Rationelle ligninger af grad større end 2. Video lektion "Rationelle ligninger

Vi har allerede lært, hvordan man løser andengradsligninger. Lad os nu udvide de undersøgte metoder til rationelle ligninger.

Hvad er et rationelt udtryk? Vi har allerede stødt på dette koncept. Rationelle udtryk er udtryk, der består af tal, variable, deres magter og symboler for matematiske operationer.

Derfor er rationelle ligninger ligninger af formen: , hvor - rationelle udtryk.

Tidligere betragtede vi kun de rationelle ligninger, der kan reduceres til lineære. Lad os nu se på de rationelle ligninger, der kan reduceres til andengradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lig med 0, hvis og kun hvis dens tæller er lig med 0 og dens nævner ikke er lig med 0.

Vi får følgende system:

Systemets første ligning er andengradsligning. Før vi løser det, lad os dividere alle dets koefficienter med 3. Vi får:

Vi får to rødder: ; .

Da 2 aldrig er lig med 0, skal to betingelser være opfyldt: . Da ingen af ​​rødderne af ligningen opnået ovenfor falder sammen med de ugyldige værdier af variablen, der blev opnået ved løsning af den anden ulighed, er de begge løsninger til denne ligning.

Svar:.

Så lad os formulere en løsningsalgoritme rationelle ligninger:

1. Flyt alle led til venstre side, så højre side ender med 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, reducer alle brøker til fællesnævner.

3. Sæt lighedstegn mellem den resulterende brøk og 0 ved hjælp af følgende algoritme: .

4. Skriv de rødder ned, der blev opnået i den første ligning, og opfyld den anden ulighed i svaret.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Allerede i begyndelsen flytter vi alle led til venstre, så 0 forbliver til højre. Vi får:

Lad os nu bringe venstre side af ligningen til en fællesnævner:

Denne ligning svarer til systemet:

Systemets første ligning er en andengradsligning.

Koefficienter for denne ligning: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to rødder: ; .

Lad os nu løse den anden ulighed: Produktet af faktorer er ikke lig med 0, hvis og kun hvis ingen af ​​faktorerne er lig med 0.

To betingelser skal være opfyldt: . Vi finder, at af de to rødder af den første ligning, er kun den ene egnet - 3.

Svar:.

I denne lektion huskede vi, hvad et rationelt udtryk er, og lærte også, hvordan man løser rationelle ligninger, som reducerer til andengradsligninger.

I den næste lektion vil vi se på rationelle ligninger som modeller for virkelige situationer, og også se på bevægelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Uddannelse, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. udg. - M.: Uddannelse, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Tutorial til uddannelsesinstitutioner. - M.: Uddannelse, 2006.

1. Festival pædagogiske ideer "Offentlig lektion" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Lektier

I denne artikel vil jeg vise dig algoritmer til løsning af syv typer rationelle ligninger, som kan reduceres til kvadratisk ved at ændre variable. I de fleste tilfælde er de transformationer, der fører til udskiftning, meget ikke-trivielle, og det er ret svært at gætte om dem på egen hånd.

For hver type ligning vil jeg forklare, hvordan man laver en ændring af variabel i den, og derefter viser en detaljeret løsning i den tilsvarende video-tutorial.

Du har mulighed for selv at blive ved med at løse ligningerne, og derefter tjekke din løsning med videolektionen.

Så lad os begynde.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Bemærk, at der i venstre side af ligningen er et produkt af fire parenteser, og på højre side er der et tal.

1. Lad os gruppere parenteserne i to, så summen af ​​de frie led er den samme.

2. Gang dem.

3. Lad os introducere en ændring af variabel.

I vores ligning vil vi gruppere den første parentes med den tredje, og den anden med den fjerde, da (-1)+(-4)=(-7)+2:

På dette tidspunkt bliver den variable erstatning indlysende:

Vi får ligningen

Svar:

2 .

En ligning af denne type ligner den foregående med én forskel: på højre side af ligningen er produktet af tallet og . Og det er løst på en helt anden måde:

1. Vi grupperer parenteserne i to, så produktet af de frie vilkår er det samme.

2. Gang hvert par parenteser.

3. Vi tager x ud af hver faktor.

4. Divider begge sider af ligningen med .

5. Vi indfører en ændring af variabel.

I denne ligning grupperer vi den første parentes med den fjerde, og den anden med den tredje, da:

Bemærk, at i hver parentes er koefficienten ved og frileddet de samme. Lad os tage en faktor ud af hver parentes:

Da x=0 ikke er en rod af den oprindelige ligning, dividerer vi begge sider af ligningen med . Vi får:

Vi får ligningen:

Svar:

3 .

Bemærk, at nævnerne for begge brøker er firkantede trinomialer, hvor den førende koefficient og den frie term er den samme. Lad os tage x ud af parentesen, som i ligningen for den anden type. Vi får:

Divider tælleren og nævneren for hver brøk med x:

Nu kan vi introducere en variabel erstatning:

Vi får en ligning for variablen t:

4 .

Bemærk, at koefficienterne i ligningen er symmetriske i forhold til den centrale. Denne ligning kaldes returneres .

For at løse det,

1. Divider begge sider af ligningen med (Det kan vi gøre, da x=0 ikke er en rod af ligningen.) Vi får:

2. Lad os gruppere termerne på denne måde:

3. Lad os i hver gruppe tage den fælles faktor ud af parentes:

4. Lad os introducere erstatningen:

5. Udtryk gennem t udtrykket:

Herfra

Vi får ligningen for t:

Svar:

5. Homogene ligninger.

Ligninger, der har en homogen struktur, kan man støde på, når man løser eksponentiel, logaritmisk og trigonometriske ligninger, så du skal kunne genkende det.

Homogene ligninger har følgende struktur:

I denne lighed er A, B og C tal, og kvadratet og cirklen angiver identiske udtryk. Det vil sige, på venstre side af en homogen ligning er der en sum af monomialer med samme grad (i I dette tilfælde graden af ​​monomialerne er 2), og der er ingen fri term.

For at løse en homogen ligning skal du dividere begge sider med

Opmærksomhed! Når du dividerer højre og venstre side af en ligning med et udtryk, der indeholder en ukendt, kan du miste rødder. Derfor er det nødvendigt at kontrollere, om rødderne af det udtryk, som vi deler begge sider af ligningen med, er rødderne af den oprindelige ligning.

Lad os gå den første vej. Vi får ligningen:

Nu introducerer vi variabel erstatning:

Lad os simplificere udtrykket og få en biquadratisk ligning for t:

Svar: eller

7 .

Denne ligning har følgende struktur:

For at løse det skal du vælge en komplet firkant i venstre side af ligningen.

For at vælge en fuld firkant skal du tilføje eller trække to gange produktet fra. Så får vi kvadratet af summen eller forskellen. Dette er afgørende for vellykket udskiftning af variabel.

Lad os starte med at finde det dobbelte af produktet. Dette vil være nøglen til at erstatte variablen. I vores ligning er to gange produktet lig med

Lad os nu finde ud af, hvad der er mere bekvemt for os at have - kvadratet af summen eller forskellen. Lad os først overveje summen af ​​udtryk:

Store! Dette udtryk er nøjagtigt lig med det dobbelte af produktet. Derefter, for at få kvadratet af summen i parentes, skal du tilføje og trække dobbeltproduktet fra:

\(\bullet\) En rationel ligning er en ligning repræsenteret i formen \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \Q(x)\ ) - polynomier (summen af ​​"X'er" i forskellige potenser, ganget med forskellige tal).
Udtrykket i venstre side af ligningen kaldes et rationelt udtryk.
ODZ (region acceptable værdier) af en rationel ligning er alle værdier af \(x\), for hvilke nævneren IKKE forsvinder, det vil sige \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rationelle ligninger.
I den første ligning er ODZ alle \(x\) således at \(x\ne 3\) (skriv \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den anden ligning – disse er alle \(x\) sådan at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligning er der ingen begrænsninger på ODZ, det vil sige, at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Sætning:
1) Produktet af to faktorer er lig med nul, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med nul, og den anden ikke mister betydning, derfor ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) svarer til systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODZ-ligninger)\end(cases)\] 2) En brøk er lig nul, hvis og kun hvis tælleren er lig nul, og nævneren ikke er lig med nul, derfor ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) svarer til et ligningssystem \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Lad os se på et par eksempler.

1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . Lad os finde ODZ af denne ligning - dette er \(x\ne 0\) (da \(x\) er i nævneren).
Det betyder, at ODZ kan skrives som følger: .
Lad os flytte alle termerne til én del og bringe dem til en fællesnævner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligning i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser, at begge rødder er ikke-nul. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\højre)\cdot (x^2-x)=0\). Lad os finde ODZ af denne ligning. Vi ser, at den eneste værdi af \(x\), som venstre side ikke giver mening for, er \(x=0\) . Så ODZ kan skrives sådan: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Således svarer denne ligning til systemet:

\[\begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(samlet) \right.\] Faktisk, på trods af at \(x=0\) er roden til den anden faktor, hvis du erstatter \(x=0\) i den oprindelige ligning, vil det ikke give mening, fordi udtryk \(\dfrac 40\) er ikke defineret.
Løsningen til denne ligning er således \(x\in \(1;2\)\) .

3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vores ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , det vil sige \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Lad os flytte alle udtryk til venstre og bringe dem til en fællesnævner:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justeret) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre højrepil \quad x=-3\)

Svar: \(x\in \(-3\)\) .

Kommentar. Hvis svaret består af et begrænset sæt tal, så kan de skrives adskilt af semikolon i krøllede parenteser, som vist i de foregående eksempler.

Problemer, der kræver løsning af rationelle ligninger, støder på hvert år i Unified State Examination i matematik, så når de forbereder sig på at bestå certificeringstesten, bør kandidater helt sikkert gentage teorien om dette emne på egen hånd. Kandidater, der tager både det grundlæggende og specialiserede niveau af eksamen, skal være i stand til at klare sådanne opgaver. Efter at have mestret teorien og beskæftiget sig med praktiske øvelser om emnet "Rationelle ligninger", vil eleverne være i stand til at løse problemer med et vilkårligt antal handlinger og regne med at modtage konkurrenceresultater på Unified State Examination.

Hvordan forbereder man sig til eksamen ved hjælp af Shkolkovo uddannelsesportal?

Nogle gange viser det sig at være ret svært at finde en kilde, der fuldt ud præsenterer den grundlæggende teori til løsning af matematiske problemer. Lærebogen er måske simpelthen ikke lige ved hånden. Og at finde de nødvendige formler kan nogle gange være ret svært selv på internettet.

Shkolkovo uddannelsesportal vil fritage dig for behovet for at søge det nødvendige materiale og vil hjælpe dig med at forberede dig godt til at bestå certificeringstesten.

Alle nødvendig teori om emnet "Rationelle ligninger" udarbejdede og præsenterede vores eksperter i den mest tilgængelige form. Efter at have studeret den præsenterede information, vil eleverne være i stand til at udfylde huller i viden.

For at forberede sig til Unified State-eksamenen skal dimittender ikke kun genopfriske deres hukommelse om grundlæggende teoretisk materiale om emnet "Rationelle ligninger", men også øve sig i at udføre opgaver på konkrete eksempler. Stort udvalg opgaver præsenteres i afsnittet "Katalog".

For hver øvelse på siden har vores eksperter skrevet en løsningsalgoritme og angivet det rigtige svar. Eleverne kan øve sig i at løse problemer af forskellig sværhedsgrad afhængigt af deres færdighedsniveau. Listen over opgaver i det tilsvarende afsnit suppleres og opdateres løbende.

Studer teoretisk materiale og finpuds problemløsningsfærdigheder om emnet "Rationelle ligninger", svarende til dem, der er inkluderet i Unified State Exam tests, kan gøres online. Om nødvendigt kan enhver af de præsenterede opgaver føjes til sektionen "Favoritter". Efter endnu en gang at have gentaget den grundlæggende teori om emnet "Rationelle ligninger", vil en gymnasieelev være i stand til at vende tilbage til problemet i fremtiden for at diskutere fremskridtet med dets løsning med læreren i en algebra-lektion.

"Rationelle ligninger med polynomier" er et af de hyppigst stødte emner i test Unified State Exam-opgaver matematik. Af denne grund er de værd at gentage Særlig opmærksomhed. Mange elever står over for problemet med at finde diskriminanten, overføre indikatorer fra højre side til venstre og bringe ligningen til en fællesnævner, hvorfor det volder vanskeligheder at udføre sådanne opgaver. Løsning af rationelle ligninger som forberedelse til Unified State Exam på vores hjemmeside vil hjælpe dig med hurtigt at klare problemer af enhver kompleksitet og bestå testen med glans.

Vælg Shkolkovo-uddannelsesportalen for at forberede dig til Unified Mathematics-eksamenen!

At kende reglerne for beregning af ukendte og let opnå korrekte resultater, brug vores onlinetjeneste. Shkolkovo-portalen er en unik platform, der indeholder alt, hvad der er nødvendigt at forberede sig på Unified State Exam materialer. Vores lærere systematiserede og præsenterede i en forståelig form alle de matematiske regler. Derudover inviterer vi skolebørn til at prøve kræfter med at løse rationelle standardligninger, hvis grundlag konstant opdateres og udvides.

For mere effektiv forberedelse til test anbefaler vi at følge vores specielle metode og starte med at gentage reglerne og løse simple problemer, gradvist gå videre til mere komplekse. Således vil kandidaten være i stand til at identificere de sværeste emner for sig selv og fokusere på at studere dem.

Begynd at forberede dig til den sidste test med Shkolkovo i dag, og resultaterne vil ikke vente længe på at komme! Vælg det meste let eksempel fra de foreslåede. Hvis du mestrer udtrykket hurtigt, så gå videre til mere vanskelig opgave. På denne måde kan du forbedre din viden frem til at løse USE-opgaver i matematik på et specialiseret niveau.

Uddannelse er tilgængelig ikke kun for kandidater fra Moskva, men også for skolebørn fra andre byer. Brug for eksempel et par timer om dagen på at studere på vores portal, og meget snart vil du være i stand til at klare ligninger af enhver kompleksitet!

Den laveste fællesnævner bruges til at forenkle denne ligning. Denne metode bruges, når du ikke kan skrive en given ligning med ét rationelt udtryk på hver side af ligningen (og bruge multiplikationsmetoden på kryds og tværs). Denne metode bruges, når du får en rationel ligning med 3 eller flere brøker (i tilfælde af to brøker er det bedre at bruge multiplikation på kryds og tværs).