Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri

Bir fonksiyonun artış, azalma ve ekstremum aralıklarını bulmak hem bağımsız bir görevdir hem de diğer görevlerin önemli bir parçasıdır. tam fonksiyon çalışması. Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremum değerlerine ilişkin ilk bilgiler aşağıda verilmiştir. türev üzerine teorik bölümÖn çalışma için şiddetle tavsiye ettiğim (veya tekrarlama)– ayrıca aşağıdaki materyalin aynı temele dayanması nedeniyle esasen türev, bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Bununla birlikte, eğer zaman kısaysa, o zaman bugünkü dersten tamamen resmi örneklerle pratik yapmak da mümkündür.

Ve bugün havada nadir görülen bir birlik ruhu var ve orada bulunan herkesin arzuyla yandığını doğrudan hissedebiliyorum. Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle makul, iyi, ebedi terminoloji hemen monitör ekranlarınızda belirir.

Ne için? Sebeplerden biri en pratik olanıdır: böylece belirli bir görevde genel olarak sizden ne istendiğinin netleşmesi için!

Fonksiyonun monotonluğu. Bir fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları

Biraz fonksiyon düşünelim. Basitçe söylemek gerekirse, onun olduğunu varsayıyoruz. sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yeni tanışan okuyucular için olası yanılsamalardan bir an önce kurtulalım. fonksiyonun sabit işaretli aralıkları. Şimdi biz İLGİLENMİYORUM, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (eksenin kesiştiği yerde yukarıda, aşağıda). İkna edici olmak için eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilginin yattığı yer burası.

İşlev artışlar Bir aralıkta, bu aralığın ilişkiyle birbirine bağlanan herhangi iki noktası için eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" doğru gider. Gösterim işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır Belirli bir aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir aralıkta. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" doğru gider. Fonksiyonumuz aralıklarla azalır .

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. kesinlikle monoton bu aralıkta. Monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın – monotonluk.

Ayrıca tanımlayabilirsiniz azalmayan işlev (ilk tanımda rahat durum) ve artmayan fonksiyon (2. tanımda yumuşatılmış durum). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monotonik fonksiyon denir (katı monotonluk, “basitçe” monotonluğun özel bir durumudur).

Teori aynı zamanda yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını/azalışını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak başınıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul edeceğiz. - bu daha açık ve birçok pratik sorunu çözmek için oldukça yeterli.

Böylece, Makalelerimde "bir fonksiyonun monotonluğu" ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(kesinlikle artan veya kesinlikle azalan fonksiyon).

Bir noktanın mahallesi. Ardından öğrencilerin bulabildikleri her yere kaçtıkları ve köşelerde dehşet içinde saklandıkları sözler. ...her ne kadar gönderiden sonra Cauchy sınırları Muhtemelen artık saklanmıyorlar, sadece hafifçe titriyorlar =) Endişelenmeyin, artık matematiksel analiz teoremlerinin kanıtı olmayacak - tanımları daha kesin bir şekilde formüle etmek için çevreye ihtiyacım vardı ekstrem noktalar. Hatırlayalım:

Bir noktanın mahallesi Belirli bir noktayı içeren bir aralık denir ve kolaylık sağlamak için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin bir nokta ve onun standart komşuluğu:

Aslında tanımlar:

Nokta denir kesin maksimum nokta, Eğer var onun mahallesi, hepsi için değerleri, noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. bizim spesifik örnek mesele bu.

Nokta denir kesin minimum nokta, Eğer var onun mahallesi, hepsi için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Çizimde “a” noktası var.

Not : Komşuluk simetrisi gerekliliği hiç de gerekli değildir. Ayrıca önemli varoluşun gerçeği belirtilen koşulları karşılayan mahalle (küçük veya mikroskobik)

noktalar denir kesinlikle ekstremum noktalar ya da sadece ekstrem noktalar işlevler. Yani maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

“Aşırı” kelimesini nasıl anlıyoruz? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız trenlerinin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, gevşek varsayımlar mevcuttur ve teoride daha da yaygındır. (tabii ki, dikkate alınan katı davalar da bu kapsamdadır!):

Nokta denir maksimum nokta, Eğer varçevresi öyle hepsi için
Nokta denir minimum puan, Eğer varçevresi öyle hepsi için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği barındırıyor.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun (veya bir fonksiyonun "düz bölümünün") herhangi bir noktasının hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğini unutmayın! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, bu düşünceleri teorisyenlere bırakacağız, çünkü pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklığın prensesi" ile düşünürüz. Bir çeşitlilik olarak ortaya çıkar uç, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin noktadaki fonksiyonun minimumu.

Ah, kraliyetten bahsetmişken:
– anlamı denir maksimum işlevler;
– anlamı denir minimum işlevler.

Yaygın isim - aşırılıklar işlevler.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

Ekstrem noktalar– bunlar “X” değerleridir.
Aşırılıklar– “oyun” anlamları.

! Not : Bazen listelenen terimler doğrudan fonksiyonun KENDİSİNİN GRAFİĞİ üzerinde yer alan “X-Y” noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema sahip olabilir?

Yok, 1, 2, 3,... vb. sonsuzluğa. Örneğin sinüsün sonsuz sayıda minimum ve maksimum değeri vardır.

ÖNEMLİ!"Maksimum fonksiyon" terimi aynı değil"bir fonksiyonun maksimum değeri" terimi. Değerin yalnızca yerel mahallede maksimum olduğunu ve sol üstte "daha havalı yoldaşların" bulunduğunu fark etmek kolaydır. Aynı şekilde “bir fonksiyonun minimumu” ile “bir fonksiyonun minimum değeri” aynı şey değildir ve çizimde değerin sadece belirli bir alanda minimum olduğunu görüyoruz. Bu bakımdan ekstremum noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları ve ekstremum – yerel aşırılıklar. Yakınlarda yürürler ve dolaşırlar ve küresel kardeşler. Yani herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçlı olarak dile getirildi - "yerel"/"küresel" ek sıfatları sizi şaşırtmamalı.

Özetleyelim küçük gezi Bir deneme çekimiyle teoriye dönüş: "Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulma" görevi ne anlama geliyor?

İfade sizi şunu bulmaya teşvik ediyor:

– artan/azalan fonksiyon aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az sıklıkla görülür);

– maksimum ve/veya minimum puanlar (varsa). Başarısızlığı önlemek için minimum/maksimum değerleri kendiniz bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl belirlenir? Türev fonksiyonunu kullanma!

Artan, azalan aralıklar nasıl bulunur?
Fonksiyonun ekstrem noktaları ve ekstremumları?

Aslında pek çok kural zaten biliniyor ve anlaşılıyor. türevin anlamı hakkında ders.

Teğet türev boyunca fonksiyonun arttığına dair sevindirici bir haber getiriyor tanım alanı.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersidir.

Ark sinüs aralık boyunca artar - buradaki türev pozitiftir: .
Fonksiyon tanımlı ancak türevlenebilir olmadığında. Ancak kritik noktada sağdan türev ve sağdan teğet vardır, diğer kenarda ise bunların solak karşılıkları vardır.

Ark kosinüs ve türevi için de benzer akıl yürütmenin sizin için çok zor olmayacağını düşünüyorum.

Yukarıdaki durumların tümü, bunların çoğu tablosal türevler, hatırlatırım, doğrudan şuradan takip edin türev tanımları.

Neden bir fonksiyonu türevini kullanarak araştıralım?

Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini daha iyi anlamak için: "aşağıdan yukarıya" gittiği yer, "yukarıdan aşağıya" gittiği yer, minimum ve maksimumlara ulaştığı yer (eğer ulaşıyorsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir; çoğu durumda belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçip bunları düşünmenin zamanı geldi. Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulmak için algoritma:

örnek 1

Fonksiyonun artış/azalış aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır bir fonksiyonun alanı ve ayrıca kırılma noktalarını da (varsa) not edin. İÇİNDE bu durumda fonksiyon tüm sayı doğrusunda süreklidir ve bu eylem bir dereceye kadar resmidir. Ancak bazı durumlarda burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı küçümsemeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası şundan kaynaklanmaktadır:

bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir noktada bir ekstremum varsa o zaman değer de mevcut değildir.

Sonu kafanız mı karıştı? “Modül x” fonksiyonunun ekstremumu .

Şart gerekli ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla eşitlikten fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu çıkmaz. Klasik örnek Yukarıda zaten vurgulanmıştır - bu kübik bir parabol ve onun kritik noktasıdır.

Ama öyle de olsa, gerekli kondisyon ekstremum şüpheli noktaları bulma ihtiyacını belirler. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak hızlı bir şekilde parabolün nasıl oluşturulacağını anlattım. : “...birinci türevi alıp sıfıra eşitliyoruz: ...Yani denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası tam da bu noktada...”. Sanırım artık herkes parabolün tepe noktasının neden tam olarak bu noktada bulunduğunu anladı =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama bu çok basit (bir çaydanlık için bile). Ayrıca dersin en sonunda bir analog var. bir fonksiyonun türevi. Bu nedenle dereceyi artıralım:

Örnek 2

Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda görevin yaklaşık son örneği.

Kesirli-rasyonel fonksiyonlarla uzun zamandır beklenen buluşma anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Bir ve aynı görevin ne kadar değişken biçimde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) Fonksiyon noktalarda sonsuz süreksizliklere maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ediyoruz. Birinci türevi bulup sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Payı sıfır olduğunda bir kesir sıfırdır:

Böylece üç kritik nokta elde ediyoruz:

3) Tespit edilen TÜM noktaları sayı doğrusu üzerinde çizeriz ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlarız:

Aralıkta bir nokta alıp türevin değerini hesaplamanız gerektiğini size hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak "tahmin etmek" daha karlı. Örneğin aralığa ait bir noktayı alalım ve yerine koyma işlemini gerçekleştirelim: .

Dolayısıyla iki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu da türevin tüm aralık boyunca negatif olduğu anlamına gelir.

Anladığınız gibi eylemin altı aralığın her biri için gerçekleştirilmesi gerekiyor. Bu arada, pay faktörünün ve paydanın herhangi bir aralıktaki herhangi bir nokta için kesinlikle pozitif olduğunu ve bunun görevi büyük ölçüde basitleştirdiğini unutmayın.

Yani türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve kadar azalır. Aynı türdeki aralıkları birleştirme simgesiyle bağlamak uygundur.

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada:
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada:

İkinci değeri neden yeniden hesaplamak zorunda olmadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, dolayısıyla fonksiyonun orada EKSTREMİ YOKTUR - hem azaldı hem de azalan kaldı.

! Tekrar edelim önemli nokta : noktalar kritik olarak kabul edilmez - bir işlev içerirler belirlenmedi. Buna göre burada Prensipte hiçbir aşırılık olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon şu kadar artar: ve azalır Fonksiyonun maksimum değerine ulaşıldığı noktada: , ve bu noktada – minimum: .

Monotonluk aralıkları ve ekstremum bilgisi, yerleşik bilgilerle birlikte asimptotlar zaten çok iyi bir fikir veriyor dış görünüş fonksiyon grafikleri. Ortalama eğitime sahip bir kişi, bir fonksiyonun grafiğinin iki dikey asimptotu ve bir eğik asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle ilişkilendirmeyi bir kez daha deneyin.
Kritik noktada ekstremum yoktur ancak grafik bükülmesi(kural olarak benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimumlarını ve minimumlarını bulun

…bugün neredeyse bir nevi “küpün içindeki X” tatiline benziyor....
Soooo, galeride kim bunun için içki içmeyi teklif etti? =)

Her görevin kendine özgü nüansları ve teknik incelikleri vardır ve bunlar dersin sonunda yorumlanır.

artan\(X\) aralığında herhangi bir \(x_1, x_2\in X\) için öyle ise \(x_1)

Fonksiyon çağrılır azalmayan

\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonu çağrılır azalan\(X\) aralığında herhangi bir \(x_1, x_2\in X\) için öyle ise \(x_1) f(x_2)\) .

Fonksiyon çağrılır artmayan\(X\) aralığında herhangi bir \(x_1, x_2\in X\) için öyle ise \(x_1)

\(\blacktriangleright\) Artan ve azalan fonksiyonlara denir kesinlikle monoton ve artmayan ve azalmayan basitçe monoton.

\(\siyahüçgensağ\) Temel özellikler:

BEN. Eğer \(f(x)\) fonksiyonu \(X\) üzerinde kesinlikle monoton ise, o zaman \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) eşitliğinden \(f() sonucu çıkar x_1)= f(x_2)\) ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek: \(f(x)=\sqrt x\) fonksiyonu tüm \(x\in \) için kesin olarak artmaktadır, dolayısıyla \(x^2=9\) denkleminin bu aralıkta en fazla bir çözümü vardır, veya daha doğrusu bir: \(x=-3\) .

\(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) fonksiyonu tüm \(x\in (-1;+\infty)\) için kesinlikle artıyor, dolayısıyla \(-\dfrac 1 denklemi (x +1)=0\)'ın bu aralıkta birden fazla çözümü yoktur, daha doğrusu hiçbiri yoktur, çünkü sol taraftaki pay hiçbir zaman sıfıra eşit olamaz.

III.\(f(x)\) fonksiyonu azalmayan (artan olmayan) ve \(\ doğru parçası üzerinde sürekli ise ve parçanın uçlarında \(f(a)= değerlerini alır) A, f(b)=B\) , bu durumda \(C\in \) (\(C\in \) ) için \(f(x)=C\) denkleminin her zaman en az bir çözümü vardır.

Örnek: \(f(x)=x^3\) fonksiyonu kesinlikle artandır (yani kesinlikle monotondur) ve tüm \(x\in\mathbb(R)\) için, dolayısıyla herhangi bir \(C\ için) süreklidir. ( -\infty;+\infty)\)'de \(x^3=C\) denkleminin tam olarak bir çözümü vardır: \(x=\sqrt(C)\) .

Görev 1 #3153

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavından Daha Kolay

tam olarak iki kökü vardır.

Denklemi şu şekilde yeniden yazalım: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]\(f(t)=t^3+t\) fonksiyonunu düşünün. Daha sonra denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır: \ \(f(t)\) fonksiyonunu inceleyelim. \ Sonuç olarak, \(f(t)\) fonksiyonu tüm \(t\) için artar. Bu, \(f(t)\) fonksiyonunun her değerinin, \(t\) argümanının tam olarak bir değerine karşılık geldiği anlamına gelir. Bu nedenle denklemin köklerinin olabilmesi için şunlar gereklidir: \ Ortaya çıkan denklemin iki kökü olması için diskriminantının pozitif olması gerekir: \

Cevap:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Görev 2 #2653

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklemin verildiği \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \

iki kökü vardır.

(Abonelerden gelen görev.)

Bir değişiklik yapalım: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . O zaman denklem şu şekli alacaktır: \ \(f(w)=7^w+\sqrtw\) fonksiyonunu düşünün. O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır: \

Türevini bulalım \ Tüm \(w\ne 0\) için türevinin \(f"(w)>0\) olduğunu unutmayın, çünkü \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . \(f(w)\) fonksiyonunun kendisi tüm \(w\'ler için tanımlıdır. Ayrıca, \(f(w)\) sürekli olduğundan, \(f (w)\) olduğu sonucuna varabiliriz. genel olarak artar \(\mathbb(R)\) .
Bu, \(f(t)=f(u)\) eşitliğinin ancak ve ancak \(t=u\) olması durumunda mümkün olduğu anlamına gelir. Orijinal değişkenlere dönelim ve ortaya çıkan denklemi çözelim:

\ Bu denklemin iki kökü olabilmesi için kare olması ve diskriminantının pozitif olması gerekir:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Cevap:

\((-\infty;1)\fincan(1;2)\)

Görev 3 #3921

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklemin geçerli olduğu \(a\) parametresinin tüm pozitif değerlerini bulun

en az \(2\) çözümü vardır.

\(ax\) içeren tüm terimleri sola, \(x^2\) içeren tüm terimleri sağa taşıyalım ve fonksiyonu ele alalım.
\

O zaman orijinal denklem şu şekli alacaktır:
\

Türevini bulalım:
\

Çünkü \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), ardından herhangi bir \(t\in \mathbb(R)\) için \(f"(t)\geqslant 0\) .

Üstelik \(f"(t)=0\) eğer \((t-2)^2=0\) ve \(1+\cos(2t)=0\) aynı anda, bu doğru değil herhangi bir \ (t\ için) için. Bu nedenle, herhangi bir \(t\in \mathbb(R)\) için \(f"(t)> 0\) .

Bu nedenle, \(f(t)\) fonksiyonu tüm \(t\in \mathbb(R)\) için kesinlikle artmaktadır.

Bu, \(f(ax)=f(x^2)\) denkleminin \(ax=x^2\) denklemine eşdeğer olduğu anlamına gelir.

\(a=0\) için \(x^2-ax=0\) denkleminin bir kökü \(x=0\) vardır ve \(a\ne 0\) için iki farklı kökü vardır \(x_1) =0 \) ve \(x_2=a\) .
Denklemin en az iki köke sahip olacağı \(a\) değerlerini \(a>0\) gerçeğini de hesaba katarak bulmamız gerekiyor.
Bu nedenle cevap şudur: \(a\in (0;+\infty)\) .

Cevap:

\((0;+\infty)\) .

Görev 4 #1232

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için denklem olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \

benzersiz bir çözümü var.

Denklemin sağ ve sol taraflarını \(2^(\sqrt(x+1))\) (çünkü \(2^(\sqrt(x+1))>0\)) ile çarpalım ve denklemi yeniden yazalım. şeklinde : \

İşlevi düşünün \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) için (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\)'dan beri).

Türev \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Çünkü \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) tüm \(t\geqslant 0\) için, sonra \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Sonuç olarak, \(t\geqslant 0\) olarak \(y\) fonksiyonu monoton olarak azalır.

Denklem \(y(t)=y(z)\) biçiminde düşünülebilir; burada \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Fonksiyonun monotonluğundan eşitliğin ancak \(t=z\) olması durumunda mümkün olduğu sonucu çıkar.

Bu, denklemin şu denkleme eşdeğer olduğu anlamına gelir: \(ax=\sqrt(x+1)\), bu da sisteme eşdeğerdir: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

\(a=0\) olduğunda sistemin \(ax\geqslant 0\) koşulunu karşılayan bir \(x=-1\) çözümü vardır.

\(a\ne 0\) durumunu düşünün. Sistemin ilk denkleminin tüm \(a\) için diskriminantı \(D=1+4a^2>0\). Sonuç olarak, denklemin her zaman \(x_1\) ve \(x_2\) iki kökü vardır ve bunlar farklı işaretlere sahiptir (çünkü Vieta teoremine göre). \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Bu şu anlama gelir: \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) koşul pozitif bir kök tarafından karşılanır. Bu nedenle sistemin her zaman benzersiz bir çözümü vardır.

Yani, \(a\in \mathbb(R)\) .

Cevap:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Görev 5 #1234

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için denklem olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \

\([-1;0]\) segmentinden en az bir köke sahiptir.

İşlevi düşünün \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) bazı sabitler için \(a\) . Türevini bulalım: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Tüm \(x\) ve \(a\) değerleri için \(f"(x)\geqslant 0\) olduğunu ve yalnızca \(x=a=1 için \(0\)'a eşit olduğunu unutmayın. \).Fakat \(a=1\) için:
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)\(2(x-1)^3=0\) denkleminin koşulu karşılamayan tek bir kökü \(x=1\) vardır. Bu nedenle \(a\) \(1\)'e eşit olamaz.

Bu, tüm \(a\ne 1\) için \(f(x)\) fonksiyonunun kesinlikle arttığı anlamına gelir, dolayısıyla \(f(x)=0\) denkleminin birden fazla kökü olamaz. Kübik fonksiyonun özellikleri dikkate alındığında, bazı sabit \(a\) için \(f(x)\) grafiği şu şekilde görünecektir:

Bu, denklemin \([-1;0]\ segmentinden bir köke sahip olması için gerekli olduğu anlamına gelir: \[\begin(case) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(case) \Rightarrow \begin(case) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(case) \Rightarrow \begin(case) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(case) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Böylece, \(a\in [-2;0]\) .

Cevap:

\(a\in [-2;0]\) .

Görev 6 #2949

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için denklem olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

kökleri vardır.

(Abonelerden gelen görev)

ODZ denklemleri: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Bu nedenle bir denklemin köklerinin olabilmesi için denklemlerden en az birinin olması gerekir. \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(veya))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^) 2)=0\] ODZ ile ilgili kararları vardı.

1) İlk denklemi düşünün \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplanmış)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(toplandı)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Bu denklemin kökleri \(\)'de olmalıdır. Bir daire düşünün:

Böylece, herhangi bir \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) için denklemin tek bir çözümü olacağını, diğerlerinin tümü için ise hiçbir çözümü olmayacağını görüyoruz. Bu nedenle ne zaman \(a\in \sol[-1;-1+\sin 1\sağ]\) Denklemin çözümleri var.

2) İkinci denklemi düşünün \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

\(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) fonksiyonunu düşünün. Türevini bulalım: \ ODZ'de türevin bir sıfırı vardır: \(x=\frac34\) , bu aynı zamanda \(f(x)\) fonksiyonunun maksimum noktasıdır.
\(f(0)=f(1)=0\) olduğuna dikkat edin. Yani şematik olarak \(f(x)\) grafiği şöyle görünür:

Dolayısıyla denklemin çözüme sahip olabilmesi için \(f(x)\) grafiğinin \(y=-a\) düz çizgisiyle kesişmesi gerekir (şekil uygun seçeneklerden birini göstermektedir). Yani gerekli olan \ . Bunlar için \(x\) :

\(y_1=\sqrt(x-1)\) fonksiyonu kesinlikle artıyor. \(y_2=5x^2-9x\) fonksiyonunun grafiği, tepe noktası \(x=\dfrac(9)(10)\) noktasında olan bir paraboldür. Sonuç olarak, tüm \(x\geqslant 1\ için), \(y_2\) fonksiyonu da kesinlikle artmaktadır (parabolün sağ dalı). Çünkü kesin olarak artan fonksiyonların toplamı kesin olarak artıyorsa, o zaman \(f_a(x)\) kesinlikle artıyor (\(3a+8\) sabiti fonksiyonun monotonluğunu etkilemez).

Tüm \(x\geqslant 1\) için \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) fonksiyonu hiperbolün sağ dalının bir kısmını temsil eder ve tam olarak azalandır.

\(f_a(x)=g_a(x)\) denklemini çözmek, \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulmak anlamına gelir. Karşıt monotonluklarından denklemin en fazla bir kökü olabileceği sonucu çıkar.

Ne zaman \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Bu nedenle, aşağıdaki durumlarda denklemin benzersiz bir çözümü olacaktır:

\\bardak

Cevap:

\(a\in (-\infty;-1]\cup) (Şek. 128).

1. (0, + 00) aralığında bir fonksiyon düşünün.
x1 olsun< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Bu, açık ışında (0, +00) fonksiyonun azaldığı anlamına gelir (Şekil 129).

2. (-oo, 0) aralığında bir fonksiyon düşünün. x 1 olsun< х 2 , х 1 и х 2 - negatif sayılar. O halde - x 1 > - x 2 ve son eşitsizliğin her iki tarafı da - pozitif sayılar ve bu nedenle (yine § 33'teki Örnek 1'de kanıtlanmış eşitsizliği kullandık). Sonra nereden geleceğimiz var.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) yani açık ışında fonksiyon azalır (- 00, 0)

Genellikle "artan fonksiyon" ve "azalan fonksiyon" terimleri monoton fonksiyon genel adı altında birleştirilir ve artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesine bir fonksiyonun monotonluk çalışması denir.

Çözüm.

1) y = 2x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim ve bu parabolün x noktasındaki dalını alalım.< 0 (рис. 130).

2) Segment üzerindeki parçasını oluşturun ve seçin (Şek. 131).

3) Bir hiperbol oluşturalım ve bunun açık ışın (4, +00) üzerindeki kısmını seçelim (Şekil 132).
4) Üç "parçayı" tek bir koordinat sisteminde gösterelim - bu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir (Şekil 133).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğini okuyalım.

1. Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

2. x = 0'da y = 0; x > 0 için y > 0.

3. Fonksiyon ışın üzerinde azalır (-oo, 0], parça üzerinde artar, ışın üzerinde azalır, parça üzerinde yukarı doğru dışbükey, ışın üzerinde aşağı doğru dışbükeydir)