Sztárhírek
Törtek összeadása közös nevezővel. Különböző nevezőjű törtek kivonása. Közönséges törtek összeadása és kivonása
Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
A törtek összeadásának két típusa van:
- Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása
- Törtek hozzáadása -val különböző nevezők
Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
2. példa Adjunk hozzá törteket és .
A válasz helytelen törtnek bizonyult. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Megszabadulni helytelen tört, ki kell jelölnie annak egy teljes részét. A mi esetünkben egész rész könnyen kiemelkedik - kettő osztva kettővel egyenlő eggyel:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:
3. példa. Adjunk hozzá törteket és .
Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát ad hozzá egy pizzához, és további pizzákat ad hozzá, 1 egész pizzát és még több pizzát kap.
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni;
Különböző nevezőjű törtek összeadása
Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig egyformák.
Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.
De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.
Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.
A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.
1. példa. Adjuk össze a törteket és
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6
LCM (2 és 3) = 6
Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, 2-t kapunk.
A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztjuk 2-vel, 3-at kapunk.
A kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:
Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:
Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:
Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:
A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).
Az első rajz egy töredéket ábrázol (hatból négy darab), a második rajz pedig egy törtet (hatból három darab). Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen leírtuk. BAN BEN oktatási intézmények Nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Ha iskolában lennénk, ezt a példát a következőképpen kellene leírnunk:
De van olyan is hátoldalérmeket. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.
A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:
- Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét;
- Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez;
- Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel;
- Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, válassza ki a teljes részét;
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
.
Használjuk a fenti utasításokat.
1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét
Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok
2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez
Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik további tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:
3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel
A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:
4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:
Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.
5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki annak teljes részét
A válaszunk helytelen törtnek bizonyult. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:
Választ kaptunk
Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
A törtek kivonásának két típusa van:
- Hasonló nevezővel rendelkező törtek kivonása
- Különböző nevezőjű törtek kivonása
Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.
Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Ismét az első tört számlálójából vonja ki a második tört számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
- Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagynia;
- Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, akkor a teljes részt ki kell emelnie.
Különböző nevezőjű törtek kivonása
Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.
A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják át. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.
1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Először megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12
LCM (3 és 4) = 12
Most térjünk vissza a törtekhez és
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:
Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:
Választ kaptunk
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz
Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:
A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):
Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.
A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30
LCM(10;3;5) = 30
Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:
Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.
A példa folytatása nem fog elférni egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.
A tört csökkentéséhez el kell osztani a számlálót és a nevezőt (GCD) a 20 és 30 számokkal.
Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:
Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel
Választ kaptunk
Tört szorzása számmal
Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlanul kell hagynia.
1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.
Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel
A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz
A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:
Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz
És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:
A törttel szorozandó szám és a tört nevezője akkor lesz feloldva, ha közös osztó, nagyobb, mint egy.
Például egy kifejezést kétféleképpen lehet kiértékelni.
Első út. Szorozzuk meg a 4-et a tört számlálójával, és hagyjuk változatlanul a tört nevezőjét:
Második út. A négy szorozva és a négy a tört nevezőjében csökkenthető. Ezek a négyesek csökkenthetők 4-gyel, mivel két négyes legnagyobb közös osztója maga a négy:
Ugyanezt az eredményt kaptuk 3. A négyesek lecsökkentése után új számok alakulnak ki helyettük: két egyes. De ha egyet megszorozunk hárommal, majd oszt eggyel, az nem változtat semmit. Ezért a megoldást röviden leírhatjuk:
A csökkentés akkor is elvégezhető, ha az első módszer alkalmazása mellett döntöttünk, de a 4-es szám és a 3-as számláló szorzásának szakaszában a csökkentés mellett döntöttünk:
De például a kifejezés csak az első módon számítható ki - szorozza meg 7-et a tört nevezőjével, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a 7-es számnak és a tört nevezőjének nincs egynél nagyobb közös osztója, és ennek megfelelően nem törlődnek.
Egyes tanulók tévedésből lerövidítik a szorzandó számot és a tört számlálóját. Ezt nem tudod megtenni. Például a következő bejegyzés nem helyes:
A töredék csökkentése azt jelenti számlálót és nevezőt is osztva lesz ugyanazzal a számmal. A kifejezéssel kapcsolatos helyzetben az osztás csak a számlálóban történik, mivel ennek írása megegyezik az írással. Látjuk, hogy az osztás csak a számlálóban történik, a nevezőben nem történik osztás.
Törtek szorzása
A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálójukat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.
1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Hogyan lehet ebből a félből kivenni a kétharmadot? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:
És ebből a három darabból vegyél kettőt:
Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki a pizza három részre osztva:
Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:
Más szavakkal, arról beszélünk körülbelül akkora pizza. Ezért a kifejezés értéke
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).
Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:
Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel
Egész szám törtként való ábrázolása
Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:
Reciprok számok
Most megismerkedünk nagyon érdekes téma a matematikában. Ezt "fordított számoknak" hívják.
Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.
Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:
Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.
Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet adunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:
Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:
Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:
Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.
Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.
Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.
Tört elosztása számmal
Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?
Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.
A különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályai nagyon egyszerűek.
Lépésről lépésre nézzük meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályait:
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét). A kapott NOC lesz közös nevező frakciók;
2. Csökkentse a törteket közös nevezőre;
3. Adja hozzá a közös nevezőre csökkentett törteket.
Tovább egyszerű példa Tanuljuk meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályait.
Példa
Példa különböző nevezőjű törtek összeadására.
Különböző nevezőjű törtek hozzáadása:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Lépésről lépésre döntünk.
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét).
A 12-es szám osztható 6-tal.
Ebből arra következtetünk, hogy a 12 a 6 és 12 számok legkisebb közös többszöröse.
Válasz: a 6-os és 12-es számok száma 12:
LCM(6; 12) = 12
A kapott LCM lesz a közös nevező két tört 1/6 és 5/12 között.
2. Csökkentse a törteket közös nevezőre.
Példánkban csak az első törtet kell 12-es közös nevezőre redukálni, mert a második törtnek már 12-es a nevezője.
Osszuk el a 12 közös nevezőjét az első tört nevezőjével:
2-nek van egy további szorzója.
Szorozzuk meg az első tört (1/6) számlálóját és nevezőjét további 2-szeres tényezővel.
A törtkifejezéseket a gyermek nehezen érti meg. A legtöbb embernek nehézségei vannak. A „törtek hozzáadása egész számokkal” témakör tanulmányozásakor a gyermek kábulatba esik, és nehezen tudja megoldani a problémát. Sok példában egy művelet végrehajtása előtt számítási sorozatot kell végrehajtani. Például alakítson át törteket, vagy alakítson át egy nem megfelelő törtet megfelelő törtté.
Magyarázzuk el világosan a gyereknek. Vegyünk három almát, ebből kettő egész lesz, a harmadikat pedig vágjuk 4 részre. Válasszunk le egy szeletet a felvágott almáról, a maradék hármat pedig helyezzük két egész gyümölcs mellé. ¼ almát kapunk az egyik oldalára, 2 ¾ a másikra. Ha összevonjuk őket, három almát kapunk. Próbáljunk meg 2 ¾ almát ¼-al csökkenteni, azaz vegyünk ki egy másik szeletet, 2 2/4 almát kapunk.
Nézzük meg közelebbről az egész számokat tartalmazó törtekkel végzett műveleteket:
Először is emlékezzünk a közös nevezővel rendelkező törtkifejezések számítási szabályára:
Első pillantásra minden könnyű és egyszerű. De ez csak azokra a kifejezésekre vonatkozik, amelyek nem igényelnek konvertálást.
Hogyan találjuk meg egy olyan kifejezés értékét, ahol a nevezők eltérőek
Egyes feladatokban meg kell találni egy olyan kifejezés jelentését, ahol a nevezők eltérőek. Nézzünk egy konkrét esetet:
3 2/7+6 1/3
Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az értékét úgy, hogy két tört közös nevezőjét keressük.
A 7-es és 3-as számoknál ez 21. Az egész részeket meghagyjuk, a tört részeket pedig 21-re hozzuk, ehhez megszorozzuk az első törtet 3-mal, a másodikat 7-tel, így kapjuk:
6/21+7/21, ne felejtsd el, hogy egész részeket nem lehet átalakítani. Ennek eredményeként két törtet kapunk azonos nevezővel, és kiszámítjuk az összegüket:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Mi van, ha az összeadás eredménye egy helytelen tört, amely már tartalmaz egész részt:
2 1/3+3 2/3
BAN BEN ebben az esetbenÖsszeadjuk az egész részeket és a tört részeket, így kapjuk:
5 3/3, mint tudod, a 3/3 egy, ami azt jelenti, hogy 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Az összeg megállapítása egyértelmű, nézzük a kivonást:
Az elmondottak alapján a vegyes számokkal végzett műveletekre vonatkozó szabály a következő:
- Ha egy tört kifejezésből egész számot kell kivonni, akkor a második számot nem kell törtként ábrázolni, elég, ha csak az egész részekre hajtjuk végre a műveletet.
Próbáljuk meg magunk kiszámolni a kifejezések jelentését:
Nézzük meg közelebbről az „m” betű alatti példát:
4 5/11-2 8/11, az első tört számlálója kisebb, mint a második. Ehhez az első törtből kölcsönveszünk egy egész számot, és azt kapjuk,
3 5/11+11/11=3 egész 16/11, vonjuk ki a másodikat az első törtből:
3 16/11-2 8/11=1 egész 8/11
- Legyen óvatos a feladat végrehajtása során, ne felejtse el a helytelen törteket vegyes törtekké alakítani, kiemelve a teljes részt. Ehhez el kell osztani a számláló értékét a nevező értékével, majd ami történik, az a teljes rész helyére kerül, a maradék lesz a számláló, pl.
19/4=4 ¾, ellenőrizzük: 4*4+3=19, a 4-es nevező változatlan marad.
Összesít:
Mielőtt elkezdené egy törtekkel kapcsolatos feladat elvégzését, elemezni kell, hogy milyen kifejezésről van szó, milyen transzformációkat kell végrehajtani a törten, hogy a megoldás helyes legyen. Keressen többet racionális módon megoldásokat. Ne menj a nehezebb úton. Tervezz meg minden lépést, először dönts tervezet, majd vigye át az iskolai füzetébe.
A törtkifejezések megoldása során a félreértés elkerülése érdekében be kell tartania a következetesség szabályát. Döntsön el mindent körültekintően, kapkodás nélkül.
Műveletek törtekkel.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Térjünk rá a fő kérdésre.
Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.
Mindezek a műveletek decimális a törtekkel való munka nem különbözik az egész számokkal való munkavégzéstől. Tulajdonképpen ez a jó bennük, a tizedesjegyek. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.
Vegyes számok, mint már mondtam, a legtöbb művelethez kevés hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.
De a műveletek közönséges törtek ravaszabbak lesznek. És még sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük ezt az egész aritmetikát.
Törtek összeadása és kivonása.
A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, a teljesen feledékenyeket hadd emlékeztessem: összeadásnál (kivonásnál) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:
Röviden, be Általános nézet:
Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört alaptulajdonságát felhasználva (itt megint jól jön!) a nevezőket azonosra tesszük! Például:
Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Minden esetre hadd jegyezzem meg, hogy 2/5 és 4/10 ugyanaz a tört! Csak 2/5 kellemetlen számunkra, és 4/10 tényleg rendben van.
Egyébként minden matematikai feladat megoldásának ez a lényege. Amikor mi tőlünk kényelmetlen kifejezéseket csinálunk ugyanaz, de megoldása kényelmesebb.
Egy másik példa:
Hasonló a helyzet. Itt 48-at csinálunk a 16-ból. Egyszerű szorzással a 3. Ez mind világos. De valami ilyesmivel találkoztunk:
Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt hívják „közös nevezőre redukálni”:
Azta! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyszerre osztható 7-tel és 9-cel. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredmény biztosan osztható 7-tel!
Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia az összes törtre közös nevezőt, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie. Például:
És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal. Ezért ezekből a számokból könnyű 16-ot kapni. Ez a szám lesz a közös nevező. Váltsunk 1/2-ből 8/16-ra, 3/4-ből 12/16-ra, és így tovább.
Egyébként ha az 1024-et veszed közös nevezőnek, akkor minden sikerül, a végén minden lecsökken. De nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...
Egészítse ki a példát. Nem valamiféle logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.
Szóval a törtek összeadása (kivonása) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azoknak jár, akik becsületesen dolgoztak az alsó tagozaton... És nem felejtettek el semmit.
És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt derül ki az új rake, igen...
Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:
A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Ezt diktálja a tört fő tulajdonsága. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az X-hez a nevező első törtjében. (az jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:
És persze nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitjuk ki a zárójelet! És most, a jobb oldali közös nevezőt nézve rájövünk: ahhoz, hogy az x(x+1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szorozni ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x+1) . És a második frakcióban - x-hez. Ezt kapod:
Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Persze nem a zárójeleket, hanem a hiányukat. A zárójelek azért jelennek meg, mert szorozunk minden számláló és minden névadó! És nem az egyes darabjaik...
A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törtekben, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. Mindent megszorozunk és hasonlókat adunk. Nem kell a nevezőkben a zárójelet kinyitni, vagy bármit szorozni! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:
Tehát megkaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Ha egyszer megoldod a példákat, megszokod, minden egyszerűvé válik. Azok, akik kellő időben elsajátították a törteket, ezeket a műveleteket egy bal kézzel, automatikusan elvégzik!
És még egy megjegyzés. Sokan okosan foglalkoznak a törtekkel, de elakadnak a példákon egész számok. Tetszik: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a két darabot? Nem kell sehova rögzíteni, kettőből törtet kell csinálni. Nem könnyű, de nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.
Nos, felfrissült a törtek összeadás és kivonás ismerete. A törtek egyik típusból a másikba való átalakítása megismétlődött. Ellenőrizni is lehet. rendezzük egy kicsit?)
Kiszámítja:
Válaszok (rendetlenségben):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Törtek szorzása/osztása – a következő leckében. Minden törtekkel végzett művelethez vannak feladatok is.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
Keresse meg a számlálót és a nevezőt. A tört két számot tartalmaz: a vonal felett található számot számlálónak, a vonal alatt található számot nevezőnek nevezzük. A nevező azon részek teljes számát jelöli, amelyekre egy egész fel van osztva, a számláló pedig a figyelembe vett részek számát.
- Például a ½ törtben a számláló 1, a nevező pedig 2.
Határozza meg a nevezőt. Ha két vagy több törtnek van közös nevezője, akkor az ilyen törtek sora alatt azonos számmal szerepelnek, vagyis ebben az esetben egy bizonyos egészet ugyanannyi részre osztanak. A közös nevezővel rendelkező törtek összeadása nagyon egyszerű, mivel a teljes tört nevezője megegyezik az összeadandó törtekkel. Például:
- A 3/5 és 2/5 törtek közös nevezője 5.
- A 3/8, 5/8, 17/8 törtek közös nevezője 8.
Határozza meg a számlálókat! Közös nevezőjű törtek összeadásához adja hozzá a számlálóikat, és írja be az eredményt az összeadandó törtek nevezője fölé.
- A 3/5 és 2/5 törteknek 3 és 2 számlálója van.
- A 3/8, 5/8, 17/8 törtek számlálói 3, 5, 17.
Adja össze a számlálókat. A 3/5 + 2/5 feladatban add össze a 3 + 2 = 5 számlálókat. A 3/8 + 5/8 + 17/8 feladatban add össze a 3 + 5 + 17 = 25 számlálókat.
Írd le a teljes törtet. Ne feledje, hogy ha törteket ad hozzá közös nevezővel, az változatlan marad - csak a számlálókat adják hozzá.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Ha szükséges, alakítsa át a törtet. Néha egy tört egész számként írható fel, nem pedig törtként vagy decimális. Például az 5/5 tört könnyen 1-re konvertálható, mivel minden olyan tört, amelynek a számlálója megegyezik a nevezőjével, 1. Képzeljünk el egy három részre vágott pitét. Ha mindhárom részt megeszi, akkor az egész (egy) pitét megette.
- Bármely tört tizedesvesszővé alakítható; Ehhez osszuk el a számlálót a nevezővel. Például az 5/8 tört a következőképpen írható fel: 5 ÷ 8 = 0,625.
Ha lehetséges, egyszerűsítse a törtet. Az egyszerűsített tört olyan tört, amelynek számlálója és nevezője nem rendelkeznek közös tényezőkkel.
- Vegyük például a 3/6 törtet. Itt mind a számlálónak, mind a nevezőnek közös osztója van 3-mal, vagyis a számláló és a nevező teljesen osztható 3-mal. Ezért a 3/6 tört a következőképpen írható fel: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
Ha szükséges, alakítson át egy nem megfelelő törtet vegyes törtté (vegyes szám). A helytelen tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, például 25/8 (a megfelelő törtnek van számlálója kevesebb, mint a nevező). A nem megfelelő tört átváltható vegyes törtté, amely egy egész részből (vagyis egy egész számból) és egy tört részből (vagyis egy megfelelő törtből) áll. Egy helytelen tört, például 25/8 vegyes számmá alakításához kövesse az alábbi lépéseket:
- Osszuk el egy helytelen tört számlálóját a nevezőjével; írja le a részhányadost (egész választ). Példánkban: 25 ÷ 8 = 3 plusz némi maradék. Ebben az esetben a teljes válasz a vegyes szám teljes része.
- Keresse meg a maradékot. Példánkban: 8 x 3 = 24; a kapott eredményt vonjuk ki az eredeti számlálóból: 25 - 24 = 1, azaz a maradék 1. Ebben az esetben a maradék a vegyes szám tört részének számlálója.
- Írj vegyes törtet! A nevező nem változik (vagyis egyenlő a nem megfelelő tört nevezőjével), így 25/8 = 3 1/8.
