Tek terimlilerin çarpımı, doğal kuvvetlere yükseltilmesi. "Tek terimliyi bir kuvvete yükseltme" dersi

§ 1 Tek terimlilerin çarpımı. Üs alma

Bu derste tek terimlileri nasıl çarpacağımızı öğreneceğiz ve aynı zamanda tek terimlileri doğal kuvvetlere yükseltme kurallarını da öğreneceğiz.

Bir örnekle başlayalım. 2аb4 tek terimlisini -3а2b tek terimli ile çarpın. Bu görevin matematik dilinde nasıl yazıldığını görün:

2аb4 ∙ (-3а2b)

Aslında önümüzde yazılmış yeni bir tek terim var; tek terim standart görünüm. Ve yapmamız gereken tek şey onu standart bir forma getirmek. Hatırlayalım:

Standart formdaki bir monom, ilk sırada yer alan yalnızca bir sayısal faktörün ve her biri yalnızca bir kez geçen harf faktörlerinin çarpımından oluşan bir monomdur.

Örneğimizde 2 ve -3 sayısal çarpanlarını çarpmamız, ardından aynı a ve b tabanlarıyla kuvvetlerin çarpımını yapmamız gerekecek. Şunu elde ederiz:

2аb4∙ (-3а2b) = 2 ∙ (-3) ∙ а ∙ а2 ∙ b4 ∙ b = -6а3b5

Gördüğünüz gibi tek terimli sayıları çarpmak herhangi bir ek kural gerektirmez. Ayrıca ters işlemi de gerçekleştirebilirsiniz; iki veya daha fazla tek terimlinin çarpımı olarak bir tek terimliyi temsil eder. Örneğin, 12a3b6 tek terimlisini iki tek terimlinin çarpımı olarak temsil edin. Bu görev birkaç çözümü olabilir:

12а3b6 = (2аb) ∙ (6а2b5) veya 12а3b6 = (4а2b3) ∙ (3аb3) veya 12а3b6 = (-а3вb4) ∙ (-12b2), vb.

Şimdi bir monomialin doğal kuvvetine yükseltmeye geçelim. Tekrar bir örnekle başlayalım. 4x3y5 tek terimlisinin karesini alın. Bu durumu matematik dilinde yazalım ve aşağıdaki girdiyi elde edelim:

Bir çarpımın üssünü görüyoruz ve bu kurala zaten aşinayız.

Bir ürünü bir güce yükseltmek için her faktörü o güce yükseltmeniz gerekir. Ayrıca bir dereceyi bir dereceye yükseltmek için tabanı aynı bırakıp üsleri çarpmanız gerekir.

(4x3y5)2 = 42 ∙ (x3)2 ∙ (y5)2 = 16 x6y10

Burada şunları da yapabilirsiniz ters eylemler yani bir monomluyu başka bir monomlunun kuvveti olarak temsil eder.

§ 2 Dersin konusuyla ilgili örnekler

Örnek 1. 27a3b6 tek terimlisini başka bir tek terimlinin küpü olarak temsil edin.

27 = 33 olduğuna dikkat edin; a3 a'nın küpüdür; b6 (b2)3 olarak temsil edilebilir.

27а3b6 = (3аb2)3

Örnek 2. 27a3b6 tek terimlisini bir tek terimlinin karesi olarak temsil edin.

b6 faktörünün (b3)2 olarak gösterilebileceğini unutmayın. Ancak 27 sayısı herhangi bir sayının karesi değildir ve a3 çarpanı herhangi bir doğal kuvvetin karesi olarak temsil edilemez. Bütün bunlar çözümü olmayan bir sorunla karşı karşıya olduğumuzu gösteriyor. Bu gibi durumlarda matematikçiler kötü konumlanmış problem terimini kullanırlar. Yanlış olanlar şunları içerir: Farklı türde Açıkçası imkansız görevler. Örneğin, 2a ve 3b tek terimlilerini ekleme görevi yanlıştır çünkü Bunlar birbirine benzemeyen tek terimlidir; eklenemezler. Veya bu görev:

0'a bölemezsiniz, dolayısıyla bu görev yanlıştır.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 1, Ders Kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, gözden geçirilmiş – Moskova, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 2, Eğitim kurumları için problem kitabı / [A.G. Mordkovich ve diğerleri]; A.G. tarafından düzenlendi. Mordkovich - 10. baskı, revize edilmiş - Moskova, “Mnemosyne”, 2007
3. O. Tulchinskaya, Cebir 7. sınıf. Blitz araştırması: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir el kitabı, 4. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş, Moskova, “Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Cebir 7. sınıf. Konu ile ilgili test çalışması V yeni form genel eğitim kurumlarının öğrencileri için, A.G. Mordkovich, Moskova, “Mnemosyne”, 2011
5. Alexandrova L.A. Cebir 7. sınıf. Bağımsız iş genel eğitim kurumlarının öğrencileri için, A.G. Mordkovich - 6. baskı, basmakalıp, Moskova, “Mnemosyne”, 2010

Bu, bir eylem daha başlatmanıza olanak tanır - bir monomu bir kuvvete yükseltmek. Aşağıda, bir tek terimliyi doğal üslü bir kuvvete yükseltme kuralını elde edeceğiz ve tüm nüansları anlamak için örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Tek terimliyi bir kuvvete yükseltme kuralı

Bir monomialin üssünü yükseltmek için atılması gereken tüm adımları gözden geçirelim. Bunu yapmanın en kolay yolu belirli bir örneğe bakmaktır.

Standart formdaki bir tek terimliyi (örneğin 2 x y 5) alalım ve onu örneğin üçüncü kuvvete yükseltelim. Sorunun cevabı, üç faktör olan 2, x ve y 5'in üçüncü kuvvetinin çarpımı olan (2 x y 5) 3 ifadesiyle cevaplanmaktadır. Yazılı ifadenin aynı dönüşümünü gerçekleştirmek mümkündür ve uygulama hemen kendini gösterir. İlk önce ürünün gücü özelliğini kullanıyoruz: (2 x y 5) 3 =2 3 x 3 (y 5) 3. Şimdi kuvvetlerden kuvvetlere geçiş özelliğine dönersek, (y 5) 3'ü y 15 ile değiştiririz ve şunu elde ederiz: 2 3 x 3 (y 5) 3 =2 3 x 3 y 15. 2 numarayı da yapabilirsiniz. 2 3 =8 olduğundan, sonuçta 8 x 3 y 15 ifadesine ulaşırız. Açıkçası, standart formun bir monomunu temsil ediyor.

Yukarıdaki akıl yürütmeden, ilk olarak, bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltme sürecini oluşturan tüm eylemler açıkça görülebilir. Bunları formda bir araya getirelim Bir monomu bir kuvvete yükseltmek için kurallar.

Bir monomialin üssünü yükseltmek için ihtiyacınız olan şey

• karşılık gelen ifadeyi yazın;
• bir ürünü yetiştirme özelliğini bir güce uygulamak;
• Üsleri artırma özelliğini kuvvetlere uygular ve sayıların kuvvetlerini hesaplar.

İkinci olarak, yukarıda tartışılan örnekten açıkça görülmektedir ki bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltmenin sonucu yeni bir tek terimlidir. Burada, eğer orijinal tek terim standart biçimde yazılırsa, onu bir kuvvete yükselttikten sonra standart biçimde bir tek terim elde edileceğini not ediyoruz. Orijinal tek terim standart olandan farklı bir biçimde verilmişse, o zaman bu tek terimliyi bir kuvvete yükseltmeden önce standart biçime indirgemek tavsiye edilir. Bu yapılmazsa, yukarıda yazılan kuralın uygulanmasından sonra elde edilen tek terimlinin standart forma indirgenmesi gerekecektir. Bir sonraki paragrafta bu noktaya döneceğiz.

Örnekler

Tek terimlileri kuvvetlere yükseltmeye ilişkin bazı örnekleri çözmenin zamanı geldi. Bu, önceki paragrafta belirtilen kuralın uygulanmasına yardımcı olacaktır. Basit örneklerle başlayalım.

Örnek.

Tek terimlileri belirtilen kuvvetlere yükseltin: (x·y) 10 ve (−0,3·a 2 ·b 3 ·c 4) 3.

Çözüm.

İlk tek terimliyi bir kuvvete yükseltmek için, bir çarpımı bir kuvvete yükseltme kuralını uygularız: (x·y) 10 =x 10 ·y 10. Ortaya çıkan ifadede ne kuvvetlerin ne de sayıların kuvvetleri bulunmadığından başka bir şey yapmaya gerek yoktur.

Hadi devam edelim. Öncelikle aşağıdaki geçişi yapıyoruz: . Son ifadede dereceyi değeriyle değiştirmek kalıyor. O zamandan beri .

Bu durum için kısaca bir monomun bir kuvvete yükseltilmesi şuna benzer: .

Son göreve geçelim. İlk önce ürünü bir güce yükseltiyoruz: (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 =(−0,3) 3 (a 2) 3 (b 3) 3 (c 4) 3. Geriye güçlerin özelliğini güçlere kullanmak ve ayrıca (−0,3) 3'ü hesaplamak kalır. (a 2) 3 =a 2 3 =a 6, (b 3) 3 =b 3 3 =b 9, (c 4) 3 =c 4 3 =c 12 olduğundan ve (−0,3) 3 =(−0,3)·(−0,3)·(−0,3)=−0,027, o zaman −0,027 · a 6 · b 9 · c 12 elde ederiz.

Burada kısa çözüm: (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 = (−0,3) 3 ·(a 2) 3 ·(b 3) 3 ·(c 4) 3 =−0,027 a 6 b 9 c 12 .

Cevap:

(x y) 10 =x 10 y 10, Ve (−0,3 a 2 b 3 c 4) 3 =−0,027 a 6 b 9 c 12.

Aşağıdaki örnekte, standart formdan farklı bir formdaki bir monomun ve standart formdaki karşılık gelen monomunun üssünün yükseltilmesi sonucunda özdeş olarak eşit monomların elde edilmesini sağlayacağız.

Örnek.

Tek terimlinin karesini alın 2 x 3 5 x.

Çözüm.

Orijinal tek terimli standart biçimde yazılmamıştır. Karesini alalım: (2 x 3 5 x) 2 =2 2 (x 3) 2 5 2 x 2 =4 x 6 25 x 2. Ortaya çıkan monomiyal standart formda sunulursa 100 x 8 formunu alacaktır.

Şimdi, önce orijinal polinomu 2 x 3 5 x = 10 x 4 standart formunda yazıyoruz ve şimdi elde edilen monomiyalin ikinci kuvvetine yükseltiyoruz: (10 x 4) 2 =10 2 (x 4) 2 =100 x 8.

Açıkçası aynı sonucu aldık. Böylece, tek terimlileri standart olandan farklı bir forma yükseltebilir veya önce standart bir forma getirip sonra bir kuvvete yükseltebilirsiniz - sonuç aynı olacaktır.

Cevap:

(2 x 3 5 x) 2 =100 x 8.

Son olarak, sayısal faktörler içermeyen ancak önünde bir eksi işareti bulunan tek terimlilerin üstellenmesine dikkat etmek önemlidir; örneğin, −x, −a 4 · b 7 · c 2, vb. Bu durumlarda, tek terimlinin katsayısı -1'dir ve üstel işlemi yapmadan önce bunu açıkça yazmanın zararı olmaz. Bu, hatalardan kaçınmaya yardımcı olacaktır.

İÇİNDE bu ders Tek terimlileri çarpma ve doğal kuvvetlere yükseltme işlemlerine bakacağız ve bu işlemleri gerçekleştirmek için hangi tek terimlilerin kullanılabileceğini bulacağız. Bir gücü güce yükseltme kuralını hatırlayalım. İfadelerin basitleştirilmesi, üstel alma ve ters problem gibi bazı tipik problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

Ders:Monomiyaller. Tek terimlilerde aritmetik işlemler

Ders:Tek terimlilerin çarpılması, doğal kuvvetlere yükseltilmesi

Önceki derslerden, tek terimlileri toplayıp çıkarabileceğinizi, ancak yalnızca benzer olanları, ancak herhangi bir tek terimliyi çarpabileceğinizi ve doğal bir kuvvete yükseltebileceğinizi hatırladık. Örneklere bakarak bunun neden mümkün olduğunu öğrenelim.

Örnek 1: . Bu monomiyal standart forma indirgenmiştir. Bunu başka bir tek terimle çarpmak ne anlama gelir?

;

Ve tüm bunları üçüncü tek terimli ile çarpın:

;

Sonuç olarak, standart olmayan bir biçimde sayıların ve kuvvetlerin çarpımı olan bir tek terimli aldık. Buradan herhangi bir tek terimlinin çarpılabileceği sonucu çıkar.

Ortaya çıkan monomial'i standart forma indirgeyelim:

Bir kuvvete yükseltmek aslında bir tek terimliyi belirli sayıda kendisiyle çarpmak anlamına geldiğinden ve herhangi bir tek terimli sayılar çarpılabileceğinden, tek terimlileri ve yine herhangi birini doğal bir kuvvete yükseltme hakkına sahibiz.

Örneklere bakalım.

Örnek 1:

Örnek 2:

Örnek 3:

Örnek 1-3 hakkında yorumlar: İki veya daha fazla tek terimliyi çarparken, sonuç standart olmayan biçimde yeni bir tek terimli olur, bu nedenle çarpma işlemini gerçekleştirmek için yalnızca bu yeni tek terimliyi standart biçime dönüştürmeniz gerekir.

Bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltme örneklerine bakalım.

Örnek 1:

Örnek 2:

Örnek 3:

Örnek 4:

Örnek 1-4 hakkında yorumlar: Bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltirken, önce katsayısını bir kuvvete, sonra da harf kısmını yükseltmelisiniz. Bunu yapmak için, dereceyi bir kuvvete yükseltme kuralını, yani üslerin çarpılması kuralını hatırlamanız gerekir. Ayrıca örnek 3 ve 4'ü çözerken, herhangi bir çift kuvvete “-1” in “1”, tek bir kuvvete ise “-1” vereceğini unutmamalısınız.

Tipik görevleri ele alalım:

Örnek 1: ve

“2” doğal bir kuvvet olduğundan ve herhangi bir doğal kuvvete bir monom yükseltebileceğimize göre, ilk eylemi gerçekleştirelim:

İkinci eylemi çözmek için, herhangi bir sayının sıfır üssü bir olduğunu, bu sayının sıfır olmaması koşuluyla, hiçbir anlamı olmadığı için, yani şunu yazma hakkımız olduğunu hatırlamamız gerekir:

Örnek 2: “*” işareti yerine eşitliği sağlayacak şekilde bir tek terim koyun:

Sol taraftaki katsayı hala üç ve sağdaki katsayı dokuz, bu da sol tarafta üçün eksik olduğu anlamına geliyor; sol taraftaki b değişkeninin ikinci kuvveti, sağdakinin ise üçüncü kuvvetidir; bu, sol tarafın b üzeri birinci kuvvetiyle çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Aşağıdakileri göz önünde bulundur tipik görev. Bu tek terimliyi bir tek terimlinin karesi olarak temsil edin:

Örnek 1: ;

Verilen monomili elde etmek için hangi monomun karesinin alınacağını belirlemeniz gerekir.

81'i elde etmek için 9'un karesini almanız gerekir, yani istenen tek terimlinin katsayısı 9'dur.

elde etmek için karesini almamız gerekir, yani elimizde:

;

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: Verdiğimiz cevap açık mı? Karesi alındığında verilen tek terimliyi verecek başka bir tek terimli bulmak mümkün müdür?

Bu soruyu cevaplamak için, şunu hatırlayalım ki, karesi alındığında bize verileni verecek bir tek terim daha var - bu .

Örnek 2:

Bu örnek öncekine benzer şekilde çözüldü.

Basitleştirme problemini düşünün

Örnek 1:

Sonuç: Bu derste tek terimlileri çarpma ve doğal kuvvetlere yükseltme işlemlerine baktık ve bazı tipik problemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

>>Matematik: Tek terimlileri çarpmak, Bir tek terimliyi doğal kuvvete yükseltmek

Tek terimlilerin çarpılması. Bir monomialin doğal kuvvetine yükseltilmesi

Üç tek terimlinin çarpımını bulun: 2a 2 bc 5,
Çözüm. Sahibiz:

(- 2a 2 bc 3) 5 ifadesini basitleştirin (yani onu tek terimli olarak gösterin).

Çözüm (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 = -32a 10 b 5 c15.

Öncelikle bir ürünü bir kuvvete yükseltirken her faktörün bu kuvvete yükseltilmesi gerektiği gerçeğini kullandık. Dolayısıyla 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5 girdisine sahibiz.

İkinci olarak (- 2) 5 = - 2 5 olmasından faydalandık.

Üçüncüsü, bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığı gerçeğini kullandık. Bu nedenle (a 2) 5 yerine 10, (c 3) 5 yerine c 15 yazdık.

36a 2 b 4 c 5 tek terimlisini tek terimlilerin çarpımı olarak temsil edin.

Çözüm. Burada, § 10'daki örnek 2'de olduğu gibi, çözüm benzersiz değildir. İşte bazı çözümler:

36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (ab 3 c 4),
36a 2 b 4 c 5 = (- 3b 4) (- 12a 2 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Örnek 3'e kendiniz birkaç çözüm daha bulmaya çalışın.

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı

Ders içeriği ders notları destekleyici çerçeve ders sunumu hızlandırma yöntemleri etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine test atölyeleri, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden gelen retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler, grafikler, tablolar, diyagramlar, mizah, anekdotlar, şakalar, çizgi romanlar, benzetmeler, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentiler özetler makaleler meraklı beşikler için püf noktaları ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiDers kitabındaki hataların düzeltilmesi ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurları, eski bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler takvim planı Bir yıllığına yönergeler tartışma programları Entegre Dersler

Herhangi bir doğal tek terimlinin bir kuvvete yükseltilmesine standart çarpma kurallarının uygulanması eşlik eder. Bu örneği düşünün:

Bu ifadenin değerini bulmak için terim terim çarpımı yapıyoruz:

(ah) 4 = ah*ah*ah*ah

Hatırladığımız gibi, bir tek terimlideki herhangi bir değişken aslında çarpılır. Başka bir deyişle, tek terimli eksen a ve x'in gizli çarpımıdır. Bu nedenle şunu güvenle söyleyebiliriz:

ah*ah*ah*ah = ahahahahah

Öte yandan, herhangi bir sayıda tek terimlinin çarpımı da bir tek terimli verir. Kesin olarak konuşursak, tek terimlilerin çarpımı ile genel bir tek terimli arasında hiçbir fark yoktur. Gizli veya açık çarpım işareti özel bir rol oynamaz ve genel sonuca hiçbir şekilde yansımaz. Yeniden gruplandırırsak şunu elde ederiz:

ahahahaha = aaaahhh = a 4 x 4

Bu ifadeyi ilk versiyonla karşılaştıralım:

(ah) 4 = a 4 x 4

İki değişken x ve y'den oluşan bir monomialin n kuvvetine yükseltilmesi, hem x hem de y'nin n kuvvetine sahip olduğu yeni bir monomiye yol açar:

(xy) n = (x) n (y) n

Bu kural, bir tek terimlideki herhangi sayıda değişken için harika çalışır. Örneğin, tek terimli ashu için küp şu şekilde görünecektir:

(ashu) 3 = (a) 3 (c) 3 (x) 3 (y) 3

Bu nedenle, birçok elementten oluşan bir monomialin üssünü yükseltmek için, bu elemanların her birinin belirli bir kuvvetine yükseltilmesi ve sonuçların bir monomial elde edilecek şekilde çarpılması gerekir. Sonucun tabanı başlangıçtaki tek terimliye benzer olacaktır. Serbest terimin aynı zamanda tek terimlinin bir öğesi olduğunu ve bir kuvvete yükseltilmesi gerektiğini unutmayın.

Formdaki bir ifadenin değerini bulalım:

Gördüğümüz gibi, verilen tek terim üç unsurdan oluşur: faktörler: a, x ve (-3). Her birinin üçüncü kuvvetine yükselteceğiz ve çarpma işaretlerini gizleyerek ortaya çıkan sonucu çarpacağız. Bu durumda küpün değerini (-3) hemen hesaplayabilirsiniz:

(-3ax) 3 = -27a 3 x 3

(a4) 2 = (a4)*(a4) = (aaaa)(aaaa) = (a) 8

Yeni kuvvetin tabanına ve üssüne indirgenebilecek bir monom elde ettik. A derecesine sahip herhangi bir x tabanı y derecesine yükseltildiğinde (x)ay formunda bir ifade elde ederiz. Yani bu gibi durumlarda dereceler birbiriyle çarpılır.

Bölme kuralları güç ifadeleri sahip olmak ortak özellikler işin kurallarıyla. Aslında, terim terim hesaplamalar yapalım ve ortaya çıkan monomial'i dönüştürelim:

(x/y) 3 = (x/y)*(x/y)*(x/y) = x 3 /y 3

Bir kesrin küpünü aldığımızda o kesri üç kere çarparız. Kesirlerin çarpımı kanununa göre yeni kesirde bölenin küpünü ve bölenin küpünü aldık. Çarpma işleminde olduğu gibi, derece basitçe parantezlerin açılmasıyla monomdaki her bir öğeye aktarılır.

Bir monom içinde çarpma ve bölme durumlarında dereceyi parantez içine yerleştirme işleminin her zaman dış dereceyi her dereceyle çarpma işlemi olduğu anlaşılmalıdır. iç elemanlar. Görsel olarak belirtilmemişse bire eşit demektir ve bir ile çarpmak ilk sonucu verir. Ek olarak, axy 4, a(xy) 4, (axy) 4 formundaki ifadeler arasında ayrım yapılmalıdır, çünkü parantezlerin üzerindeki derece, tek terimlinin geri kalan elemanlarını etkilemeden yalnızca iç içeriğe atıfta bulunur:

ah 4 = ah 4

a(xy) 4 = ax 4 y 4

(ahu) 4 = a 4 x 4 y 4

Bu pratik alıştırmayı çözelim. İfadenin değerini bulalım:

Yukarıda açıklanan özellikleri kullanıyoruz ve monomialin altıncı kuvvetine yükseltiyoruz:

(-3x 3 y 2) 6 = (-3) 6 * (x 3) 6 * (y 2) 6 = 729x18y12

Kuvvet ifadelerinin çarpma ve bölme özelliklerinin tümü, üssü sıfır olan bazlarla da, bu tabanların sıfıra eşit olmaması koşuluyla çalışır.