Stjerne nyheder
Sådan kollapser du et kvadratisk trinomium. Eksempler på faktorisering af polynomier
At udvide polynomier for at opnå et produkt kan nogle gange virke forvirrende. Men det er ikke så svært, hvis du forstår processen trin for trin. Artiklen beskriver i detaljer, hvordan man faktoriserer et kvadratisk trinomium.
Mange mennesker forstår ikke, hvordan man faktoriserer et firkantet trinomium, og hvorfor dette gøres. Umiddelbart kan det virke som en forgæves øvelse. Men i matematik gøres intet for ingenting. Transformationen er nødvendig for at forenkle udtrykket og lette beregningen.
Et polynomium af formen – ax²+bx+c, kaldes et kvadratisk trinomium. Udtrykket "a" skal være negativt eller positivt. I praksis kaldes dette udtryk en andengradsligning. Derfor siger de nogle gange det anderledes: hvordan man nedbrydes andengradsligning.
Interessant! Et polynomium kaldes et kvadrat på grund af dets meget i høj grad– firkantet. Og et trinomium - på grund af de 3 komponenter.
Nogle andre typer polynomier:
- lineær binomial (6x+8);
- kubisk quadrinomial (x³+4x²-2x+9).
Faktorering af et kvadratisk trinomium
Først er udtrykket lig med nul, så skal du finde værdierne af rødderne x1 og x2. Der er måske ingen rødder, der kan være en eller to rødder. Tilstedeværelsen af rødder bestemmes af diskriminanten. Du skal kende dens formel udenad: D=b²-4ac.
Hvis resultatet D er negativt, er der ingen rødder. Hvis det er positivt, er der to rødder. Hvis resultatet er nul, er roden én. Rødderne beregnes også ved hjælp af formlen.
Hvis resultatet er nul, når du beregner diskriminanten, kan du bruge enhver af formlerne. I praksis forkortes formlen blot: -b / 2a.
Formler til forskellige betydninger diskriminanterne er forskellige.
Hvis D er positiv:
Hvis D er nul:
Online regnemaskiner
På internettet er der online lommeregner. Det kan bruges til at udføre faktorisering. Nogle ressourcer giver mulighed for at se løsningen trin for trin. Sådanne tjenester hjælper med at forstå emnet bedre, men du skal prøve at forstå det godt.
Nyttig video: Faktorering af et kvadratisk trinomium
Eksempler
Vi inviterer dig til at se simple eksempler, hvordan man faktoriserer en andengradsligning.
Eksempel 1
Dette viser tydeligt, at resultatet er to x'er, fordi D er positivt. De skal erstattes i formlen. Hvis rødderne viser sig at være negative, ændres tegnet i formlen til det modsatte.
Vi kender formlen for faktorisering af et kvadratisk trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sætter værdierne i parentes: (x+3)(x+2/3). Der er intet tal før et led i en potens. Det betyder, at der er en der, den går ned.
Eksempel 2
Dette eksempel viser tydeligt, hvordan man løser en ligning, der har én rod.
Vi erstatter den resulterende værdi:
Eksempel 3
Givet: 5x²+3x+7
Lad os først beregne diskriminanten, som i tidligere tilfælde.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminanten er negativ, hvilket betyder, at der ikke er nogen rødder.
Efter at have modtaget resultatet, skal du åbne beslagene og kontrollere resultatet. Det originale trinomium skal vises.
Alternativ løsning
Nogle mennesker var aldrig i stand til at blive venner med diskriminatoren. Der er en anden måde at faktorisere et kvadratisk trinomium på. For nemheds skyld er metoden vist med et eksempel.
Givet: x²+3x-10
Vi ved, at vi skal have 2 parenteser: (_)(_). Når udtrykket ser sådan ud: x²+bx+c, sætter vi i begyndelsen af hver parentes x: (x_)(x_). De resterende to tal er produktet, der giver "c", altså i dette tilfælde -10. Den eneste måde at finde ud af, hvilke tal disse er, er ved at vælge. De erstattede tal skal svare til det resterende led.
For eksempel, gange følgende tal giver -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ingen.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ingen.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ingen.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passer.
Det betyder, at transformationen af udtrykket x2+3x-10 ser således ud: (x-2)(x+5).
Vigtig! Du skal passe på ikke at forveksle tegnene.
Udvidelse af et komplekst trinomium
Hvis "a" er større end én, begynder vanskelighederne. Men alt er ikke så svært, som det ser ud til.
For at faktorisere skal du først se, om noget kan udregnes.
For eksempel givet udtrykket: 3x²+9x-30. Her er tallet 3 taget ud af parentes:
3(x²+3x-10). Resultatet er det allerede velkendte trinomium. Svaret ser sådan ud: 3(x-2)(x+5)
Hvordan dekomponerer man, hvis termen, der er i firkanten, er negativ? I I dette tilfælde Tallet -1 er taget ud af parentes. For eksempel: -x²-10x-8. Udtrykket vil så se således ud:
Ordningen adskiller sig lidt fra den tidligere. Der er bare et par nye ting. Lad os sige, at udtrykket er givet: 2x²+7x+3. Svaret er også skrevet i 2 parenteser, der skal udfyldes (_)(_). I 2. parentes er skrevet x, og i 1. hvad der er tilbage. Det ser sådan ud: (2x_)(x_). Ellers gentages den tidligere ordning.
Tallet 3 er givet ved tallene:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Vi løser ligninger ved at erstatte disse tal. Den sidste mulighed er passende. Det betyder, at transformationen af udtrykket 2x²+7x+3 ser således ud: (2x+1)(x+3).
Andre sager
Det er ikke altid muligt at konvertere et udtryk. Med den anden metode er det ikke nødvendigt at løse ligningen. Men muligheden for at omdanne vilkår til et produkt kontrolleres kun gennem diskriminanten.
Det er værd at øve sig i at løse andengradsligninger, så der ikke er vanskeligheder ved brug af formlerne.
Nyttig video: faktorisering af et trinomium
Konklusion
Du kan bruge det på enhver måde. Men det er bedre at øve begge dele, indtil de bliver automatiske. Det er også nødvendigt at lære, hvordan man løser kvadratiske ligninger og faktorpolynomier, for dem, der planlægger at forbinde deres liv med matematik. Alle de følgende matematiske emner er bygget på dette.
På denne lektion Vi vil lære at faktorisere kvadratiske trinomialer til lineære faktorer. For at gøre dette skal vi huske Vietas sætning og dens modsætning. Denne færdighed vil hjælpe os med hurtigt og bekvemt at udvide kvadratiske trinomialer til lineære faktorer og vil også forenkle reduktionen af brøker bestående af udtryk.
Så lad os gå tilbage til andengradsligningen, hvor .
Det, vi har på venstre side, kaldes et kvadratisk trinomium.
Sætningen er sand: Hvis er rødderne til et kvadratisk trinomium, så gælder identiteten
Hvor er den førende koefficient, er ligningens rødder.
Så vi har en andengradsligning - et kvadratisk trinomium, hvor andengradsligningens rødder også kaldes rødderne af andengradstrinomiet. Derfor, hvis vi har rødderne af et kvadratisk trinomium, så kan dette trinomium dekomponeres i lineære faktorer.
Bevis:
Bevis dette faktum udføres ved hjælp af Vietas sætning, som vi diskuterede i tidligere lektioner.
Lad os huske, hvad Vietas sætning fortæller os:
Hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium for hvilket , så .
Følgende udsagn følger af denne sætning:
Vi ser, at vi ifølge Vietas sætning, dvs. ved at substituere disse værdier i formlen ovenfor, opnår følgende udtryk
Q.E.D.
Husk på, at vi beviste sætningen om, at hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium, så er udvidelsen gyldig.
Lad os nu huske et eksempel på en andengradsligning, hvortil vi valgte rødder ved hjælp af Vietas sætning. Fra denne kendsgerning kan vi opnå følgende lighed takket være den beviste sætning:
Lad os nu tjekke rigtigheden af denne kendsgerning ved blot at åbne parenteserne:
Vi ser, at vi har faktoriseret korrekt, og ethvert trinomium, hvis det har rødder, kan faktoriseres i henhold til denne sætning til lineære faktorer i henhold til formlen
Lad os dog kontrollere, om en sådan faktorisering er mulig for en ligning:
Tag for eksempel ligningen. Lad os først tjekke diskriminanttegnet
Og vi husker, at for at opfylde den sætning, vi lærte, skal D være større end 0, så i dette tilfælde er faktorisering ifølge den sætning, vi lærte, umulig.
Derfor formulerer vi en ny sætning: Hvis et kvadratisk trinomium ikke har nogen rødder, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer.
Så vi har set på Vietas sætning, muligheden for at dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nu vil vi løse flere problemer.
Opgave nr. 1
I denne gruppe vil vi faktisk løse problemet omvendt til det stillede. Vi havde en ligning, og vi fandt dens rødder ved at faktorisere den. Her vil vi gøre det modsatte. Lad os sige, at vi har rødderne til en andengradsligning
Det omvendte problem er dette: skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder.
Der er 2 måder at løse dette problem på.
Da er ligningens rødder, altså 
er en andengradsligning, hvis rødder er givet tal. Lad os nu åbne parenteserne og kontrollere:
Dette var den første måde, hvorpå vi skabte en andengradsligning med givne rødder, som ikke har andre rødder, da enhver andengradsligning højst har to rødder.
Denne metode involverer brugen af den omvendte Vieta-sætning.
Hvis er ligningens rødder, så opfylder de betingelsen om, at .
For den reducerede andengradsligning 
, , dvs. i dette tilfælde, og .
Således har vi lavet en andengradsligning, der har de givne rødder.
Opgave nr. 2
Det er nødvendigt at reducere fraktionen.
Vi har et trinomium i tælleren og et trinomium i nævneren, og trinomialerne kan eller kan ikke være faktoriseret. Hvis både tælleren og nævneren er faktoriseret, så kan der blandt dem være lige store faktorer, der kan reduceres.
Først og fremmest skal du faktorisere tælleren.
Først skal du kontrollere, om denne ligning kan faktoriseres, lad os finde diskriminanten. Da tegnet afhænger af produktet (skal være mindre end 0), i dette eksempel, dvs. den givne ligning har rødder.
For at løse bruger vi Vietas sætning:
I dette tilfælde, da vi har at gøre med rødder, vil det være ret svært blot at vælge rødderne. Men vi ser, at koefficienterne er afbalancerede, det vil sige, hvis vi antager, og erstatter denne værdi i ligningen, får vi næste system: , dvs. 5-5=0. Således har vi valgt en af rødderne til denne andengradsligning.
Vi vil lede efter den anden rod ved at erstatte det, der allerede er kendt i ligningssystemet, for eksempel, dvs. .
Således har vi fundet begge rødder af andengradsligningen og kan erstatte deres værdier i den oprindelige ligning for at faktorisere den:
Lad os huske det oprindelige problem, vi var nødt til at reducere fraktionen.
Lad os prøve at løse problemet ved at erstatte .
Det er nødvendigt ikke at glemme, at i dette tilfælde kan nævneren ikke være lig med 0, dvs.
Hvis disse betingelser er opfyldt, har vi reduceret den oprindelige brøk til formen .
Opgave nr. 3 (opgave med en parameter)
Ved hvilke værdier af parameteren er summen af rødderne af andengradsligningen
Hvis rødderne til denne ligning eksisterer, så 
, spørgsmål: hvornår.
Faktorering af kvadratiske trinomier er en af de skoleopgaver, som alle står over for før eller siden. Hvordan gør man det? Hvad er formlen for faktorisering af et kvadratisk trinomium? Lad os finde ud af det trin for trin ved hjælp af eksempler.
Generel formel
Kvadratiske trinomialer faktoriseres ved at løse en andengradsligning. Dette er et simpelt problem, som kan løses ved flere metoder - ved at finde diskriminanten, ved hjælp af Vietas sætning, er der også en grafisk løsning. De to første metoder studeres i gymnasiet.
Den generelle formel ser sådan ud:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritme til at udføre opgaven
For at faktorisere kvadratiske trinomier skal du kende Vitas sætning, have et løsningsprogram ved hånden, kunne finde en løsning grafisk eller lede efter rødder til en andengradsligning ved hjælp af diskriminantformlen. Hvis et kvadratisk trinomium er givet, og det skal faktoriseres, er algoritmen som følger:
1) Sæt lighedstegn mellem det oprindelige udtryk og nul for at opnå en ligning.
2) Medbring lignende vilkår(hvis der er et sådant behov).
3) Find rødderne ved hjælp af en hvilken som helst kendt metode. Grafisk metode Det er bedre at bruge det, hvis det er kendt på forhånd, at rødderne er heltal og små tal. Det skal huskes, at antallet af rødder er lig med den maksimale grad af ligningen, det vil sige, at andengradsligningen har to rødder.
4) Erstat værdien x til udtryk (1).
5) Nedskriv faktoriseringen af kvadratiske trinomier.
Eksempler
Øvelse giver dig mulighed for endelig at forstå, hvordan denne opgave udføres. Eksempler illustrerer faktoriseringen af et kvadratisk trinomium:
det er nødvendigt at udvide udtrykket:
Lad os ty til vores algoritme:
1) x 2 -17x+32=0
2) lignende vilkår reduceres
3) ved at bruge Vietas formel er det svært at finde rødder til dette eksempel, så det er bedre at bruge udtrykket for diskriminanten:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Lad os erstatte de rødder, vi fandt i den grundlæggende formel for nedbrydning:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Så vil svaret være sådan:
x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)
Lad os kontrollere, om løsningerne fundet af diskriminanten svarer til Vieta-formlerne:
14,845 . 2,155=32
For disse rødder anvendes Vietas sætning, de blev fundet korrekt, hvilket betyder, at den faktorisering, vi opnåede, også er korrekt.
På samme måde udvider vi 12x 2 + 7x-6.
x 1 = -7+(337) 1/2
x 2 = -7-(337)1/2
I det foregående tilfælde var løsningerne ikke heltal, men reelle tal, som er nemme at finde, hvis du har en lommeregner foran dig. Lad os nu se på mere komplekst eksempel, hvor rødderne vil være komplekse: faktor x 2 + 4x + 9. Ved at bruge Vietas formel kan rødderne ikke findes, og diskriminanten er negativ. Rødderne vil være på det komplekse plan.
D=-20
Ud fra dette får vi de rødder, der interesserer os -4+2i*5 1/2 og -4-2i * 5 1/2 siden (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.
Vi opnår den ønskede nedbrydning ved at erstatte rødderne i den generelle formel.
Et andet eksempel: du skal faktorisere udtrykket 23x 2 -14x+7.
Vi har ligningen 23x 2 -14x+7 =0
D = -448
Det betyder, at rødderne er 14+21.166i og 14-21.166i. Svaret vil være:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Lad os give et eksempel, der kan løses uden hjælp fra en diskriminant.
Lad os sige, at vi skal udvide andengradsligningen x 2 -32x+255. Det kan naturligvis også løses ved hjælp af en diskriminant, men i dette tilfælde er det hurtigere at finde rødderne.
x 1 = 15
x 2 = 17
Midler x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).
Faktorering af et kvadratisk trinomium kan være nyttig ved løsning af uligheder fra opgave C3 eller problem med parameter C5. Også mange B13-ordproblemer vil blive løst meget hurtigere, hvis du kender Vietas sætning.
Denne teorem kan selvfølgelig betragtes ud fra 8. klasses perspektiv, hvor den undervises for første gang. Men vores opgave er at forberede os godt til Unified State Exam og lære at løse eksamensopgaver så effektivt som muligt. Derfor overvejer denne lektion en tilgang lidt anderledes end skolens.
Formel for ligningens rødder ved hjælp af Vietas sætning Mange mennesker ved (eller i det mindste har set):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
hvor `a, b` og `c` er koefficienterne for det kvadratiske trinomium `ax^2+bx+c`.
For at lære, hvordan du nemt kan bruge sætningen, lad os forstå, hvor det kommer fra (dette vil faktisk gøre det nemmere at huske).
Lad os få ligningen `ax^2+ bx+ c = 0`. For yderligere bekvemmelighed skal du dividere det med `a` og få `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Sådan en ligning kaldes en reduceret andengradsligning.
Vigtig lektionside: ethvert kvadratisk polynomium, der har rødder, kan udvides i parentes. Lad os antage, at vores kan repræsenteres som `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, hvor `k` og ` l` - nogle konstanter.
Lad os se, hvordan parenteserne åbner sig:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Således er `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Dette er lidt anderledes end den klassiske fortolkning Vietas sætning- i den leder vi efter ligningens rødder. Jeg foreslår at lede efter vilkår for konsolnedbrydning- på denne måde behøver du ikke huske minus fra formlen (hvilket betyder `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Det er nok at vælge to sådanne tal, hvis sum er lig med den gennemsnitlige koefficient, og produktet er lig med det frie udtryk.
Hvis vi har brug for en løsning til ligningen, så er det indlysende: rødderne `x=-k` eller `x=-l` (da i disse tilfælde vil en af parenteserne være nul, hvilket betyder at hele udtrykket vil være nul ).
Jeg vil vise dig algoritmen som et eksempel: Sådan udvides et kvadratisk polynomium i parentes.
Eksempel et. Algoritme til faktorisering af et kvadratisk trinomium
Stien, vi har, er en kvadrant trinomial `x^2+5x+4`.
Den reduceres (koefficienten for `x^2` er lig med én). Han har rødder. (For at være sikker kan du estimere diskriminanten og sikre dig, at den er større end nul.)
Yderligere trin (du skal lære dem ved at fuldføre alle træningsopgaver):
- Udfyld følgende indtastning: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ I stedet for prikker, lad ledig plads, vi tilføjer passende tal og tegn der.
- Se alt mulige muligheder, hvordan kan du dekomponere tallet '4' til produktet af to tal. Vi får par af "kandidater" til rødderne af ligningen: `2, 2` og `1, 4`.
- Find ud af hvilket par du kan få gennemsnitskoefficienten fra. Det er åbenbart `1, 4`.
- Skriv $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Næste trin er at placere skilte foran de indsatte tal.
Hvordan kan man forstå og for altid huske, hvilke tegn der skal vises før tallene i parentes? Prøv at åbne dem (parenteser). Koefficienten før `x` til den første potens vil være `(± 4 ± 1)` (vi kender ikke tegnene endnu - vi skal vælge), og den skal være lig med `5`. Der vil naturligvis være to plusser $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Udfør denne operation flere gange (hej, træningsopgaver!) og flere problemer dette vil aldrig ske.
Hvis du skal løse ligningen `x^2+5x+4`, så bliver det ikke svært at løse den nu. Dens rødder er `-4, -1`.
Eksempel to. Faktorisering af et kvadratisk trinomium med koefficienter af forskellige fortegn
Lad os løse ligningen `x^2-x-2=0`. Umiddelbart er diskriminanten positiv.
Vi følger algoritmen.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Der er kun én faktorisering af to til heltalsfaktorer: `2 · 1`.
- Vi springer pointen over – der er ikke noget at vælge imellem.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Produktet af vores tal er negativt (`-2` er det frie led), hvilket betyder, at et af dem vil være negativt, og det andet vil være positivt.
Da deres sum er lig med `-1` (koefficienten for `x`), så vil `2` være negativ (den intuitive forklaring er, at to er det største af de to tal, det vil "trække" stærkere i negativ retning). Vi får $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Tredje eksempel. Faktorering af et kvadratisk trinomium
Ligningen er `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Dekomponering af 84 til heltalsfaktorer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Da vi skal have forskellen (eller summen) af tallene til at være 5, er parret `7, 12` passende.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Håber, udvidelse af dette kvadratiske trinomium i parentes Det er klart.
Hvis du har brug for en løsning til en ligning, er den her: `12, -7`.
Træningsopgaver
Jeg gør dig opmærksom på et par eksempler, som er nemme at lave løses ved hjælp af Vietas sætning.(Eksempler taget fra magasinet "Mathematics", 2002.)
- "x^2+x-2=0".
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Et par år efter at artiklen blev skrevet, dukkede en samling på 150 opgaver til nedbrydning op kvadratisk polynomium ved Vietas sætning.
Like og stil spørgsmål i kommentarerne!
Verden er fordybet i et stort antal tal. Eventuelle beregninger sker med deres hjælp.
Folk lærer tal for at undgå at blive bedraget senere i livet. Det tager enormt lang tid at blive uddannet og finde ud af dit eget budget.
Matematik er en eksakt videnskab, der spiller stor rolle i livet. I skolen studerer børn tal og derefter handlinger på dem.
Operationer på tal er helt forskellige: multiplikation, ekspansion, addition og andre. Udover simple formler bruges også mere komplekse handlinger i matematikstudiet. Der er et stort antal formler, der kan bruges til at finde ud af eventuelle værdier.
I skolen, så snart algebra dukker op, tilføjes forenklingsformler til elevens liv. Der er ligninger, hvor der er to ukendte tal, men find på en enkel måde vil ikke virke. Et trinomial er en kombination af tre monomialer ved hjælp af enkel metode subtraktion og addition. Trinomialet løses ved hjælp af Vietas sætning og diskriminanten.
Formel til faktorisering af et kvadratisk trinomium
Der er to rigtige og simple løsninger eksempel:
- diskriminant;
- Vietas sætning.
Et kvadratisk trinomium har en ukendt kvadrat og også et tal uden kvadrat. Den første mulighed for at løse problemet bruger Vietas formel. Dette er en simpel formel, hvis de tal, der går forud for det ukendte, vil være minimumsværdien.
For andre ligninger, hvor et tal går forud for det ukendte, skal ligningen løses gennem diskriminanten. Dette er en mere kompleks løsning, men diskriminanten bruges meget oftere end Vietas sætning.
I første omgang for at finde alle ligningsvariable det er nødvendigt at hæve eksemplet til 0. Løsningen på eksemplet kan tjekkes, og du kan finde ud af, om tallene er justeret korrekt.
Diskriminerende
1. Det er nødvendigt at sidestille ligningen med 0.
2. Hvert tal før x vil blive kaldt tallene a, b, c. Da der ikke er noget tal før det første kvadrat x, er det lig med 1.
3. Nu begynder løsningen af ligningen med diskriminanten:
4. Nu har vi fundet diskriminanten og finder to x. Forskellen er, at i det ene tilfælde vil b blive indledt af et plus, og i det andet af et minus:
5. Ved at løse to tal blev resultaterne -2 og -1. Erstat i den oprindelige ligning:
6. I dette eksempel blev det til to korrekte muligheder. Hvis begge løsninger passer, så er hver af dem sande.
Mere komplekse ligninger løses også ved hjælp af diskriminanten. Men hvis selve diskriminantværdien er mindre end 0, så er eksemplet forkert. Ved søgning er diskriminanten altid ved roden, og en negativ værdi kan ikke være ved roden.
Vietas sætning
Det bruges til at løse lette opgaver, hvor det første x ikke er forudgået af et tal, det vil sige a=1. Hvis muligheden matcher, udføres beregningen ved hjælp af Vietas sætning.
At løse ethvert trinomium det er nødvendigt at hæve ligningen til 0. De første trin i diskriminanten og Vietas sætning er ikke anderledes.
2. Nu begynder forskellene mellem de to metoder. Vietas teorem bruger ikke kun "tør" beregning, men også logik og intuition. Hvert tal har sit eget bogstav a, b, c. Sætningen bruger summen og produktet af to tal.
Husk! Tallet b har altid det modsatte fortegn, når det tilføjes, men tallet c forbliver uændret!
Erstatning af dataværdierne i eksemplet , vi får:
3. Ved hjælp af logikkens metode erstatter vi de bedst egnede tal. Lad os overveje alle løsningsmuligheder:
- Tallene er 1 og 2. Når vi lægges sammen, får vi 3, men hvis vi ganger, får vi ikke 4. Passer ikke.
- Værdi 2 og -2. Når det ganges, vil det være -4, men når det lægges til, viser det sig at være 0. Ikke egnet.
- Nummer 4 og -1. Da multiplikation involverer en negativ værdi, betyder det, at et af tallene vil være negativt. Velegnet til at addere og gange. Korrekt mulighed.
4. Tilbage er blot at tjekke ved at lægge tallene ud og se, om den valgte mulighed er korrekt.
5. Takket være online-tjek lærte vi, at -1 ikke passer til betingelserne i eksemplet, og derfor er en forkert løsning.
Ved tilføjelse negativ værdi i eksemplet skal du sætte tallet i parentes.
Der vil altid være i matematik simple opgaver og kompleks. Videnskaben selv omfatter en række problemer, sætninger og formler. Hvis du forstår og anvender viden korrekt, vil eventuelle vanskeligheder med beregninger være trivielle.
Matematik kræver ikke konstant memorering. Du skal lære at forstå løsningen og lære flere formler. Gradvist, ifølge logiske konklusioner, er det muligt at løse lignende problemer og ligninger. Sådan en videnskab kan ved første øjekast virke meget vanskelig, men kaster man sig ud i tallenes og problemernes verden, så vil synet ændre sig dramatisk i bedre side.
Tekniske specialer forbliv altid den mest eftertragtede i verden. Nu i verden moderne teknologier, matematik er blevet en uundværlig egenskab for ethvert felt. Vi skal altid huske gavnlige egenskaber matematik.
Udvidelse af et trinomium ved hjælp af en parentes
Ud over at løse de sædvanlige metoder er der en anden - nedbrydning i parentes. Anvendes ved hjælp af Vieta-formlen.
1. Sammenlign ligningen med 0.
økse 2 +bx+c= 0
2. Ligningens rødder forbliver de samme, men i stedet for nul bruger de nu ekspansionsformler i parentes.
økse 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)
2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)
4. Løsning x=-1, x=3
