Negatif bir sayı rasyonel midir? Tamsayılar ve rasyonel sayılar. Gerçek sayılar

Tamsayılar

Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar nesneleri saymak ve başka birçok amaç için kullanılır. Bunlar rakamlar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır doğal sayı? Hayır sıfır doğal bir sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı var? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı nedir? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı nedir? Sonsuz sayıda doğal sayı olduğundan bunu belirtmek imkansızdır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarını topladığımızda:

Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Yani a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eğer eksilen çıkandan büyükse doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi halde değildir.

Doğal sayıların bölümü her zaman doğal sayı değildir. a ve b doğal sayıları için ise

c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte a bölen, b bölen, c bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, ilk sayının bir tam sayıya bölünebildiği bir doğal sayıdır.

Her doğal sayı bire ve kendisine bölünebilir.

Asal doğal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünebilir. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 yalnızca bire ve kendisine bölünebilir. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük olan ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılara örnekler:

Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi birdir, asal sayılar ve bileşik sayılar.

Doğal sayılar kümesi gösterilir Latince harf N.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

toplamanın değişme özelliği

eklemenin ilişkisel özelliği

(a + b) + c = a + (b + c);

Çarpmanın değişme özelliği

çarpmanın birleşme özelliği

(ab) c = a (bc);

Çarpmanın dağılma özelliği

bir (b + c) = ab + ac;

Bütün sayılar

Tam sayılar; doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların karşıtlarıdır.

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır, örneğin:

1; -2; -3; -4;...

Tamsayılar kümesi Latince Z harfiyle gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar Bunlar tam sayılar ve kesirler.

Herhangi bir rasyonel sayı periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Örneklerden herhangi bir tam sayının periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu açıktır.

Herhangi bir rasyonel sayı m/n kesri olarak gösterilebilir; burada m bir tam sayıdır sayı,n doğal sayı. Bir önceki örnekteki 3(6) sayısını böyle bir kesir olarak düşünelim.

Rasyonel sayılar

Çeyrekler

1. Düzenlilik. A Ve B kişinin aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamasına izin veren bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: negatif olmayan iki sayı ve iki tam sayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o zaman A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Kesirleri Ekleme

2. Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplama. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
3. Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer: .
4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
5. Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
6. Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
7. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
8. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
9. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
10. Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
11. Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
12. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
13. Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Sol ve sağ kısımlara rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyebilirsiniz. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tamsayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir.

Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Her birinde sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesri 1 sayısına, 2/1 kesri 2 sayısına vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayıyla ifade edilemez.

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek, rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği yönünde yanıltıcı bir izlenim yaratmaktadır. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Notlar

Edebiyat

• I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Sayı- yüzyıllar boyunca değişen önemli bir matematiksel kavram.

Sayılarla ilgili ilk fikirler insanları, hayvanları, meyveleri, çeşitli ürünleri vb. saymaktan ortaya çıktı. Sonuç doğal sayılardır: 1, 2, 3, 4, ...

Tarihsel olarak sayı kavramının ilk uzantısı kesirli sayıların doğal sayılara eklenmesidir.

Kesir bir birimin veya birkaç eşit parçanın bir kısmına (payına) denir.

Belirleyen: , nerede m, n- bütün sayılar;

Paydası 10 olan kesirler N, Nerede N- adı verilen bir tamsayı ondalık: .

Ondalık sayılar arasında özel mekan işgal etmek periyodik kesirler: - saf periyodik kesir, - karışık periyodik kesir.

Sayı kavramının daha da genişlemesi matematiğin kendisinin (cebir) gelişmesinden kaynaklanmaktadır. 17. yüzyılda Descartes. konsepti tanıtıyor negatif sayı.

Tam sayılara (pozitif ve negatif), kesirlere (pozitif ve negatif) ve sıfır sayılarına denir. rasyonel sayılar. Herhangi bir rasyonel sayı sonlu ve periyodik bir kesir olarak yazılabilir.

Sürekli değişen değişken nicelikleri incelemek için, rasyonel sayılara irrasyonel sayılar eklenerek sayı kavramının yeni bir şekilde genişletilmesinin - gerçek (gerçek) sayıların tanıtılması - gerekli olduğu ortaya çıktı: irrasyonel sayılar sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlerdir.

Cebirde ölçülemez bölümleri (bir karenin kenarı ve köşegeni) ölçerken irrasyonel sayılar ortaya çıktı - kökleri çıkarırken, aşkın, irrasyonel bir sayının örneği π'dir, e .

Sayılar doğal(1, 2, 3,...), tüm(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), akılcı(kesir olarak temsil edilebilir) ve mantıksız(kesir olarak temsil edilemez ) bir set oluşturmak gerçek (gerçek) sayılar.

Karmaşık sayılar matematikte ayrı ayrı ayırt edilir.

Karışık sayılar vaka için kareleri çözme problemiyle bağlantılı olarak ortaya çıkıyor D< 0 (здесь D– ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı). Uzun süre bu sayılar fiziksel uygulama bulamadı, bu yüzden onlara "hayali" sayılar denildi. Ancak artık fizik ve teknolojinin çeşitli alanlarında çok yaygın olarak kullanılıyorlar: elektrik mühendisliği, hidro ve aerodinamik, esneklik teorisi vb.

Karışık sayılar şu şekilde yazılır: z= A+ bi. Burada A Ve B – gerçek sayılar, A Ben – hayali birim, yanie. Ben 2 = -1. Sayı A isminde apsis,A B -koordine etmek karmaşık sayı A+ bi. İki karmaşık sayı A+ bi Ve a–bi arandı birleşik Karışık sayılar.

Özellikler:

1. Gerçek sayı A karmaşık sayı biçiminde de yazılabilir: A+ 0Ben veya A - 0Ben. Örneğin 5 + 0 Ben ve 5 – 0 Ben aynı sayı anlamına geliyor 5.

2. Kompleks sayı 0 + bi isminde tamamen hayali sayı. Kayıt bi 0 ile aynı anlama gelir + bi.

3. İki karmaşık sayı A+ bi Ve C+ di eşit kabul edilirse A= C Ve B= D. Aksi takdirde karmaşık sayılar eşit değildir.

Hareketler:

Ek. Karmaşık sayıların toplamı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir ( A+ C) + (B+ D)Ben. Böylece, Karmaşık sayılar toplanırken apsisleri ve ordinatları ayrı ayrı eklenir.

Çıkarma. İki karmaşık sayının farkı A+ bi(azaltılmış) ve C+ di(çıkarılan) karmaşık sayıya denir ( AC) + (b-d)Ben. Böylece, İki karmaşık sayı çıkarıldığında apsisleri ve koordinatları ayrı ayrı çıkarılır.

Çarpma işlemi. Karmaşık sayıların çarpımı A+ bi Ve C+ di karmaşık sayı denir:

(ac-bd) + (reklam+ M.Ö)Ben. Bu tanım iki gereksinimden kaynaklanmaktadır:

1) sayılar A+ bi Ve C+ di cebirsel binomlar gibi çarpılmalıdır,

2) sayı Ben ana özelliğe sahiptir: Ben 2 = –1.

ÖRNEK ( a+ bi)(a–bi)= bir 2 +b 2 . Buradan, işiki eşlenik karmaşık sayının toplamı pozitif bir gerçek sayıya eşittir.

Bölüm. Karmaşık bir sayıyı bölme A+ bi(bölünebilir) başka biri tarafından C+ di (bölücü) - üçüncü sayıyı bulmak anlamına gelir e+ ben(sohbet), bir bölenle çarpıldığında C+ di, temettüyle sonuçlanır A+ bi. Bölen sıfır değilse bölme her zaman mümkündür.

ÖRNEK Bul (8 + Ben) : (2 – 3Ben) .

Çözüm: Bu oranı kesir olarak yeniden yazalım:

Payını ve paydasını 2 + 3 ile çarpmak Ben ve tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:

Görev 1: Z'yi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme 1 z'de 2

Karekökün çıkarılması: Denklemi çözün X 2 = -A. Bu denklemi çözmek için yeni türdeki sayıları kullanmak zorunda kalıyoruz - hayali sayılar . Böylece, hayali numara aranır ikinci kuvveti negatif bir sayı olan. Sanal sayıların bu tanımına göre tanımlayabiliriz ve hayali birim:

Daha sonra denklem için X 2 = – 25 iki tane elde ederiz hayali kök:

Görev 2: Denklemi çözün:

1)x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Karmaşık sayıların geometrik gösterimi. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:

İşte asıl nokta A–3 sayısı, nokta anlamına gelir B–sayı 2 ve Ö-sıfır. Bunun tersine, karmaşık sayılar koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilir. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. O zaman karmaşık sayı A+ bi bir nokta ile temsil edilecek Apsisli PA ve koordine etmekB. Bu koordinat sistemine denir karmaşık düzlem .

Modül karmaşık sayı vektörün uzunluğudur OP, koordinatta karmaşık bir sayıyı temsil eder ( kapsayıcı) uçak. Karmaşık bir sayının modülü A+ bi belirtilen | A+ bi| veya) mektup R ve şuna eşittir:

Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir.

Bir çizim çizme kuralları, Kartezyen koordinat sistemindeki bir çizimle hemen hemen aynıdır.Eksen boyunca boyutu ayarlamanız gerekir, şunu unutmayın:

e
gerçek eksen boyunca birim; Rez

hayali eksen boyunca hayali birim. ben z

Görev 3. Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde oluşturun: , , , , , , ,

1. Sayılar kesin ve yaklaşıktır. Pratikte karşılaştığımız sayılar iki türlüdür. Bazıları miktarın gerçek değerini verirken, diğerleri yalnızca yaklaşık değeri verir. Birincisine kesin, ikincisine yaklaşık denir. Çoğu zaman kesin bir sayı yerine yaklaşık bir sayı kullanmak daha uygundur, özellikle de çoğu durumda tam bir sayı bulmak imkansız olduğundan.

Yani bir sınıfta 29 öğrenci var derlerse 29 sayısı doğrudur. Moskova'dan Kiev'e olan mesafenin 960 km olduğunu söylerlerse, burada 960 sayısı yaklaşıktır, çünkü bir yandan ölçüm cihazlarımız kesinlikle doğru değildir, diğer yandan şehirlerin de belirli bir kapsamı vardır.

Yaklaşık sayılara sahip eylemlerin sonucu da yaklaşık bir sayıdır. Kesin sayılar üzerinde bazı işlemler yaparak (bölme, kök çıkarma) yaklaşık sayıları da elde edebilirsiniz.

Yaklaşık hesaplamalar teorisi şunları sağlar:

1) verilerin doğruluk derecesini bilmek, sonuçların doğruluk derecesini değerlendirmek;

2) sonucun gerekli doğruluğunu sağlamaya yetecek uygun doğruluk derecesine sahip verileri almak;

3) hesaplama sürecini rasyonelleştirerek sonucun doğruluğunu etkilemeyecek hesaplamalardan kurtarın.

2. Yuvarlama. Yaklaşık sayıları elde etmenin bir kaynağı yuvarlamadır. Hem yaklaşık hem de kesin sayılar yuvarlanır.

Verilen bir sayının belirli bir basamağa yuvarlanmasına, o rakamın sağındaki rakamın tamamı atılarak veya sıfırlarla değiştirilerek elde edilen yeni bir sayıyla değiştirilmesi denir. Bu sıfırlar genellikle altı çizilir veya daha küçük yazılır. Yuvarlanan sayının, yuvarlanan sayıya mümkün olduğu kadar yakın olmasını sağlamak için aşağıdaki kuralları kullanmalısınız: Bir sayıyı belirli bir rakama yuvarlamak için, bu rakamın rakamından sonraki tüm rakamları atmalı ve yerine koymalısınız. tam sayının içinde sıfırlar var. Aşağıdakiler dikkate alınır:

1) Atılan rakamların ilki (solda) 5'ten küçükse, kalan son rakam değiştirilmez (aşağı yuvarlanır);

2) Atılacak ilk rakam 5'ten büyük veya 5'e eşitse, kalan son rakam bir artırılır (fazla yuvarlanır).

Bunu örneklerle gösterelim. Yuvarlak:

a) onda birine kadar 12.34;

b) yüzde bire kadar 3,2465; 1038.785;

c) binde birine kadar 3.4335.

d) bin 12375'e kadar; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Mutlak ve bağıl hatalar. Kesin sayı ile yaklaşık değeri arasındaki farka yaklaşık sayının mutlak hatası denir. Örneğin tam 1,214 sayısını en yakın onluğa yuvarlarsak yaklaşık 1,2 sayısını elde ederiz. İÇİNDE bu durumda mutlak hata yaklaşık 1,2 sayısı 1,214 - 1,2'ye eşittir, yani. 0.014.

Ancak çoğu durumda, söz konusu değerin kesin değeri bilinmemekle birlikte yalnızca yaklaşık bir değerdir. O zaman mutlak hata bilinmiyor. Bu durumlarda aşmadığı sınırı belirtiniz. Bu sayıya sınırlayıcı mutlak hata denir. Bir sayının tam değerinin, marjinal hatadan daha küçük bir hatayla yaklaşık değerine eşit olduğunu söylüyorlar. Örneğin, 23,71 sayısı, 23,7125 sayısının 0,01 doğrulukla yaklaşık değeridir, çünkü yaklaşımın mutlak hatası 0,0025 ve 0,01'den küçüktür. Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,01 *'dir.

Yaklaşık sayının sınır mutlak hatası AΔ sembolüyle gösterilir A. Kayıt

X≈A(±Δ A)

şu şekilde anlaşılmalıdır: miktarın tam değeri X sayıların arasında A– Δ A Ve A+ Δ A sırasıyla alt ve üst sınırlar olarak adlandırılan X ve NG'yi belirtin X VG X.

Örneğin, eğer X≈ 2,3 (±0,1), ardından 2,2<X< 2,4.

Tam tersi, eğer 7.3 ise< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Mutlak veya marjinal mutlak hata, gerçekleştirilen ölçümün kalitesini karakterize etmez. Aynı mutlak hata, ölçülen değerin ifade edildiği sayıya bağlı olarak önemli veya önemsiz kabul edilebilir. Örneğin iki şehir arasındaki mesafeyi bir kilometre doğrulukla ölçersek bu değişiklik için bu doğruluk oldukça yeterlidir ancak aynı zamanda aynı cadde üzerindeki iki ev arasındaki mesafeyi ölçerken bu doğruluk olacaktır. kabul edilemez. Sonuç olarak, bir büyüklüğün yaklaşık değerinin doğruluğu yalnızca mutlak hatanın büyüklüğüne değil, aynı zamanda ölçülen büyüklüğün değerine de bağlıdır. Bu nedenle bağıl hata bir doğruluk ölçüsüdür.

Bağıl hata, mutlak hatanın yaklaşık sayının değerine oranıdır. Sınırlayıcı mutlak hatanın yaklaşık sayıya oranına sınırlayıcı bağıl hata denir; bunu şu şekilde tanımlarlar: . Göreceli ve marjinal göreli hatalar genellikle yüzde olarak ifade edilir. Örneğin, ölçümler mesafenin X iki nokta arası 12,3 km'den fazla ancak 12,7 km'den az ise bu iki sayının aritmetik ortalaması yaklaşık değer olarak alınır, yani. bunların yarı toplamları, o zaman marjinal mutlak hata bu sayıların yarı farkına eşittir. Bu durumda X≈ 12,5 (±0,2). Burada sınırlayıcı mutlak hata 0,2 km'dir ve sınırlayıcı bağıl

Bu makale "Rasyonel sayılar" konusunun incelenmesine ayrılmıştır. Aşağıda rasyonel sayıların tanımları, örnekleri verilmiş ve bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceği anlatılmıştır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasyonel sayılar. Tanımlar

Rasyonel sayıların tanımını vermeden önce başka sayı kümelerinin neler olduğunu ve bunların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu hatırlayalım.

Doğal sayılar, karşıtları ve sıfır sayısıyla birlikte tam sayılar kümesini oluşturur. Buna karşılık, tamsayı kesirli sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesini oluşturur.

Tanım 1. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar pozitif olarak gösterilebilen sayılardır ortak kesir a b , negatif ortak kesir - a b veya sıfır sayısı.

Böylece rasyonel sayıların bazı özelliklerini koruyabiliriz:

1. Her doğal sayı rasyonel bir sayıdır. Açıkçası, her doğal sayı n, 1 n kesri olarak temsil edilebilir.
2. 0 sayısı da dahil olmak üzere her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı ve herhangi bir negatif tam sayı, sırasıyla pozitif veya negatif bir sıradan kesir olarak kolayca temsil edilebilir. Örneğin 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Herhangi bir pozitif veya negatif ortak kesir a b bir rasyonel sayıdır. Bu doğrudan yukarıda verilen tanımdan kaynaklanmaktadır.
4. Herhangi bir karışık sayı rasyoneldir. Aslında karışık bir sayı, sıradan bir uygunsuz kesir olarak temsil edilebilir.
5. Herhangi bir sonlu veya periyodik ondalık kesir, kesir olarak temsil edilebilir. Bu nedenle her periyodik veya sonlu ondalık kesir bir rasyonel sayıdır.
6. Sonsuz ve periyodik olmayan ondalıklar rasyonel sayılar değildir. Sıradan kesirler şeklinde temsil edilemezler.

Rasyonel sayılara örnekler verelim. 5, 105, 358, 1100055 sayıları doğal, pozitif ve tam sayıdır. Açıkçası bunlar rasyonel sayılardır. -2, -358, -936 sayıları negatif tam sayılardır ve tanımına göre de rasyoneldirler. 3 5, 8 7, - 35 8 ortak kesirleri de rasyonel sayılara örnektir.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısaca formüle edilebilir. Bir kez daha rasyonel sayı nedir sorusunun cevabını vereceğiz.

Tanım 2. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, z'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu, ± z n kesri olarak temsil edilebilen sayılardır.

Bu tanımın rasyonel sayıların önceki tanımına eşdeğer olduğu gösterilebilir. Bunu yapmak için kesir çizgisinin bölme işaretine eşdeğer olduğunu unutmayın. Tam sayıları bölmenin kurallarını ve özelliklerini dikkate alarak aşağıdaki adil eşitsizlikleri yazabiliriz:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Böylece şunu yazabiliriz:

z n = z n , p r ve z > 0 0 , p r ve z = 0 - z n , p r ve z< 0

Aslında bu kayıt delildir. İkinci tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 ve - 1 3 5 sayılarını düşünün. Bu sayıların tümü rasyoneldir çünkü paydası tamsayı olan kesirler olarak yazılabilirler ve doğal payda: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Rasyonel sayıların tanımı için başka bir eşdeğer form verelim.

Tanım 3. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik olarak yazılabilen bir sayıdır. ondalık.

Bu tanım doğrudan bu paragrafın ilk tanımından kaynaklanmaktadır.

Bu noktayı özetleyip formüle edelim:

1. Pozitif ve negatif kesirler ve tamsayılar rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
2. Her rasyonel sayı, payı bir tam sayı ve paydası bir doğal sayı olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
3. Her rasyonel sayı aynı zamanda ondalık kesir olarak da temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik.

Hangi sayı rasyoneldir?

Daha önce de öğrendiğimiz gibi, herhangi bir doğal sayı, tam sayı, uygun ve yanlış sıradan kesir, periyodik ve sonlu ondalık kesir rasyonel sayılardır. Bu bilgiyle donanmış olarak belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını kolaylıkla belirleyebilirsiniz.

Ancak pratikte çoğu zaman sayılarla değil, kökleri, kuvvetleri ve logaritmaları içeren sayısal ifadelerle uğraşmak gerekir. Bazı durumlarda "sayı rasyonel midir?" sorusunun cevabı açık olmaktan çok uzaktır. Bu soruyu cevaplamanın yöntemlerine bakalım.

Bir sayı yalnızca rasyonel sayıları içeren bir ifade olarak verilirse ve Aritmetik işlemler aralarında ise ifadenin sonucu bir rasyonel sayıdır.

Örneğin 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) ifadesinin değeri bir rasyonel sayıdır ve 18'e eşittir.

Böylece kompleksin basitleştirilmesi sayısal ifade Belirli bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemenizi sağlar.

Şimdi kökün işaretine bakalım.

M sayısının n kuvvetinin kökü olarak verilen m n sayısının, yalnızca m'nin bir doğal sayının n'inci kuvveti olması durumunda rasyonel olduğu ortaya çıktı.

Bir örneğe bakalım. 2 sayısı rasyonel değildir. Oysa 9, 81 rasyonel sayılardır. 9 ve 81 sırasıyla 3 ve 9 sayılarının tam kareleridir. 199, 28, 15 1 sayıları rasyonel sayılar değildir, çünkü kök işaretinin altındaki sayılar herhangi bir doğal sayının tam kareleri değildir.

Şimdi daha karmaşık bir durumu ele alalım. 243 5 rasyonel bir sayı mıdır? 3'ün beşinci kuvvetini yükseltirseniz 243 elde edersiniz, dolayısıyla orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 243 5 = 3 5 5 = 3. Bu nedenle bu sayı rasyoneldir. Şimdi 121 5 sayısını ele alalım. Bu sayı irrasyoneldir çünkü beşinci kuvvetine yükseltildiğinde 121 veren bir doğal sayı yoktur.

Bir a sayısının b tabanına göre logaritmasının rasyonel sayı olup olmadığını öğrenmek için çelişki yöntemini uygulamanız gerekir. Örneğin rasyonel olup olmadığını öğreniyoruz. günlük numarası 2 5. Bu sayının rasyonel olduğunu varsayalım. Eğer öyleyse, o zaman sıradan bir kesir log 2 5 = m n şeklinde yazılabilir. Logaritmanın ve derecenin özelliklerine göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Açıkçası, sol ve sağ taraflar sırasıyla tek ve çift sayılar içerdiğinden son eşitlik imkansızdır. Dolayısıyla yapılan varsayım yanlıştır ve log 2 5 rasyonel bir sayı değildir.

Sayıların rasyonelliğini ve irrasyonelliğini belirlerken ani kararlar vermemeniz gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğin irrasyonel sayıların çarpımının sonucu her zaman irrasyonel sayı değildir. İyi bir örnek: 2 · 2 = 2 .

Ayrıca irrasyonel bir güce yükseltilmesi rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılar da vardır. 2 log 2 3 formundaki bir kuvvette taban ve üs irrasyonel sayılardır. Ancak sayının kendisi rasyoneldir: 2 log 2 3 = 3.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen tüm bu tanımlar aynı anlama sahiptir: rasyonel sayılar tamsayıları birleştirir ve kesirli sayılar tıpkı tamsayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam ve kesirli sayıları genelleştirir.

İle başlayalım rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Tanım.

Rasyonel sayılar pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır sayısı olarak yazılabilen sayılardır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

Herhangi bir doğal sayı N. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin, 3=3/1 .

· Herhangi bir tam sayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır olarak yazılabilir. Örneğin, 26=26/1 , .

· Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.

· Herhangi bir karışık sayı. Aslında, karışık bir sayıyı her zaman uygunsuz bir kesir olarak temsil edebilirsiniz. Örneğin ve.

· Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, bir 0,(3)=1/3 .

Ayrıca, periyodik olmayan herhangi bir sonsuz ondalık kesirin, ortak bir kesir olarak temsil edilemeyeceği için rasyonel bir sayı OLMADIĞI da açıktır.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. Sayılar 4 ,903 , 100 321 Bunlar doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. Bütün sayılar 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 rasyonel sayılara da örnektir. Ortak kesirler 4/9 , 99/3 , aynı zamanda rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar Kesirli olarak yazılabilen isim sayıları z/n, Nerede z bir tamsayıdır ve N- doğal sayı.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği ortaya çıkar. İşte bunun kanıtı.

Rasyonel sayılara örnekler verelim bu tanım. Sayılar −5 , 0 , 3 ve rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla ve şeklinde bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen sayılardır.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin sayılar 5 , 0 , −13 , aşağıdaki ondalık kesirler şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayılara örnektir 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Ve −7,(18) .

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

· tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;

· her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;

· her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Sayfanın başı

Pozitif rasyonel sayıların toplamı değişmeli ve ilişkiseldir,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Pozitif rasyonel sayıların çarpımının tanımını formüle etmeden önce, aşağıdaki problemi göz önünde bulundurun: X parçasının uzunluğunun, E uzunluğuna sahip bir kesir olarak ifade edildiği ve birim parçanın uzunluğunun bir birim ile ölçüldüğü bilinmektedir. E 1 ve kesir olarak ifade edilir. E1 uzunluk birimi kullanılarak ölçülürse X parçasının uzunluğunu temsil edecek sayı nasıl bulunur?

X = E olduğundan nX = mE olur ve E = E 1 olmasından qE = pE 1 sonucu çıkar. Elde edilen ilk eşitliği q, ikincisini m ile çarpalım. O zaman (nq)X = (mq)E ve (mq)E= (mp)E 1 olur, dolayısıyla (nq)X= (mp)E 1 olur. Bu eşitlik x parçasının birim uzunluktaki uzunluğunun ifade edildiğini gösterir. kesir olarak, yani , = yani kesirleri çarpmak, aynı parçanın uzunluğunu ölçerken bir uzunluk biriminden diğerine geçmeyi içerir.

Tanım: Pozitif bir a sayısı bir kesirle temsil ediliyorsa ve pozitif bir rasyonel sayı b bir kesir ise, bunların çarpımı bir kesirle temsil edilen a b sayısıdır.

Pozitif rasyonel sayılarla çarpma Toplama ve çıkarmaya göre değişmeli, birleşmeli ve dağıtıcı. Bu özelliklerin kanıtı, pozitif rasyonel sayıların çarpma ve toplama tanımına ve ayrıca doğal sayıların toplama ve çarpma işlemlerine karşılık gelen özelliklerine dayanmaktadır.

46. ​​​​Bilindiği gibi çıkarma- Bu toplama işleminin tersidir.

Eğer A Ve B - pozitif sayılar, daha sonra b sayısını a sayısından çıkarmak, b sayısına eklendiğinde a sayısını veren bir c sayısını bulmak anlamına gelir.
a - b = c veya c + b = a
Çıkarma tanımı tüm rasyonel sayılar için geçerlidir. Yani pozitif ve negatif sayıların çıkarılması toplama ile değiştirilebilir.
Bir sayıdan başka bir sayı çıkarmak için, çıkarılan sayıya karşıt sayıyı eklemeniz gerekir.
Veya başka bir deyişle, b sayısını çıkarmanın aynı toplama olduğunu ancak sayıyla birlikte olduğunu söyleyebiliriz. karşı sayı B.
a - b = a + (- b)
Örnek.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Örnek.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Aşağıdaki ifadeleri hatırlamakta fayda var.
0 - bir = - bir
bir - 0 = bir
a - a = 0

Negatif sayıları çıkarma kuralları
Bir b sayısını çıkarmak, onu b'nin zıt sayısıyla eklemektir.
Bu kural yalnızca daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıdan çıkarırken geçerli değildir, aynı zamanda daha küçük bir sayıdan çıkarma yapmanıza da olanak tanır. daha büyük sayı yani iki sayı arasındaki farkı her zaman bulabilirsiniz.
Fark pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır sayı olabilir.
Negatif ve çıkarma örnekleri pozitif sayılar.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Parantez sayısını azaltmanıza olanak tanıyan işaret kuralını hatırlamakta fayda var.
Artı işareti sayının işaretini değiştirmez yani parantez önünde artı varsa parantez içindeki işaret değişmez.
+ (+ bir) = + bir
+ (- a) = - a
Parantezlerin önündeki eksi işareti parantez içindeki sayının işaretini tersine çevirir.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Eşitliklerden, parantezlerin önünde ve içinde aynı işaretler varsa "+", işaretler farklıysa "-" elde ettiğimiz açıktır.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Parantez içinde tek sayı olmasa bile işaret kuralı korunur, ancak cebirsel toplam sayılar.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Parantez içinde birden fazla sayı varsa ve parantezlerin önünde eksi işareti varsa bu durumda bu parantez içindeki tüm sayıların önündeki işaretlerin değişmesi gerektiğini unutmayın.
İşaret kuralını hatırlamak için bir sayının işaretlerini belirleyen bir tablo oluşturabilirsiniz.
Sayılar için işaret kuralı+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Veya basit bir kural öğrenin.
İki olumsuz bir olumlu yapar,
Artı çarpı eksi eşittir eksi.

Negatif sayıları bölme kuralları.
Bir bölümün modülünü bulmak için, bölenin modülünü bölenin modülüne bölmeniz gerekir.
Yani, aynı işaretlere sahip iki sayıyı bölmek için yapmanız gerekenler:

· temettü modülü bölenin modülüne bölünür;

· sonucun önüne “+” işareti koyun.

Sayıları ile bölme örnekleri farklı işaretler:

Bölüm işaretini belirlemek için aşağıdaki tabloyu da kullanabilirsiniz.
Bölme için işaretler kuralı
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Yalnızca çarpma ve bölmenin yer aldığı "uzun" ifadeleri hesaplarken işaret kuralını kullanmak çok uygundur. Örneğin bir kesri hesaplamak için
Lütfen payda 2 eksi işareti bulunduğunu ve bunların çarpıldığında artı değerini vereceğini unutmayın. Paydada ayrıca çarpıldığında eksi işareti verecek üç eksi işareti vardır. Bu nedenle sonuçta sonuç eksi işaretiyle çıkacaktır.
Bir kesirin azaltılması ( daha fazla eylemler sayıların modülleri ile) öncekiyle aynı şekilde gerçekleştirilir:
Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır.
0: a = 0, a ≠ 0
Sıfıra bölemezsiniz!
Bire bölmenin önceden bilinen tüm kuralları rasyonel sayılar kümesi için de geçerlidir.
bir: 1 = bir
a: (- 1) = - a
a: a = 1, burada a herhangi bir rasyonel sayıdır.
Pozitif sayılar için bilinen çarpma ve bölme sonuçları arasındaki ilişkiler, tüm rasyonel sayılar için (sıfır hariç) aynı kalır:
a × b = c ise; a = c: b; b = c: a;
eğer a: b = c; a = c × b; b = a: c
Bu bağımlılıklar bilinmeyen faktörü, böleni ve böleni (denklemleri çözerken) bulmak ve ayrıca çarpma ve bölme sonuçlarını kontrol etmek için kullanılır.
Bilinmeyeni bulma örneği.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

İlgili bilgi.