Yıldız haberleri
Benzer sayılar nelerdir? Benzer terimlerin azaltılması (Wolfson G.I.)
Örnek 1.- 3*(a - 2b) ifadesindeki parantezleri açalım.
Çözüm.-3'ü a ve -2b terimlerinin her biriyle çarpalım. - 3*(a - 2b)= - 3*a + (- 3)*(- 2b)= - 3a + 6b elde ederiz.
Örnek 2. 2m – 7m + 3m ifadesini sadeleştirelim.
Çözüm. Bu ifadede tüm terimlerin ortak çarpanı m'dir. Bu, çarpmanın dağılım özelliğine göre 2m - 7m + Зm = m (2 - 7 + 3) anlamına gelir. Tutar parantez içinde yazılır katsayılar tüm şartlar. -2'ye eşittir. Dolayısıyla 2m - 7m + 3m = -2m.
2 m - 7 m + 3m ifadesinde tüm terimlerin ortak harf kısmı vardır ve birbirlerinden yalnızca katsayılarla farklılık gösterir. Bu tür terimler denir benzer.
Harf kısmı aynı olan terimlere benzer terimler denir.
Benzer terimler yalnızca katsayılarda farklılık gösterebilir.
Benzer terimleri eklemek (veya getirmek) için, katsayılarını eklemeniz ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir.
Örnek 3. Benzer terimleri 5a+a -2a ifadesinde de sunalım.
Çözüm. Bu toplamda tüm terimler benzerdir çünkü a kısmındaki harf aynıdır. Katsayıları toplayalım: 5 + 1 - 2 = 4. Yani 5a + a - 2a = 4a olur.
Hangi terimlere benzer denir? Benzer terimler birbirinden nasıl farklı olabilir? Benzer terimlerin azaltılması (toplanması) hangi çarpma özelliğine göre yapılır?
1265. Parantezleri açın:
a) (a-b+c)*8; e) (3m-2k + 1)*(-3);
b) -5*(m - n - k); e) - 2a*(b+2c-3m);
c) a*(b - m + n); g) (-2a + 3b+5c)*4m;
d) - a*(6b - Зс + 4); h) - a*(3m + k - n).
1266. Dağılma özelliğini uygulayarak adımları gerçekleştirin çarpma işlemi:
1267. Benzer terimleri ekleyin:
7x-3x+6x-4x formunun ifadeleri şu şekilde okunur:
- yedi x, eksi üç x, altı x ve eksi dört x'in toplamı
- yedi x eksi üç x artı altı x eksi dört x
1268. Benzer terimleri azaltın:
1269. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin:
1270. İfadenin anlamını bulun:
1271. Karar ver denklem:
a) 3*(2x + 8)-(5x+2)=0; c) 8*(3-2x)+5*(3x + 5)=9.
b) - 3*(3y + 4)+4*(2y -1)=0;
1272. Bir kilogram patates 20 kopek, bir kilogram lahana ise 14 kopek Lahanadan 3 kg daha fazla patates aldılar. Her şey için 1 ruble ödedik. 62 bin kaç kilo patates ve ne kadar lahana aldınız?
1273. Turist 3 saat yürüdü, 4 saat bisiklet sürdü. Toplamda 62 km yol kat etti. Bisiklete bindiğinden 5 km/saat daha yavaş yürürse hangi hızda yürürdü?
1274. Sözlü olarak hesaplayın:
1275. Her biri -1'e eşit olan bin terimin toplamı nedir? Her biri -1'e eşit olan bin faktörün çarpımı nedir?
1276. İfadenin değerini bulun
1-3 + 5-7 + 9-11+ ... + 97-99.
1277. Denklemi sözlü olarak çözün:
a) x + 4=0; c) m + m + m = 3m;
b) a+3=a -1; d) (y-3)(y + 1)=0.
1278. Çarpmayı gerçekleştirin: 
1279. Neden katsayı eşittir ifadelerin her birinde:
1280. Moskova'dan Uzaklık Nijniy Novgorod 440 km. Bu mesafenin 8,8 cm uzunluğunda olması için haritanın ölçeği ne olmalıdır?
1285. Sorunu çözün:
1) Biçerdöver operatörü planı %15 aşarak 230 hektarlık alanda tahıl hasadı yaptı. Biçerdöverin kaç hektar alanda hasat yapması bekleniyor?
2) Bir marangoz ekibi binayı onarmak için 4,2 m3 tahta kullandı. Aynı zamanda onarım için ayrılan panoların %16'sını da kurtardı. Kaç tane metreküp Binanın yenilenmesi için panolar tahsis edildi mi?
1286. İfadenin anlamını bulun:
1) - 3,4 7,1 - 3,6 6,8 + 9,7 8,6; 2) -4,1 8,34+2,5 7,9-3,9 4,2.
1287. Grafiği kullanarak sorunu çözün: “Marina, Larisa, Zhanna ve Katya oynamak Açık farklı enstrümanlar(piyano, çello, gitar, keman), ancak her biri yalnızca bir tanesinde. Yabancı dil biliyorlar (İngilizce, Fransızca, Almanca, İspanyolca) ama her biri yalnızca bir tane. Bilinen:
1) gitar çalan kız İspanyolca konuşuyor;
2) Larisa keman veya çello çalmıyor ve bilmiyor İngilizce;
3) Marina keman veya çello çalmıyor ve Almanca veya İngilizce bilmiyor;
4) Almanca konuşan bir kız çello çalamaz;
5) Zhanna biliyor Fransızca ama keman çalmıyor. Kim, hangi enstrümanı, hangisini çalıyor? yabancı Dil biliyor mu?
1288. Parantezleri açın:
a) (x+y-z)*3; d) (2x-y+3)*(-2);
b) 4*(m-n-р); e) (8m-2n+p)*(-1);
c) - 8*(a - b-c); e) (a+5- b-c)*m.
1289. Çarpmanın dağılma özelliğini uygulayarak ifadenin değerini bulun:
1290. Benzer terimler verin:
1291. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin:
1292. Denklemi çözün:
1293. 67 rubleye bir masa ve 6 sandalye satın aldım. Bir sandalye masadan 18 ruble daha ucuzdur. Bir sandalyenin maliyeti ne kadar ve bir masanın maliyeti ne kadardır?
1294. Üç sınıfta 119 öğrenci bulunmaktadır. Birinci sınıfta ikinci sınıfa göre 4 daha fazla, üçüncü sınıfa göre ise 3 daha az öğrenci bulunmaktadır. Her sınıfta kaç öğrenci var?
1295. Yerdeki iki nokta arasındaki mesafe 750 m, haritada ise 25 mm ise harita ölçeğini belirleyiniz.
1296. Harita ölçeği 1:25.000 ise haritada gösterilen 6,5 km'lik mesafe ne kadardır?
1297. Haritadaki parçanın uzunluğu 12,6 cm'dir. Harita ölçeği 1:150.000 ise bu parçanın yerdeki uzunluğu ne kadardır?
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, 6. sınıf için Matematik, Ders Kitabı lise
Matematik 6. sınıf ücretsiz indir, ders planları, okula çevrimiçi hazırlık
Örnekler:
tek terimli \(2\) \(X\) ve \(5\) \(X\)- benzerdir, çünkü hem orada hem de orada harfler aynıdır: x;
\(x^2y\) ve \(-2x^2y\) tek terimlileri benzerdir, çünkü her iki durumda da harfler aynıdır: x kare çarpı y. İkinci tek terimlinin önünde eksi işareti olması önemli değil, sadece negatif bir sayısal çarpanı var ();
\(3xy\) ve \(5x\) tek terimlileri benzer değildir, çünkü ilk tek terimde x ve y harf faktörleri vardır ve ikincisinde yalnızca x vardır;
\(xy3yz\) ve \(y^2 z7x\) tek terimlileri benzerdir. Ancak bunu görmek için tek terimlileri . O zaman ilk tek terimli \(3xy^2z\) ve ikincisi \(7xy^2z\) gibi görünecek ve benzerlikleri açıkça ortaya çıkacak;
\(7x^2\) ve \(2x\) tek terimlileri benzer değildir, çünkü ilk tek terimde gerçek çarpanlar x karedir (yani, \(x·x\)) ve ikincisinde basitçe bir x.
Bu tür terimlerin nasıl tanımlandığını ezberlemeye gerek yoktur; basitçe anlamak daha iyidir. \(2x\) ve \(5x\) neden benzer olarak adlandırılıyor? Bir düşünün: \(2x\) \(x+x\) ile aynıdır ve \(5x\) \(x+x+x+x+x\) ile aynıdır. Yani \(2x\) “iki x”tir ve \(5x\) “beş x”tir. Hem orada hem de temelde aynı (benzer): x. Aynı X'lerin sadece farklı bir "miktarı".
Başka bir şey de örneğin \(5x\) ve \(3xy\). Burada ilk tek terim aslında "beş X"tir, ancak ikincisi "üç X\(·\)oyundur" (\(3xy=xy+xy+xy\)). Özünde aynı değil, benzer değil.
Benzer terimlerin azaltılması
Benzer terimlerin toplamını veya farkını bir tek terimle değiştirme işlemine " benzer terimlerin azaltılması».
Şartların birbirine benzememesi halinde getirilmesinin mümkün olmayacağını da belirtelim. Örneğin \(2x^2\) ve \(3x\)'i eklemek imkansızdır, bunlar farklıdır!
Anla, katla Olumsuz Bu tür terimler, ruble ve kilogram eklemekle aynıdır: tamamen saçma olduğu ortaya çıkıyor.
Benzer terimlerin getirilmesi, ve ifadelerini basitleştirmenin yanı sıra ve'yi çözerken de çok yaygın bir adımdır. Görelim spesifik örnek edinilen bilginin uygulanması.
Örnek. \(7x^2+3x-7x^2-x=6\) denklemini çözün
Cevap: \(3\)
Benzerleri yan yana dursun diye denklemi her seferinde yeniden yazmanıza gerek yok; Bu, daha sonraki dönüşümlerin netliği için burada yapıldı.
Talimatlar
Bir polinomda benzer terimleri getirmeden önce, genellikle ara eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekli hale gelir: tüm parantezleri açın, kaldırın ve terimleri standart forma getirin. Yani bunları sayısal bir faktörün ve değişkenlerin ürünü olarak yazın. Örneğin, standart forma indirgenmiş 3xy(–1.5)y² ifadesi şu şekilde görünecektir: –4.5xy³.
Tüm parantezleri açın. A+B+C gibi ifadelerde parantezleri çıkarın. Önünde artı işareti varsa tüm terimler korunur. Parantezlerin önünde eksi işareti varsa tüm terimlerin işaretlerini ters yönde değiştirin. Örneğin, (x³–2x)–(11x²–5ax)=x³–2x–11x²+5ax.
Bir polinomu bir polinomla çarpmanız gerekiyorsa, tüm terimleri birbiriyle çarpın ve elde edilen tek terimlileri ekleyin. A+B polinomunun üssünü yükseltirken kısaltılmış çarpmayı kullanın. Örneğin, (2ax–3y)(4y+5a)=2ax∙4y–3y∙4y+2ax∙5a–3y∙5a.
Tek terimlileri standart forma indirgeyin. Bunu yapmak için sayıları ve güçleri tabanlarla gruplayın. Daha sonra bunları birbiriyle çarpın. Gerekirse monomialin üssünü yükseltin. Örneğin, 2ax∙5a–3y∙5a+(2xa)³=10a²x–15ay+8a³x³.
İfadede aynı harf kısmına sahip terimleri bulun. Netlik sağlamak için bunları özel alt çizgiyle vurgulayın: bir düz çizgi, bir dalgalı çizgi, iki basit çizgi vb.
Benzer terimlerin katsayılarını toplayın. Ortaya çıkan sayıyı şununla çarpın: gerçek ifade. Benzer terimler verilmiştir. Örneğin, x²–2x–3x+6+x²+6x–5x–30–2x²+14x–26=x²+x²–2x²–2x–3x+6x–5x+14x+6–30–26=10x–50 .
Kaynaklar:
- Tek terimli ve polinom
- Lütfen yıkayın: yazın: a) ilk terimin olduğu toplam
En karmaşık denklem bile, onu daha önce karşılaştığınız bir biçime indirgediğinizde artık korkutucu görünmemektedir. En basit bir şekilde Her durumda yardımcı olan yöntem, polinomları standart forma indirgemektir. Bu, çözüme doğru ilerleyebileceğiniz bir başlangıç noktasıdır.
İhtiyacın olacak
- kağıt
- renkli kalemler
Talimatlar
Sonuç olarak ne elde edeceğinizi bilmeniz için standart formu hatırlayın. Yazma sırası bile önemlidir: En büyük üyeye sahip olan üyeler önce gelmelidir. Ayrıca alfabenin başındaki harflerle gösterilen bilinmeyenlerin ilk önce yazılması adettendir.
Orijinal polinomu yazın ve benzer terimleri aramaya başlayın. Bunlar size verilen denklemin üyeleridir, aynı harf kısmı ve/veya dijital kısımdır. Daha fazla netlik sağlamak için bulunan çiftleri vurgulayın. Benzerliğin kimlik anlamına gelmediğini lütfen unutmayın - asıl mesele, çiftin bir üyesinin ikinciyi içermesidir. Yani xy, xy2z ve xyz terimleri olacak - bunların x ve y'nin çarpımı şeklinde ortak bir kısmı var. Aynı şey sakin olanlar için de geçerli.
Farklı benzer üyeleri farklı şekilde etiketleyin. Bunu yapmak için tek, çift ve üçlü çizgilerle vurgulamak, renk ve diğer çizgi şekillerini kullanmak daha iyidir.
Tüm benzer üyeleri bulduktan sonra onları birleştirmeye başlayın. Bunu yapmak için, benzer terimleri bulunanlardan parantezlerin dışında kaldırın. Standart formda bir polinomun böyle terimleri olmadığını unutmayın.
Girişinizde yinelenen öğeler olup olmadığını kontrol edin. Bazı durumlarda tekrar benzer üyeleriniz olabilir. Bunları birleştirerek işlemi tekrarlayın.
Standart biçimde bir polinom yazmak için gereken ikinci koşulun karşılandığından emin olun: katılımcılarının her biri standart biçimde bir tek terimli olarak gösterilmelidir: ilk sırada sayısal bir faktör, ikinci sırada bir değişken veya değişkenler gelir, daha önce belirtilen sıraya göre takip edin. Bu durumda alfabenin belirlediği bir harf dizisine sahiptir. Azalan dereceler ikincil olarak dikkate alınır. Bu yüzden, standart görünüm Tek terim 7xy2 olarak yazılır, ancak y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 gerekli değildir.
Konuyla ilgili video
Zodyak işaretleri astrolojinin ana unsurudur. Bunlar, Avrupa'nın astrolojik geleneğine göre zodyak bölgesinin bölündüğü 12 sektördür (bir yıldaki ay sayısına göre). Her birinin bir adı vardır, bağlı olarak Zodyak takımyıldızı bu bölgede yer almaktadır. İşaretlerin adlarının eski Yunan mitlerine dayandığı bir versiyon var.
Talimatlar
Koç, altın yünlü bir koçtur. Bu işaretin adı Altın Post efsanesiyle ilişkilidir. Koç burcunda doğan insanlar, bu hayvan gibi görünüşte uysaldırlar, ancak belirleyici bir anda cesur eylemlerde bulunabilirler.
Boğa nazik ve aynı zamanda şiddetli bir hayvandır. Bu işaretin adının kökeni Jüpiter ve Avrupa efsanesiyle ilişkilidir. Sevgi dolu tanrı aşık oldu güzel kız Onu kazanmak için güzel, kar beyazı bir boğaya dönüştü. Avrupa hayvanı okşamaya başladı ve sırtına tırmandı. Ve sinsi Jüpiter onu Girit adasına götürdü.
İkizler, birbirleri için ölmeye hazır olan Pollux ve Castor'un kardeşçe sevgisi mitinin vücut bulmuş halidir. Efsaneye göre, savaş sırasında Castor yaralanıp kardeşinin kollarında öldü, Pollux ölümsüzdü ve onun da kardeşiyle birlikte ölmesine izin vermek için babası Zeus'a başvurdu.
Devasa bir kerevit, Hydra ile savaşı sırasında Herkül'ün bacağına pençelerini batırdı. Kanseri yendi ve yılanla mücadeleye devam etti, ancak Juno (kanserin Herkül'e saldırması onun emri üzerineydi) ona minnettardı ve kanserin resmini diğer kahramanların yanına yerleştirdi.
Nemean aslanı, uzun süre iktidar barışını korumak adına insanlara saldıran korkunç ve zorlu bir hayvandır. Herkül onu yendi. Mitoloji açısından aslan, gücün bir niteliğidir. Bu işaretin altında doğan insanlar gurur ve büyük bir özgüven duygusuna sahiptir.
Başak burcundan, dünyanın yaratılışıyla ilgili eski Yunan mitinde bahsedilmektedir. Efsaneye göre Pandora (ilk kadın), açmasının yasak olduğu bir kutuyu yeryüzüne getirmiş ancak bu cezbeden dayanamayıp kapağını açmış. Tüm talihsizlikler, zorluklar, keder ve insani ahlaksızlıklar kutudan dağıldı. Bundan sonra Tanrılar dünyayı terk etti, masumiyet ve saflık tanrıçası Astraea (Başak) uçup giden son kişi oldu ve takımyıldızına onun adı verildi.
Terazi burcunun adı, Dika adında bir kızı olan adalet tanrıçası Themis'in efsanesiyle ilişkilidir. Kız, insanların eylemlerini tartıyordu ve terazisi, burcun sembolü haline geldi.
Bir efsaneye göre Akrep, tanrıça Diana'ya tecavüz etmeye çalışan Orion'u soktu. Orion'un ölümünden sonra Jüpiter onu yıldızların arasına yerleştirdi.
Yay bir centaur'dur. Buna göre antik Yunan mitleri yarı at, yarı insandır. Centaur Chiron efsanesinde ana karakter her şeyi ve her şeyi biliyordu, tanrılara sporu, iyileştirme sanatını ve sahip olmaları gereken diğer bilgi ve becerileri öğretti.
Oğlak burcu, dağ yamaçlarına tırmanabilen, çıkıntılara tutunabilen, güçlü toynaklara sahip bir hayvandır. İÇİNDE Antik Yunan yarı insan ve yarı keçi olan Pan (doğa tanrısı) ile ilişkilidir.
Kova burcu, adını saki olarak çalışan ve tedavi eden Ganymede adlı genç bir adamdan almıştır. dünyevi insanlar tatillerde ve kutlamalarda. Genç adamın mükemmel insani nitelikleri vardı, mükemmel bir arkadaş, muhatap ve tek kelimeyle iyi bir insandı. Bunun için Zeus onu tanrıların sakisi yaptı.
Son işaret burç dairesi - Balık. İsminin ortaya çıkışı Eros ve Afrodit efsanesiyle ilişkilidir. Tanrıça oğluyla birlikte kıyı boyunca yürüyordu ve canavar Typhon'un saldırısına uğradılar. Jüpiter onları kurtarmak için Eros ve Afrodit'i balığa dönüştürdü ve balıklar suya atlayıp denizde kayboldu.
Getirmek kesirler en azından payda aksi halde kısaltma denir kesirler. Matematiğiniz, pay ve paydasında büyük sayılar bulunan bir kesirle sonuçlanırsa, bunun azaltılıp azaltılamayacağını kontrol edin.
“Benzer terimler” - Matematik ders kitabı, 6. sınıf (Vilenkin)
Kısa Açıklama:
Bu bölümde “benzer terimler” ifadesinin ne anlama geldiğini ve bunları nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.
Parantez açmayı zaten öğrendiniz, çarpma işleminin dağılma özelliğini öğrendiniz ve sayısal harfli bir ifadenin ne anlama geldiğini biliyorsunuz (unutmayın, bu 5a, 6ac gibi bir ifadedir). Şimdi 8a+8c gibi bir ifadeye bakalım. İlk terim ile ikinci terimin aynı katsayıya (8 sayısına) sahip olduğunu fark ettiniz mi? Bu durumda 8 sayısı parantezlerden çıkarılıp çarpımın çarpanlarından biri yani 8*(a+c) olarak sunulabilir. 8'in birinci ve ikinci terimlerin ortak çarpanı olduğu ortaya çıktı.
Şimdi şu örneğe bakalım: 10a+15a-20a. Terimlerin her biri (10a, 15a, -20a) aynı harf kısmına (a) sahiptir ancak katsayıları farklıdır (10, 15 ve -20). Bu tür terimlere benzer denir (yani, benzer arkadaş bir arkadaşta). Bu ifade, gerçek ifadeyi (yani a) bir faktör olarak çıkararak farklı bir şekilde yeniden yazılabilir ve her terimden parantez içinde yalnızca bir sayı (katsayı) kalır: a*(10+15-20)= a*5=5a. Böylece benzer terimleri bularak sayısal harfli ifadeyi basitleştirdik. Yani benzer terimler, harf kısmı aynı olan sayısal harfli ifadelerdir. Örnekte yaptığımız toplama işlemine benzer terimlerin azaltılması (veya eklenmesi) denir (yani katsayıları toplanır ve ortaya çıkan sonuç bir harfle çarpılır).
Bir sayı ve harflerin çarpımı olan bir ifade verilsin. Bu ifadedeki sayıya denir katsayı. Örneğin:
ifadede katsayı 2 sayısıdır;
ifadede - 1 sayısı;
ifadede bu -1 sayısıdır;
ifadesinde katsayı 2 ve 3 sayılarının yani 6 sayısının çarpımıdır.
Petya'nın 3 şekeri ve 5 kayısısı vardı. Annem Petya'ya 2 şeker ve 4 kayısı daha verdi (bkz. Şekil 1). Petya'nın toplam kaç tatlısı ve kayısısı var?
Pirinç. 1. Sorunun gösterimi
Çözüm
Sorunun durumunu aşağıdaki formda yazalım:
1) 3 şeker ve 5 kayısı vardı:
2) Annem 2 şeker ve 4 kayısı verdi:
3) Yani Petya’nın toplamı:
4) Şekerli şekerleri, kayısılı kayısıları ekleyin:
Sonuç olarak toplam 5 şeker ve 9 kayısı oldu.
Cevap: 5 şeker ve 9 kayısı.
Problem 1'de dördüncü adımda benzer terimlerin indirgenmesini ele aldık.
Harf kısmı aynı olan terimlere benzer terimler denir. Benzer terimler yalnızca sayısal katsayıları bakımından farklılık gösterebilir.
Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir.
Benzer terimleri ekleyerek ifadeyi basitleştiririz.
Harf kısımları aynı olduğundan benzer terimlerdir. Bu nedenle, bunları azaltmak için tüm katsayılarını toplamak gerekir - bunlar 5, 3 ve -1'dir ve ortak harf kısmıyla çarpılır - bu A.
2)
Bu ifade benzer terimler içermektedir. Ortak harf kısmı xy ve katsayılar 2, 1 ve -3'tür. Şimdi bu benzer terimlere bakalım:
3)
Bu ifadede benzer terimler bulunmaktadır. ve bunları listeleyelim:
4)
Bu ifadeyi sadeleştirelim. Bunu yapmak için benzer terimler buluyoruz. Bu ifadede iki çift benzer terim vardır; bunlar ve , ve .
Bu ifadeyi sadeleştirelim. Bunu yapmak için dağıtım yasasını kullanarak parantezleri açalım:
İfadede benzer terimler var - bunlar ve , hadi bunları verelim:
Bu dersimizde katsayı kavramını tanıdık, hangi terimlerin benzer olarak adlandırıldığını öğrendik, benzer terimlerin getirilmesi için bir kural oluşturduk ve bu kuralın kullanıldığı birkaç örnek çözdük.
Kaynakça
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. M .: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. M.: Gymnasium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. M.: Eğitim, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - M .: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Ortaokulun 5-6. sınıfları için ders kitabı-muhatap. M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kitaplığı, 1989.
Ev ödevi
- İnternet portalı Youtube.com ( ).
- İnternet portalı For6cl.uznateshe.ru ().
- İnternet portalı Festival.1september.ru ().
- İnternet portalı Cleverstudents.ru ().
