A téma a racionális számok. Egész számok és racionális számok. Valós számok

16.10.2019

Racionális számok formájú számok, ahol
egy egész szám, és – természetes. A racionális számok halmazát betűvel jelöljük . Ebben az esetben a kapcsolat teljesül
, hiszen tetszőleges egész szám
formában ábrázolható . Így tehát azt lehet mondani racionális számok– ezek mind egész számok, valamint pozitív és negatív közönséges törtek.

Tizedesjegyek - ezek olyan közönséges törtek, amelyekben a nevező egy nullával, azaz 10; 100; 1000 stb. A tizedes törteket nevezők nélkül írjuk. Először a szám egész részét írjuk le, jobbra vesszőt teszünk; A tizedesvessző utáni első számjegy a tizedek számát, a második – századot, a harmadik – ezreléket, stb. A tizedesvessző utáni számokat tizedesjegyeknek nevezzük.

Végtelen hívott decimális, amelynek a tizedesvessző után végtelen számú számjegye van.

Minden racionális szám véges vagy végtelen tizedesjegyként ábrázolható. Ezt úgy érjük el, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel.

A végtelen tizedes törtet nevezzük időszakos , ha egy bizonyos helyről kiindulva egy számjegy vagy számjegycsoport ismétlődik, közvetlenül követve egymást. Az ismétlődő számjegyeket vagy számjegycsoportokat pontnak nevezzük, és zárójelbe írjuk. Például, .

Ennek a fordítottja is igaz: bármely végtelen periodikus tizedes tört ábrázolható közönséges tört.

Soroljunk fel néhány információt a periodikus törtekről.

1. Ha egy tört periódusa közvetlenül a tizedesvessző után kezdődik, akkor a tört meghívásra kerül tisztán időszakos , ha nem közvetlenül a tizedesvessző után – vegyes periodikus .

Például az 1,(58) egy tisztán periodikus tört, a 2,4(67) pedig egy vegyes periodikus tört.

2. Ha egy irreducibilis tört olyan, hogy a nevezőjének prímtényezőkre történő felbontása csak a 2-es és 5-ös számokat tartalmazza, majd a szám rögzítése tizedesként a végső tizedes törtet jelenti; ha a jelzett bővítésben más prímtényezők is vannak, akkor végtelen tizedes periodikus törtet kapunk.

3. Ha egy irreducibilis tört olyan, hogy nevezőjének prímtényezőkre bontása nem tartalmazza a 2-es és 5-ös számokat, akkor a szám rögzítése tizedes tört formájában tisztán periodikus tizedes tört; ha a jelzett bővítésben más prímtényezőkkel együtt 2 vagy 5 van, akkor vegyes periódusos tizedes tört az eredmény.

4. Egy periodikus törtnek tetszőleges hosszúságú periódusa lehet, azaz tetszőleges számú számjegyet tartalmazhat.

1.3. Irracionális számok

Irracionális szám végtelen tizedes nem periodikus törtnek nevezzük .

Az irracionális számok példái a természetes számok gyökei, amelyek nem természetes számok négyzetei. Például,
,
. A számok irracionálisak
;
. Az irracionális számok halmazát a betű jelöli .

1.10. példa. Bizonyítsd
irracionális szám.

Megoldás. Tegyünk úgy, mintha
- racionális szám. Nyilvánvaló, hogy nem egész, és ezért
, Ahol
És – irreducibilis tört; számokat jelent
És kölcsönösen egyszerű. Mert
, Azt
, vagyis
.

Ebben a leckében sok racionális számot fogunk megismerni. Elemezzük a racionális számok alapvető tulajdonságait, tanuljuk meg, hogyan lehet tizedes törteket közönséges törtekké alakítani és fordítva.

A természetes és egész számok halmazairól már szóltunk. A természetes számok halmaza az egész számok részhalmaza.

Most megtanultuk, mik azok a törtek, és megtanultuk, hogyan kell dolgozni velük. A tört például nem egész szám. Ez azt jelenti, hogy le kell írnunk egy új számhalmazt, amely az összes törtet tartalmazza, és ennek a halmaznak névre, világos definícióra és megnevezésre van szüksége.

Kezdjük a névvel. A latin ratio szót aránynak, törtnek fordítják oroszra. Az új halmaz „racionális számok” neve ebből a szóból származik. Vagyis a „racionális számok” lefordíthatók „törtszámoknak”.

Nézzük meg, milyen számokból áll ez a készlet. Feltételezhetjük, hogy minden törtből áll. Például az ilyen - . De egy ilyen meghatározás nem lenne teljesen helyes. A tört nem maga a szám, hanem egy számírási forma. Az alábbi példában kettő különböző frakciók ugyanazt a számot képviselik:

Akkor pontosabb lenne azt mondani, hogy a racionális számok azok a számok, amelyek törtként ábrázolhatók. És ez valójában majdnem ugyanaz a definíció, mint amit a matematikában használnak.

Ezt a készletet a betű jelöli. Hogyan viszonyulnak a természetes és egész számok halmazai a racionális számok új halmazához? Egy természetes szám törtként végtelen sokféleképpen írható fel. És mivel törtként is ábrázolható, így racionális is.

Hasonló a helyzet a negatív egész számokkal is. Bármely negatív egész szám ábrázolható törtként . Lehetséges-e a nulla szám törtként ábrázolni? Természetesen megteheti, szintén végtelen sokféleképpen .

Így minden természetes szám és minden egész szám egyben racionális szám is. A természetes számok és egész számok halmazai a racionális számok halmazának () részhalmazai.

A halmazok zártsága az aritmetikai műveletek tekintetében

Az új számok – egész számok, majd racionális – bevezetésének szükségessége nem csak az abból származó problémákkal magyarázható való élet. Maguk az aritmetikai műveletek mondják el ezt. Adjunk hozzá két természetes számot: . Ismét természetes számot kapunk.

Azt mondják, hogy a természetes számok halmaza az összeadás művelete alatt zárt (összeadás alatt zárt). Gondolja végig, hogy a természetes számok halmaza zárt-e a szorzás alatt.

Amint megpróbálunk egy számból kivonni valami egyenlőt vagy nagyobbat, hiányoznak a természetes számok. A nulla és negatív egész számok bevezetése javítja a helyzetet:

Az egész számok halmaza a kivonás alatt zárva van. Bármilyen egész számot összeadhatunk és kivonhatunk anélkül, hogy félnénk attól, hogy nincs számunk az eredmény írásához (az összeadáshoz és kivonáshoz zárva).

Az egész számok halmaza zárva van a szorzás alatt? Igen, bármely két egész szám szorzata egész számot eredményez (összeadás, kivonás és szorzás zárva).

Még egy akció van hátra - megosztás. Az egész számok halmaza osztás alatt zárt? A válasz egyértelmű: nem. Osszuk el vele. Az egész számok között nincs ilyen szám a válasz felírásához: .

De tört használatával szinte mindig felírhatjuk egy egész szám egy másikkal való osztásának eredményét. Miért majdnem? Emlékezzünk arra, hogy definíció szerint nem lehet nullával osztani.

Így a racionális számok halmaza (amely törtek bevezetésekor keletkezik) mind a négy aritmetikai művelet szerint zárt halmaznak számít.

Ellenőrizzük.

Vagyis a racionális számok halmaza összeadás, kivonás, szorzás és osztás alatt zárva van, kivéve a nullával való osztást. Ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy a racionális számok halmaza „jobb” szerkezetű, mint a természetes és egész számok korábbi halmazai. Ez azt jelenti, hogy a racionális számok az utolsó számhalmaz, amelyet tanulmányozunk? Nem. Ezt követően lesznek további számaink, amelyeket nem lehet törtként felírni, például irracionálisak.

A számok mint eszköz

A számok olyan eszköz, amelyet az ember szükség szerint hozott létre.

Rizs. 1. Természetes számok használata

Tovább, amikor vezetni kellett készpénzes elszámolások, plusz vagy mínusz jeleket kezdtek elhelyezni a szám elé, jelezve, hogy az eredeti értéket növelni vagy csökkenteni kell. Így jelentek meg a negatív és pozitív számok. Az új halmazt egész számok halmazának ().

Rizs. 2. Törtek használata

Ezért úgy tűnik új eszköz, az új számok törtek. Különböző ekvivalens módon írjuk őket: közönséges és tizedes törtként ( ).

Az összes számot - „régi” (egész) és „új” (törtszám) - egy halmazba egyesítették, és racionális számok halmazának nevezték el (- racionális számok).

Tehát a racionális szám olyan szám, amely közönséges törtként ábrázolható. De ez a matematikai meghatározás tovább tisztázott. Bármely racionális szám ábrázolható törtként pozitív nevezővel, azaz egy egész szám természetes számhoz viszonyított arányával: .

Ekkor megkapjuk a definíciót: egy számot akkor nevezünk racionálisnak, ha egy egész számlálóval törtként ábrázolható és természetes nevező ().

A közönséges törtek mellett tizedesjegyeket is használunk. Nézzük meg, hogyan viszonyulnak a racionális számok halmazához.

Háromféle tizedesjegy létezik: véges, periodikus és nem periodikus.

Végtelen nem periódusos törtek: az ilyen törtek is végtelen számú tizedesjegyet tartalmaznak, de pont nincs. Példa erre a PI decimális jelölése:

Minden véges tizedes tört definíció szerint közönséges tört, nevezővel stb.

Olvassuk fel hangosan a tizedes törtet, és írjuk fel közönséges alakban: , .

Ha törtként ír vissza a tizedesjegyre, véges tizedestörteket vagy végtelen periodikus törteket kaphat.

Konvertálás törtből tizedesjegyre

A legegyszerűbb eset, amikor egy tört nevezője tíz hatványa: stb. Ezután a tizedes tört definícióját használjuk:

Vannak törtek, amelyek nevezője könnyen visszavezethető erre a formára: . Ilyen jelölésre akkor lehet menni, ha a nevező kiterjesztése csak kettőt és ötöst tartalmaz.

A nevező három kettősből és egy ötösből áll. Mindegyik egy tízest alkot. Ez azt jelenti, hogy kettő hiányzik. Szorozzuk meg a számlálóval és a nevezővel is:

Lehetett volna másképp is csinálni. Oszd el egy oszloppal (lásd 1. ábra).

Rizs. 2. Oszloposztás

-val esetén a nevező nem alakítható át vagy más számjegyű számmá, mivel a bővítése hármast tartalmaz. Már csak egy út van hátra – az oszlopba osztás (lásd a 2. ábrát).

Az ilyen felosztás minden lépésben maradékot és hányadost ad. Ez a folyamat végtelen. Vagyis egy végtelen periodikus törtet kaptunk egy ponttal

Gyakoroljunk. Alakítsuk át a közönséges törteket tizedesjegyekké.

Mindezen példákban egy utolsó tizedes törthez jutottunk, mivel a nevezőbővítés csak kettőt és ötöst tartalmazott.

(ellenőrizzük magunkat táblázatba bontással – lásd 3. ábra).

Rizs. 3. Hosszú osztás

Rizs. 4. Oszloposztás

(lásd 4. ábra)

A nevező kiterjesztése tartalmaz egy hármast, ami azt jelenti, hogy a nevezőt formába hozzuk stb. nem fog működni. Oszd fel oszlopra. A helyzet megismétlődik. Az eredményrekordban végtelen számú hármas lesz. És így, .

(lásd 5. ábra)

Rizs. 5. Oszloposztás

Tehát bármely racionális szám ábrázolható közönséges törtként. Ez az ő meghatározása.

És bármely közönséges tört ábrázolható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként.

A törtek rögzítésének típusai:

tizedes tört felvétele közönséges tört formájában: ; ;

köztört írása tizedesként: (végtört); (végtelen periodikus).

Vagyis bármely racionális szám felírható véges vagy periodikus tizedes törtként. Ebben az esetben a végső tört nulla periódusú periodikusnak is tekinthető.

Néha egy racionális szám pontosan ezt a meghatározást kapja: a racionális szám olyan szám, amely periodikus tizedes törtként írható fel.

Periodikus tört átalakítás

Tekintsünk először egy törtet, amelynek periódusa egy számjegyből áll, és nincs előpontja. Jelöljük ezt a számot betűvel. A módszer az, hogy egy másik számot kapunk ugyanazzal a periódussal:

Ezt úgy tehetjük meg, hogy az eredeti számot megszorozzuk -val. Tehát a számnak ugyanaz a periódusa. Vonja ki magából a számból:

Hogy megbizonyosodjunk arról, hogy mindent helyesen csináltunk, most térjünk át a következőre hátoldal, általunk már ismert módon - oszlopra osztva -vel (lásd 1. ábra).

Valójában egy számot az eredeti formájában kapunk ponttal.

Tekintsünk egy elő- és egy hosszabb periódusú számot: . A módszer pontosan ugyanaz marad, mint az előzőekben előző példa. Új számot kell kapnunk azonos periódussal és azonos hosszúságú előperiódussal. Ehhez az szükséges, hogy a vessző a periódus hosszával jobbra mozduljon el, pl. két karakterrel. Szorozzuk meg az eredeti számot a következővel:

Vonjuk ki az eredeti kifejezést a kapott kifejezésből:

Tehát mi a fordítási algoritmus? A periódusos törtet meg kell szorozni a forma stb. számával, amelyben annyi nulla van, ahány számjegy van a tizedes tört periódusában. Kapunk egy új időszakost. Például:

Egy periodikus törtből kivonva egy másikat, megkapjuk a végső tizedes törtet:

Marad az eredeti periodikus tört közönséges tört formájában történő kifejezése.

A gyakorláshoz saját maga írjon fel néhány időszakos törtet. Ezzel az algoritmussal redukálja le őket egy közönséges tört formájára. A számológép ellenőrzéséhez ossza el a számlálót a nevezővel. Ha minden helyes, akkor megkapja az eredeti periodikus törtet

Tehát bármely véges vagy végtelen periodikus törtet felírhatunk közönséges törtnek, természetes szám és egész szám arányaként. Azok. minden ilyen tört racionális szám.

Mi a helyzet a nem periódusos törtekkel? Kiderült, hogy a nem periodikus törtek nem ábrázolhatók közönséges törtként (ezt a tényt bizonyítás nélkül elfogadjuk). Ez azt jelenti, hogy ezek nem racionális számok. Irracionálisnak nevezik őket.

Végtelen nem periódusos törtek

Ahogy már mondtuk, a racionális szám decimális jelölésben vagy véges, vagy periodikus tört. Ez azt jelenti, hogy ha meg tudunk alkotni egy végtelen nem periodikus törtet, akkor egy nem racionális, azaz irracionális számot kapunk.

Íme az egyik módja ennek megszerkesztésének: Ennek a számnak a tört része csak nullákból és egyesekből áll. Az egyesek közötti nullák száma -val növekszik. Itt nem lehet kiemelni az ismétlődő részt. Vagyis a tört nem periodikus.

Gyakorolja önállóan a nem periodikus tizedes törtek, azaz irracionális számok összeállítását

Ismerős példa az irracionális számra a pi ( ). Ebben a bejegyzésben nincs időszak. De a pi mellett végtelenül sok más irracionális szám létezik. Az irracionális számokról később még szó lesz.

Matematika 5. osztály. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31. kiadás, törölve. - M: Mnemosyne, 2013.
Matematika 5. osztály. Erina T.M. Munkafüzet Vilenkin N.Ya., M. tankönyvéhez: Vizsga, 2013.
Matematika 5. osztály. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013.

Math-prosto.ru ().
Cleverstudents.ru ().
Mathematics-repetition.com ().

Házi feladat

) pozitív vagy negatív előjelű (egész és tört) és nulla számok. A racionális számok pontosabb fogalma így hangzik:

Racionális szám- közönséges törtként ábrázolt szám m/n, ahol a számláló m egész számok, és a nevező n — egész számok, például 2/3.

A végtelen nem periodikus törtek NEM szerepelnek a racionális számok halmazában.

a/b, Ahol a∈ Z (a egész számokhoz tartozik), b∈ N (b természetes számokhoz tartozik).

Racionális számok használata a való életben.

A való életben a racionális számok halmazát néhány egész osztható objektum részeinek megszámlálására használják, Például, sütemények vagy egyéb élelmiszerek, amelyeket fogyasztás előtt darabokra vágnak, vagy a kiterjedt tárgyak térbeli kapcsolatainak hozzávetőleges becslésére.

A racionális számok tulajdonságai.

A racionális számok alapvető tulajdonságai.

1. Rend aÉs b van egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy egyértelműen azonosítsa az 1-et, és csak az egyiket a 3 kapcsolat közül: "<», «>" vagy "=". Ez a szabály - rendelési szabályés így fogalmazd meg:

2 pozitív számok a=m a /n aÉs b=mb/nb ugyanazzal a kapcsolattal vannak kapcsolatban, mint 2 egész szám m a⋅ n bÉs m b⋅ n a;
2 negatív szám aÉs b ugyanolyan arányban kapcsolódnak egymáshoz, mint 2 pozitív szám |b|És |a|;
Amikor a pozitív és b- akkor negatív a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Összeadás művelet. Minden racionális számra aÉs b Van összegzési szabály, amely egy bizonyos racionális számot rendel hozzájuk c. Ráadásul maga a szám c- Ezt összeg számok aÉs bés úgy van jelölve (a+b) összegzés.

Összegzési szabályígy néz ki:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. Szorzási művelet. Minden racionális számra aÉs b Van szorzási szabály, egy bizonyos racionális számhoz társítja őket c. A c számot hívják munka számok aÉs bés jelöljük (a⋅b), és ennek a számnak a megtalálásának folyamatát hívják szorzás.

Szorzási szabályígy néz ki: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. A sorrendi viszony tranzitivitása. Bármely három racionális számra a, bÉs c Ha a Kevésbé bÉs b Kevésbé c, Azt a Kevésbé c, és ha a egyenlő bÉs b egyenlő c, Azt a egyenlő c.

∀ ABC∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Összeadás kommutativitása. A racionális kifejezések helyének megváltoztatása nem változtat az összegen.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Összeadás asszociativitás. A 3 racionális szám összeadásának sorrendje nem befolyásolja az eredményt.

∀ ABC∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulla jelenléte. Létezik egy 0 racionális szám, az összes többi racionális számot összeadva megőrzi.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a

8. Elérhetőség ellentétes számok . Minden racionális számnak van ellentétes racionális száma, és ha összeadjuk, az eredmény 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. A szorzás kommutativitása. A racionális tényezők helyének megváltoztatása nem változtatja meg a terméket.

∀ a,b∈ K a⋅ b=b⋅ a

10. A szorzás asszociativitása. A 3 racionális szám szorzásának sorrendje nincs hatással az eredményre.

∀ ABC∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Az egység elérhetősége. Létezik 1-es racionális szám, ez minden más racionális számot megőrz a szorzás során.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1=a

12. Reciprok számok jelenléte. Minden nullától eltérő racionális számnak van egy inverz racionális száma, amelyet megszorozva 1-et kapunk .

∀ a∈ K∃ a−1∈ K a⋅ a−1=1

13. A szorzás eloszlása az összeadáshoz viszonyítva. A szorzási művelet az összeadáshoz kapcsolódik a disztributív törvény alapján:

∀ ABC∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. A rendelési reláció és az összeadási művelet közötti kapcsolat. A bal és jobb részre racionális egyenlőtlenség add hozzá ugyanazt a racionális számot.

∀ ABC∈ K a ⇒ a+c

15. Kapcsolat a sorrendi reláció és a szorzási művelet között. Egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldala megszorozható ugyanazzal a nemnegatív racionális számmal.

∀ ABC∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arkhimédész axiómája. Bármi legyen is a racionális szám a, könnyű annyi egységet venni, hogy azok összege nagyobb legyen a.

Ezt a cikket a "Racionális számok" témakör tanulmányozásának szentelték. Az alábbiakban a racionális számok definíciói találhatók, példák találhatók, és hogyan határozható meg, hogy egy szám racionális-e vagy sem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionális számok. Definíciók

Mielőtt megadnánk a racionális számok definícióját, emlékezzünk arra, hogy milyen számhalmazok vannak még, és hogyan kapcsolódnak egymáshoz.

A természetes számok ellentéteikkel és a nulla számmal együtt alkotják az egész számok halmazát. Viszont az egész törtszámok halmaza alkotja a racionális számok halmazát.

Definíció 1. Racionális számok

A racionális számok olyan számok, amelyek a b pozitív közös törtként, a b negatív közös törtként vagy nulla számként ábrázolhatók.

Így a racionális számok számos tulajdonságát megtarthatjuk:

Bármely természetes szám racionális szám. Nyilvánvaló, hogy minden n természetes szám 1 n törtként ábrázolható.
Bármely egész szám, beleértve a 0-t is, racionális szám. Valójában bármely pozitív és negatív egész szám könnyen ábrázolható pozitív vagy negatív közönséges törtként. Például 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Minden pozitív vagy negatív közös tört a b racionális szám. Ez közvetlenül következik a fent megadott definícióból.
Bármilyen vegyes szám racionális. Valójában egy vegyes szám ábrázolható közönséges helytelen törtként.
Bármely véges vagy periodikus tizedes tört ábrázolható törtként. Ezért minden periodikus vagy véges tizedes tört racionális szám.
A végtelen és a nem periodikus tizedesjegyek nem racionális számok. Nem ábrázolhatók közönséges törtek formájában.

Mondjunk példákat racionális számokra. Az 5, 105, 358, 1100055 számok természetesek, pozitívak és egész számok. Nyilvánvalóan ezek racionális számok. A - 2, - 358, - 936 számok negatív egész számok és a definíció szerint racionálisak is. A 3 5, 8 7, - 35 8 közönséges törtek is a racionális számok példái.

A racionális számok fenti definíciója rövidebben is megfogalmazható. Még egyszer megválaszoljuk azt a kérdést, hogy mi a racionális szám?

Definíció 2. Racionális számok

A racionális számok olyan számok, amelyek törtként ± z n ábrázolhatók, ahol z egész szám, n pedig természetes szám.

Meg lehet mutatni, hogy ezt a meghatározást ekvivalens a racionális számok előző definíciójával. Ehhez ne feledje, hogy a törtvonal egyenértékű az osztásjellel. Az egész számok osztásának szabályait és tulajdonságait figyelembe véve a következő igazságos egyenlőtlenségeket írhatjuk fel:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Így írhatjuk:

z n = z n , p r és z > 0 0 , p r és z = 0 - z n , p r és z< 0

Valójában ez a felvétel bizonyíték. Adjunk példákat racionális számokra a második definíció alapján. Tekintsük a - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 és - 1 3 5 számokat. Mindezek a számok racionálisak, mivel egész számlálóval és természetes nevezővel törtként is felírhatók: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Adjunk meg egy másik ekvivalens formát a racionális számok meghatározására.

Definíció 3. Racionális számok

A racionális szám olyan szám, amely véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként írható fel.

Ez a meghatározás közvetlenül következik e bekezdés legelső meghatározásából.

Foglaljuk össze és fogalmazzuk meg ezt a pontot:

Pozitív és negatív törtek és egész számok alkotják a racionális számok halmazát.
Minden racionális szám ábrázolható közönséges törtként, melynek számlálója egész, nevezője pedig természetes szám.
Minden racionális szám tizedes törtként is ábrázolható: véges vagy végtelenül periodikus.

Melyik szám a racionális?

Amint azt már megtudtuk, minden természetes szám, egész szám, megfelelő és helytelen közönséges tört, periodikus és véges tizedes tört racionális szám. Ezzel a tudással felvértezve könnyen megállapíthatja, hogy egy bizonyos szám racionális-e.

A gyakorlatban azonban gyakran nem számokkal kell számolni, hanem olyan numerikus kifejezésekkel, amelyek gyököket, hatványokat és logaritmusokat tartalmaznak. Egyes esetekben a válasz a "racionális-e a szám?" messze nem nyilvánvaló. Nézzük meg a kérdés megválaszolásának módszereit.

Ha egy számot csak racionális számokat tartalmazó kifejezésként adunk meg és aritmetikai műveletek közöttük, akkor a kifejezés eredménye egy racionális szám.

Például a 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) kifejezés értéke racionális szám, és 18.

Így leegyszerűsítve a komplexumot numerikus kifejezés lehetővé teszi annak meghatározását, hogy egy adott szám racionális-e.

Most nézzük a gyökér jelét.

Kiderül, hogy az m szám n hatványának gyökeként megadott m n szám csak akkor racionális, ha m valamelyik természetes szám n-edik hatványa.

Nézzünk egy példát. A 2-es szám nem racionális. Míg a 9, 81 racionális számok. A 9 és 81 a 3 és 9 tökéletes négyzete. A 199, 28, 15 1 számok nem racionális számok, mivel a gyökjel alatti számok nem tökéletes négyzetei egyetlen természetes számnak sem.

Most vegyünk egy bonyolultabb esetet. 243 5 racionális szám? Ha 3-at az ötödik hatványra emelünk, 243-at kapunk, így az eredeti kifejezés a következőképpen írható át: 243 5 = 3 5 5 = 3. Ezért ez a szám racionális. Most vegyük a 121 5 számot. Ez a szám irracionális, mivel nincs olyan természetes szám, amelyet az ötödik hatványra emelve 121 lenne.

Annak megállapításához, hogy egy a szám logaritmusa b bázishoz racionális szám-e, alkalmazni kell az ellentmondás módszerét. Például megtudjuk, hogy racionális-e naplószám 2 5. Tegyük fel, hogy ez a szám racionális. Ha ez így van, akkor felírható egy közönséges tört log 2 5 = m n alakjában. A logaritmus tulajdonságai és a fok tulajdonságai szerint a következő egyenlőségek igazak:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Nyilvánvalóan az utolsó egyenlőség lehetetlen, mivel a bal és a jobb oldalon páros, illetve páratlan számok találhatók. Ezért a feltevés helytelen, és a log 2 5 nem racionális szám.

Érdemes megjegyezni, hogy a számok racionalitásának és irracionalitásának meghatározásakor nem szabad hirtelen döntéseket hozni. Például az irracionális számok szorzatának eredménye nem mindig irracionális szám. Jó példa: 2 · 2 = 2 .

Vannak irracionális számok is, amelyeknek irracionális hatványra emelése racionális számot ad. A 2 log 2 3 alakú hatványban az alap és a kitevő irracionális számok. Maga a szám azonban racionális: 2 log 2 3 = 3.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt