Utasítás

Ha egy modult folytonos függvényként ábrázolunk, akkor argumentumának értéke lehet pozitív vagy negatív: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Könnyen belátható, hogy a komplex számok összeadása és kivonása ugyanazt a szabályt követi, mint az összeadás és a .

Két komplex szám szorzata egyenlő:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Mivel i^2 = -1, a végeredmény a következő:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

A komplex számok hatványozási és gyökkivonási műveleteit ugyanúgy definiáljuk, mint a valós számoknál. A komplex tartományban azonban bármely számhoz pontosan n olyan b szám van, amelyre b^n = a, azaz n n-edik fokú gyöke.

Ez konkrétan azt jelenti, hogy bármely n fokú, egy változós algebrai egyenletnek pontosan n összetett gyöke van, amelyek közül néhány lehet .

Videó a témáról

Források:

• „Komplex számok” előadás 2019-ben

A gyökér egy olyan ikon, amely egy szám megtalálásának matematikai műveletét jelöli, amelynek a gyökérjel előtt jelzett hatványra emelése pontosan az e jel alatt jelzett számot adja. A gyökérrel kapcsolatos problémák megoldásához gyakran nem elegendő az érték kiszámítása. További műveleteket kell végrehajtani, amelyek közül az egyik szám, változó vagy kifejezés bevitele a gyökérjel alá.

Utasítás

Határozza meg a gyökérkitevőt! A kitevő egy egész szám, amely azt a hatványt jelzi, amelyre a gyökszámítás eredményét fel kell emelni, hogy megkapjuk a gyökkifejezést (azt a számot, amelyből ez a gyök kivonható). A gyökérkitevő felső indexként a gyökér ikon előtt. Ha ez nincs megadva, akkor igen négyzetgyök, melynek foka kettő. Például a √3 gyök kitevője kettő, a ³√3 kitevője három, a ⁴√3 gyök kitevője négy stb.

Emelje hatványra a gyökérjel alá beírni kívánt számot, egyenlő az indikátorral ez a gyökér, amelyet az előző lépésben határoztál meg. Például, ha a gyök ⁴√3 jele alá kell beírni az 5-ös számot, akkor a gyökfok indexe négy, és az 5-öt a negyedik hatványra emelni kell, 5⁴=625. Ezt az Ön számára kényelmes módon megteheti - fejben, számológép vagy a megfelelő szolgáltatások segítségével.

Írja be az előző lépésben kapott értéket a gyökjel alá a gyökkifejezés szorzójaként. Az előző lépésben használt példában, amelyben a gyökér alá ⁴√3 5 (5*⁴√3) került, ez a művelet a következőképpen hajtható végre: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Leegyszerűsítse a kapott gyök kifejezést, ha lehetséges. Egy példa az előző lépésekből, csak meg kell szoroznia a gyökjel alatti számokat: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ezzel befejeződik a szám gyökér alatti bevitele.

Ha a probléma ismeretlen változókat tartalmaz, akkor a fent leírt lépéseket megteheti általános nézet. Például, ha egy ismeretlen x változót kell beírni a negyedik gyökér alá, és a gyök kifejezés 5/x³, akkor a teljes műveletsor a következőképpen írható fel: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Források:

• hogy hívják a gyökérjelet?

A valós számok nem elegendőek bármelyik megoldáshoz másodfokú egyenlet. A legegyszerűbb másodfokú egyenlet, amelynek nincs gyökere valós számok- ez x^2+1=0. Megoldásánál kiderül, hogy x=±sqrt(-1), és az elemi algebra törvényei szerint a páros fok gyökét vonjuk ki a negatívból számok tilos.

A tanulók számára az egyik legnehezebb téma a modulusjel alatt változót tartalmazó egyenletek megoldása. Először nézzük meg, mihez kapcsolódik ez? Miért például a legtöbb gyerek úgy töri fel a másodfokú egyenleteket, mint a diót, de ez messze nem a legjobb? összetett fogalom Hogy lehet ennyi probléma a modullal?

Véleményem szerint mindezen nehézségek a modulusos egyenletek megoldására vonatkozó világosan megfogalmazott szabályok hiányával járnak. Tehát egy másodfokú egyenlet megoldása során a tanuló pontosan tudja, hogy először a diszkrimináns formulát, majd a másodfokú egyenlet gyökeinek képleteit kell alkalmaznia. Mi a teendő, ha az egyenletben modulus található? Megpróbáljuk világosan leírni a szükséges intézkedési tervet arra az esetre, ha az egyenlet a modulusjel alatt ismeretlent tartalmaz. Minden esetre több példát adunk.

De először emlékezzünk modul meghatározása. Szóval, modulo a szám a ezt a számot magát ha a nem negatív és -a, ha szám a nullánál kisebb. Így írhatod:

|a| = a, ha a ≥ 0 és |a| = -a ha a< 0

Arról beszélünk geometriai érzék modulban, ne feledje, hogy minden valós szám a számtengely egy bizonyos pontjának felel meg - annak a koordináta. Tehát egy szám modulja vagy abszolút értéke az ettől a ponttól a numerikus tengely kezdőpontja közötti távolság. A távolság mindig pozitív számként van megadva. Így bármely negatív szám modulusa pozitív szám. Mellesleg, még ebben a szakaszban is sok diák kezd összezavarodni. A modul bármilyen számot tartalmazhat, de a modul használatának eredménye mindig pozitív szám.

Most térjünk át közvetlenül az egyenletek megoldására.

1. Tekintsünk egy |x| alakú egyenletet = c, ahol c egy valós szám. Ez az egyenlet a modulus definícióval oldható meg.

Az összes valós számot három csoportra osztjuk: a nullánál nagyobbak, nullánál kisebbek, a harmadik csoport pedig a 0. A megoldást diagram formájában írjuk fel:

(±c, ha c > 0

Ha |x| = c, akkor x = (0, ha c = 0

(nincs gyökér, ha együtt< 0

1) |x| = 5, mert 5 > 0, akkor x = ±5;

2) |x| = -5, mert -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, majd x = 0.

2. |f(x)| alakú egyenlet = b, ahol b > 0. Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell szabadulni a modultól. Ezt így csináljuk: f(x) = b vagy f(x) = -b. Most minden kapott egyenletet külön kell megoldania. Ha az eredeti egyenletben b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, mert 4 > 0, akkor

x + 2 = 4 vagy x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, mert 11 > 0, akkor

x 2 – 5 = 11 vagy x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 nincs gyök

3) |x 2 – 5x| = -8, mert -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| alakú egyenlet = g(x). A modul jelentése szerint egy ilyen egyenletnek akkor lesz megoldása, ha a jobb oldala nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz. g(x) ≥ 0. Ekkor lesz:

f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ennek az egyenletnek akkor lesz gyöke, ha 5x – 10 ≥ 0. Itt kezdődik az ilyen egyenletek megoldása.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Megoldás:

2x – 1 = 5x – 10 vagy 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Összevonjuk az O.D.Z. és a megoldást kapjuk:

Az x = 11/7 gyök nem felel meg az O.D.Z.-nek, kisebb, mint 2, de x = 3 teljesíti ezt a feltételt.

Válasz: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Megoldás:

x – 1 = 1 – x 2 vagy x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 vagy x = 1 x = 0 vagy x = 1

3. Egyesítjük a megoldást és az O.D.Z.-t:

Csak az x = 1 és x = 0 gyök megfelelő.

Válasz: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| alakú egyenlet = |g(x)|. Egy ilyen egyenlet ekvivalens a következő két egyenlettel: f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ez az egyenlet a következő kettővel ekvivalens:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 vagy x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 vagy x = 4 x = 2 vagy x = 1

Válasz: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Helyettesítési módszerrel (változócsere) megoldott egyenletek. Ez a módszer a megoldásokat a legkönnyebb elmagyarázni konkrét példa. Adjunk tehát egy másodfokú egyenletet modulussal:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Az x 2 = |x| modulus tulajdonság alapján 2, így az egyenlet a következőképpen írható át:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Végezzük el az |x| helyettesítést = t ≥ 0, akkor lesz:

t 2 – 6t + 5 = 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t = 1 vagy t = 5. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = 1 vagy |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Válasz: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Nézzünk egy másik példát:

x 2 + |x| – 2 = 0. Az x 2 = |x| modulus tulajdonság alapján 2, tehát

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tegyük meg az |x| helyettesítést = t ≥ 0, akkor:

t 2 + t – 2 = 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t = -2 vagy t = 1. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = -2 vagy |x| = 1

Nincs gyök x = ± 1

Válasz: x = -1, x = 1.

6. Az egyenletek másik típusa az „összetett” modulusú egyenletek. Az ilyen egyenletek magukban foglalják azokat az egyenleteket is, amelyek „modulokat tartalmaznak egy modulon belül”. Az ilyen típusú egyenletek a modul tulajdonságaival oldhatók meg.

1) |3 – |x|| = 4. Ugyanúgy járunk el, mint a második típusú egyenleteknél. Mert 4 > 0, akkor két egyenletet kapunk:

3 – |x| = 4 vagy 3 – |x| = -4.

Most fejezzük ki az x modulust minden egyenletben, akkor |x| = -1 vagy |x| = 7.

Minden kapott egyenletet megoldunk. Az első egyenletben nincsenek gyökök, mert -1< 0, а во втором x = ±7.

Válasz x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ezt az egyenletet hasonló módon oldjuk meg:

3 + |x + 1| = 5 vagy 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 vagy x + 1 = -2. Nincsenek gyökerek.

Válasz: x = -3, x = 1.

Létezik egy univerzális módszer is a modulusos egyenletek megoldására. Ez az intervallum módszer. De majd később megnézzük.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ez az online matematikai számológép a segítségedre lesz egyenletet vagy egyenlőtlenséget megoldani modulusokkal. Program a egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása modulusokkal nem csak a problémára ad választ, hanem vezet is részletes megoldás magyarázatokkal

, azaz megjeleníti az eredmény elérésének folyamatát. Ez a program hasznos lehet középiskolások számára középiskolák előkészítése során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága Önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni?

házi feladat

matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

vagy abs(x) - x modul

Adjon meg egy egyenletet vagy egyenlőtlenséget modulokkal
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Oldj meg egy egyenletet vagy egyenlőtlenséget!

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben. Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.

Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent. Kérjük, várjon mp...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon. Ne felejtsd el.

jelezze, melyik feladatot

te döntöd el, mit

írja be a mezőkbe

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Egyenletek és egyenlőtlenségek modulusokkal
ha \(a \geq 0 \), akkor \(|a|=a \);
if \(a A modulusokkal rendelkező egyenlet (egyenlőtlenség) általában olyan egyenlethalmazra (egyenlőtlenségre) redukálódik, amely nem tartalmazza a modulusjelet.

A fenti definíción kívül a következő állítások használatosak:
1) Ha \(c > 0\), akkor a \(|f(x)|=c \) egyenlet ekvivalens a következő egyenletekkel: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(tömb)\jobbra.
2) Ha \(c > 0 \), akkor a \(|f(x)| egyenlőtlenség 3) Ha \(c \geq 0 \), akkor a \(|f(x)| > c \) egyenlőtlenség egyenlőtlenségek halmazával egyenértékű: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ha az egyenlőtlenség mindkét oldala \(f(x) PÉLDA 1. Oldja meg a \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) egyenletet.

Ha \(x-1 \geq 0\), akkor \(|x-1| = x-1\) és az adott egyenlet a következőt veszi fel
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \jobbra nyíl x^2 +2x -8 = 0 \).
Ha \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \jobbra nyíl x^2 -2x -4 = 0 \).
Így az adott egyenletet a két jelzett esetben külön kell figyelembe venni.
1) Legyen \(x-1 \geq 0 \), azaz. \(x\geq 1\). Az \(x^2 +2x -8 = 0\) egyenletből megtaláljuk a \(x_1=2, \; x_2=-4\).
A \(x \geq 1 \) feltételt csak az \(x_1=2\) érték teljesíti.

2) Legyen \(x-1 Válasz: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

2. PÉLDA Oldja meg a \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\ egyenletet. Első út
(definíció szerint modulbővítés).

Az 1. példában leírtak szerint arra a következtetésre jutunk, hogy az adott egyenletet külön kell figyelembe venni, ha két feltétel teljesül: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) vagy \(x^2-6x+7
1) Ha \(x^2-6x+7 \geq 0 \), akkor \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) és az adott egyenlet a \(x) alakot veszi fel ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Jobbra 3x^2-23x+30=0 \). A másodfokú egyenlet megoldása után a következőt kapjuk: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). Nézzük meg, hogy az \(x_1=6\) érték megfelel-e a \(x^2-6x+7 \geq 0\) feltételnek. Ehhez helyettesítsük meghatározott értéket
másodfokú egyenlőtlenségbe. A következőt kapjuk: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), azaz. \(7 \geq 0 \) valódi egyenlőtlenség.

2) Ha \(x^2-6x+7 Érték \(x_3=3\) teljesíti a \(x^2-6x+7 Érték \(x_4=\frac(4)(3) \) feltételt, akkor nem teljesül a \ feltétel (x^2-6x+7 Tehát az adott egyenletnek két gyöke van: \(x=6, \; x=3 \).

Második út. Ha az egyenlet \(|f(x)| = h(x) \), akkor \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(tömb)\jobbra \)
Mindkét egyenletet fentebb megoldottuk (az adott egyenlet első megoldási módszerével), gyökük a következő: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Feltétel \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ezekből négy érték csak kettő felel meg: 6 és 3. Ez azt jelenti, hogy az adott egyenletnek két gyöke van: \(x=6, \; x=3\).

Harmadik út(grafikus).
1) Készítsük el a \(y = |x^2-6x+7| \) függvény grafikonját. Először készítsünk egy parabolát \(y = x^2-6x+7\).
Van \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Az \(y = (x-3)^2-2\) függvény grafikonját az \(y = x^2 \) függvény grafikonjából kaphatjuk meg, ha 3 skálaegységgel jobbra toljuk (mentén az x tengely) és 2 skálaegységgel lefelé ( az y tengely mentén).
Az x=3 egyenes a minket érdeklő parabola tengelye. Ellenőrző pontként a pontosabb ábrázolás érdekében célszerű a (3; -2) pontot - a parabola csúcsát, a (0; 7) pontot és a (6; 7) pontot szimmetrikusan venni a parabola tengelyéhez képest. .

Az \(y = |x^2-6x+7| \) függvény grafikonjának elkészítéséhez változatlanul kell hagynia a megszerkesztett parabolának azokat a részeit, amelyek nem fekszenek az x tengely alatt, és tükröznie kell a parabola, amely az x tengely alatt van az x tengelyhez képest.

2) Készítsük el a \(y = \frac(5x-9)(3)\ lineáris függvény grafikonját. Célszerű a (0; –3) és (3; 2) pontokat kontrollpontnak venni. Fontos, hogy az egyenes és az abszcissza tengely metszéspontjának x = 1,8 pontja a parabola abszcisszatengellyel való bal oldali metszéspontjától jobbra legyen - ez a pont \(x=3-\ sqrt(2) \) (hiszen \(3-\sqrt(2 ) 3) A rajz alapján a grafikonok két pontban metszik egymást - A(3; 2) és B(6; 7). Ezek abszcisszáit helyettesítve Az x = 3 és az x = 6 pontokat az adott egyenletbe meggyõzõdjük, hogy egy másik értékben a helyes numerikus egyenlõséget kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a hipotézisünk beigazolódott - az egyenletnek két gyökere van: x = 3 és x = 6. Válasz: 3;

Megjegyzés

2. PÉLDA Oldja meg a \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\ egyenletet.
. A grafikus módszer minden eleganciája ellenére nem túl megbízható. A vizsgált példában ez csak azért működött, mert az egyenlet gyökei egész számok.

Tekintsük az első intervallumot: \((-\infty; \; -3) \).
Ha x Tekintsük a második intervallumot: \([-3; \; 2) \).
Ha \(-3 \leq x Tekintsük a harmadik intervallumot: \()