Tizedespontos számjegy. Műveletek tizedesjegyekkel

Ezt az anyagot olyan fontos témának fogunk szentelni, mint a tizedes törtek. Először is határozzuk meg az alapvető definíciókat, mondjunk példákat és időzzünk el a tizedes jelölés szabályainál, valamint hogy mik a tizedes törtek számjegyei. Ezután kiemeljük a főbb típusokat: véges és végtelen, periodikus és nem periódusos törtek. Az utolsó részben megmutatjuk, hogyan helyezkednek el a törtszámoknak megfelelő pontok a koordinátatengelyen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mi a törtszámok decimális jelölése

Az úgynevezett decimális jelölés törtszámok természetes és törtszámokhoz is használható. Úgy néz ki, mint egy két vagy több számból álló halmaz, köztük vesszővel.

A tizedesvesszőre azért van szükség, hogy az egész részt elválassza a tört résztől. A tizedes tört utolsó számjegye általában nem nulla, kivéve, ha a tizedespont közvetlenül az első nulla után jelenik meg.

Milyen példák vannak a tört számokra decimális jelölésben? Ez lehet 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 stb.

Egyes tankönyvekben vessző helyett pont használatot találhatunk (5. 67, 6789. 1011 stb.) Ez a lehetőség egyenértékűnek tekinthető, de inkább az angol nyelvű forrásokra jellemző.

A tizedesjegyek meghatározása

A fenti tizedesjegy-fogalom alapján a tizedes törtek alábbi definícióját fogalmazhatjuk meg:

1. definíció

Tizedesjegyek a törtszámokat decimális jelöléssel ábrázolják.

Miért kell törteket írnunk ebben a formában? Ez bizonyos előnyöket ad a közönségesekkel szemben, például egy tömörebb jelölést, különösen olyan esetekben, amikor a nevező 1000, 100, 10 stb., vagy vegyes számot tartalmaz. Például a 6 10 helyett megadhatunk 0,6-ot, 25 helyett 10000 - 0,0023, 512 helyett 3 100 - 512,03.

Külön anyagban lesz szó arról, hogyan kell helyesen ábrázolni a tízes, százas, ezres nevezőben lévő közönséges törteket decimális formában.

Hogyan kell helyesen olvasni a tizedesjegyeket

Van néhány szabály a decimális jelölések olvasására. Így azokat a tizedes törteket, amelyek megfelelnek a szokásos közönséges megfelelőiknek, szinte ugyanúgy olvassuk, de az elején a „nulla tized” szót kell hozzáadni. Így a 0, 14 bejegyzés, amely 14 100-nak felel meg, „nulla pont tizennégy századdal” olvasható.

Ha egy tizedes tört vegyes számhoz társítható, akkor azt ugyanúgy olvassuk, mint ezt a számot. Tehát, ha megvan az 56 002 tört, ami 56 2 1000-nek felel meg, akkor ezt a bejegyzést „ötvenhat pont két ezrelék”-nek olvassuk.

A tizedes törtben lévő számjegy jelentése attól függ, hogy hol található (ugyanúgy, mint a természetes számok esetében). Tehát a 0,7 tizedes törtben a hét a tized, a 0,0007 a tízezred, a 70 000,345 törtben pedig héttízezer egész egységet jelent. Így a tizedes törtben ott van a helyiérték fogalma is.

A tizedesvessző előtt elhelyezkedő számjegyek nevei hasonlóak a természetes számokban létezőkhöz. Az ezután elhelyezkedők nevei jól láthatóak a táblázatban:

Nézzünk egy példát.

1. példa

Megvan a 43 098 tizedes tört. A tízes helyen négyes, az egységeknél egy hármas, a tizedik helyen nulla, a századik helyen 9 és az ezredik helyen 8 van.

Szokás szerint a tizedestörtek rangsorait elsőbbség szerint megkülönböztetni. Ha balról jobbra haladunk a számokon, akkor a legjelentősebbtől a legkevésbé jelentősig haladunk. Kiderült, hogy a százak idősebbek a tízeseknél, a milliórészek pedig fiatalabbak a századoknál. Ha azt az utolsó tizedes törtet vesszük, amelyet fent példaként idéztünk, akkor a legmagasabb vagy legmagasabb hely a százas hely, a legalacsonyabb vagy legalacsonyabb hely pedig a 10 ezredik hely lesz.

Bármely tizedes tört egyedi számjegyekre bővíthető, azaz összegként jeleníthető meg. Ezt a műveletet ugyanúgy hajtjuk végre, mint a természetes számoknál.

2. példa

Próbáljuk meg az 56, 0455 törtet számjegyekre bővíteni.

Kapunk:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ha emlékszünk az összeadás tulajdonságaira, akkor ezt a törtet más formában is ábrázolhatjuk, például 56 + 0, 0455 vagy 56, 0055 + 0, 4 stb. összegként.

Mik azok a tizedesjegyek?

Az összes tört, amiről fentebb beszéltünk, véges tizedesjegy. Ez azt jelenti, hogy a tizedesvessző utáni számjegyek száma véges. Vezessük le a definíciót:

1. definíció

A záró tizedesjegyek a tizedestört típusok, amelyeknek véges számú tizedesjegye van a tizedesjel után.

Ilyen törtek például a 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 stb.

Ezen törtek bármelyike ​​átváltható vegyes számmá (ha törtrészük értéke nullától eltérő), vagy közönséges törté (ha az egész rész nulla). Elköteleztük magunkat annak, hogy ez hogyan történik külön anyag. Itt csak néhány példát mutatunk be: például lecsökkenthetjük az 5, 63 végső tizedes törtet 5 63 100-ra, a 0, 2 pedig 2 10-nek felel meg (vagy bármely más, vele egyenlő törtnek, pl. például 4 20 vagy 1 5.)

De fordított folyamat, azaz felvétel közönséges tört decimális formában nem mindig hajtható végre. Tehát az 5 13 nem helyettesíthető egyenlő törttel a 100, 10 stb. nevezővel, ami azt jelenti, hogy ebből nem nyerhető végső tizedes tört.

A végtelen tizedes törtek fő típusai: periodikus és nem periodikus törtek

Fentebb jeleztük, hogy a véges törteket azért nevezzük így, mert véges számú számjegyük van a tizedesvessző után. Lehetséges azonban, hogy végtelen, ebben az esetben magukat a törteket is végtelennek nevezzük.

2. definíció

A végtelen tizedes törtek azok, amelyekben a tizedesvessző után végtelen számú számjegy van.

Nyilvánvaló, hogy az ilyen számokat egyszerűen nem lehet teljesen felírni, ezért csak egy részét jelöljük meg, majd adunk hozzá egy ellipszist. Ez a jel a tizedesjegyek sorozatának végtelen folytatását jelzi. Példák a végtelen tizedes törtekre: 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. stb.

Egy ilyen tört „farka” nemcsak véletlenszerűnek tűnő számsorozatokat tartalmazhat, hanem ugyanazon karakter vagy karaktercsoport állandó ismétlődését is. A tizedesvessző után váltakozó számokat tartalmazó törteket periodikusnak nevezzük.

3. definíció

Periodikus tizedes törtek azok a végtelen tizedes törtek, amelyekben egy számjegy vagy több számjegyből álló csoport ismétlődik a tizedesvessző után. Az ismétlődő részt a tört periódusának nevezzük.

Például a 3. tört esetében 444444…. az időszak a 4-es lesz, a 76-osnál pedig 134134134134... - a 134-es csoport.

Micsoda minimális mennyiség Megengedhető-e jelek hagyása a periódusos tört jelölésében? Periodikus törtek esetén elegendő a teljes időszakot egyszer zárójelbe írni. Tehát 3. tört, 444444…. Helyes lenne 3, (4), és 76, 134134134134... – 76, (134) számként írni.

Általánosságban elmondható, hogy a több pontot tartalmazó bejegyzések zárójelben pontosan ugyanazt jelentik: például a 0,677777 periodikus tört ugyanaz, mint a 0,6 (7) és a 0,6 (77) stb. A 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) stb. formátumú rekordok is elfogadhatók.

A hibák elkerülése érdekében egységes jelölést vezetünk be. Állapodjunk meg, hogy csak egy pontot (a lehető legrövidebb számsort) írunk fel, amely a legközelebb van a tizedesvesszőhöz, és tegyük zárójelbe.

Vagyis a fenti törtnél a fő bejegyzést 0, 6 (7)-nek fogjuk tekinteni, és például a 8-as, 9134343434 tört esetében 8-at, 91-et (34) írunk.

Ha egy közönséges tört nevezője olyan prímtényezőket tartalmaz, amelyek nem egyenlők 5-tel és 2-vel, akkor tizedesjegyre konvertálva végtelen törteket eredményeznek.

Elvileg bármilyen véges törtet felírhatunk periodikusnak. Ehhez csak végtelen számú nullát kell hozzáadnunk a jobb oldalra. Hogy néz ki a felvételen? Tegyük fel, hogy megvan a végső tört 45, 32. Periodikus formában ez így fog kinézni: 45, 32 (0). Ez a művelet azért lehetséges, mert ha nullákat adunk bármely tizedes tört jobb oldalához, akkor a tört ezzel egyenlő.

Különös figyelmet kell fordítani a 9-es periódusú időszakos törtekre, például 4, 89 (9), 31, 6 (9). Alternatív jelölést jelentenek a 0-s periódusú hasonló törtekre, ezért gyakran helyettesítik őket nulla ponttal rendelkező törtekkel. Ebben az esetben a következő számjegyhez hozzáadunk egyet, és a (0) zárójelben szerepel. A kapott számok egyenlősége könnyen ellenőrizhető, ha közönséges törtként ábrázoljuk őket.

Például a 8, 31 (9) frakció helyettesíthető a megfelelő 8, 32 (0) frakcióval. Vagy 4, (9) = 5, (0) = 5.

A végtelen decimális periodikus törtek utalnak racionális számok. Más szavakkal, bármely periodikus tört ábrázolható közönséges törtként, és fordítva.

Vannak olyan törtek is, amelyekben nincs végtelenül ismétlődő sorozat a tizedesvessző után. Ebben az esetben ezeket nem periodikus törteknek nevezzük.

4. definíció

A nem periódusos tizedes törtek azok a végtelen tizedes törtek, amelyek nem tartalmaznak pontot a tizedesvessző után, pl. ismétlődő számcsoport.

Néha a nem periódusos törtek nagyon hasonlítanak a periodikusokhoz. Például a 9, 03003000300003 ... első pillantásra úgy tűnik, hogy pontja van, de részletes elemzés tizedesjegyek megerősítik, hogy ez még mindig nem periodikus tört. Nagyon óvatosnak kell lenni az ilyen számokkal.

A nem periodikus törteket irracionális számok közé soroljuk. Nem alakítják át közönséges törtekké.

Alapműveletek tizedesjegyekkel

A tizedes törtekkel a következő műveletek hajthatók végre: összehasonlítás, kivonás, összeadás, osztás és szorzás. Nézzük mindegyiket külön-külön.

A tizedesjegyek összehasonlítása lecsökkenthető az eredeti tizedesjegyeknek megfelelő törtek összehasonlítására. De a végtelen nem periódusos törtek nem redukálhatók ebbe a formába, és a tizedes törtek közönséges törtekké alakítása gyakran munkaigényes feladat. Hogyan hajthatunk végre egy összehasonlító műveletet gyorsan, ha ezt egy probléma megoldása közben kell megtennünk? Kényelmes a tizedes törtek számjegyenkénti összehasonlítása ugyanúgy, mint a természetes számok összehasonlítása. Ennek a módszernek külön cikket fogunk szentelni.

Néhány tizedes tört összeadásához kényelmes az oszlopösszeadás módszere, mint a természetes számok esetében. Az időszakos tizedes törtek hozzáadásához először ki kell cserélni őket közönséges törtekre, és a szabványos séma szerint kell számolni. Ha a feladat feltételei szerint végtelen nem periódusos törtet kell összeadnunk, akkor ezeket először egy bizonyos számjegyre kell kerekíteni, majd össze kell adni. Minél kisebb számjegyre kerekítünk, annál pontosabb lesz a számítás. A végtelen törtek kivonásához, szorzásához és osztásához szintén szükséges az előkerekítés.

A tizedes törtek közötti különbség megtalálása az összeadás inverze. Lényegében a kivonás segítségével találhatunk egy számot, amelynek összege a kivont törttel megadja azt a törtet, amelyet minimalizálunk. Erről részletesebben egy külön cikkben fogunk beszélni.

A tizedes törtek szorzása ugyanúgy történik, mint a természetes számok esetében. Az oszlopszámítási módszer erre is alkalmas. Ezt a műveletet a periodikus törtekkel ismét a közönséges törtek szorzására redukáljuk a már vizsgált szabályok szerint. A végtelen törteket, mint emlékszünk, a számítások előtt kerekíteni kell.

A tizedesjegyek osztásának folyamata a szorzás inverze. A feladatok megoldásánál oszlopos számításokat is alkalmazunk.

Pontos megfeleltetést hozhat létre a végső tizedes tört és a koordinátatengely egy pontja között. Találjuk ki, hogyan jelöljünk meg egy pontot a tengelyen, amely pontosan megfelel a szükséges tizedes törtnek.

Azt már tanulmányoztuk, hogyan lehet a közönséges törteknek megfelelő pontokat létrehozni, de a tizedes törteket le lehet redukálni erre a formára. Például a 14 10 közös tört megegyezik az 1-gyel, 4-gyel, tehát a megfelelő pont a pozitív irányban pontosan ugyanannyira kerül el az origóból:

Megteheti anélkül, hogy a tizedes törtet közönséges törtre cserélné, hanem a számjegyekkel történő bővítés módszerét használja. Tehát, ha meg kell jelölnünk egy pontot, amelynek koordinátája 15, 4008 lesz, akkor először ezt a számot adjuk meg 15 + 0, 4 +, 0008 összegként. Kezdésként tegyünk félre 15 egész egységnyi szegmenst pozitív irányba a visszaszámlálás elejétől, majd egy szegmens 4 tizedét, majd egy szegmens 8 tízezrelékét. Ennek eredményeként kapunk egy koordináta pontot, amely megfelel a 15, 4008 törtnek.

Végtelen tizedes tört esetén jobb ezt a módszert használni, mivel ez lehetővé teszi, hogy olyan közel kerüljön a kívánt ponthoz, amennyire csak akar. Egyes esetekben lehetséges a koordinátatengelyen lévő végtelen tört pontos megfeleltetése: például 2 = 1, 41421. . . , és ez a tört hozzárendelhető a koordináta-sugár azon pontjához, amely a 0-tól a négyzet átlójának hosszával távolodik, és amelynek oldala egy egységnyi szakasz lesz.

Ha nem egy pontot találunk a tengelyen, hanem egy ennek megfelelő tizedes törtet, akkor ezt a műveletet egy szakasz decimális mérésének nevezzük. Lássuk, hogyan kell ezt helyesen csinálni.

Tegyük fel, hogy nullából a koordinátatengely adott pontjához kell eljutnunk (vagy végtelen tört esetén a lehető legközelebb). Ehhez fokozatosan elhalasztjuk az egységszegmenseket az origótól, amíg el nem érjük a kívánt pontot. Egész szakaszok után szükség esetén tizedeket, századokat és kisebb törteket mérünk, hogy az egyezés minél pontosabb legyen. Ennek eredményeként egy tizedes törtet kaptunk, amely megfelel a koordinátatengely egy adott pontjának.

Fent mutattunk egy rajzot az M ponttal. Nézze meg még egyszer: ahhoz, hogy idáig eljusson, egy egységnyi szegmenst és annak négy tizedét kell megmérnie nulláról, mivel ez a pont az 1, 4 tizedes törtnek felel meg.

Ha a tizedesmérés során nem tudunk eljutni egy ponthoz, akkor az azt jelenti, hogy az egy végtelen tizedes törtnek felel meg.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ez a cikk arról szól tizedesjegyek. Itt megértjük a törtszámok tizedes jelölését, bemutatjuk a tizedestört fogalmát, és példákat adunk a tizedes törtekre. Ezután a tizedes törtek számjegyeiről fogunk beszélni, és megadjuk a számjegyek nevét. Ezek után a végtelen tizedes törtekre koncentrálunk, beszéljünk a periodikus és nem periódusos törtekről. Ezután felsoroljuk az alapvető műveleteket a tizedes törtekkel. Végezetül határozzuk meg a tizedes törtek helyzetét a koordinátanyalábon.

Oldalnavigáció.

Törtszám decimális jelölése

Tizedesjegyek olvasása

Ejtsünk néhány szót a tizedes törtek olvasásának szabályairól.

A megfelelő közönséges törteknek megfelelő tizedes törteket ugyanúgy olvassuk be, mint ezeket a közönséges törteket, először csak a „nulla egész szám” kerül hozzáadásra. Például a 0,12 tizedes tört a 12/100 közönséges törtnek felel meg (értsd: „tizenkét század”), ezért a 0,12 „nulla pont tizenkét századrész”ként értelmezhető.

A vegyes számoknak megfelelő tizedes törteket a rendszer pontosan ugyanúgy olvassa be, mint ezeket a vegyes számokat. Például az 56.002 tizedes tört vegyes számnak felel meg, így az 56.002 tizedes tört „ötvenhat pont két ezrelék”-ként értelmezhető.

Helyek tizedesjegyben

A tizedes törtek írásánál, valamint a természetes számok írásánál az egyes számjegyek jelentése a helyzetétől függ. Valójában a 3-as szám a 0,3 tizedes törtben három tizedet, a tizedes törtben 0,0003 - három tízezredet, a tizedes törtben pedig 30 000,152 - három tízezret jelent. Szóval beszélhetünk róla tizedes jel, valamint a természetes számok számjegyeiről.

A tizedes törtben lévő számjegyek neve a tizedesjegyig teljesen egybeesik a természetes számok számjegyeinek nevével. A tizedesvessző utáni tizedeshelyek neve pedig a következő táblázatból látható.

Például a 37.051 tizedes törtben a 3-as számjegy a tízes, a 7-es az egységek helyén, a 0 a tizedes helyen, az 5-ös a századik helyen, az 1-es pedig az ezredhelyen van.

A tizedes törtek helyeinek elsőbbsége is különbözik. Ha egy tizedes tört írásakor balról jobbra haladunk számjegyről számjegyre, akkor innen lépünk idősek Nak nek junior rangok. Például a százas hely régebbi, mint a tizedes hely, és a milliós hely alacsonyabb, mint a százas hely. Adott utolsó tizedes törtben beszélhetünk a fő- és mellékjegyekről. Például tizedes törtben 604,9387 idősebb (legmagasabb) a hely a százas hely, és junior (legalacsonyabb)- tízezres számjegy.

A tizedes törteknél a számjegyekké történő bővítés megtörténik. Ez hasonló a természetes számok számjegyeivé történő kiterjesztéséhez. Például a 45,6072 tizedesjegyekre történő kiterjesztése a következő: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A tizedes tört számjegyekre bontásából származó összeadás tulajdonságai pedig lehetővé teszik, hogy továbblépjen ennek a tizedes törtnek a többi megjelenítésére, például 45,6072=45+0,6072 vagy 45,6072=40,6+5,007+0,0002 vagy 45,6072=724+5072 0.6.

Záró tizedesjegyek

Eddig csak a tizedes törtekről beszéltünk, amelyek jelölésében a tizedesvessző után véges számú számjegy található. Az ilyen törteket véges tizedesjegyeknek nevezzük.

Meghatározás.

Záró tizedesjegyek- Ezek tizedes törtek, amelyek rekordjai véges számú karaktert (számjegyet) tartalmaznak.

Íme néhány példa a végső tizedes törtekre: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Azonban nem minden tört ábrázolható utolsó tizedesjegyként. Például az 5/13 tört nem helyettesíthető egyenlő törttel a 10, 100, ... nevezők egyikével, ezért nem konvertálható végső tizedes törtté. Erről bővebben az elmélet részben fogunk beszélni, a közönséges törteket tizedesjegyekké alakítva.

Végtelen tizedesjegyek: periódusos törtek és nem periódusos törtek

Ha a tizedesvessző után tizedes törtet írunk, akkor feltételezhetjük, hogy végtelen számú számjegy lehet. Ebben az esetben az úgynevezett végtelen tizedes törteket fogjuk figyelembe venni.

Meghatározás.

Végtelen tizedesjegyek- Ezek tizedes törtek, amelyek végtelen számú számjegyet tartalmaznak.

Nyilvánvaló, hogy végtelen tizedes törteket nem írhatunk fel teljes formában, ezért rögzítésükben a tizedesvessző után csak bizonyos véges számú számjegyre szorítkozunk, és egy végtelenül folytatódó számjegysorozatot jelző ellipszist teszünk. Íme néhány példa a végtelen tizedes törtekre: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ha alaposan megnézzük az utolsó két végtelen tizedes törtet, akkor a 2,111111111... törtben jól látható a végtelenül ismétlődő 1-es szám, a 69.74152152152... törtben pedig a harmadik tizedesjegytől kezdve ismétlődő számcsoport Az 1, 5 és 2 jól látható. Az ilyen végtelen tizedes törteket periodikusnak nevezzük.

Meghatározás.

Periodikus tizedesjegyek(vagy egyszerűen periodikus törtek) végtelenített tizedes törtek, amelyek rögzítésében egy bizonyos tizedesjegytől kezdve valamilyen szám vagy számcsoport vég nélkül ismétlődik, amit ún. a tört időszaka.

Például a 2,111111111... periodikus tört periódusa az 1-es számjegy, a 69,74152152152... tört periódusa pedig a 152 alakú számjegyek csoportja.

A végtelen periodikus tizedes törtek esetében a jelölés speciális formáját alkalmazzák. A rövidség kedvéért megállapodtunk abban, hogy egyszer felírjuk az időszakot, zárójelben. Például a 2.111111111... periodikus tört 2,(1) , a 69.74152152152... periodikus tört pedig 69.74(152) .

Érdemes megjegyezni, hogy ugyanahhoz a periodikus tizedes törthez különböző periódusokat adhat meg. Például a 0,73333... periodikus tizedes tört 0,7(3) törtnek tekinthető 3-as periódussal, és 0,7(33) törtnek is 33-as periódussal, és így tovább, 0,7(333), 0,7 (3333), ... Megnézheti a 0,73333 ... periodikus törtet is így: 0,733(3), vagy így 0,73(333), stb. Itt a félreérthetőségek és eltérések elkerülése érdekében megállapodunk abban, hogy a tizedes tört periódusának tekintjük az ismétlődő számjegyek lehetséges sorozata közül a legrövidebbet, és a tizedesvesszőhöz legközelebbi pozíciótól kezdve. Vagyis a 0,73333... tizedes tört periódusát egy 3-as számjegyből álló sorozatnak tekintjük, és a periodicitás a tizedesvessző utáni második helyről indul, azaz 0,73333...=0,7(3). Egy másik példa: a 4,7412121212... periodikus tört 12-es periódusú, a periodicitás a tizedesvessző utáni harmadik számjegytől kezdődik, azaz 4,7412121212...=4,74(12).

A végtelen tizedes törteket úgy kapjuk meg, hogy azokat a közönséges törteket tizedes törtekre konvertáljuk, amelyek nevezői 2-től és 5-től eltérő prímtényezőket tartalmaznak.

Itt érdemes megemlíteni a 9-es periódusú periodikus törteket. Mondjunk példákat ilyen törtekre: 6.43(9) , 27,(9) . Ezek a törtek a 0 periódusú periodikus törtek másik jelölése, és általában 0 periódusú periodikus törtekre cserélik őket. Ehhez a 9. periódus helyére 0. periódus lép, a következő legmagasabb számjegy értéke pedig eggyel nő. Például a 7.24(9) forma 9. periódusú törtje helyébe a 7.25(0) forma 0. periódusú időszakos törtje vagy egy ezzel megegyező utolsó tizedes tört 7.25 kerül. Egy másik példa: 4,(9)=5,(0)=5. A 9. periódusú tört és a hozzá tartozó tört 0. periódussal való egyenlősége könnyen megállapítható, miután ezeket a tizedes törteket egyenlő közönséges törtekre cseréljük.

Végül nézzük meg közelebbről a végtelen tizedes törteket, amelyek nem tartalmaznak végtelenül ismétlődő számjegysorozatot. Nem periodikusnak nevezik őket.

Meghatározás.

Nem ismétlődő tizedesjegyek(vagy egyszerűen nem periodikus törtek) végtelen tizedes törtek, amelyeknek nincs pontjuk.

Néha a nem periódusos törtek alakja hasonló a periodikus törtek alakjához, például a 8.02002000200002... egy nem periódusos tört. Ezekben az esetekben különösen óvatosnak kell lennie, hogy észrevegye a különbséget.

Vegye figyelembe, hogy a nem periodikus törtek nem alakulnak át közönséges törtekké; a végtelen nem periodikus tizedes törtek irracionális számokat jelentenek.

Műveletek tizedesjegyekkel

A tizedes törtekkel végzett műveletek egyike az összehasonlítás, és a négy alapvető aritmetikai függvény is meghatározásra kerül. műveletek tizedesjegyekkel: összeadás, kivonás, szorzás és osztás. Tekintsük külön a tizedes törtekkel végzett műveleteket.

Tizedesjegyek összehasonlítása alapvetően az összehasonlított tizedes törteknek megfelelő közönséges törtek összehasonlításán alapul. A tizedes törtek közönséges törtekké alakítása azonban meglehetősen munkaigényes folyamat, és a végtelen nem periódusos törteket nem lehet közönséges törtként ábrázolni, ezért célszerű a tizedes törtek hely szerinti összehasonlítását használni. A tizedes törtek hely szerinti összehasonlítása hasonló a természetes számok összehasonlításához. Részletesebb információkért javasoljuk a cikk tanulmányozását: tizedes törtek összehasonlítása, szabályok, példák, megoldások.

Térjünk át a következő lépésre - tizedesjegyek szorzata. A véges tizedes törtek szorzása a tizedes törtek kivonásához hasonlóan történik, szabályok, példák, megoldások a természetes számok oszlopával való szorzásra. Periodikus törtek esetén a szorzás a közönséges törtek szorzására redukálható. A végtelen nem periódusos tizedes törtek szorzata pedig kerekítésük után véges tizedes törtek szorzására redukálódik. Javasoljuk a cikk anyagának további tanulmányozását: tizedes törtek szorzása, szabályok, példák, megoldások.

Tizedesjegyek a koordináta-sugáron

A pontok és a tizedesjegyek között egy az egyhez egyezés van.

Nézzük meg, hogyan épülnek fel a koordinátasugár azon pontjai, amelyek megfelelnek egy adott tizedes törtnek.

A véges tizedes törteket és a végtelen periodikus tizedes törteket lecserélhetjük egyenlő közönséges törtekre, majd a megfelelő közönséges törteket a koordinátasugáron megszerkeszthetjük. Például az 1,4 tizedes tört a 14/10 közönséges törtnek felel meg, így az 1,4 koordinátájú pontot pozitív irányban 14 szegmenssel távolítják el az origótól, ami egy egységszegmens tizedének felel meg.

Egy adott tizedes tört számjegyekre bontásától kezdve a tizedes törtek jelölhetők egy koordinátasugáron. Például fel kell építenünk egy 16.3007 koordinátájú pontot, hiszen 16.3007=16+0.3+0.0007, akkor a koordináták origójából 16 egységnyi szegmens szekvenciális lerakásával juthatunk el idáig, 3 olyan szegmensből, amelyek hossza egy tizeddel egyenlő. egy egység és 7 szegmens, amelyek hossza megegyezik az egységszakasz tízezrelékével.

Ez a módszer a tizedes számok koordinátasugáron történő létrehozására lehetővé teszi, hogy olyan közel kerüljön a végtelen tizedes törtnek megfelelő ponthoz, amennyire csak akar.

Néha lehetséges a végtelen tizedes törtnek megfelelő pont pontos ábrázolása. Például, , akkor ez a végtelen tizedes tört 1,41421... pontnak felel meg koordináta sugár, amelyet az 1 egységnyi szegmens oldalával rendelkező négyzet átlójának hosszával távolítunk el az origótól.

A koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes tört megszerzésének fordított folyamata az ún. egy szegmens decimális mérése. Kitaláljuk, hogyan történik.

Legyen a feladatunk, hogy az origóból eljussunk a koordinátaegyenes adott pontjába (vagy végtelenül megközelítsük, ha nem tudunk eljutni). Egy szegmens decimális mérésével szekvenciálisan leválaszthatunk az origóból tetszőleges számú egységszakaszt, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység tizedével, majd olyan szegmenseket, amelyek hossza egyenlő az egység századával stb. Az egyes hosszúságú szakaszok számának rögzítésével megkapjuk a koordinátasugár adott pontjának megfelelő tizedes törtet.

Például a fenti ábra M pontjához való eljutáshoz félre kell tenni 1 egységnyi szegmenst és 4 szegmenst, amelyek hossza megegyezik az egység tizedével. Így az M pont az 1.4 tizedes törtnek felel meg.

Nyilvánvaló, hogy a koordináta sugár azon pontjai, amelyek a tizedesmérés során nem érhetők el, végtelen tizedes törteknek felelnek meg.

Bibliográfia.

• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Utasítás

Tanuld meg a tizedesjegyek konvertálását törtek a közönségeseknek. Számolja meg, hány karakter van vesszővel elválasztva. Egy számjegy a tizedesvesszőtől jobbra azt jelenti, hogy a nevező 10, kettő azt jelenti, hogy 100, három azt jelenti, hogy 1000, és így tovább. Például a 6,8 tizedes tört olyan, mint a „hat pontos nyolc”. Átalakításkor először írja be az egész egységek számát - 6. Írjon a nevezőbe 10. A számlálóban megjelenik a 8. Kiderül, hogy 6,8 = 6 8/10. Ne feledje a rövidítés szabályait. Ha a számláló és a nevező osztható ugyanazzal a számmal, akkor a tört ezzel csökkenthető közös osztó. BAN BEN ebben az esetben ez a szám 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Próbáljon tizedesjegyeket hozzáadni törtek. Ha ezt egy oszlopban teszi, akkor legyen óvatos. Az összes szám számjegyének szigorúan egymás alatt kell lennie - vessző alatt. Az összeadási szabályok pontosan ugyanazok, mint a művelet során. Adjon hozzá még egy tizedes törtet ugyanahhoz a 6,8-hoz - például 7,3. Írj egy hármast a nyolc alá, egy vesszőt a vessző alá, és egy hetest a hatos alá. Kezdje az összeadást az utolsó számjegytől. 3+8=11, azaz írj fel 1-et, emlékezz 1-re. Ezután adj hozzá 6+7-et, 13-at kapsz. Add hozzá, ami eszedbe jutott, és írd le az eredményt - 14.1.

A kivonás ugyanezt az elvet követi. A számjegyeket írja egymás alá, a vesszőt pedig a vessző alá. Mindig használja útmutatóként, különösen, ha a minuendben utána lévő számjegyek száma kevesebb, mint a részfejben. Vonja ki a megadott számból például 2,139-et. Írja a kettőt a hat alá, az egyet a nyolc alá, a maradék két számjegyet pedig a következő számjegyek alá, amelyeket nullának jelölhetünk. Kiderült, hogy a minuend nem 6,8, hanem 6,800. Ennek a műveletnek a végrehajtásával összesen 4,661-et kap.

A negatív számokkal végzett műveleteket ugyanúgy hajtjuk végre, mint a számokkal. Hozzáadáskor a mínusz a zárójelen kívülre kerül, a zárójelben pedig a megadott számok, közéjük egy plusz kerül. A végén kiderül. Azaz a -6,8 és -7,3 összeadásakor ugyanazt az eredményt kapjuk, 14,1-et, de előtte egy „-” jellel. Ha a részrész nagyobb, mint a minuend, akkor a mínusz is kikerül a zárójelből, több a kisebbet levonják. Vonja ki a -7,3-at 6,8-ból. Alakítsa át a kifejezést a következőképpen. 6,8 - 7,3 = -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Tizedesjegyek szorzásához törtek, a vesszőt most felejtsd el. Szorozd meg őket így, egész számok állnak előtted. Ezután mindkét tényezőben számolja meg a tizedesvessző után jobbra lévő számjegyek számát. Válasszon el ugyanannyi karaktert a munkában. 6,8 és 7,3 szorzata 49,64-et kap. Vagyis a tizedesvesszőtől jobbra 2 jel lesz, míg a szorzóban és a szorzóban egy-egy.

Osszuk el a megadott törtet valamilyen egész számmal. Ez a művelet pontosan ugyanúgy történik, mint az egész számok esetében. A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg a vesszőről, és tegyünk 0-t az elejére, ha az egész egységek száma nem osztható az osztóval. Például próbálja meg ugyanazt a 6,8-at elosztani 26-tal. Tegyen 0-t az elejére, mivel a 6 kisebb, mint 26. Válasszuk el vesszővel, ekkor tizedek és századok következnek. Az eredmény körülbelül 0,26 lesz. Valójában ebben az esetben egy végtelen nem periodikus törtet kapunk, amely a kívánt pontossági fokra kerekíthető.

Két tizedes tört osztásakor használjuk azt a tulajdonságot, hogy ha az osztót és az osztót ugyanazzal a számmal szorozzuk, a hányados nem változik. Vagyis mindkettőt átalakítani törtek egész számokra, attól függően, hogy hány tizedesjegy van. Ha el akarja osztani 6,8-at 7,3-mal, csak szorozza meg mindkét számot 10-zel. Kiderült, hogy a 68-at el kell osztania 73-mal. Ha az egyik szám több tizedesjegyet tartalmaz, először egész számmá alakítsa, majd második számmá. Szorozza meg ugyanazzal a számmal. Azaz, ha 6,8-at osztunk 4,136-tal, akkor az osztalékot és az osztót ne 10-zel, hanem 1000-szeresre növeljük. Oszd el a 6800-at 1436-tal, így 4,735-öt kapsz.

102. § Előzetes pontosítások.

Az előző részben mindenféle nevezővel rendelkező törteket néztünk meg, és közönséges törteknek neveztük őket. Bármely tört érdekelt bennünket, amely a mérés vagy osztás során keletkezett, függetlenül attól, hogy milyen nevezőhöz jutottunk.

Most a törtek teljes halmazából kiemeljük a nevezővel rendelkező törteket: 10, 100, 1000, 10 000 stb., azaz olyan törteket, amelyek nevezői csak számok, amelyeket egy (1) és nullák (egy vagy több) képviselnek. ). Az ilyen törteket nevezzük decimális.

Példák a tizedes törtekre:

Korábban is találkoztunk már tizedes törtekkel, de nem jeleztünk semmilyen különleges tulajdonságot, amely azokra jellemző. Most megmutatjuk, hogy van néhány figyelemre méltó tulajdonságuk, amelyek egyszerűbbé teszik a törtekkel végzett számításokat.

103. § Tizedes tört nevező nélküli képe.

A tizedes törteket általában nem ugyanúgy írják, mint a közönséges törteket, hanem az egész számok írási szabályai szerint.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan írhatunk tizedes törtet nevező nélkül, emlékeznünk kell arra, hogyan írunk bármilyen egész számot a tizedes rendszerben. Ha például egy háromjegyű számot csak a 2-es számmal, azaz a 222-vel írunk, akkor ennek a kettőnek mindegyike különleges jelentéssel bír attól függően, hogy a számban milyen helyet foglal el. A jobb oldali első kettő egységeket, a második tízeseket, a harmadik pedig százakat jelöl. Így bármely más számjegytől balra lévő számjegy tízszer nagyobb mértékegységet jelöl, mint az előző számjegy. Ha valamelyik számjegy hiányzik, akkor a helyére nullát írunk.

Tehát egész számban az egységek a jobb oldalon az első helyen állnak, a tízesek a második helyen stb.

Most tegyük fel a kérdést, hogy az egységek milyen számjegyét kapjuk, ha például a 222 s számban vagyunk jobb Adjunk hozzá még egy számot az oldalához. A kérdés megválaszolásához figyelembe kell venni, hogy az utolsó kettő (jobbról az első) egyeseket jelöl.

Ezért ha az egységet jelölő kettő után egy kicsit hátrébb lépve más számot írunk, például 3-at, akkor az egységeket fog jelezni, tízszer kisebb, mint a korábbiak, más szóval azt fogja jelenteni tizedek egységek; az eredmény egy szám, amely 222 egész egységet és 3 tizedet tartalmaz.

A szám egész és tört része közé vesszőt szokás tenni, azaz így kell írni:

Ha ehhez a háromhoz adunk egy másik számot, például 4-et, akkor az 4-et jelent századok egy egység töredékei; a szám így fog kinézni:

és kiejtése: kétszázhuszonkettő pont harmincnégy.

Egy új számjegy, például az 5, ha ehhez a számhoz van rendelve, megadja nekünk ezredrészét: 222.345 (kétszázhuszonkét pont háromszáznegyvenöt ezrelék).

A nagyobb áttekinthetőség érdekében az egész számok és a tört számjegyek elrendezése táblázat formájában is bemutatható:

Így elmagyaráztuk, hogyan íródnak a nevező nélküli tizedes törtek. Írjunk fel néhányat ezek közül a törtek közül.

Az 5/10 tört nevező nélküli felírásához figyelembe kell venni, hogy nincs egész szám, ezért az egész számok helyét nullának kell elfoglalnia, azaz 5/10 = 0,5.

A nevező nélküli 2 9 / 100 tört így lesz írva: 2,09, azaz a tizedek helyére nullát kell tenni. Ha ezt a 0-t kihagytuk volna, teljesen más törtet kaptunk volna, mégpedig 2,9-et, azaz két egészet és kilenc tizedet.

Ez azt jelenti, hogy a tizedes törtek írásakor a hiányzó egész és tört számjegyeket nullával kell jelölni:

0,325 - nincsenek egész számok,
0,012 - nincs egész szám és nincs tized,
1,208 - nincs századrész,
0,20406 – nincsenek egész számok, nincsenek századok és tízezredek.

A tizedesvesszőtől jobbra lévő számokat tizedesjegyeknek nevezzük.

A hibák elkerülése érdekében a tizedes törtek írása során emlékezni kell arra, hogy a tizedestört képében a tizedespont után annyi szám legyen, ahány nulla lenne a nevezőben, ha ezt a törtet nevezővel írnánk, pl.

0,1 = 1/10 (egy nulla van a nevezőben és egy számjegy a tizedesvessző után);

104. § Nullák csatolása a tizedes törtekhez.

Az előző bekezdés leírta, hogyan ábrázolják a nevezők nélküli tizedes törteket. Nagyon fontos nulla van a tizedesjegyek írásakor. Minden megfelelő tizedes törtben van egy nulla az egész számok helyén, jelezve, hogy a törtben nincsenek egész számok. Most több különböző tizedes törtet fogunk írni a következő számokkal: 0, 3 és 5.

0,35 - 0 egész, 35 század,
0,035 - 0 egész, 35 ezrelék,
0,305 - 0 egész, 305 ezrelék,
0,0035 - 0 egész, 35 tízezrelék.

Most nézzük meg, mit jelentenek a tizedes tört végére, azaz a jobb oldalra elhelyezett nullák.

Ha veszünk egy egész számot, például 5-öt, vesszőt teszünk utána, majd a vessző után nullát írunk, akkor ez a nulla nulla tizedet jelent. Ebből következően ez a jobbra rendelt nulla nem fogja befolyásolni a szám értékét, pl.

Most vegyük a 6,1-et, és adjunk hozzá egy nullát a jobb oldalához, így 6,10-et kapunk, vagyis a tizedesvessző után 1/10 volt, de 10/100 lett, de a 10/100 egyenlő 1/10-zel. Ez azt jelenti, hogy a szám mérete nem változott, és attól, hogy jobbra egy nullát adtunk, csak a szám megjelenése és a kiejtése változott (6,1 - hatpont egy tized; 6,10 - hatpont egy tízszázad).

Hasonló érveléssel megbizonyosodhatunk arról, hogy ha nullákat adunk a tizedes tört jobb oldalára, az nem változtatja meg annak értékét. Ezért a következő egyenlőségeket írhatjuk fel:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 stb.

Ha a tizedes tört bal oldalához nullákat adunk, akkor nem lesz jelentésük. Valójában ha a 4.6 szám bal oldalára nullát írunk, akkor a szám 04.6 alakot ölt. Hol van a nulla? A tízesek helyén áll, vagyis azt mutatja, hogy ebben a számban nincs tízes, de ez nulla nélkül is egyértelmű.

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy néha nullákat adnak a tizedes törtek jobb oldalára. Például négy tört van: 0,32; 2,5; 13,1023; 5.238. A jobb oldalon nullákat rendelünk azokhoz a törtekhez, amelyeknél kevesebb tizedesjegy van a tizedesvessző után: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Miért történik ez? A jobb oldali nullákat hozzáadva minden számhoz négy számjegyet kaptunk a tizedesvessző után, ami azt jelenti, hogy minden tört nevezője 10 000 lesz, és a nullák hozzáadása előtt az első tört nevezője 100, a második 10, a A harmadik 10 000, a negyedik 1 000. Így nullákat hozzáadva kiegyenlítettük a törteink tizedesjegyeinek számát, azaz a közös nevező. Ezért a tizedes törtek közös nevezőre hozása úgy történik, hogy ezekhez a törtekhez nullákat adunk.

Másrészt, ha bármely tizedes tört jobb oldalán nullák találhatók, akkor ezeket az érték megváltoztatása nélkül elvethetjük, például: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4200 = 4,2.

Hogyan kell értenünk ezt a nullák tizedes törttől jobbra való ejtését? Ez egyenértékű a redukciójával, és ez látható, ha ezeket a tizedes törteket nevezővel írjuk:

105. § A tizedes törtek nagyság szerinti összehasonlítása.

A tizedes törtek használatakor nagyon fontos, hogy a törteket össze lehessen hasonlítani egymással, és válaszolni tudjunk arra a kérdésre, hogy melyik egyenlő, melyik a nagyobb és melyik a kisebb. A tizedesjegyek összehasonlítása másképpen működik, mint az egész számok összehasonlítása. Például egy kétjegyű egész szám mindig nagyobb, mint egy egyjegyű szám, függetlenül attól, hogy hány egység van benne egyjegyű szám; A háromjegyű szám nagyobb, mint egy kétjegyű, és még inkább egy egyjegyű szám. De a tizedesjegyek összehasonlításakor hiba lenne megszámolni az összes jelet, amelyben a törtek vannak írva.

Vegyünk két törtet: 3,5 és 2,5, és hasonlítsuk össze őket méretben. Ugyanolyan tizedesjegyűek, de az első törtben 3 egész, a másodikban 2. Az első tört nagyobb, mint a második, azaz.

Vegyünk más törteket: 0,4 és 0,38. Ezen törtek összehasonlításához hasznos egy nullát hozzáadni az első tört jobb oldalához. Ezután összehasonlítjuk a 0,40 és 0,38 törteket. Mindegyiknek két számjegye van a tizedesvessző után: ez azt jelenti, hogy ezeknek a törteknek azonos a 100 nevezője.

Csak a számlálóikat kell összehasonlítanunk, de a 40 számlálója nagyobb, mint 38. Ez azt jelenti, hogy az első tört nagyobb, mint a második, azaz.

Az első törtnek több a tizede, mint a másodiknak, a második törtnek ugyan 8 századdal több, de ezek kevesebbek, mint egy tized, mert 1/10 = 10/100.

Hasonlítsuk össze most a következő törteket: 1,347 és 1,35. Adjunk hozzá egy nullát a második tört jobb oldalához, és hasonlítsuk össze a tizedes törteket: 1,347 és 1,350. Egész részeik megegyeznek, ami azt jelenti, hogy csak a tört részeket kell összehasonlítani: 0,347 és 0,350. Ezeknek a törteknek van közös nevezője, de a második tört számlálója nagyobb, mint az első tört számlálója, ami azt jelenti, hogy a második tört nagyobb, mint az első, azaz 1,35 > 1,347.

Végül hasonlítsunk össze még két törtet: 0,625 és 0,62473. Adjunk hozzá két nullát az első törthez, hogy kiegyenlítsük a számjegyeket, és hasonlítsuk össze a kapott törteket: 0,62500 és 0,62473. A nevezőik azonosak, de az első tört 62 500 számlálója nagyobb, mint a második tört számlálója 62 473. Ezért az első tört nagyobb, mint a második, azaz 0,625 > 0,62473.

A fentiek alapján a következő következtetést vonhatjuk le: két tizedes tört közül a nagyobb egész számmal rendelkező nagyobb; ha az egész számok egyenlőek, akkor az a tört, amelynek több tizede van, nagyobb; ha az egész számok és a tizedek egyenlőek, akkor a nagyobb századszámú tört nagyobb stb.

106. § Tizedes tört növelése és csökkentése 10-szeres, 100-as, 1000-es stb.

Azt már tudjuk, hogy a nullák hozzáadása a tizedesjegyhez nem befolyásolja az értékét. Amikor egész számokat tanulmányoztunk, azt láttuk, hogy minden jobbra hozzáadott nulla tízszeresére növeli a számot. Nem nehéz megérteni, miért történt ez. Ha veszünk egy egész számot, például 25-öt, és a jobb oldalához hozzáadunk egy nullát, akkor a szám 10-szeresére nő, a 250-es szám 10-szer nagyobb, mint 25. Amikor a jobb oldalon megjelent egy nulla, az 5-ös szám, amely korábban egységeket jelölt, most tízeseket kezdett jelölni, a 2-es szám pedig, amely korábban tízet jelentett, most százakat jelentett. Ez azt jelenti, hogy a nulla megjelenésének köszönhetően a korábbi számjegyeket újak váltották fel, nagyobbak lettek, egy hellyel balra kerültek. Ha egy tizedes törtet például 10-szeresére kell növelnünk, akkor a számjegyeket is egy hellyel balra kell mozgatnunk, de ezt a mozgást nullával nem lehet elérni. A tizedes tört egy egész számból és egy tört részből áll, és a közöttük lévő határ vessző. A tizedesvesszőtől balra a legalacsonyabb egész számjegy, jobbra a legmagasabb tört számjegy található. Tekintsük a törtet:

Hogyan tudjuk elmozdítani benne a számjegyeket, legalább egy helyen, azaz hogyan tudjuk 10-szeresére növelni? Ha a vesszőt egy hellyel jobbra toljuk, akkor ez elsősorban az ötös sorsát fogja befolyásolni: a törtszámok tartományából az egészek tartományába kerül. A szám ekkor így fog kinézni: 12345.678. A változás az összes többi számmal is bekövetkezett, nem csak az öttel. A számban szereplő összes szám új szerepet kezdett játszani, a következő történt (lásd a táblázatot):

Minden rang megváltoztatta a nevét, és úgymond minden rangegység egy hellyel feljebb került. Ettől kezdve a teljes szám 10-szeresére nőtt. Így a tizedesjegyet egy hellyel jobbra mozgatva a szám 10-szeresére nő.

Nézzünk még néhány példát:

1) Vegye ki a 0,5-ös törtet, és mozgassa a tizedesvesszőt egy hellyel jobbra; kapjuk az 5-ös számot, ami 10-szer nagyobb, mint 0,5, mert korábban öt az egység tizedét jelölte, most viszont egész egységeket.

2) Mozgassa a tizedesvesszőt az 1,234-es számban két hellyel jobbra; a szám 123,4 lesz. Ez a szám 100-szor nagyobb, mint az előző, mert benne a 3-as szám egységeket kezdett jelölni, a 2-es szám tízet, az 1-es pedig százat.

Így egy tizedes tört 10-szeres növeléséhez a tizedesjegyet egy hellyel jobbra kell mozgatnia; 100-szoros növeléséhez a tizedesvesszőt két hellyel jobbra kell mozgatni; 1000-szeresére növelni - három számjegy jobbra stb.

Ha a számnak nincs elég jele, akkor a jobb oldalon nullákat adunk hozzá. Például növeljük az 1,5-ös törtet 100-szorosra a tizedesvesszőt két helyre mozgatva; 150-et kapunk. Növeljük a 0,6-os törtet 1000-szeresére; 600-at kapunk.

Szükség esetén vissza csökken tizedes tört 10, 100, 1000 stb. alkalommal, akkor a tizedesvesszőt balra kell mozgatni egy, kettő, három stb. számjeggyel. Legyen megadva a 20,5 tört; Csökkentsük 10-szeresére; Ehhez mozgassa a tizedesvesszőt egy hellyel balra, a tört alakja 2,05 lesz. Csökkentsük a 0,015-ös törtet 100-szorosára; 0,00015-öt kapunk. Csökkentsük a 334-es számot 10-szeresére; 33,4-et kapunk.

Előfordul, hogy a számítások kényelme érdekében egy közönséges törtet tizedesjegyre kell konvertálnia, és fordítva. Ennek módjáról ebben a cikkben fogunk beszélni. Nézzük meg a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításának szabályait és fordítva, és adjunk példákat is.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Megfontoljuk a közönséges törtek tizedesjegyekké alakítását, egy bizonyos sorrendet követve. Először is nézzük meg, hogy a 10 többszöröse nevezővel rendelkező közönséges törtek hogyan alakulnak át tizedesjegyekké: 10, 100, 1000 stb. Az ilyen nevezővel rendelkező törtek valójában a tizedes törtek körülményesebb jelölései.

Ezután megvizsgáljuk, hogyan lehet bármilyen nevezőt tartalmazó közönséges törteket tizedes törtté alakítani, nem csak a 10 többszöröseit. Vegye figyelembe, hogy a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításakor nemcsak véges tizedesjegyeket kapunk, hanem végtelen periodikus tizedes törteket is.

Kezdjük el!

Közönséges törtek fordítása 10, 100, 1000 stb. nevezővel. tizedesjegyig

Mindenekelőtt tegyük fel, hogy bizonyos törtek némi előkészületet igényelnek, mielőtt decimális alakra konvertálnák. Mi az? A számlálóban szereplő szám előtt annyi nullát kell hozzáadni, hogy a számlálóban lévő számjegyek száma egyenlő legyen a nevezőben lévő nullák számával. Például a 3100-as tört esetében a 0-t egyszer hozzá kell adni a számlálóban a 3-tól balra. A 610-es frakciót a fent említett szabály szerint nem kell módosítani.

Nézzünk még egy példát, ami után megfogalmazunk egy olyan szabályt, ami eleinte kifejezetten kényelmesen használható, miközben a törtek konvertálásában nincs sok tapasztalat. Tehát a 1610000 tört, miután nullákat adtunk a számlálóhoz, így fog kinézni: 001510000.

Hogyan lehet átalakítani egy közös törtet, amelynek nevezője 10, 100, 1000 stb. tizedesre?

A közönséges saját törtek tizedesjegyekké alakításának szabálya

1. Írj 0-t és vesszőt utána.
2. A számlálóból azt a számot írjuk le, amelyet a nullák összeadása után kaptunk.

Most térjünk át a példákra.

1. példa: Törtek átalakítása tizedesjegyekké

Alakítsuk át a 39 100 törtet tizedessé.

Először is megnézzük a törtet, és azt látjuk, hogy nincs szükség semmilyen előkészítő műveletre - a számlálóban lévő számjegyek száma egybeesik a nevezőben lévő nullák számával.

A szabályt követve 0-t írunk, utána tizedesvesszőt teszünk, és a számlálóból írjuk a számot. 0,39 tizedes törtet kapunk.

Nézzük meg egy másik példa megoldását ebben a témában.

2. példa Törtek átalakítása tizedesjegyekké

Írjuk fel a 105 10000000 törtet tizedesként.

A nevezőben a nullák száma 7, a számláló pedig csak három számjegyből áll. Adjunk hozzá további 4 nullát a számlálóban lévő szám elé:

0000105 10000000

Most írjuk fel a 0-t, tegyünk utána egy tizedesvesszőt, és írjuk le a számot a számlálóból. 0,0000105 tizedes törtet kapunk.

Az összes példában figyelembe vett törtek közönséges megfelelő törtek. De hogyan konvertálhat egy helytelen törtet tizedesjegyre? Tegyük fel rögtön, hogy az ilyen törtek nullák hozzáadásával nincs szükség előkészületekre. Fogalmazzuk meg a szabályt.

A rendes átruházás szabálya helytelen törtek tizedesjegyig

1. Írd le a számlálóban szereplő számot.
2. Tizedesvesszővel annyi számjegyet választunk el a jobb oldalon, ahány nulla van az eredeti tört nevezőjében.

Az alábbiakban egy példa látható a szabály használatára.

3. példa Törtek tizedesjegyekké alakítása

Alakítsuk át az 56888038009 100000 törtet egy közönséges szabálytalan törtből tizedesvesszővé.

Először írjuk le a számot a számlálóból:

Most a jobb oldalon öt számjegyet választunk el tizedesvesszővel (a nevezőben a nullák száma öt). Kapunk:

A következő természetesen felmerülő kérdés: hogyan lehet egy vegyes számot tizedes törtté alakítani, ha a tört részének nevezője a 10, 100, 1000 stb. Egy ilyen szám tizedes törtté alakításához használhatja a következő szabályt.

Vegyes számok tizedesjegyekké alakításának szabálya

1. Szükség esetén elkészítjük a szám tört részét.
2. Felírjuk az eredeti szám egész részét, és vesszőt teszünk utána.
3. A törtrész számlálójából írjuk fel a számot a hozzáadott nullákkal együtt.

Nézzünk egy példát.

4. példa: Vegyes számok átalakítása tizedesjegyekké

Alakítsuk át a 23 17 10000 vegyes számot tizedes törtté.

A tört részben a 17 10000 kifejezés szerepel. Készítsük elő, és a számlálótól balra adjunk még két nullát. Kapunk: 0017 10000.

Most írjuk fel a teljes számrészt, és vesszőt tegyünk utána: 23, . .

A tizedesvessző után írja le a számlálóból a számot a nullákkal együtt. Megkapjuk az eredményt:

23 17 10000 = 23 , 0017

Közönséges törtek átalakítása véges és végtelen periodikus törtekké

Természetesen konvertálhat tizedesjegyekre és közönséges törtekre, ha a nevező nem egyenlő 10, 100, 1000 stb.

Gyakran egy tört könnyen redukálható új nevezőre, majd használja a cikk első bekezdésében meghatározott szabályt. Például elég a 25-ös tört számlálóját és nevezőjét megszorozni 2-vel, és megkapjuk a 410-es törtet, amely könnyen átváltható 0,4-es tizedestört alakra.

Ez a módszer azonban a tört tizedessé alakítására nem mindig használható. Az alábbiakban megfontoljuk, hogy mit tegyünk, ha a vizsgált módszer alkalmazása lehetetlen.

Alapvetően új út egy közönséges tört tizedesjegyre átalakítása a számlálónak a nevezővel való osztására redukálódik egy oszloppal. Ez a művelet nagyon hasonlít a természetes számok oszloppal való osztásához, de megvannak a maga sajátosságai.

Osztáskor a számláló tizedes törtként jelenik meg - a számláló utolsó számjegyétől jobbra vessző kerül, és nullákat adunk hozzá. A kapott hányadosban egy tizedesvesszőt teszünk, amikor a számláló egész részének osztása véget ér. Hogy ez a módszer pontosan hogyan működik, az a példák után derül majd ki.

5. példa Törtek átalakítása tizedesjegyekké

Alakítsuk át a 621 4 közönséges törtet decimális alakra.

A számlálóból a 621-es számot ábrázoljuk tizedes törtként, a tizedesvessző után néhány nullát adva. 621 = 621,00

Most osszuk el 621,00-at 4-gyel egy oszlop segítségével. Az osztás első három lépése ugyanaz lesz, mint a természetes számok osztásakor, és megkapjuk.

Amikor elérjük a tizedesvesszőt az osztalékban, és a maradék nullától eltérő, tizedesvesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást, már nem figyelünk a vesszőre az osztalékban.

Ennek eredményeként a 155, 25 tizedes törtet kapjuk, amely a 621 4 közönséges tört megfordításának eredménye.

621 4 = 155 , 25

Nézzünk egy másik példát az anyag megerősítésére.

6. példa Törtek átalakítása tizedesjegyekké

Fordítsuk meg a 21 800 közönséges törtet.

Ehhez osszuk el a 21 000-es törtet egy oszlopba 800-zal. A teljes rész felosztása az első lépésnél véget ér, ezért közvetlenül utána teszünk egy tizedesvesszőt a hányadosba, és folytatjuk az osztást, nem figyelve a vesszőre az osztalékban, amíg nullával egyenlő maradékot nem kapunk.

Ennek eredményeként a következőt kaptuk: 21 800 = 0,02625.

De mi van akkor, ha osztáskor mégsem kapunk 0 maradékot. Ilyen esetekben az osztás korlátlanul folytatható. Egy bizonyos lépéstől kezdve azonban a maradékok időszakosan megismétlődnek. Ennek megfelelően a hányadosban szereplő számok ismétlődnek. Ez azt jelenti, hogy egy közönséges tört tizedes végtelen periodikus törtté alakul. Illusztráljuk ezt egy példával.

7. példa Törtek átalakítása tizedesjegyekké

Alakítsuk át a 19 44 közönséges törtet tizedesvesszővé. Ehhez oszloponkénti osztást hajtunk végre.

Látjuk, hogy az osztás során a 8. és 36. maradék ismétlődik. Ebben az esetben az 1 és 8 számok ismétlődnek a hányadosban. Ez a periódus tizedes törtben. Felvételkor ezek a számok zárójelben vannak.

Így az eredeti közönséges tört egy végtelen periodikus tizedes törtté alakul.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Lássunk egy redukálhatatlan közönséges törtet. Milyen formában lesz? Mely közönséges törteket alakítjuk át véges tizedesjegyekké, és melyeket végtelen periodikussá?

Először is tegyük fel, hogy ha egy tört a 10, 100, 1000... nevezők valamelyikére redukálható, akkor végső tizedes tört alakja lesz. Ahhoz, hogy egy tört e nevezők egyikére csökkenjen, a nevezőjének a 10, 100, 1000 stb. számok legalább egyikének osztójának kell lennie. A számok prímtényezőkké alakításának szabályaiból az következik, hogy a számok osztója 10, 100, 1000 stb. prímtényezőkbe számítva csak a 2-es és az 5-ös számokat kell tartalmaznia.

Foglaljuk össze az elhangzottakat:

1. Egy közönséges tört tizedesjegyre csökkenthető, ha nevezője beszámítható 2-es és 5-ös prímtényezőkbe.
2. Ha a 2-es és 5-ös számokon kívül más számok is szerepelnek a nevező kiterjesztésében prímszámok, a tört végtelen periodikus tizedes törtté redukálódik.

Mondjunk egy példát.

8. példa Törtek átalakítása tizedesjegyekké

A 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 törtek közül melyiket alakítjuk át végső tizedes törtté, és melyiket - csak periodikussá. Válaszoljunk erre a kérdésre anélkül, hogy egy törtet közvetlenül tizedesvessé konvertálnánk.

A 47 20 tört, amint az könnyen belátható, a számláló és a nevező 5-tel való szorzásával egy új nevezőre csökken 100-ra.

47 20 = 235 100. Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy ezt a törtet végső tizedes törtté alakítjuk.

A 7 12 tört nevezőjének faktorálása 12 = 2 · 2 · 3. Mivel a 3-as prímtényező különbözik 2-től és 5-től, ez a tört nem ábrázolható véges tizedes törtként, hanem végtelen periodikus tört alakja lesz.

Először is csökkenteni kell a 21 56 frakciót. 7-es csökkentés után megkapjuk a 3 8 irreducibilis törtet, melynek nevezőjét 8 = 2 · 2 · 2-re szorozzuk. Ezért ez egy utolsó tizedes tört.

A 31 17 tört esetében a nevező faktorálása maga a 17 prímszám. Ennek megfelelően ez a tört végtelen periodikus tizedes törtté alakítható.

Egy közönséges tört nem konvertálható végtelen és nem periodikus tizedes törtté

Fentebb csak véges és végtelen periodikus törtekről beszéltünk. De bármelyik közönséges tört átváltható-e végtelen nem periódusos törtté?

Azt válaszoljuk: nem!

Fontos!

Ha egy végtelen tört tizedesjegyre konvertál, az eredmény vagy véges tizedes, vagy végtelen periodikus tizedes.

Az osztás maradéka mindig kisebb, mint az osztó. Vagyis az oszthatósági tétel szerint, ha felosztunk néhányat természetes szám q számmal, akkor az osztás maradéka semmi esetre sem lehet nagyobb q-1-nél. A felosztás befejezése után a következő helyzetek egyike lehetséges:

1. 0 maradékot kapunk, és itt ér véget az osztás.
2. Maradékot kapunk, amely a következő osztásnál megismétlődik, ami végtelen periodikus törtet eredményez.

A tört tizedesvessé konvertálásakor nincs más lehetőség. Tegyük fel azt is, hogy a periódus hossza (számjegyeinek száma) egy végtelen periodikus törtben mindig kisebb, mint a megfelelő közönséges tört nevezőjében lévő számjegyek száma.

Tizedesjegyek átalakítása törtté

Most itt az ideje, hogy megnézzük a tizedes tört közönséges törtté alakításának fordított folyamatát. Fogalmazzunk meg egy fordítási szabályt, amely három szakaszból áll. Hogyan lehet egy tizedes törtet közönséges törtté alakítani?

A tizedes törtek közönséges törtté alakításának szabálya

1. A számlálóba az eredeti tizedes törtből írjuk be a számot, elhagyva a vesszőt és a bal oldali nullákat, ha vannak.
2. A nevezőbe írunk egyet, majd annyi nullát, ahány számjegy van a tizedesvessző után az eredeti tizedes törtben.
3. Ha szükséges, csökkentse a kapott közönséges frakciót.

Tekintsük az alkalmazást ennek a szabálynak példákkal.

8. példa Tizedes törtek átalakítása közönséges törtekké

Képzeljük el a 3,025 számot közönséges törtként.

1. Magát a tizedes törtet beírjuk a számlálóba, a vesszőt elhagyva: 3025.
2. A nevezőbe írunk egyet, és utána három nullát - pontosan ennyi számjegy található az eredeti törtben a tizedesvessző után: 3025 1000.
3. Az így kapott 3025 1000 tört 25-tel csökkenthető, így a következőt kapjuk: 3025 1000 = 121 40.

9. példa Tizedes törtek átalakítása közönséges törtekké

Alakítsuk át a 0,0017 törtet tizedesből közönségessé.

1. A számlálóba a 0, 0017 törtet írjuk, a bal oldali vesszőt és nullákat elhagyva. 17 lesz belőle.
2. A nevezőbe írunk egyet, és utána négy nullát: 17 10000. Ez a tört redukálhatatlan.

Ha a tizedes tört rendelkezik egész rész, akkor egy ilyen tört azonnal átváltható vegyes számmá. Hogyan kell csinálni?

Fogalmazzunk meg még egy szabályt.

A tizedesjegyek vegyes számokká alakításának szabálya.

1. A törtben a tizedesvessző előtti szám a vegyes szám egész részeként kerül felírásra.
2. A számlálóba a tört tizedesvesszője után írjuk be a számot, a bal oldali nullákat elhagyva, ha vannak.
3. A törtrész nevezőjébe adunk egyet és annyi nullát, ahány számjegy van a törtrészben a tizedespont után.

Vegyünk egy példát

10. példa Tizedesjegy átalakítása vegyes számmá

Képzeljük el a 155, 06005 törtet vegyes számként.

1. A 155-ös számot egész részként írjuk.
2. A számlálóba a tizedesvessző után írjuk a számokat, a nullát elhagyva.
3. A nevezőbe egy és öt nullát írunk

Tanuljunk meg egy vegyes számot: 155 6005 100000

A tört rész 5-tel csökkenthető. Lerövidítjük, és megkapjuk a végeredményt:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Végtelen periodikus tizedesjegyek átalakítása törtté

Nézzünk példákat arra, hogyan lehet a periodikus tizedes törteket közönséges törtekké alakítani. Mielőtt elkezdenénk, tisztázzuk: bármely periodikus tizedes tört átváltható közönséges törtté.

A legegyszerűbb eset az, amikor a tört periódusa nulla. A nulla periódusú periodikus tört helyébe egy végső tizedes tört kerül, és az ilyen tört megfordításának folyamata a végső tizedes tört megfordítására redukálódik.

11. példa Periodikus tizedes tört átalakítása közönséges törtté

Invertáljuk a 3, 75 (0) periodikus törtet.

A jobb oldali nullákat kihagyva a végső tizedes tört 3,75-öt kapjuk.

Ha ezt a törtet közönséges törtté konvertáljuk az előző bekezdésekben tárgyalt algoritmussal, a következőt kapjuk:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Mi van akkor, ha a tört periódusa eltér nullától? A periódusos részt egy geometriai progresszió tagjainak összegének kell tekinteni, amely csökken. Magyarázzuk meg ezt egy példával:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Létezik egy képlet a végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére. Ha a progresszió első tagja b és a q nevező olyan, hogy 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Nézzünk néhány példát ennek a képletnek a használatával.

12. példa Periodikus tizedes tört átalakítása közönséges törtté

Legyen egy 0, (8) periodikus tört, és át kell alakítanunk közönséges törtté.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Itt van egy végtelen csökkenés geometriai progresszió az első taggal 0, 8 és a nevezővel 0, 1.

Alkalmazzuk a képletet:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Ez a szükséges közönséges tört.

Az anyag konszolidálásához vegyünk egy másik példát.

13. példa Periodikus tizedes tört átalakítása közönséges törtté

Fordítsuk meg a 0, 43 (18) törtet.

Először a törtet végtelen összegként írjuk fel:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Nézzük a zárójelben lévő kifejezéseket. Ez a geometriai progresszió a következőképpen ábrázolható:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Az eredményt hozzáadjuk a 0, 43 = 43 100 végső törthez, és megkapjuk az eredményt:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ezen törtek összeadása és redukálása után megkapjuk a végső választ:

0 , 43 (18) = 19 44

A cikk befejezéseként elmondjuk, hogy a nem periodikus végtelen tizedes törtek nem konvertálhatók közönséges törtekké.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt