Tek terimli kavramı. Tek terimlinin standart biçimi. Bir monomialin standart forma indirgenmesi, örnekler, çözümler

Matematikte pek çok farklı matematiksel ifade vardır ve bunlardan bazılarının kendi isimleri vardır. Bu kavramlardan biriyle tanışmak üzereyiz - bu bir tek terimli.

Tek terimli, her biri bir dereceye kadar çarpımda görünebilen sayıların, değişkenlerin çarpımından oluşan matematiksel bir ifadedir. Yeni konsepti daha iyi anlamak için birkaç örneğe aşina olmanız gerekir.

Tek terimli örnekleri

İfadeler 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 monomiyallerdir. Gördüğünüz gibi, yalnızca bir sayı veya değişken (kuvvetli veya kuvvetsiz) da bir tek terimlidir. Ancak örneğin 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 ifadeleri zaten tek terimli değillerÇünkü tanımlara uymuyorlar. İlk ifade kabul edilemez olan "toplam"ı kullanıyor, ikincisi "bölme"yi kullanıyor ve üçüncüsü farkı kullanıyor.

Hadi düşünelim birkaç örnek daha.

Örneğin, 2*a^3*b/3 ifadesi de bir tek terimlidir, ancak burada bölme söz konusudur. Ama içinde bu durumda Bölme bir sayıya göre gerçekleşir ve bu nedenle karşılık gelen ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 2/3*a^3*b. Bir örnek daha: 2/x ve x/2 ifadelerinden hangisi tek terimlidir, hangisi değildir? Doğru cevap, ilk ifadenin tek terimli olmadığı, ikincisinin tek terimli olduğudur.

Tek terimlinin standart biçimi

Aşağıdaki iki tek terimli ifadeye bakın: ¾*a^2*b^3 ve 3*a*1/4*b^3*a. Aslında bunlar iki özdeş tek terimlidir. İlk ifadenin ikinciye göre daha uygun göründüğü doğru değil mi?

Bunun nedeni ise ilk ifadenin standart formda yazılmış olmasıdır. Bir polinomun standart formu, sayısal bir faktör ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinden oluşan bir üründür. Sayısal faktöre monom katsayısı denir.

Bir monomili standart formuna getirmek için monomialde bulunan tüm sayısal faktörleri çarpmak ve ortaya çıkan sayıyı ilk sıraya koymak yeterlidir. Daha sonra aynı harf tabanına sahip tüm kuvvetleri çarpın.

Bir monomialin standart formuna indirgenmesi

Örneğimizde ikinci ifadede 3*1/4 rakamının tüm çarpanlarını çarpıp sonra a*a'yı çarparsak ilk monomial elde ederiz. Bu eyleme bir monomiyalin standart biçimine indirgenmesi denir.

İki monom yalnızca sayısal bir katsayı ile farklıysa veya birbirine eşitse, bu tür monomlara matematikte benzer denir.

Konuyla ilgili ders: "Tek terimlinin standart formu. Tanım. Örnekler"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

7. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
7-9. Sınıflar için "Anlaşılabilir Geometri" elektronik ders kitabı
7-9. Sınıflar için multimedya ders kitabı "10 dakikada Geometri"

Tek terimli. Tanım

Tek terimli bir asal faktör ile bir veya daha fazla değişkenin çarpımı olan matematiksel bir ifadedir.

Tek terimliler tüm sayıları, değişkenleri ve bunların doğal üslü kuvvetlerini içerir:
42; 3; 0; 6 2; 2 3; b3; balta 4; 4x3; 5a2; 12xyz3 .

Belirli bir matematiksel ifadenin bir tek terime atıfta bulunup bulunmadığını belirlemek çoğu zaman zordur. Örneğin, $\frac(4a^3)(5)$. Bu bir tek terimli mi değil mi? Bu soruyu cevaplamak için ifadeyi basitleştirmemiz gerekiyor; şu biçimde bulunur: $\frac(4)(5)*a^3$.
Bu ifadenin tek terimli olduğunu kesin olarak söyleyebiliriz.

Tek terimlinin standart biçimi

Hesaplamalar yapılırken monomiyalin standart forma indirilmesi tavsiye edilir. Bu, bir monomiyalin en kısa ve anlaşılır kaydıdır.

Bir monomialin standart forma indirgeme prosedürü aşağıdaki gibidir:
1. Tek terimlinin (veya sayısal faktörlerin) katsayılarını çarpın ve ortaya çıkan sonucu ilk sıraya yerleştirin.
2. Aynı harf tabanına sahip tüm kuvvetleri seçin ve bunları çarpın.
3. Tüm değişkenler için 2. noktayı tekrarlayın.

Örnekler.
I. Verilen $3x^2zy^3*5y^2z^4$ tek terimlisini standart forma düşürün.

Çözüm.
1. $15x^2y^3z * y^2z^4$ tek terimlisinin katsayılarını çarpın.
2. Şimdi verelim benzer terimler$15х^2y^5z^5$.

II. Verilen $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ tek terimlisini standart forma düşürün.

Çözüm.
1. $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ tek terimlisinin katsayılarını çarpın.
2. Şimdi benzer terimleri sunuyoruz $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Tek terimliler okul cebir dersinde incelenen ana ifade türlerinden biridir. Bu materyalde size bu ifadelerin ne olduğunu anlatacağız ve tanımlayacağız. standart görünüm ve örnekler göstermenin yanı sıra, bir monomun derecesi ve katsayısı gibi ilgili kavramları anlayın.

Tek terimli nedir

Okul ders kitapları genellikle bu kavramın aşağıdaki tanımını verir:

Tanım 1

Monomiyaller şunları içerir: sayılar, değişkenler ve bunların doğal üslü kuvvetleri ve farklı şekiller onlardan derlenen eserler.

Bu tanımdan yola çıkarak bu tür ifadelere örnekler verebiliriz. Böylece 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 sayıların tümü tek terimli olacaktır. Tüm değişkenler, örneğin x, a, b, p, q, t, y, z de tanım gereği tek terimli olacaktır. Bu aynı zamanda değişkenlerin ve sayıların kuvvetlerini de içerir; örneğin 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 ve t 15 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, vb. biçimindeki ifadeler. Lütfen bir tek terimlinin bir sayı veya değişken içerebileceğini veya birkaç tane içerebileceğini ve bir polinomda bunlardan birkaç kez bahsedilebileceğini unutmayın.

Tamsayılar, rasyonel sayılar ve doğal sayılar gibi sayı türleri de tek terimli sayılara aittir. Buraya gerçek ve karmaşık sayıları da dahil edebilirsiniz. Dolayısıyla 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 formundaki ifadeler de tek terimli olacaktır.

Tek terimlinin standart biçimi nedir ve bir ifadenin ona nasıl dönüştürüleceği

Kullanım kolaylığı için, tüm tek terimler ilk önce standart adı verilen özel bir forma indirgenir. Bunun ne anlama geldiğini özellikle formüle edelim.

Tanım 2

Tek terimlinin standart biçimi sayısal bir faktörün çarpımı olan formuna denir ve doğal dereceler farklı değişkenler. Monomiyalin katsayısı olarak da adlandırılan sayısal faktör genellikle ilk önce sol tarafa yazılır.

Açıklık sağlamak için, standart biçimden birkaç monom seçelim: 6 (bu, değişkenleri olmayan bir monomdur), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Bu aynı zamanda ifadeyi de içerir xy(burada katsayı 1'e eşit olacaktır), - x 3(burada katsayı - 1'dir).

Şimdi standart forma getirilmesi gereken tek terimlilere örnekler veriyoruz: 4 a 2 a 3(burada aynı değişkenleri birleştirmeniz gerekir), 5 x (− 1) 3 y 2(burada soldaki sayısal faktörleri birleştirmeniz gerekir).

Genellikle, bir tek terimlinin harflerle yazılmış birden fazla değişkeni olması durumunda, harf faktörleri şu şekilde yazılır: alfabetik sıra. Örneğin, yazmak tercih edilir 6 a b 4 c z 2, Nasıl b 4 6 a z 2 c. Ancak hesaplamanın amacı bunu gerektiriyorsa sıralama farklı olabilir.

Herhangi bir monomiyal standart forma indirgenebilir. Bunu yapmak için gerekli tüm kimlik dönüşümlerini gerçekleştirmeniz gerekir.

Tek terimlinin derecesi kavramı

Bir tek terimlinin derecesi ile ilgili kavram çok önemlidir. Bu kavramın tanımını yazalım.

Tanım 3

Monomiyalin gücü adına Standart formda yazılan , gösteriminde yer alan tüm değişkenlerin üslerinin toplamıdır. İçinde hiçbir değişken yoksa ve tek terimlinin kendisi 0'dan farklıysa derecesi sıfır olacaktır.

Bir monomiyalin kuvvetlerine örnekler verelim.

örnek 1

Böylece, a = a 1 olduğundan, a tek terimlisinin derecesi 1'e eşittir. Eğer bir tek terimli 7'ye sahipsek, hiçbir değişkeni olmadığından ve 0'dan farklı olduğundan sıfır derecesine sahip olacaktır. Ve işte kayıt 7 a 2 x y 3 a 2 8. dereceden bir monom olacaktır, çünkü içerdiği değişkenlerin tüm derecelerinin üslerinin toplamı 8'e eşit olacaktır: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standart forma indirgenmiş monom ile orijinal polinom aynı dereceye sahip olacaktır.

Örnek 2

Bir tek terimlinin derecesini nasıl hesaplayacağınızı size göstereceğiz 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Standart formda şu şekilde yazılabilir: − 6 x 8 y 4. Dereceyi hesaplıyoruz: 8 + 4 = 12 . Bu, orijinal polinomun derecesinin de 12'ye eşit olduğu anlamına gelir.

Tek terimli katsayı kavramı

En az bir değişkeni içeren standart forma indirgenmiş bir monomumuz varsa, o zaman ondan tek sayısal faktörlü bir çarpım olarak bahsederiz. Bu faktöre sayısal katsayı veya tek terimli katsayı denir. Tanımını yazalım.

Tanım 4

Bir monom katsayısı, bir monomiyalin standart forma indirgenmiş sayısal faktörüdür.

Örnek olarak çeşitli monomların katsayılarını ele alalım.

Örnek 3

Yani ifadede 8 ve 3 katsayı 8 sayısı olacak ve (− 2 , 3) ​​​​x y z yapacaklar − 2 , 3 .

Bir ve eksi bire eşit katsayılara özellikle dikkat edilmelidir. Kural olarak açıkça belirtilmezler. Sayısal bir faktörün bulunmadığı standart formdaki bir tek terimlide, örneğin a, x · z 3, a · t · x ifadelerinde katsayının 1'e eşit olduğuna inanılmaktadır, çünkü bunlar 1 · a, x · z 3 olarak kabul edilir – Nasıl 1xz3 vesaire.

Benzer şekilde sayısal çarpanı olmayan ve eksi işaretiyle başlayan monomlarda da -1 katsayısını kabul edebiliriz.

Örnek 4

Örneğin, − x, − x 3 · y · z 3 ifadeleri böyle bir katsayıya sahip olacaktır çünkü bunlar − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) olarak temsil edilebilir. ) · x 3 y z 3 vb.

Eğer bir monomialin tek bir harf çarpanı yoksa bu durumda bir katsayıdan bahsedebiliriz. Bu tür tek terimli sayıların katsayıları bu sayıların kendileri olacaktır. Yani örneğin 9 monomunun katsayısı 9'a eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir monomialin gücü

Bir monomiyal için derecesi kavramı vardır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Bir monomialin gücü standart form, kaydında yer alan tüm değişkenlerin üslerinin toplamıdır; bir tek terimlinin gösteriminde hiçbir değişken yoksa ve sıfırdan farklıysa derecesinin sıfıra eşit olduğu kabul edilir; sıfır sayısı, derecesi tanımsız bir tek terimli olarak kabul edilir.

Bir monomiyalin derecesini belirlemek örnekler vermenizi sağlar. a tek terimlinin derecesi bire eşittir çünkü a 1'dir. Tek terimli 5'in kuvveti sıfırdır çünkü sıfır değildir ve gösterimi değişken içermemektedir. Ve 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 çarpımı sekizinci dereceden bir monomdur, çünkü tüm a, x ve y değişkenlerinin üslerinin toplamı 2+1+3+2=8'e eşittir.

Bu arada, standart biçimde yazılmayan bir tek terimlinin derecesi, karşılık gelen standart biçimdeki tek terimlinin derecesine eşittir. Bunu göstermek için tek terimlinin derecesini hesaplayalım. 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Standart formdaki bu monom −6·x 8 ·y 4 formundadır, derecesi 8+4=12'dir. Dolayısıyla orijinal tek terimlinin derecesi 12'dir.

Monom katsayısı

Gösteriminde en az bir değişken bulunan standart formdaki bir monom, tek bir sayısal faktöre (sayısal katsayı) sahip bir üründür. Bu katsayıya monomiyal katsayı denir. Yukarıdaki argümanları bir tanım biçiminde formüle edelim.

Tanım.

Monom katsayısı standart biçimde yazılmış bir monomiyalin sayısal faktörüdür.

Artık çeşitli monomların katsayılarına örnekler verebiliriz. 5 sayısı, tanımı gereği 5·a 3 tek terimlisinin katsayısıdır, benzer şekilde (−2,3)·x·y·z tek terimlisinin katsayısı da −2,3'tür.

Tek terimlilerin 1 ve −1'e eşit katsayıları özel ilgiyi hak etmektedir. Buradaki nokta, bunların genellikle kayıtta açıkça mevcut olmamasıdır. Gösterimlerinde sayısal bir faktör bulunmayan standart formlu monomların katsayısının bire eşit olduğuna inanılmaktadır. Örneğin, a, x·z 3, a·t·x, vb. tek terimler. a, 1·a, x·z 3 - 1·x·z 3, vb. olarak kabul edilebileceği için katsayısı 1'dir.

Benzer şekilde, girdileri standart formda sayısal faktör içermeyen ve eksi işaretiyle başlayan tek terimlilerin katsayısı da eksi bir olarak kabul edilir. Örneğin, −x, −x 3 y z 3 vb. tek terimliler. −x=(−1) x olduğundan, −1 katsayısına sahiptir, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 ve benzeri.

Bu arada, bir monom katsayısı kavramına genellikle standart formdaki monomlar denir; bunlar, harf faktörleri olmayan sayılardır. Bu tür tek terimli sayıların katsayıları bu sayılar olarak kabul edilir. Yani örneğin tek terimli 7'nin katsayısı 7'ye eşit kabul edilir.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. Saat 14.00'te 1. Bölüm: Öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Monomiyaller sayıların, değişkenlerin ve bunların kuvvetlerinin çarpımıdır. Sayılar, değişkenler ve bunların kuvvetleri de tek terimli olarak kabul edilir. Örneğin: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. 5aa2b2b tek terimlisi 20a^2b^2 biçimine indirgenebilir. Bu biçime monomun standart biçimi denir. Yani, monomun standart biçimi katsayı (önce gelen) ile kuvvetlerinin çarpımıdır. değişkenler. 1 ve -1 katsayıları yazılmaz ancak -1'den eksi tutulur. Monomial ve standart formu

5a2x, 2a3(-3)x2, b2x ifadeleri sayıların, değişkenlerin ve bunların kuvvetlerinin çarpımıdır. Bu tür ifadelere tek terimli ifadeler denir. Sayılar, değişkenler ve bunların kuvvetleri de tek terimli olarak kabul edilir.

Örneğin 8, 35,y ve y2 ifadeleri tek terimlidir.

Bir monomiyalin standart formu, öncelikle sayısal bir faktörün ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı biçiminde bir monomdur. Herhangi bir monom, içerdiği tüm değişkenlerin ve sayıların çarpılmasıyla standart bir forma indirgenebilir. Bir monomialin standart forma indirgenmesine bir örnek:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Standart formda yazılan bir monomiyalin sayısal faktörüne monomiyalın katsayısı denir. Örneğin -7x2y2 tek terimlisinin katsayısı -7'ye eşittir. x3 = 1x3 ve -xy = -1xy olduğundan, x3 ve -xy monomlarının katsayıları 1 ve -1'e eşit kabul edilir.

Bir monomun derecesi, içinde yer alan tüm değişkenlerin üslerinin toplamıdır. Bir monom değişken içermiyorsa, yani bir sayı ise derecesi sıfıra eşit kabul edilir.

Örneğin 8x3yz2 tek terimlisinin derecesi 6, 6x tek terimlisinin derecesi 1 ve -10'un derecesi 0'dır.

Tek terimlilerin çarpılması. Tek terimlileri kuvvetlere yükseltmek

Tek terimlileri çarparken ve tek terimlileri bir kuvvete yükseltirken, aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralı ve bir kuvveti bir kuvvete yükseltme kuralı kullanılır. Bu, genellikle standart biçimde temsil edilen bir monom üretir.

Örneğin

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6