Fonksiyonun artan azalış ve ekstremum aralıklarını bulun. Artan ve azalan fonksiyonların yeterli işaretleri

Türev. Bir fonksiyonun türevi aralığın herhangi bir noktası için pozitifse fonksiyon artar, negatifse azalır.

Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını bulmak için tanım kümesini, türevini bulmanız, F'(x) > 0 ve F'(x) formundaki eşitsizlikleri çözmeniz gerekir.

Çözüm.

3. y' > 0 ve y' 0 eşitsizliklerini çözün;
(4 - x)/x³

Çözüm.
1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Açıkçası, paydadaki ifadenin her zaman sıfırdan farklı olması gerekir. Bu nedenle 0, tanım alanının dışında bırakılır: fonksiyon x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) için tanımlanır.

2. Fonksiyonun türevini hesaplayın:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 -x)/x³.

3. y' > 0 ve y' 0 eşitsizliklerini çözün;
(4 - x)/x³

4. Eşitsizliğin sol tarafında bir gerçek x = 4 vardır ve x = 0'da döner. Dolayısıyla x = 4 değeri hem aralığa hem de azalan aralığa dahil edilir ve 0 noktası dahil edilmez.
Yani gerekli fonksiyon x ∈ (-∞; 0) ∪ aralığında artar.

4. Eşitsizliğin sol tarafında bir gerçek x = 4 vardır ve x = 0'da döner. Dolayısıyla x = 4 değeri hem aralığa hem de azalan aralığa dahil edilir ve 0 noktası dahil edilmez.
Yani gerekli fonksiyon x ∈ (-∞; 0) ∪ aralığında artar.

Kaynaklar:

• bir fonksiyonda azalan aralıklar nasıl bulunur

Bir fonksiyon, bir sayının diğerine kesin bağımlılığını veya bir fonksiyonun (y) bir argüman (x) üzerindeki değerini temsil eder. Her süreç (sadece matematikte değil) kendi işleviyle tanımlanabilir. özellikler: Azalan ve artan aralıklar, minimum ve maksimum noktaları vb.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Örnek 2.
Azalan f(x)=sinx +x aralıklarını bulun.
Bu fonksiyonun türevi şuna eşit olacaktır: f'(x)=cosx+1.
Cosx+1 eşitsizliğinin çözümü

Aralık monotonluk bir fonksiyona, fonksiyonun yalnızca arttığı veya yalnızca azaldığı bir aralık adı verilebilir. Bir dizi özel eylem, bu tür cebirsel problemlerde sıklıkla gerekli olan, fonksiyon için bu tür aralıkların bulunmasına yardımcı olacaktır.

Talimatlar

Bir fonksiyonun monoton olarak arttığı veya azaldığı aralıkları belirleme problemini çözmenin ilk adımı bu fonksiyonu hesaplamaktır. Bunu yapmak için, fonksiyonun değerini bulabileceğiniz tüm argüman değerlerini (x ekseni boyunca değerler) bulun. Süreksizliklerin gözlendiği noktaları işaretleyin. Fonksiyonun türevini bulun. Türevi temsil eden ifadeyi belirledikten sonra onu sıfıra eşitleyin. Bundan sonra ortaya çıkan köklerini bulmalısınız. İzin verilen alanla ilgili değil.

Fonksiyonun veya türevinin sıfıra eşit olduğu noktalar aralıkların sınırlarını temsil eder monotonluk. Bu aralıklar ve onları ayıran noktalar tabloya sırayla girilmelidir. Ortaya çıkan aralıklarda fonksiyonun türevinin işaretini bulun. Bunu yapmak için aralıktaki herhangi bir bağımsız değişkeni türevine karşılık gelen ifadeyle değiştirin. Sonuç pozitifse bu aralıktaki fonksiyon artar, aksi takdirde azalır. Sonuçlar tabloya girilir.

F'(x) fonksiyonunun türevini gösteren satırda, argümanların karşılık gelen değerleri yazılır: "+" - türev pozitifse, "-" - negatif veya "0" - sıfıra eşitse. Bir sonraki satırda orijinal ifadenin monotonluğuna dikkat edin. Yukarı ok artışa, aşağı ok ise düşüşe karşılık gelir. İşlevleri kontrol edin. Bunlar türevin sıfır olduğu noktalardır. Bir ekstremum maksimum nokta veya minimum nokta olabilir. Fonksiyonun önceki bölümü artmış ve mevcut bölümü azalmışsa bu maksimum noktadır. Fonksiyonun belirli bir noktadan önce azaldığı ve şimdi arttığı durumda bu minimum noktadır. Fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerlerini tabloya girin.

Kaynaklar:

• monotonluğun tanımı nedir

Bir argümana karmaşık bağımlılığı olan bir fonksiyonun davranışı, türev kullanılarak incelenir. Türevdeki değişimin doğası gereği, fonksiyonun kritik noktalarını ve büyüme veya azalış alanlarını bulabilirsiniz.

Belirli bir düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi belirtilsin. Bazı fonksiyonların grafiği (tanımlamanın X-alanı), bu düzlemin koordinatları olan noktalarının kümesidir; burada .

Bir grafik oluşturmak için, koordinatları (x;y) ilişkiyle ilişkili olan bir dizi noktayı bir düzlem üzerinde tasvir etmeniz gerekir.

Çoğu zaman bir fonksiyonun grafiği bir tür eğridir.

Bir grafiği çizmenin en basit yolu noktalara göre çizmektir.

Bağımsız değişkenin değerinin bir hücrede olduğu ve bu bağımsız değişkenden gelen fonksiyonun değerinin karşı hücrede olduğu bir tablo derlenir. Daha sonra ortaya çıkan noktalar düzlem üzerinde işaretlenir ve bunların içinden bir eğri çizilir.

Noktaları kullanarak bir fonksiyon grafiği oluşturma örneği:

Bir masa kuralım.

Şimdi bir grafik oluşturalım.

Ancak bu şekilde yeterince doğru bir grafik oluşturmak her zaman mümkün değildir - doğruluk için çok fazla puan almanız gerekir. Bu nedenle kullanıyorlar çeşitli metodlar fonksiyon çalışmaları.

Fonksiyonun tam araştırma şemasına yüksek öğrenimde aşina olunmaktadır. Eğitim Kurumları. Bir fonksiyonu incelemenin noktalarından biri, fonksiyonun artış (azalış) aralıklarını bulmaktır.

Belirli bir aralıkta, bu aralıktan herhangi bir x 2 ve x 1 için x 2 >x 1 olacak şekilde artan (azalan) bir fonksiyona fonksiyon denir.

Örneğin aşağıdaki şekilde grafiği gösterilen bir fonksiyon aralıklarda (-5;3) aralığında artar ve azalır. Yani aralıklarla Program yokuş yukarı gidiyor. Ve (-5;3) aralığında “yokuş aşağı”.

Fonksiyon çalışmasında bir diğer nokta, fonksiyonun periyodiklik açısından incelenmesidir.

Bir T sayısı varsa, bu fonksiyona periyodik denir. .

T sayısına fonksiyonun periyodu denir. Örneğin, fonksiyon periyodiktir, burada periyot 2P'dir, dolayısıyla

Periyodik fonksiyonların grafiklerine örnekler:

Birinci fonksiyonun periyodu 3, ikincisinin periyodu 4'tür.

Çift işlev örneği y=x 2 olsa bile bir işlev çağrılır.

Bir fonksiyona tek ise denir Örnek Tek işlev y=x3 .

Çift fonksiyonun grafiği op-amp eksenine göre simetriktir (eksenel simetri).

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (merkezi simetri).

Çift (sol) ve tek (sağ) fonksiyonun grafik örnekleri.

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun

2. Fonksiyonun türevini bulun

3. Türevi sıfıra eşitleyin ve fonksiyonun kritik noktalarını bulun

4. Tanımlama alanında kritik noktaları işaretleyin

5. Ortaya çıkan aralıkların her birinde türevin işaretini hesaplayın

6. Fonksiyonun her aralıktaki davranışını bulun.

Örnek: Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulunF(X) = ve bu fonksiyonun aralıktaki sıfır sayısı.

Çözüm:

1.D( F) = R

2. F"(X) =

D( F") = D( F) = R

3. Denklemi çözerek fonksiyonun kritik noktalarını bulun F"(X) = 0.

X(X – 10) = 0

bir fonksiyonun kritik noktaları X= 0 ve X = 10.

4. Türevin işaretini belirleyelim.

F"(X) + – +

F(X) 0 10X

(-∞; 0) ve (10; +∞) aralıklarında fonksiyonun türevi pozitiftir ve noktalarda X= 0 ve x = 10 fonksiyonu F(X) süreklidir, dolayısıyla bu fonksiyon şu aralıklarda artar: (-∞; 0]; .

Segmentin uçlarındaki fonksiyon değerlerinin işaretini belirleyelim.

F(0) = 3, F(0) > 0

F(10) = , F(10) < 0.

Fonksiyon segmentte azaldığına ve fonksiyon değerlerinin işareti değiştiğine göre bu segmentte fonksiyonun bir sıfırı vardır.

Cevap: f(x) fonksiyonu şu aralıklarda artar: (-∞; 0]; ;

aralıkta fonksiyonun bir sıfır fonksiyonu vardır.

2. Fonksiyonun ekstremum noktaları: maksimum noktalar ve minimum noktalar. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli ve yeterli koşullar. Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı .

Tanım 1:Türevin sıfıra eşit olduğu noktalara kritik veya durağan denir.

Tanım 2. Bir noktaya, fonksiyonun bu noktadaki değeri, fonksiyonun en yakın değerlerinden küçük (büyük) ise, fonksiyonun minimum (maksimum) noktası denir.

Maksimum ve minimum değerlerin dikkate alınması gerekmektedir. bu durumda yereldir.

İncirde. 1. Yerel maksimumlar ve minimumlar gösterilmektedir.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri ortak bir adla birleştirilir: fonksiyonun ekstremumu.

Teorem 1. (gerekli işaret fonksiyonun bir ekstremumunun varlığı). Bir noktada türevlenebilir bir fonksiyonun bu noktada maksimumu veya minimumu varsa, o zaman türevi sıfır olur.

Teorem 2.(fonksiyonun bir ekstremumunun varlığının yeterli bir işareti). Sürekli bir fonksiyonun kritik bir nokta içeren bir aralığın tüm noktalarında bir türevi varsa (bu noktanın kendisi hariç) ve Türev, argüman kritik noktadan soldan sağa geçtiğinde işareti artıdan eksiye değiştirirse, bu noktada fonksiyonun maksimumu vardır ve işareti eksiden artıya değiştiğinde minimumu vardır.

Monoton

Çok önemli özellik işlevi onun monotonluğudur. Çeşitli özel fonksiyonların bu özelliğini bilerek, çeşitli fiziksel, ekonomik, sosyal ve diğer birçok sürecin davranışını belirlemek mümkündür.

Aşağıdaki işlev monotonluğu türleri ayırt edilir:

1) işlev artışlar, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki . Onlar. daha yüksek değer argüman daha büyük bir fonksiyon değerine karşılık gelir;

2) işlev azalır, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki . Onlar. daha büyük bir bağımsız değişken değeri daha küçük bir işlev değerine karşılık gelir;

3) işlev azalmayan, belli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki;

4) işlev artmaz, eğer belirli bir aralıkta ise, herhangi iki nokta için ise ve bu aralık öyle ki .

2. İlk iki durum için “katı monotonluk” terimi de kullanılmıştır.

3. Son iki durum spesifiktir ve genellikle çeşitli işlevlerin bileşimi olarak belirtilir.

4. Ayrı olarak, bir fonksiyonun grafiğindeki artış ve azalmanın soldan sağa doğru dikkate alınması gerektiğini ve başka hiçbir şeyin dikkate alınmaması gerektiğini not ediyoruz.

2. Tek çift.

Fonksiyona tek denir, eğer argümanın işareti değiştiğinde değeri tersine değişirse. Bunun formülü şuna benziyor . Bu, tüm x'lerin yerine "eksi x" değerlerini fonksiyona yerleştirdikten sonra fonksiyonun işaretini değiştireceği anlamına gelir. Böyle bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Tek fonksiyon örnekleri vb.

Örneğin, grafiğin aslında orijine göre simetrisi vardır:

Fonksiyon eşit olarak çağrılır, eğer argümanın işareti değiştiğinde değeri değişmez. Bunun formülü şuna benziyor. Bu, tüm x'lerin yerine "eksi x" değerlerini fonksiyona yerleştirdikten sonra, sonuç olarak fonksiyonun değişmeyeceği anlamına gelir. Böyle bir fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir.

Eşit fonksiyonların örnekleri vb.

Örneğin grafiğin eksene göre simetrisini gösterelim:

Bir işlev belirtilen türlerden herhangi birine ait değilse, o zaman ne çift ne de tek olarak adlandırılır. işlev Genel görünüm . Bu tür fonksiyonların simetrisi yoktur.

Örneğin böyle bir fonksiyon yakın zamanda bir grafikle ele aldığımız doğrusal fonksiyondur:

3. Özel mülk işlevler periyodiklik.

Gerçek şu ki, standartta dikkate alınan periyodik fonksiyonlar Okul müfredatı, yalnızca trigonometrik fonksiyonlardır. İlgili konuyu incelerken bunlardan detaylı olarak bahsetmiştik.

Periyodik fonksiyon argümana sıfır olmayan belirli bir sabit sayı eklendiğinde değerlerini değiştirmeyen bir fonksiyondur.

Bu minimum sayıya denir fonksiyonun süresi ve harfle belirtilir.

Bunun formülü şuna benziyor: .

Sinüs grafiği örneğini kullanarak bu özelliğe bakalım:

Fonksiyonların periyodunu ve is ile periyodunu ve is olduğunu hatırlayalım.

Zaten bildiğimiz gibi, çünkü trigonometrik fonksiyonlar karmaşık bir argümanla standart olmayan bir dönem olabilir. Hakkında formun işlevleri hakkında:

Periyotları eşittir. Ve işlevler hakkında:

Periyotları eşittir.

Gördüğünüz gibi, yeni bir dönemi hesaplamak için standart süre basitçe argümandaki faktöre bölünür. İşlevdeki diğer değişikliklere bağlı değildir.

Sınırlama.

İşlev y=f(x) Herhangi bir xϵX için f(x) eşitsizliğinin sağlandığı bir a sayısı varsa, X⊂D(f) kümesinde alttan sınırlı olarak adlandırılır.< a.

İşlev y=f(x) Herhangi bir хϵХ için f(x) eşitsizliğinin sağlandığı bir a sayısı varsa, X⊂D(f) kümesinde yukarıdan sınırlı olarak adlandırılır.< a.

X aralığı belirtilmezse, fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca sınırlı olduğu kabul edilir. Hem üstten hem de alttan sınırlı olan fonksiyona sınırlı denir.

Fonksiyonun sınırlamasını grafikten okumak kolaydır. Bir y=a çizgisi çizebilirsiniz ve eğer fonksiyon bu çizgiden yüksekse, o zaman alttan sınırlanmıştır.

Aşağıdaysa, buna göre yukarıda. Aşağıda sınırlı bir fonksiyonun grafiği verilmiştir. Arkadaşlar, sınırlı bir fonksiyonun grafiğini kendiniz çizmeye çalışın.

Konu: Fonksiyonların özellikleri: artan ve azalan aralıklar; en büyük ve en küçük değer; ekstrem noktalar (yerel maksimum ve minimum), fonksiyonun dışbükeyliği.

Artan ve azalan aralıklar.

Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar (işaretler) esas alınarak fonksiyonun artış ve azalış aralıkları bulunur.

Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonların işaretlerinin formülasyonları şunlardır:

· fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumlu X aralıktan X, o zaman fonksiyon artar X;

· fonksiyonun türevi ise y=f(x) herkes için olumsuz X aralıktan X, o zaman fonksiyon azalır X.

Dolayısıyla bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için şunlar gereklidir:

· fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun;

· fonksiyonun türevini bulun;

· tanım alanındaki eşitsizlikleri çözmek;

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Tanım 2

Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\le f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.

Tanım 3

Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.

Bir fonksiyonun ekstremum kavramı, bir fonksiyonun kritik noktası kavramıyla yakından ilişkilidir. Tanımını tanıtalım.

Tanım 4

Aşağıdaki durumlarda $x_0$, $f(x)$ fonksiyonunun kritik noktası olarak adlandırılır:

1) $x_0$ - tanım alanının iç noktası;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut değil.

Ekstremum kavramı için yeterli ve gerekli koşullar Onun varlığı.

Teorem 2

Yeterli koşul ekstremum

$x_0$ noktası $y=f(x)$ fonksiyonu için kritik olsun ve $(a,b)$ aralığında olsun. Her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aralığında $f"(x)$ türevinin mevcut olduğunu ve sabit bir işareti koruduğunu varsayalım. Sonra:

1) $(a,x_0)$ aralığında türev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aralığında türev $f"\left( ise x\sağ)

2) $(a,x_0)$ aralığında $f"\left(x\right)0$ türevi varsa, o zaman $x_0$ noktası bu fonksiyon için minimum noktadır.

3) Hem $(a,x_0)$ aralığında hem de $(x_0,b)$ aralığındaysa $f"\left(x\right) >0$ türevi veya $f"\left(x türevi \Sağ)

Bu teorem Şekil 1'de gösterilmektedir.

Şekil 1. Ekstremin varlığı için yeterli koşul

Aşırılık örnekleri (Şekil 2).

Şekil 2. Ekstrem noktalara örnekler

Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı

2) $f"(x)$ türevini bulun;

7) Teorem 2'yi kullanarak her aralıkta maksimum ve minimumların varlığı hakkında sonuçlar çıkarın.

Artan ve azalan fonksiyonlar

Önce artan ve azalan fonksiyonların tanımlarını verelim.

Tanım 5

$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktasındaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için artan olduğu söylenir.

Tanım 6

$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ için herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için azalan olduğu söylenir.

Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi

Türevi kullanarak artan ve azalan fonksiyonları inceleyebilirsiniz.

Bir fonksiyonu artan ve azalan aralıklara göre incelemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1) $f(x)$ fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun;

2) $f"(x)$ türevini bulun;

3) $f"\left(x\right)=0$ eşitliğinin sağlandığı noktaları bulun;

4) $f"(x)$'ın bulunmadığı noktaları bulun;

5) Bulunan tüm noktaları ve bu fonksiyonun tanım alanını koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin;

6) Ortaya çıkan her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin;

7) Bir sonuca varın: $f"\left(x\right)0$ aralığında fonksiyon artar.

Artan, azalan fonksiyonları ve ekstremum noktaların varlığını incelemek için problem örnekleri

örnek 1

Arttırma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktaların varlığını inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

İlk 6 nokta aynı olduğundan önce bunları gerçekleştirelim.

1) Tanım alanı - tüm gerçek sayılar;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ tanım alanının tüm noktalarında mevcuttur;

5) Koordinat çizgisi:

Figür 3.

6) Her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin:

\ \}