രമേ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറവാണെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നത്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ, തീവ്രവും - പ്രാദേശിക അതിരുകൾ. അവർ അടുത്ത് നടക്കുകയും അലഞ്ഞുതിരിയുകയും ചെയ്യുന്നു ആഗോളസഹോദരങ്ങളെ. അതിനാൽ, ഏത് പരവലയവും അതിന്റെ ശിഖരത്തിലാണ് ആഗോള മിനിമംഅഥവാ ആഗോള പരമാവധി. കൂടാതെ, ഞാൻ അതിരുകടന്ന തരങ്ങൾ തമ്മിൽ വേർതിരിക്കില്ല, കൂടാതെ വിശദീകരണം പൊതുവായ വിദ്യാഭ്യാസ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി കൂടുതൽ ശബ്ദമുയർത്തുന്നു - "ലോക്കൽ" / "ഗ്ലോബൽ" എന്ന അധിക നാമവിശേഷണങ്ങൾ നിങ്ങളെ ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തരുത്.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സംഗ്രഹിക്കാം ചെറിയ ഉല്ലാസയാത്രഒരു ടെസ്റ്റ് ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക്: "ഫംഗ്ഷന്റെ മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകളും എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും കണ്ടെത്തുക" എന്ന ടാസ്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

പദാവലി നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു:

- വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന / കുറയുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ (കുറയാത്തതും വർദ്ധിക്കാത്തതും വളരെ കുറച്ച് തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു);

- പരമാവധി കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ). ശരി, പരാജയം ഒഴിവാക്കാൻ, മിനിമം / മാക്സിമങ്ങൾ സ്വയം കണ്ടെത്തുന്നതാണ് നല്ലത് ;-)

ഇതെല്ലാം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും?ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു!

കൂടുന്നതിന്റെയും കുറയുന്നതിന്റെയും ഇടവേളകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും എക്‌സ്ട്രീമയും?

പല നിയമങ്ങളും, വാസ്തവത്തിൽ, ഇതിനകം അറിയുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം.

ടാൻജന്റ് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനം ഉടനീളം വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു എന്ന സന്തോഷകരമായ വാർത്ത കൊണ്ടുവരുന്നു നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ.

കോട്ടാൻജെന്റും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിതി നേരെ വിപരീതമാണ്.

ഇടവേളയിൽ ആർക്സൈൻ വർദ്ധിക്കുന്നു - ഇവിടെയുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്: .
ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുമ്പോൾ, എന്നാൽ വ്യത്യാസമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു വലത്-കൈയ്യൻ ഡെറിവേറ്റീവും വലത്-കൈയ്യൻ ടാൻജെന്റും ഉണ്ട്, മറ്റേ അറ്റത്ത് അവരുടെ ഇടതുകൈയ്യൻ എതിരാളികൾ ഉണ്ട്.

ആർക്ക് കോസൈനിനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും സമാനമായ ന്യായവാദം നടത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

മുകളിലുള്ള എല്ലാ കേസുകളും, അവയിൽ പലതും പട്ടിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, നേരിട്ട് പിന്തുടരുക ഡെറിവേറ്റീവ് നിർവചനങ്ങൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ: അത് "താഴെ മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നിടത്ത്, "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്", എവിടെയാണ് അത് മിനിമം, മാക്സിമം (എല്ലാം എത്തിയാൽ). എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും അത്ര ലളിതമല്ല - മിക്ക കേസുകളിലും ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് യാതൊരു ധാരണയുമില്ല.

കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാനും പരിഗണിക്കാനുമുള്ള സമയമാണിത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ഉദാഹരണം 1

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ്/കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:

1) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ, കൂടാതെ ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ശ്രദ്ധിക്കുക. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നു, ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു പരിധി വരെ ഔപചാരികമാണ്. എന്നാൽ പല കേസുകളിലും, ഗുരുതരമായ വികാരങ്ങൾ ഇവിടെ ജ്വലിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് ഖണ്ഡികയെ അവഗണന കൂടാതെ പരിഗണിക്കാം.

2) അൽഗോരിതത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് കാരണം

ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ:

ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ മൂല്യം നിലവിലില്ല.

അവസാനം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണോ? "മോഡുലസ് x" ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം .

വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ പോരാ, സംഭാഷണം എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയല്ല. അതിനാൽ, പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞതിലെത്തുന്നത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് ഇതുവരെ പിന്തുടരുന്നില്ല. ക്ലാസിക് ഉദാഹരണംമുകളിൽ ഇതിനകം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട് - ഇതൊരു ക്യൂബിക് പരവലയവും അതിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുമാണ്.

എന്നാൽ അങ്ങനെയാകട്ടെ, ആവശ്യമായ അവസ്ഥഎക്സ്ട്രീം സംശയാസ്പദമായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ ലേഖനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളെ കുറിച്ച്ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറഞ്ഞു : “...ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുത്ത് അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു: ...അതിനാൽ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം: - ഈ ഘട്ടത്തിലാണ് പരവലയത്തിന്റെ ശീർഷകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ...”. ഇപ്പോൾ, ഞാൻ കരുതുന്നു, പരവലയത്തിന്റെ ശീർഷകം കൃത്യമായി ഈ ഘട്ടത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായി =) പൊതുവേ, നമ്മൾ ഇവിടെ സമാനമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കണം, പക്ഷേ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് (ഒരു ടീപ്പോയ്ക്ക് പോലും). കൂടാതെ, പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു അനലോഗ് ഉണ്ട് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ബിരുദം വർദ്ധിപ്പിക്കാം:

ഉദാഹരണം 2

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്രമായ തീരുമാനം. സമ്പൂർണ്ണ പരിഹാരംപാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ടാസ്ക്കിന്റെ ഏകദേശ അന്തിമ മാതൃകയും.

ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ഫംഗ്ഷനുകളുമായുള്ള കൂടിക്കാഴ്ചയുടെ ദീർഘകാലമായി കാത്തിരുന്ന നിമിഷം വന്നിരിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3

ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

ഒരേ ടാസ്‌ക് എത്രമാത്രം വേരിയബിളായി പരിഷ്‌കരിക്കാനാകുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പരിഹാരം:

1) ഫംഗ്‌ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ അനന്തമായ തടസ്സങ്ങൾ നേരിടുന്നു.

2) നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം:

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം. ഒരു അംശം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ അത് പൂജ്യമാണ്:

അങ്ങനെ, നമുക്ക് മൂന്ന് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും:

3) നമ്പർ ലൈനിൽ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഞങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു ഇടവേള രീതിഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ ഇടവേളയിൽ കുറച്ച് പോയിന്റ് എടുത്ത് അതിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു അതിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക. കണക്കാക്കാൻ പോലും ഇത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്, പക്ഷേ വാക്കാലുള്ള "കണക്കിന്". ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പോയിന്റ് എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം: .

രണ്ട് “പ്ലസുകളും” ഒരു “മൈനസും” ഒരു “മൈനസ്” നൽകുന്നു, അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഓരോ ആറ് ഇടവേളകളിലും പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. വഴിയിൽ, ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും ഏത് ഇടവേളയിലെയും ഏത് പോയിന്റിനും കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് ചുമതലയെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങളോട് പറഞ്ഞു, ഫംഗ്ഷൻ സ്വയം വർദ്ധിക്കുന്നു കൂടാതെ കുറയുന്നു. ജോയിൻ ഐക്കൺ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഇടവേളകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പ്രവർത്തനം അതിന്റെ പരമാവധിയിലെത്തുന്നു:
പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എത്തുന്നു:

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ മൂല്യം വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതില്ലെന്ന് ചിന്തിക്കുക ;-)

ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറില്ല, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷനിൽ എക്‌സ്‌ട്രീമമില്ല - അത് കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്തു.

! നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിന്റ് : പോയിന്റുകൾ നിർണായകമായി കണക്കാക്കില്ല - അവയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതനുസരിച്ച്, ഇവിടെ തത്വത്തിൽ അങ്ങേയറ്റം ഉണ്ടാകാൻ പാടില്ല(ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറിയാലും).

ഉത്തരം: പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി എത്തിയ ഘട്ടത്തിൽ കുറയുന്നു: , ഒപ്പം പോയിന്റിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്: .

മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകളെക്കുറിച്ചും തീവ്രതയെക്കുറിച്ചും ഉള്ള അറിവ്, ഒപ്പം സ്ഥാപിതമായി രോഗലക്ഷണങ്ങൾഇതിനകം വളരെ നല്ല ആശയം നൽകുന്നു രൂപംഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിക്സ്. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന് രണ്ട് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടും ഉണ്ടെന്ന് ശരാശരി പരിശീലനമുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക് വാക്കാലുള്ള നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. ഇതാ നമ്മുടെ നായകൻ:

പഠനത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താൻ ഒരിക്കൽ കൂടി ശ്രമിക്കുക.
നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ തീവ്രതയില്ല, പക്ഷേ ഉണ്ട് ഗ്രാഫ് ഇൻഫ്ലക്ഷൻ(ചട്ടം പോലെ, സമാനമായ കേസുകളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണം 4

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 5

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏകതാനത ഇടവേളകൾ, മാക്സിമ, മിനിമ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക

…ഇന്ന് ഏതാണ്ട് ഒരുതരം "എക്സ് ഇൻ എ ക്യൂബ്" അവധി പോലെയാണ്....
സോ, ഗാലറിയിൽ ആരാണ് ഇതിന് കുടിക്കാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തത്? =)

ഓരോ ടാസ്ക്കിനും അതിന്റേതായ കാര്യമായ സൂക്ഷ്മതകളും സാങ്കേതിക സൂക്ഷ്മതകളും ഉണ്ട്, അവ പാഠത്തിന്റെ അവസാനം അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു.

വർദ്ധിച്ചുവരുന്നഇടവേളയിൽ \(X\) എന്തെങ്കിലും \(x_1, x_2\in X\) ആണെങ്കിൽ \(x_1

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു കുറയാത്തത്

\(\blacktriangleright\) ഫംഗ്ഷൻ \(f(x)\) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു കുറയുന്നുഇടവേളയിൽ \(X\) എന്തെങ്കിലും \(x_1, x_2\in X\) ആണെങ്കിൽ \(x_1 f(x_2)\) .

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിക്കാത്തത്ഇടവേളയിൽ \(X\) എന്തെങ്കിലും \(x_1, x_2\in X\) ആണെങ്കിൽ \(x_1

\(\blacktriangleright\) കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായ, കൂടാതെ കൂടാത്തതും കുറയാത്തതും ലളിതമാണ് ഏകതാനമായ.

\(\കറുത്ത ത്രികോണ വലതു\) അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ:

ഐ.\(f(x)\) ഫംഗ്‌ഷൻ \(X\) ന് കർശനമായി ഏകതാനമാണെങ്കിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) അത് \(f( x_1)= f(x_2)\) , തിരിച്ചും.

ഉദാഹരണം: ഫംഗ്ഷൻ \(f(x)=\sqrt x\) എല്ലാ \(x\in \) യിലും കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ \(x^2=9\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഈ ഇടവേളയിൽ പരമാവധി ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്ന്: \(x=-3\) .

\(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാ \(x\in (-1;+\infty)\), അതിനാൽ \(-\dfrac 1 എന്ന സമവാക്യം (x +1)=0\) ഈ ഇടവേളയിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല, കാരണം ഇടത് വശത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകില്ല.

III.\(f(x)\) ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയാത്തതും (വർദ്ധിക്കാത്തതും) \(\) സെഗ്‌മെന്റിൽ തുടർച്ചയായതും ആണെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് അത് \(f(a)= മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. A, f(b)=B\) , തുടർന്ന് \(C\in \) (\(C\in \) ) എന്ന സമവാക്യത്തിന് \(f(x)=C\) എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ \(f(x)=x^3\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (അതായത്, കർശനമായി മോണോടോൺ) കൂടാതെ എല്ലാ \(x\in\mathbb(R)\) , അതിനാൽ ഏത് \(C\) (-\infty;+\infty)\) എന്നതിൽ \(x^3=C\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് കൃത്യമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്: \(x=\sqrt(C)\) .

ടാസ്ക് 1 #3153

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയേക്കാൾ എളുപ്പമാണ്

കൃത്യമായി രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

നമുക്ക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക \(f(t)=t^3+t\) . അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതപ്പെടും: \ ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കാം \(f(t)\) . \ തത്ഫലമായി, \(f(t)\) ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാ \(t\) നും വർദ്ധിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഓരോ മൂല്യവും \(f(t)\) ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ കൃത്യമായ ഒരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം \(t\) . അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്: \ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: \

ഉത്തരം:

\(\ഇടത്(-\infty;\dfrac1(12)\വലത്)\)

ടാസ്ക് 2 #2653

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടിയുള്ള \(a\) പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക \

രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

(വരിക്കാരിൽ നിന്നുള്ള ചുമതല.)

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: \ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . അപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: \

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം \ എല്ലാ \(w\ne 0\) ഡെറിവേറ്റീവ് \(f"(w)>0\) ആണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം \(7^w>0\) , \(w^6>0\) .കൂടാതെ ശ്രദ്ധിക്കുക. \(f(w)\) ഫംഗ്‌ഷൻ തന്നെ എല്ലാ \(w\) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, \(f(w)\) തുടർച്ചയായതിനാൽ, നമുക്ക് \(f (w)\) എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം മൊത്തത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു \(\mathbb(R)\) .
\(t=u\) എങ്കിൽ മാത്രമേ \(f(t)=f(u)\) തുല്യത സാധ്യമാകൂ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരിയബിളുകളിലേക്ക് മടങ്ങുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

\ ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് ചതുരവും അതിന്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കണം:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

ഉത്തരം:

\((-\infty;1)\കപ്പ്(1;2)\)

ടാസ്ക് 3 #3921

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടിയുള്ള \(a\) പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക

കുറഞ്ഞത് \(2\) പരിഹാരങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ട്.

\(ax\) അടങ്ങുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തോട്ടും \(x^2\) ഉള്ളവ വലത്തോട്ടും നീക്കി ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കാം
\

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:
\

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:
\

കാരണം \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), തുടർന്ന് \(f"(t)\geqslant 0\) ഏതെങ്കിലും \(t\in \mathbb(R)\) .

മാത്രമല്ല, \(f"(t)=0\) എങ്കിൽ \((t-2)^2=0\) ഒപ്പം \(1+\cos(2t)=0\) ഒരേ സമയം, അത് ശരിയല്ല ഏതെങ്കിലും \ (t\) ആയതിനാൽ, \(f"(t)> 0\) \(t\in \mathbb(R)\) .

അങ്ങനെ, എല്ലാ \(t\in \mathbb(R)\) ഫംഗ്‌ഷൻ \(f(t)\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

അതായത് \(f(ax)=f(x^2)\) എന്ന സമവാക്യം \(ax=x^2\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

\(a=0\) എന്നതിനുള്ള \(x^2-ax=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് \(x=0\), \(a\ne 0\) എന്നതിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട് \(x_1 =0 \) കൂടാതെ \(x_2=a\) .
\(a>0\) എന്ന വസ്തുത കൂടി കണക്കിലെടുത്ത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുന്ന \(a\) മൂല്യങ്ങൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
അതിനാൽ, ഉത്തരം ഇതാണ്: \(a\in (0;+\infty)\) .

ഉത്തരം:

\((0;+\infty)\) .

ടാസ്ക് 4 #1232

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക \(a\) , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \

ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ \(2^(\sqrt(x+1))\) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി (\(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) രൂപത്തിൽ: \

പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) എന്നതിനായി (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

ഡെറിവേറ്റീവ് \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\വലത്)\).

കാരണം \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)എല്ലാത്തിനും \(t\geqslant 0\) , തുടർന്ന് \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

തത്ഫലമായി, \(t\geqslant 0\) ഫംഗ്‌ഷൻ \(y\) ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.

\(y(t)=y(z)\) എന്ന രൂപത്തിൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം, ഇവിടെ \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . \(t=z\) ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ സമത്വം സാധ്യമാകൂ എന്ന് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്: \(ax=\sqrt(x+1)\), ഇത് സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

\(a=0\) വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന \(x=-1\) സിസ്‌റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ അത് \(ax\geqslant 0\) .

കേസ് പരിഗണിക്കുക \(a\ne 0\) . സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം \(D=1+4a^2>0\) എല്ലാത്തിനും \(a\) . തൽഫലമായി, സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്‌പ്പോഴും \(x_1\), \(x_2\) രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അവ വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുള്ളവയാണ് (വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

ഇതിനർത്ഥം \(എ<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) അവസ്ഥ ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് കൊണ്ട് തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

അതിനാൽ, \(a\in \mathbb(R)\) .

ഉത്തരം:

\(a\in \mathbb(R)\) .

ടാസ്ക് 5 #1234

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക \(a\) , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \

\([-1;0]\) സെഗ്‌മെന്റിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ട്.

പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)ചില സ്ഥിര \(a\) . നമുക്ക് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

\(x\), \(a\) എന്നിവയുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും \(f"(x)\geqslant 0\), \(x=a=1 ന് മാത്രം \(0\) തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക \).എന്നാൽ \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)\(2(x-1)^3=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത \(x=1\) ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്. അതിനാൽ, \(a\) എന്നത് \(1\) ന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല.

ഇതിനർത്ഥം എല്ലാ \(a\ne 1\) ഫംഗ്‌ഷൻ \(f(x)\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ, \(f(x)=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടാകരുത്. ക്യൂബിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ചില നിശ്ചിത \(a\) ന്റെ \(f(x)\) ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇതിനർത്ഥം, \([-1;0]\) എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നിന്ന് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ലഭിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമാണ്: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

അങ്ങനെ, \(a\in [-2;0]\) .

ഉത്തരം:

\(a\in [-2;0]\) .

ടാസ്ക് 6 #2949

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക \(a\) , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

വേരുകൾ ഉണ്ട്.

(വരിക്കാരിൽ നിന്നുള്ള ചുമതല)

ODZ സമവാക്യങ്ങൾ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). അതിനാൽ, ഒരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു സമവാക്യമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ സംബന്ധിച്ച് തീരുമാനങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു.

1) ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \അവസാനം(വിന്യസിച്ചു) \അവസാനം(കൂട്ടി)\വലത്. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]ഈ സമവാക്യത്തിന് \(\) ൽ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഒരു സർക്കിൾ പരിഗണിക്കുക:

അങ്ങനെ, ഏതൊരു \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരവും മറ്റുള്ളവയ്ക്ക് പരിഹാരങ്ങളുമില്ലെന്നും നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, എപ്പോൾ \(എ\ഇടത്ത്[-1;-1+\sin 1\വലത്]\)സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

2) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . നമുക്ക് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: \ ODZ-ൽ, ഡെറിവേറ്റീവിന് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ട്: \(x=\frac34\) , ഇത് ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് കൂടിയാണ് \(f(x)\) .
\(f(0)=f(1)=0\) എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, ആസൂത്രിതമായി ഗ്രാഫ് \(f(x)\) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് \(f(x)\) \(y=-a\) എന്ന നേർരേഖയുമായി വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (ചിത്രം അനുയോജ്യമായ ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് കാണിക്കുന്നു). അതായത്, അത് ആവശ്യമാണ് \ . ഇവയ്ക്ക് \(x\) :

ഫംഗ്‌ഷൻ \(y_1=\sqrt(x-1)\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. \(y_2=5x^2-9x\) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിന്റെ ശീർഷകം \(x=\dfrac(9)(10)\) എന്ന ബിന്ദുവിലാണ്. തൽഫലമായി, എല്ലാ \(x\geqslant 1\), ഫംഗ്‌ഷൻ \(y_2\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (പരവലയത്തിന്റെ വലത് ശാഖ). കാരണം കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് \(f_a(x)\) കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (സ്ഥിരമായ \(3a+8\) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയെ ബാധിക്കില്ല).

\(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) എല്ലാ \(x\geqslant 1\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഹൈപ്പർബോളയുടെ വലത് ശാഖയുടെ ഭാഗത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അത് കർശനമായി കുറയുന്നു.

\(f_a(x)=g_a(x)\) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം \(f\), \(g\) ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. അവയുടെ വിപരീത ഏകതാനതയിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് പരമാവധി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കാം.

എപ്പോൾ \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \\ \ 0 . അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കും:

\\ കപ്പ്

ഉത്തരം:

\(a\in (-\infty;-1]\ cup (ചിത്രം 128).

1. ഇടവേളയിൽ (0, + 00) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക.
x1 അനുവദിക്കുക< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). ഓപ്പൺ റേയിൽ (0, + 00) പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം (ചിത്രം 129).

2. ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക (-oo, 0). x 1 അനുവദിക്കുക< х 2 , х 1 и х 2 - നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ. തുടർന്ന് - x 1 > - x 2, അവസാന അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും - പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ, അതിനാൽ (ഉദാഹരണം 1-ൽ § 33-ൽ നിന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ട അസമത്വം ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു). അടുത്തത്, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) അതായത്. ഓപ്പൺ റേയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു (- 00 , 0)

സാധാരണയായി "വർദ്ധിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ", "കുറയുന്ന ഫംഗ്ഷൻ" എന്നീ പദങ്ങൾ മോണോടോണിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന പൊതുനാമത്തിൽ സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വർദ്ധിക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തെ ഏകതാനതയ്ക്കുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.

1) നമുക്ക് y = 2x2 ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് ഈ പരാബോളയുടെ ശാഖ x-ൽ എടുക്കാം.< 0 (рис. 130).

2) സെഗ്മെന്റിൽ അതിന്റെ ഭാഗം നിർമ്മിക്കുകയും തിരഞ്ഞെടുക്കുക (ചിത്രം 131).

3) നമുക്ക് ഒരു ഹൈപ്പർബോള നിർമ്മിച്ച് അതിന്റെ ഭാഗം ഓപ്പൺ റേയിൽ (4, + 00) തിരഞ്ഞെടുക്കുക (ചിത്രം 132).
4) നമുക്ക് മൂന്ന് "കഷണങ്ങളും" ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം - ഇത് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ആണ് y = f (x) (ചിത്രം 133).

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് വായിക്കാം.

1. ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്.

2. x = 0-ൽ y = 0; x > 0-ന് y > 0.

3. റേയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു (-oo, 0], സെഗ്‌മെന്റിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, കിരണത്തിൽ കുറയുന്നു, സെഗ്‌മെന്റിൽ മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, കിരണത്തിൽ താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്)