Fedezze fel a függvényt, és készítsen róla sematikus grafikont. Teljes függvénytanulmányozási példa online

Vakolat
29.09.2019

Utasítás

Keresse meg a függvény tartományát. Például a sin(x) függvény a -∞ és +∞ közötti teljes intervallumban, az 1/x függvény pedig -∞ és +∞ között van definiálva, kivéve az x = 0 pontot.

Határozza meg a folytonossági területeket és a megszakítási pontokat. Általában egy függvény folytonos ugyanabban a tartományban, ahol definiálva van. A folytonossági hiányok észleléséhez számítást kell végezni, amikor az argumentum megközelíti a definíciós tartományon belüli elszigetelt pontokat. Például az 1/x függvény a végtelenbe hajlik, ha x→0+, és a mínusz végtelenbe, ha x→0-. Ez azt jelenti, hogy az x = 0 pontban van egy második típusú szakadás.
Ha a szakadási pont határai végesek, de nem egyenlőek, akkor ez az első típusú szakadás. Ha egyenlőek, akkor a függvényt folytonosnak tekintjük, bár nincs elszigetelt pontban definiálva.

Keressen függőleges aszimptotákat, ha vannak. Az előző lépés számításai itt segítenek, hiszen a függőleges aszimptota szinte mindig a második típusú megszakítási ponton található. Előfordul azonban, hogy nem egyes pontok záródnak ki a definíciós tartományból, hanem teljes pontintervallumok, és ekkor a függőleges aszimptoták ezeknek az intervallumoknak a szélein helyezkedhetnek el.

Ellenőrizze, hogy a funkció rendelkezik-e speciális tulajdonságok: páros, páratlan és periodicitás.
A függvény akkor is lesz, ha a tartomány bármely x-ére f(x) = f(-x). Például cos(x) és x^2 - egyenletes funkciókat.

A periodicitás egy olyan tulajdonság, amely azt mondja, hogy létezik egy bizonyos T szám, amelyet periódusnak neveznek, és amely bármely x esetén f(x) = f(x + T). Például az összes fő trigonometrikus függvények(szinusz, koszinusz, érintő) - periodikus.

Keresse meg a pontokat. Ehhez számítsa ki az adott függvény deriváltját, és keresse meg x azon értékeit, ahol nullává válik. Például az f(x) = x^3 + 9x^2 -15 függvénynek van egy g(x) = 3x^2 + 18x deriváltja, amely x = 0 és x = -6 esetén eltűnik.

Annak meghatározásához, hogy melyik szélsőpont a maximum és melyik a minimum, kövesse nyomon a derivált előjeleinek változását a talált nulláknál. g(x) az x = -6 pontban az előjelet pluszból, az x = 0 pontban pedig mínuszról pluszra változtatja. Következésképpen az f(x) függvénynek van minimuma az első pontban és minimuma a másodikban.

Így Ön is talált monotonitási régiókat: f(x) monoton növekszik a -∞;-6 intervallumon, monoton csökken -6;0-n és ismét növekszik 0;+∞-n.

Keresse meg a második származékot. A gyökei megmutatják, hogy egy adott függvény grafikonja hol lesz konvex és hol konkáv. Például az f(x) függvény második deriváltja h(x) = 6x + 18 lesz. Az x = -3-nál nullára megy, és az előjelet mínuszról pluszra váltja. Következésképpen az f(x) grafikonja e pont előtt konvex lesz, utána konkáv, és ez a pont maga is inflexiós pont lesz.

Egy függvénynek a függőlegeseken kívül más aszimptotái is lehetnek, de csak akkor, ha definíciós tartománya tartalmazza a . Megkereséséhez számítsa ki f(x) határértékét, amikor x→∞ vagy x→-∞. Ha véges, akkor megtalálta a vízszintes aszimptotát.

A ferde aszimptota egy kx + b alakú egyenes. K megtalálásához számítsa ki f(x)/x határértékét x→∞. Megkeresni a b - határértéket (f(x) – kx) ugyanarra az x→∞-re.

A függvény teljes tanulmányozásához és grafikonjának ábrázolásához javasoljuk a következő sémát használni:

1) keresse meg a függvény definíciós tartományát;

2) keresse meg a függvény és a függőleges aszimptoták megszakadási pontjait (ha vannak);

3) vizsgálja meg a függvény viselkedését a végtelenben, keressen vízszintes és ferde aszimptotákat;

4) vizsgálja meg a paritás (páratlanság) és periodicitás (trigonometrikus függvények) függvényét;

5) keresse meg a függvény monotonitásának szélsőségeit és intervallumait;

6) határozza meg a konvexitási intervallumokat és az inflexiós pontokat;

7) keresse meg a koordinátatengelyekkel való metszéspontokat, és ha lehetséges, néhány további pontot, amelyek tisztázzák a grafikont.

A függvény tanulmányozása a grafikonjának felépítésével egyidejűleg történik.

9. példa Fedezze fel a függvényt, és készítsen grafikont.

1. A meghatározás köre: ;

2. A függvény pontokon megszakadást szenved
,
;

Megvizsgáljuk a függvényt a vertikális aszimptoták jelenlétére.

;
,
─ függőleges aszimptota.

;
,
─ függőleges aszimptota.

3. Megvizsgáljuk a függvényt ferde és vízszintes aszimptoták jelenlétére.

Egyenes
─ ferde aszimptota, ha
,
.

,
.

Egyenes
─ vízszintes aszimptota.

4. A függvény páros, mert
. A függvény paritása a gráf ordinátatengelyhez viszonyított szimmetriáját jelzi.

5. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumait és szélsőértékeit!

Keressük meg a kritikus pontokat, pl. pontok, ahol a derivált 0 vagy nem létezik:
;
. Három pontunk van
;

. Ezek a pontok a teljes valós tengelyt négy intervallumra osztják. Határozzuk meg a jeleket mindegyiken.

A (-∞; -1) és (-1; 0) intervallumokon a függvény növekszik, a (0; 1) és (1; +∞) ─ intervallumokon csökken. Amikor áthalad egy ponton
a derivált pluszból mínuszra változtatja az előjelet, ezért ezen a ponton a függvénynek van maximuma
.

6. Határozza meg a konvexitási és inflexiós pontok intervallumait!

Keressük azokat a pontokat, ahol 0, vagy nem létezik.

nincsenek igazi gyökerei.
,
,

Pontok
És
osszuk fel a valós tengelyt három intervallumra. Határozzuk meg a jelet minden intervallumban.

Így a görbe az intervallumokon
És
lefelé konvex, a (-1;1) intervallumon konvex felfelé; nincsenek inflexiós pontok, mivel a függvény pontokban van
És
nem meghatározott.

7. Keresse meg a tengelyekkel való metszéspontokat!

Tengellyel
a függvény grafikonja a (0; -1) pontban és a tengellyel metszi egymást
a gráf nem metszi egymást, mert ennek a függvénynek a számlálójának nincs valódi gyöke.

Az adott függvény grafikonja az 1. ábrán látható.

1. ábra ─ Függvénygrafikon

A derivatíva fogalmának alkalmazása a közgazdaságtanban. Rugalmassági függvény

A gazdasági folyamatok tanulmányozására és más alkalmazott problémák megoldására gyakran használják a függvény rugalmasságának fogalmát.

Meghatározás. Rugalmassági függvény
a függvény relatív növekménye arányának határának nevezzük a változó relatív növekményéhez nál nél
, . (VII)

Egy függvény rugalmassága azt mutatja meg, hogy hozzávetőlegesen hány százalékkal fog változni a függvény
amikor a független változó megváltozik 1%-kal.

A rugalmassági függvényt a kereslet és a fogyasztás elemzésére használják. Ha a kereslet rugalmassága (abszolút értékben)
, akkor a kereslet rugalmasnak tekinthető, ha
─ semleges, ha
─ az árhoz (vagy a jövedelemhez) képest rugalmatlan.

10. példa Számítsa ki a függvény rugalmasságát!
és keresse meg a rugalmassági index értékét = 3.

Megoldás: a (VII) képlet szerint a függvény rugalmassága:

Legyen akkor x=3
.Ez azt jelenti, hogy ha a független változó 1%-kal nő, akkor a függő változó értéke 1,42%-kal nő.

11. példa Hagyja, hogy a kereslet működjön árral kapcsolatban úgy néz ki, mint a
, Ahol ─ állandó együttható. Határozza meg a keresleti függvény rugalmassági mutatójának értékét x = 3 den áron! egységek

Megoldás: számítsuk ki a keresleti függvény rugalmasságát a (VII) képlet segítségével!

hinni
pénzegységeket kapunk
. Ez azt jelenti, hogy áron
pénzegységek 1%-os drágulás 6%-os keresletcsökkenést okoz, i.e. a kereslet rugalmas.

Ha a probléma megköveteli az f (x) = x 2 4 x 2 - 1 függvény teljes tanulmányozását a grafikonjának felépítésével, akkor ezt az elvet részletesen megvizsgáljuk.

Egy ilyen típusú probléma megoldásához használja a main tulajdonságait és grafikonjait elemi függvények. A kutatási algoritmus a következő lépéseket tartalmazza:

Yandex.RTB R-A-339285-1

A definíciós tartomány megtalálása

Mivel a kutatás a függvény definíciójának területén folyik, ezzel a lépéssel kell kezdeni.

1. példa

A megadott példa magában foglalja a nevező nulláinak megtalálását, hogy kizárjuk őket az ODZ-ből.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ennek eredményeként gyököket, logaritmusokat és így tovább kaphat. Ekkor az ODZ-ben a g (x) ≥ 0 egyenlőtlenséggel, a log a g (x) logaritmusra a g (x) > 0 egyenlőtlenséggel kereshető a g (x) 4 típusú páros fokú gyök.

Az ODZ határainak tanulmányozása és vertikális aszimptoták keresése

Függőleges aszimptoták vannak a függvény határain, amikor az ilyen pontokban az egyoldali határok végtelenek.

2. példa

Tekintsük például az x = ± 1 2 határpontokat.

Ezután tanulmányozni kell a függvényt, hogy megtaláljuk az egyoldalú határértéket. Ekkor azt kapjuk, hogy: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ez azt mutatja, hogy az egyoldali határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy az x = ± 1 2 egyenesek a gráf függőleges aszimptotái.

Egy függvény tanulmányozása, és hogy páros-e vagy páratlan

Ha az y (- x) = y (x) feltétel teljesül, a függvényt párosnak tekintjük. Ez arra utal, hogy a gráf szimmetrikusan helyezkedik el Oy-hez képest. Ha az y (- x) = - y (x) feltétel teljesül, a függvényt páratlannak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a szimmetria a koordináták origójához viszonyított. Ha legalább egy egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az általános forma függvényét kapjuk.

Az y (- x) = y (x) egyenlőség azt jelzi, hogy a függvény páros. Az építésnél figyelembe kell venni, hogy az Oy-hez képest szimmetria lesz.

Az egyenlőtlenség megoldására növekvő és csökkentési intervallumokat használunk f " (x) ≥ 0, illetve f " (x) ≤ 0 feltételekkel.

1. definíció

Helyhez kötött pontok- ezek azok a pontok, amelyek a derivált nullára fordítják.

Kritikus pontok- ezek olyan belső pontok a definíciós tartományból, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik.

A döntés meghozatalakor a következő megjegyzéseket kell figyelembe venni:

  • az f " (x) > 0 alakú növekvő és csökkenő egyenlőtlenségek meglévő intervallumainál a kritikus pontok nem szerepelnek a megoldásban;
  • azokat a pontokat, ahol a függvény véges derivált nélkül definiálunk, be kell venni a növekedés és a csökkenés intervallumába (például y = x 3, ahol az x = 0 pont definiálja a függvényt, a derivált ekkor végtelen pont, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 benne van a növekvő intervallumban);
  • A nézeteltérések elkerülése érdekében az Oktatási Minisztérium által javasolt matematikai szakirodalom használata javasolt.

Kritikus pontok felvétele a növekedési és csökkenési intervallumokba, ha kielégítik a függvény definíciós tartományát.

2. definíció

Mert függvény növekedési és csökkenési intervallumainak meghatározásához meg kell találni:

  • derivált;
  • kritikus pontok;
  • ossza fel a definíciós tartományt intervallumokra kritikus pontok segítségével;
  • határozzuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokon, ahol + a növekedés és - a csökkenés.

3. példa

Keresse meg az f definíciós tartomány deriváltját " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Megoldás

A megoldáshoz szüksége van:

  • megtalálja álló pontok, ebben a példában x = 0;
  • keresse meg a nevező nulláit, a példa a nulla értéket veszi fel x = ± 1 2-nél.

Pontokat helyezünk el a számtengelyen, hogy meghatározzuk az egyes intervallumok deriváltját. Ehhez elegendő bármely pontot kivenni az intervallumból, és elvégezni egy számítást. Ha az eredmény pozitív, akkor a + jelet ábrázoljuk a grafikonon, ami azt jelenti, hogy a függvény növekszik, a - pedig azt, hogy csökken.

Például f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ami azt jelenti, hogy a bal oldali első intervallumnak + jele van. Tekintsük a számegyenest.

Válasz:

  • a függvény a - ∞ intervallumon növekszik; - 1 2 és (- 1 2 ; 0 ] ;
  • az intervallum csökkenése [0; 1 2) és 1 2; + ∞ .

Az ábrán a + és - használatával a függvény pozitivitása és negativitása látható, a nyilak pedig csökkenést és növekedést jeleznek.

A függvény szélsőpontjai azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és amelyeken keresztül a derivált előjelet vált.

4. példa

Ha egy olyan példát tekintünk, ahol x = 0, akkor a benne szereplő függvény értéke f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Amikor a derivált előjele +-ról --ra változik, és áthalad az x = 0 ponton, akkor a (0; 0) koordinátákkal rendelkező pontot tekintjük a maximális pontnak. Amikor az előjel -ról +-ra változik, akkor minimális pontot kapunk.

A konvexitást és a konkávitást az f "" (x) ≥ 0 és f "" (x) ≤ 0 alakú egyenlőtlenségek megoldásával határozzuk meg. Ritkábban használják a homorúság helyett a konvexitás lefelé, a domborúság helyett a konvexitás felfelé nevet.

3. definíció

Mert a homorúság és a konvexitás intervallumainak meghatározása szükséges:

  • keresse meg a második származékot;
  • keresse meg a második derivált függvény nulláit;
  • ossza fel a definíciós területet intervallumokra a megjelenő pontokkal;
  • határozza meg az intervallum előjelét.

5. példa

Keresse meg a definíciós tartomány második deriváltját.

Megoldás

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Megtaláljuk a számláló és a nevező nulláit, ahol példánkban azt kapjuk, hogy az x nevező nullái = ± 1 2

Most meg kell ábrázolnia a pontokat a számegyenesen, és meg kell határoznia a második derivált előjelét minden intervallumból. Ezt értjük

Válasz:

  • a függvény konvex a - 1 2 intervallumból; 12;
  • a függvény konkáv a - ∞ intervallumokból; - 1 2 és 1 2; + ∞ .

4. definíció

Inflexiós pont– ez egy x 0 alakú pont; f (x 0) . Ha van érintője a függvény grafikonjához, akkor amikor áthalad x 0-n, a függvény az ellenkező előjelét váltja.

Más szóval, ez egy olyan pont, amelyen a második derivált áthalad és előjelet vált, és magukban a pontokban egyenlő nullával, vagy nem létezik. Minden pontot a függvény tartományának tekintünk.

A példában jól látható volt, hogy nincsenek inflexiós pontok, mivel a második derivált az x = ± 1 2 pontokon áthaladva előjelet vált. Ők viszont nem tartoznak a definíció hatálya alá.

Vízszintes és ferde aszimptoták keresése

Ha egy függvényt végtelenben definiálunk, akkor vízszintes és ferde aszimptotákat kell keresni.

5. definíció

Ferde aszimptoták Az y = k x + b egyenlet által adott egyenesekkel ábrázoljuk, ahol k = lim x → ∞ f (x) x és b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Ha k = 0 és b nem egyenlő a végtelennel, azt találjuk, hogy a ferde aszimptota lesz vízszintes.

Más szavakkal, az aszimptoták olyan egyenesek, amelyekhez egy függvény grafikonja a végtelenben közelít. Ez megkönnyíti a függvénygrafikonok gyors elkészítését.

Ha nincsenek aszimptoták, de a függvény mindkét végtelenben definiálva van, akkor ki kell számítani a függvény határát ezeken a végteleneken, hogy megértsük, hogyan fog viselkedni a függvény grafikonja.

6. példa

Tekintsük példaként azt

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

vízszintes aszimptota. Miután megvizsgálta a függvényt, megkezdheti a felépítését.

Függvény értékének kiszámítása köztes pontokban

A grafikon pontosabbá tétele érdekében ajánlatos több függvényértéket megtalálni a közbenső pontokon.

7. példa

Az általunk vizsgált példából meg kell találni a függvény értékeit az x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 pontokban. Mivel a függvény páros, azt kapjuk, hogy az értékek egybeesnek az ezekben a pontokban lévő értékekkel, azaz x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Írjuk és oldjuk meg:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

A függvény maximumának és minimumának, az inflexiós pontoknak és a köztes pontoknak a meghatározásához aszimptotákat kell konstruálni. A kényelmes kijelölés érdekében a növekvő, csökkenő, konvexitás és homorúság intervallumait rögzítjük. Nézzük az alábbi képet.

A megjelölt pontokon grafikonvonalakat kell húzni, amelyek segítségével a nyilak követésével közelíthetjük meg az aszimptotákat.

Ezzel a funkció teljes feltárása véget ért. Vannak olyan esetek, amikor néhány elemi függvényt készítenek, amelyekhez geometriai transzformációkat használnak.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

  • Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

  • Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt azokról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
  • Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
  • A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
  • Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

  • Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
  • Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Végezzen teljes vizsgálatot, és ábrázolja a függvényt

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) A funkció hatóköre. Mivel a függvény tört, meg kell találnunk a nevező nulláit.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Az egyetlen x=1x=1 pontot kizárjuk a függvény definíciós tartományából, és megkapjuk:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Vizsgáljuk meg a függvény viselkedését a folytonossági pont közelében. Keressünk egyoldalú korlátokat:

Mivel a határértékek egyenlőek a végtelennel, az x=1x=1 pont egy második típusú szakadás, az x=1x=1 egyenes pedig függőleges aszimptota.

3) Határozzuk meg a függvénygráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjait.

Keressük meg az OyOy ordinátatengellyel való metszéspontokat, amelyekre x=0x=0 egyenletet adunk:

Így az OyOy tengellyel való metszéspont koordinátái (0;8)(0;8).

Keressük meg az OxOx abszcissza tengellyel való metszéspontokat, amelyekre y=0y=0-t állítunk be:

Az egyenletnek nincsenek gyökerei, így nincsenek metszéspontok az OxOx tengellyel.

Vegye figyelembe, hogy x2+8>0x2+8>0 bármely xx esetén. Ezért x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) esetén az y>0y>0(felveszi pozitív értékeket, a grafikon az x tengely felett van), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) esetén az y függvény<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) A függvény nem páros és nem páratlan, mert:

5) Vizsgáljuk meg a periodicitás függvényét. A függvény nem periodikus, mivel tört racionális függvény.

6) Vizsgáljuk meg az extrémitás és a monotonitás függvényét. Ehhez megtaláljuk a függvény első deriváltját:

Tegyük egyenlővé az első derivált nullával, és keressünk stacionárius pontokat (amelyekben y′=0y′=0):

Három kritikus pontot kaptunk: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Osszuk fel a függvény teljes definíciós tartományát intervallumokra ezekkel a pontokkal, és határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjeleit:

x∈(−∞; −2),(4;+∞)x∈(−∞; −2),(4;+∞) esetén az y′ derivált<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Az x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 derivált esetén a függvény ezeken az intervallumokon növekszik.

Ebben az esetben x=−2x=−2 egy lokális minimumpont (a függvény csökken, majd növekszik), x=4x=4 egy lokális maximumpont (a függvény növekszik, majd csökken).

Keressük meg a függvény értékeit ezeken a pontokon:

Így a minimum pont (−2;4)(−2;4), a maximum pont (4;−8)(4;−8).

7) Vizsgáljuk meg a görbületek és a konvexitás függvényét. Keressük meg a függvény második deriváltját:

Tegyük egyenlővé a második derivált nullával:

A kapott egyenletnek nincsenek gyökei, így nincsenek inflexiós pontok. Továbbá, ha x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 teljesül, vagyis a függvény konkáv, ha x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) teljesül y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Vizsgáljuk meg a függvény viselkedését a végtelenben, azaz -ben.

Mivel a határok végtelenek, nincsenek vízszintes aszimptoták.

Próbáljuk meg meghatározni az y=kx+by=kx+b alakú ferde aszimptotákat. A k,bk,b értékeket ismert képletekkel számítjuk ki:


Azt találtuk, hogy a függvénynek egy ferde aszimptotája van: y=-x-1y=-x-1.

9) További pontok. Számítsuk ki a függvény értékét néhány más ponton a grafikon pontosabb felépítése érdekében.

y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.

10) A kapott adatok alapján grafikont készítünk, kiegészítjük x=1x=1 (kék), y=-x-1y=-x-1 (zöld) aszimptotákkal, és kijelöljük a jellemző pontokat (lila metszéspont az ordinátával). tengely, narancssárga extrém, fekete kiegészítő pontok):

4. feladat: Geometriai, gazdasági problémák (fogalmam sincs, mi, itt van egy hozzávetőleges válogatás a feladatokból megoldásokkal és képletekkel)

3.23. példa. a

Megoldás. xÉs y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Mivel x = a/4 az egyetlen kritikus pont, nézzük meg, hogy ezen a ponton áthaladva változik-e a derivált előjele. xa/4 S " > 0, és x >a/4 S " esetén< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24. példa.

Megoldás.
R=2, H=16/4=4.

3.22. példa. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 függvény szélsőértékét.

Megoldás. Mivel f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2) (x - 3), akkor az x 1 = 2 és x 2 = 3 függvény kritikus pontjai. Extréma csak Mivel az x 1 = 2 ponton áthaladva a derivált az előjelét pluszról mínuszra változtatja, akkor ezen a ponton a függvénynek maximuma van. Az x 2 = 3 ponton áthaladva a derivált mínuszról változtatja az előjelét pluszhoz, ezért az x 2 = 3 pontban a függvénynek minimuma van.
x 1 = 2 és x 2 = 3, akkor megtaláljuk a függvény szélsőértékét: maximum f(2) = 14 és minimum f(3) = 13.

3.23. példa. A kőfal közelében téglalap alakú területet kell építeni úgy, hogy három oldalról dróthálóval legyen elkerítve, a negyedik oldal pedig a fal mellett legyen. Erre van a lineáris méteres háló. Milyen képarány mellett lesz a webhely legnagyobb területe?

Megoldás. Jelöljük az emelvény oldalait -vel xÉs y. A telek területe S = xy. Hadd y- ez a fal melletti oldal hossza. Ekkor feltétel szerint a 2x + y = a egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezért y = a - 2x és S = x(a - 2x), ahol
0 ≤ x ≤ a/2 (a pad hossza és szélessége nem lehet negatív). S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-nél, innen
y = a - 2×a/4 =a/2. Mivel x = a/4 az egyetlen kritikus pont, nézzük meg, hogy ezen a ponton áthaladva változik-e a derivált előjele. xa/4 S " > 0, és x >a/4 S " esetén< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24. példa. V=16p ≈ 50 m 3 űrtartalmú zárt hengeres tartályt kell előállítani. Mekkora legyen a tartály mérete (R sugár és H magasság), hogy a legkevesebb anyagot használjuk fel a gyártásához?

Megoldás. A henger teljes felülete S = 2pR(R+H). Ismerjük a henger térfogatát V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ez azt jelenti, hogy S(R) = 2p(R2 +16/R). Megtaláljuk ennek a függvénynek a deriváltját:
S "(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R 2). S "(R) = 0, ha R3 = 8, ezért
R=2, H=16/4=4.


Kapcsolódó információ.