Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); \(14\)... egy aritmetikai progresszió, mert mindegyik következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával megkapható az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

Azonban \(d\) is lehet negatív szám. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást egy kis latin betű jelzi.

A progressziót alkotó számokat nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint aritmetikai progresszió, de a numerikus index megegyezik az elem számával.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetikai progressziós feladatok megoldása

Elvileg a fent bemutatott információk már szinte minden számtani progressziós probléma megoldására elegendőek (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszió a \(b_1=7; d=4\) feltételekkel megadva. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik szomszédjától. Nézzük meg, melyiket, ha a következő elemből kivonjuk az előzőt: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a progressziót az (első negatív) elemre, amelyre szükségünk van.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme: \(…5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	Most pedig könnyen megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először egyenként számítjuk ki az értékeket a kapott adatok alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A szükséges mennyiséget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

A számtani progresszió fontos képletei

Amint láthatja, az aritmetikai progresszióval kapcsolatos számos probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai progresszió számok lánca, és ennek a láncnak minden további eleme úgy érhető el, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a a progresszió különbsége).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor a „fejjel” döntés nagyon kényelmetlen. Például képzeljük el, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell keresnünk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Adjunk hozzá négyszer \(385\)? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. Belefáradsz a számolásba...

Ezért ilyenkor nem „fejjel” oldják meg a dolgokat, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az \(n\) első tagok összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a progresszió első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) – a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk a háromszázadik vagy milliomodik elemet is, csak az elsőt és a progresszió különbségét ismerve.

Példa. Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) – az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek határozzák meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt tag összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (bővebben lásd). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy \(n\) helyettesítsünk egyet.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nos, most már könnyedén kiszámolhatjuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet kaphat: csak annyit kell tennie, hogy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) helyett cserélje ki a képletet \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – \(n\) első elem szükséges összege;
\(a_1\) – az első összegzett tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) – elemek száma összesen.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanezt kezdjük megoldani: először megtaláljuk a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most szeretném behelyettesíteni a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt egy kis árnyalat jelenik meg - nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Leállítjuk az elemek hozzáadását, amikor elérjük az első pozitív elemet. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, hogy \(n\) ez mikor fog történni.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Mínusz egyet továbbítunk, nem felejtve el megváltoztatni a jeleket
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Számoljunk...
\(n>65 333…\)		...és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg ezt.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Tehát hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg az összeget a \(26\)-ediktől a \(42\) elemig.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Ilyen esetre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Könnyű – a \(26\)-ik és a \(42\)-edik összeg kiszámításához először meg kell találnia az \(1\)-ediktől a \(42\)-edikig terjedő összeget, majd ki kell vonni ebből az elsőtől a \(25\)-edig terjedő összeg (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkra és a \(d=4\) különbségre (végül is ez a négy, amit hozzáadunk az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-y elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\) elemek összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet létezik, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk volt. Azonban könnyen megtalálhatja őket.

Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák már az ókorban is léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Tehát az egyik papiruszban Az ókori Egyiptom", melynek matematikai tartalma - a Rhind papirusz (Kr. e. 19. század) - a következő feladatot tartalmazza: osszon el tíz mérték kenyeret tíz ember között, feltéve, hogy a különbség a mérték egy nyolcad része."

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Így az alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és a tizennegyedik könyvvel egészítette ki Euklidész elemeit) így fogalmazta meg a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint a tagok számának 1/2 négyzetének 1. elemének összege."

A sorozatot an jelöli. A sorozat számait tagjainak nevezzük, és általában betűkkel jelöljük, amelyek indexei jelzik sorozatszám ez a tag (a1, a2, a3 ... így szól: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” és így tovább).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Ez alatt azt értjük, amelyet az előző (n) azonos d számú tag összeadásával kapunk, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor ezt a progressziót növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai sorozatot végesnek nevezünk, ha csak az első néhány tagját vesszük figyelembe. Nagyon Nagy mennyiségű tagjai már végtelen fejlődésnek számítanak.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet határoz meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Az ellenkező állítás teljesen igaz: ha egy sorozatot hasonló képlettel adunk meg, akkor az pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Fordítva: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző és a következő tag számtani középértéke, i.e. ha a feltétel teljesül, akkor ez a sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség a progresszió jele is, ezért szokás a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezni.
   Ugyanígy igaz az a tétel, amely ezt a tulajdonságot tükrözi: egy sorozat csak akkor aritmetikai progresszió, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k progressziós számok).

Egy aritmetikai sorozatban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlettel:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi, hogy meghatározzuk n-edik tag egy aritmetikai progresszió bármely k-edik tagján keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Az aritmetikai sorozat tagjainak összegét (ami egy véges haladás első n tagját jelenti) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok körülményeitől és a kezdeti adatoktól függ.

Bármilyen szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,...- legegyszerűbb példa aritmetikai progresszió.

A számtani haladás mellett létezik egy geometriai haladás is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.

Vannak, akik óvatosan kezelik a „progresszió” szót, mint egy nagyon összetett kifejezést a szakaszokból felsőbb matematika. Eközben a legegyszerűbb számtani progresszió a taxióra munkája (ahol még léteznek). És egy számtani sorozat lényegének megértése (és a matematikában nincs fontosabb, mint a „lényeg megértése”) nem is olyan nehéz, néhány elemi fogalom elemzése után.

Matematikai számsor

A numerikus sorozatot általában számsorozatnak nevezik, amelyek mindegyikének saját száma van.

a 1 a sorozat első tagja;

és 2 a sorozat második tagja;

és 7 a sorozat hetedik tagja;

és n a sorozat n-edik tagja;

Azonban nem bármilyen tetszőleges szám- és számhalmaz érdekel bennünket. Figyelmünket egy olyan numerikus sorozatra összpontosítjuk, amelyben az n-edik tag értéke matematikailag egyértelműen megfogalmazható összefüggéssel kapcsolódik a sorszámához. Más szóval: az n-edik szám számértéke n valamilyen függvénye.

a egy numerikus sorozat egy tagjának értéke;

n a sorozatszáma;

f(n) egy függvény, ahol az n numerikus sorozat sorszáma az argumentum.

Meghatározás

Az aritmetikai progressziót általában olyan numerikus sorozatnak nevezik, amelyben minden következő tag azonos számmal nagyobb (kisebb), mint az előző. Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete a következő:

a n - az aritmetikai sorozat aktuális tagjának értéke;

a n+1 - a következő szám képlete;

d - különbség (bizonyos szám).

Könnyen megállapítható, hogy ha a különbség pozitív (d>0), akkor a vizsgált sorozat minden következő tagja nagyobb lesz, mint az előző, és ez a számtani progresszió növekszik.

Az alábbi grafikonon jól látható, hogy miért nevezik a számsort „növekvőnek”.

Azokban az esetekben, amikor a különbség negatív (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Megadott tagérték

Néha meg kell határozni egy aritmetikai sorozat tetszőleges a n tagjának értékét. Ezt úgy lehet megtenni, hogy az aritmetikai progresszió összes tagjának értékét szekvenciálisan kiszámítjuk, az elsőtől a kívántig. Ez az út azonban nem mindig elfogadható, ha például meg kell találni az ötezredik vagy nyolcmilliomodik tag értékét. A hagyományos számítások sok időt vesznek igénybe. Egy adott aritmetikai progresszió azonban tanulmányozható bizonyos képletekkel. Van egy képlet az n-edik tagra is: egy aritmetikai sorozat bármely tagjának értéke meghatározható a progresszió első tagjának összegeként a progresszió különbségével, szorozva a kívánt tag számával, csökkentve egy.

A képlet univerzális a progresszió növelésére és csökkentésére.

Példa egy adott kifejezés értékének kiszámítására

Oldjuk meg a következő feladatot egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának értékének meghatározására.

Feltétel: van egy aritmetikai progresszió a következő paraméterekkel:

A sorozat első tagja 3;

A számsor különbsége 1,2.

Feladat: meg kell találni 214 kifejezés értékét

Megoldás: egy adott tag értékének meghatározásához a következő képletet használjuk:

a(n) = a1 + d(n-1)

A problémafelvetés adatait a kifejezésbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Válasz: A sorozat 214. tagja egyenlő 258,6-tal.

Ennek a számítási módszernek az előnyei nyilvánvalóak - a teljes megoldás legfeljebb 2 sort vesz igénybe.

Adott számú kifejezés összege

Nagyon gyakran egy adott számtani sorozatban meg kell határozni egyes szegmenseinek értékeinek összegét. Ehhez nincs szükség az egyes kifejezések értékeinek kiszámítására, majd összeadására. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha kevés azon kifejezések száma, amelyek összegét meg kell találni. Más esetekben kényelmesebb a következő képlet használata.

Az 1-től n-ig terjedő aritmetikai haladás tagjainak összege egyenlő az első és az n-edik tag összegével, megszorozva az n tag számával és elosztva kettővel. Ha a képletben az n-edik tag értékét a cikk előző bekezdésében szereplő kifejezéssel helyettesítjük, a következőt kapjuk:

Számítási példa

Például oldjunk meg egy problémát a következő feltételekkel:

A sorozat első tagja nulla;

A különbség 0,5.

A probléma megoldásához meg kell határozni az 56-tól 101-ig terjedő sorozat tagjainak összegét.

Megoldás. Használjuk a képletet a progresszió mértékének meghatározásához:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Először meghatározzuk a progresszió 101 tagjának értékeinek összegét úgy, hogy a feladatunk adott feltételeit behelyettesítjük a képletbe:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Nyilvánvalóan ahhoz, hogy megtudjuk az 56-tól a 101-ig terjedő haladás tagjainak összegét, ki kell vonni S 55-öt S 101-ből.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Így ennek a példának az aritmetikai progressziójának összege:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Példa az aritmetikai progresszió gyakorlati alkalmazására

A cikk végén térjünk vissza az első bekezdésben megadott számtani sorozat példájához - egy taxióra (taxi mérő). Tekintsük ezt a példát.

A taxiba való beszállás (amely 3 km-es utazást tartalmaz) 50 rubelbe kerül. Minden további kilométert 22 rubel/km áron kell fizetni. Az utazási távolság 30 km. Számolja ki az utazás költségét.

1. Dobjuk el az első 3 km-t, aminek az árát a leszállás költsége tartalmazza.

30 - 3 = 27 km.

2. A további számítás nem más, mint egy számtani számsor elemzése.

Tagszám - a megtett kilométerek száma (mínusz az első három).

A tag értéke az összeg.

Ebben a feladatban az első tag 1 = 50 rubel lesz.

Progressziós különbség d = 22 r.

a minket érdeklő szám a számtani progresszió (27+1) tagjának értéke - a mérőállás a 27. kilométer végén 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

A tetszőlegesen hosszú időszakra vonatkozó naptári adatok számításai bizonyos numerikus sorozatokat leíró képleteken alapulnak. A csillagászatban a pálya hossza geometriailag függ az égitest távolságától a csillagtól. Emellett a különböző számsorokat sikeresen alkalmazzák a statisztikában és a matematika egyéb alkalmazott területein.

A számsorok másik típusa a geometriai

A geometriai progressziót nagyobb változási sebesség jellemzi, mint az aritmetikai progresszió. Nem véletlen, hogy a politikában, a szociológiában, az orvostudományban egy adott jelenség, például egy járvány idején előforduló betegség nagy sebességű terjedésének kimutatására azt mondják, hogy a folyamat geometriai progresszióban fejlődik ki.

A geometriai számsor N-edik tagja abban különbözik az előzőtől, hogy megszorozzák valamilyen állandó számmal - a nevező például az első tag 1, a nevező ennek megfelelően egyenlő 2-vel, majd:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - a geometriai progresszió aktuális tagjának értéke;

b n+1 - a geometriai progresszió következő tagjának képlete;

q a geometriai progresszió nevezője (konstans szám).

Ha egy aritmetikai sorozat grafikonja egy egyenes, akkor a geometriai haladás kissé eltérő képet fest:

Akárcsak az aritmetika esetében, a geometriai progressziónak is van egy képlete egy tetszőleges tag értékére. Egy geometriai progresszió bármely n-edik tagja egyenlő az első tag és az n eggyel csökkentett hatványának nevezőjének szorzatával:

Példa. Van egy geometriai progressziónk, amelynek első tagja 3, a progresszió nevezője pedig 1,5. Keressük meg a progresszió 5. tagját

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Adott számú tag összegét is egy speciális képlet segítségével számítjuk ki. Egy geometriai sorozat első n tagjának összege egyenlő a haladás n-edik tagjának és nevezőjének szorzata, valamint a haladás első tagja közötti különbséggel, osztva az eggyel csökkentett nevezővel:

Ha b n-t a fentebb tárgyalt képlettel helyettesítjük, akkor a szóban forgó számsor első n tagjának összege a következőképpen alakul:

Példa. A geometriai haladás az 1-gyel egyenlő első taggal kezdődik. A nevezőt 3-ra állítjuk. Határozzuk meg az első nyolc tag összegét.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Egy aritmetikai sorozat összege.

Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Jelentésben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az alaptól egészen a szilárdig.

Először is értsük meg az összeg jelentését és képletét. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése egyszerű, mint a mú. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok van, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ilyenkor a képlet segít.

Az összeg képlete egyszerű:

Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ez sok mindent tisztáz majd.

S n - egy számtani sorozat összege. Összeadás eredménye mindenki tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Pontosan összeadódnak Minden a tagokat sorban, kihagyás vagy kihagyás nélkül. És egészen pontosan attól kezdve első. Olyan problémák esetén, mint a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödik és a huszadik tagok összege, a képlet közvetlen alkalmazása csalódást okoz.)

egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.

a n- utolsó a progresszió tagja. A sorozat utolsó száma. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.

n - az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a hozzáadott kifejezések számával.

Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Trükkös kérdés: melyik lesz a tag az utolsó ha adott végtelen aritmetikai progresszió?)

A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és... figyelmesen olvasd el a feladatot!)

Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kellene. Ellenkező esetben végleges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldás szempontjából nem mindegy, hogy a progresszió adott: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogy hogyan adjuk meg: egy számsor, vagy egy képlet az n-edik taghoz.

A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. Egy feladatban ez az összes értékes információ gyakran titkosítva van, igen... De sebaj, az alábbi példákban ezeket a titkokat fedjük fel.)

Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegén.

Először is hasznos információk:

Az aritmetikai progresszió összegét tartalmazó feladatoknál a fő nehézség a képlet elemeinek helyes meghatározásában rejlik.

A feladatírók határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég egyszerűen megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy igazi GIA-n alapuló feladattal.

1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tagjának összegét.

Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a mennyiség meghatározásához a képlet segítségével? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.

Hol kaphatom meg az utolsó tag számát? n? Igen, ott, feltétellel! Azt írja: találd meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen számmal lesz? utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n Behelyettesítjük a képletbe egy 10, és helyette n- tíz. Ismétlem, az utolsó tag száma egybeesik a tagok számával.

Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell ezt csinálni? Vegyen részt az előző leckében, e nélkül nincs mód.

egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

egy 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Kiderítettük az aritmetikai sorozat összegének képletének összes elemének jelentését. Nincs más hátra, mint helyettesíteni őket, és megszámolni:

Ez az. Válasz: 75.

Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:

2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 = 2,3. Keresse meg az első 15 tagjának összegét.

Azonnal írjuk az összegképletet:

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Marad az összes elemet behelyettesíteni a képletbe egy aritmetikai progresszió összegére, és kiszámítani a választ:

Válasz: 423.

Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n Egyszerűen behelyettesítjük a képletet az n-edik tagra, és megkapjuk:

Mutassunk be hasonlókat, és kapjunk egy új képletet egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:

Mint látható, az n-edik tagra itt nincs szükség a n. Bizonyos problémákban ez a képlet sokat segít, igen... Emlékezhet erre a képletre. Vagy egyszerűen megjelenítheti a megfelelő időben, például itt. Végül is mindig emlékeznie kell az összeg képletére és az n-edik tag képletére.)

Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):

3. Határozza meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!

Azta! Sem az első tagod, sem az utolsó, sem a továbbjutásod... Hogyan élj!?

A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből az aritmetikai progresszió összegének összes elemét. Tudjuk, mik a kétjegyű számok. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, feltehetően.) A utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...

Három többszörösei... Hm... Ezek hárommal osztható számok, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már le is írhat egy sorozatot a probléma feltételei szerint:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan háromban különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adsz egy kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. az új szám már nem osztható 3-mal. Azonnal meghatározhatja a számtani sorozat különbségét: d = 3. Jól fog jönni!)

Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:

Mi lesz a szám? n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... A számok mindig sorban mennek, de tagjaink három fölé ugranak. Nem egyeznek.

Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Felírhatod a haladást, a teljes számsort, és az ujjaddal megszámolhatod a tagok számát.) A második út a megfontoltak számára. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet a feladatunkra alkalmazzuk, azt találjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.

Nézzük meg az aritmetikai progresszió összegének képletét:

Nézzük és örülünk.) A problémafelvetésből kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:

egy 1= 12.

egy 30= 99.

S n = S 30.

Már csak az elemi aritmetika van hátra. Behelyettesítjük a számokat a képletbe, és kiszámítjuk:

Válasz: 1665

Egy másik népszerű rejtvénytípus:

4. Adott egy aritmetikai progresszió:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Határozza meg a huszadiktól harmincnégyig terjedő tagok összegét!

Megnézzük az összeg képletét és... kiborulunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámolja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.

Természetesen kiírhatja a teljes folyamatot egy sorozatba, és hozzáadhatja a 20-tól 34-ig terjedő kifejezéseket. De... ez valahogy hülyeség és sokáig tart, nem?)

Van ennél elegánsabb megoldás is. Osszuk két részre sorozatunkat. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsztól harmincnégyig. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész feltételeinek összegével S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ebből láthatjuk, hogy találja meg az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük el?

Kivonjuk a progresszió paramétereit a problémanyilatkozatból:

d = 1,5.

egy 1= -21,5.

Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Kiszámítjuk őket az n-edik tag képletével, mint a 2. feladatban:

egy 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

egy 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nem maradt semmi. A 34 tag összegéből vonjuk le a 19 tag összegét:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Válasz: 262,5

Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos trükk a probléma megoldására. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk valami, amire úgy tűnik, nincs szükség - S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Ez a fajta „fülcsalás” gyakran kíméli meg gonosz problémáktól.)

Ebben a leckében olyan feladatokat vizsgáltunk, amelyekhez elegendő megérteni egy számtani sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)

Gyakorlati tanácsok:

Bármilyen aritmetikai progresszió összegével kapcsolatos probléma megoldásakor azt javaslom, hogy azonnal írjuk ki ebből a témából a két fő képletet.

Az n-edik tag képlete:

Ezek a képletek azonnal megmondják, mit kell keresni és milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.

És most az önálló megoldás feladatai.

5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!

Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.

6. A számtani progressziót a következő feltétel adja: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tagjának összegét.

Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a hivatkozást, ilyen problémák gyakran találhatók az Állami Tudományos Akadémián.

7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a kedvencemnek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön el 500 rubelt az első napon, és minden további napon 50 rubel többet költ, mint az előző! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?

Nehéz?) A 2. feladat kiegészítő képlete segít.

Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Online számológép.
Számtani sorozat megoldása.
Adott: a n , d, n
Keresse meg: a 1

Ez a matematikai program a felhasználó által megadott \(a_n, d\) és \(n\) számok alapján megkeresi a \(a_1\) számtani sorozatot.
Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók. Ezenkívül a törtszám beírható tizedes tört (\(2,5\)) és közönséges tört (\(-5\tört(2)(7)\)) formájában is.

A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.

Ez az online számológép hasznos lehet a középiskolás középiskolás diákoknak a vizsgákra és vizsgákra való felkészüléskor, az egységes államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának irányításában. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

A számok bevitelének szabályai

Az \(a_n\) és \(d\) számok nem csak egész számként, hanem törtként is megadhatók.
A \(n\) szám csak pozitív egész szám lehet.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes tört egész és tört részeit ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani.
Például megadhat tizedes törteket, például 2,5-öt vagy 2,5-öt

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
Bemenet:
Eredmény: \(-\frac(2)(3)\)

A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet:
Eredmény: \(-1\frac(2)(3)\)

Írja be az a n, d, n számokat

Keress egy 1

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Számsorozat

A mindennapi gyakorlatban a különféle objektumok számozását gyakran használják az elrendezésük sorrendjének jelzésére. Például minden utcában a házakat számozzák. A könyvtárban az olvasói előfizetéseket számozzák, majd a hozzárendelt számok sorrendjében speciális kártyafájlokba rendezik.

Takarékpénztárban a betétes személyes számlaszámával könnyedén megtalálhatja ezt a számlát, és megnézheti, hogy milyen betét van rajta. Az 1-es számla tartalmazzon a1 rubelt, a 2-es számla a2 rubelt, stb. számsor
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ahol N az összes fiók száma. Itt minden n természetes szám 1-től N-ig egy a n számhoz van társítva.

Matematikából is tanult végtelen számsorozatok:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Az a 1 számot hívják a sorozat első tagja, a 2-es szám - a sorozat második tagja, a 3-as szám - a sorozat harmadik tagja stb.
Az a n számot hívják a sorozat n-edik (n-edik) tagja, és az n természetes szám annak szám.

Például négyzetek sorozatában természetes számok 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... és 1 = 1 a sorozat első tagja; és n = n 2 a sorozat n-edik tagja; a n+1 = (n + 1) 2 a sorozat (n + 1)-edik (n plusz első) tagja. Egy sorozat gyakran megadható az n-edik tagjának képletével. Például az \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) képlet határozza meg a \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pontok,\frac(1)(n) , \pontok \)

Aritmetikai progresszió

Az év hossza hozzávetőlegesen 365 nap. A pontosabb érték \(365\frac(1)(4)\) nap, így négyévente egy napos hiba halmozódik fel.

A hiba elhárítására minden negyedik évhez hozzáadunk egy napot, a meghosszabbított évet pedig szökőévnek nevezzük.

Például a harmadik évezredben szökőévek a 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Ebben a sorozatban minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, hozzá kell adni ugyanahhoz a 4-hez. Az ilyen sorozatokat ún. aritmetikai progressziók.

Meghatározás.
Az a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... számsort nevezzük aritmetikai progresszió, ha minden természetes n az egyenlőség
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ahol d valamilyen szám.

Ebből a képletből az következik, hogy a n+1 - a n = d. A d számot különbségnek nevezzük aritmetikai progresszió.

Az aritmetikai progresszió definíciója szerint:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
ahol
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ahol \(n>1 \)

Így egy aritmetikai sorozat minden tagja, a másodiktól kezdve, egyenlő a két szomszédos tag számtani átlagával. Ez magyarázza az "aritmetikai" progresszió elnevezést.

Figyeljük meg, hogy ha a 1 és d adottak, akkor az aritmetikai progresszió fennmaradó tagjait az a n+1 = a n + d ismétlődő képlettel számíthatjuk ki. Ily módon nem nehéz kiszámítani a progresszió első néhány tagját, de például egy 100-hoz már sok számításra lesz szükség. Általában az n-edik képlet kifejezést használják erre. A számtani progresszió definíciója szerint
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
stb.
Egyáltalán,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
mivel egy aritmetikai sorozat n-edik tagját az első tagból kapjuk a d szám (n-1)-szeresének hozzáadásával.
Ezt a képletet ún egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege

Keresse meg az összes természetes szám összegét 1 és 100 között.
Ezt az összeget kétféleképpen írjuk fel:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adjuk hozzá ezeket az egyenlőségeket tagonként:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ez az összeg 100 kifejezésből áll
Ezért 2S = 101 * 100, tehát S = 101 * 50 = 5050.

Tekintsünk most egy tetszőleges aritmetikai sorozatot
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...
Legyen S n ennek a haladásnak az első n tagjának összege:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Akkor egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege egyenlő
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Mivel \(a_n=a_1+(n-1)d\), akkor ebben a képletben egy n-t lecserélve egy másik képletet kapunk egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Könyvek (tankönyvek) Az egységes államvizsga és az egységes államvizsga online tesztek kivonata Játékok, rejtvények Funkciógrafikonok rajzolása Orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szlengszótár Orosz iskolák katalógusa Oroszország középfokú oktatási intézményeinek katalógusa Orosz egyetemek katalógusa feladatokról