Stacionárius extrémumpontok. Tanórán kívüli óra – a funkció extrémuma

Definíciók:

Extrémum egy függvény maximális vagy minimális értékét hívjuk meg egy adott halmazon.

Extrém pont az a pont, ahol a függvény maximális vagy minimális értékét elérjük.

Maximális pont az a pont, ahol elérjük a függvény maximális értékét.

Minimális pont az a pont, ahol elérjük a függvény minimális értékét.

Magyarázat.

Az ábrán az x = 3 pont közelében éri el a függvény a maximális értékét (azaz ennek a pontnak a közelében nincs magasabb pont). Az x = 8 szomszédságában ismét maximum értéke van (tisztázzuk még egyszer: ezen a környéken nincs magasabb pont). Ezeken a pontokon a növekedés átadja helyét a csökkenésnek. Ezek a maximális pontszámok:

x max = 3, x max = 8.

Az x = 5 pont közelében elérjük a függvény minimális értékét (azaz x = 5 közelében nincs lent pont). Ezen a ponton a csökkenés átadja helyét a növekedésnek. Ez a minimum pont:

A maximális és minimális pontszám a következő a függvény szélső pontjai, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőségek.

A függvény kritikus és stacioner pontjai:

Az extrémum szükséges feltétele:

Elegendő feltétel az extrémumhoz:

Egy szegmensen a függvény y = f(x) elérheti minimális vagy maximális értékét akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végein.

Folyamatos függvény tanulmányozásának algoritmusay = f(x) monotonitás és szélsőség esetén:

Tekintsük a következő ábrát.

Az y = x^3 – 3*x^2 függvény grafikonját mutatja. Tekintsünk egy olyan intervallumot, amely tartalmazza az x = 0 pontot, például -1-től 1-ig. Ezt az intervallumot az x = 0 pont szomszédságának is nevezik. Amint a grafikonon látható, ebben a szomszédságban az y = x függvény. ^3 – 3*x^2 pontosan az x = 0 pontban veszi fel a legnagyobb értéket.

Maximális és minimális funkciók

Ebben az esetben az x = 0 pontot a függvény maximumpontjának nevezzük. Ezzel analógiával az x = 2 pontot az y = x^3 – 3*x^2 függvény minimumpontjának nevezzük. Mert van ennek a pontnak egy olyan környéke, ahol az érték ezen a ponton minimális lesz a környék összes többi értékéhez képest.

Pont maximális Az f(x) függvényt x0 pontnak nevezzük, feltéve, hogy az x0 pontnak van olyan környéke, hogy minden x-re, amely nem egyenlő x0-val ebből a szomszédból, az f(x) egyenlőtlenség teljesül.< f(x0).

Pont minimális Az f(x) függvényt x0 pontnak nevezzük, feltéve, hogy az x0 pontnak van olyan környéke, hogy minden x-re, amely nem egyenlő a szomszédságból származó x0-val, az f(x) > f(x0) egyenlőtlenség teljesül.

A függvények maximumának és minimumának pontjain a függvény deriváltjának értéke nulla. De ez nem elégséges állapot egy függvény maximumának vagy minimumának pontjában való létezéshez.

Például az y = x^3 függvénynek az x = 0 pontban nullával egyenlő deriváltja van. De az x = 0 pont nem a függvény minimum vagy maximum pontja. Mint tudják, az y = x^3 függvény a teljes numerikus tengely mentén növekszik.

Így a minimum és maximum pont mindig az f’(x) = 0 egyenlet gyökei között lesz. Ennek az egyenletnek azonban nem minden gyöke lesz maximum vagy minimum pont.

Álló és kritikus pontok

Stacionárius pontoknak nevezzük azokat a pontokat, ahol a függvény deriváltjának értéke nulla. Lehetnek maximum- vagy minimumpontok olyan pontokban is, ahol a függvény deriváltja egyáltalán nem létezik. Például y = |x| az x = 0 pontban van minimuma, de a derivált ezen a ponton nem létezik. Ez a pont lesz a függvény kritikus pontja.

Egy függvény kritikus pontjai azok a pontok, ahol a derivált nullával egyenlő, vagy a derivált ezen a ponton nem létezik, vagyis a függvény ezen a ponton nem differenciálható. Ahhoz, hogy egy függvény maximumát vagy minimumát megtaláljuk, elégséges feltételnek kell teljesülnie.

Legyen f(x) valamilyen differenciálható függvény az (a;b) intervallumon. Az x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik és f’(x0) = 0. Ekkor:

1. Ha egy stacionárius x0 ponton áthaladva az f(x) függvény és deriváltja előjelét váltja „pluszról” mínuszra, akkor az x0 pont a függvény maximumpontja.

2. ha egy stacionárius x0 ponton áthaladva az f(x) függvény és deriváltja előjelét változtatja „mínusz”-ról „pluszra”, akkor az x0 pont a függvény minimumpontja.

Az előző megbeszélésekben egyáltalán nem alkalmaztuk a differenciálszámítás technikai módszereit.

Nehéz nem elismerni, hogy elemi módszereink egyszerűbbek és közvetlenebbek, mint az elemzési módszerek. Általában, ha egy adott tudományos problémával foglalkozunk, jobb abból kiindulni egyéni jellemzők mint kizárólag arra támaszkodni általános módszerek, bár másrészt általános elv, amely tisztázza az alkalmazott speciális eljárások jelentését, természetesen mindig vezető szerepet kell játszania. A differenciálszámítás módszereinek éppen ez a jelentősége az extrém problémák mérlegelésekor. Megfigyelve ben modern tudomány az általánosság iránti vágy a dolognak csak az egyik oldalát képviseli, hiszen ami igazán létfontosságú a matematikában, azt kétségtelenül a vizsgált problémák és az alkalmazott módszerek egyéni jellemzői határozzák meg.

Az övében történelmi fejlődés a differenciálszámítást nagyon nagy mértékben befolyásolták az egyéni problémák, amelyek a legnagyobb és legalacsonyabb értékek mennyiségeket Az extrém problémák kapcsolata és differenciálszámítás a következőképpen érthető. A VIII. fejezetben részletesen megvizsgáljuk az f(x) függvény f"(x) deriváltját és annak függvényét geometriai jelentése. Ott látni fogjuk, hogy röviden szólva, az f"(x) derivált a görbe érintőjének meredeksége y = f(x) az (x, y) pontban. Geometriailag nyilvánvaló, hogy egy sima görbe maximum- vagy minimumpontjain y = f(x) a görbe érintőjének mindenképpen vízszintesnek kell lennie, azaz a meredekségnek nullának kell lennie. Így megkapjuk a szélsőpontok feltételét f"(x) = 0.

Hogy világosan megértsük, mit jelent az f"(x) derivált eltűnése, tekintsük a 191. ábrán látható görbét. Itt öt olyan A, B, C, D, ? pontot látunk, amelyeknél a görbe érintője vízszintes. ; jelöljük ezeken a pontokon f(x) megfelelő értékeit a, b, c, d, e. Legmagasabb érték f(x) (a rajzon látható területen belül) a D pontban érhető el, a legkisebb pedig az A pontban. B pontban van egy maximum - abban az értelemben, hogy minden pontban valami környék B pontban az f(x) értéke kisebb, mint b, bár a D-hez közeli pontokban az f(x) értéke még mindig nagyobb, mint b. Emiatt szokás azt mondani, hogy a B pontban van függvény relatív maximuma f(x), míg a D pontban - abszolút maximum. Ugyanígy a C pontban van relatív minimum,és az A pontban - abszolút minimum. Végül, ami az E pontot illeti, nincs benne se maximum, se minimum, bár az egyenlőség még így is megvalósul benne f"(x) = Q, Ebből következik, hogy az f"(x) derivált eltűnése az szükséges, de egyáltalán nem elegendő feltétele az f(x) sima függvény szélsőértékének megjelenésének; más szóval, minden olyan ponton, ahol van szélsőség (abszolút vagy relatív), az egyenlőség minden bizonnyal megtörténik f"(x) = 0, de nem minden ponton, ahol f"(x) = 0, szélsőségnek kell lennie. Azokat a pontokat, ahol az f"(x) derivált eltűnik, függetlenül attól, hogy van-e rajtuk szélsőség, az ún. helyhez kötött. A további analízis többé-kevésbé bonyolult feltételekhez vezet az f(x) függvény magasabb deriváltjaira és a maximumok, minimumok és egyéb stacionárius pontok teljes jellemzésére.

Függvény tartománya, deriváltjának kiszámítása, függvény deriváltjának tartományának megkeresése, keresés pontokat a derivált nullára fordítva bizonyítja, hogy a talált pontok az eredeti függvény definíciós tartományába tartoznak.

1. példa: A kritikus azonosítás pontokat függvények y = (x - 3)²·(x-2).

Megoldás Keresse meg a függvény tartományát in ebben az esetben nincs korlátozás: x ∈ (-∞; +∞); Számítsa ki y deriváltját! A kettő szorzatának megkülönböztetésére vonatkozó szabályok szerint a következőt kapjuk: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3) · (x - 2) + (x - 3)² · 1. Utána kiderül másodfokú egyenlet: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Keresse meg az x ∈ (-∞; +∞) függvény deriváltjának definíciós tartományát Oldja meg a 3 x² – 16 x + 21 = 0 egyenletet, hogy megtudja, melyiknél lesz nulla: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Tehát a derivált nullára megy, ha x értéke 3 és 7/3.

Határozza meg, hogy a találtak hozzátartoznak-e pontokat az eredeti függvény definíciós tartománya. Mivel x (-∞; +∞), akkor mindkettő pontokat kritikusak.

2. példa: A kritikus azonosítás pontokat függvények y = x² – 2/x.

Megoldás A függvény tartománya: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), mivel x benne van a nevezőben Számítsuk ki az y’ = 2 x + 2/x² deriváltot!

A függvény deriváltjának definíciós tartománya megegyezik az eredetiével: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Oldja meg a 2 x + 2/x² = 0 egyenletet: 2 x = -2/x² → x = -1.

Tehát a derivált nullára megy x = -1-nél. A kritikusság szükséges, de nem elégséges feltétele teljesül. Mivel x=-1 a (-∞; 0) ∪ (0; +∞) intervallumba esik, ez a pont kritikus.

Források:

• Kritikus értékesítési mennyiség, db Küszöb

Sok nő szenved premenstruációs szindrómában, amely nemcsak fájdalmas érzésekben, hanem fokozott étvágyban is nyilvánul meg. Ennek eredményeként a kritikus napok jelentősen lelassíthatják a fogyás folyamatát.

A menstruációs időszak alatti fokozott étvágy okai

A menstruációs időszak alatti étvágy növekedésének oka az általános változás hormonális szint V női test. A menstruáció kezdete előtt néhány nappal megemelkedik a progeszteron hormon szintje, a szervezet alkalmazkodik a lehetőséghez, és igyekszik további energiatartalékokat képezni zsírlerakódások formájában, még akkor is, ha a nő ül. Így a súlyváltozások a kritikus napokon normálisak.

Hogyan kell étkezni a menstruáció alatt

Igyekezz manapság ne enni édességeket, édességeket és más, „gyors” ételeket tartalmazó kalóriadús ételeket. Feleslegük azonnal lerakódik a zsírban. Ebben az időszakban sok nő nagyon szeretne csokoládét enni, ebben az esetben vásárolhat étcsokoládét, és kényeztetheti magát néhány szelettel, de nem több. Ne használja menstruáció alatt alkoholos italok, pácok, savanyúságok, füstölt húsok, magvak és diófélék. Általában a savanyúságokat és a füstölt ételeket korlátozni kell az étrendben 6-8 nappal a menstruáció kezdete előtt, mivel az ilyen termékek növelik a szervezet víztartalékait, és ezt az időszakot a fokozott folyadékfelhalmozódás jellemzi. Az étrendben lévő só mennyiségének csökkentése érdekében adjon hozzá minimális mennyiség készételekben.

Alacsony zsírtartalmú tejtermékek, növényi élelmiszerek és gabonafélék fogyasztása javasolt. Bab, főtt burgonya, rizs - hasznosak lesznek a „lassú” szénhidrátokat tartalmazó termékek. A tenger gyümölcsei, a máj, a hal, a marhahús, a baromfi, a tojás, a hüvelyesek és a szárított gyümölcsök segítenek pótolni a vasveszteséget. Hasznos lesz búzakorpa. A menstruáció alatti természetes reakció a duzzanat. Könnyű vizelethajtó gyógynövények segítenek az állapot javításában: bazsalikom, kapor, petrezselyem, zeller. Fűszerként használhatók. A ciklus második felében javasolt a fehérjetartalmú élelmiszerek (sovány húsok és halak, tejtermékek) fogyasztása, és lehetőség szerint csökkenteni kell a szénhidrát mennyiségét az étrendben.

Gazdasági koncepció kritikus kötet értékesítés megfelel a vállalkozás piaci pozíciójának, ahol az áruk értékesítéséből származó bevétel minimális. Ezt a helyzetet nevezik fedezeti pontnak, amikor a termékek iránti kereslet csökken, és a nyereség alig fedezi a költségeket. A kritikus térfogat meghatározásához értékesítés, többféle módszert használjon.

Utasítás

A munkaciklus nem korlátozódik a tevékenységeire - a termelésre vagy a szolgáltatásokra. Ez egy bizonyos szerkezetű összetett munka, amely magában foglalja a fő személyzet, a vezetői apparátus, a vezetői személyzet stb., valamint a közgazdászok munkáját, akiknek feladata a pénzügyi elemzés vállalkozások.

Ennek az elemzésnek az a célja, hogy kiszámítsunk bizonyos mennyiségeket, amelyek valamilyen mértékben befolyásolják a végső nyereség nagyságát. Ez különböző fajták termelési és értékesítési mennyiségek, teljes és átlagos, keresleti mutatók stb. A fő feladat annak a termelési mennyiségnek a meghatározása, amelynél stabil kapcsolat jön létre a költségek és a nyereség között.

Minimális hangerő értékesítés, amelynél a bevétel teljesen fedezi a költségeket, de nem növeli a vállalat saját tőkéjét, kritikus mennyiségnek nevezzük értékesítés. Ennek a mutatónak a módszerének kiszámítására három módszer létezik: egyenletmódszer, határjövedelem és grafikus.

A kritikus térfogat meghatározásához értékesítés az első módszer szerint hozzon létre egyenletet a következő formájú: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, ahol: Вп – bevétel értékesítésés ;Zper és Zpos – változó és állandó költségek, Pp – nyereség ebből értékesítésÉs.

Egy másik módszer szerint az első futamidő, bevétel a értékesítés, mutassa be az egységnyi árura és mennyiségre jutó határjövedelem szorzataként értékesítés, ugyanez vonatkozik a változó költségekre is. Fix költségek a teljes árutételre vonatkozik, ezért hagyja közösen ezt az összetevőt: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Fejezd ki N értékét ebből az egyenletből, és megkapod a kritikus térfogatot értékesítés:N = Zpos/(MD – Zper1), ahol Zper1 – változó költségekáruegységenként.

Grafikus módszerépítését foglalja magában. Vonatkoznak Koordináta sík két sor: a bevétel függvény értékesítés mínusz a költség és a nyereség függvény. Az abszcissza tengelyen ábrázolja a termelés mennyiségét, az ordináta tengelyen pedig a megfelelő árumennyiségből származó bevételt, pénzegységben kifejezve. Ezen vonalak metszéspontja megfelel a kritikus térfogatnak értékesítés, nullszaldós helyzet.

Források:

• hogyan határozzuk meg a kritikus munkát

A kritikai gondolkodás olyan ítéletek összessége, amelyek alapján bizonyos következtetéseket vonnak le, és felmérik a kritika tárgyait. Különösen jellemző minden tudományág kutatójára, tudósaira. A kritikai gondolkodás magasabb szintet foglal el, mint a hétköznapi gondolkodás.

A tapasztalat értéke a kritikai gondolkodás fejlesztésében

Nehéz olyan dolgokat elemezni és következtetéseket levonni, amelyeket nem értesz jól. Ezért ahhoz, hogy megtanuljunk kritikusan gondolkodni, meg kell vizsgálni a tárgyakat mindenféle összefüggésben és összefüggésben más jelenségekkel. És nagyon fontos ebben az esetben ismeri az ilyen tárgyakkal kapcsolatos információkat, képes az ítéletek logikai láncolatainak felépítésére és ésszerű következtetések levonására.

Például az érték megítélése műalkotás csak az irodalmi tevékenység sok más gyümölcsének ismeretében lehetséges. Ugyanakkor jó szakértőnek lenni az emberi fejlődés történetében, az irodalom kialakulásában és az irodalomkritikában. A történelmi kontextustól elszigetelve egy mű elveszítheti szándékolt értelmét. Ahhoz, hogy egy műalkotás értékelése kellően teljes és indokolt legyen, szükséges az irodalmi ismereteinek igénybevétele is, amely magában foglalja az egyes műfajokon belüli irodalmi szövegalkotás szabályait, a különböző irodalmi technikák rendszerét, az osztályozást és elemzést. az irodalom létező stílusairól és irányzatairól stb. Ugyanakkor fontos a cselekmény belső logikájának, a cselekvések sorrendjének, a szereplők elrendezésének és interakciójának tanulmányozása is egy műalkotásban.

A kritikai gondolkodás jellemzői

A kritikai gondolkodás egyéb jellemzői a következők:
- a vizsgált tárggyal kapcsolatos ismeretek csak kiindulópontot jelentenek a logikai láncok felépítéséhez kapcsolódó további agyi tevékenységhez;
- a következetesen felépített és józan észszerű érvelés a vizsgált tárgyról való igaz és téves információk azonosításához vezet;
- a kritikus gondolkodás mindig az adott tárgyról rendelkezésre álló információk értékeléséhez és a megfelelő következtetésekhez kapcsolódik, az értékelés pedig a meglévő készségekhez.

A hétköznapi gondolkodástól eltérően a kritikai gondolkodás nem függ a vakhittől. A kritikai gondolkodás lehetővé teszi a használatát az egész rendszert a kritika tárgyáról alkotott ítéletek, hogy megértsék annak lényegét, azonosítsák a valódi tudást róla és megcáfolják a hamisakat. A logikán, a tanulmányok mélységén és teljességén, az igazságosságon, az ítéletek megfelelőségén és következetességén alapul. Ebben az esetben a nyilvánvaló és régóta bizonyított állítások posztulátumnak minősülnek, és nem igényelnek ismételt bizonyítást és értékelést.